现代设计方法有限元法
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有限元法概述
大型商用的FEM通用软件分类
目前已经出现了许多大型结构分析通用软件，最早的 是美国国家宇航局（NASA）在1956年委托美国计算科学 公司和贝尔航空系统公司开发的ANASTRAN有限元分析 系统，该系统发展到现在已有几十个版本。此外，比较知 名的有限元分析软件还有德国的ASKA,英国PAFEC，法 国AYATUS，美国ABAUS、ADNA、ANSYS、BERSAF E、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC、STARNYNE 等。下面仅介绍几种当前比较流行的有限元软件。 （1） ANSYS。 ANSYS是融结构、流体、电场、磁 场和声场分析于一体的大型通用有限元分析软件。其主要 特点是具有较好的前处理功能，如几何建模、网络划分、
电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦分 析，可以模拟多物理介质的相互作用，具有灵敏度分析 及优化分析能力；后处理的计算结果有多种显示和表达 能力。ANSYS软件系统主要包括ANSYS/Mutiphysics 多物理场仿真分析工具、LS-DYNA显示瞬态动力分析 工具、Design Space设计前期CAD集成工具、Design Xploere多目标快速优化工具和FE-SAFE结构疲劳耐久 性分析等。ANSYS已在工业界得到较广泛的认可和应 用。
现代设计理论及方法
有限元分析法
(Finite Element Analysis ， FEA)
概述
1、有限元法简介
有限元法是求解数理方程的一种数值计算方法，是将 弹性理论、计算数学和计算机软件有机结合在一起的一种 数值分析技术，是解决工程实际问题的一种有力的数值计 算工具。 目前，有限单元法在许多科学技术领域和实际工程问 题中得到了广泛的与应用，如，机械制造、材料加工、航 空航天、土木建筑、电子电气、国防军工、石油化工、船 舶、铁路、汽车和能源等，并受到了普遍的重视。 现有的商业化软件已经成功应用于固体力学、流体力 学、热传导、电磁学、声学和生物学等领域，能够求解由 杆、梁、板、壳和块体等单元构成的弹性、弹塑性或塑性 问题，求解各类场分布问题，求解水流管道、电路、润滑、 噪声以及固体、流体、温度间的相互作用等问题。
【2019年整理】现代设计方法(ch1)
② 分类：
子系统，超系统：汽车=轮胎+发动机+转向系，交通系统性
③ 技术过程：加工过程，工作过程
④ 技术过程的特点：不唯一
1.3 技术系统及其确定
一、技术系统 2.技术过程的确定步骤：
① 根据信息集约和调研预测的资料，分析确定作业对 象及其主要转换要求；
② 分析比较传统理论、现代理论和实践，确定实现主 要转换的工作原理；
7 经济成本
8 人机工程
9安 全
10 包装运输
课题名称 起止时间 课题经费
基本功能 辅助功能 作业对象：物料形状、尺寸、理化性质等 工 况：负载情况 环 境：温度、湿度、振动、噪声、灰尘等 动 力：功率、力、转矩等 运 动：运动形式、速度、加速度等 结构尺寸：作业尺寸、体积、重量 生产率(理论的、额定的、实际的) 可靠度、维修度和有效度 一次性使用寿命、多次性使用寿命(大修) 材料费、设计费、制造加工费、管理费、税费 操作方便、省力、视野宽广、舒适、仪表显示清晰、造型美观适度 保证人身安全、设备安全、如：过载保护 触电保护、连锁装置等 考虑运输方法,如：防震 、防腐、防锈、各种标记等
3. 评价过程中的几项主要工作
选定评价准则。如：成本低、寿命长、结构简单、 可靠性高等等 为评价准则选定度量尺度。即评价好坏的标准
