27知识讲解_函数的极值与最值_基础
函数的极值与最值问题
函数的极值与最值问题函数的极值与最值问题是数学分析中的重要内容。
在实际问题中，我们常常需要求解函数的极值或最值，来确定某一变量的最佳取值或最大最小值。
本文将介绍函数的极值与最值问题的定义、求解方法以及实际应用。
一、函数的极值与最值的定义在数学中，给定一个函数f(x)，若存在一个区间I，使得对于该区间内的任意x值，f(x)的值都比f(x)在I的其它点处的值小（大），则称f(x)在I内存在极大（小）值，同时称该点为函数的极值点。
而函数在区间I内最大（小）的极值点则称为函数的最大（小）值。
二、求解函数的极值与最值的方法1. 寻找驻点首先，我们需要寻找函数的驻点。
驻点即为函数在该点的导数为零的点，也就是函数的极值点可能位于驻点处。
2. 列出极值点及临界点的值将驻点的值以及函数的定义域内的临界点的值列出，并计算出相应的函数值。
3. 比较并确定极值点及最值比较驻点和临界点的函数值，找出函数的极大值和极小值，即为函数的极值点。
同样地，比较所有极值点的函数值，找出函数的最大值和最小值。
4. 确定函数的定义域在比较极值点和临界点的函数值时，需要注意函数定义域的边界条件。
确保所比较的点处于函数的定义域内。
三、函数极值与最值问题的应用函数的极值与最值问题在实践中具有广泛的应用。
以经济学为例，函数的极值与最值问题常用于优化问题的求解。
例如，确定成本最低的生产方案或利润最大化的销售策略等。
在工程学中，函数的极值与最值问题可应用于优化设计。
比如求解最节能的物流路径、最优化的结构参数以及最大功率输出的电子电路布局等。
此外，函数的极值与最值问题还可用于求解几何问题中的最优解。
在数学建模、各类优化理论以及应用数学的研究中都有广泛的应用。
结论函数的极值与最值问题是数学分析中一个重要且常见的问题。
通过寻找函数的极值点和最值点，可以确定变量的最佳取值或者确定函数在某个区间内的最大最小值。
本文介绍了函数极值与最值问题的定义、求解方法以及应用，并指出了其在实际问题中的重要性。
函数的极值和最值
函数的极值和最值函数的极值和最值是数学中重要的概念，可以帮助我们研究函数的特性和解决实际问题。
本文将介绍函数的极值和最值的定义、求解方法以及应用。
一、函数的极值函数的极值即函数在某个区间内的最大值或最小值。
极值分为两种情况：局部极值和全局极值。
1. 局部极值局部极值是指函数在某个开区间内的最值。
设函数f(x)在点x=a处连续，如果在a的某个邻域内，对于任意的x，有f(x)≤f(a)（或f(x)≥f(a)），则称f(a)是f(x)在该邻域内的局部最小值（或局部最大值）。
其中，f(a)是该局部极值的函数值，a是极值点。
2. 全局极值全局极值是指函数在整个定义域上的最值。
设函数f(x)在[a, b]上连续，如果对于任意的x∈[a, b]，有f(x)≤f(a)（或f(x)≥f(a)），则称f(a)是f(x)在[a, b]上的全局最小值（或全局最大值）。
其中，f(a)是该全局极值的函数值，a是极值点。
二、函数极值的求解方法根据函数的极值定义，我们可以通过以下方法求解函数的极值：1. 导数法导数法是一种常用的求解函数极值的方法。
首先，我们计算函数f(x)的导数f'(x)，然后找出导数为零或不存在的点。
这些点就是可能的极值点。
接下来，对每个可能的极值点进行二阶导数检查，确认是否为极值。
当二阶导数大于0时，该点为局部最小值；当二阶导数小于0时，该点为局部最大值。
2. 区间法区间法适用于离散函数或无法通过导数法求解的情况。
首先，我们将定义域分为若干个区间，并计算每个区间的函数值。
然后，通过比较函数值得出极值。
例如，当函数值最大时，该点为局部最大值；当函数值最小时，该点为局部最小值。
三、函数极值的应用函数的极值在数学和实际问题中具有广泛的应用。
以下是几个典型的应用场景：1. 优化问题函数的极值在优化问题中起到重要作用。
例如，在生产过程中，我们希望找到产量最大或成本最低的方式，这就需要求解函数的最值。
2. 经济学经济学中的需求、供给、收益等问题通常涉及函数的极值。
高中数学《函数的最值》基础知识与讲义专题
高中数学《函数的最值》基础知识与讲义专题一、基础知识：1、函数的最大值与最小值：（1）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≤，那么称0x x =为函数()f x 的一个最大值点，()0f x 称为函数()f x 的最大值（2）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≥，那么称0x x =为函数()f x 的一个最小值点，()0f x 称为函数()f x 的最小值 （3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。
例如：()[)ln ,1,4f x x x =∈，由单调性可得()f x 有最小值()10f =，但由于x 取不到4，所以尽管函数值无限接近于ln 4,但就是达不到。
()f x 没有最大值。
（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如()sin f x x =，其最大值点为()22x k k Z ππ=+∈，有无穷多个。
