初中数学竞赛余数定理和综合除法

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初一数学竞赛系列讲座(6)整式的恒等变形

初一数学竞赛系列讲座(6)整式的恒等变形一、知识要点1、整式的恒等变形把一个整式通过运算变换成另一个与它恒等的整式叫做整式的恒等变形2、整式的四则运算整式的四则运算是指整式的加、减、乘、除，熟练掌握整式的四则运算，善于将一个整式变换成另一个与它恒等的整式，可以解决许多复杂的代数问题，是进一步学习数学的基础。

3、乘法公式乘法公式是进行整式恒等变形的重要工具，最常用的乘法公式有以下几条： ① (a+b) (a-b)=a 2-b 2② (a±b)2=a 2±2ab+b 2③ (a+b) (a 2-ab+b 2)=a 3+b 3④ (a-b) (a 2+ab+b 2)=a 3-b 3⑤ (a+b+c)2= a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca⑥ (a+b+c) (a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)= a 3+b 3+c 3-3abc⑦ (a±b)3= a 3±3a 2b+3a b 2±b 34、整式的整除如果一个整式除以另一个整式的余式为零，就说这个整式能被另一个整式整除，也可说除式能整除被除式。

5、余数定理多项式()x f 除以 (x-a) 所得的余数等于()a f 。

特别地()a f =0时，多项式()x f 能被(x-a) 整除二、例题精讲例1 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析要得最小非负数，必须通过合理的添符号来产生尽可能多的“0”解因1+2+3+…+1998=()19999992199811998⨯=+⨯是一个奇数，又在1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并不改变其代数和的奇偶数，故所得最小非负数不会小于1。

先考虑四个连续的自然数n 、n+1、n+2、n+3之间如何添符号，使其代数和最小。

很明显 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0所以我们将1，2，3，…，1998中每相邻四个分成一组，再按上述方法添符号，即(-1+2)+(3-4-5+6)+ (7-8-9+10)+…+ (1995-1996-1997+1998)= -1+2=1故所求最小的非负数是1。

初中数学竞赛余数定理和综合除法

第 1 讲余数定理和综合除法知识总结概括一．除法定理：f ( x) 和g (x) 是两个一元多项式，且g (x) 0 ，那么恰巧有两个多项式q( x) 及 r (x) ，使f (x) q (x)g (x) r (x) ，此中 r ( x)0 ，或许 r (x) 比 g ( x) 次数小。

这里 f ( x) 称为被除式，g ( x) 称为除式，q( x) 称为商式，r ( x) 称为余式 .二．余数定理：对于一元n 次多项式 f (x) a n x n a n 1 x n 1 L a1x a0，用一元多项式x c 去除 f (x) ，那么余式是一个数。

设这时商为多项式g ( x) ，那么有f (x) ( x c)g ( x) f (c)也就是说，x c 去除 f (x) 时，所得的余数是 f (c) .三．试根法的依照〔因式定理〕：假如 f (c) 0 ，那么 x c 是 f (x) 的一个因式 . 反过来，假如 x c 是 f ( x) 的一个因式，那么 f ( c)0 。

四．试根法的应用：p 是 f ( x)的根〔p、q是假定 f (x) a n x n a n 1 x n 1 L a1x a0是整系数多项式，又设有理数cq互质的两个整数〕，那么 p 是常数项a0的因数， q 是首项系数a n的因数 .1 ，即 f (x)是首1多项式，这个时候q 1，有理根都是整数根。

