2.3.1双曲线及其标准方程

2．3 双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程我海军“马鞍山”舰和“千岛湖”舰组成第四批护航编队远赴亚丁湾，在索马里海域执行护航任务．某日“马鞍山”舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声，与“马鞍山”舰相距1 600 m 的“千岛湖”舰，3 s 后也监听到了该马达声(声速为340 m/s)．问题1：“千岛湖”舰比“马鞍山”舰距离快艇远多少米？ 提示：340×3＝1 020(米)．问题2：若把“马鞍山”舰和“千岛湖”舰看成两个定点A ，B ，快艇看成动点M ，M 满足什么条件？提示：|MB |－|MA |＝1 020.双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.在平面直角坐标系中，已知A (－3,0)，B (3,0)，C (0，－3)，D (0，3)． 问题1：若动点M 满足||MA |－|MB ||＝4，则M 的轨迹方程是什么？ 提示：x 24－y 25＝1.问题2：若动点M 满足||MC |－|MD ||＝4，则点M 的轨迹方程呢？ 提示：y 24－x 25＝1.双曲线的标准方程1．双曲线定义的理解(1)定义中的常数是“差的绝对值”，“绝对值”这一条件不可忽略．若没有绝对值，表示的只是双曲线的一支．①若|PF 1|－|PF 2|＝2a (a >0)，曲线只表示双曲线靠近F 2的一支．②若|PF 1|－|PF 2|＝－2a (a >0)，曲线只表示双曲线靠近F 1的一支． (2)若|F 1F 2|＝2a ，动点的轨迹不再是双曲线，而是两条射线． (3)若|F 1F 2|<2a ，动点的轨迹不存在．2．通过双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1(焦点在x 轴上)和y 2a 2－x 2b 2＝1(焦点在y 轴上)(a >0，b >0)可以看出：如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．对于双曲线，a 不一定大于b ，但是无论双曲线的焦点在哪个轴上，方程中的三个量都满足c 2＝a 2＋b 2.[例1] 已知双曲线过P 1(－2，325)和P 2(437，4)两点，求双曲线的标准方程．[思路点拨] 解答本题可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a ，b ，c 的方程组，求得a ，b ，c ，从而得双曲线标准方程；也可以设成mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的形式，可避免讨论并简化运算．[精解详析] 法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．∵P 1，P 2在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2－(325)2b 2＝1，(437)2a 2－42b 2＝1，解得⎩⎨⎧1a 2＝－116，1b 2＝－19.(不合题意，舍去)当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为 y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵P 1，P 2在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧(325)2a 2－4b2＝1，42a 2－(437)2b 2＝1，解得⎩⎨⎧1a 2＝19，1b 2＝116，即a 2＝9，b 2＝16.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.法二：∵双曲线的焦点位置不确定， ∴设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)． ∵P 1，P 2在双曲线上，所以⎩⎨⎧4m ＋454n ＝1，169×7m ＋16n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－116，n ＝19.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.[一点通] 求双曲线标准方程的步骤：1．已知双曲线的一个焦点坐标为(6，0)，且经过点(－5,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 25－y 2＝1 B.y 25－x 2＝1 C.x 225－y 2＝1D.x 24－y 22＝1 解析：依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，故双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.答案：A2．求与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程．解：法一：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意易求得c ＝2 5.又双曲线过点(32，2)，∴(32)2a 2－4b 2＝1.又∵a 2＋b 2＝(25)2，∴a 2＝12，b 2＝8. 故所求双曲线的方程为x 212－y 28＝1.法二：设双曲线方程为x 216－k －y 24＋k ＝1(－4<k <16)，将点(32，2)代入得k ＝4， ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.[例2] 已知双曲线x 9－y 16＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝90°，求△F 1PF 2的面积．[思路点拨] 根据双曲线的定义和勾股定理分别列出关于|PF 1|，|PF 2|的方程，求得|PF 1|，|PF 2|或|PF 1|·|PF 2|即可．[精解详析] 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，∴c ＝5.由双曲线定义及勾股定理得 |PF 1|－|PF 2|＝±6，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝102， ∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝100. ∴|PF 1|·|PF 2|＝100－362＝32. ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝16.[一点通] 利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的变形的使用，特别是与|PF 1|2＋|PF 2|2，|PF 1|·|PF 2|间的关系；二是要与三角形知识相结合，如勾股定理、余弦定理、正弦定理等，同时要注意整体思想的应用．3．若点M 在双曲线x 216－y 24＝1上，双曲线的焦点为F 1，F 2，且|MF 1|＝3|MF 2|，则|MF 2|等于( )A ．2B ．4C ．8D ．12解析：双曲线中a 2＝16，a ＝4,2a ＝8.由双曲线定义知 ||MF 1|－|MF 2||＝8，又|MF 1|＝3|MF 2|， 所以3|MF 2|－|MF 2|＝8，解得|MF 2|＝4. 答案：B4．已知动圆M 与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝9外切且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝1内切，则动圆圆心M 的轨迹方程是____________．解析：设动圆M 的半径为r .因为动圆M 与圆C 1外切且与圆C 2内切， 所以|MC 1|＝r ＋3，|MC 2|＝r －1. 相减得|MC 1|－|MC 2|＝4.又因为C 1(－3,0)，C 2(3,0)，并且|C 1C 2|＝6>4， 所以点M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的双曲线的右支， 且有a ＝2，c ＝3.所以b 2＝5，所求的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x ≥2)．答案：x 24－y 25＝1(x ≥2)[例3] 已知方程的曲线类型．[思路点拨] 解答本题可依据所学的各种曲线的标准形式的系数应满足的条件进行分类讨论．