2020年湖南省长沙市中考数学模拟试卷(1)

2020年湖南省长沙市中考数学模拟试卷（1）一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．（3分）下列各数中，比﹣4小的数是（）A．﹣2.5B．﹣5C．0D．22．（3分）我国倡导的“一带一路”地区覆盖的总人口为4400000000人，这个数用科学记数法表示为（）A．44×108B．4.4×108C．4.4×109D．44×1010 3．（3分）下列运算正确的是（）A．a3÷（﹣a2）＝﹣a B．（a+1）2＝a2+1C．（﹣2a）2＝﹣4a2D．a2+a＝a34．（3分）下列事件中，是随机事件的是（）A．任意抛一枚图钉，钉尖着地B．任意画一个三角形，其内角和是180oC．通常加热到100℃时，水沸腾D．太阳从东方升起5．（3分）如图，直线a∥b，∠1＝32°，∠2＝45°，则∠3的度数是（）A．77°B．97°C．103°D．113°6．（3分）已知一个组合体是由几个相同的正方体叠合在一起组成，该组合体的主视图与俯视图如图所示，则该组合体中正方体的个数最多是（）A．10B．9C．8D．77．（3分）某公司全体职工的月工资如下：月工资（元）18000120008000600040002500200015001200人数 1（总经理） 2（副总经理） 3 4 10 20 22 12 6该公司月工资数据的众数为2000，中位数为2250，平均数为3115，极差为16800，公司的普通员工最关注的数据是（ ） A ．中位数和众数 B ．平均数和众数C ．平均数和中位数D ．平均数和极差8．（3分）钟面上的分针的长为1，从9点到9点15分，分针在钟面上扫过的面积是（ ） A ．18πB ．14πC ．12πD ．π9．（3分）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点E ，过点E 作EF ⊥BC 于点F ，AC ＝5，∠CAB ＝90°，按以下步骤作图：分别以点A ，F 为圆心，大于12AF 的长为半径作弧，两弧交于点P ，Q ，作直线PQ ，若点B ，E 在直线PQ 上，且AE ：EC ＝2：3，则BC 的长为（ ）A ．2√6B ．3√5C ．8D ．1310．（3分）如图，小明家到学校有两条路，一条沿北偏东45°方向可直达学校前门，另一条从小明家一直往东，到商店处向正北走100米，到学校后门；若两条路程相等，学校南北走向，学校后门在小明家北偏东67.5°处，学校前门到后门的距离是（ ）A ．100米B ．100√2米C ．200√2米D ．100√3米11．（3分）足球比赛中，每场比赛都要分出胜负每队胜1场得3分，负一场扣1分，某队在8场比赛中得到12分，若设该队胜的场数为x 负的场数为y ，则可列方程组为（ ） A ．{x +y =83x −y =12B ．{x −y =83x −y =12C ．{x +y =183x +y =12D ．{x −y =83x +y =1212．（3分）定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A 的正对记作sadA ，即sadA ＝底边：腰．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝2∠B ．则sin B •sadA ＝（ ）A ．12B ．1C ．√2D ．2二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．（3分）使二次根式√1−12x 有意义的x 的取值范围是 ．14．（3分）分解因式：6xy 2﹣9x 2y ﹣y 3＝ ．15．（3分）对于有理数m ，我们规定[m ]表示不大于m 的最大整数，例如[1.2]＝1，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3，若[x+23]＝﹣5，则整数x 的取值是 ．16．（3分）做任意抛掷一只纸杯的重复实验，部分数据如表抛掷次数 50 100 500 800 1500 3000 5000 杯口朝上的频率0.10.150.20.210.220.220.22根据表，可估计任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率约为 ．17．（3分）如图所示，DE 为△ABC 的中位线，点F 在DE 上，且∠AFB ＝90°，若AB ＝5，BC ＝7，则EF 的长为 ．18．（3分）已知如图，直线y =23x 分别与双曲线y =mx （m ＞0，x ＞0）、双曲线y =nx （n ＞0，x ＞0）交于点A ，点B ，且BA OA =23，将直线y =23x 向左平移6个单位长度后，与双曲线y =nx 交于点C ，若S △ABC ＝4，则mn 的值为 ．三．