学案1：8.5.3 平面与平面平行

8.5.3平面与平面平行【导学聚焦】【问题导学】预习教材内容，思考以下问题：1．面面平行的判定定理是什么？2．面面平行的性质定理是什么？【新知初探】1．平面与平面平行的判定定理■名师点拨(1)平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的．(2)面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．2．平面与平面平行的性质定理■名师点拨(1)用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：①平面α和平面β平行，即α∥β；②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.以上三个条件缺一不可．(2)已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．(3)该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面．【基础自测】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．()(2)若α∥β，则平面α内有无数条互相平行的直线平行于平面β.()(3)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线异面．()若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是()A．一定平行B．一定相交C．平行或相交D．以上判断都不对下列命题正确的是()A．若直线a⊂平面α，直线a∥平面β，则α∥βB．若直线a∥直线b，直线a∥平面α，则直线b∥平面αC．若直线a∥直线b，直线b⊂平面α，则直线a∥平面αD．若直线a与直线b是异面直线，直线a⊂α，则直线b有可能与α平行如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．【探究互动】探究点一 平面与平面平行的判定【例1】如图所示，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1.(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ；(2)若E ，F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD .[互动探究][变条件]把本例(2)的条件改为“E ，F 分别是AA 1与CC 1上的点，且A 1E ＝14A 1A ”，求F 在何位置时，平面EB 1D 1∥平面FBD ?【规律方法】证明面面平行的方法(1)要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面即可．(2)判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．【跟踪训练】已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在P A，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，求证：平面MNQ∥平面PBC.探究点二面面平行性质定理的应用【例2】如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于点B，A和D，C，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN∥平面α.[互动探究]1．[变条件]在本例中将M ，N 分别为AB ，CD 的中点换为M ，N 分别在线段AB ，CD 上，且AM MB ＝CN ND，其他不变．证明：MN ∥平面α.2．[变条件、变问法]两条异面直线与三个平行平面α，β，γ分别交于A ，B ，C 和D ，E ，F ，求证：AB BC ＝DE EF.【规律方法】应用平面与平面平行性质定理的基本步骤[提醒] 面面平行性质定理的实质：面面平行⇒线线平行，体现了转化思想．与判定定理交替使用，可实现线面、线线、面面平行间的相互转化．【跟踪训练】如图，已知α∥β，点P 是平面α、β外的一点(不在α与β之间)，直线PB 、PD分别与α、β相交于点A、B和C、D.(1)求证：AC∥BD；(2)已知P A＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长．探究点三平行关系的综合问题【例3】在正方体ABCD A1B1C1D1中，如图．(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC.【规律方法】解决平行关系的综合问题的方法(1)在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．(2)要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的性质，实现相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．