4充分条件与必要条件、全称与存在量词
高考数学一轮总复习课件：充分条件与必要条件、全称量词与存在量词
推出a>b.因此p是q的既不充分也不必要条件．
【答案】 ①p是q的充要条件 ②p是q的充分不必要条件
③p是q的必要不充分条件 ④p是q的既不充分也不必要条件
(3)设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的( C )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
＞b⇔f(a)＞f(b)⇔a|a|＞b|b|.选C.
状元笔记
判断充分必要条件的步骤 (1)弄清条件p和结论q分别是什么． (2)尝试p⇒q，q⇒p. (3)可简记为：充分条件是小推大，必要条件是大推小． (4)充要条件可以融入到数学各个分支，题型灵活多变，但 万变不离其宗，只要紧扣定义，结合其他知识，便可迎刃而 解．
第2课时 充分条件与必要条件、 全称量词与存在量词
[复习要求] 1.理解充分条件、必要条件与充要条件的意 义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量 词的命题进行否定．
课前自助餐
命题 用语言、符号或式子表达的，可以_判__断_真__假___的陈述句叫做 命题．
充分条件与必要条件 (1)若__p_⇒__q_且__q____p_，则p是q的充分不必要条件． (2)若_q_⇒__p_且__p_____q_，则p是q的必要不充分条件． (3)若___p_⇒_q_且__q⇒__p____，则p是q的充要条件． (4)若__p____q_且__q____p___，则p是q的既不充分也不必要条 件．
1”的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 若α＝β，则sin2α＋cos2β＝sin2α＋cos2α＝1， ∴“α＝β”是“sin2α＋cos2β＝1”的充分条件； 若sin2α＋cos2β＝1，则sin2α＝sin2β，得不出α＝β， ∴“α＝β”不是“sin2α＋cos2β＝1”的必要条件， ∴“α＝β”是“sin2α＋cos2β＝1”的充分不必要条件．故
充要条件、全称量词与存在量词
2021年新高考数学总复习：充要条件、全称量词与存在量词1．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p2.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)概念方法微思考若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．提示若A B，则p是q的充分不必要条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A B，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( √ )(2)若p 是q 的充要条件，则命题p 和q 是两个等价命题．( √ )(3)全称命题一定含有全称量词．( × )(4)∃x 0∈M ，p (x 0)与∀x ∈M ，綈p (x )的真假性相反．( √ )题组二 教材改编2．命题“正方形都是矩形”的否定是___________________________．答案 存在一个正方形，这个正方形不是矩形3．“x －3＝0”是“(x －3)(x －4)＝0”的______条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案 充分不必要题组三 易错自纠4．(2020·模考)命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0”的否定是( )A ．∀x ∈R ，x 2－x －1≤0B ．∀x ∈R ，x 2－x －1>0C ．∃x 0∈R ，x 20－x 0－1≤0D ．∃x 0∈R ，x 20－x 0－1≥0答案 A5．已知p ：x >a 是q ：2<x <3的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，2]解析 由已知，可得{x |2<x <3}{x |x >a }，∴a ≤2.6．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________． 答案 1解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上是增函数， ∴y max ＝tan π4＝1.依题意知，m ≥y max ，即m ≥1. ∴m 的最小值为1.题型一 充分、必要条件的判定例1 (1)已知α，β均为第一象限角，那么“α>β”是“sin α>sin β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件。
高中数学 第二节 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词 教案
第二节充分条件与必要条件、全称量词与存在量词核心素养立意下的命题导向1.与函数、不等式、解析几何等知识结合考查充分条件与必要条件的判断及应用，凸显逻辑推理的核心素养．2．以函数、不等式为载体考查全称命题、特称命题的否定及真假判断的应用，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．[理清主干知识]1．充分条件与必要条件的相关概念记p，q对应的集合分别为A，B，则p是q的充分条件p⇒q A⊆Bp是q的必要条件q⇒p A⊇Bp是q的充要条件p⇒q且q⇒p A＝Bp是q的充分不必要条件p⇒q且q p A Bp是q的必要不充分条件p q且q⇒p A Bp是q的既不充分p q且q p A B且A⊉B也不必要条件[提醒]有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．2．全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等∀存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等∃名称全称命题特称命题形式结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)否定∃x0∈M，綈p(x0)∀x∈M，綈p(x)[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(充分、必要条件的判断)“x<0”是“ln(x＋1)<0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B2．(全称命题的否定)命题“所有可以被5整除的整数，末位数字都是0”的否定为__________________________________．答案：“有些可以被5整除的整数，末位数字不是0”3．(特称命题的否定)命题“∃x0∈R，x20－x0－1>0”的否定为________________．答案：∀x∈R，x2－x－1≤04．(全(特)称命题的真假判断)下列命题中的真命题是______(填序号)．①∃x0∈R，lg x0＝1；②∃x0∈R，sin x0＝0；③∀x∈R，x3>0；④∀x∈R,2x>0.解析：当x＝10时，lg 10＝1，则①为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则②为真命题；当x≤0时，x3≤0，则③为假命题；由指数函数的性质知，∀x∈R,2x>0，则④为真命题．答案：①②④二、易错点练清1．(混淆否命题与命题的否定)命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是______________________．答案：存在一个奇数，它的立方不是奇数2．(对充分、必要条件的概念理解不清)已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q的__________条件．答案：充分不必要考点一充分条件与必要条件的判断[典例](1)(2020·天津高考)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2020·浙江高考)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析](1)由a2>a得a>1或a<0，反之，由a>1得a2>a，则“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件，故选A.(2)由m ，n ，l 在同一平面内，可能有m ，n ，l 两两平行，所以m ，n ，l 可能没有公共点，所以不能推出m ，n ，l 两两相交．