解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）计算：(−12)−1+13√27×√43−2cos30°−|2−√3|20．（6分）化简求值：(2x−1x+1−x+1)÷x−2x2+2x+1，其中x=√2．21．（8分）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动，为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、不合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．等级频数频率优秀2040%良好合格10m%不合格5n%请根据以上信息，解答下列问题：优秀良（1）本次调查随机抽取了名学生；表中m＝，n＝；（2）补全条形统计图；（3）若全校有2000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．22．（8分）如图1，正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，H为CD边上一点，连接BH交AC于K；E为BH上一点，连接AE交BD于F．（1）若AE⊥BH于E，且CK=√2，AD＝6，求AF的长；（2）如图2，若AB＝BE，且∠BEO＝∠EAO，求证：AE＝2√2OE．23．（9分）某超市销售一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：（1）每千克涨价x元，那么销售量表示为千克，涨价后每千克利润为元（用含x的代数式表示．）（2）要使得月销售利润达到8000元，又要“薄利多销”，销售单价应定为多少？这时应进货多少千克？24．（9分）【操作发现】如图（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝45°，连接AC，BD交于点M．①AC与BD之间的数量关系为；②∠AMB的度数为；【类比探究】如图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算ACBD的值及∠AMB的度数；【实际应用】如图（3），是一个由两个都含有30°角的大小不同的直角三角板ABC、DCE 组成的图形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝∠D＝30°且D、E、B在同一直线上，CE＝1，BC=√21，求点A、D之间的距离．25．（10分）设抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于两个不同的点A（﹣1，0）、B（m，0），与y轴交于点C．且∠ACB＝90°．（1）求抛物线的解析式（2）已知过点A的直线y＝x+1交抛物线于另一点E，且点D（1，﹣3）在抛物线上问：在x轴上是否存在点P，使以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似？若存在，请求出所有符合要求的点P的坐标；若不存在，请说明理由．26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣5）（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于P点，过其顶点C作直线CH⊥x 轴于点H．（1）若∠APB＝30°，请直接写出满足条件的点P的坐标；（2）当∠APB最大时，请求出a的值；（3）点P、O、C、B能否在同一个圆上？若能，请求出a的值，若不能，请说明理由．（4）若a=15，在对称轴HC上是否存在一点Q，使∠AQP＝∠ABP？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2020年湖南省长沙市中考数学模拟试卷（1）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．（3分）下列各数中，比﹣4小的数是（）A．﹣2.5B．﹣5C．0D．2【解答】解：比﹣4小的数是﹣5，故选：B．2．（3分）我国倡导的“一带一路”地区覆盖的总人口为4400000000人，这个数用科学记数法表示为（）A．44×108B．4.4×108C．4.4×109D．44×1010【解答】解：4 400 000 000用科学记数法表示为：4.4×109，故选：C．3．（3分）下列运算正确的是（）A．a3÷（﹣a2）＝﹣a B．（a+1）2＝a2+1C．（﹣2a）2＝﹣4a2D．a2+a＝a3【解答】解：A、原式＝﹣a，符合题意；B、原式＝a2+2a+1，不符合题意；C、原式＝4a2，不符合题意；D、原式不能合并，不符合题意，故选：A．4．（3分）下列事件中，是随机事件的是（）A．任意抛一枚图钉，钉尖着地B．任意画一个三角形，其内角和是180oC．通常加热到100℃时，水沸腾D．