【跟踪训练】如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM ＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.【达标反馈】1．已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是() A．平面α内有一条直线与平面β平行B．平面α内有两条直线与平面β平行C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行D．平面α与平面β不相交2.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段P A，PB，PC于A′，B′，C′，若P A′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于()A．2∶25B．4∶25C．2∶5 D．4∶53．在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．4.如图，已知AB与CD是异面直线，且AB∥平面α，CD∥平面α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝G，BC∩α＝H.求证：四边形EFGH是平行四边形．【参考答案】【新知初探】1．两条相交直线a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α2．平行a∥b【基础自测】答案：(1)×(2)√(3)×答案：C答案：D解析：因为平面ABFE∥平面CDHG，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CDHG＝HG，所以EF∥HG，同理EH∥FG.所以四边形EFGH的形状是平行四边形．答案：平行四边形【探究互动】探究点一平面与平面平行的判定【例1】【证明】(1)因为B1B═∥DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以B1D1∥BD，又BD⊄平面B1D1C，B1D1⊂平面B1D1C，所以BD∥平面B1D1C，同理A1D∥平面B1D1C.又A1D∩BD＝D，所以平面A1BD∥平面B1D1C.(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1.取BB1的中点G，连接AG，GF，易得AE∥B1G，又因为AE＝B1G，所以四边形AEB1G是平行四边形，所以B1E∥AG.易得GF ∥AD ，又因为GF ＝AD ，所以四边形ADFG 是平行四边形， 所以AG ∥DF ，所以B 1E ∥DF ，所以DF ∥平面EB 1D 1.又因为BD ∩DF ＝D ，所以平面EB 1D 1∥平面FBD .[互动探究]解：当F 满足CF ＝14CC 1时，两平面平行，下面给出证明： 在D 1D 上取点M ，且DM ＝14DD 1，连接AM ，FM ，则AE ═∥D 1M ，从而四边形AMD 1E 是平行四边形．所以D 1E ∥AM ，同理，FM ═∥CD ，又因为AB ═∥CD ，所以FM ═∥AB ，从而四边形FMAB 是平行四边形，所以AM ∥BF ，即有D 1E ∥BF . 又BF ⊂平面FBD ，D 1E ⊄平面FBD ，所以D 1E ∥平面FBD .又B 1B ═∥D 1D ，从而四边形BB 1D 1D 是平行四边形，故而B 1D 1∥BD ， 又BD ⊂平面FBD ，B 1D 1⊄平面FBD ，从而B 1D 1∥平面FBD ， 又D 1E ∩B 1D 1＝D 1，所以平面EB 1D 1∥平面FBD .【跟踪训练】证明：因为PM ∶MA ＝BN ∶ND ＝PQ ∶QD ，所以MQ ∥AD ，NQ ∥BP ， 而BP ⊂平面PBC ，NQ ⊄平面PBC ，所以NQ ∥平面PBC ，又因为四边形ABCD 为平行四边形，所以BC ∥AD ，所以MQ ∥BC . 而BC ⊂平面PBC ，MQ ⊄平面PBC ，所以MQ ∥平面PBC .又MQ ∩NQ ＝Q ，所以平面MNQ ∥平面PBC .探究点二 面面平行性质定理的应用【例2】【证明】 如图，过点A 作AE ∥CD 交α于点E ，取AE 的中点P ， 连接MP ，PN ，BE ，ED ，BD ，AC .因为AE ∥CD ，所以AE ，CD 确定平面AEDC .则平面AEDC ∩α＝DE ，平面AEDC ∩β＝AC ，因为α∥β，所以AC ∥DE ，又P ，N 分别为AE ，CD 的中点，所以PN ∥DE ，PN ⊄α，DE ⊂α，所以PN ∥α.又M ，P 分别为AB ，AE 的中点，所以MP ∥BE ，且MP ⊄α，BE ⊂α.所以MP ∥α，因为MP ∩PN ＝P ，所以平面MPN ∥α.又MN ⊂平面MPN ，所以MN ∥平面α.[互动探究]1．证明：作AE ∥CD 交α于点E ，连接AC ，BD ，如图．