西南名校联盟(云南师大附中)2018届高三适应性月考卷(4)理数试题(解析版)
云南师大附中2018届高考适应性月考卷(四)文数-答案-教学文档
第 1 页云南师大附中2019届高考适应性月考卷（四）文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．{|13}A x x =-R ≤≤ð，故[14]AB =-R ，ð，故选A ．2．因为1i 1i 1i 1i ||z z =+--++=+∴=，，故选C ． 32222221sin sin sin C A B c a b=∴=+∴=+，，，故三角形为直角三角形，故选A ．4． 因为D 为BC 边的中点，2233OB OC OD OA AO OD ∴+==-∴=，，故选B ．5．由(2)(2)f x f x +=-知()f x 的周期为4，又()f x 是定义在R 上的奇函数，故11(4)(0)0(1)(1)(1)(4)22f f f f f f ===--=∴+=，，，故选B ．6．1n =时2162a b ==，，不满足a b ≤；2n=时63124a b ==，，不满足a b ≤；3n=时189248a b ==，，满足a b ≤，输出3n =，故选D ． 7．函数3()3l o g xf x x =+在(0)+∞，是增函数，故零点是唯一的，又00m x <<，则0()()0f m f x <=，故选B ． 8．由三视图知，该几何体下面是三棱柱，上面是三棱锥，故其表面积为：11112221211222282222S =⨯⨯+⨯+⨯++⨯⨯+⨯+⨯=+D ．9. π())cos(2)2sin 26f x x x x ϕϕϕ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，所以将()f x 的图象向左平移π4个单位后，得到πππ()2sin 22cos 2466g x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，其对称中心为点 π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，，πππ2cos 200π263ϕϕϕ⎛⎫∴⨯++=<<∴= ⎪⎝⎭，又，，故选C ．第 2 页10．因为双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的离心率为，则双曲线C 为等轴双曲线，即a b =，其渐近线为y x =±，与抛物线22(0)x py p =>交于A B ，两点，可得(22)(22)A p p B p p -，，，，所以14282OAB S p p p ==∴=△，，所以抛物线的方程为2x =，故选C ．11．设外接球O 的半径为R ，ABC △外接圆1O 的半径为r，则22164ππ169S R R ==∴，，2sin 60a r r =∴=∴︒，，棱锥的高h =，1O O ∴=-，22⎫∴+⎪⎪⎝⎭⎝⎭2=⎝⎭，1213a ∴=，故选A ． 12．由题意，325420172016462018a a a a a a +=+=-+=-，，，，以上各式相加得：201711008S a -=-，又20171110071(0)S b a b a b =--∴+=>，，11111323232()55ab a b a b a b a b⎛⎫∴+=++=+++ ⎪⎝⎭≥当且仅当1132a b a b=时等号成立，故选D ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．由题意所求圆的圆心坐标为(01)-，，所以所求圆的标准方程为22(1)5x y ++=． 14．由不等式组所表示的平面区域知：当2z x y =+过点(12)，时，max 4z =；当2z x y =+过点(21)-，时，min 3z =-，所以2z x y =+的取值范围是[34]-，．第 3 页15．设扇形OAB 的半径为r ，则扇形OAB 的面积为221505ππ36012r r ︒=︒，以OA 为直径的半圆的面积为2211ππ228r r ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故所求概率为221π781510π12rr -=．16．条件等价于在平面直角坐标系中有点(22)A ， ，存在点P 到y 轴的距离为该点到A 点距离的2倍，求该点到x 轴的距离的最大值. 设()P x y ，，由题意得：x =整理得：2y =±2+． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，且0q >，由1304n a a a >=，得22a =，……………………………………………………………（2分） 又3a 是22a -与4a 的等差中项，故232422222222a a a q q q =-+∴=-+∴=，，或=0q （舍）．……………………（4分）所以2122n n n a a q --==，122.n b n n n a b n +∴==∴=，……………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，121211111122(21)(21)22121n n n n n n c a b b n n n n +-+⎛⎫=+=+=+- ⎪-+-+⎝⎭，………………………………………………………………………………………（8分）所以数列{}n c 的前n 项和12(12)11122.1222121n n n n n +-⎛⎫=+-=-+ ⎪-++⎝⎭ ………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）第 4 页（Ⅰ）证明：正方形ABCD 中，AD AB ⊥，又AD AF ⊥，且AB AF A =，所以AD ABEF ⊥平面， 又AD BC BC ABEF BC EF ∴⊥∴⊥∥，平面，，因为ABE △和AFE △都是等腰直角三角形， 所以4590AEF AEB BEF ∠=∠=︒∴∠=︒，， 即EF BE ⊥，且BCBE B =，所以EF BCE ⊥平面．……………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，BC ABEF BC AE AE AB AB BC B ⊥∴⊥⊥=平面，，又，，设点A 到平面BMP 的距离为h ，则即点A 到平面BMP…………………………………………………（12分） 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为x y z ，，成等差数列，所以25a b ，，也成等差数列， 即225b a =+，且125a b +=，所以7550a b ==，．………………………………………………………………………（4分） （Ⅱ）第4，5，6组的总人数为150，则第4组抽取的人数为7563150⨯=，第5组抽取的人数为5062150⨯=，第6组抽取的人数为2561150⨯=．…………………………………（7分）（Ⅲ）记第4组的3人分别为123a a a ，，，第5组的2人分别为12b b ，，第6组的1人为c ，则从抽取的6人中选3人的所有情况为12312112212()()()()a a a a a b a a b a a c ，，，，，，，，，，，， 共20种，其中至少有1人在第5组的情况有16种，第 5 页所以，所求概率164205P ==．…………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0)+∞，，当0a =时，1()1(0)f x bx b x=++>， 则22211()bx f x b x x -'=-+=，()0()00f x x f x x ''>⇒><⇒<< 所以()f x在0⎛ ⎝单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭单调递增，x ∴=()f x的极小值为131f b ==∴=，．…………………（6分） （Ⅱ）由题意，当2a -≥时，()F x 在区间(02]，上的最大值max ()2F x ≥．…………（7分）由（Ⅰ）知，121()ln 1ln 1F x a x x a x x x x x=+++-=-++， 则221()(02)x ax F x x x++'=<≤. ①当22a -≤≤时，222124()0a a x F x x⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭'=>， 故()F x 在(02]，上单调递增，max ()(2)F x F =；②当2a >时，设2210(40)x ax a ++=∆=->的两根分别为12x x ，，则1212120100x x a x x x x +=-<=∴<<，，，，所以在(02]，上221()0x ax F x x ++'=>，故()F x 在(02]，上单调递增，max ()(2)F x F =．综上，当2a -≥时，()F x 在区间(02]，上的最大值max 1()(2)ln 22122F x F a ==-++≥，第 6 页解得12ln 2a -≥，所以实数a 的取值范围是12ln 2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，．………………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知，当点E 是椭圆的上、下顶点时，12EF F △的面积最大，此时12EF F △的面积221232S c b ca c ==-=，①又椭圆的离心率c e a ==，② 由①②得：222633a c b ===，，， 所以，椭圆C 的标准方程为22163x y +=．………………………………………………（5分） （Ⅱ）设直线l 的方程为11223()()x my P x y Q x y =+，，，，，则直线AP 的方程为1111(2)2y y x x --=--，则111201y x M y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，，即11(2)301m y M y ⎛⎫--⎪-⎝⎭，， 同理可得22(2)301m y N y ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭，．…………………………………………………………（7分）由22326x my x y =+⎧⎨+=⎩，，得22(2)630m y my +++=， 由223612(2)0m m ∆=-+>得21m >且1212226322m y y y y m m +=-=++，，…………（9分） 所以1212(2)3(2)355||||2121m y m y DM DN y y ----=---- 故||||DM DN 为定值14．……………………………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】第 7 页解：（Ⅰ）由直线l的参数方程：2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，得直线l的普通方程为20x y +-，由ρθ=得220x y +-=，配方得22(3x y +-=，即曲线C的直角坐标方程为22(3x y +-=．………………………………………（5分） （Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得2223⎛⎫⎫+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即210t -+=，因为0∆>，所以可设12t t ，是点A B ，所对应的参数，则12121t t t t +==．又直线过点(2P ，所以1212||||||||PA PB t t t t +=+=+=…………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）由()2f x ≥得|3|2x t +≥，解得23t x -≥或23tx --≤， 由题意2132133tt -⎧=⎪⎪⎨--⎪=-⎪⎩，，所以1t =-．………………………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()|31|f x x =-，所以(1)(1)|32||34||(32)(34)|6f x f x x x x x +--=+--+--=≤，当且仅当43x ≥时等号成立，所以6m >，故实数m 的取值范围为(6)+∞，．……………………………………………………（10分）第 8 页。
云南师大附中2018届高考适应性月考卷(四)文数-答案
2
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2
又 S2017 1007 b， a1 b 1(a1b 0) ，
2b 3a1 时等号成立，故选 D． a1 b
2 3 2 3 2b 3a (a1 b) 5 1 ≥ 5 2 6 ， a1 b a1 b a1 b
当且仅当
2
1 4 p 2 p 8， p 2 ，所以抛物线的方程为 2
216 3 6 ， π， R 169 13
3 a 3 6 3 6 6 a a， O1O ， ， 2r r a， 棱 锥 的 高 h a2 a sin 60 3 3 13 3 3
3．由已知
| sin C | sin A sin B
2 2
1， sin 2 C sin 2 A sin 2 B， c 2 a 2 b 2 ，故三角形为直角三角形，
故选 A．
2 AO OD ，故选 B． 4． 因为 D 为 BC 边的中点， OB OC 2OD 3OA， 3 5 ． 由 f ( x 2) f ( x 2) 知 f ( x) 的 周 期 为 4 ， 又 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， 故 1 1 f (4) f (0) 0，f (1) f (1) ， f (1) f (4) ，故选 B． 2 2 6． n 1 时 a a