太阳从东方升起【解答】解：A、任意抛一枚图钉，钉尖着地是随机事件；B、任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件；C、通常加热到100℃时，水沸腾是必然事件；D、太阳从东方升起是必然事件；故选：A．5．（3分）如图，直线a∥b，∠1＝32°，∠2＝45°，则∠3的度数是（）A．77°B．97°C．103°D．113°【解答】解：给图中各角标上序号，如图所示．∵直线a∥b，∴∠4＝∠2＝45°，∴∠5＝45°．∵∠1+∠3+∠5＝180°，∴∠3＝180°﹣32°﹣45°＝103°．故选：C．6．（3分）已知一个组合体是由几个相同的正方体叠合在一起组成，该组合体的主视图与俯视图如图所示，则该组合体中正方体的个数最多是（）A．10B．9C．8D．7【解答】解：从俯视图可得最底层有5个小正方体，由主视图可得上面一层是2个，3个或4个小正方体，则组成这个几何体的小正方体的个数是7个或8个或9个，组成这个几何体的小正方体的个数最多是9个．故选：B．7．（3分）某公司全体职工的月工资如下：月工资（元）18000120008000600040002500200015001200人数 1（总经理） 2（副总经理）3 4 10 20 22 12 6该公司月工资数据的众数为2000，中位数为2250，平均数为3115，极差为16800，公司的普通员工最关注的数据是（ ） A ．中位数和众数 B ．平均数和众数C ．平均数和中位数D ．平均数和极差【解答】解：∵数据的极差为16800，较大， ∴平均数不能反映数据的集中趋势， ∴普通员工最关注的数据是中位数及众数， 故选：A ．8．（3分）钟面上的分针的长为1，从9点到9点15分，分针在钟面上扫过的面积是（ ） A ．18πB ．14πC ．12πD ．π【解答】解：从9点到9点15分分针扫过的扇形的圆心角是90°， 则分针在钟面上扫过的面积是：90π×12360=14π．故选：B ．9．（3分）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点E ，过点E 作EF ⊥BC 于点F ，AC ＝5，∠CAB ＝90°，按以下步骤作图：分别以点A ，F 为圆心，大于12AF 的长为半径作弧，两弧交于点P ，Q ，作直线PQ ，若点B ，E 在直线PQ 上，且AE ：EC ＝2：3，则BC 的长为（ ）A ．2√6B ．3√5C ．8D ．13【解答】解：根据作图过程可知： PQ 是AF 的垂直平分线， ∴AE ＝EF ，AB ＝FB ， ∵AE ：EC ＝2：3，AC ＝5，∴AE＝2，EC＝3，∴FC=√32−22=√5．∵AB2+AC2＝BC2即BF2+25＝（BF+√5）2解得BF＝2√5∴BC＝BF+FC＝3√5．则BC的长为3√5．故选：B．10．（3分）如图，小明家到学校有两条路，一条沿北偏东45°方向可直达学校前门，另一条从小明家一直往东，到商店处向正北走100米，到学校后门；若两条路程相等，学校南北走向，学校后门在小明家北偏东67.5°处，学校前门到后门的距离是（）A．100米B．100√2米C．200√2米D．100√3米【解答】解：由题意得∠CAB＝45°，AB+100＝AC，∵cos∠CAB=√22=ABAC，∴AB＝100√2+100，∴BC＝AB＝100√2+100，∴CD＝100√2米．故选：B．11．（3分）足球比赛中，每场比赛都要分出胜负每队胜1场得3分，负一场扣1分，某队在8场比赛中得到12分，若设该队胜的场数为x负的场数为y，则可列方程组为（）A ．{x +y =83x −y =12B ．{x −y =83x −y =12C ．{x +y =183x +y =12D ．{x −y =83x +y =12【解答】解：设这个队胜x 场，负y 场， 根据题意，得{x +y =83x −y =12．故选：A ．12．（3分）定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A 的正对记作sadA ，即sadA ＝底边：腰．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝2∠B ．则sin B •sadA ＝（ ）A ．12B ．1C ．√2D ．2【解答】解：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C ， ∵∠A ＝2∠B ，∴∠B ＝∠C ＝45°，∠A ＝90°， ∴BC =√2AC ， ∴sin ∠B •sadA =AC BC •BCAC=1， 故选：B ．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．（3分）使二次根式√1−12x 有意义的x 的取值范围是 x ≤2 ．【解答】解：∵二次根式√1−12x 有意义，∴1−12x ≥0， 解得：x ≤2． 