特其他，假如a n典型例题一 . 多项式的除法【例 1】 f ( x)4x3 5 x2 2 x 3 ， g (x)x22x 1 ，试求 f ( x) 除以 g (x) 所得的商式 Q( x) 和余式R(x) .【例 2】 f ( x) 3x5 4 x4 2 x335x228x 18 ， g ( x) x32x2x 13 ，试求 f (x) 除以 g( x) 所得的商式 Q( x) 和余式 R( x) .【例 3】 f ( x)5x47 x3 10x2 2 x 3 , g (x) x2 1 ，试求 f ( x) 除以 g (x) 所得的商式 Q( x) 和余式R(x) .二 . 综合除法【例 4】用综合除法计算：( x4 5 x33x2x 1) ( x1) .【例 5】用综合除法求 f (x)除以g( x) 所得的商式Q(x) 和余数R .〔 1〕 f ( x) 2 x25x 3 ， g ( x)x 3；〔 2〕 f ( x)3x32x2 1 ， g (x) x1.3【例 6】用综合除法计算：(6 x4 5 x33x2x 4) (2 x1) .【例 7】先用综合除法求出 f (x) 除以 g (x) 所得的商式和余式，不再作除法，写出 f (x) 除以 h( x) 的商式和余式 . f (x) 2x34x2x 3 ， g( x)x 3 .〔 1〕 h( x) 2( x13) .3) ；〔 2〕h( x)( x2三 . 余数定理和多项式理论【例 8】 f (x) x42x3 4 x 1 ， g ( x) x 2 ，求余数R的值 .【例 9】 f (x) 2 x33x28x 14 除以2x 3 的余数 R 是多少？【例 10】〔 1〕求x1除 f ( x) 7 x54x4 6 x2 5 所得的余数；〔 2〕求2x 2除f (x) 7 x54x4 6 x25所得的余数 .32【例 11】多项式 ax bx47x 15能够被 3x1和 2x 3 整除，求a， b .【例 12】试确立 a 、b的值，使多项式 f ( x) 2 x43x3ax2 5 x b 被 ( x 1)( x 2) 整除 .【例 13】 f ( x) x4ax32x2bx 2 能被 x2x 2 整除，求a b 的值.【例 14】证明：当 a ，b是不相等的常数时，假定对于x 的整式 f (x) 能被x a ，x b 整除，那么f ( x)也能被积( x a)( x b) 整除 .【例 15】多项式 f ( x) 除以x1、 x 2 所得的余数分别为 3 和 5，求 f ( x) 除以 ( x 1)(x 2) 所得的余式 .【例 16】对于假定 x 的三次多项式 f ( x) 除以 x2 1 时，余式是2x 1；除以x2 4 时，余式是3x 4 .求这个三次多项式.【例 17】对于 x 的三次多项式 f ( x) 除以 x 2时，余式是2x 5 ；除以x2时，余式是3x 4 ，14求这个三项式 .【例 18】 f ( x) x3 2 x23x 2 除以整数系数多项式g (x) 所得的商式及余式均为h(x) ，试求 g ( x)和 h(x) ，此中 h (x) 不是常数 .【例 19】 x3kx2 3 除以x 3 ，其他数比x 1除所得的余数少 2 ，求 k 的值.432bx c 能被 (x 3【例 20】假定多项式 x x ax1) 整除，求 a ，b， c 的值 .【例 21】假如当 x取0，1，2时，多项式分别取值0 ， 0 ， 1，试确立一个二次多项式 f ( x) .