21 63 ，b 6 ，不满足 a ≤ b ； n 2 时 a ，b 12 ，不满足 a ≤ b ； n 3 时 2 4
189 ，b 24 ，满足 a ≤ b ，输出 n 3 ，故选 D． 8
7 ． 函 数 f ( x) 3x log 3 x 在 (0， ) 是 增 函 数 ， 故 零 点 是 唯 一 的 ， 又 0 m x0 ， 则
重庆市西南大学附中高2018级第四次月考理数试卷(解析版)
西南大学附属中学校高2018级第四次月考数学试题（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：解一元二次不等式得集合A，再确定出集合B中的元素后，可根据交集定义求解．详解：由题意，，∴．故选B．点睛：本题考查集合的交集运算，而解决集合的问题关键是确定集合的元素，对列举法表示的集合，集合元素可以一一列举，对描述法表示的集合一定要注意代表元形式，由代表元可确定集合上函数的定义域，还是函数的值域，或者是不等式的解集等.2. 下列说法正确的是（）A. “”是“函数是奇函数”的充要条件B. 样本的相关系数，越接近于，线性相关程度越小C. 若为假命题，则，均为假命题D. “若，则”的否命题是“若，则”【答案】D【解析】分析：依次判断各个命题的真假，可得出正确结论．详解：A．是奇函数，但不存在，是偶函数，也满足，因此应为既不充分也不必要条件，A 错；B．样本的相关系数，越接近于，线性相关程度越大，B错；C．只要中有一个是假命题，则为假命题，C错；D．由否命题的定义知D正确．故选D．点睛：本题考查命题的真假判断，一般需要对每个命题进行判断，这就要求学生必须掌握相应的概念、性质，属于难题．3. 等比数列中，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由等比数列的性质求解较方便．详解：∵是等比数列，∴也是等比数列，∴．故选A．点睛：本题考查等比数列的性质，本题可以用基本量法求解，即求出首项和公比后，再计算，当然应用性质求解更应提倡．本题所用性质为：数列是等比数列，则（为常数）仍是等比数列．4. 已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由列出方程组求解.详解：由题意，即，∵，∴.故选C.点睛：本题考查平面向量的数量积，考查数量积的性质，特别是性质：，利用此性质可把向量的垂直转化为向量的数量积运算.5. 已知定义在上的函数，记，，，则、、的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：判断函数的单调性与奇偶性，利用单调性可比较大小.详解：易知是偶函数，在上是减函数，又，而，∴，即.故选D.点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，比较大小问题，一般要利用函数的单调性，这里必须让函数的自变量在同一单调区间上，本题利用偶函数的性质易于转换.是比较大小的常见类型，应掌握其方法.6. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：模拟程序运行，观察变量的变化规律，找到程序的本质后可得结论.详解：模拟程序运行，本程序实质是计算，即，而，因此上面和式中计算到，当时应结束循环，所以.故选B.点睛：本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察其中变量的变化规律，寻找程序的数学本质，由数学知识推导出判断条件.7. 设曲线及直线所围成的封闭图形为区域，不等式组所确定的区域为，在区域内随机取一点，则该点恰好在区域内的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：求出两个区域的面积，由几何概型概率公式计算可得.详解：由题意，，∴，故选C.点睛：以面积为测度的几何概型问题是几何概型的主要问题，而积分的重要作用正是计算曲边梯形的面积，这类问题巧妙且自然地将新课标新增内容——几何概型与定积分结合在一起，是近几年各地高考及模拟中的热点题型．预计对此类问题的考查会加大力度．8. 已知，的最大值为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用导数求得的最大值，再进行变形详解：由已知，∴，又，联立可解得或. 当时，，当时，，显然是最大值，∴.故选C.点睛：对处处可导的连续函数，为极值点时，，因此象本题用导数知识求解比较方便，当然本题也可用三角函数的辅助角公式变形求解.9. 某个班级组织元旦晚会，一共准备了、、、、、六个节目，节目演出顺序第一个节目只能排或，最后一个节目不能排，且、要求相邻出场，则不同的节目顺序共有（）种A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先排第一个节目，同时把C、D捆绑在一起作为一个元素，按第一个节目排A还是排B分类，如果第一个是B，则第二步排最后一个节目，如果第一个是A，则后面全排列即可．详解：由题意不同节目顺序有．故选B．点睛：本题考查了排列、组合题两种基本方法(1)限制元素(位置)优先法：①元素优先法：先考虑有限制条件的元素，再考虑其他元素；②位置优先法：先考虑有限制条件的位置，再考虑其他位置．(2)相邻问题捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”作全排列，最后再“松绑”——将“捆绑”元素在这些位置上作全排列．10. 若函数有一个极值点为，且，则关于的方程的不同实数根个数不可能为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：详解：由已知，由题意有两个不等实根，不妨设为，因此方程有两个不等实根，即或，由于是的一个极值，因此有两个根，而有1或2或3个根（无论是极大值点还是极小值点都一样，不清楚的可以画出的草图进行观察），所以方程的根的个数是3或4或5，不可能是2．故选A．点睛：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值及方程根的个数等基础知识，考查了数形结合的思想方法、揄能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．11. 已知双曲线的左、右顶点分别为、，是上一点，为等腰三角形，且外接圆面积为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：不妨设在第二象限，由外接圆面积得其半径，设，利用正弦定理求出，从而可得，然后求得点坐标，把点坐标代入双曲线方程可得关系式，化简后可求得离心率．详解：不妨设在第二象限，则在等腰中，，设，则，为锐角．外接圆面积为，则其半径为，∴，∴，，∴，，设点坐标为，则，，即点坐标为，由点在双曲线上，得，整理得，∴．故选C．点睛：本题将解三角形和双曲线的几何性质结合在一起考查，综合性较强，解题时要抓住问题的关键和要点，从所要求的离心率出发，寻找双曲线中之间的数量关系，其中通过解三角形得出点的坐标，是解题的突破点，在得到点坐标后，根据点在双曲线上得出间的关系，最后根据可求得离心率．12. 已知函数，，若成立，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：设，则，把用表示，然后令，由导数求得的最小值．详解：设，则，，，∴，令，则，，∴是上的增函数，又，∴当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，是极小值也是最小值，，∴的最小值是．故选A．点睛：本题易错选B，利用导数法求函数的最值，解题时学生可能不会将其中求的最小值问题，通过构造新函数，转化为求函数的最小值问题，另外通过二次求导，确定函数的单调区间也很容易出错．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设，其中，是实数，则__________．【答案】【解析】分析：由复数相等求出实数，再由复数的模的定义求得模．详解：由得，即，∴．故答案为．点睛：本题考查复数相等的概念和复数模的概念，两个复数相等的充要条件是实部和实部相等，虚部和虚部相等，由此可求得实数，再根据模的定义求得模，属于基础题．14. 设变量，满足：，则的最大值为__________．【答案】【解析】分析：作出可行域，作直线，求得的最大值和最小值后可得结论．详解：作出可行域，如图内部（含边界），作直线，平移直线，当过时，取得最小值－8，当过时，取得最大值4，∴的最大值为8．故答案为8．点睛：本题考查简单的线性规划问题，求绝对值的最大值问题，根据绝对值的定义，要同时求得的最大值和最小值，然后比较这两个数的绝对值的大小得出结论．15. 已知的部分图象如图所示，则__________．【答案】【解析】分析：根据已知条件求出函数的解析式后，再求值．详解：由题意，，（），∵，∴，，，∴，∴．故答案为．点睛：由图象确定函数的解析式问题，一般可与“五点法”联系，结合“五点法”中五点：易求得结论．16. 已知，是抛物线上一动点，若以为圆心，为半径的圆上存在点，满足，则点横坐标的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：由圆P与圆C有公共点可得相应不等式，从而求得的范围．详解：设（），由题意圆与圆有公共点，∴，即，即，解得．故答案为．点睛：本题实质考查两圆的位置关系，题意说明圆与圆有公共点，因此圆心距满足，从而可求得的范围，两圆的位置关系一般都是通过比较圆心距与两半径之和或差的关系来确定．掌握两圆位置关系的判定是解题关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列的前项和满足：.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）由求得，由时，可得的递推式，得其为等比数列，从而易得通项公式；（2）根据（1）的结论，数列的前项和可用裂项相消法求得．详解：（1）∵①当时，，∴当时，②由①-②得：∴∴是以为首项，公比为的等比数列∴（2）∵∴点睛：设数列是等差数列，是等比数列，则数列，，的前项和求法分别为分组求和法，错位相减法，裂项相消法．18. 某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试.测试的方案：电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”（驾驶员从看到意外情况到车子完全停下所需要的距离）.无酒状态与酒后状态下的试验数据分别列于表1和表2．表1停车距离表2毫克米回答以下问题．（1）由表1估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数；（2）根据最小二乘法，由表2的数据计算关于的回归方程；（3）该测试团队认为：驾驶员酒后驾车的平均“停车距离”大于（1）中无酒状态下的停车距离平均数的倍，则认定驾驶员是“醉驾”.请根据（2）中的回归方程，预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？（精确到个位）（附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，）【答案】（1）27.1（2）（3）大于毫克时为“醉驾”【解析】分析：（1）每个区间的中点作为估计值进行计算可得平均数；（2）根据所给公式计算回归方程中的系数即可；（3）由（2）解不等式可得．详解：（1）（2）∴∴回归方程为（3）由题意知：，∴∴预测当每毫升血液酒精含量大于毫克时为“醉驾”点睛：本题考查线性回归直线方程，解题时根据所给公式计算即可，属于基础题．19. 已知函数.（1）求的对称轴所在直线方程及其对称中心；（2）在中，内角、、所对的边分别是、、，且，，求周长的取值范围．【答案】（1）对称轴方程为，，对称中心为，（2）【解析】分析：（1）用两角和的正弦公式展开变形，用二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数的形式，再根据正弦函数的性质可得结论；（2）由，求得，再由余弦定理得的等量关系，利用基本不等式和三角形中两边之和大于第三边可得的取值范围，从而得周长范围．详解：（1）由，∴∴的对称轴方程为，由，∴，∴的对称中心为，（2）∵，∴，∴，∴，得：，，∴又，∴，∴点睛：第（2）周长范围还可用正弦定理化边为角，利用三角函数性质求得：解：∵，∴，∵，∴∴，∴由正弦定理得：∴，∴∵，∴∴的周长范围为20. 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个顶点构成底边为，顶角为的等腰三角形．（1）求椭圆的方程；（2）设、、是椭圆上三动点，且，线段的中点为，，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）两个焦点与短轴的一个顶点构成底边为，顶角为的等腰三角形．说明，再由直角三角形得，从而可得值，得标准方程；（2）关键是把表示为一个变量的函数，当直线斜率不存在时，可直接求出的长，当直线斜率存在时，设其方程为，与椭圆方程联立方程组，变形后由判别式写出一个不等关系，并设，由韦达定理得出，由表示出点坐标代入椭圆方程得，代入刚才的得的关系式：，它满足判别式＞0，计算中点的坐标，再计算线段长，最终表示为的函数，从而中求得取值范围．详解：（1）由题意，，，∴，∴椭圆（2）设，，，由∴，得：当的斜率不存在时，，由,，得，∴，当的斜率存在时，设得：，，由点在椭圆上得得：，此时总成立又，∴，∴且，∴且综上：点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系问题，考查“设而不求”的思想方法，考查范围问题，解析几何中范围问题一般要把目标表示出一个参数的函数，这里关键是参数的选择要恰当．第（2）题中可用下列方法建立函数：设中点，则，∴∴设，则∴21. 函数，.（1）求函数的单调区间及极值；（2）若，是函数的两个不同零点，求证：①；②.【答案】（1）在递减，递增，，无极大值（2）见解析【解析】分析：（1）求出，解不等式得增区间，解不等式得减区间，从而也可得到极值；（2）①先确定函数的变化趋势，由函数式，知或时，都有，从而要有两个零点，则必有，从而得．