故答案为：x ≤2．14．（3分）分解因式：6xy 2﹣9x 2y ﹣y 3＝ ﹣y （3x ﹣y ）2 ． 【解答】解：原式＝﹣y （y 2﹣6xy +9x 2）＝﹣y （3x ﹣y ）2， 故答案为：﹣y （3x ﹣y ）215．（3分）对于有理数m ，我们规定[m ]表示不大于m 的最大整数，例如[1.2]＝1，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3，若[x+23]＝﹣5，则整数x 的取值是 ﹣17，﹣16，﹣15 ．【解答】解：∵[m ]表示不大于m 的最大整数， ∴﹣5≤x+23＜−4， 解得：﹣17≤x ＜﹣14， ∴整数x 为﹣17，﹣16，﹣15， 故答案为﹣17，﹣16，﹣15．16．（3分）做任意抛掷一只纸杯的重复实验，部分数据如表抛掷次数 50 100 500 800 1500 3000 5000 杯口朝上的频率0.10.150.20.210.220.220.22根据表，可估计任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率约为 0.22 ． 【解答】解：依题意得杯口朝上频率逐渐稳定在0.22左右， 估计任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率约为0.22． 故答案为：0.22．17．（3分）如图所示，DE 为△ABC 的中位线，点F 在DE 上，且∠AFB ＝90°，若AB ＝5，BC ＝7，则EF 的长为 1 ．【解答】解：∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE =12BC ＝3.5，DE ∥BC ， ∵∠AFB ＝90°，D 为AB 的中点， ∴DF =12AB ＝2.5， ∴EF ＝DE ﹣DF ＝1， 故答案为：1．18．（3分）已知如图，直线y =23x 分别与双曲线y =m x （m ＞0，x ＞0）、双曲线y =nx （n ＞0，x ＞0）交于点A ，点B ，且BA OA=23，将直线y =23x 向左平移6个单位长度后，与双曲线y =n x交于点C ，若S △ABC ＝4，则mn 的值为 100 ．【解答】解：直线y =23x 向左平移6个单位长度后的解析式为y =23（x +6），即y =23x +4， ∴直线y =23x +4交y 轴于E （0，4），作EF ⊥OB 于F ． 可得直线EF 的解析式为y =−32x +4，由{y =23x y =−32x +4，解得{x =2413y =1613，即F （2413，1613）． ∴EF =√(2413)2+(1613−4)2=12√1313， ∵S △ABC ＝4， ∴12•AB •EF ＝4，∴AB =2√133， ∵BA OA=23，∴OA =32AB =√13， ∴A （3，2），B （5，103），∴m ＝6，n =503， ∴mn ＝100． 故答案为100．三．解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）计算：(−12)−1+13√27×√43−2cos30°−|2−√3|【解答】解：原式＝﹣2+13√27×43−2×√32−（2−√3）＝﹣2+2−√3−2+√3＝﹣2．20．（6分）化简求值：(2x−1x+1−x+1)÷x−2x2+2x+1，其中x=√2．【解答】解：原式=2x−1−x2+1x+1•(x+1)2x−2=x(2−x)1⋅x+1 x−2＝﹣x（x+1）＝﹣x2﹣x当x=√2时，原式＝﹣2−√2．21．（8分）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动，为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、不合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．等级频数频率优秀 20 40% 良好 合格 10 m % 不合格5n %请根据以上信息，解答下列问题：优秀良（1）本次调查随机抽取了 50 名学生；表中m ＝ 20 ，n ＝ 10 ； （2）补全条形统计图；（3）若全校有2000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．【解答】 解：（1）本次调查随机抽取了20÷40%＝50名学生，1050=20%，550=10%，∴m ＝20，n ＝10， 故答案为：50，20，10； （2）补全条形统计图如图所示； （3）2000×20+1520÷40%=1400人，答：该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有1400人．22．