2013中考专题复习探究题型

几何计算与证明1、已知菱形ABCD 的边长为1．∠ADC=60°，等边△AEF 两边分别交边DC 、CB 于点E 、F 。

（1）特殊发现：如图1，若点E 、F 分别是边DC 、CB 的中点．求证：菱形ABCD 对角线AC 、BD 交点O 即为等边△AEF 的外心；（2）若点E 、F 始终分别在边DC 、CB 上移动．记等边△AEF 的外心为点P ． ①猜想验证：如图2．猜想△AEF 的外心P 落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3，当△AEF 面积最小时，过点P 任作一直线分别交边DA 于点M ，交边DC 的延长线于点N ，试判断11D MD N+是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由。

2、在△ABC 中，∠ACB=45º．点D （与点B 、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．（1）如果AB=AC ．如图①，且点D 在线段BC 上运动．试判断线段CF 与BD 之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB ≠AC ，如图②，且点D 在线段BC 上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF 的边DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P ，设AC ＝3=BC ，CD=x ，求线段CP 的长．（用含x 的式子表示）3、已知正方形ABC D 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EFBD⊥交BC 于F ，连接D F ，G为D F 中点，连接EG CG ，．（1）直接写出线段E G 与C G 的数量关系；（2）将图1中BEF ∆绕B 点逆时针旋转45︒，如图2所示，取D F 中点G ，连接EG CG ，，． 你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中BEF ∆绕B 点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）图3图2图1FEABCDABCDEFGGFED CBA4、在A B C D 中，过点C 作CE ⊥CD 交AD 于点E,将线段EC 绕点E 逆时针旋转90 得到线段EF(如图1)（1）在图1中画图探究：①当P 为射线CD 上任意一点（P 1不与C 重合）时，连结EP 1绕点E 逆时针旋转90 得到线段EC 1.判断直线FC 1与直线CD 的位置关系，并加以证明；②当P 2为线段DC 的延长线上任意一点时，连结EP 2,将线段EP 2绕点E 逆时针旋转90 得到线段EC 2.判断直线C 1C 2与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论. （2）若AD=6,tanB=43,AE=1,在①的条件下，设CP 1=x ，S 11P FC =y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.5、如图，边长为5的正方形OABC 的顶点O 在坐标原点处，点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点E 是OA 边上的点（不与点A 重合），EF ⊥CE ，且与正方形外角平分线AG 交于点P ．（1）当点E 坐标为（3，0）时，试证明CE ＝EP ；（2）如果将上述条件“点E 坐标为（3，0）”改为“点E 坐标为（t ，0）（t ＞0）”，结论CE ＝EP 是否仍然成立，请说明理由；（3）在y 轴上是否存在点M ，使得四边形BMEP 是平行四边形？若存在，用t 表示点M 的坐标；若不存在，说明理由．6、点B 是线段AC 的中点，D 是线段CE 的中点，四边形BCGF 和四边形CDHN 都是正方形，AE 中点是M 。

（1）如图1E 、A 、C 共线N 与G 重合M 与C 重合。

求证FM=MH(2)将图1中的CE 绕C 顺时针旋转一个锐角，得到图2则（1）中的结论是否成立，若成立，请给出证明。

若不成立，请说明理由。

（3）将图2中的CE 缩短到图3的情况则（1）中的结论是否成立，（不必说明理由）7、两个大小相同且含30°角的三角板ABC 和DEC 如图①摆放，使直角顶点重合．将图①中△DEC 绕点C 逆时针旋转30°得到图②，点F 、G 分别是CD 、DE 与AB 的交点，点H 是DE 与AC 的交点．（1）不添加辅助线，写出图②中所有与△BCF 全等的三角形；（2）将图②中的△DEC 绕点C 逆时针旋转45°得△D 1E 1C ，点F 、G 、H 的对应点分别为F 1、G 1、H 1，如图③．探究线段D 1F 1与AH 1之间的数量关系，并写出推理过程； （3）在（2）的条件下，若D 1E 1与CE 交于点I ，求证：G 1I ＝CI ．A 图1 D H G(N) F C(M A M E DH N G F B图2 A ME HDN GF B 图3 图① BA C D E 图②B F AC DEHG 图③BF A C DE H GF 1G 1D 1 H 1 IE 18、已知：△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC ＝∠ADE ＝90°，点M 是CE 的中点，连接BM ．（1）如图①，点D 在AB 上，连接DM ，猜想BD 与BM 的数量关系，并说明理由； （2）如图②，点D 不在AB 上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请直接写出此时BD 与BM 的数量关系．9．在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝α，点D 是BC 上一动点（不与B 、C 重合），将线段AD 绕点A 逆时针旋转α后到达AE 位置，连接DE 、CE ，设∠BCE ＝β． （1）如图1，若α＝90°，求β的大小；（2）如图2，当点D 在线段BC 上运动时，试探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点D 在线段BC 的反向延长线上运动时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请写出α与β之间的数量关系，并说明理由．10\在△ABC 中，点M 为BC 的中点． （1）如图1，求证：AM ＜12(AB ＋AC )； （2）延长AB 到D ，使得BD ＝AC ，延长AC 到E ，使得CE ＝AB ，连接DE ．①如图2，连接BE ，若∠BAC ＝60°，请你探究线段BE 与线段AM 之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明；②请在图3中证明：BC ≥12DE ．A B CDE图① MBCDEM 图② E D C B A图1 EA 图2ACBM 图1ACBMDE图2ACBMDE图311在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F。