四 . 因式分解〔试根法〕【例 22】分解因式： x3 5 x 4 .32【例 23】分解因式：x6x 11x 6.432【例 24】分解因式：x2x 9x 2 x 8.【例 25】分解因式： 9x4 3 x37 x2 3 x 2 .【例 26】分解因式： x6 2 x53x4 4 x33x22x1【例 27】分解因式： x39 x2 y 26xy 224y3【例 28】分解因式： x35x211x 1 33【例 29】分解因式： x3(a b c) x2(ab bc ca) x abc 【例 30】分解因式： (a 1)x3ax2( a 3) x (a2)【例 31】分解因式： (l m) x3(3l 2m n) x2(2l m 3n)x 2( m n)思想飞腾【例 32】假定x23x 1 0 ，求 x35x25x 18 的值 .【例 33】假定 f( x)x2mx n 〔 m、 n都是整数〕既是多项式x4 6 x225的因子，又是多项式42的因子，求 f (x) . 3x 4x28x 5【例 34】求证：假定a b ，那么多项式 f (x) 除以 ( x a)( x b) 所得的余式是 f (a)〕af (b)〕f (b x bf (a .a b a b【例 35】 f (x) 除以x1， x 2 ， x 3 多得的余数分别为 1 ， 2 ， 3 ，求f (x)除以( x1)(x 2)( x3) 多得的余式 .【例 36】求证： f ( x) x9999x8888x7777L x2222x1111 1 能被 g (x) x9x8x7L x2x 1整除 .作业1.分解因式：〔 1〕 a34a 2a 6 .433a 2〔 2〕 a3a11a 6 .〔 3〕 x4x3 y7 x2 y213xy3 6 y4.2. 假定 f (x) 2 x33x2ax b 除以x1所得的余数为7，除以x1所得的余数为5，试求a、b的值 .3. 多项式 f (x) 除以x1、 x 2 和 x 3 所得的余数分别为1、2、3，试求 f ( x) 除以 ( x 1)( x 2)( x3)所得的余式 .4. 假定x55qx 4r〔 x2)2整除，求 q 与r的值.能被3 25.分解因式： x 4x 5 .6. 分解因式：x42x33x2 4 x 4 .7. 分解因式： 2 x4x37 x24x 4 .8. 分解因式：54322 x7 x12x14x 10x3 .9. 分解因式：( x 2 y)x3( y2x) y3 .10.分解因式： 6 x35x2 y 3xy2 2 y3 .11.分解因式：8 x34(a b c)x22( ab bc ca) x abc .12.分解因式：( a 1)x3ax 2( a 3) x (a2) .13.多项式 f ( x) x53x48x311x k 能被x 2 整除，求 k 的值.14.求证：a b ， b c ，c a 都是 a2 (b c) b2 (c a) c2 (a b ) 的因式，并分解因式.15.一个整系数 3 次多项式 f (x) ，有三个不一样的整数a1 , a2 , a3，使f ( a1 ) f ( a2 ) f (a3 ) 1.又设 b 为不一样于a1，a2，a3的随意整数，试证明：f ( b) 1 .16.a、b、c、d是正整数，那么x4a x4b 1x4c 2x4 d 3能被 x3x2x 1 整除 .。