由m ，n ，l 两两相交且m ，n ，l 不经过同一点，可设l ∩m ＝A ，l ∩n ＝B ，m ∩n ＝C ，且A ∉n ，所以点A 和直线n 确定平面α，而B ，C ∈n ，所以B ，C ∈α，所以l ，m ⊂α，所以m ，n ，l 在同一平面内．故选B. [答案] (1)A (2)B[方法技巧] 充分、必要条件的判断方法1．(多选)下列说法正确的是( )A ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分不必要条件B ．“1a ＞1b ”是“a ＜b ”的既不充分也不必要条件C ．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则A ⊆BD ．“a ＞b ＞0”是“a n ＞b n (n ∈N ，n ≥2)”的充要条件解析：选BC c ＝0时，由ac ＝bc 不能得出a ＝b ，A 错误；1a ＞1b 与a ＜b 相互不能推导，如a ＝2，b ＝－1时，满足1a ＞1b 但不满足a ＜b ，反之若a ＝－1，b ＝2，满足a ＜b 但不满足1a ＞1b ，∴“1a ＞1b ”是“a ＜b ”的既不充分也不必要条件，B 正确；由充分、必要条件与集合之间的包含关系可知C 正确；由a ＞b ＞0能得出a n ＞b n ，当a ＝－4，b ＝－2时，a 2＞b 2，但a ＜b ，D 错误．2．设λ∈R ，则“λ＝－3”是“直线2λx ＋(λ－1)y ＝1与直线6x ＋(1－λ)y ＝4平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x ＋4y ＋1＝0,3x ＋2y －2＝0，此时两条直线平行；若直线2λx ＋(λ－1)y ＝1与直线6x ＋(1－λ)y ＝4平行，则2λ×(1－λ)＝－6(1－λ)，所以λ＝－3或λ＝1，经检验，两者均符合．综上，“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的充分不必要条件，故选A.考点二 根据充分、必要条件求参数范围[典例] (1)已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1＜1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1](2)已知p ：(x －m )2>3(x －m )是q ：x 2＋3x －4<0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________． [解析] (1)由3x ＋1＜1得，3x ＋1－1＝2－x x ＋1＜0，即(x －2)(x ＋1)＞0，解得x ＜－1或x ＞2，由p 是q 的充分不必要条件知，k ＞2，故选B.(2)p 对应的集合A ＝{x |x <m 或x >m ＋3}，q 对应的集合B ＝{x |－4<x <1}．由p 是q 的必要不充分条件可知B A ，所以m ≥1或m ＋3≤－4，即m ≥1或m ≤－7. [答案] (1)B (2)(－∞，－7]∪[1，＋∞) [方法技巧]根据充分、必要条件求参数范围的思路方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时， 一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象． [针对训练]1．若“x >2”是“x >a ” 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a |a <2} B ．{a |a ≤2} C ．{a |a >2}D ．{a |a ≥2}解析：选C “由x >2”是“x >a ”的必要不充分条件，知{x |x >a }是{x |x >2}的真子集，将这两个集合表示在数轴上(如图)，由数轴知a >2，故选C. 2．设命题p ：2x －1x －1<0，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：解2x －1x －1<0，得12<x <1，所以p ：12<x <1；由q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1， 即q ：a ≤x ≤a ＋1.要使p 是q 的充分不必要条件，则⎝⎛⎭⎫12，1[a ，a ＋1]，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1，a ≤12，解得0≤a ≤12，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 答案：⎣⎡⎦⎤0，12 考点三 全称量词与存在量词考法(一) 全(特)称命题的否定[例1] (1)(2021·石家庄模拟)命题“∀x >0，xx －1>0”的否定是( )A ．∃x 0<0，x 0x 0－1≤0 B ．∃x 0>0,0≤x 0≤1 C ．∀x >0，xx －1≤0 D ．∀x <0,0≤x ≤1(2)(2021·山东师范大学附中模拟)已知命题p ：∃m ∈R ，f (x )＝2x －mx 是增函数，则 綈p 为( )A ．∃m ∈R ，f (x )＝2x －mx 是减函数B ．∀m ∈R ，f (x )＝2x －mx 是减函数C ．∃m ∈R ，f (x )＝2x －mx 不是增函数D ．∀m ∈R ，f (x )＝2x －mx 不是增函数 [解析] (1)因为x x －1>0，所以x <0或x >1，所以xx －1>0的否定是0≤x ≤1， 所以命题的否定是“∃x 0>0,0≤x 0≤1”，故选B.(2)由特称命题的否定可得綈p 为“∀m ∈R ，f (x )＝2x －mx 不是增函数”． [答案] (1)B (2)D [方法技巧]全(特)称命题进行否定的方法(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； (2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可．[提醒] 对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．考法(二) 全(特)称命题的真假判断[例2] (多选)下列命题说法错误的是( ) A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0 B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab ＝－1D ．若x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 中至少有一个大于1[解析] 根据指数函数的性质可得e x >0，故A 错误；x ＝2时，2x >x 2不成立，故B 错误；当a ＝b ＝0时，ab 没有意义，故C 错误；因为“x ＋y >2，则x ，y 中至少有一个大于1”的逆否命题为“x ，y 都小于等于1，则x ＋y ≤2”，是真命题，所以原命题为真命题，故D 正确．故选A 、B 、C. [答案] ABC[方法技巧] 判断全称命题、特称命题真假的思路考法(三) 根据全(特)称命题的真假求参数[例3] (2021·长沙模拟)已知命题“∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋1>0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(4，＋∞) B ．(0,4] C ．(－∞，4]D ．[0,4)[解析] 当原命题为真命题时，a >0且Δ<0，所以a >4，故当原命题为假命题时，a ≤4.故选C. [答案] C [方法技巧]根据全(特)称命题的真假求参数的思路与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．[针对训练]1．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n >x 2”的否定形式是( )A．∃x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2C．∃x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2D．∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2解析：选C根据全称命题的否定是特称命题，则命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2”的否定形式是“∃x∈R，∀n∈N *，使得n≤x2”．故选C.2．下列命题中的假命题是()A．∃x0∈R，lg x0＝0 B．