2．“最值”与“极值”的区别和联系右图为一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3、结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点5、利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础7、在比较的过程中也可简化步骤：（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点 （2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点 8、最值点的作用 （1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如：()ln 1f x x x =−+，可通过导数求出()()min 10f x f ==，由此可得到对于任意的0x >，均有()()min 0f x f x ≥=，即不等式ln 1x x ≤− 二、典型例题： 例1：求函数()xf x xe−=的最值思路：首先判定定义域为R ,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值 解：()()'1x fx x e −=−，令()'0f x >,解得：1x <()f x ∴的单调区间为：()()max 1f x f e∴==，无最小值 小炼有话说：函数()xf x xe−=先增再减，其最大值即为它的极大值点，我们可以将这种先增再减，或者先减再增的函数成为“单峰函数”，在单峰函数中，极值点即为函数的某个最值点。
函数的极值与最值专题(基础)
函数的极值与最值专题【复习指导】 本讲复习时，应注重导数在研究函数极值与最值中的工具性作用，会将一些实际问题抽象为数学模型，从而用导数去解决．复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用．基础梳理1．利用函数的最极值证明不等式及比较大小⑴．不等式的证明：①．证明()()f x g x ≥(()()f x g x >)，即证明()()()h x f x g x =-的最小值不小于(大于)0；②．证明()()f x g x ≤(()()f x g x <)，即证明()()()h x f x g x =-的最大值不大于(小于)0；⑵．比较大小：通过考察两个代数式的差的最值来比较两个代数式的大小；2．恒成立及存在性问题1．恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： ⑴．x D ∀∈，()f x c >；⑵．x D ∀∈，()()f x g x >；⑶．1x ∀，2x D ∈，12|()()|f x f x c -≤；⑷．1x ∀，2x D ∈，1212|()()|||f x f x a x x -≤-．2．不等式恒成立问题的处理方法⑴．转换求函数的最值①若不等式()A f x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上min ()()A f x f x <⇔的下界大于A ．②若不等式()B f x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上max ()()B f x f x >⇔的上界小于B ． ⑵．分离参数法①将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥(或()()g f x λ≤)恒成立的形式； ②求函数()y f x =在x D ∈上的最大(或最小)值；③解不等式max ()()g f x λ≥(或min ()()g f x λ≤)得，λ的取值范围．⑶．转换成函数图象问题①若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；②若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方．探究二：1x ∀，2x D ∈，12|()()|f x f x c -≤的研究对于形如1x ∀，2x D ∈，12|()()|f x f x c -≤的问题，因12max min |()()|()()f x f x f x f x -≤-，故原命题等价为max min ()()f x f x c -≤． 探究三：1x ∀，2x D ∈，1212|()()|||f x f x a x x -≤-的研究形如1x ∀，2x D ∈，1212|()()|||f x f x a x x -≤-这样的问题，首先需要根据函数()y f x =的单调性去掉1212|()()|||f x f x a x x -≤-中的绝对值符号，再构造函数()()g x f x ax =-，从而将问题转化为新函数()y g x =的单调性．3．利用导数讨论方程解的问题利用导数讨论方程解的问题，第一种方法可通过讨论函数的最极值来讨论，第二种方法可结合函数的图像来讨论．两个注意三个防范双基自测南京市四校2012届高三12月月考1．已知1ln x a x x -≤+对于1[,2]2x ∈恒成立，则a 的最大值为________． 【解】设1()ln x f x x x -=+，则'21()x f x x -=，当1[,1]2x ∈时，'()0f x <，故函数()y f x =在1[,1]2上单调递减；当[1,2]x ∈时，'()0f x >，故函数()y f x =在[1,2]上单调递增，故min ()(1)0f x f ==，故0a ≤，即a 的最大值为0．2．已知3()f x x =，22()9a g x x x =-+-，若存在0[1,](0)3a x a ∈->，使得00()()f x g x <，则实数a 的取值范围是．3(0,2- 3．已知函数3111,[0,],362()21,(,1]12x x f x x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪+⎩，函数()sin 226g x a x a π=-+，其中0a >．若存在1x ，2[0,1]x ∈，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是 ．14[,]234．已知函数|1|1()()2x f x -=，2()22,[1,3]g x x ax x =-+∈，对于m R ∀∈，均能在区间[1,3]内找到两个不同的n ，使()()f m g n =，则实数a 的值是 ．