因此两个零点，不妨设，通过构造函数，由的单调性可证，即，最后由的单调性，得证，②证明：令，然后证明＝，由，得，计算，由由得，再由在上的单调性可证结论．详解：（1）定义域：令，则，令，则∴在递减，递增∴，无极大值（2）由（1）知时，；时，要使有两个不同零点，则即不妨设，①证明：令，则在递增而，∴∴即∵，∴∵且在递减∴，即②证明：令，下面先证明，∵，，∴在递增∴，∴在递增，∴即在总成立，∵，∴又∵由知，又，且及在递减∴，即点睛：本题考查函数的单调性、极值、零点、函数与方程、不等式等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，考查转化与化归等数学思想，属于难题．解题的关键是构造新函数，通过新函数的单调性过渡到原函数的单调性，转化与化归思想在这里有着充分的体现．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数），与轴交于，以该直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于、两点．（1）求曲线的直角坐标方程和点的一个极坐标；（2）若，求实数的值．【答案】（1），（2）【解析】分析：（1）由可把极坐标方程与直角坐标方程互化；（2）把直线的参数方程直接代入曲线C的直角坐标方程，利用韦达定理得，由得，与韦达定理所得式子联立可解得．详解：（1）由得，∴，点坐标为，其极坐标为．（2）将代入得∵，∴∴，∴点睛：过，倾斜角为的直线的标准参数方程为（为参数），直线上点对应的参数为，则表示有向线段的数量，即，．23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）对，都有恒成立，求的取值范围；（2）设不等式的解集为，若，求证：.【答案】（1）（2）见解析【解析】分析：（1）设，可由绝对值的定义去掉绝对值符号，得分段函数，从而可得的最小值，从而得的取值范围；（2）解不等式得，计算并因式分解后可证得其小于0，最后可证题中不等式．详解：（1）∵，∴∴在上递减，在上递增，当时为常数∴，∴（2）∵，∴∵∵,∴,,∴,∴，∴，∴点睛：解含绝对值的不等式，一般是用绝对值的定义去掉绝对值符号，化含绝对值的不等式为不含绝对值的不等式，分类求解．有时也可利用绝对值的性质求解．求含绝对值的函数的最值也是根据绝对值定义去绝对值符号后，再利用单调性等函数的性质得出．。
云南省师范大学附属中学2018届高考适应性月考卷(二)数学(理)试题含答案
云南师大附中2018届高考适应性月考卷（二） 理科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1{()1}3x A x =≤，2{230}B x x x =--≥，则A B = （ ）A ．{0}x x ≥ B ．{1}x x ≤- C ．{3}x x ≥ D ．{31}x x x ≥≤-或2.设复数z 满足(1)12i z i +=-，则复数z 对应的点位于复平面内（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ． 第三象限 D ．第四象限3.命题:p x R ∀∈，20x ax a ++≥，若命题p 为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,4)B ．[0,4]C ．(,0)(4,)-∞+∞D ．(,0][4,)-∞+∞ 4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．4B ．-4 C.5 D ．-55.已知直线l 的倾斜角为23π，直线1l经过(P -，(,0)Q m 两点，且直线l 与1l 垂直，则实数m 的值为（ ）A ．-2B ．-3 C. -4 D ．-56.若621()ax x +的展开式中常数项为1516，则实数a 的值为（ ）A ．2±B ．12 C.-2 D ．12±7.将函数()2cos()4f x x πω=+（0ω>）的图象向右平移4πω个单位，得取函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,]3π上为减函数，则ω的最大值为（ ） A ．2 B ． 3 C. 4 D ．58.已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A．12+ B．12C. 12+ D．129.已知三棱锥P A B C -的所有顶点都在球O 的球面上，P A A B ⊥，PA AC ⊥，060BAC ∠=，2PA =，2AB =，3AC =，则球O 的表面积为（ ） A ．403π B ．303π C. 203π D ．103π10.点P 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，12,F F 是椭圆的两个焦点，01260F PF ∠=，且12F PF ∆的三条边2||PF ，1||PF ，12||F F 成等差数列，则此椭圆的离心率是（ ）A ．45B ．34 C. 23 D ．1211.已知函数()2ln f x ax x x =+，32()21g x x x =--，如果对于任意的1,[,2]2m n ∈，都有()()f m g n ≥成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[1,)-+∞B ．(1,)-+∞ C. 1[,)2-+∞ D ．1(,)2-+∞12.已知圆O 的半径为2，,P Q 是圆O 上任意两点，且060POQ ∠=，AB 是圆O 的一条直径，若点C 满足(1)OC OP OQ λλ=-+ （R λ∈），则CA CB ∙ 的最小值为（ ） A ．-1 B ．-2 C.-3 D ．-4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若实数,x y 满足不等式组2010220x x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则23z x y =+的最小值为 ．14.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，131n n a S +=+，则4S = ．15.已知平面区域11{(,)}1x D x y y ⎧≤⎪=⎨≤⎪⎩，1221(1)D x dx -=-⎰，在区域1D 内随机选取一点M ，则点M 恰好取自区域2D 的概率是 ．16.已知函数23,30()ln(1),03x x x f x x x ⎧-+-≤≤=⎨+<≤⎩，若()()33g x f x ax a =--有三个零点，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，(2)cos cos 0b c A a C --=. （1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC ∆的面积S 的最大值.18. 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中，从男生中随机抽取了70人，从女生中随机抽取了50人，男生中喜欢数学课程的占47，女生中喜欢数学课程的占710，得到如下列联表.喜欢数学课程 不喜欢数学课程 合计男生女生合计（1）请将列联表补充完整；试判断能否有90%的把握认为喜欢数学课程与否与性别有关； （2）从不喜欢数学课程的学生中采用分层抽样的方法，随机抽取6人，现从6人中随机抽取2人，若所选2名学生中的女生人数为X ，求X 的分布列及数学期望.附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. 20()P K k ≥0.150.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819. 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，3PA =，2AD =，4AB =，060ABC ∠=.（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；（2）E 是侧棱PB 上一点，记PEPB λ=（01λ<<），是否存在实数λ，使平面ADE 与平面PAD 所成的二面角为060？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.20. 已知函数1()ln1f x a x x =++.（1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）是否存在实数a ，使得函数()f x 在[1,]e 上的最小值为1？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.21. 已知点A 为圆228x y +=上一动点，AN x ⊥轴于点N ，若动点Q 满足(1)O Q m O A m O N =+-（其中m 为非零常数） （1）求动点Q 的轨迹方程；（2）若Γ是一个中心在原点，顶点在坐标轴上且面积为8的正方形，当2m =时，得到动点Q 的轨迹为曲线C ，过点(4,0)P -的直线l 与曲线C 相交于,E F 两点，当线段EF 的中点落在正方形Γ内（包括边界）时，求直线l 斜率的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 经过点1(1,)2P ，倾斜角3πα=，在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=.（1）写出直线l 的参数方程，并把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设l 与曲线C 相交于,A B 两点，求PA PB∙的值.23.选修4-5：不等式选讲 设函数()221f x x x =--+.（1）解不等式()0f x ≤；（2）若对于x R ∀∈，使2()24f x m m -≤恒成立，求实数m 的取值范围.云南师大附中2018届高考适应性月考卷（二） 理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．{|0}{|31}A x x B x x x ==-≥，≥或≤，∴{|3}A B x x = ≥，故选C ． 2．12i 13i 1i 22z -==--+，13i22z =-+，故选B ． 3．对于20x x ax a ∀∈++R ，≥成立是真命题，∴240a a ∆=-≤，即04a ≤≤，故选B ．4．由题意可知输出结果为123484S =-+-+-⋅⋅⋅+=，故选A ．5．∵11l l k k ==- ，∴5m =-，故选D ．6．621ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为666316621C ()C rr r r r rr T ax a x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令630r -=，则有2r =，∴24615C 16a =，即4116a =，解得12a =±，故选D ．7．由题意可得函数()g x 的解+析式为ππ()2cos 2cos 44g x x xωωω⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数()g x 的一个单调递减区间是π0ω⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，若函数()y g x =在区间π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数，则ππ003ω⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，只要ππ3ω≥，∴3ω≤，则ω的最大值为3，故选B ．8．由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图1，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，2AB =，4AD =，2BC =，经计算，PD =PC =，DC =，∴PC CD ⊥，∴12222PAB S =⨯⨯=△，12442PAD S =⨯⨯=△，122PBC S =⨯⨯=△，12PCD S =⨯△1(24)262ABCD S =⨯+⨯=，∴12S =+表，故选A ．9．设ABC △外接圆半径为r ，三棱锥外接球半径为R ，∵2360AB AC BAC ==∠=︒，，，∴2222212cos602322372BC AB AC AB AC =+-︒=+-⨯⨯⨯=，∴BC 2sin60BCr ==︒=，∴r =，由题意知，PA ⊥平面ABC ，则将三棱锥补成三棱柱可得，22221101293PA R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，∴210404π4ππ33S R ==⨯=，故选A ．10．设1122||||PF r PF r ==，，由椭圆的定义得：122r r a +=，∵12F PF △的三条边2PF ||， 112||||PF F F ，成等差数列，∴1222r c r =+，联立122r r a +=，1222r c r =+，解得12224233a c a cr r +-==，，由余弦定理得：2221212(2)2cos60c r r r r =+-︒ ，将 12224233a c a c r r +-==，代入2221212(2)2cos60c r r r r =+-︒ 可得，222243a c c +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 2422242123332a c a c a c -+-⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，整理得：2220c ac a +-=，由c e a =，得2210e e +-=，解得：12e =或1e =-（舍去），故选D ．