∃x0∈R，tan x0＝0C．∀x∈R,3x>0 D．∀x∈R，x2>0解析：选D∃x0＝1，lg x0＝0；∃x0＝0，tan x0＝0；∀x∈R,3x>0；∀x∈R，x2≥0，所以D为假命题．故选D.3．已知命题p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则()A．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0B．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0C．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0D．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0解析：选B∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，∴p是假命题，綈p：∀x∈R，log2(3x ＋1)>0.故选B.4．已知命题“∃x0∈R,4x20＋(a－2)x0＋14≤0”是假命题，则实数a的取值范围为________．解析：因为命题“∃x0∈R,4x20＋(a－2)x0＋14≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R,4x2＋(a－2)x＋14>0”是真命题，则Δ＝(a－2)2－4×4×14＝a2－4a<0，解得0<a<4.答案：(0,4)创新思维角度——融会贯通学妙法避免充分必要条件在解题应用中的失误学习充分条件和必要条件的重要意义，在于自觉地把它们应用到解题中，其实有许多题目，本身虽然没有出现充分条件和必要条件的字样，但在思考中，会运用充要条件的概念．如果理解不到位，在做题时就会经常出错． 一、解题变形时错将必要不充分条件代替充要条件[例1] 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，求f (x )的解析式． [错解展示] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＋3＝0，a 2＋a ＋b ＋1＝10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.当a ＝4，b ＝－11时，f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16. 当a ＝－3，b ＝3时，f (x )＝x 3－3x 2＋3x ＋9.[易错矫正] 本题错误的根源在于：f ′(x 0)＝0是连续可导函数f (x )在x ＝x 0处取得极值的必要而非充分条件，只有在x ＝x 0的左右两侧导数符号相反时，函数f (x )才在x ＝x 0处取得极值．在错解中得到a ，b 的值后，再进一步对驻点情况加以判定．当a ＝4，b ＝－11时，f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝0的驻点是x ＝－113和x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由表格可知，f ′(x )在x ＝1两侧符号相反，故f (x )在x ＝1处取得极小值10，符合题意． 当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，经检验，不合题意，应舍去． 综上，所求解析式是f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16. 二、解题变形时错将充分不必要条件代替充要条件[例2] 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3＋S 6＝2S 9，求数列的公比q .[错解展示] 因为S 3＋S 6＝2S 9，所以a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2·a 1(1－q 9)1－q ，整理得q 3(2q 6－q 3－1)＝0.由q ≠0得方程2q 6－q 3－1＝0，所以(2q 3＋1)(q 3－1)＝0，解得q ＝－342或q ＝1.[易错矫正] 在错解中，由a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2·a 1(1－q 9)1－q ，整理得q 3(2q 6－q 3－1)＝0时，应有a 1≠0和q ≠1.在等比数列中，a 1≠0是显然的，但公比q 完全可能为1，因为q ≠1是数列{a n }为等比数列的充分不必要条件，因此，在解题时应先讨论公比q ＝1的情况，再考虑q ≠1的情况． 若q ＝1，则有S 3＝3a 1，S 6＝6a 1，S 9＝9a 1但a 1≠0， 即得S 3＋S 6≠2S 9，与题设矛盾，故q ≠1.又依题意S 3＋S 6＝2S 9⇒a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2·a 1(1－q 9)1－q ⇒q 3(2q 6－q 3－1)＝0，即(2q 3＋1)(q 3－1)＝0，因为q ≠1，所以q 3－1≠0，所以2q 3＋1＝0，解得q ＝－342. [名师微点]解题变形时先求出其必要条件，然后再检验其充分性并将扩大的部分舍去；或先求出一个充分条件，再对可能出现的遗漏进行补充．三、解题变形时错将既不充分也不必要条件当成充要条件[例3] 若函数f (x )＝a －3x1＋a ·3x (a 为常数)在定义域上为奇函数，则a 的值为________．[错解展示] 因为f (x )是奇函数， 所以f (0)＝0.即a －11＋a＝0，所以a ＝1. [易错矫正] f (0)＝0是函数f (x )为奇函数的既不充分也不必要条件，而本题错作为充要条件来用．因为f (x )是奇函数，所以f (x )＋f (－x )＝0.即a －3x 1＋a ·3x ＋a －3－x 1＋a ·3－x ＝0，所以(a 2－1)(3－x ＋3x )(1＋a ·3x )(1＋a ·3－x )＝0对定义域中的任意x 都成立，得a ＝±1. 当a ＝1时，f (x )＝1－3x 1＋3x，此时函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)；当a ＝－1时，f (x )＝－1＋3x1－3x ，此时函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，都关于原点对称．故a ＝±1. [答案] ±1 [课时跟踪检测]1．(2021·青岛模拟)已知命题p ：∀x ∈(1，＋∞)，x 2＋16>8x ，则命题p 的否定为( ) A ．綈p ：∀x ∈(1，＋∞)，x 2＋16≤8xB．綈p：∀x∈(1，＋∞)，x2＋16<8xC．綈p：∃x0∈(1，＋∞)，x20＋16≤8x0D．綈p：∃x0∈(1，＋∞)，x20＋16<8x0解析：选C全称命题的否定为特称命题，故命题p的否定綈p：∃x0∈(1，＋∞)，x20＋16≤8x0.故选C.2．(2021·山东济宁期末)下列命题中的假命题是()A．∀x∈R,2x－1>0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x0∈R，lg x0<1 D．∃x0∈R，tan x0＝2解析：选B∀x∈R,2x－1>0，根据y＝2x－1的图象知A正确；∀x∈N*，(x－1)2>0，取x＝1，计算知(x－1)2＝0，故B错误；∃x0∈R，lg x0<1，取x0＝1，计算lg x0＝0<1，故C正确；∃x0∈R，tan x0＝2，y＝tan x的值域为R，故D正确．故选B.3．设x∈R，则“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B由2－x≥0，得x≤2；由(x－1)2≤1，得－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，据此可知：“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的必要不充分条件．4．(2021·福州质检)已知函数f(x)＝3x－3－x，∀a，b∈R，则“a>b”是“f(a)>f(b)”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C易知函数f(x)＝3x－3－x为(－∞，＋∞)上的单调递增函数，从而由“a>b”可得“f(a)>f(b)”，由“f(a)>f(b)”可得“a>b”，即“a>b”是“f(a)>f(b)”的充要条件．5．(多选)对下列命题进行否定，得到的新命题是全称命题且为真命题的有()A．∃x∈R，x2－x＋14<0B．所有的正方形都是矩形C．