2盐城中学2012届高三年级第二次模拟考试5．设函数()sin x f x e x =+，()3x g x =，若存在1x ，2[0,)x ∈+∞使得12()()f x g x =成立，则21x x -的最小值是 ．3．考点三 函数的最极值的应用题型⑴．证明不等式【例1】[10全国II 理]设函数1()1x f x e =-．证明：当1x >-时，()1x f x x ≥+． 【解】当1x >-时，()1x f x x ≥+当且仅当1x e x ≥+．令()1x g x e x =--，则'()1x g x e =-．当0x ≥时，'()0g x ≥，()g x 在[0,)+∞上是增函数；当0x ≤时，'()0g x ≤，()g x 在(,0]-∞上是减函数．于是()g x 在0x =处取得最小值，因而当x R ∈时，()(0)g x g ≥，即1x e x ≥+．故当x ＞-1时，()1x f x x ≥+． 题型⑵．比较大小【例2】已知函数()ln ,1a f x x a R x =+∈+． ⑴．当29=a 时，如果函数k x f x g -=)()(仅有一个零点，求实数k 的取值范围；⑵．当2=a 时，试比较)(x f 与1的大小．【解】⑴．当29=a 时，9()l n 2(1)f x x x =++，定义域是),0(+∞，2(21)(2)()2(1)x x f x x x --'=+， 令0)(='x f 得，21=x 或2=x ．当210<<x 或2>x 时，0)(>'x f ，当221<<x 时，0)(<'x f ，故函数)(x f 在)21,0(，),2(+∞上单调递增，在)2,21(上单调递减．故()f x 的极大值是2ln 3)21(-=f ，极小值是2ln 23)2(+=f ．因当0+→x 时，-∞→)(x f ； 当+∞→x 时，+∞→)(x f ，故当)(xg 仅有一个零点时，k 的取值范围是2ln 3->k 或2ln 23+<k ． ⑵．当2=a 时，2()l n 1f x x x =++，定义域为),0(+∞．令2()()11l n 1h x f x x x =-=-++，因221()0(1)x h x x x +'=>+，故()h x 在),0(+∞上是增函数． 综上所述，当1>x 时，0)1()(=>h x h ，即1)(>x f ；当10<<x 时，0)1()(=<h x h ，即1)(<x f ；1=x 时，0)1()(==h x h ，即1)(=x f ．【练习2】已知函数f (x )＝－a (x －1)＋(x ＋1)ln x 在x ＝e 处的切线在y 轴上的截距为2－e ．⑴．求a 的值；⑵．函数f (x )能否在x ＝1处取得极值？若能取得，求此极值，若不能说明理由．⑶．当1<x <2时，试比较2x －1与1ln x －1ln(2－x )大小． 【解】⑴．f′(x )＝1x ＋1－a ＋ln x ．依题设得，f (e)－(2－e)e －0＝f′(e)，即e ＋1－a (e －1)－(2－e)＝e(1＋1e ＋1－a )，解得a ＝2．⑵．不能．因f′(x )＝1x －1＋ln x ，记g (x )＝1x －1＋ln x ，则g ′(x )＝x －1x 2．①当x >1时，g ′(x )>0，故g (x )在(1，＋∞)是增函数，故g (x )> g (1)＝0，故f′(x )>0；②当0<x <1时，g ′(x )<0，故g (x )在(0，1)是减函数，故g (x )>g (1)＝0，故f′(x )>0．由①、②得，f (x )在(0，＋∞)上是增函数，故x ＝1不是函数f (x )极值点．⑶．当1<x <2时，2x －1>1ln x －1ln(2－x )．证明如下：当1<x <2时，由⑵得，f (x )在(1，2)为增函数，故f (x )>f (1)＝0．即(x ＋1)ln x >2(x －1)，故 1ln x <x +12(x －1)①，当0<x <1时，由⑵得，f (x )在(0，1)为增函数，故f (x )<f (1)＝0．即(x +1)ln x <2(x－1)，故1ln x >x +12(x －1)②．当1<x <2时，0<2－x <1，由②得，1ln(2－x )>3－x 2(1－x )，即－1ln(2－x )<3－x 2(x －1)③，①＋③得，1ln x －1ln(2－x )<2x －1．得证． 题型⑶．解决恒成立问题以及存在性问题【例3】设函数3221()(4)3f x x mx m x =-+-，R x ∈，且函数)(x f 有三个互不相同的零点0，α，β，且βα<，若对任意的[,]x αβ∈，都有)1()(f x f ≥成立，求实数m 的取值范围．【解】由函数)(x f 有三个互不相同的零点0，α，β得，44m -<<且2m ≠±，①．若42m -<<-，则0αβ<<，显然不成立；②．若22m -<<，则0αβ<<，对任意的[,]x αβ∈，都有)1()(f x f ≥成立，即函数的极小值不小于(1)f ，即21m +=，得1m =-；③．若24m <<，则0αβ<<，不成立，故1m =-．【练习3】[10新课标文]设函数2()(1)x f x x e ax =--． ⑴．若12a =，求()y f x =的单调区间；⑵．若当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围．【解】⑴．当12a =时，21()(1)2x f x x e x =--，则'()(1)(1)x f x x e =+-．当(,1)x ∈-∞-时，'()0f x >；当(1,0)x ∈-时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >．故()y f x =在(,1)-∞-和(0,)+∞上单调递增，在(1,0)-单调递减．⑵．