11．对于任意的122m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，，都有()()f m g n ≥成立，等价于在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，函数min max ()()f x g x ≥，24()3433g x x x x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，()g x 在1423⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在423⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递增，且111(2)182g g ⎛⎫-=<=- ⎪⎝⎭，∴max ()(2)1g x g ==-．在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上，()2l n f x a xx x =+-≥恒成立，等价于ln 112ln x x a x x x --=--≥恒成立．设1()ln h x x x =--，22111()x h x x x x -'=-+=，()h x 在112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，在(12]，上单调递减，所以max ()(1)1h x h ==-，所以12a -≥，故选C ． 12．因为2()()()CA CB CO OA CO OB CO CO OA OB OA OB =++=+++，由于圆O 的半径为2，AB 是圆O 的一条直径，所以0O A O B+=，22(1)4OA OB =⨯⨯-=- ，又60POQ ∠=︒，所以22224[(1)]4(1)2(1)CA CB CO OP OQ OP OP OQ λλλλλ=-=-+-=-+-224OQ λ+- 224(331)44(33)λλλλ=-+-=-2134324λ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以，当12λ=时，2m i n1333244λ⎡⎤⎛⎫--=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故CA CB 的最小值为3434⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，故选C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．画出不等式组表示的可行域知，23z x y =+的最小值为14-．14．131n n a S +=+①，131(2)n n a S n -=+≥②，①-②得：14(2)n n a a n +=≥，又1211314a a a ==+=，，∴数列{}n a首项为1，公比为4的等比数列，∴414166485S =+++=．15．依题意知，平面区域1D 是一个边长为2的正方形区域（包括边界），其面积为4，112321114(1)d 33D x x x x --⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭⎰，如图2，点M 恰好取自区域2D 的概率41343P ==．16．由()|()|330g x f x ax a =--=，得|()|333(1)f x ax a a x =+=+，设3(1)y a x =+，则直线过定点(10)-，作出函数|()|f x 的图象（图象省略）．两函数图象有三个交点.当30a ≤时，不满足条件；当30a >时，当直线3(1)y a x =+经过点(3ln 4)，时，此时两函数图象有3个交点，此时ln 434a =，ln 26a =；当直线3(1)y a x =+与ln(1)y x =+相切时，有两个交点，此时函数的导数1()1f x x '=+，设切点坐标为()m n ，，则ln(1)n m =+，切线的斜率为1()1f m m '=+，则切线方程为1l n (1)()1y m x m m -+=-+，即1ln(1)11my x m m m =-++++ ，∵131a m =+且3ln(1)1m a m m =-+++，∴1ln(1)11mm m m =-++++，即1l n (1)111m m m m +=+=++，则1e m +=，即e 1m =-，则1131e a m ==+，∴13e a =，∴要使两个函数图象有3个交点，则ln 2163e a <≤．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因为(2)cos cos 0b c A a C --=， 所以2cos cos cos 0b A c A a C --=，由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos 0B A C A A C --=， 即2sin cos sin()0B A A C -+=，又πA C B +=-，所以sin()sin A C B +=， 所以sin (2cos 1)0B A -=，在ABC △中，sin 0B ≠，所以2cos 10A -=，所以π3A =．（Ⅱ）由余弦定理得：222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，∴42bc bc bc -=≥，∴1sin 42S bc A ===，当且仅当b c =时“=”成立，此时ABC △为等边三角形，∴ABC △的面积S 18．（本小题满分12分）22⨯由题意得22120(40153035) 2.05770507545K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，∵2.057 2.706<，∴没有90%的把握认为喜欢数学课程与否与性别有关．） （Ⅱ）用分层抽样的方法抽取时，抽取比例是624515=，则抽取男生230415⨯=人，抽取女生215215⨯=人，所以X 的分布列服从参数622N M n ===，，的超几何分布，X 的所有可能取值为012，，，其中22426C C ()(012)C i iP X i i -===，，．由公式可得022426C C 6(0)C 15P X ===，112426C C 8(1)C 15P X ===，202426C C 1(2)C 15P X ===，X所以X 的数学期望为()0121515153E X =⨯+⨯+⨯=． 19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：由已知，得AC∵2BC AD ==，4AB =，又222BC AC AB +=，∴BC AC ⊥．又PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 则PA BC ⊥，∵PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，且PA AC A = ， ∴BC ⊥平面PAC ．∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PAC ．（Ⅱ）解：以A 为坐标原点，过点A 作垂直于AB 的直线为x 轴，AB AP ，所在直线分别为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，如图3所示．则(000)(040)(003)A B P ，，，，，，，，， 因为在平行四边形ABCD 中，2460AD AB ABC ==∠=︒，，， 则30DAx ∠=︒，∴10)D -，． 又(01)PE PB λλ=<<，知(043(1))E λλ-，，．设平面ADE 的法向量为111()m x y z = ，，，则00m AD m AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，，即1111043(1)0y y z λλ-=+-=⎪⎩，， 取11x =，则1m ⎛= ⎝⎭ ． 设平面PAD 的法向量为222()n x y z = ，，，则00n AP n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，，即222300z y =⎧⎪-=，， 取21y =，则10n ⎫=⎪⎪⎝⎭ ． 若平面ADE 与平面PAD 所成的二面角为60︒， 则1cos cos602m n 〈〉=︒= ，11012++=，2=，即2914λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭， 解得3λ=（舍去）或35λ=． 于是，存在35λ=，使平面ADE 与平面PAD 所成的二面角为60︒．20．（本小题满分12分）解：由题意知函数的定义域为{|0}x x >，()1a x a f x x x -'=-+=． （Ⅰ）①当0a ≤时，()0f x '>，所以函数()f x 的单调递增区间是(0)+∞，，无极值；②当0a >时，由()0f x '>，解得x a >，所以函数()f x 的单调递增区间是()a +∞，，由()0f x '<，解得x a <，所以函数()f x 的单调递减区间是(0)a ，．所以当x a =时，函数()f x 有极小值()ln 1f a a a a =-++．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，①当1a ≤时，函数()f x 在[1e]，为增函数，∴函数()f x 在[1e]，上的最小值为(1)ln1112f a =++=，显然21≠，故不满足条件； ②当1e a <≤时，函数()f x 在[1)a ，上为减函数，在[e]a ，上为增函数，故函数()f x 在[1e]，上的最小值为()f x 的极小值()ln 1=1f a a a a =-++，即e a =，满足条件；③当e a >时，函数()f x 在[1e]，为减函数，故函数()f x 在[1e]，上的最小值为1(e)ln e 11e f a =++=，即e a =，不满足条件．综上所述，存在实数e a =，使得函数()f x 在[1e]，上的最小值为1．21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设动点00()()Q x y A x y ，，，，则0(0)N x ，，且22008x y +=，① 又(1)OQ mOA m ON =+- ，得001x x y y m ==，， 代入①得动点Q 的轨迹方程为222188x y m +=．（Ⅱ）当m =时，动点Q 的轨迹曲线C 为22184x y +=．直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为(4)y k x =+，代入22184x y +=，得2222(12)163280k x k x k +++-=， 由2222(16)4(12)(328)0k k k ∆=-+->，解得k <<，②设1122()()E x y F x y ，，，，线段EF 的中点()G x y ''，， 则2122284(4)21212x x k k x y k x k k +'''==-=+=++，． 由题设知，正方形Γ在y 轴左边的两边所在的直线方程分别为22y x y x =+=--，，注意到点G 不可能在y 轴右侧，则点G 在正方形Γ内（包括边界）的条件是22y x y x ''+⎧⎨''--⎩≤，≥，即22222248212124821212k k k k k k k k ⎧-+⎪⎪++⎨⎪-⎪++⎩≤，≥，解得k ，此时②也成立． 于是直线l的斜率的取值范围为⎡⎢⎣⎦． 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为：112()12x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，为参数，，曲线C 的直角坐标方程为：2213x y +=．（Ⅱ）把直线l的参数方程11212x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，代入曲线C 的方程2213x y +=中，得221113322t ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2104)50t t +-=， 设点A B ，所对应的参数分别为12t t ，，则1212t t =- ， ∴121211||||||||||22PA PB t t t t ===-= ．23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）不等式()0f x ≤，即|2||21|x x -+≤，即2244441x x x x -+++≤，23830x x +-≥，解得133x x -≥或≤， 所以不等式()0f x ≤的解集为133x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≥或≤. （Ⅱ）1321()|2||21|312232x x f x x x x x x x ⎧+<-⎪⎪⎪=--+=-+-⎨⎪-->⎪⎪⎩，，，≤≤，，，故()f x 的最大值为1522f ⎛⎫-=⎪⎝⎭，因为对于x ∀∈R ，使2()24f x m m -≤恒成立， 所以25242m m +≥，即24850m m +-≥， 解得1522m m -≥或≤，∴5122m ⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ ，，．。
【高三数学试题精选】西南大学附属中学高2018级高三数学下册第二次月考试卷(理)及答案
西南大学附属中学高2018级高三数学下册第二次月考试卷