确定评价对象有关各项准则的价值。即按预定 度量尺度对评价对象进行评定
对各单独评价值进行合成，以便对评价对象做 出总的比较
4、评价的意义
评价是决策的基础和依据
方案评价是提高产品质量的首要前提
地设计，必须对每一设计程序的信息，随时进行审核， 决不许有错误的信息流入下一道工序。实践证明，产品 设计质量不好，其原因往往是审核不严造成的。因此， 适时而严格地审核是确保设计质量的一项重要原则。
子系统，超系统：汽车=轮胎+发动机+转向系，交通系统性
③ 技术过程：加工过程，工作过程
④ 技术过程的特点：不唯一
1.3 技术系统及其确定
一、技术系统 2.技术过程的确定步骤：
① 根据信息集约和调研预测的资料，分析确定作业对 象及其主要转换要求；
② 分析比较传统理论、现代理论和实践，确定实现主 要转换的工作原理；
7 经济成本
8 人机工程
9安 全
10 包装运输
课题名称 起止时间 课题经费
基本功能 辅助功能 作业对象：物料形状、尺寸、理化性质等 工 况：负载情况 环 境：温度、湿度、振动、噪声、灰尘等 动 力：功率、力、转矩等 运 动：运动形式、速度、加速度等 结构尺寸：作业尺寸、体积、重量 生产率(理论的、额定的、实际的) 可靠度、维修度和有效度 一次性使用寿命、多次性使用寿命(大修) 材料费、设计费、制造加工费、管理费、税费 操作方便、省力、视野宽广、舒适、仪表显示清晰、造型美观适度 保证人身安全、设备安全、如：过载保护 触电保护、连锁装置等 考虑运输方法,如：防震 、防腐、防锈、各种标记等
3. 评价过程中的几项主要工作
选定评价准则。如：成本低、寿命长、结构简单、 可靠性高等等 为评价准则选定度量尺度。即评价好坏的标准
确定评价对象有关各项准则的价值。即按预定 度量尺度对评价对象进行评定
对各单独评价值进行合成，以便对评价对象做 出总的比较
4、评价的意义
评价是决策的基础和依据
方案评价是提高产品质量的首要前提
地设计，必须对每一设计程序的信息，随时进行审核， 决不许有错误的信息流入下一道工序。实践证明，产品 设计质量不好，其原因往往是审核不严造成的。因此， 适时而严格地审核是确保设计质量的一项重要原则。
目前常见的机械现代设计方法
目前常见的机械现代设计方法
机械现代设计方法是指利用计算机辅助设计软件、仿真分析软件等现代化工具，将传统机械设计方法与现代科技手段相结合，以提高机械产品设计质量和效率。
目前常见的机械现代设计方法包括以下几种：
1. 三维建模设计：利用3D建模软件，将机械产品的三维模型建立起来，可视化地展现设计效果，便于设计师进行直观的审查和修改。
2. 有限元分析：利用有限元分析软件对机械产品进行力学分析，包括应力分析、变形分析、疲劳分析等，以评估产品的工作性能和耐久性。
3. 数值优化设计：利用数值优化算法，对机械产品的形状、材料等参数进行优化，以达到最优的设计效果。
4. 虚拟试验：利用仿真分析软件对机械产品进行虚拟试验，模拟产品在各种工作条件下的工作状态，预测产品的工作性能和故障情况，为产品的试制和改进提供依据。
5. 快速原型技术：利用快速原型技术，通过快速制造出机械产品的实物样品，以验证设计效果和性能，缩短产品开发周期。
以上方法在机械产品设计中得到广泛应用，为设计师提供了更加科学、高效、精准的工具和方法。
- 1 -。
现代设计方法-有限元法15页PPT
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
现代设计方法-有限元法
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
现代设计方法思考题和练习题