【法一】()(1)x f x x e ax =--．令()1x g x e ax =--，则'()x g x e a =-．若1a ≤，则当(0,)x ∈+∞时，'()0g x >，则()y g x =为增函数，而(0)0g =，从而当0x ≥时，()0g x ≥，即()0f x ≥；若1a >，则当(0,ln )x a ∈时，'()0g x <，则()y g x =为减函数，而(0)0g =，从而当(0,ln )x a ∈时，()0g x <，即()0f x <．不合题意．综合得a 的取值范围为(,1]-∞．【法二】当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，则()y f x =在[0,)+∞上单调递增，故'()(1)x f x x e =+- 210ax -≥在[0,)+∞上恒成立，即(1)21x x e ax +≥+在[0,)+∞上恒成立，又'[(1)](2)x x e x +=+ 0x e >，又'[(2)](3)0x x x e x e +=+>，即(1)x x e +的导数为增函数，即(1)x x e +的切线斜率在单调递增，而(1)x x e +在0x =处的切线斜率为2，故要使得(1)21x x e ax +≥+在[0,)+∞上恒成立，则应使得22a ≤，即1a ≤．注：解决不能参数分离的问题可利用数形结合的方法来解决！【例4】[10辽宁理]已知函数2()1(1)ln f x ax a x =+++．⑴．讨论函数()y f x =的单调性；⑵．设1a <-，若对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，1212|()()|4||f x f x x x -≥-，求a 的取值范围．【解】⑴．()y f x =的定义域为(0,)+∞．2'21()ax a f x x ++=．当0a ≥时，'()0f x >，故()y f x =在(0,)+∞单调增加；当1a ≤-时，'()0f x <，故()y f x =在(0,)+∞单调减少；当10a -<<时，令'()0f x =得，x =x ∈时，'()0f x >；)x ∈+∞时，'()0f x <．故()y f x =在单调增加，在)+∞单调减少． ⑵．不妨假设12x x ≥，而1a <-，由⑴知，在(0,)+∞单调减少，从而对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，1212|()()|4||f x f x x x -≥-等价于对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，2211()4()4f x x f x x +≥+①，令()()4g x f x x =+，则'1()24a g x a x x+=++①，等价于()g x 在(0,)+∞单调减少，即1240a ax x +++≤．从而22241(21)22121x x a x x +-≤-=-++，故a 的取值范围为(,2]-∞-．【练习4】已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠，若存在1x ，2[1,1]x ∈-，使12|()()|1(f x f x e e -≥-是自然对数的底数），求实数a 的取值范围． 【解】因存在1x ，2[1,1]x ∈-，使12|()()|1f x f x e -≥-成立，而当[1,1]x ∈-时，12|()()|f x f x -≤ max min ()()f x f x -，故只要max min ()()1f x f x e -≥-即可．又x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：故()y f x =在[1,0]-上是减函数，在[0,1]上是增函数，故当[1,1]x ∈-时，()y f x =的最小值min ()(0)1f x f ==，()y f x =的最大值max ()f x 为(1)f -和(1)f 中的最大值．因(1)(1)f f --= 12ln a a a --，令1()2ln (0)g a a a a a =-->，因'21()(1)0g a a =->，故1()2l n g a a a a=--在(0,)+∞上是增函数．而(1)0g =，故当1a >时，()0g a >，即(1)(1)f f >-；当01a <<时，()0g a <，即(1)(1)f f <-．故当1a >时，(1)(0)1f f e -≥-，即ln 1a a e -≥-，ln y a a =-在(1,)+∞上是增函数，解得a e ≥；当01a <<时，(1)(0)1f f e --≥-，即1ln 1a e a +≥-，函数1ln y a a=+在(0,1)上是减函数，解得10a e <≤．综上可知，所求a 的取值范围为1(0,][,)a e e ∈+∞．【例5】已知0a >，函数222()1x x f x x -+=-，()ln g x ax x =-，若1(0,1)x ∀∈，2(0,1)x ∃∈，使得12()()f x g x =，求实数a 的取值范围．【解】要使得1(0,1)x ∀∈，2(0,1)x ∃∈，使得12()()f x g x =，则应该使得函数(),(0,1)y f x x =∈的值域是函数(),(0,1)y g x x =∈的值域的子集，易知函数(),(0,1)y f x x =∈的值域是(2,)+∞，若01a <≤，则(),(0,1)y gx x =∈在(0,1)上递减，则2a ≤，故01a <≤；若1a >，则1()2g a <，即1ln 2a +<，得1a e <<．故实数a 的取值范围是0a e <<．【练习5】已知函数2()a f x x x=+，()ln g x x x =+，其中0a >，若对任意的1x ，2[1,]x e ∈(e 为自然对数的底数)，都有12()()f x g x ≥，求实数a 的取值范围．【解】要使得对任意的1x ，2[1,]x e ∈，都有12()()f x g x ≥，则应使得min max ()()f x g x ≥，即2a e ≥+ 1(1)a e ≤≤或21()a e e a e e+≥+>或211(1)a e a +≥+<，故解得12e a e +≤≤或a e >，故实数a 的取值范围是12e a +≥． 题型⑷．判断函数零点的个数【例6】[16全国I 文]已知函数2()(1)(2)x f x a x x e =-+-错误！未找到引用源。