∃x∈R，x2＋2x＋2≤0D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0解析：选AC命题的否定是全称命题，则原命题为特称命题，故排除B选项．命题的否定为真命题，则原命题为假命题，又选项A 、C 中的命题为假命题，选项D 中的命题为真命题，故选A 、C.6．设集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x |x ≥1}，则“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是( ) A ．－1<x ≤1 B ．x ≤1 C ．x >－1D ．－1<x <1解析：选D ∵集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x |x ≥1}，x ∈A 且x ∉B ，∴－1<x <1；又当 －1<x <1时，满足x ∈A 且x ∉B ，∴“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是“－1<x <1”． 7．已知p ：m ＝－1，q ：直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由题意得直线x ＋m 2y ＝0的斜率是－1，所以－1m 2＝－1，m ＝±1.所以p 是q 的充分不必要条件．故选A.8．(2021·重庆调研)定义在R 上的可导函数f (x )，其导函数为f ′(x )，则“f ′(x )为偶函数”是“f (x )为奇函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴[f (－x )]′＝[－f (x )]′＝－f ′(x )，∴f ′(－x )＝f ′(x )，即f ′(x )为偶函数；反之，若f ′(x )为偶函数，如f ′(x )＝3x 2，f (x )＝x 3＋1满足条件，但f (x )不是奇函数，所以“f ′(x )为偶函数”是“f (x )为奇函数”的必要不充分条件．故选B.9．(多选)下列命题正确的是( ) A ．“a >1”是“1a<1”的充分不必要条件B ．命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是“∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1”C ．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的必要不充分条件D ．设a ，b ∈R ，则“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件解析：选ABD 若1a <1，则a >1或a <0，则“a >1”是“1a <1”的充分不必要条件，故A 正确； 根据特称命题的否定为全称命题，得“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是“∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1”，故B 正确；当x ≥2且y ≥2时，x 2＋y 2≥4，当x 2＋y 2≥4时却不一定有x ≥2且y ≥2，如x ＝5，y ＝0，因此“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的充分不必要条件，故C 错误；因为“ab ＝0”是“a ＝0”的必要不充分条件，所以“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件，故D 正确．故选A 、B 、D.10．若x >2m 2－3是－1<x <4的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－3,3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．[－1,1]解析：选D ∵x >2m 2－3是－1<x <4的必要不充分条件，∴(－1,4)(2m 2－3，＋∞)，∴2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1，故选D.11．(多选)设a 是实数，则a <5成立的一个必要不充分条件是( ) A ．a <6 B ．a <4 C ．a 2<25D ．3a ＋4≤20解析：选AD 对于A ：∵a <5⇒a <6，但a <6 a <5， ∴a <6是a <5成立的一个必要不充分条件，故A 正确． 对于B ：∵a <5a <4，但a <4⇒a <5，∴a <4是a <5成立的一个充分不必要条件，故B 错误． 对于C ：∵a 2<25⇔－5<a <5， ∴a 2<25⇒a <5，但a <5a 2<25，∴a 2<25是a <5的一个充分不必要条件，故C 错误． 对于D ：∵3a ＋4≤20，∴a ≤163， ∴a <5⇒a ≤163，但a ≤163a <5， ∴3a ＋4≤20是a <5的一个必要不充分条件，故D 正确．故选A 、D. 12．(多选)下列有关命题的说法正确的是( ) A ．∃x 0∈(0，π)，使得2sin x 0＋sin x 0＝2成立 B ．命题p ：任意x ∈R ，都有cos x ≤1，则綈p ：存在x 0∈R ，使得cos x 0>1 C ．命题“∀x ∈(0，π)，sin x >cos x ”为真命题D ．若数列{a n }是等比数列，m ，n ，p ∈N *，则“a m ·a n ＝a 2p ”是“m ＋n ＝2p ”的必要不充分条件解析：选BD 对于A 选项，由2sin x ＋sin x ＝2，得sin 2x －2sin x ＋2＝0，其判别式Δ＝4－8＝－4<0，此方程无解，故A 选项错误．对于B 选项，全称命题的否定是特称命题，前提中“任意”改为“存在”，结论为补集形式，故B 选项正确．对于C 选项，当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π4时，sin x ≤cos x ，故C 选项错误．对于D 选项，在等比数列{a n }中，a n ＝1，则a 1·a 2＝a 23，但1＋2≠2×3；另一方面，根据等比数列的性质，若m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a 2p .所以“a m ·a n ＝a 2p ”是“m ＋n ＝2p ”的必要不充分条件．故选B 、D. 13．命题p 的否定是“对所有正数x ，x >x ＋1”，则命题p 可写为________________________．解析：因为p 是綈p 的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可． 答案：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0≤x 0＋114．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，m ≥2tan x ”是真命题，则实数m 的最小值为________． 解析：当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3时，2tan x 的最大值为2tan π3＝23，∴m ≥23，实数m 的最小值为2 3. 答案：23。
第二节 充分条件与必要条件、全称量词和存在量词
3-1 已知命题p:∃x0∈R,log2( 3x+0 1)≤0,则 ( B ) A.p是假命题;¬p:∀x∈R,log2(3x+1)≤0 B.p是假命题;¬p:∀x∈R,log2(3x+1)>0 C.p是真命题;¬p:∀x∈R,log2(3x+1)≤0 D.p是真命题;¬p:∀x∈R,log(3x+1)>0
x 1
A.∃x0<0,
x0 x0
≤0
1
C.∀x>0, x ≤0
x 1
B.∃x0>0,0≤x0≤1 D.∀x<0,0≤x≤1
考点突破
(2)命题“∃x0∈R,1<f(x0)≤2”的否定形式是 ( D ) A.∀x∈R,1<f(x)≤2 B.∃x0∈R,1<f(x0)≤2 C.∃x0∈R, f(x0)≤1或f(x0)>2 D.∀x∈R, f(x)≤1或f(x)>2
考点突破 栏目索引
命题方向三 根据命题的真假求参数
典例5 已知命题“∃x0∈R,2 x02+(a-1)x0+ 12≤0”是假命题,则实数a的取
值范围是 ( B ) A.(-∞,-1) B.(-1,3) C.(-3,+∞) D.(-3,1)
答案 B 原命的否定为∀x∈R,2x2+(a-1)x+ 1>0,由题意知,其为真命题,
考点突破 栏目索引
2-1 使“a>0,b>0”成立的一个必要不充分条件是 ( A ) A.a+b>0 B.a-b>0
C.ab>1 D. a >1
b