（8分）如图1，正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，H 为CD 边上一点，连接BH 交AC 于K ；E 为BH 上一点，连接AE 交BD 于F ． （1）若AE ⊥BH 于E ，且CK =√2，AD ＝6，求AF 的长；（2）如图2，若AB ＝BE ，且∠BEO ＝∠EAO ，求证：AE ＝2√2OE ．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形∴AC＝BD，AC⊥BD∴AO＝BO，∠AOB＝∠BOC＝90°∵AE⊥BH∴∠AEB＝90°∵∠AFO＝∠BFE∴∠OAF＝∠OBK∴△BOK≌△AOF∴OK＝OF∵AD＝6∴AC=√2AD＝6√2，AO＝CO＝3√2∴OK＝OF＝CO﹣CK＝2√2∴AF=√AO2+OF2=√26．∴AF的长为√26．（2）证明：过O作OM⊥OE，交AE于点M，连接BM∵AB＝BE∴∠BAM＝∠BEM∵∠EAO＝∠BEO∴∠BAO＝∠MEO＝45°∴△OME为等腰直角三角形∴OE＝OM∵∠AOB＝∠MOE＝90°∴∠BOM＝∠AOE又∵OM＝OE，AO＝BO∴△BOM≌△AOE∴∠AEO＝∠BMO＝45°∴∠BME＝∠BMO+∠OME＝∠AEO+∠OME＝90°∴BM⊥AE∵AB＝BE∴AM＝ME∵ME=√2OE∴AE＝2√2OE．23．（9分）某超市销售一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：（1）每千克涨价x元，那么销售量表示为（500﹣10x）千克，涨价后每千克利润为（10+x）元（用含x的代数式表示．）（2）要使得月销售利润达到8000元，又要“薄利多销”，销售单价应定为多少？这时应进货多少千克？【解答】解：（1）由题意可知：销售量为（500﹣10x）千克，涨价后每千克利润为：50+x﹣40＝10+x（千克）故答案是：（500﹣10x）；（10+x）；（2）由题意可列方程：（10+x）（500﹣10x）＝8000，整理，得：x2﹣40x+300＝0解得：x1＝10，x2＝30，因为又要“薄利多销”所以x＝30不符合题意，舍去．x＝10符合题意．此时500﹣10x＝400．答：销售单价应涨价10元，这时应进货400千克．24．（9分）【操作发现】如图（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝45°，连接AC，BD交于点M．①AC与BD之间的数量关系为AC＝BD；②∠AMB的度数为45°；【类比探究】如图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算ACBD的值及∠AMB的度数；【实际应用】如图（3），是一个由两个都含有30°角的大小不同的直角三角板ABC、DCE 组成的图形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝∠D＝30°且D、E、B在同一直线上，CE＝1，BC=√21，求点A、D之间的距离．【解答】解：【操作发现】如图（1）中，设OA交BD于K．∵∠AOB＝∠COD＝45°，∴∠COA＝∠DOB，∵OA＝OB，OC＝OD，∴△COA≌△DOB（SAS），∴AC＝DB，∠CAO＝∠DBO，∵∠MKA＝∠BKO，∴∠AMK＝∠BOK＝45°，故答案为：AC＝BD，∠AMB＝45°【类比探究】如图（2）中，在△OAB和△OCD中，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，∴∠COA＝∠DOB，OC=√3OD，OA=√3OB，∴OCOD =OAOB，∴△COA∽△ODB，∴ACBD =COOD=√3，∠MAK＝∠OBK，∵∠AKM＝∠BKO，∴∠AMK＝∠BOK＝90°．【实际应用】如图3﹣1中，作CH⊥BD于H，连接AD．在Rt△DCE中，∵∠DCE＝90°，∠CDE＝30°，EC＝1，∴∠CEH＝60°，∵∠CHE＝90°，∴∠HCE＝30°，∴EH=12EC=12，∴CH=√3 2，在Rt△BCH中，BH=√BC2−CH2=21−(√32)2=92，∴BE＝BH﹣EH＝4，∵△DCA∽△ECB，∴AD：BE＝CD：EC=√3，∴AD＝4√3．如图3﹣2中，连接AD，作CH⊥DE于H．同法可得BH=92，EH=12，∴BE=92+12=5，∵△DCA∽△ECB，∴AD：BE＝CD：EC=√3，∴AD＝5√3．25．（10分）设抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于两个不同的点A（﹣1，0）、B（m，0），与y轴交于点C．且∠ACB＝90°．（1）求抛物线的解析式（2）已知过点A的直线y＝x+1交抛物线于另一点E，且点D（1，﹣3）在抛物线上问：在x轴上是否存在点P，使以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似？