七年级数学竞赛第4讲带余除法

现有某种变换，将明文字母对应的自然数 x 变换为密文字母相应的自然数 x’：x→x’，x’为(3x +m)被 26
除所得余数与 1 之和 (1≤x≤26，1≤m≤26).
已知运用此变换，明文 H 译为密文 T，则密文 QI(“启”的汉语拼音)的明文是字母
。
(深圳市“启智杯”数学思维能力竞赛题)
解题思路：阅读理解，先求出 m 的值，了解明文变换为密文的规则。
从盒中任取一些小球，把每一个小球都变成 7 个小球后放回盒中；如此进行，到某一时刻，魔术师停止取球
变魔术时，盒中球的总数可能是（）。
A．1990 个
B．1991 个
C．1992 个
D．1993 个
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
13．1898 年 6 月 9 日英国强迫清政府签约，将香港土地租借给英国 99 年。1997 年 7 月 1 日香港回归祖国，
有一列数 1，1，2，3，5，8，13，21，…，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，这就是
著名的斐波那契数列，则这列数中的第 2014 个数被 7 除的余数为
。
(北京市竞赛题)
8．除以 8 和 9 都余 1 的所有三位数的和是（
A．6492
B．6565
C．7501
限(“五羊杯”竞赛题)有人
；若将此数保留 2010 个有效数字，则所得
新数的各位数字中 1 的个数是
。
（2）已知
1 7
=
0.a1a2a3
an
(其中 a1，a2，a3，…都是介于 0 和 9 之间的整数)，若小数点后连续 n
个数字之和 a1+a1+a3+…+an=2013，则 an=

