计算方法-4.6-4.7龙贝格、高斯求积公式
Gauss型求积公式
Gauss型求积公式 一、Gauss型求积公式 定义： 个节点的具有2 定义 ： 把具有 n＋1 个节点的具有 2 n+1 次代 数精确度的插值型求积公式
∫
b
a
f (x)dx ≈ ∑A f (xk ) k
k=0
n
称为Gauss型求积公式， 称为Gauss型求积公式，其求积节点 xk k=0， Gauss型求积公式 （ =0， 称为高斯点 高斯点， 高斯系数。 1，……n）称为高斯点，系数 A 称为高斯系数 k称为高斯系数 Remark：构造Gauss Gauss型求积公式的关键在于确定高斯 Remark：构造Gauss型求积公式的关键在于确定高斯 个高斯点构造基函数， 点，再由n＋1个高斯点构造基函数，从而得到高斯 系数。 系数。
f (x) = P x) n+1(x) ( ω 的次数不超过2n+1。
故有
∫ω
a
b
n+1
( x )P( x )dx = ∑A ωn+1( xk )P( xk ) = 0 k
k=0
n
充分性 ： 设 ∫ ωn+1(x)P(x)dx = 0 对于任意次数不超过 a ω 2n+1的多项式 f (x),设 n+1(x)除f(x)的商为p(x),余 项为q(x)。
Ak 0.1713244924 0.3607615730 0.4679139346 0.1294849662 0.2797053915 0.3818300505 0.4179591837 0.1012285363 0.2223810345 0.3137066459 0.3626837834
6
7 4 0.3478548451 0.6521451549
高斯求积公式的构造
1
1
1
-1v(x)Ln(x)dx
v(x)u(n)(x)dx
-1
v(x)du(n 1)(x)
-1
1
v(x)u(n 1)(x) x 1 v(x)u(n 1)(x) x 1
u(n 1)(x)v(x)dx
-1
1
v (1 )u (n1 )(1 ) u (n1 )(x )v(x )d x
-1
1
v (1 )u (n1 )(1 ) v(1 )u (n2 )(1 ) u (n2 )(x )v(x )d x
1
51
8
51
f(x)dx f( 15) f(0) f( 15),
1
95
9
95
50.55,8 56 0.88,c8o9 1 s(1)5co1s1()50.714
9
9
5
5
1
c x o 0 . 5 d 0 s . 7 5 x 0 . 8 1 5 0 . 5 8 4 6 0 . 7 5 8 7 1 . 6 1 5 9
在 [ a , b ] 上 正 交
充分性：如果w(x)与任意次数不超过n-1的多项式正交，则其 零点必为Guass点
设 f ( x ) 为 任 2 n 1 次 意 ,的 次
用 n ( x ) 除 f ( x ) 得
高斯求积定理
f ( x ) q ( x ) n ( x ) r ( x )
I sin 4
4
(1
0 . 573503
)
4
sin
4
( 1 . 573503
)
0 .9984725
例题2
若用n=3的Gauss-Legendre公式，则
I 0 . 5 5 f ( 0 . 7 5 ) 7 5 0 . 8 4 5 8 f ( 0 5 ) 5 8 9 0 . 5 5 f ( 0 . 7 5 ) 7 5 4 5 5 5
高斯求积公式-数值分析课程设计2
一、 引言介绍高斯型求积公式，并使用其求积分⎰=1sin I xdx 。
要求：数值实验结果要体现出随高斯点的增加误差的变化。
我们知道,求积公式⎰∑=≈bani i ix f Adx x f 0)()( （1.1）含有22+n 个待定常数i x 及),,2,1,0(n i A i =,如果它具有n 次代数精确度,则它应使1+m 个方程mk dx x x A bakni ki i ,,2,1,0,==⎰∑= (1.2)精确成立。
作为插值型求积公式(1.1)它至少具有n 次代数精确度；另一方面,令)())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω,则对22+n 次多项式)()(21x x f n +=ω而言，(7.5.1)右端为零,而左端严格大于零,即(7.5.1)式对22+n 次多项式)(21x n +ω不准确成立。
但要确定方程组(7.5.2)中的22+n 个待定常数i x 与i A ,最多需要给出22+n 个独立条件,所以m最大取12+n 。
因此,插值型求积公式(1.1)的代数精确度最小是n ,最大是12+n ．由此可见，高斯公式的代数精度比牛顿-科特斯公式高，求解高斯求积公式的关键就是解出上述2n+2个待定常数。