(理)及答案
5 c 数学试题
1、若1，a，3成等差数列；1，b，4成等比数列，则的值（）
A． B． c．1D．
2、若（）
A． B． c． D．
3、数列对一切正整数n都有，其中是{an}的前n项和，则 =（）
A． B． c．4 D．-4
4、f (x)是定义在R上的奇函数，对任意总有，则的值为（）
A．0 B．3 c． D．
5、已知，则下列不等关系中必定成立的是（）
A． B． c． D．
6、已知，设x是第一象限角，则为( )
A． B． c． D．
7、在等差数列，则数列前9项之和等于（）
A． 24 B．48 c．72 D．108
8、若函数满足的解集是（）
A． B． c． D．
9、已知函数 = f (x) 和 = g (x) 的定义域及值域均为，其图像如图所示，则方程根的个数为（）
A．2 B．3 c．5 D．6
10、已知函数，若时，有最小值是4，则a的最小值为（）
A．10 B．2 c．3D．4
11、已知数列是比为q的等比数列，且成等差数列，则 = ．
12、已知数列中 =1，其前n项的和为，且点在直线lx – + 1 = 0上．则 =________________．。
云南师范大学附属中学2018年高中三年级上学期高考适应性考试月考[四]数学[理]试题含答案解析
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理科数学试卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{|0}2xA x x =<-，{|11}B x x =-<<，则()R A C B =∩（ ） A ．{|01}x x ≤≤ B ．{|12}x x ≤< C. {|10}x x -<≤ D ．{|01}x x ≤<2.若1z i =-，则1zz i -=（ ）A ．iB ．i -C ．1D ．-13.已知a ，b 为单位向量，且a 在b 上的投影为12，则||a b +=（ ）A ．1 BC． 34.某算法的程序框图如图所示，执行该程序后输出的S 是（ ）A ．1011n n =∑ B ．10112n n =∑ C. 1111n n =∑ D ．11112n n =∑5.玲玲到丽江旅游，打电话给大学同学珊珊，忘记了电话号码的最后两位，只记得最后一位是6,8,9中的一个数字，则玲玲输入一次号码能够成功拨对的概率是（ ）A ．13B ．110 C. 115 D ．1306.如图2，网格纸上小方格的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．216B ．180 C.144 D ．72 7.在ABC ∆中，sin()1C A -=，1sin 3B =，则sin A 的值为（ ）ABD8.已知,A B 是球O 的球面上两点，90AOB ∠=，C 为该球面上的动点，,,,O A B C 四点不共面，若球O 的体积为288π，则三棱锥O ABC -的最大值为（ ） A ．36 B ．48 C. 64 D ．1449.设函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意x R ∈，都有'()()0f x f x ->成立，则（ ） A ．2017(ln 2016)2016(ln 2017)f f < B ．2017(ln 2016)2016(ln 2017)f f = C. 2017(ln 2016)2016(ln 2017)f f > D ．2017(ln 2016)f 与2016(ln 2017)f 的大小不确定10.设双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>右支上任意一点P 到其左、右两焦点的距离分别为12,t t ，当2122t t 取得最小值且最小值为8a 时，双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．(1,)+∞B ．[3,)+∞ C. (1,3) D. (1,3] 11.给出下列三个命题，其中真命题的个数是（ ）①函数sin 2cos 2([0,])2y x x x π=-∈的单调递增区间是3[0,]8π； ②将函数()cos(2)3f x x π=+的图象向左平移12π个单位，所得图象关于原点对称； ③样本12n x x x ，，，的平均数为x ，样本12n y y ，y ，，的平均数为()y x y ≠，若样本12n x x x ，，，，12n y y ，y ，，的平均数(1)z ax a y =-，若12a >，则m n >.A ．0B ．1 C.2 D ．312.设函数,0,()ln ,0,x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩若对任意给定的(,)t e ∈+∞，函数()(())1(0)F x f f x at a =-+>有唯一零点，则a 的取值范围是（ ）A ．1(,)e +∞B ．1[,)e +∞ C.2(,)e +∞ D ．2[,)e +∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.由直线20x y -+=，曲线3y x =-以及x 轴围成的图形的面积为 ．14.已知数列{}n a 满足19a =，*1(2,)n n a a n n n N --=≥∈，则2na n 的最小值为 ．15.在ABC ∆中，已知4BC =，3A π∠=，且sin sin B C +=，则ABC ∆的面积S = ．16.直线1y x =+与抛物线22(0)y px p =>相交于,A B 两点，点A 关于x 轴的对称点为C ，抛物线焦点为F ，134FA FB =•，则直线BC 的斜率为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，11a =，且2*12(,2)n n n a a S n N n --=∈≥.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若21n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：34n T <.18. （本小题满分12分）如图3，在直三棱柱111ABC A B C -中，112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点，1DC BD ⊥.（1）证明：1DC BC ⊥；（2）求二面角1B DC C --的余弦值.19. （本小题满分12分）某种设备随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加.现对一批该设备进行调查，得到这一批设备自购入使用之日起，前五年平均每台设备每年的维护费用大致如下表：（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）若该设备的价格是每台5万元，甲认为应该使用满五年换一次设备，乙认为应该使用满十年换一次设备，你认为甲和乙谁更有道理？并说明理由.（附：线性回归方程^^^y b x a =+中，^1122211()()()()n niii ii i nni ii i t t y y t y nt yb t t tn t ====---==--∑∑∑∑，^^^a yb x =-，其中t y ，为样本平均值） 20. （本小题满分12分）已知椭圆22:1y C x m +=经过点M .（1）求椭圆C 的方程、焦点坐标和离心率； （2）设椭圆C 的两焦点分别为12F F ，，过焦点2F 的直线:1(0)l y kx k =+≠与C 交于,A B两点，当直线2MF 平分AMB ∠时，求1ABF ∆的面积.21. （本小题满分12分）设函数()(2)x f x m x e -=--，2()(,)g x kx m k R =∈. （1）讨论()f x 在(0,3)上的单调性；（2）当1m =时，求函数()()()F x f x g x =-在R 上的零点个数()n k .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，动抛物线2:4(2cos )12sin C y x θθ=-++（其中[0,2]θπ∈）顶点的轨迹为曲线E ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是cos()26πρθ+=.（1）写出曲线E 的参数方程和直线l 的直角坐标方程； （2）求直线l 被曲线E 截得的弦长.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()||f x x a =-.（1）当1a =-时，求不等式()33f x x +≤的解集；（2）若()1f x ≤的解集为[2,4]，11(0,0)2a m n m n +=>>，求2m n +的最小值.云南师大附中2017届高考适应性月考卷（四） 理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）1．因为{|02}A x x =<<，{|11}B x x x =-R ≤或≥ð，所以(){|12}A B x x =<R ≤ðI ，故选B ． 2．11(1i)(1i)1i i i i zz ---+-===，故选A ．3．由题意||a b b 12=，故12=a b ，于是22223+=++=a b a b a b ()，所以+=||a b ，故 选C ．4．第一次循环：12S =，4n =，2k =；第二次循环：1124S =+，6n =，3k =；…，第十次循环：10112n S n ==∑，22n =，11k =，结束循环，故选B ．5．拨打电话的所有可能结果共有10330⨯=种，所以玲玲输入一次号码能够成功拨对的概率是130，故选D ．6．该多面体是棱长为6的正方体，截去左前上角和右后上角两个体积相等的三棱锥得到的几何体，则该多面体的体积为331162614432⎛⎫-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故选C ．7．sin()sin cos cos sin 1C A C A C A -=-=，π2C A -=，π2C A =+，sin sin()B C A =+1sin cos cos sin 3C A C A =+=，两式相减得1cos sin 3C A =-，从而π1cos sin 23A A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即21sin 3A =，又sin 0A >，∴sin A =A ． 8．设球O 的半径为R ，则34π288π3R =，6R =．如图1，当点C 位于垂直于平面AOB 的直径的端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，31366O ABC C AOB V V R --===，故选A ．9．令(ln )()(0)f xg x x x =>，则221(ln )(ln )(ln )(ln )()0f x x f x f x f x x g x x x '-'-'=>=，所以()g x 是增函数，从而有(ln 2017)(ln 2016)20172016f f >，即2017(ln 2016)2016(ln 2017)f f <，故选A ． 10．由双曲线定义可知222122222(2)448t a t a t a a t t t +==++≥，当且仅当22t a =时，212t t 取得最小值8a ，此时14t a =．由题意2t c a -≥，即2a c a -≥，解得3ce a =≤．又因为1e >，故13e <≤，故选D ．11．πsin 2cos 224y x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，得ππ3π2444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，，令πππ2442x --≤≤，得函数的增区间为3π08⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，故①正确；()f x 的图象向左平移π12个单位得到函数πππcos 2cos 2sin 21232y x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，显然为奇函数，其图象关于原点对称，故②正确；由统计学知识，可得12n x x x nx +++=L ，12m y y y my +++=L ，则nx my n m z x y m n m n m n +==++++，故12n a m n =>+，所以2n m n >+，即n m >，故③不正确，故选C ．12．当0x ≤时，()e x f x =，值域为(01]，，所以(())ln e xf f x x ==；当01x <≤时，()ln f x x =，图值域为(0]-∞，，所以ln (())e xf f x x ==；当1x >时，()ln f x x =，值域为(0)+∞，，则(())ln(ln )f f x x =，故1(())ln(ln )1x x f f x x x ⎧=⎨>⎩，≤，，.当1x ≤时，(())f f x 值域为(1]-∞，；当1x >时，(())f f x 值域为()-∞+∞，．因为0a >，所以()1g t at =-在(e )+∞，上是增函数，则()g t 在(e )+∞，上的值域为(e 1)a -+∞，，由题意知，e 11a -≥，解得2e a ≥，故a 的取值范围是2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，，故选D ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．两曲线交点坐标为(11)-，，作出它们的图象易知，所求面积分为两部分，一部分为三角形，另一部分为曲边三角形，所以面积0311311()d 24S x x -=⨯⨯+-=⎰．14．