若存在，请求出所有符合要求的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令x＝0，得y＝﹣2，∴C（0，﹣2），∵∠ACB＝90°，CO⊥AB，∴△AOC∽△COB，∴OA•OB＝OC2∴OB =OC 2OA =41=4，∴m ＝4，∴B （4，0），将A （﹣1，0），B （4，0）代入y ＝ax 2+bx ﹣2得{a −b −2=016a +4b −2=0， 解得{a =12b =−32， ∴抛物线的解析式为y =12x 2−32x ﹣2；（2）解{y =12x 2−32x −2y =x +1得，{x =−1y =0，{x =6y =7， ∴E （6，7），过E 作EH ⊥x 轴于H ，则H （6，0），∴AH ＝EH ＝7，∴∠EAH ＝45°，过D 作DF ⊥x 轴于F ，则F （1，0），∴BF ＝DF ＝3∴∠DBF ＝45°，∴∠EAH ＝∠DBF ＝45°，∴∠DBH ＝135°，90°＜∠EBA ＜135°则点P 只能在点B 的左侧，有以下两种情况：①若△DBP 1∽△BAE ，则BP 1AB =BD AE ， ∴BP 1=AB⋅BD AE =√27√2=157 ∴OP 1＝4−157=137，∴P 1（137，0）；②若△DBP 2∽△BAE ，则BP 2AE =BD AB ， ∴BP 2=AE⋅BD AB =7√2×3√25=425∴OP 2=425−4=225， ∴P 2（−225，0）． 综合①、②，得点P 的坐标为：P 1（137，0）或P 2（−225，0）．26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝a （x ﹣1）（x ﹣5）（a ＞0）的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于P 点，过其顶点C 作直线CH ⊥x 轴于点H ．（1）若∠APB ＝30°，请直接写出满足条件的点P 的坐标；（2）当∠APB 最大时，请求出a 的值；（3）点P 、O 、C 、B 能否在同一个圆上？若能，请求出a 的值，若不能，请说明理由．（4）若a =15，在对称轴HC 上是否存在一点Q ，使∠AQP ＝∠ABP ？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）作△P AB 的外接圆⊙D ，连接DP 、DA 、DB ，如图1∴DP ＝DA ＝DB ，∵C 为抛物线顶点且CH ⊥x 轴∴CH 为抛物线对称轴，即CH 垂直平分AB∴D 在直线CH 上∵∠APB ＝30°∴∠ADB＝2APB＝60°∴△ABD是等边三角形∵当y＝0时，a（x﹣1）（x﹣5）＝0 解得：x1＝1，x2＝5∴A（1，0），B（5，0）∴DP＝DA＝AB＝4，H（3，0），直线CH：x＝3∴AH＝2，DH=√3AH＝2√3∴D（3，2√3）设P（0，p）（p＞0）∴PD2＝32+（2√3−p）2＝42解得：p1＝2√3+√7，p2＝2√3−√7∴点P坐标为（0，2√3+√7）或（0，2√3−√7）（2）作△P AB的外接圆⊙E，连接EP、EA、EB，如图2∵∠AEB＝2∠APB∴∠AEB最大时，∠APB最大∵AB＝4是定值∴EH最小时，∠AEB最大，此时⊙E与y轴相切于点P ∴EP⊥y轴于P∴四边形OHEP是矩形∴PE＝OH＝3∴EA＝PE＝3∴Rt△AEH中，EH=√AE2−AH2=√32−22=√5∴OP＝EH=√5∴点P坐标为（0，√5），代入抛物线解析式得：5a=√5∴a=√5 5（3）点P、O、C、B能在同一个圆上．连接PB，取PB中点F，连接FO、FC ∵∠POB＝90°∴OF ＝PF ＝FB =12PB∴点P 、O 、B 在以点F 为圆心、FB 的长为半径的圆上若点C 在⊙F 上，则FC ＝FB∵抛物线解析式y ＝a （x ﹣1）（x ﹣5）＝ax 2﹣6ax +5a ＝a （x ﹣3）2﹣4a ∴P （0，5a ），C （3，﹣4a ）∵B （5，0），F 为PB 中点∴F （52，5a 2） ∴FC 2＝（52−3）2+（5a 2+4a ）2=14+169a 24，FB 2＝（52−5）2+（5a 2）2=254+25a 24 ∴14+169a 24=254+25a 24解得：a 1=√66，a 2=−√66（舍去）∴a 的值为√66（4）对称轴HC 上存在一点Q ，使∠AQP ＝∠ABP作△P AB 的外接圆⊙G ，连接GP 、GA ，设⊙G 与直线CH 交于点Q ∴∠AQP ＝∠ABP当a =15时，点P （0，1）设G （3，b ）（b ＞0）∴GP 2＝32+（b ﹣1）2，GA 2＝（3﹣1）2+b 2∵GP ＝GA∴32+（b ﹣1）2＝（3﹣1）2+b 2解得：b ＝3∴G （3，3），GQ ＝GA =√32+22=√13∴点Q 坐标为（3，3+√13）或（3，3−√13）．。