为解决上述问题，首先要先给出三个定理：定理一：以n x x x ,,,10 为节点的插值型求积公式(7.5.1)具有12+n 次代数精确度的充要条件是以这些节点为零点的多项式)())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω与任意次数不超过n 的多项式)(x P 均在区间],[b a 上正交,即⎰=+ban dx x x P 0)()(1ω (1.3)定理二：高斯公式(1.1)的求积系数k A 全为正,且nk dx x l dx x l A bak bak k ,1,0,)()(2===⎰⎰(1.4)定理三：对于高斯公式(1.1),其余项为dxx fn f R ban n ⎰+++=)()()!22(1)(21)22(ωη (1.5)其中).())(()(],,[101n n x x x x x x x b a ---=∈+ ωη证明 以n x x x ,,,10 为节点构造)(x f 的埃尔米特插值多项式)(x H),()(i i x f x H = ni x f x H i i ,1,0),()(='='因为)(x H 是12+n 次多项式,而它的余项是)()()!22(1)()(21)22(x fn x H x f n n +++=-ωξ所以高斯公式(7.5.1)对)(x H 能准确成立,即∑∑⎰====ni i in i iibax f Ax H A dx x H 0)()()(从而dxx fn dxx H dx x f x f A dx x f f R n ban babani i i ba)()()!22(1)()()()()(21)22(0++=⎰⎰⎰∑⎰+=-=-=ωξ若)()22(x fn +在区间],[b a 上连续,由于)(21x n +ω在],[b a 上不变号,故应用积分中值定理可得],[,)()()!22(1)(21)22(b a dx x fn f R ban n ∈+=⎰++ηωη上述定理说明,与牛顿—科兹公式进行比较,高斯公式不但具有高精度,而且它还是数值稳定的,但是节点和求积系数的计算比较麻烦。
龙贝格求积和高斯求积
xi = cos
3.5.3
2i + 1 π , i = 0,1, L, n. 2n + 2
高斯求积公式的余项与稳定性
定理 3.5.2 假设 f ( x) ∈ C 2 n + 2 ([a, b]) ,则高斯求积公式(3.8)的余项
RG = ∫ ρ ( x) f ( x)dx − ∑ Ai f ( xi ) =
Pn +1 ( x) =
的零点.系数
1 d n +1 [( x 2 − 1) n +1 ] 2 n +1 (n + 1)! dx n +1
1 Pn′+1 ( xi ) Pn ( xi ). n +1 2） 高斯-拉盖尔(Gauss-laguerre)求积公式 Ai =
∫
+∞
0
e − x f ( x)dx ≈ ∑ Ai f ( xi ),
b a i =0 n
f ( 2 n + 2) (ξ ) b 2 ρ ( x)π n +1 ( x ) dx, ∫ a (2n + 2)!
其中, ξ ∈ (a, b). 定理 3.5.3 课堂小结 布置作业 参考文献
1. Burden R L, Faires J D.Numerical Ananlysis(Fourth Edition). Prindle, Boston, Weder and Schmidt,1989. 2. Stoer J.,Bulirsch R.,Introduction to Numerical Analysis, Second Edition, SpringerVerlag, NewYork, 1992. 3. A. Ralston and P.Rabinowitz, A First Course in Numerical Analysis, Dover Publication, 2001. 4. Cuyt A., Wuytack L., Nonlinear Methods in Numerical Analysis, Elsevier Science Publishers, B.V.,1987. 5. Richard L. Burden, J. Douglas Faires, Numerical Analysis (Seventh Edition), Brooks Pub. Co.,2001. 6.邓建中，刘之行. 计算方法（第二版）.西安交通大学出版社，2001. 7. 韩旭里. 数值分析. 中南大学出版社，2003.