函数的极值与最值的判定
函数的极值与最值的判定在数学中，函数的极值和最值是研究函数性质时非常重要的概念。
判定一个函数的极值和最值可以帮助我们更好地理解函数的特点和行为。
本文将介绍如何确定函数的极值和最值，并给出相应的判定步骤和示例。
一、函数的极值函数的极值指的是函数在某一特定点上取得的最大值或最小值。
函数在极值点处的导数为零或不存在。
要判定函数的极值，我们需要依据下面的步骤进行操作：1. 求取函数的导函数。
导函数可以用来描述函数的变化趋势，它表示函数在某一点上的斜率。
2. 求取导函数的零点。
导函数的零点对应着函数的极值点，因为函数在极值点处的导数为零。
3. 分析导函数的零点的符号变化。
若导函数的零点从正变为负，那么函数在该点上取得极大值；若导函数的零点从负变为正，那么函数在该点上取得极小值。
4. 验证极值点。
通过计算函数在极值点处的取值，确定函数的极值。
二、函数的最值函数的最值是指在特定的定义域范围内，函数所能取得的最大值和最小值。
要确定函数的最值，我们需要按照以下步骤进行：1. 求取函数的定义域。
定义域是函数能够取值的范围。
2. 分析函数的变化趋势。
通过观察函数的图像、导函数的符号、一阶导数和二阶导数的正负性等信息，推测函数可能存在的最值点。
3. 确定最值点。
通过计算函数在最值点处的取值，确定最值。
三、示例分析现在我们来看一个具体的示例，以帮助更好地理解函数的极值和最值的判定过程。
假设我们有一个函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5。
我们将按照上述步骤来判定函数的极值和最值。
1. 求取导函数。
导函数f'(x) = 6x^2 - 6x - 12。
2. 求取导函数的零点。
令f'(x) = 0，解得x = -1, 3。
3. 分析导函数的符号变化。
当x < -1时，f'(x) < 0；当-1 < x < 3时，f'(x) > 0；当x > 3时，f'(x) < 0。
函数的极值和最值
函数的极值和最值函数是数学中的一种重要概念，它描述了不同变量之间的关系。
在函数中，极值和最值是十分重要的概念，它们能够帮助我们找到函数的最高点和最低点，从而更好地理解函数的性质和特点。
本文将介绍函数的极值和最值的概念及其求解方法。
一、函数的极值在数学中，函数的极值是指函数在某个点上取得的最大值或最小值。
根据极值的概念，我们可以将其分为两种类型：极大值和极小值。
当函数在某点的函数值比其邻近的其他点都大时，该点上的极值称为极大值；当函数在某点的函数值比其邻近的其他点都小时，该点上的极值称为极小值。
为了找到函数的极值，我们可以通过求函数的导数来实现。
首先，我们需要求函数的导数，然后将导数为零的点找出来。
这些点就是函数可能存在极值的点。
接下来，我们可以通过求二阶导数来判断这些点是否是极值点，也就是通过判断导数的变化来确定函数的极值。
二、函数的最值函数的最值是指函数在某个区间或整个定义域上取得的最大值或最小值。
与极值相似，最值也可以分为最大值和最小值两种类型。
当函数在某个区间或整个定义域上的函数值比其他区间或整个定义域上的其他函数值都大时，该函数值称为最大值；当函数在某个区间或整个定义域上的函数值比其他区间或整个定义域上的其他函数值都小时，该函数值称为最小值。
要求解函数的最值，我们需要先找到函数的临界点和边界点。
临界点是指导数为零或导数不存在的点，而边界点是指函数定义域的端点。
然后，我们将这些点代入函数式中计算函数值，最后找到其中的最大值和最小值。
综上所述，函数的极值和最值是函数分析中的重要内容。
通过求导数和二阶导数，我们可以找到函数可能存在极值的点，并通过判断导数的变化来确定函数的极值。
而求解函数的最值则需要找到临界点和边界点，通过计算函数值来确定最大值和最小值。
这些方法可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。
最后，需要提醒的是，在实际问题中，函数的极值和最值往往对应着一些有意义的物理量或经济量，通过求解函数的极值和最值，我们能够找到最优解或者最优方案，为实际问题的解决提供有力的理论基础。
函数的极值和最值
函数的极值和最值在微积分中，函数的极值和最值是常见的概念。
极值指的是函数在某一区间内取得的最大值或最小值，而最值则是函数在定义域内取得的最大值或最小值。
一、极值的定义对于一个函数f(x)，如果存在某个数a使得在a的邻域内的任意x，都有f(x)≤f(a)或者f(x)≥f(a)，那么称函数f(x)在点a处有极大值或极小值。
极大值和极小值统称为极值。
二、求解极值的方法为了求解函数的极值，我们需要采用求导的方法。
具体步骤如下：1. 对函数f(x)求导，得到f'(x)。
2. 找出f'(x)的零点，即解方程f'(x)=0。
3. 将零点代入f''(x)，判断它们的正负性。
- 如果f''(x)>0，则在该点处取得极小值。
- 如果f''(x)<0，则在该点处取得极大值。
- 如果f''(x)=0，则无法判断，需要进行其他方法的检验。
三、最值的定义函数的最大值和最小值是函数在定义域内取得的最大值和最小值。
最大值用符号"max"表示，最小值用符号"min"表示。
四、求解最值的方法求解函数的最值需要考虑函数的定义域，并结合求导和极值的方法。
1. 函数定义域的判断- 如果函数是一个有限闭区间上的连续函数，则最值必然存在。
