北师大版九年级数学上1.1 菱形的性质与判定(3)

）
∴ ∠1＝∠2．（ ② ）
∵ EF平分AC，
∴ AO＝OC．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
又∵ ∠AOE＝∠COF＝90°，
∴ △AOE≌△COF（ ③ ），
∴ EO＝FO，
∴ 四边形AFCE是平行四边形（ ④ ）
又∵EF⊥AC，
∴ 四边形AFCE是菱形（ ⑤ ）
13
判定定理3：四条边都相等的四边形是菱形
A
B
D
已知：AB=BC=CD=DA 求证：四边形ABCD是菱形
（2）若AC=BD，则□ABCD是 矩形；
（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是菱 形； （4）若∠BAO=∠DADO，则□ABCD是C 形。
O
A
B
22
3、选择：
（1）.下列命题中正确的是（ C）
A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.三条边相等的四边形是菱形 C.四条边相等的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形
AB
E、F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF
的度数是（ ）
B
B
D
A.75°B.60°C.45°D.30°
E
F
C
17
6 已知：如图，AD平分∠BAC， DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
求证：EF⊥AD；
A
E 12 F
3
B
D
C
18
7、如图，E为菱形ABCD边BC上一点， 且AB=AE，AE交BD于O，且 ∠DAE=2∠BAE， 求证：EB=OA；
1
复习回顾
菱形常用的判定方法：
1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.有四条边相等的四边形是菱形.
2
【菱形的面积公式】 菱形是特殊的平行四边形,
那么能否利用平行四边形
A
面积公式计算菱形的面积吗?
B
O
D
E
C
S菱形=BC. AE
思考:计算菱形的面积除了上述方法外,利
4
例题解析
菱形性质的应用
已知:如图,四边形ABCD是 A
边长为13cm的菱形,其中对
角线BD长10cm.
BE D
求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形ABCD的面积. C
5
P8做一做:
请你动脑筋
把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断
重叠部分ABCD的形状吗？为什么？
A
F
∟
B
EC
D
随堂练习1 6
（2）.对角线互相垂直且平分的四边形是（ C）
A.矩形
B.一般的平行四边形
C.菱形
D.以上都不对
（3）.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（C ）
A.AC⊥BD,AC与BD互相平分 B.AB=BC=CD=DA C.AB=BC,AD=CD,且AC⊥BD D.AB=CD,AD=BC,AC
23
6、如图在菱形ABCD中,CE⊥AB,CF⊥AD.
∴ ∠1=∠3
∴AE=DE ∴ □AEDF是菱形 25
课后拓展2:
菱形的判定：
判定 法一
文字语言
一组邻边相 等的平行四 边形是菱形
图形语言
A
D
B
C
符号语言
∵在□ABCD中
AB=AD ∴四边形ABCD是菱形
判定 对角线互相垂直
法二
的平行四边形是 菱形
判定
四边相等的四边 形是菱形
法三
A
D
O
BC
A
D
B
C
∵在□ABCD中
AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
16
A D
1.已知菱形的周长是12cm，那 O
么它的边长是__3_c_m__.
C
2.菱形ABCD中∠ABC＝60度， B
则∠BAC＝__6_0_度___.
D
3则、菱菱形形的的面两积条是对（角线长）分C 别为6cm和8cAm，4
3
O
C
A.10 B.7 C. 24 D.48 4.在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，
A D
O
B
EC
19
20
当堂检测：
1、判断下列说法是否正确？为什么？
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形； （ ）╳
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（√）
(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等
的四边形是菱形；
（）
╳
D
A
∟
C
B
A
C
B
D
21
2、□ABCD的对角线AC与BD相交于点
O，
菱
（1）若AB=AD，则□ABCD是矩 形；
证明：在 ABCD 中，OA＝OC
（
①
）．
又∵AC⊥BD，
∴ BD所在直线是线段AC的垂直平分线，
∴ AB＝BC，
∴ 四边形ABCD是菱形
（
②
）．
12
例 已知:矩形ABCD的对角线AC的垂 直平分线与边AD、BC分别交于点E、 F，求证:四边形AFCE是菱形
证明 ∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AE∥FC（ ①
C
∵AB=CD,BC=AD
∴四边形ABCD是平行四边
形
∵AB=CD
∴四边形ABCD是菱形
（有一组邻边相等的平行
四边形是菱形）
14
菱形常用的判定方法：
①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
+邻边相等 =
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形
+对角线线互相垂直=
③有四条边相等的四边形是菱形。
四条边相等+
=
15
则CE ＝CF，BE ＝DF。 A
E
F
D
B
C
24
7、已知：如图，AD平分∠BAC，
DE∥AC 交AB于E，DF∥AB交AC于F．
求证：四边形AEDF是菱形．
A
证明：∵DE∥AC DF∥AB
E 12
∴四边形AEDF是平行四边形 3
F
∵ DE∥AC ∴∠2=∠3
BDC
∵ AD是△ABC的角平分线
∴ ∠1=∠2
P9习题1.3 第3,4题
7
思考: 请你动脑筋
把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你 能判断重叠部分ABCD的形状吗？
A D
BC
8
A
D
F
BE
C
9
1.已知菱形的周长是12cm，那 么它的边长是__3_c_m__.
A
2.菱形ABCD中∠ABC＝60度，
D
则∠BAC＝6_0_度_____.
O
C B
3.菱形的两条对角线的长分别为6cm 想一想 和8cm，那么菱形的面积是_2_4_c_m_2.
有关菱形问题可转化为直角三角形 或等腰三角形的问题来解决
10
菱形判定方法的研究
A
B
D
C 判定方法1：有一组邻边相等 的平行四边形是菱形
∵ 四边形ABCD是平行四边形 AB=BC
∴四边形ABCD是菱形
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判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形
已知 ABCD中，对角线AC、BD互 相垂直，
求证：四边形ABCD是菱形．
用对角线能计算菱形的面积吗?
1
P9习题第2题
2 S S S 菱形ABCD = △ABD+ △BCD =
AC×BD
面积：S菱形=底×高=对角线乘积的一半 3
学以致用
已知菱形ABCD的两条 对角线AC与BD相交于点 O,且AC=8cm,BD=6cm， A 求菱形的周长和面积．
解得:
D
O
C
B
菱形的周长为20cm ,面积为24cm2