高斯求积公式
定义4 定义4
如果求积公式(5.1)具有 2n +1次代数精度，
则称其节点 xk (k = 0,1 ⋯, n) 为高斯点 高斯点，相应公式(5.1)称 高斯点 , 为高斯求积公式 高斯求积公式. 高斯求积公式
3
根据定义要使(5.1)具有 2n +1次代数精度，只要对
充分性. 对于 ∀f (x) ∈H2n+1, 用 ωn+1(x) 除 f (x) ， ， 记商为 P(x)，余式为 q(x) 即 f (x) = P(x)ωn+1(x) + q(x) , 其中 P(x),q(x)∈Hn. 由(5.5)可得
∫
b
a
f (x)ρ(x)dx = ∫ q(x)ρ(x)dx.
b a
18
令它对 f (x) =1, x 都准确成立，有
A + A = 2; 0 1 A − 1 + A 1 = 0. 1 0 3 3
由此解出 A = A =1, 从而得到两点高斯-勒让德求积公式 0 1
∫
1
1 −
f (x)dx ≈ f (−
1 1 ) + f (− ). 3 3
b n→ ∞ k =0 a n
16
4.5.2
高斯高斯-勒让德求积公式
在高斯求积公式(5.1)中，若取权函数 ρ(x) =1, 区间为
[−11 则得公式 , ],
n
∫
1
−1
f (x)dx ≈ ∑A f (xk ). k
k =0
（5.9）
由于勒让德多项式是区间 [−11]上的正交多项式，因此， , 勒让德多项式 P 1(x) 的零点就是求积公式(5.9)的高斯点. n+ 形如(5.9)的高斯公式称为高斯-勒让德求积公式. 高斯-勒让ρ(x) ≥ 0, 由积分中值定理得(5.1)的余项为
龙贝格求 积分
龙贝格（Romberg ）求积法1.算法理论Romberg 求积方法是以复化梯形公式为基础，应用Richardson 外推法导出的数值求积方法。
由复化梯形公式 )]()(2)([2222b f h a f a f h T +++=可以化为)]()]()([2[212112h a f h b f a f hT +++=＝)]([21211h a f h T ++一般地，把区间[a,b]逐次分半k －1次，（k ＝1,2,……,n ）区间长度（步长）为kk m a b h -=，其中mk ＝2k －1。
记k T ＝)1(k T由)1(k T ＝]))12(([21211)1(1∑=---++km j k k k h j a f h T 从而⎰badxx f )(＝)1(kT－)(''122k f h a b ξ- （1）按Richardson 外推思想，可将（1）看成关于k h ，误差为)(2k h O 的一个近似公式，因而，复化梯形公式的误差公式为⎰badxx f )(－)1(k T ＝......4221++kkh K h K ＝∑∞=12i i k i h K （2）取1+k h ＝k h 21有⎰badxx f )(－)1(1+k T＝∑∞=+121221i i k iihK （3）误差为)(2jh O 的误差公式 )(j kT＝)1(-j kT＋141)1(1)1(------j j k j k T T 2.误差及收敛性分析（1）误差，对复化梯形公式误差估计时，是估计出每个子区间上的误差，然后将n 个子区间上的误差相加作为整个积分区间上的误差。
（2）收敛性，记h x i =∆，由于∑=++=ni i i n x f x f h f T 01))]()([2)(＝))()((21101∑∑-==∆+∆n i ni i i i i x x f x x f上面两个累加式都是积分和，由于)(x f 在区间],[b a 上可积可知，只要],[b a 的分划的最大子区间的长度0→λ时，也即∞→n 时，它们的极限都等于积分值)(f I 。
数值分析63 复化求积公式龙贝格求积公式讲解
只增加了一个分点
1 xk?1/ 2 ? 2 ( xk ? xk?1)
设hn=(b? a)/n, xk=a+kh n (k=0,1,? ,n),在[xk, xk+1] 上用梯形公式得
T1 ?
hn 2
?f
(
xk
)
?
f ? ( xk ? 1 )
复化求积的基本想法 :
将积分区间 [a, b]n等分, 步长
h?
b
? n
a
,
分点为
xk=a+kh (k=0,1,…,n) , 则由定积分性质知
? ? ? I ?
b
n?1
f ( x )dx ?
xk?1 f ( x )d x
a
k ? 0 xk
每个子区间 上的积分
?xk?1 f ( x )dx xk
用低阶求积公式 , 然后把所有区间的 计算结果求和 ,
注2: 同样也可用 | S4m-S2m |<ε 来控制计算的精度 . 这就是下面要介绍的 龙贝格求 积公式 .