- 如果函数的定义域是整个实数集，则最值可能不存在。
2. 求解最值的步骤- 首先，对函数f(x)求导，得到f'(x)。
- 然后，找出f'(x)的零点。
- 接着，将零点和函数的端点代入f(x)，求出这些点对应的函数值。
- 最后，比较这些函数值，找出最大值和最小值。
需要注意的是，在求解最值时，还需要考虑函数的边界特性和特殊点，如间断点、开区间端点以及无界区间的端点等。
总结：函数的极值和最值是微积分中的重要概念，通过对函数的导数、零点和二阶导数的分析，可以求解函数的极值和最值。
函数的极值与最值知识点
函数的极值与最值知识点函数是数学中非常重要的概念，它描述了变量之间的关系。
在函数中，经常会遇到极值与最值的问题。
本文将介绍与函数的极值与最值相关的知识点。
一、函数的极值函数的极值指的是在函数曲线上存在的最高点或最低点。
根据函数的定义域和值域，可以分为两种极值：最大值和最小值。
1. 定义域与值域在讨论函数的极值之前，首先需要明确函数的定义域和值域。
定义域是指函数的自变量的取值范围，而值域则是函数的因变量的取值范围。
2. 局部极值对于实数域上的函数，如果在某个区间内存在一个点，使得这个点左右两侧的函数值都比它小（或都比它大），那么这个点就是函数在该区间内的局部最小值（或最大值）。
3. 单调性与极值单调性是指函数在定义域内的变化趋势。
如果函数在某个区间内单调递增，那么在这个区间内，函数的最小值一定在区间的起点上；如果函数在某个区间内单调递减，那么在这个区间内，函数的最大值一定在区间的终点上。
二、函数的最值函数的最值指的是函数在定义域内可能取得的最大值或最小值。
1. 最大值与最小值对于连续函数，在有限闭区间上一定存在最大值和最小值。
根据最值的性质，最大值是函数图像上的“最高点”，最小值是函数图像上的“最低点”。
2. 最值的求解方法为了找到函数的最值，可以使用以下方法：（1）导数法：通过求函数的导数，找到导数为零的点，并且通过二阶导数的符号判断这些点是极值点还是驻点。
（2）边界法：当函数定义域为闭区间时，极值可能出现在端点上。
三、综合例题为了更好的理解函数的极值与最值，下面给出一个综合例题：例题：已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求其在定义域[-2,2]上的最大值和最小值。
解答：首先，将函数f(x)对x求导，得到f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。
令f'(x) = 0，解得x = 1/3。
然后，计算f''(1/3) = 4，由于f''(1/3)大于0，所以x = 1/3是函数f(x)的一个局部最小值点。
函数的极值与最值知识点总结
函数的极值与最值知识点总结函数的极值和最值是数学中重要的概念，它们对于函数的图像和性质有着重要的影响。
本文将对函数的极值和最值进行详细总结。
1. 函数的极值函数的极值是指函数在某一区间内取得的最大值或最小值。
在函数图像上就是曲线的顶点或谷底。
1.1 极大值和极小值函数在区间内取得最大值的点称为极大值点，函数在区间内取得最小值的点称为极小值点。
极大值点和极小值点合称为极值点。
1.2 极值的必要条件函数的极值一定是函数的驻点（即函数的导数为0）或者是函数定义域的端点，这是极值的必要条件。
1.3 极值判定的充分条件若函数在某点的导数由正变负，则该点是函数的极大值点；若函数在某点的导数由负变正，则该点是函数的极小值点。
这是极值判定的充分条件。
2. 函数的最值函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。
2.1 最大值和最小值函数在定义域内取得的最大值称为最大值，函数在定义域内取得的最小值称为最小值。
2.2 最值的存在性当函数在闭区间上连续时，函数一定存在最大值和最小值。
但是当函数在开区间上连续时，函数不一定存在最大值和最小值。
2.3 最值的求解方法求函数的最值主要通过导数的方法进行。
首先求出函数的导数，然后求出导数的零点，即函数的极值点。
从这些极值点中选取函数值最大的点，即为函数的最大值；选取函数值最小的点，即为函数的最小值。
3. 案例分析接下来通过一个具体的案例来说明函数的极值和最值的求解过程。
3.1 求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 的极值和最值。
首先求导得到 f'(x) = 3x^2 - 6x，令 f'(x) = 0，解得 x = 0 或 x = 2。
当 x = 0 时，f''(0) = 0，无法判断极值情况；当 x = 2 时，f''(2) = 6 > 0，说明 x = 2 是极小值点。
计算 f(2) = 2^3 - 3(2)^2 = -4，可知函数的极小值为 -4。
函数的极值与最值
函数的极值与最值函数在数学中具有重要的地位和作用，在各个领域中都有广泛的应用。
函数的极值与最值是函数中的一个重要概念，它们与函数的变化趋势和特征密切相关。
本文将探讨函数的极值与最值的概念、计算方法以及应用。
一、函数的极值函数的极值是指函数在某一区间内的最大值和最小值。
极大值是函数在该区间内的最大值，极小值是函数在该区间内的最小值。
计算函数的极值的常用方法是求导。
如果函数在某一点的导数为0，且在该点的左侧导数由负变正，右侧导数由正变负，那么该点就是函数的极值点。
例如，对于函数f(x)=x^3-3x^2+2x，在取得极值的点处，f'(x)=0。
我们可以求得f'(x)=3x^2-6x+2=0，解得x=1或x=2/3。
分别代入函数，可以得到极小值f(2/3)=-4/27，以及极大值f(1)=0。
二、函数的最值函数的最值是指函数在整个定义域上的最大值和最小值。
计算函数的最值的方法可以通过求函数的导数，或者通过对函数的定义域进行讨论。
对于闭区间，只需要计算函数在端点上的值并进行比较即可找到最大值和最小值。