121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-L(1)92382n n n +=++++=+L ，则2n a nn =+1619n +≥，当且仅当4n =时取等号，所以2n a n 的最小值为9．15．设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由正弦定理得sin sin sin b c a B C A ====，从而sin )b c B C +=+=6=，由余弦定理可知，22π2cos 163b c bc +-=，即2()316b c bc +-=，得203bc =，所以1sin 2ABC S bc A ==△． 16．由212y x y px =+⎧⎨=⎩，得22(1)10x p x +-+=，令24(1)40p ∆=-->，得2p >．设11()A x y ，，22()B x y ，，则11()C x y -，，122(1)x x p +=-，121x x =，1212(1)(1)2y y x x p =++=，于是由23133144FA FB p p =-++=uu r uu r g ，解得1p =（舍去），或3p =，∴121226y y x x +=++=，21x x -==BC的斜率2121y y x x +=-．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：由212n n n a a S --=，得2112n n n a a S ++-=，两式相减整理得11()(1)0n n n n a a a a +++--=， 又0n a >，∴11(2)n n a a n +-=≥，又由22212a a S -=，20a >，得22a =，故211a a -=，∴数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列． ∴1(1)1n a n n =+-⨯=．…………………………（6分）（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知n a n =，故1111(2)22n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，111111111223345211113111122124212n T n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++-++++ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，∵n *∈N ，∴11012n n +>++， ∴3<4n T ． ………………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图2，不妨设12(0)AA a a =>． ∵D 是棱1AA 中点， ∴1AD A D a ==. 在RtACD 中，AC AD a ==，∴45ADC ∠=︒．（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知1BC DC ⊥，又1BC CC ⊥， ∴BC ⊥平面11ACC A ，从而BC AC ⊥，以C 为原点，直线CB ，1CC ，CA 分别为x ，y ，z 轴， 建立如图3所示空间直角坐标系，则(00)B a ，，，1(020)C a ，，，(0)D a a ，，， ()BD a a a =-，，uu u r ，1(0)C D a a =-，，uuu r． 设1()n x y z =，，r 为平面1BDC 的一个法向量，则00x y z y z -++=⎧⎨-+=⎩，，取1y z ==，得1(211)n =，，r ． 依题意，2(100)n =，，r是平面1DC C 的一个法向量，从而121212cos ||||n n n n n n 〈〉==，r r r r g r r ∴二面角1B DC C --………………………（12分）解法二：由（Ⅰ）知1DC DC ⊥，又1DC BD ⊥， ∴BDC ∠是二面角1B DC C --的平面角. 又1BC DC ⊥，1BC CC ⊥，111DC CC C =I ，∴BC ⊥平面11ACC A ，从而BC CD ⊥，且DC =，BD =，于是cos DC BDC BD ∠===， ∴二面角1B DC C --…………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）23 1.89 5.4t y t t y ====，，，，5521130.355i ii i i t yt ====∑∑，，511522211()()530.327 3.3ˆ0.33554510()5nii i ii i niii i tt y y t yt ybtt tt ====----=====---∑∑∑∑，ˆˆ 1.80.3330.81a y bt =-=-⨯=，所以回归方程为ˆ0.330.81y t =+． ………………………………（6分）（Ⅱ）若满五年换一次设备，则由（Ⅰ）知每年每台设备的平均费用为：155 1.8 2.85y +⨯==（万元）， 若满十年换一次设备，则由（Ⅰ）知每年每台设备的平均费用大概为： 250.33(1210)100.813.12510y +++⋅⋅⋅++⨯==（万元），因为12y y <，所以甲更有道理． …………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）把点1M ⎫⎪⎪⎭代入221y x m +=，可得2m =，所以椭圆C 的方程为2212y x +=，焦点坐标分别为1(01)F -，，2(01)F ，． …………………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）直线l 过焦点2(01)F ，，由1M ⎫⎪⎪⎭知2MF y ⊥轴， 记直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ， 当直线2MF 平分AMB ∠时，120k k +=. 设11()A x y ，，22()B x y ，，由221,12y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得，22(2)210k x kx ++-=， 故12222k x x k -+=+，12212x x k -=+，所以122k k k +=+=0k ==，即12124)0x x x x -+=，故2402k -+=+，解得k =从而221212123()()42x x x x x x -=+-=，即12||x x -， ∴1ABF △的面积121211||||222S F F x x =-=⨯= ………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）3()e x x m f x +-'=，当3m ≥时，由(03)x ∈，知()0f x '>，所以，()f x 在(03)，上单调递增；当03m <<时，由(03)x ∈，，令()0f x '<，得03x m <<-，令()0f x '>，得33m x -<<，所以，()f x 在(03)m -，上单调递减，在(33)m -，上单调递增；当0m ≤时，由(03)x ∈，知()0f x '<，所以，()f x 在(03)，上单调递减． ………（5分）（Ⅱ）当1m =时，由()()()0F x f x g x =-=知，0x ≠，故21e x x k x -=，令21()(0)e x xh x x x -=≠，得232()e x x h x x -'=． 由()0h x '<，得x <或0x <<， 由()0h x '>，得0x <<或x >，所以()h x在(-∞-，，(0上单调递减，在(0)，)+∞上单调递增．当0x <时，()h x在x =处取得极小值(0h =，且当x →-∞时，()h x →+∞；当0x →时，()h x →+∞．当0x >时，()h x在x =处取得极小值h =，且当0x →时，()h x →+∞；当x →+∞时，()0h x →． 综上所述，结合()h x 的图形可得，010()203k k k n k k k k ⎧⎛<⎪ ⎪⎝⎪⎛⎪=< ⎪⎪⎝=⎨⎛⎫⎪=< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎪> ⎪⎝⎩，≤，，. ………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）动抛物线C的顶点坐标为2cos 12sin )([02π))θθθ++∈，，， 则曲线E的参数方程为2cos ([02π))12sin x y θθθθ⎧+⎪∈⎨=+⎪⎩，为参数,，，.由直线l 的极坐标方程是πcos 26ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，1cos sin 22ρθρθ-=，则直线l40y --=．…………………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，曲线E的普通方程为22((1)4x y +-=，曲线E是以1)为圆心，2为半径的圆，则圆心1)到直线l40y --=的距离为1d ==，∴直线l 被曲线E截得的弦长为= ………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）当1a =-时，不等式()+33f x x ≤，可化为|1|33x x ++≤，∴10+133x x x +⎧⎨+⎩≥，≤或10133x x x +<⎧⎨--+⎩，≤，解得112x -≤≤或1x <-，∴不等式()+33f x x ≤的解集为12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤． ………………………………………（5分）（Ⅱ）()1f x ≤即11a x a -+≤≤， 而()1f x ≤的解集为[24]，， ∴1=21=4a a -⎧⎨+⎩，，解得3a =，∴112m n +=3(00m n >>，)，从而(2m n +)112=222n mm n m n ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭≥， ∴423m n +≥（当且仅当2=2n m m n ，且1132m n +=，即23m =，13n =时等号成立），∴2m n 的最小值为43．………………………………（10分）。
云南省师范大学附属中学高考适应性月考卷(二)数学(理)
云南师大附中2018届高考适应性月考卷（二） 理科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1{()1}3x A x =≤，2{230}B x x x =--≥，则A B =（ ）A ．{0}x x ≥ B ．{1}x x ≤- C ．{3}x x ≥ D ．{31}x x x ≥≤-或2.设复数z 满足(1)12i z i +=-，则复数z 对应的点位于复平面内（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ． 第三象限 D ．第四象限3.命题:p x R ∀∈，20x ax a ++≥，若命题p 为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,4)B ．[0,4]C ．(,0)(4,)-∞+∞D ．(,0][4,)-∞+∞4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．4B ．-4 C.5 D ．-55.已知直线l 的倾斜角为23π，直线1l经过(P -，(,0)Q m 两点，且直线l 与1l 垂直，则实数m 的值为（ ）A ．-2B ．-3 C. -4 D ．-56.若621()ax x +的展开式中常数项为1516，则实数a 的值为（ ）A ．2±B ．12 C.-2 D ．12±7.将函数()2cos()4f x x πω=+（0ω>）的图象向右平移4πω个单位，得取函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,]3π上为减函数，则ω的最大值为（ ） A ．2 B ． 3 C. 4 D ．58.已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A．12+ B．12C. 12+ D．12+9.已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，PA AB ⊥，PA AC ⊥，060BAC ∠=，2PA =，2AB =，3AC =，则球O 的表面积为（ ） A ．403π B ．303π C. 203π D ．103π10.点P 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，12,F F 是椭圆的两个焦点，01260F PF ∠=，且12F PF ∆的三条边2||PF ，1||PF ，12||F F 成等差数列，则此椭圆的离心率是（ ）A ．45B ．34 C. 23 D ．1211.已知函数()2ln f x ax x x =+，32()21g x x x =--，如果对于任意的1,[,2]2m n ∈，都有()()f m g n ≥成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[1,)-+∞B ．(1,)-+∞ C. 1[,)2-+∞ D ．1(,)2-+∞12.已知圆O 的半径为2，,P Q 是圆O 上任意两点，且060POQ ∠=，AB 是圆O 的一条直径，若点C 满足(1)OC OP OQ λλ=-+（R λ∈），则CA CB ∙的最小值为（ ） A ．-1 B ．-2 C.-3 D ．-4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若实数,x y 满足不等式组2010220x x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则23z x y =+的最小值为 ．