综合除法、余数定理

综合除法、余数定理内容讲解一般地，多项式f（x）除以一次多项式（x-a）•的商式系数和余数有如下规律：商式的最高次项系数就是f（x）（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以b后再加上f（x）的第二项系数就得商的次商为次项系数，如此类推最后得余数，这种方法叫做综合除法．余数定理：多项式f（x）除以（x-a）所得的余数等于f（a）．如果f（x）能被（x-a）•整除，也就是（x-a）是f（x）的因式．反之，如果（x-a）是f（x）的因式，那么f（x）•能被（x-a）整除．因此，由余数定理，容易得出：因式定理：如果f（a）=0，那么（x-a）是f（x）的因式，反之，如果（x-a）是f（x）•的因式，那么f（a）=0．例题剖析例1 用综合除法求（3x3+5x2-2）除以（x+3）的商式和余数．分析：整式的除法我们可以用竖式法和分离系数法，这里我们主要是熟悉综合除法．解：把除式变成（x-a）形为x-（-3）．如右式所示：所以商式＝3x2-4x+12．余数＝－38．评注：在用综合除法时，①被除式和除式均按降幂排列，其缺项要用“0•”补项．②除式一定要变成（x-a）的形式．③若f（x）的除式为px-q形（p≠0），•可先变除式为：p（x- ）。

20.第十三讲整式除法－综合除法－余数定理

第十三讲整式除法－综合除法－余数定理姓名：班别：使用日期：自主评价：一基础训练1、填空：（1）当x 时，式子0(2)1x +=；（2）1m n m n x x ++-÷= ；（3）4365______a b a b ⨯=；（4）1321()_____n n n x y xy ++÷=；（5）523353[()]()y y y -÷-⋅= ；（6）若332232()()m n x y x y x y ÷=，则m = ，n = .2、条件求值：（1）已知2m a =，6n a =. 则22m n a -= ；（2）已知103m =，102n =. 则2100m n -= ；（3）已知23m a =，9n b =. 则m = ，n = ；（4）若1232252716(23)288m m n n -++-⨯÷⨯=. 则m = ，n = .3、计算：（1）35246323(1596)(3)a x a x a x a x +-÷-= ；（2）222211(639)(3)m n m n m n m n a b a b a b a b ++++-+÷-= ；（3）2222[5(2)(2)](2)xy x y y x x y ---÷-= ；二拓展提高【例1】已知311(1)14n n ---=，求n 的值.【例2】已知多项式5432615331x x x x x -+-++除以23x 的余式为1x +，求商式.◆ 被除式＝除式×商式＋余式 ⇒ 商式＝（被除式－余式）÷除式◆ 设被除式为()f x ，除以为()g x ，商式为()q x ，余式为()r x ，则上式可以表示为： ()()()(f x g x q x r x=⨯+；当余式()r x 为常数时，有()()()f x g x q x r =⨯+ 1、当除式()g x x a =-（除式为一次式）时，显然有()()()f x x a q x r =-⨯+；当x a =时，有()f a r =；我们把这个性质叫做余数定理2、反之当()0f a =，说明()()()0f a x a q x =-=，所以()x a -是()f x 的一个因式，或者()f x 被x a -整除，我们把这个性质，叫做因式定理【例3】已知32()23f x x x ax b =-++除以1x +所得的余数为7，除以1x -的余数为5，求,a b 的值.解：由余数定理，得：(1)7f -=；(1)5f =，即237235a b a b ---+=⎧⎨-++=⎩ ，解得3,9a b =-=. 【例4】已知多项式432()3811f x x x x kx =++-+被3x +整除，求k 的值解：由因式定理，得：(3)0f -=，即432(3)3(3)8(3)(3)110k -+⨯-+⨯--⨯-+=解得，833k =-. ◆ 综合除法——多项式除以多项式【例5】计算：23(521)(12)x x x +-÷+.◆ 两个多项式相除，先将两个多项式按同一字母降幂排列（若有缺项，可用0补足）.【例6】求543(691418)(4)x x x x x ++-+÷+的商式和余式.◆ 此题可以用余数定理求余数，再求商式；但直接利用综合除法求解更方便！【例7】已知25x =-，求式子4328161x x x x -+-+的值.◆ 此题仍然可以转化为多项式除以多项式来完成！三竞赛训练1、已知除式为221x x -+，商式为221x x +-，余式为4x ，求被除式.2、已知331x x -=，求代数式4329672999x x x x -+-+的值.3、如果多项式543(3811)(2)x x x x m x ++++÷+所得余式为m -，求实数m 的值.4、已知多项式432235x x ax x b -+++既能被1x +整除，也能被2x -整除，求实数,a b 的值.5、已知多项式422x mx nx --+被(1)(2)x x ++整除，求,m n 的值.6、已知多项式()f x 除以(1),(2),(3)x x x ---所得的余数分别为1,2,3.求这个多项式()f x 除以(1)(2)(3)x x x ---所得的余数.。