[精解详析] (1)当k ＝0时，y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线； (2)当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆； (3)当k <0时，方程为y 24－x 2－4k ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线；(4)当0<k <1时，方程为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k >1时，方程为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．[一点通] 解决这类题的基本方法是分类讨论，在分类讨论的过程中应做到不重不漏，选择适当的分界点．在讨论过程中应说出该方程表示的是哪种曲线及其特征．5．若方程x 2m －1＋y 2m 2－4＝3表示焦点在y 轴上的双曲线，则m 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－2,2)解析：由题意，方程可化为y 2m 2－4－x 21－m＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4>0，1－m >0，解得m <－2. 答案：C6．当0°≤α≤180°时，方程x 2cos α＋y 2sin α＝1表示的曲线如何变化？ 解：(1)当α＝0°时，方程为x 2＝1，它表示两条平行直线x ＝±1. (2)当0°<α<90°时，方程为x 21cos α＋y 21sin α＝1.①当0°<α<45°时，0<1cos α<1sin α，它表示焦点在y 轴上的椭圆．②当α＝45°时，它表示圆x 2＋y 2＝ 2.③当45°<α<90°时，1cos α>1sin α>0，它表示焦点在x 轴上的椭圆．(3)当α＝90°时，方程为y 2＝1，它表示两条平行直线y ＝±1.(4)当90°<α<180°时，方程为y 21sin α－x 21－cos α＝1，它表示焦点在y 轴上的双曲线．(5)当α＝180°时，方程为x 2＝－1，它不表示任何曲线．1．求双曲线标准方程的方法 (1)定义法若由题设条件能判断出动点的轨迹是双曲线，可根据双曲线的定义确定其方程，这样能减少运算量．(2)待定系数法，其步骤为①定类型：根据条件判断双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，还是两种情况都有可能，并设方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)或y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)或mx2＋ny2＝1(mn<0)．②定量：根据已知条件列出关于a，b，c(或m，n)的方程组．解方程组，将解代入所设方程即为所求．2．椭圆与双曲线的比较1．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为()A.x225－y224＝1B.y225－x224＝1C.x225－y224＝1或y225－x224＝1D.x225－y224＝0或y225－x224＝0解析：因为b2＝c2－a2＝49－25＝24，且焦点位置不确定，所以双曲线的标准方程为x225－y224＝1或y225－x224＝1.答案：C2．已知方程(1＋k)x2－(1－k)y2＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为() A．(－1,1)B．(1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋k >0，1－k >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k >－1，k <1，即－1<k <1. 答案：A3．P 为双曲线x 29－y 216＝1上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝7，则|PF 2|等于( )A ．13或1B ．1C ．13D ．15解析：由双曲线方程得a ＝3，b ＝4，c ＝5，显然双曲线右支上的点P 到F 1的距离最小为a ＋c ＝8，因此P 在双曲线左支上，则|PF 2|＝|PF 1|＋2a ＝13.答案：C4．椭圆y 249＋x 224＝1与双曲线y 2－x 224＝1有公共点P ，则P 与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为( )A ．48B ．24C ．24 3D ．12 3解析：由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F 1(0,5)和F 2(0，－5)，又由椭圆与双曲线的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＋|PF 2|＝14，||PF 1|－|PF 2||＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＝8，|PF 2|＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝6，|PF 2|＝8. 又|F 1F 2|＝10，∴△PF 1F 2为直角三角形，∠F 1PF 2＝90°. 所以△PF 1F 2的面积 S ＝12|PF 1||PF 2|＝12×6×8＝24. 答案：B5．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．解析：设右焦点为F 1(4,0)，依题意，|PF |＝|PF 1|＋4，∴|PF |＋|P A |＝|PF 1|＋4＋|P A |＝|PF 1|＋|P A |＋4≥|AF 1|＋4＝5＋4＝9. 答案：96．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且1PF ·2PF＝0，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为________．解析：由题意可设双曲线方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由1PF ·2PF＝0，得PF 1⊥PF 2.根据勾股定理得 |PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝20. 根据双曲线定义有|PF 1|－|PF 2|＝±2a . 两边平方并代入|PF 1|·|PF 2|＝2得20－2×2＝4a 2，解得a 2＝4，从而b 2＝5－4＝1， 所以双曲线方程为x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝17．设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切，求圆C 的圆心轨迹L 的方程．解：依题意得两圆的圆心分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)， 从而可得|CF 1|＋2＝|CF 2|－2或|CF 2|＋2＝|CF 1|－2， 所以||CF 2|－|CF 1||＝4<|F 1F 2|＝2 5. 所以圆心C 的轨迹是双曲线， 其中2a ＝4,2c ＝|F 1F 2|＝25， 即a ＝2，c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝1. 故L 的方程为x 24－y 2＝1.8．已知△ABC 的两个顶点A ，B 分别为椭圆x 2＋5y 2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A ，B ，C 满足关系式sin B －sin A ＝12sin C .(1)求线段AB 的长度； (2)求顶点C 的轨迹方程．解：(1)将椭圆方程化为标准形式为x 25＋y 2＝1.∴a 2＝5，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝4， 则A (－2,0)，B (2,0)，|AB |＝4. (2)∵sin B －sin A ＝12sin C ，∴由正弦定理得|CA |－|CB |＝12|AB |＝2<|AB |＝4，即动点C到两定点A，B的距离之差为定值．∴动点C的轨迹是双曲线的右支，并且c＝2，a＝1，∴所求的点C的轨迹方程为x2－y23＝1(x>1)．。