（1）在图1中证明C E C F=；（2）若90ABC∠=︒，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；（3）若120ABC∠=︒，FG∥CE，F G C E=，分别连结DB、DG（如图3），求∠BDG的度数。

12、（1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥B C，AQ交DE于点P.求证：QCPEBQDP=.（2）如图，在△A BC中，∠B AC=90°，正方形D EF G的四个顶点在△A BC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点.①如图2，若A B=AC=1，直接写出MN的长；②如图3，求证M N2=DM·EN.13、如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．⑴如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点．⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．B B B CCC①②③(第题)14、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，BC ＝5，CD ＝6，∠DCB ＝60°，等边△PMN （N 为固定点）的边长为x ，边MN 在直线BC 上，NC ＝8．将直角梯形ABCD 绕点C 按逆时针方向旋转到①的位置，再绕点D 1按逆时针方向旋转到②的位置，如此旋转下去． （1）将直角梯形按此方法旋转四次，如果等边△PMN 的边长为x ≥5＋3 3，求梯形ABCD 与等边△PMN 重叠部分的面积；（2）将直角梯形按此方法旋转三次，如果梯形与等边三角形重叠部分的面积为19 32，求等边△PMN 的边长x 的取值范围；（3）将直角梯形按此方法旋转三次，如果梯形与等边三角形重叠部分的面积是梯形面积的一半，求等边△PMN 的边长x ．15、如图1，在矩形ABCD 中，点E 在边AD 上，∠ABE ＝30°，BE ＝DE ，点P 为线段DE 上的任意一点，过点P 作PQ ∥BD ，交BE 于点Q ． （1）若AB ＝2 3，求边AD 的长；（2）如图2，在（1）的条件下，若点P 为线段DE 的中点，连接CQ ，过点P 作PF ⊥QC 于F ，求线段PF 的长；（3）试判断BE 、PQ 、PD 这三条线段的长度之间有怎样的数量关系？请证明你的结论．16、．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，对角线AC ⊥BD ，垂足为O ，BC ＝132，设AB ＝a ，CD ＝b ，且a ＋b ＝34． （1）求：a 、b 的值；（2）设－62＜t ＜62，是否存在实数m 、n ，使得方程组 ⎩⎨⎧x －2y ＝m ＋nx ＋y ＝m 2＋n 2＋2t 关于x 、y 的解恰好为 ⎩⎨⎧x ＝ay ＝b ？若存在，请说明理由，并判断点（m ，n ）在第几象限？若不存在，AD Pl①②M N ③ B 1D 1A 1A B C D E P Q 图1 A B C D E P QF图2请给予证明．17、．正方形ABCD 中，点M 、N 分别在CB 、DC 的延长线上，且MN ＝DN －BM ，连接AM 、AN ． （1）如图1，求证：∠MAN ＝45°；（2）如图2，过D 作DP ⊥AN 交AM 于点P ，连接PC 、求证：PA ＋PC ＝2PD ；（3）在（2）的条件下，若AB ＝1，C 为DN 的中点，如图3，求PC 的长．18．正方形ABCD 中，P 为AB 边上任一点，AE ⊥DP 于E ，点F 在DP 的延长线上，且DE ＝EF ，连接AF 、BF ，∠BAF 的平分线交DF 于G ，连接GC ． （1）求证：△AEG 是等腰直角三角形； （2）求证：AG ＋CG ＝2DG ；（3）若AB ＝2，P 为AB 的中点，求BF 的长．19．已知：在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAC ＝∠D ，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠AEF ＝∠ACD ．（1）如图1，若AB ＝BC ＝AC ，求证：AE ＝EF ； （2）如图2，若AB ＝BC ，（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论； （3）如图3，若AB ＝kBC ，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出AE 与EF 之间的数量关系，并证明．20、．如图，正方形ABCD 的边长为2，M 是AB 的中点，点P 是射线DC 上的动点，过P 作PE ⊥DM 于E ．OD C A BM A C B N D 图1 M A C B N D 图2 PM A C B ND 图3 P A C B ED P FGE D C B AF 图1 E D C B A F 图2 E C B A F 图3ECD 图1ABCD图2（1）若以P 、E 、M 为顶点的三角形与△ABM 相似，求PD 的长；（2）若以C 为圆心，CP 为半径的⊙C 与线段DM 只有一个公共点，求PD 的长或PD 的取值范围．． 21、已知：线段OA ⊥OB ，点C 为OB 中点，D 为线段OA 上一点。