22-3

z
∫∫
S
x 2 dydz + y 2 dzdx + z 2 dxdy
2 2 2 y + z )dxdy = ∫∫∫ ( x + x y z V = 2 ∫∫∫ ( x + y + z )dxdydz (在柱坐标变换下) 在柱坐标变换下)
V
y
x
= 2 ∫ dθ ∫ dr ∫ ( r cos θ + r sin θ + z )rdz
∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy, z
S
其中S取外侧, 其中S取外侧, 即
S2
P ∫∫∫ x dxdydz = ∫∫ Pdydz , V S Q ∫∫∫ y dxdydz = ∫∫ Qdzdx, V S R ∫∫∫ z dxdydz = ∫∫ Rdxdy. V S
S3
o
Dxy
x
S1
y
S
= ∫∫∫ (
V
3 3 3 x + y + z )dxdydz x y z
在球坐标变换下) = 3∫∫∫ ( x 2 + y 2 + z 2 )dxdydz (在球坐标变换下)
= 3∫ dθ ∫ dr ∫
0 0
V 2π
1
π
0
12 r r sin d = π . 5
2 2
例6 计算
∫∫ ( xdydz + ydzdx + zdxdy ),
R I = ∫∫∫ ( xy + yz + zx )dxdydz = ∫∫∫ dxdydz = z V V
∫∫ Rdxdy.
S
=Байду номын сангаас1 外,均与
I=
∫∫ Rdxdy = ∫∫ R( x, y, z )dxdy + ∫∫ R( x, y, z )dxdy
S
S1
S2
= ∫∫ R( x , y , 0)dxdy + ∫∫ R( x , y ,1)dxdy =
D xy
o
Dxy
S1
y
x
又由第二型曲面积分的计算公式, 又由第二型曲面积分的计算公式,得 ∫∫ Rdxdy = ∫∫ Rdxdy + ∫∫ Rdxdy + ∫∫ Rdxdy,
S
= ∫∫ R( x , y , z2 ( x , y ))dxdy ∫∫ R( x , y , z1 ( x , y ))dxdy +0,
z
a a
边长为a的正立方体表面并取外侧. 边长为a的正立方体表面并取外侧. 由高斯公式, 解: 由高斯公式,得
∫∫
S
y( x z )dydz + x 2 dzdx + ( y 2 + xz )dxdy
x ( y( x z )) + ( x 2 ) + ( y 2 + xz )]dxdydz x y z
如图所示, 如图所示,设V为xy型区域,其边界由曲面 xy型区域, 型区域
S3
z 2 ( x , y ) R R ∫∫ ∫∫∫ z dxdydz = D dxdy ∫z1 ( x , y ) z dz V xy = ∫∫ ( R( x , y , z2 ( x , y )) R( x , y , z1 ( x , y ))dxdy .
例4 计算
∫∫
S
2 2 2 其中S x 2 dydz + y 2 dzdx + z 2 dxdy , 其中S是锥面 x + y = z
与平面z=h(>0)所围的空间区域的表面,方向取外侧. 所围的空间区域的表面,方向取外侧. 与平面 所围的空间区域的表面 围成的区域为V,由高斯公式, V,由高斯公式 解: 设S围成的区域为V,由高斯公式,得
(空间闭区域V上的三重积分与其边界S上的第二型曲面积分的关系) 空间闭区域V上的三重积分与其边界S上的第二型曲面积分的关系)
R dxdydz = 证: 只证 ∫∫∫ z V
∫∫
S
Rdxdy .