初中数学竞赛余数及同余

余数及同余一、带余除法的定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q…r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：（1）当时：我们称a可以被b整除，记作b|a，q称为a除以b的商或完全商（2）当时：我们称a不可以被b整除，记作，q称为a除以b的商或不完全商二、同余的概念两个整数被同一个大于1的整数m除，所得的余数相同，就说这两个整数对于除数m来说是同余的.也可以换句话来说这个概念，如果两个整数的差能被大于1的整数m整除，那么这两个整数对于除数m来说是同余的.同余的概念和符号都是德国伟大数学家高斯引进的.一般地，两个整数a和b，除以大于1的正整数m，如果所得的余数相同，就说a、b对于模m同余，记作a≡b（mod m）.由于一个整数被m除的余数只能是0、1、2、3、…、m-1这m个数，所以全体整数可按被m除的余数分类，凡是余数相同的归为一类，全体整数就被划分成了m类，同一类中的任何两数被m除的余数都相等，即同一类中任何两数的差都能被m整除，不同类的任何两数被m除的余数都不相等.三、同余的性质1.如果a≡b（mod m），那么m|（a-b）；如果整数a和b对于模m是同余的，那么a与b的差能被m整除.2.a≡a（mod m），即任何整数都与自身同余.3.若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）.4.若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）.5.若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d （mod m），a－c≡b－d （mod m），a×c≡b×d （mod m）.6.若a≡b（mod m），则an≡bn（mod m）。

（其中n为正整数）.例1.用一个两位数除708，余数为43，求这个两位数.[答疑编号5721170101]【答案】95【解答】根据被除数-余数=商×除数，可知，所求两位数一定是707-43=665的大于43的约数，所以所求的两位数是95.例2.数713、1103、830、947被一个数除所得余数相同（余数不为0），求这个除数.[答疑编号5721170102]【答案】39，13或3.【解答】1103－713=390=3×13×2×5，947－830=117=3×13×3，1103－947=156=2×13×3×2，除数为39，13或3.例3.从1、2、…100中最多能选出多少个数，使选出的数中每两个的和都不能被3整除？[答疑编号5721170103]【答案】35【解答】1、2、…100中，除以3余1的数共34个，即1、4、7、10、…、100.除以3余2的数共33个，选出的数中，如果有除以3余1的，就一定不能有除以3余2的；如果有除以3余2的，也就不能有除以3余1的。