答案 A 由a>0,b>0⇒a+b>0,反之不成立,而由a>0,b>0不能推出a-b>0,
高考数学一轮复习2 第2讲 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词
第2讲充分条件与必要条件、全称量词与存在量词最新考纲考向预测1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．2．理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定.命题趋势含有一个量词的命题的否定和充分必要条件的判定是高考的重点，一般多与集合、函数、不等式、立体几何结合，考查考生的推理能力，考查形式以基础题为主，低档难度.核心素养逻辑推理、数学抽象1．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒/pp是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒p p是q的充要条件p⇔q p是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．2．全称命题和特称命题(1)全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、∃有些、某些等(2)全称命题和特称命题名称形式全称命题特称命题结构对M中任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x 0，使p(x0)成立简记∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)否定∃x0∈M，﹁p(x0)∀x∈M，﹁p(x) 常用结论1．集合与充要条件：设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B，(1)p是q的充分不必要条件⇔A B；(2)p是q的必要不充分条件⇔A B；(3)p是q的充要条件⇔A＝B.2．全称命题与特称命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．常见误区1．命题的条件与结论不明确致误；2．含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提而致误；3．对充分必要条件判断不明致误．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(2)q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立．()(3)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．()(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，﹁p(x)的真假性相反．()答案：(1)√(2)√(3)√(4)√2．(多选)下列命题的否定是全称命题且为真命题的有()A．∃x∈R，x2－x＋14<0B．所有的正方形都是矩形C．∃x∈R，x2＋2x＋2＝0D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0解析：选AC.由条件可知：原命题为存在性命题且为假命题，所以排除BD；又因为x2－x＋14＝⎝⎛⎭⎪⎫x－122≥0，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0，所以AC均为存在性命题且为假命题，故选AC.3．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件．4．(易错题)命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是__________________________．答案：存在两个全等三角形的面积不相等5．已知p：x＝2，q：x－2＝2－x，则p是q的________条件．解析：当x－2＝2－x时，两边平方可得(x－2)2＝2－x，即(x－2)(x－1)＝0，解得x1＝2，x2＝1.当x＝1时，－1＝1，不成立，故舍去，则x＝2.所以p是q的充要条件．答案：充要全称命题与特称命题[题组练透]1．下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，e x ＞0 B ．∀x ∈N ，x 2＞0 C ．∃x 0∈R ，ln x 0＜1D ．∃x 0∈N *，sin π2x 0＝1解析：选B.对于B.当x ＝0时，x 2＝0，因此B 中命题是假命题．2．(2021·沈阳市教学质量监测(一))命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，x 13≠x 15，则﹁p 为( )A ．∃x 0∈(0，＋∞)，x 013＝x 015B ．∀x ∈(0，＋∞)，x 13＝x 15 C ．∃x 0∈(－∞，0)，x 013＝x 015 D ．∀x ∈(－∞，0)，x 13＝x 15解析：选A.由全称命题的否定为特称命题知，﹁p 为∃x 0∈(0，＋∞)，x 013＝x 015，故选A.3．(多选)(2021·海南海口第四中学期中)下列关于二次函数y ＝(x －2)2－1的说法正确的是( )A ．∀x ∈R ，y ＝(x －2)2－1≥1B ．∀a >－1，∃x 0∈R ，y ＝(x 0－2)2－1<aC ．∀a <－1，∃x 0∈R ，y ＝(x 0－2)2－1＝aD ．∃x 1≠x 2，(x 1－2)2－1＝(x 2－2)2－1解析：选BD.对于二次函数y ＝(x －2)2－1，其图象开口向上，对称轴为直线x ＝2，最小值为－1，所以∀x ∈R ，y ＝(x －2)2－1≥－1，所以A 项错误；B 项，∀a >－1，∃x 0∈R ，y ＝(x 0－2)2－1<a 正确；C 项，∀a <－1，∃x 0∈R ，y ＝(x 0－2)2－1＝a 错误；D项，∃x1≠x2，(x1－2)2－1＝(x2－2)2－1正确．4．(2020·宁夏石嘴山期中)若命题“∃t∈R，t2－2t－a<0”是假命题，则实数a的取值范围是____________．解析：因为命题“∃t∈R，t2－2t－a<0”为假命题，所以命题“∀t∈R，t2－2t－a≥0”为真命题，所以Δ＝(－2)2－4×1×(－a)＝4a＋4≤0，即a≤－1.答案：(－∞，－1]全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题为真否定为假假存在一个对象使命题为假否定为真特称命题真存在一个对象使命题为真否定为假假所有对象使命题为假否定为真[提醒]因为命题p与﹁p的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．充分条件、必要条件的判断(1)(2021·山东烟台一模)设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋2x－3>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2020·高考浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】(1)解不等式|x－2|<1，即－1<x－2<1，解得1<x<3.解x2＋2x－3>0即(x－1)(x＋3)>0，得x<－3或x>1.记P＝{x|1<x<3}，Q＝{x|x<－3或x>1}．显然P Q，所以“|x－2|<1”是“x2＋2x－3>0”的充分不必要条件．故选A.(2)由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交．由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A∉n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m⊂α，所以m，n，l在同一平面内，故选B.【答案】(1)A(2)B充分条件、必要条件的两种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．1．(2020·高考天津卷)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由a2>a得a>1或a<0，反之，由a>1得a2>a，则“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件，故选A.2．(2021·开封市第一次模拟考试)若a，b是非零向量，则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选 B.