14.设数列{}n a 的前n 项和为nS ，且11a =，131n n a S +=+，则4S =．15.已知平面区域11{(,)}1x D x y y ⎧≤⎪=⎨≤⎪⎩，1221(1)D x dx -=-⎰，在区域1D 内随机选取一点M ，则点M 恰好取自区域2D 的概率是 ．16.已知函数23,30()ln(1),03x x x f x x x ⎧-+-≤≤=⎨+<≤⎩，若()()33g x f x ax a =--有三个零点，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，(2)cos cos 0b c A a C --=. （1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC ∆的面积S 的最大值.18. 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中，从男生中随机抽取了70人，从女生中随机抽取了50人，男生中喜欢数学课程的占47，女生中喜欢数学课程的占710，得到如下列联表.喜欢数学课程 不喜欢数学课程 合计男生女生合计（1）请将列联表补充完整；试判断能否有90%的把握认为喜欢数学课程与否与性别有关； （2）从不喜欢数学课程的学生中采用分层抽样的方法，随机抽取6人，现从6人中随机抽取2人，若所选2名学生中的女生人数为X ，求X 的分布列及数学期望.附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. 20()P K k ≥0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819. 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，3PA =，2AD =，4AB =，060ABC ∠=.（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；（2）E 是侧棱PB 上一点，记PEPB λ=（01λ<<），是否存在实数λ，使平面ADE 与平面PAD 所成的二面角为060？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.20. 已知函数1()ln 1f x a x x =++.（1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）是否存在实数a ，使得函数()f x 在[1,]e 上的最小值为1？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.21. 已知点A 为圆228x y +=上一动点，AN x ⊥轴于点N ，若动点Q 满足(1)O Q m O A m O N =+-（其中m 为非零常数）（1）求动点Q 的轨迹方程；（2）若Γ是一个中心在原点，顶点在坐标轴上且面积为8的正方形，当2m =时，得到动点Q 的轨迹为曲线C ，过点(4,0)P -的直线l 与曲线C 相交于,E F 两点，当线段EF 的中点落在正方形Γ内（包括边界）时，求直线l 斜率的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 经过点1(1,)2P ，倾斜角3πα=，在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=（1）写出直线l 的参数方程，并把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设l 与曲线C 相交于,A B 两点，求PA PB∙的值.23.选修4-5：不等式选讲 设函数()221f x x x =--+.（1）解不等式()0f x ≤；（2）若对于x R ∀∈，使2()24f x m m -≤恒成立，求实数m 的取值范围.云南师大附中2018届高考适应性月考卷（二） 理科数学参考答案61．{|0}{|31}A x x B x x x ==-≥，≥或≤，∴{|3}A B x x =≥，故选C ． 2．12i 13i 1i 22z -==--+，13i22z =-+，故选B ． 3．对于20x x ax a ∀∈++R ，≥成立是真命题，∴240a a ∆=-≤，即04a ≤≤，故选B ．4．由题意可知输出结果为123484S =-+-+-⋅⋅⋅+=，故选A ．5．∵13031l l k k -=-=-，∴5m =-，故选D ．6．621ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为666316621C ()C rr r r r rr T ax a x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令630r -=，则有2r =，∴24615C 16a =，即4116a =，解得12a =±，故选D ．7．由题意可得函数()g x 的解析式为ππ()2cos 2cos 44g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数()g x 的一个单调递减区间是π0ω⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，若函数()y g x =在区间π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数，则ππ003ω⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，只要ππ3ω≥，∴3ω≤，则ω的最大值为3，故选B ．8．由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图1，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，2AB =，4AD =，2BC =，经计算，PD =PC =DC =，∴PC CD ⊥，∴12222PAB S =⨯⨯=△，12442PAD S =⨯⨯=△，122PBC S =⨯⨯=△，12PCD S =⨯=△1(24)262ABCD S =⨯+⨯=，∴12S =++表，故选A ．9．设ABC △外接圆半径为r ，三棱锥外接球半径为R ，∵2360AB AC BAC ==∠=︒，，，∴2222212cos602322372BC AB AC AB AC =+-︒=+-⨯⨯⨯=，∴BC 2sin60BCr ==︒3=，∴r =，由题意知，PA ⊥平面ABC ，则将三棱锥补成三棱柱可得，22221101293PA R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，∴210404π4ππ33S R ==⨯=，故选A ．10．设1122||||PF r PF r ==，，由椭圆的定义得：122r r a +=，∵12F PF △的三条边2PF ||，112||||PF F F ，成等差数列，∴1222r c r =+，联立122r r a +=，1222r c r =+，解得12224233a c a cr r +-==，，由余弦定理得：2221212(2)2cos60c r r r r =+-︒，将12224233a c a c r r +-==，代入2221212(2)2cos60c r r r r =+-︒可得，222243a c c +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 2422242123332a c a c a c -+-⎛⎫- ⎪⎝⎭，整理得：2220c ac a +-=，由ce a =，得2210e e +-=，解得：12e =或1e =-（舍去），故选D ．11．对于任意的122m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，，都有()()f m g n ≥成立，等价于在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，函数min max ()()f x g x ≥，24()3433g x x x x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，()g x 在1423⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在423⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递增，且111(2)182g g ⎛⎫-=<=- ⎪⎝⎭，∴max ()(2)1g x g ==-．在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上，()2l n f x a x x x =+-≥恒成立，等价于ln 112ln x x a x x x --=--≥恒成立．设1()ln h x x x =--，22111()x h x x x x -'=-+=，()h x 在112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，在(12]，上单调递减，所以max ()(1)1h x h ==-，所以12a -≥，故选C ．12．因为2()()()CA CB CO OA CO OB CO CO OA OB OA OB =++=+++，由于圆O 的半径为2，AB 是圆O 的一条直径，所以0O A O B+=，22(1)4OA OB =⨯⨯-=-，又60POQ ∠=︒，所以22224[(1)]4(1)2(1)CA CB CO OP OQ OP OP OQ λλλλλ=-=-+-=-+-224OQ λ+-224(331)44(33)λλλλ=-+-=-2134324λ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以，当12λ=时，2m i n1333244λ⎡⎤⎛⎫--=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故CA CB 的最小值为3434⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，故选C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．画出不等式组表示的可行域知，23z x y =+的最小值为14-．14．131n n a S +=+①，131(2)n n a S n -=+≥②，①-②得：14(2)n n a a n +=≥，又1211314a a a ==+=，，∴数列{}n a首项为1，公比为4的等比数列，∴414166485S =+++=．15．依题意知，平面区域1D 是一个边长为2的正方形区域（包括边界），其面积为4， 112321114(1)d 33D x x x x --⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭⎰，如图2，点M 恰好取自区域2D 的概率41343P ==．16．由()|()|330g x f x ax a =--=，得|()|333(1)f x ax a a x =+=+，设3(1)y a x =+，则直线过定点(10)-，作出函数|()|f x 的图象（图象省略）．两函数图象有三个交点. 当30a ≤时，不满足条件；当30a >时，当直线3(1)y a x =+经过点(3ln 4)，时，此时两函数图象有3个交点，此时ln 434a =，ln 26a =；当直线3(1)y a x =+与ln(1)y x =+相切时，有两个交点，此时函数的导数1()1f x x '=+，设切点坐标为()m n ，，则ln(1)n m =+，切线的斜率为1()1f m m '=+，则切线方程为1l n (1)()1y m x m m -+=-+，即1ln (1)11my x m m m =-++++，∵131a m =+且3ln(1)1m a m m =-+++，∴1ln(1)11mm m m =-++++，即1l n (1)111m m m m +=+=++，则1e m +=，即e 1m =-，则1131e a m ==+，∴13e a =，∴要使两个函数图象有3个交点，则ln 2163e a <≤．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因为(2)cos cos 0b c A a C --=， 所以2cos cos cos 0b A c A a C --=，由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos 0B A C A A C --=， 即2sin cos sin()0B A A C -+=，又πA C B +=-，所以sin()sin A C B +=， 所以sin (2cos 1)0B A -=，在ABC △中，sin 0B ≠，所以2cos 10A -=，所以π3A =．（Ⅱ）由余弦定理得：222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，∴42bc bc bc -=≥，∴1sin 42S bc A ===，当且仅当b c =时“=”成立，此时ABC △为等边三角形，∴ABC △的面积S 18．（本小题满分12分） 22⨯由题意得22120(40153035) 2.05770507545K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，∵2.057 2.706<，∴没有90%的把握认为喜欢数学课程与否与性别有关．） （Ⅱ）用分层抽样的方法抽取时，抽取比例是624515=，则抽取男生230415⨯=人，抽取女生215215⨯=人，所以X 的分布列服从参数622N M n ===，，的超几何分布，X 的所有可能取值为012，，，其中22426C C ()(012)C i iP X i i -===，，．