综合除法

第五节综合除法、余数定理内容讲解一般地，多项式f（x）除以一次多项式（x-a）•的商式系数和余数有如下规律：商式的最高次项系数就是f（x）（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以b后再加上f（x）的第二项系数就得商的次商为次项系数，如此类推最后得余数，这种方法叫做综合除法．余数定理：多项式f（x）除以（x-a）所得的余数等于f（a）．如果f（x）能被（x-a）•整除，也就是（x-a）是f（x）的因式．反之，如果（x-a）是f（x）的因式，那么f（x）•能被（x-a）整除．因此，由余数定理，容易得出：因式定理：如果f（a）=0，那么（x-a）是f（x）的因式，反之，如果（x-a）是f（x）•的因式，那么f（a）=0．例题剖析例1 用综合除法求（3x3+5x2-2）除以（x+3）的商式和余数．分析：整式的除法我们可以用竖式法和分离系数法，这里我们主要是熟悉综合除法．解：把除式变成（x-a）形为x-（-3）．如右式所示：所以商式＝3x2-4x+12．余数＝－38．评注：在用综合除法时，①被除式和除式均按降幂排列，其缺项要用"0•"补项．②除式一定要变成（x-a）的形式．③若f（x）的除式为px-q形（p≠0），•可先变除式为：p（x- ）。

再用综合除法求出除以（x- ）的商式Q′（x）和余数k′，则f（•x）•÷（px-q）的商式为Q（x）= Q′（x），余数R=R′．例2 分解因式x4+2x3-9x2-2x+8．分析：原式可能有x±1，x±2，x±4，x±8因式，由于f（1）=0，f（-1）=0，•所以由因式定理，原多项式含有（x-1）（x+1）这两个因式，然后用综合除法即可求解．解：∵f（1）=0，f（-1）=0，∴原式中含有（x-1）和（x+1）这两个因式．•由综合除法得：原式＝（x-1）（x+1）（x-2）（x+4）评注：（1）如果多项式f（x）中各项系数的和等于零，那么f（x）有一次因式（x-1）；若奇次项的系数的和等于偶次项系数的和，则f（x）有一次因式（x+1），记住这个结论很有用．（2）本题用分组分解也较简单，请同学们自己求解．例3 已知x+x-6是多项式2x4+x3-ax2+6x+a+b-1的因式，求a，b的值．分析：此题如果用以前的方法求解，就显得特别的繁琐，•但用因式定理就比较简单．解：∵x2+x-6=（x+3）（x-2），又x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+bx+a+b-1的因式．∴x+3，x-2是它的两个因式．由因式定理，得f（-3）=0，f（2）=0，即∴a=16，b=3．评注：因式定理在因式分解及其他地方得到广泛的应用，必须高度重视并熟悉掌握．例4 2x+1除6x4-5x3-3x2-x+4所得的余数．分析：我们可以用竖式除法，分离系数法和综合除法求此题的余数，这里我们主要尝试余数定理求解．解：∵2x+1=2[x-（- ）]由余数定理，得：r=f（- ）=6×（- ）4-5×（- ）3-3×（- ）2-（- ）+4=4 ．评注：余数定理可以直接求多项式f（x）除以（x-a）式除以（px-q）的余数．例5 证明：（1）对任意自然数n，an-bn能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时,an-bn能被（a+b）整除；（3）当n为奇数时，an-bn被（a+b）除的余数为-2b．分析：如果我们把an-bn看成是字母a或b的多项式f（a）或f（b），问题就转化为f （a）•或f（b）被（a-b）或（b-a）整除的问题，于是可用余数定理求解．证明：把an-bn看成是字母a的多项式f（a）．（1）对任意自然数n，当a=b时，f（b）=bn-bn=0，所以f（a）=an-bn能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时，f（-b）=（-b）n-bn=0，所以an-bn能被a-（-b）=a+b整除．（3）当n为奇数时，f（-b）=（-b）n-bn=-2bn，故an-bn被（a+b）除的余数为-2bn．评注：正确使用余数定理，可以快捷地解答一些复杂的问题，希望读者仔细体会．巩固练习1．用综合除法求（2x3+x-7）÷（2x+1）的商式、余数．2．已知x= ，求f（x）=3x3-2x2+5的值．3．求证2x+3是2x4-5x3-10x2+15x+18的因式．4．利用因式分定理分解因式x3+y3+z3-3xyz．5．已知f（x）=ax3+bx2-47x-15可被3x+1和2x-3整除，求a，b．答案:1．商式=x2- x+ 余数=- ．2．用综合除法求f（x）÷（x- ）的余数得f（）= ．3．令f（x）=2x4-5x3-10x2+15x+18．∵f（- ）=2（- ）4-5（- ）3-10（- ）2+15（- ）+18=0，∴2x+3是f（x）的因式．4．令f（x）=x3+y3+z3-3xyz，当x=-（y+z）时，f（x）=f（-（x+y））=-（y+z）3+y3+z3+3（y+z）yz=-（y+z）3+（y+z）3=0，由因式定理知原式有因式x+y+z，又因为原式是关于x，y，z•的三次齐次式，故令原式=（x+y+z）[a（x2+y2+z2）+b（xy+yz+zx）]，比较两边x3的系数，得a=1，取x=1，y=1，z=1，得0=3×（3+3b），∴b=-1，故原式=（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz-zx）．5．由因式定理有f（- ）=0和f（）=0，即有解此方程，得：a=24，b=2．。