例如，对于函数f(x)=x^2-4x+3，定义域为[-1,3]。
首先计算端点的值，f(-1)=8，f(3)=6。
然后求导得到f'(x)=2x-4，令其等于0得到x=2。
将x=2代入函数得到f(2)=-1。
因此，在定义域[-1,3]上，f(x)的最大值为8，最小值为-1。
三、函数极值与最值的应用函数的极值与最值在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在经济学中，函数的最大值可以表示最大的利润或最小的成本；在物理学中，函数的极小值可以表示最短的路径或最小的能量。
以一个经济学的例子为说明：假设一家公司的生产函数为Q=100L-2L^2，其中Q表示产量，L表示劳动力的数量。
这个函数是一个抛物线函数，通过求导可以找到其极值点。
求导得到Q'=100-4L=0，解得L=25，即劳动力的数量为25时，产量最大。
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导数的应用二------函数的极值与最值 编稿：赵 雷 审稿：李 霞【学习目标】 1. 理解极值的概念和极值点的意义。
2. 会用导数求函数的极大值、极小值。
3. 会求闭区间上函数的最大值、最小值。
4. 掌握函数极值与最值的简单应用。
【要点梳理】 知识点一：函数的极值（一）函数的极值的定义：一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义，（1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作)(0x f y =极大值；（2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作)(0x f y =极小值.极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释：由函数的极值定义可知：（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x 0及其附近有定义，否则无从比较. （2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.（二）用导数求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '；③求方程0)(='x f 的根；④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)要点诠释：①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点.即0()0f x '=是可导函数)(x f 在点0x 取得极值的必要非充分条件.例如函数y=x 3，在x=0处，'(0)0f =，但x=0不是函数的极值点.②可导函数)(x f 在点0x 取得极值的充要条件是0()0f x '=，且在0x 两侧)(x f '的符号相异。
知识点二：函数的最值（一） 函数的最大值与最小值定理若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小值；在开区间),(b a 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.如1()(0)f x x x=>. 要点诠释：①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。
②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。
（二）求函数最值的的基本步骤：若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根；（3）求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值.要点诠释：①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可。
②若)(x f 在开区间),(b a 内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值. （三）最值与极值的区别与联系①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念。
最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值.函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念；②极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值；③有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值. 知识点三：函数极值与最值的简单应用1. 不等式恒成立，求参数范围问题。
一些含参不等式，一般形如(,)0f x m >，若能隔离参数，即可化为：()()m g x m g x ><（或）的形式。
若其恒成立，则可转化成max max ()()m g x m g x ≥≤（或），从而转化为求函数()g x 的最值问题。
若不能隔离参数，就是求含参函数(,)f x m 的最小值min (,)f x m ，使min (,)0f x m ≥。
所以仍为求函数()g x 的最值问题，只是再求最值时可能需要对参数进行分类讨论。
2. 证不等式问题。
当所要证的不等式中只含一个未知数时，一般形式为()()f x g x >，则可化为()()0f x g x ->，一般设()()()F x f x g x =-，然后求()F x 的最小值min ()F x ，证min ()0F x >即可。