因为a ，b 为非零向量，a ·b >0，所以由向量数量积的定义知，a 与b 的夹角为锐角或a 与b 方向相同；反之，若a 与b 的夹角为锐角，由向量数量积的定义知，a ·b >0成立．故“a ·b >0”是“a 与b 的夹角为锐角”的必要不充分条件．故选 B.充分条件、必要条件的探求及应用已知条件p ：集合P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，条件q ：非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若p 是q 的必要条件，求m 的取值范围．【解】 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， 所以P ＝{x |－2≤x ≤10}， 由p 是q 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤1＋m ，1－m≥－2，1＋m≤10，所以0≤m ≤3. 所以当0≤m ≤3时，p 是q 的必要条件， 即所求m 的取值范围是[0，3]． 【引申探究】1．(变问法)本例条件不变，若x ∈P 的必要条件是x ∈S ，求m 的取值范围． 解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}，若x ∈P 的必要条件是x ∈S ，即x ∈S 是x ∈P 的必要条件，所以P ⊆S ，所以可以得到⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤1＋m ，1－m≤－2，1＋m≥10，解得m ≥9.故m 的取值范围是[9，＋∞)．2．(变问法)本例条件不变，是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？解：不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}．若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，故满足题意的m 不存在．利用充要条件求参数的关注点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．1．命题“∀x ∈[1，3]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≥9 B ．a ≤9 C ．a ≥10D ．a ≤10解析：选 C.命题∀x ∈[1，3]，x 2－a ≤0⇔∀x ∈[1，3]，x 2≤a ⇔9≤a .则“a ≥10”是命题“∀x ∈[1，3]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件．故选C.2．(2021·武汉质检)关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是________．解析：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是⎩⎨⎧Δ＝b2－4ac>0，ca <0.即ac <0. 答案：ac <0核心素养系列2 逻辑推理——突破双变量“存在性或任意性”问题逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程．包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ，g (x )＝196x －13，若对任意x 1∈[－1，1]，总存在x 2∈[0，2]，使得f ′(x 1)＋2ax 1＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．【解】 由题意知，g (x )在[0，2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，6.令h (x )＝f ′(x )＋2ax ＝3x 2＋2x －a (a ＋2)， 则h ′(x )＝6x ＋2，由h ′(x )＝0得x ＝－13.当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－13时，h ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－13，1时，h ′(x )>0，所以[h (x )]min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－a 2－2a －13.又由题意可知，h (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，6的子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧h （－1）≤6，－a2－2a －13≥－13，h （1）≤6，解得实数a 的取值范围是[－2，0]．(1)理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键．此类问题求解的策略是“等价转化”，即“函数f (x )的值域是g (x )的值域的子集”，从而利用包含关系构建关于a 的不等式组，求得参数的取值范围．(2)解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质．1．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3，g (x )＝log 2x ＋m ，对任意的x 1，x 2∈[1，4]有f (x 1)>g (x 2)恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，当x ∈[1，4]时，f (x )min ＝f (1)＝2，g (x )max ＝g (4)＝2＋m ，则f (x )min >g (x )max ，即2>2＋m ，解得m <0，故实数m 的取值范围是(－∞，0)．答案：(－∞，0)2．已知函数f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若对∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．解析：当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m .由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m .所以m ≥14.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞[A 级 基础练]1．(2021·全国统一考试)设命题p ：所有正方形都是平行四边形，则綈p 为( ) A ．所有正方形都不是平行四边形 B ．有的平行四边形不是正方形 C ．有的正方形不是平行四边形D ．不是正方形的四边形不是平行四边形解析：选 C.全称量词命题的否定为特称量词命题，即“有的正方形不是平行四边形”．2．(2021·开封市模拟考试)已知命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则﹁p 为( ) A ．∀n ∈N ，n 2>2n B ．∃x ∈N ，n 2≤2n C ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n解析：选 C.因为特称命题的否定是把存在量词改为全称量词，同时否定结论，所以﹁p ：∀n ∈N ，n 2≤2n ，故选C.3．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ” 是“A ∩B＝∅”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由A ⊆C ，B ⊆∁U C ，易知A ∩B ＝∅，但A ∩B ＝∅时未必有A ⊆C ，B ⊆∁U C ，如图所示，所以“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充分不必要条件．4．已知f (x )＝sin x －x ，命题p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0，则( )A ．p 是假命题，﹁p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0 B ．p 是假命题，﹁p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0 C ．p 是真命题，﹁p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0D ．