因为α∥β且平面AEDC 与平面α，β的交线分别为ED ，AC ，所以AC ∥ED ，所以四边形AEDC 为平行四边形，作NP ∥DE 交AE 于点P ，连接MP ，BE ，于是CN ND ＝AP PE. 又因为AM MB ＝CN ND ，所以AM MB ＝AP PE，所以MP ∥BE . 而BE ⊂α，MP ⊄α，所以MP ∥α.同理PN ∥α.又因为MP ∩NP ＝P ，所以平面MPN ∥平面α.又MN ⊂平面MPN ，所以MN ∥平面α.2．证明：连接AF 交平面β于点M ，连接MB ，ME ，BE ，AD ，CF ，因为α∥β，所以ME ∥AD .所以DE EF ＝AM MF ，同理，BM ∥CF ， 所以AB BC ＝AM MF ，即AB BC ＝DE EF. 【跟踪训练】解：(1)证明：因为PB ∩PD ＝P ，所以直线PB 和PD 确定一个平面γ，则α∩γ＝AC ，β∩γ＝BD .又α∥β，所以AC ∥BD .(2)由(1)得AC ∥BD ，所以P A AB ＝PC CD ，所以45＝3CD， 所以CD ＝154(cm)，所以PD ＝PC ＋CD ＝274(cm)． 探究点三 平行关系的综合问题【例3】【解】 (1)证明：因为在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AD ═∥B 1C 1，所以四边形AB 1C 1D 是平行四边形，所以AB 1∥C 1D .又因为C 1D ⊂平面C 1BD ，AB 1⊄平面C 1BD .所以AB 1∥平面C 1BD ，同理B 1D 1∥平面C 1BD .又因为AB 1∩B 1D 1＝B 1，AB 1⊂平面AB 1D 1，B 1D 1⊂平面AB 1D 1，所以平面AB 1D 1∥平面C 1BD .(2)如图，连接A 1C 1交B 1D 1于点O 1，连接A 1C ，连接AO 1与A 1C 交于点E .又因为AO 1⊂平面AB 1D 1，所以点E 也在平面AB 1D 1内，所以点E 就是A 1C 与平面AB 1D 1的交点；连接AC 交BD 于O ，连接C 1O 与A 1C 交于点F ，则点F 就是A 1C 与平面C 1BD 的交点．证明A 1E ＝EF ＝FC 的过程如下：因为平面A 1C 1C ∩平面AB 1D 1＝EO 1，平面A 1C 1C ∩平面C 1BD ＝C 1F ，平面AB 1D 1∥平面C 1BD ，所以EO 1∥C 1F .在△A 1C 1F 中，O 1是A 1C 1的中点，所以E 是A 1F 的中点，即A 1E ＝EF ；同理可证OF ∥AE ，所以F 是CE 的中点，即CF ＝FE ，所以A 1E ＝EF ＝FC .【跟踪训练】证明：如图，作MP ∥BB 1交BC 于点P ，连接NP ，因为MP ∥BB 1，所以CM MB 1＝CP PB. 因为BD ＝B 1C ，DN ＝CM ，所以B 1M ＝BN ，所以CM MB 1＝DN NB， 所以CP PB ＝DN NB，所以NP ∥CD ∥AB . 因为NP ⊄平面AA 1B 1B ，AB ⊂平面AA 1B 1B ，所以NP ∥平面AA 1B 1B .因为MP ∥BB 1，MP ⊄平面AA 1B 1B ，BB 1⊂平面AA 1B 1B .所以MP ∥平面AA 1B 1B .又因为MP ⊂平面MNP ，NP ⊂平面MNP ，MP ∩NP ＝P ，所以平面MNP ∥平面AA 1B 1B .因为MN ⊂平面MNP ，所以MN ∥平面AA 1B 1B .【达标反馈】1．解析：选D.选项A 、C 不正确，因为两个平面可能相交；选项B 不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D 正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种．故选D.2. 解析：选B.因为平面α∥平面ABC ，平面P AB 与它们的交线分别为A ′B ′，AB ，所以AB ∥A ′B ′，同理B ′C ′∥BC ，易得△ABC ∽△A ′B ′C ′，S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝⎝⎛⎭⎫A ′B ′AB 2＝⎝⎛⎭⎫P A ′P A 2＝425. 3．解析：在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，因为平面MCD 1∩平面DCC 1D 1＝CD 1，所以平面MCD 1∩平面ABB 1A 1＝MN ，且MN ∥CD 1，所以N 为AB 的中点，所以该截面为等腰梯形MNCD 1，因为正方体的棱长为2，易知，MN ＝2，CD 1＝22，MD 1＝5， 所以等腰梯形MNCD 1的高MH ＝（5）2－⎝⎛⎭⎫222＝322. 所以截面面积为12(2＋22)×322＝92. 答案：924. 证明：因为AB ∥平面α，AB ⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面α＝EH ，所以AB ∥EH ，因为AB ∥平面α，AB ⊂平面ABD ，平面ABD ∩平面α＝FG ， 所以AB ∥FG ，所以EH ∥FG ，同理由CD ∥平面α可证EF ∥GH ，所以四边形EFGH 是平行四边形．。