由公式可得022426C C 6(0)C 15P X ===，112426C C 8(1)C 15P X ===，202426C C 1(2)C 15P X ===，所以X 的数学期望为()0121515153E X =⨯+⨯+⨯=． 19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：由已知，得AC ==∵2BC AD ==，4AB =，[来源:学*科*网]又222BC AC AB +=，∴BC AC ⊥．又PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 则PA BC ⊥，∵PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，且PA AC A =，∴BC ⊥平面PAC ．∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PAC ．（Ⅱ）解：以A 为坐标原点，过点A 作垂直于AB 的直线为x 轴，AB AP ，所在直线分别为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，如图3所示．则(000)(040)(003)A B P ，，，，，，，，， 因为在平行四边形ABCD 中，2460AD AB ABC ==∠=︒，，， 则30DAx ∠=︒，∴10)D -，．又(01)PEPB λλ=<<，知(043(1))E λλ-，，． 设平面ADE 的法向量为111()m x y z =，，， 则00m AD m AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即1111043(1)0y y z λλ-=+-=⎪⎩，， 取11x =，则1m ⎛= ⎝⎭． 设平面PAD 的法向量为222()n x y z =，，， 则00n AP n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即222300z y =⎧⎪-=，， 取21y =，则310n ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，，． 若平面ADE 与平面PAD 所成的二面角为60︒，则1cos cos602m n 〈〉=︒=，11012113++=+，2=，即2914λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭， 解得3λ=（舍去）或35λ=．于是，存在35λ=，使平面ADE 与平面PAD 所成的二面角为60︒．20．（本小题满分12分）解：由题意知函数的定义域为{|0}x x >，()1a x af x x x -'=-+=． （Ⅰ）①当0a ≤时，()0f x '>，所以函数()f x 的单调递增区间是(0)+∞，，无极值； ②当0a >时，由()0f x '>，解得x a >，所以函数()f x 的单调递增区间是()a +∞，， 由()0f x '<，解得x a <，所以函数()f x 的单调递减区间是(0)a ，．所以当x a =时，函数()f x 有极小值()ln 1f a a a a =-++． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，①当1a ≤时，函数()f x 在[1e]，为增函数， ∴函数()f x 在[1e]，上的最小值为(1)ln1112f a =++=，显然21≠，故不满足条件； ②当1e a <≤时，函数()f x 在[1)a ，上为减函数，在[e]a ，上为增函数， 故函数()f x 在[1e]，上的最小值为()f x 的极小值()ln 1=1f a a a a =-++，即e a =，满足条件；③当e a >时，函数()f x 在[1e]，为减函数， 故函数()f x 在[1e]，上的最小值为1(e)ln e 11e f a =++=，即e a =，不满足条件．综上所述，存在实数e a =，使得函数()f x 在[1e]，上的最小值为1． 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设动点00()()Q x y A x y ，，，，则0(0)N x ，，且22008x y +=，① 又(1)OQ mOA m ON =+-，得001x x y y m ==，，代入①得动点Q 的轨迹方程为222188x y m +=．（Ⅱ）当m =时，动点Q 的轨迹曲线C 为22184x y +=．直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为(4)y k x =+，代入22184x y +=，得2222(12)163280k x k x k +++-=， 由2222(16)4(12)(328)0k k k ∆=-+->，解得k <<，②设1122()()E x y F x y ，，，，线段EF 的中点()G x y ''，，则2122284(4)21212x x k kx y k x k k +'''==-=+=++，． 由题设知，正方形Γ在y 轴左边的两边所在的直线方程分别为22y x y x =+=--，，注意到点G 不可能在y 轴右侧，则点G 在正方形Γ内（包括边界）的条件是 22y x y x ''+⎧⎨''--⎩≤，≥，即22222248212124821212k k k k k k k k ⎧-+⎪⎪++⎨⎪-⎪++⎩≤，≥，解得k ，此时②也成立．于是直线l的斜率的取值范围为⎡⎢⎣⎦． 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】 解：（Ⅰ）直线l的参数方程为：112()12x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，为参数，，曲线C 的直角坐标方程为：2213x y +=．（Ⅱ）把直线l的参数方程11212x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，代入曲线C 的方程2213x y +=中，得221113322t ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2104)50t t +-=，[来源:]设点AB ，所对应的参数分别为12t t ，，则1212t t =-，[来源:]∴121211||||||||||22PA PB t t t t ===-=．23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）不等式()0f x ≤，即|2||21|x x -+≤，即2244441x x x x -+++≤，23830x x +-≥，解得133x x -≥或≤，所以不等式()0f x ≤的解集为133x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≥或≤. （Ⅱ）1321()|2||21|312232x x f x x x x x x x ⎧+<-⎪⎪⎪=--+=-+-⎨⎪-->⎪⎪⎩，，，≤≤，，， 故()f x 的最大值为1522f ⎛⎫-=⎪⎝⎭，因为对于x ∀∈R ，使2()24f x m m -≤恒成立，所以25242m m +≥，即24850m m +-≥，解得1522m m -≥或≤，∴5122m ⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，，．。
2018届西南名校联盟高三元月考试(理科数学)试题(解析版)
西南名校2018年元月高三联考适应性考试理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 的值域为）D.【答案】C故选C2. ，则的取值范围为（）【答案】A故选A3. 则复数等于（）C.【答案】D故选D4. 5，则实数的值为（）A. -4B. 9C. 5D. 1【答案】B【解析】∵函数在点 5故选B点睛：高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：（1）已知切点求切线方程；（2）已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；（3）已知曲线求切线倾斜角的取值范围．5. ）C.【答案】C【解析】由题意得抛物线的标准方程为...........................故选C6. ）A. -128B. 127C. 128D. 129【答案】B∵令故选B点睛：本题主要考查了二项式定理的系数问题，注意根据题意，分析所给代数式的特点，值，可以简便运算求出答案，属于中档试题，着重考查了二项式系数问题中的赋值法的应用，本题的解答7. ）C. D.【答案】D，的值域为,的取值范围为故选D点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解8. （其中为自然对数的底数）的是（）【答案】A故选A9. ）A. 25B. 24C. 21D. 10【答案】A【解析】模拟程序框图的运行过程，如下故选A10. ，，则椭圆的离心率为（）【答案】B∴离心率故选B11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）【答案】C【解析】如图所示：故选C点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.12. ）【答案】D，半径为∵直线与圆有公共点故选D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. __________．【答案】97，故答案为9714.【答案】15. 一个正方体的棱长为2，现有三个球，球的各顶点，则这个三个球的表面积之和为__________．∴16.的最小值为__________．【解析】函数的值域为∵的值域为的值域为∴的最小值为点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 且（1（2的所有.【答案】【解析】试题分析：（1，可分别求出的通项公式2）由（1）求出数列.试题解析：（1）（2）故由得18. 如图，飞镖的标靶呈圆盘形，圆盘被10等分，按如图所示染色为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，某人依次将若干支飞镖投向标靶，如果每次投射都是相互独立的.（1）如果他投向标靶的飞镖恰有2支且都击中标靶，同时每支飞镖击中标靶的任意位置都是等可能的，求“第Ⅰ部分被击中2次或第Ⅱ部分被击中2次”的概率；（2）如果他投向标靶的飞镖恰有4支，且他投射1设表示标靶被击中的次数，求的分布列和数学期望.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【解析】试题分析：（1“Ⅰ部分”“第Ⅰ部分”12支飞镖，击中第Ⅱ部分”，“第Ⅰ部分被击中2次或第Ⅱ部分被击中2次”，然后根据互斥事件和相互独立事件的概率公式即可求出答案；（2率分布，计算数学期望.试题解析：（1“Ⅰ部分”，“Ⅰ部分”，1支飞镖，击中第Ⅱ部分”，2支飞镖，击中第Ⅱ部分”，“第Ⅰ部分被击中2次或第Ⅱ部分被击中2次”，由互斥事件和相互独立事件的概率公式有：（Ⅱ），，∴的分布列为：故的数学期望为19. 如图，在等腰梯形中，，上底，下底现将该梯折起，形成四棱锥（1（2.【答案】（Ⅰ）见解析【解析】试题分析：（1，，，，，，从而（2）以，建立空间直角坐标系，由（1）从而求出，，，.试题解析：（1，，，∵，，，（2，建立如图的空间直角坐标系，，在（1）中，，的横坐标为，的一个法向量为，，得，，∴平面的一个法向量为∵直线与平面所成角为锐角或直角，∴与平面．点睛：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，空间向量在立体几何中的应用之线面角的求法.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角20. ，（1（2.【答案】（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）根据题设条件可求出线段（2的距离，即可求出造新函数，即可求出最大值.试题解析：（1）M不在抛物线C∴的斜率为∴，，得，，∴点的坐标（2得，∴1，又点到直线的距离，，，舍去)单调递增，，∴，，的面积的最大值为点睛：圆锥曲线中的最值与范围问题是高考中的常考题型，常与不等式、函数等知识结合在一起，涉及的知识点较多、难度较大．解题时可先建立关于某个参数的目标函数，再求这个函数的最值，常用的方法有以下几个：①利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；②利用基本不等式求出参数的取值范围；③利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21.（1时，讨论（2.【答案】（Ⅰ）见解析【解析】试题分析；（1）（2）的单调性，然后求出.试题解析：（1，．（2∵，①；②，（ⅰ），；（ⅱ），，；（ⅲ），，综上所述点睛:这个题目考查了导数在研究函数的单调性中的应用，在研究函数最值的应用；对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程中，已知点，分别交曲.（1（2.【答案】【解析】试题分析：（1）利用方程的互化方法求出曲线和直线的直角坐标方程；（2）写出直线的参数方程，代入到曲线的方程，结合韦达定理及成等比数列，即可求出的值.试题解析：（1得曲线E的直角坐标方程为（2，(为参数)，23. 选修4-5：不等式选讲（1（2对定义域内的所有.【答案】【解析】试题分析：（1）根据函数的单调性及（2）根据函数.试题解析：（1），，不成立，，，，，（2），对定义域内的所有，。