p 是真命题，﹁p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0 解析：选C.由已知得，f ′(x )＝cos x －1<0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，因为f (0)＝0，所以f (x )<0，所以命题p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0是真命题，﹁p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0，故选C.5．(2021·西安五校联考)“ln(x ＋1)<0”是“x 2＋2x <0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由ln(x ＋1)<0得0<x ＋1<1，－1<x <0，由x 2＋2x <0得－2<x <0，所以“ln(x ＋1)<0”是“x 2＋2x <0”的充分不必要条件，故选A.6．(2021·山东潍坊一模)“a <1”是“∀x >0，x2＋1x ≥a ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.当x >0时，x2＋1x ＝x ＋1x ，由均值不等式可得x ＋1x ≥2x×1x ＝2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立．所以x2＋1x ≥a 的充要条件为a ≤2.(实质就是条件的等价转化)显然“a <1”是“a ≤2”的充分不必要条件，所以“a <1”是“∀x >0，x2＋1x ≥a ”的充分不必要条件．故选A.7．(多选)已知a ，b ，c 是实数，则下列结论中正确的是( )A ．“a 2>b 2”是“a >b ”的充分条件B ．“a 2>b 2”是“a >b ”的必要条件C ．“ac 2>bc 2”是“a >b ”的充分条件D ．“|a |>|b |”是“a >b ”的既不充分也不必要条件解析：选CD.对于A ，当a ＝－5，b ＝1时，满足a 2>b 2，但是a <b ，所以充分性不成立；对于B ，当a ＝1，b ＝－2时，满足a >b ，但是a 2<b 2，所以必要性不成立；对于C ，由ac 2>bc 2得c ≠0，则有a >b 成立，即充分性成立，故正确；对于D ，当a ＝－5，b ＝1时，|a |>|b |成立，但是a <b ，所以充分性不成立，当a ＝1，b ＝－2时，满足a >b ，但是|a |<|b |，所以必要性也不成立，故“|a |>|b |”是“a >b ”的既不充分也不必要条件．故选CD.8．(多选)下列说法正确的是( )A ．“x ＝π4”是“tan x ＝1”的充分不必要条件B ．定义在[a ，b ]上的偶函数f (x )＝x 2＋(a ＋5)x ＋b 的最大值为30C ．命题“∃x 0∈R ，x 0＋1x0≥2”的否定是“∀x ∈R ，x ＋1x >2”D ．函数y ＝sin x ＋cos x －2无零点解析：选AB.由x ＝π4，得tan x ＝1，但有tan x ＝1推不出x ＝π4，所以“x ＝π4”是“tan x ＝1”的充分不必要条件，所以A 是正确的；若定义在[a ，b ]上的函数f (x )＝x 2＋(a ＋5)x ＋b 是偶函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋5＝0，a ＋b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝5，则f (x )＝x 2＋5，在[－5，5]上的最大值为30，所以B 是正确的；命题“∃x 0∈R ，x 0＋1x0≥2”的否定是“∀x ∈R ，x ＋1x<2”，所以C 是错误的；当x ＝π4时，y ＝sin x ＋cos x －2＝0，故D 是错误的． 9．若命题p 的否定是“∀x ∈(0，＋∞)，x >x ＋1”，则命题p 可写为____________________．解析：因为p 是﹁p 的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可．答案：∃x 0∈(0，＋∞)，x0≤x 0＋110．在△ABC 中，“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的________条件．解析：由A ＝B ，得tan A ＝tan B ，反之，若tan A ＝tan B ，则A ＝B ＋k π，k ∈Z .因为0<A <π，0<B <π，所以A ＝B ，故“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的充要条件．答案：充要11．条件p ：x >a ，条件q ：x ≥2.(1)若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．解：设A ＝{x |x >a }，B ＝{x |x ≥2}，(1)因为p 是q 的充分不必要条件，所以A B ，所以a ≥2，所以a 的取值范围是[2，＋∞)．(2)因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，所以a <2.所以a 的取值范围是(－∞，2)．12．已知集合A ＝{x |a －2<x <a ＋2}，B ＝{x |x ≤－2或x ≥4}，求A ∩B ＝∅的充要条件．解：A ∩B ＝∅⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2≤4，a －2≥－2⇔0≤a ≤2. 所以A ∩B ＝∅的充要条件是0≤a ≤2.[B 级 综合练]13．(多选)(2021·山东德州夏津第一中学月考)已知两条直线l ，m 及三个平面α，β，γ，则α⊥β的充分条件是( )A ．l ⊂α，l ⊥βB ．l ⊥α，m ⊥β，l ⊥mC ．α⊥γ，β∥γD ．l ⊂α，m ⊂β，l ⊥m解析：选ABC.由面面垂直的判定定理可以判断A ，B ，C 项均符合题意；对于D 项，由l ⊂α，m ⊂β，l ⊥m 也可以得到α∥β，所以D 项不符合题意．故选ABC.14．设p ：－m ＋12<x <m －12(m >0)；q ：x <12或x >1，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：因为p 是q 的充分不必要条件，又m >0，所以m －12≤12，所以0<m ≤2.所以实数m 的取值范围是(0，2]．[C 级 创新练]15．若a ，b 都是实数，试从①ab ＝0；②a ＋b ＝0；③a (a 2＋b 2)＝0；④ab ＞0中选出适合的条件，用序号填空．(1)“a ，b 都为0”的必要条件是________；(2)“a ，b 都不为0”的充分条件是________；(3)“a ，b 至少有一个为0”的充要条件是________．解析：①ab ＝0⇔a ＝0或b ＝0，即a ，b 至少有一个为0；②a ＋b ＝0⇔a ，b 互为相反数，则a ，b 可能均为0，也可能为一正一负；③a (a 2＋b 2)＝0⇔a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0；④ab >0⇔⎩⎨⎧a>0，b>0或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，b<0，则a ，b 都不为0. 答案：(1)①②③ (2)④ (3)①16．一学校开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求实数m 的取值范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m ＞0”是真命题，求实数m 的取值范围．你认为，两位同学题中实数m 的取值范围是否一致？并说明理由．解：两位同学题中实数m 的取值范围是一致的．因为“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”，而“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，则其否定“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”是真命题．所以两位同学题中实数m 的取值范围是一致的．。
专题02 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词(重难点突破)(解析版)