现代设计方法思考题和练习题一、有限元部分思考题1 有限单元法中离散的含义是什么?有限单元法是如何将具有无限自由度的连续介质问题转变成有限自由度问题?2 位移有限单元法的标准化程式是怎样的?3 什么叫做节点力和节点载荷?两者有什么不同?为什么应该保留节点力的概念?4 单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有哪些性质?单元刚度系数和整体刚度系数的物理意义是什么?两者有何区别?5 减少问题自由度的措施有哪些?各自的基本概念如何?6 构造单元函数应遵循哪些原则？7 在对三角形单元节点排序时，通常需按逆时针方向进行，为什么？8采用有限元分析弹性体应力与变形问题有哪些特点和主要问题？9 启动ANSYS一般需几个步骤?每一步完成哪些工作?10 进入ANSYS后,图形用户界面分几个功能区域?每个区域作用是什么?11 ANSYS提供多种坐标系供用户选择,主要介绍的6种坐标系的主要作用各是什么?12工作平面是真实存在的平面吗?怎么样理解工作平面的概念和作用?它和坐标系的关系是怎样的?13 如何区分有限元模型和实体模型?14网格划分的一般步骤是什么?15单元属性的定义都有什么内容?如何实现?如何实现单元属性的分配操作?16自由网格划分、映射网格划分和扫掠网格划分一般适用于什么情况的网络划分?使用过程中各需要注意什么问题?17如何实现网格的局部细化?相关高级参数如何控制?18负载是如何定义和分类?19在有限元模型上加载时,节点自由度的约束有几种?如何实现节点载荷的施加?20与有限元模型加载相比,实体模型加载有何优缺点?如何实现在点、线和面上载荷的施加?21 ANSYS提供的两种后处理器分别适合查看模型的什么计算结果?22使用POST1后处理器,如何实现变形图、等值线图的绘制?习题试用ANSYS应用程序计算下列各题：1. 如习题图2-1，框架结构由长为1米的两根梁组成，各部分受力如图表明，μ，求各节点的力及力矩，节点位移。
⨯=，0.32E11.2pa1001=习题图2-1 框架结构2. 自行车扳手由钢制成，尺寸如习题图2-2，pa 1001.2E 11⨯=，0.32=μ，扳手的厚度为3mm,受力分布如图示，左边六边形固定，求受力后的应力、应变、及变形。
有限元法概述
但真正的应用实际问题是到1960年以后，随着电子数 值计算机的广泛应用和发展，有限单元法的发展速度才显 著加快。现代有限元法第一个成功的尝试，是将刚架位移 法推广应用于弹性力学平面问题，这是Turner，Clough 等人在分析飞机结构时于1956年得到的成果。他们第一 次给出了用三角形单元求得平面应力问题的正确解答。
（2）MSC/NASTRAN。 MSC/NASTRAN是在原NAST RAN基础上进行大量改进后的系统软件，主要包括MS C.Patran并行框架式有限元前后处理及分析系统、 MS C.GS-Mesher快速有限元网格、 MSC.MARC非线性有 限元软件等。其中MSC.MARC具有较强的结构分析能
.
5.在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题； 6. 模拟各种试验方案，减少试验时间和经费； 7. 进行机械事故分析，查找事故原因。
轴承强度分析
.
汽车碰撞实验
.
刹车制动时地盘的应力分析
.
钢板精轧机热轧制分析
.
三维椭圆封头开孔补强
.
水轮机叶轮的受力分析模拟
.
人体股骨端受力分析
.
半导体芯片温度场的数值仿真
知量时称为混合法。 位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法
中位移法应用范围最广。
.
2、有限元法的发展
有限单元法基本思想的提出，可以追溯到Courantl在1 943年的工作，他第一次尝试应用定义在三角形区域上的 分片连续函数和最小位能原理相结合，来求解St·Venant 扭转问题。相继一些应用数学家、物理学家和工程师由于 各种原因都涉足过有限单元的概念。
.