z
S2
S1 : z = z1 ( x , y ),( x , y ) ∈ Dxy , S2 : z = z2 ( x , y ),( x , y ) ∈ Dxy , 组成, 以及垂直于 Dxy边界的柱面 S3 组成,则
S
其中S 其中S是上半球面
z
的外侧. z = a 2 x 2 y 2 的外侧. 一起构成 解: 添加平面 S1 : z = 0, 与S一起构成 封闭曲面 S2 , 取外侧为正 并设围成的区域 取外侧为正,并设围成的区域 由高斯公式,得 为V,由高斯公式 得 由高斯公式
o
y
x
∫∫ ( xdydz + ydzdx + zdxdy )
∫∫
S V
2 2 2 x dydz + y dzdx + z dxdyx = ∫∫∫ ( x + y + z )dxdyz x y z V
2 2 2
a a a
= ∫∫∫ 2( x + y + z )dxdyz = 2 ∫ dx ∫ dy ∫ ( x + y + z )dz = 3a 4 . 0 0 0
例3 计算 表面的外侧; 表面的外侧;
∫∫
S
zx + xy )dxdyz =0. = ∫∫∫ ( yz + x y z V x 2 dydz + y 2 dzdx + z 2 dxdy , 其中S是立方体0 ≤ x , y , z ≤ a 其中S
S
围成的区域为V,由高斯公式, V,由高斯公式 解: 设S围成的区域为V,由高斯公式,得
Dxy D xy
∫∫ ( xy +
D xy
1 1 11 y + x )dxdy = . 2 2 24
�
S2
= ∫∫ ( xdydz + ydzdx + zdxdy ) + ∫∫ ( xdydz + ydzdx + zdxdy )
3 y + z )dxdydz = 3∫∫∫ dxdydz = 2π a , = ∫∫∫ ( x + x y z V V
注意到
S S1
∫∫ ( xdydz + ydzdx + zdxdy ) = 0, 所以
D xy
S2
S1
S3
Dxy
R dxdydz = 所以 ∫∫∫ z V
∫∫ Rdxdy.
S
若V不是xy区域的情形,可将其分割成若干个xy区域来讨论. 不是xy区域的情形,可将其分割成若干个xy区域来讨论. xy区域的情形 xy区域来讨论
例1 计算
∫∫
S
y( x z )dydz + x 2 dzdx + ( y 2 + xz )dxdy ,其中S是如图所示 其中S
P ∫∫∫ x dxdydz = ∫∫ Pdydz , V S x Q ∫∫∫ y dxdydz = ∫∫ Qdzdx, V S R ∫∫∫ z dxdydz = ∫∫ Rdxdy, V S 故可将三重积分化为关于 xy , yz , xz 的第二型曲面积分 的第二型曲面积分.
2 2 都与xy平面垂直 平面垂直, 由于曲面 x = 0, y = 0, 与x + y = 1都与 平面垂直 故化为
a a a 0 0 0
o a
y
= ∫∫∫ [
V
= ∫∫∫ ( y + x )dxdydz = ∫ dx ∫ dy ∫ ( y + x )dz = a 4 .
V
例2 计算
2 2 2
其中S ∫∫ yzdydz + zxdzdx + xydxdy, 其中S是单位球面
S
x + y + z = 1 的外侧; 的外侧; 2 2 2 的区域为V,由高斯公式, V,由高斯公式 解: 设 x + y + z = 1 的区域为V,由高斯公式,得 ∫∫ yzdydz + zxdzdx + xydxdy
S1
3 ( xdydz + ydzdx + zdxdy )= 2π a . ∫∫
S
例7
利用高斯公式计算
2
其中V ∫∫∫ ( xy + yz + zx )dxdydz 其中V是由
V
所确定的区域. x ≥ 0, y ≥ 0, 0 ≤ z ≤ 1与x + y ≤ 1 所确定的区域.
2
z
分析: 由高斯公式,有 分析: 由高斯公式 有
§3 一 高斯公式
高斯公式与斯托克斯公式
定理22.3 设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S围成. 定理22.3 设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S围成.若函 数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在V连续,且有一阶连续偏导数,则 在 连续,且有一阶连续偏导数,
P Q R ∫∫∫ ( x + y + z )dxdydz = V
0 0 r
2π
h
h
1 4 = h π. 2
例5 计算
∫∫
S
x 3dydz + y 3dzdx + z 3dxdy , 其中S是单位球面 其中S
x 2 + y 2 + z 2 = 1 的外侧. 的外侧.
围成的区域为V,由高斯公式, V,由高斯公式 解: 设S围成的区域为V,由高斯公式,得 x 3dydz + y 3dzdx + z 3dxdy ∫∫
y
关于xy的第二型曲面积分比较简单 关于 的第二型曲面积分比较简单. 的第二型曲面积分比较简单 使得 转化的关键: 转化的关键: 求R,使得