专题02 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词一、知识结构思维导图二、学法指导与考点梳理知识点一充分条件与必要条件(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)几点说明知识点二充要条件(1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．(2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．知识点三全称量词和存在量词(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：∀x∈M，p(x)．(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．知识点四含有一个量词的命题的否定一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)；(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)．全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．【知识拓展】1．充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；2.若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．①若A B，则p是q的充分不必要条件；②若A⊇B，则p是q的必要条件；③若A B，则p是q的必要不充分条件；④若A＝B，则p是q的充要条件；⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．三、重难点题型突破重难点1 充分必要条件的判断例1（1）.（2019·全国高一课时练习）“x+y=3”是“x=1且y=2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也必要条件【答案】B【解析】当x=0，y=3时，满足x+y=3，但x=1且y=2不成立，即充分性不成立，若x=1且y=2，则x+y=3成立，即必要性成立，即“x +y =3”是“x =1且y =2”的必要不充分条件。
高中数学：常用逻辑用语
常用逻辑用语一、知识框架1.命题定义：用语言、符号或式子表达的、可以判断正误的陈述语句，叫做命题。
其中，判断为真的即为真命题，为假的即为假命题。
2.命题的判断以及命题真假的判断（1）命题的判断：①判断该语句是否是陈述句；②能否判断真假。
（2）命题真假的判断：首先，分清条件与结论，其次，再判断命题真假。
3.一般地，用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用¬p 和¬q 表示p 与q 的否定，即如下：（四种命题的关系）4.充分条件和必要条件 （1）充分条件：如果A 成立，那么B 成立，则条件A 是B 成立的充分条件。
（2）必要条件：如果A 成立，那么B 成立，这时B 是A 的必然结果，则条件B 是A 成立的必要条件。
（3）充要条件：如果A 既是B 成立的充分条件，又是B 成立的必要条件，则A 是B 成立的充要条件，与此同时，B 也一定是A 成立的重要条件，所以此时，A 、B 互为充要条件。
【注意】充分条件与必要条件是完全等价的，是同一逻辑关系“A ＝＞B ”的不同表达方法。
5.逻辑联结词（1）不含逻辑联结词的命题是简单命题，由简单命题和逻辑联结词“或”“且”“非”构成的命题是复合命题，它们有以下几种形式：p 或q （p ∨q ）；p 且q （p ∧q ）；非p （¬p ）。
（2）逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解 在集合中学习的“并集”“交集”“补集”与逻辑联结词中的“或”“且”“非”关系十分密切。
6.量词与命题量词名称 常见量词表示符号全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 ∀存在量词 存在一个、至少有一个、某个、有些、某些等∃命 题 表述形式 原命题 若p 则q 逆命题 若q 则p 否命题 若¬p 则¬q 逆否命题若¬q 则¬p（2）全称命题与特称命题 命题全称命题“()x p M x ,∈∀”特称命题“()00,x p M x ∈∃”定义短语“对所有的”“对任意一个”等，在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示。
第1章 第2节 充分条件与必要条件全称量词与存在量词2023届高三一轮复习数新高考人教A版2019)
∴∃ x0∈R，f(－x0)≠f(x0)为真命题，故选C.
►规律方法 (1)全称命题与特称命题的否定 ①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的 要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写. ②否定结论：对原命题的结论进行否定. (2)全称命题与特称命题真假的判断方法
2.本例条件不变，若x∈ P是x∈ S的充分条件，求m的 取值范围.
►规律方法
利用充要条件求参数应关注两点 (1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要 条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列 出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界 或区间端点值的检验，从而确定取舍.
A
6.能够说明“设a，b，c是任意实数.若a＞b＞c，
则a＋b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为 _－__2_，__－__4_，__－__5_(答__案__不__唯__一__)__.
解析 a＞b＞c，取a＝－2，b＝－4，c＝－5， 则a＋b＝－6＜c.
A
C
►规律方法
充要条件的三种判断方法 (1)定义法：根据p⇒ q，q⇒ p进行判断. (2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包 含关系进行判断. (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价 性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方 法特别适合以否定形式给出的问题.
D
B
命题点2 全称命题、特称命题的真假判断 [例3－2]已知定义域为R的函数f(x)不是偶函) B.∀ x∈R，f(－x)≠－f(x) C.∃ x0∈R，f(－x0)≠f(x0) D.∃ x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高三文科数学 晚练四
班级 姓名
1、（广东广州）如果命题“p q 且”是假命题，“非p ”是真命题，那么（ ）
A 、命题p 一定是真命题
B 、命题q 一定是真命题
C 、命题q 一定是假命题
D 、命题q 可以是真命题，也可以是假命题
2、如果命题“若p ，则q ”的逆命题是真命题，则下列命题一定为真命题的是（ ）
A 、若p ，则q
B 、若非p ，则非q
C 、若非q ，则非p
D 、以上都不对
3、给出命题：若函数()y f x =是幂函数，则函数()y f x =的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ ）
A 、3个
B 、2个
C 、1个
D 、0个
4、若命题:p x A B ∈ ，则p ⌝是（ ）
A 、x A x
B ∈∉且 B 、x A x B ∉∉或
C 、x A x B ∉∉且
D 、x A B ∈
5、下列命题：①至少有一个x 使2+210x x +=成立；②对任意的x 都有2+210x x +=成立；③对任意的x 都有2+210x x +=不成立；④存在x 使2+210x x +=成立.其中是全称命题的有（ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、0个
6、已知命题21:,04p x R x x ∀∈-+
<；命题000:,sin cos q x R x x ∃∈+=，则下列判断正确的是（ ）
A 、p 是真命题
B 、q 是假命题
C 、p ⌝是假命题
D 、q ⌝是假命题
7、下列四个命题中：①2,2340x R x x ∀∈-+>；②{}1,1,0,210x x ∀∈-+>；③,
x N ∃∈使2x x <；④,x N ∃∈使x 为29的约数.其中正确的为 .
8、命题“存在一个三角形是直角三角形”的否定为 . 命题“不是每一个人都会开车”的否定为 .
9、命题“任意的实数x ，都是方程370x +≠的根”的否定为 ,这是 命题（写“真”或“假”）.。