4、有限元的特点
(1) 概念清楚,容易理解。可以在不同的专业背景和水平 上建立起对该方法的理解。从使用的观点来讲,每个人的 理论基础不同,理解的深度也可以不同,既可以通过直观的 物理意义来学习,也可以从严格的力学概念和数学概念推 导。
（2）MSC/NASTRAN。 MSC/NASTRAN是在原NAST RAN基础上进行大量改进后的系统软件，主要包括MS C.Patran并行框架式有限元前后处理及分析系统、 MS C.GS-Mesher快速有限元网格、 MSC.MARC非线性有 限元软件等。其中MSC.MARC具有较强的结构分析能
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5.在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题； 6. 模拟各种试验方案，减少试验时间和经费； 7. 进行机械事故分析，查找事故原因。
轴承强度分析
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汽车碰撞实验
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刹车制动时地盘的应力分析
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钢板精轧机热轧制分析
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三维椭圆封头开孔补强
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水轮机叶轮的受力分析模拟
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人体股骨端受力分析
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半导体芯片温度场的数值仿真
知量时称为混合法。 位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法
中位移法应用范围最广。
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2、有限元法的发展
有限单元法基本思想的提出，可以追溯到Courantl在1 943年的工作，他第一次尝试应用定义在三角形区域上的 分片连续函数和最小位能原理相结合，来求解St·Venant 扭转问题。相继一些应用数学家、物理学家和工程师由于 各种原因都涉足过有限单元的概念。
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4、有限元的特点
(1) 概念清楚,容易理解。可以在不同的专业背景和水平 上建立起对该方法的理解。从使用的观点来讲,每个人的 理论基础不同,理解的深度也可以不同,既可以通过直观的 物理意义来学习,也可以从严格的力学概念和数学概念推 导。
现代设计方法
绿色设计
在产品整个生命周期内，着重考虑产品环境属性（可 拆卸性，可回收性、可维护性、可重复利用性等）并将其 作为设计目标，在满足环境目标要求的同时，保证产品应 有的功能、使用寿命、质量等要求。
并行设计
并行设计是一种对产品及其相关过程(包括设计制造过 程和相关的支持过程)进行并行和集成设计的系统化工作模 式。 Nhomakorabea 虚拟设计
虚拟设计技术是由多学科先进知识形成的综合系统技 术，其本质是以计算机支持的仿真技术为前提，在产品设 计阶段，实时地并行地模拟出产品开发全过程及其对产品 设计的影响，预测产品性能、产品制造成本、产品的可制 造性、产品的可维护性和可拆卸性等，从而提高产品设计 的一次成功率。
相似性设计
人们在长期探索自然规律的过程中，逐渐形成了研究 自然界和工程中各种相似现象的“相似方法”、“模化设 计方法”和相应的相似理论、模拟理论。相似方法就是把 个别现象的研究结果推广到所有相似现象上去的方法。
模块化设计
模块化设计（Block-based design）就是将产品的某些 要素组合在一起，构成一个具有特定功能的子系统，将这 个子系统作为通用性的模块与其他产品要素进行多种组合， 构成新的系统，产生多种不同功能或相同功能、不同性能 的系列产品。
三次设计
三次设计即三阶段设计，所谓三阶段设计，是建立在 试验设计技术基础之上的一种在新产品开发设计过程中进 行三阶段设计的设计方法。
优化设计
优化设计（Optimal Design）是把最优化数学原理应 用于工程设计问题，在所有可行方案中寻求最佳设计方案 的一种现代设计方法。