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第1讲余数定理和综合除法
知识总结归纳
一．除法定理：
()f x 和()g x 是两个一元多项式，且()0g x ≠，则恰好有两个多项式()q x 及()r x ，使
()()()()f x q x g x r x =⋅+，其中()0r x =，或者()r x 比()g x 次数小。

这里()f x 称为被除式，()g x 称为除式，()q x 称为商式，()r x 称为余式.
二．余数定理：
对于一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++L ，用一元多项式x c -去除()f x ，那么余式是一个数。

设这时商为多项式()g x ，则有
()()()()f x x c g x f c =-+
也就是说，x c -去除()f x 时，所得的余数是()f c .
三．试根法的依据（因式定理）：
如果()0f c =，那么x c -是()f x 的一个因式.反过来，如果x c -是()f x 的一个因式，那么()0f c =。

四．试根法的应用：
假定1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++L 是整系数多项式，又设有理数p c q
=是()f x 的根（p q 、是互质的两个整数），则p 是常数项0a 的因数，q 是首项系数n a 的因数.
特别的，如果1n a =，即()f x 是首1多项式，这个时候1q =，有理根都是整数根。

典型例题
一. 多项式的除法
【例1】已知32()4523f x x x x =+--，2()21g x x x =++，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式
()R x .
的商式()
R x.
Q x和余式()
【例3】已知432
g x x
()1
=-，试求()
f x x x x x
=-+--,2
()571023
Q x和余式
g x所得的商式()
f x除以()
R x.
()
二.综合除法
【例4】用综合除法计算：432
-----÷+.
(531)(1)
x x x x x
【例5】用综合除法求()
Q x和余数R.
f x除以()
g x所得的商式()
（2）32()321f x x x =-+，1()3
g x x =+.
【例6】用综合除法计算：432(6534)(21)x x x x x ---+÷+.
【例7】先用综合除法求出()f x 除以()g x 所得的商式和余式，不再作除法，写出()f x 除以()h x 的商式
和余式.32()243f x x x x =-+-，()3g x x =-.
（1）()2(3)h x x =-；（2）1()(3)2
h x x =-.
三. 余数定理和多项式理论
【例8】 43()241f x x x x =+++，()2g x x =+，求余数R 的值.
【例9】 32()23814f x x x x =-+-除以23x -的余数R 是多少？
【例10】（1）求1x -除542()7465f x x x x =--+所得的余数；
（2）求22x -除542()7465f x x x x =--+所得的余数.
【例11】多项式324715ax bx x +--可以被31x +和23x -整除，求a ，b .
【例12】试确定a 、b 的值，使多项式432()235f x x x ax x b =-+++被(1)(2)x x --整除.
【例13】已知432()22f x x ax x bx =+++-能被22x x --整除，求a b -的值.
【例14】证明：当a ，b 是不相等的常数时，若关于x 的整式()f x 能被x a -，x b -整除，则()f x 也能
被积()()x a x b --整除.
【例15】多项式()f x 除以1x -、2x -所得的余数分别为3和5，求()f x 除以(1)(2)x x --所得的
余式.
【例16】已知关于若x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是21x -；除以24x -时，余式是
34x --.求这个三次多项式.
【例17】已知关于x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是25x -；除以24x -时，余式是34x -+，
求这个三项式.
【例18】已知32()232f x x x x =+++除以整数系数多项式()g x 所得的商式及余式均为()h x ，试求()
g x 和()h x ，其中()h x 不是常数.
【例19】已知323x kx ++除以3x +，其余数比1x +除所得的余数少2，求k 的值.
【例20】若多项式432x x ax bx c -+++能被3(1)x -整除，求a ，b ，c 的值.
【例21】如果当x 取0，1，2时，多项式分别取值0，0，1，试确定一个二次多项式()f x .
四.因式分解（试根法）
【例22】分解因式：354
-+.
x x
【例23】分解因式：32
6116
+++.
x x x
【例24】分解因式：432
+--+.
2928
x x x x
【例25】分解因式：432
x x x x
-+--.
93732
【例26】分解因式：65432
++++++
234321
x x x x x x
【例27】分解因式：322392624x x y xy y -+-
【例28】分解因式：32511133
x x x ---
【例29】分解因式：32()()x a b c x ab bc ca x abc -+++++-
【例30】分解因式：32(1)(3)(2)a x ax a x a ----+-
【例31】分解因式：32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+
思维飞跃
【例32】若2310x x +-=，求325518x x x +++的值.
【例33】若2()f x x mx n =++（m n 、都是整数）既是多项式42625x x ++的因子，又是多项式
4234285x x x +++的因子，求()f x .
【例34】求证：若a b ≠，则多项式()f x 除以()()x a x b --所得的余式是()(()(f a f b af b bf a x a b a b
--+--））.
【例35】 ()f x 除以1x -，2x -，3x -多得的余数分别为1，2，3，求()f x 除以(1)(2)(3)x x x ---多
得的余式.
【例36】求证：99998888777722221111()1f x x x x x x =++++++L 能被9872()1g x x x x x x =++++++L 整除.
作业
1. 分解因式：
（1）3246a a a -++.
（2）43233116a a a a +---.
（3）4322347136x x y x y xy y --+-.
2. 若32()23f x x x ax b =-++除以1x +所得的余数为7，除以1x -所得的余数为5，试求a b 、的值.
3. 多项式()f x 除以1x -、2x -和3x -所得的余数分别为1、2、3，试求()f x 除以(1)(2)(3)
x x x ---所得的余式.
4. 若554x qx r -+能被
22)x -（整除，求q 与r 的值.
5. 分解因式：3245x x +-.
6. 分解因式：4322344x x x x +--+.
7. 分解因式：4322744x x x x +++-.
8. 分解因式：5432271214103x x x x x +++++.
9. 分解因式：33(2)(2)x y x y x y ---.
10. 分解因式：32236532x x y xy y --+.
11. 分解因式：3284()2()x a b c x ab bc ca x abc +++++++.
12. 分解因式：32(1)(3)(2)a x ax a x a ----+-.
13. 已知多项式543()3811f x x x x x k =++++能被2x +整除，求k 的值.
14. 求证：a b -，b c -，c a -都是222()()()a b c b c a c a b -+-+-的因式，并分解因式.
15. 一个整系数3次多项式()f x ，有三个不同的整数123,,a a a ，使
123()()()1f a f a f a ===.
又设b 为不同于123a a a ，
，的任意整数，试证明：()1f b ≠.
16. 已知a 、b 、c 、d 是正整数，则4414243a b c d x x x x ++++++能被321x x x +++整除.。

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