所以证不等式问题也可转化为求函数最小值问题。
3. 两曲线的交点个数问题（方程解的个数问题）一般可转化为方程()()f x g x =的问题，即()()0f x g x -=的解的个数问题，我们可以设()()()F x f x g x =-，然后求出()F x 的极大值、极小值，根据解的个数讨论极大值、极小值与0的大小关系即可。
所以此类问题可转化为求函数的极值问题。
【典型例题】类型一： 求函数的极值 例1. 下列函数的极值。
（1）3()12f x x x =-； （2）2()xf x x e -=；【解析】（1）函数()f x 的定义域为R 。
2'()3123(2)(2)f x x x x =-=+-。
令'()0f x =，得x=－2或x=2。
当x 变化时，'()f x ，()f x 变化状态如下表：从上表可以看出，当x=―2时，函数有极大值，且3(2)(2)12(2)16f -=--⨯-=。
当x=2时，函数有极小值，且3(2)212216f =-⨯=-。
（2）函数的定义域为R 。
22'()2()'2(2)x x x x x f x xe x e x xe x e x x e -----=+⋅-=-=-。
令'()0f x =，得x=0或x=2。
当x 变化时，'()f x ，()f x 变化状态如下表：由上表可以看出，当x=0时，函数有极小值，且(0)0f =。
当x=2时，函数有极大值，且24(2)f e=。
【总结升华】 解答本题时应注意0'()0f x =只是函数()f x 在x 0处有极值的必要条件，如果再加上x 0左右导数的符号相反，方能断定函数在x 0处取得极值，反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是经常出现的失误。
举一反三：【高清课堂：函数的极值与最值 370875 例题1】 【变式1】 讨论函数43210()213f x x x x =-++（x ∈R ）的单调性并求极值．32'()41042(21)(2)f x x x x x x x =-+=--令'()0f x =，解得x 1=0， x 2=12, x 3=2 。
当x 变化时，'()f x ，()f x 变化状态如下表：x（－∞，0）0 （0，12） 12（12，2） 2 （2，+∞）'()f x － 0 + 0－ 0+ ()f x☎15548 ☎53-由上表可以看出，()f x 在（－∞，0）和（2，2）上为减函数，在（0，2）和（2，+∞）上 为增函数。
当x=0时，函数有极小值(0)1f =; 当x=2时，函数有极小值5(2)3f =-。
当x=12时，函数有极大值155()248f =。
【高清课堂：函数的极值与最值 370875 例题3】【变式2】函数()f x 的定义域为区间（a ，b ），导函数'()f x 在（a ，b ）内的图如图所示，则函数()f x 在（a ，b ）内的极小值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】由极小值的定义，只有点B 是函数()f x 的极小值点，故选A 。
类型二：函数极值的逆向应用例 2. 已知函数32()f x ax bx cx =++在点x 0处取得极大值5，其导函数'()y f x =的 图象经过点（1，0），（2，0），如图所示。
求： （1）x 0的值；（2）a ，b ，c 的值。
【思路点拨】观察图像的正负和零点。
【解析】 （1）由图象可知，在（―∞，1）上'()0f x >，在（1，2）上'()0f x <，在（2，+∞）上'()0f x >，故()f x 在（－∞，1）和（2，+∞）上递增，在（1，2）上递减。
因此()f x 在x=1处取得极大值，所以x 0=1。
（2）方法一：2'()32f x ax bx c =++， 由'(1)0f =，'(2)0f =，(1)5f =，得32012405a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得2912a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩。
方法二：设2'()(1)(2)32f x m x x mx mx m =--=-+。
又2'()32f x ax bx c =++，所以3m a =，32b m =-，c=2m ， 323()232m f x x mx mx =-+，由(1)5f =，即22533m m m -+=，得m=6，所以a=2，b=―9，c=12。
【总结升华】（1）由导函数的图象求极值点，先看图象与x 轴的交点，其次看这点左右两侧的导数值的正负。
（2）注意条件“在点x 0处的极大值是5”的双重条件，即0'()0f x =，0()5f x =。
举一反三：【变式】已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+a 2在x=1处有极值10，求a,b 的值. 【答案】2'()32,f x x ax b =++依题意得方程组2320110a b a b a ++=⎧⎨+++=⎩ 解得34311a a b b =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或. 当a=-3,b=3时，2'()363,f x x x =++令'()0f x =得x=1.显然a=-3, b=3不合题意，舍去.当a=4, b=-11时，f´(x)=3x 2+8x-11=(x-1)(3x+11) 令'()0f x =得11x -=或 x=1.f(x)在x=1处有极小值10，合题意，∴a=4, b=-11.类型三：求函数的最值【高清课堂：函数的极值与最值 370875 例题2】例3、求函数()3221f x x x =-+在区间[-1，2]上的最大值与最小值。