可靠性设计
可靠性设计（Reliability Design）是以概率论和数理统 计为理论基础，是以失效分析、失效预测及各种可靠性试 验为依据，以保证产品的可靠性为目标的现代设计方法。
现代机械设计理论与方法(1)
2 2 g7 ( X ) z小x3 x2 AHT小(1 z小 / z大） 0
⑦ 满足轮齿弯曲强度要求，应有
2 g8 ( X ) x3 z小x2 AFT小YF 0
3）选用合适的优化方法求解，得
z1 22 X b 53 m 4. 5
优化设计
将设计问题的 物理模型转化 为数学模型
选用适当的优化方 法和计算机程序
通过计算机 求解得到最 佳设计方案
② 计算机辅助设计(CAD)
CAD能够帮助我们完成机械设计中的图形设计（制图） 及部分分析计算。（以计算机为工具） 计算机辅助设计
传统设计
人工计算、绘图
用计算机设计、 计算、绘图。
设计精度、稳定性 和效率有限，修改 不方便
四、现代设计方法的特点
程式性。研究设计的全过程，要求设计者从产品 规划、方案设计、技术设计到试验、试制进行全面考 虑，按步骤有计划地进行设计。
创造性。突出人的创造性，力求探寻更多新方案， 开发创新性产品。
最优化。设计的目的是得到功能全、性能好、成 本低的最优产品。 综合性。建立在系统工程和创造工程基础上，综 合运用信息论、优化论、相似论、决策论、预测论等 相关理论，提供多种途径解决产品的设计问题。 计算机化。
④ 模数和齿宽之间要求 5m b 17 m
g 4 ( X ) x2 5x3 0 g5 ( X ) 17x3 x2 0
⑤ 保证各行星轮之间齿顶不相碰撞，应满足
g 6 ( X ) x1 sin
C
1 x1 (i 2)(1 sin ) 0 2 C
⑥ 满足接触强度要求，应有
主要应用于 以下方面
⑦ 满足轮齿弯曲强度要求，应有
2 g8 ( X ) x3 z小x2 AFT小YF 0
3）选用合适的优化方法求解，得
z1 22 X b 53 m 4. 5
优化设计
将设计问题的 物理模型转化 为数学模型
选用适当的优化方 法和计算机程序
通过计算机 求解得到最 佳设计方案
② 计算机辅助设计(CAD)
CAD能够帮助我们完成机械设计中的图形设计（制图） 及部分分析计算。（以计算机为工具） 计算机辅助设计
传统设计
人工计算、绘图
用计算机设计、 计算、绘图。
设计精度、稳定性 和效率有限，修改 不方便
四、现代设计方法的特点
程式性。研究设计的全过程，要求设计者从产品 规划、方案设计、技术设计到试验、试制进行全面考 虑，按步骤有计划地进行设计。
创造性。突出人的创造性，力求探寻更多新方案， 开发创新性产品。
最优化。设计的目的是得到功能全、性能好、成 本低的最优产品。 综合性。建立在系统工程和创造工程基础上，综 合运用信息论、优化论、相似论、决策论、预测论等 相关理论，提供多种途径解决产品的设计问题。 计算机化。
④ 模数和齿宽之间要求 5m b 17 m
g 4 ( X ) x2 5x3 0 g5 ( X ) 17x3 x2 0
⑤ 保证各行星轮之间齿顶不相碰撞，应满足
g 6 ( X ) x1 sin
C
1 x1 (i 2)(1 sin ) 0 2 C
⑥ 满足接触强度要求，应有
主要应用于 以下方面
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6
ADM
序论
1. 材料力学的局限性
只能求解梁、杆的应力、应变（变形）状态，对于更一般的结构（如 短梁等）不能给出合理的解。原因：材料力学的基本假设于简化。
2. 弹性力学
• 弹性力学解：求解弹性力学基本方程（包括微分平衡方程、几何方程、 物理方程、边界条件等），得到结构内应力、应变分布的解析解，是 结构内应力、变形状态单元 5.1 平面等参元 5.1.1 坐标变换及位移 5.1.2 应变及应变矩阵 5.1.3 单元刚度矩阵 5.1.4 单元等效节点力 5.1.5 高斯积分 5.1.6 等参元的完备性和协调性 5.2 轴对称等参元 5.2.1 坐标变换及位移 5.2.2 应变及应变矩阵 5.2.3 单元刚度矩阵 5.2.4 单元等效节点力 5.3 等参元的应力、应变计算
z
其中，独立的分量为6个
yxx
xy y
xz yz
zx zy z
其中， xy
，
yx
z
zx
zy yz
xz x xy yx
y
x
yz zy， zx xz
记为
或
ij
x
y
11
ADM
第一章 弹性力学简介
1.2.2 应变
1. 位移
u [ux uy uz ]T [u v w]T u u(x, y, z) v v(x, y, z)
例：
f ( x1, x2,...,xn )
df
f x1
dx1
f x2
dx2
...
f xn
dxn
f xi
dxi
f x j
dx j
f,idxi f, jdx j
9
ADM
第一章 弹性力学简介
1.2 应力与应变
几个相关概念
外力：体积力，表面力
内力：应力 变形：位移、应变 1.2.1 应力 1. 应力是单位面积上的内力
12
ADM
第一章 弹性力学简介
dux
ux x
dx
ux y
dy
ux z
dz
dui
ui x j
dx j
2. 应变 应变是对变形的度量
(dl)2 dxidxi
(dl')2 (dxi dui )(dxi dui ) dxidxi duidui 2dxidui
B dl Au
u dl
B' du
B ''
dl'
A'
w w(x, y, z)
ui ui (x, y, z),i x, y, z
点A的位移为u，点B的 位移为u du，du为位移增量，
dl u
u du du u dl
dl'
表征微线段dl变为dl'，产生的变形和转动量。
du [dux duy duz ]T
序论
5. 结构动力学有限元 • 求解动力学问题的有限元法：包括振动、动态响应、模态等。 6. 热传导有限元 • 求解热传导温度场问题。 7. 塑性有限元 • 弹塑性小变形有限元：弹塑性小变形过程分析； • 弹塑性有限变形有限元：弹塑性大变形过程分析，如压力加工变形过 程分析（锻造、冲压）；
• 刚塑性有限元：不考虑弹性部分的基于速率的大变形过程分析，如压 力加工变形过程分析（锻造、冲压）；
• 弹性力学求解的困难：弹性力学需求解边值条件下的偏微分方程组， 在大多数情况下，不存在显式的解析解。
3. 有限元法（Finite Element Method-FEM）
• 求解偏微分方程解的一种基于变分原理和离散化的数值方法。
4. 弹性（静）力学有限元
• 求解弹性（静）力学问题的有限元法
7
ADM
8. 其它有限元 • 流体力学有限元； • 电磁场有限元
8
ADM
第一章 弹性力学简介
1.1 求和约定（求和表达式的简化记法）
a1x1 a2 x2 ... an xn c
n
ai xi c
i 1
ai xi a j x j c
在表达式的任一项中，当某一下标重复出现时，即表示对该下表从 1~n求和（求和下表可用任何符号表示，见上式）。
现代设计方法
——有限元法
Advanced Design Methods
——Finite Element Method
天津大学机械工程学院
1
ADM
目录
第二部分 有限元
序论 第一章 弹性力学简介
1.1 求和约定 1.2 应力与应变
1.2.1 应力 1.2.2 应变 1.2.3 小变形弹性理论基本方程 第二章 有限元理论基础 2.1 变分法原理 2.1.1 变分法第一定理 2.1.2 泛函极值的求解——欧拉方程 2.1.3 求解变分问题的近似计算法——李兹(Ritz)法 2.2 虚功原理（虚功方程）与能量泛函 2.3 插值及单元位移 2.4 弹性力学有限元的矩阵方程
n
Q
A
S
P
m-n
截面m n上点P的应力
S lim Q A0 A
应力S分解为法向的正应力和切向的切应力
S
10
ADM
第一章 弹性力学简介
2. 应力状态
在过P点的不同截面上，P点的应力不同。 P点的应力状态可以用过P
点的三个正交平面xoy,yoz,zox上的应力描述。
点P的应力状态可由9个应力分量描述，
2
ADM
目录
第三章 平面问题有限元 3.1 平面问题基本方程及有限元矩阵方程 3.1.1 基本方程 3.1.2 有限元矩阵方程 3.2 三角形场应变单元 3.2.1 离散化 3.2.2 位移模式 3.2.3 应变 3.4 刚度矩阵 3.4.1 单元刚度矩阵 3.4.2 总体刚度矩阵的组装 3.4.3 总体位移向量 3.5 单元的等效节点力与总体载荷向量 3.5.1 单元的等效节点力 3.5.2 总体载荷向量
目录
5
ADM
目录
第六章 杆件系统 第七章 薄板弯曲问题 第八章 结构动力学问题
8.1 结构动力学微分方程 8.2 结构动力学虚功方程 8.3 结构动力学有限元矩阵方程 8.4 结构自由振动有限元矩阵方程——模态分析 第九章 塑性力学问题有限元 9.1 屈服与塑性流动
9.1.1 屈服准则 9.1.2 塑性流动本构关系 9.2 弹塑性小变形有限元 9.3 弹塑性有限变形有限元 9.4 刚塑性和刚粘塑性有限元
3
ADM
3.6 刚度方程求解 3.6.1 边界条件处理
3.7 有限元分析的实施步骤 3.8 有限元计算收敛性 第四章 轴对称问题有限元 4.1 基本方程 4.1.1 平衡方程 4.1.2 几何方程 4.1.3 物理方程 4.2 三角形截面环单元 4.3 轴对称问题的有限元矩阵表达式
4.3.1 单元刚度矩阵 4.3.2 组装总体刚度矩阵 4.3.3 单元等效节点力