6.4 龙贝格求积公式
6.4.1 梯形公式的递推化
复化求积方法可提高求积精度，实际计算时若
精度不够可将步长逐次分半 . 设将区间 [a, b]分为n等
分，共有 n+1个分点，如果将求积区间再分一次，则 分点增至 2n+1个，我们将二分 前后两个积分值 联系
果T8=0.9456909 只有2位有效数字，而应用复化辛普 森公式计算的结果 S4= 0.9460832 却有6位有效数字 .
注：为了利用余项公式估计误差，要求 f(x)=sin x/x 的高阶导数，由于
高斯(Gauss)求积公式
数值分析
（2）利用正交多项式构造高斯求积公式 ）
为正交多项式序列， 设Pn(x)，n=0,1,2,…,为正交多项式序列， Pn(x) 为正交多项式序列 具有如下性质： 具有如下性质： 1）对每一个 ,Pn(x)是 n 次多项式。 n=0,1,… ）对每一个n 是 次多项式。 2） 正交性 b ρ( x)P ( x)P ( x)dx = 0,(i ≠ j) ） 正交性) (正交性
∫
1
1
f ( x)dx ≈ f (0.5773502692) + f (0.5773502692)
n=2
∫
1
1
f ( x)dx ≈ 0.555555556 f (0.7745966692)
+0.888888889 f (0) + 0.555555556 f (0.7745966692)
数值分析
数值分析
例: 运用三点高斯-勒让德求积公式与辛卜生求积 公式计算积分∫ x + 1.5dx 1 解:由三点高斯-勒让德求积公式有
1
∫
1
1
x + 1.5dx
≈ 0.555556( 0.725403 + 2.274596) + 0.888889 1.5 = 2.399709 由三点辛卜生求积公式有 1 1 ∫1 x + 1.5dx ≈ 3 ( 0.5 + 4 1.5 + 2.5) = 2.395742
b k=0 k=0
b b
n
n
由性质3） 由性质 ）及(4)式，有 式
ρ( x) f ( x)dx = ∫a ρ( x)q( x)P +1( x)dx + ∫a ρ( x)r( x)dx n a
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4 1 T1 ( k 1) T0 ( k ) T0 ( k 1) 3 3 16 1 T2 ( k 1) T1 ( k ) T1 ( k 1) 15 15 64 1 T3 ( k 1) T2 ( k ) T2 ( k 1) 63 63
k 1, 2 ,
引入 T1 (k 1),令
S n S 2 k 1
即
Sn S2 k 1 T1 ( k 1)
S 2 n T1 ( k )
--------(6)
当然
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10
因此由复合Simpson公式的余项
I S2 n 1 ( S2 n Sn ) 15
Cn
可得 令 即
1次,3次和5次
复合梯形、复合Simpson、复合Cotes公式的收敛阶分别为
2阶、4阶和6阶 无论从代数精度还是收敛速度,复合梯形公式都是较差的 有没有办法改善梯形公式呢?
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2
一、复合梯形公式的递推化
将定积分I f ( x)dx 的积分区间 [a , b]分割为n等份 a ba x a jh , j 0 , 1 , , n 各节点为 h j n 复合梯形(Trapz)公式为
n 1 ba Tn [ f ( a) 2 f ( x j ) f (b)] 2n j 1
b
--------(1)
如果将 [a, b]分割为2n等份，而h (b a) /n不变, 则
n 1 n 1 ba T2 n [ f ( a ) 2 f ( x j ) 2 f ( x 1 ) f (b)] j 4n j 1 j 0 2 --------(2)
外推 加速 公式
以上整个过程称为Romberg算法
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其中外推加速公式可简化为
1 Tm ( k 1) m [ 4 m Tm 1 ( k ) Tm 1 ( k 1)] 4 1
--------(9)
并且m可以推广到m 1,2 ,
Romberg算法求解步骤
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龙贝格公式计算步骤：
（ 1 ）计算积分区间两端点 函数值f (a)和f (b)，计算T1； ab （2）将区间 [a, b]分半，计算f ( )，T2，S1； 2 ba ba （3）再将区间分半，算出 f (a )和f (a 3 )， 2 4 由此计算T4，S 2，C1；
k 1, 2 ,
Romberg算法的代 数精度为m的两倍 Romberg算法的收敛 阶高达m+1的两倍
T0 (0 ) T0 (1) T0 ( 2 ) T0 ( 3)
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T1 (0 ) T1 (1) T1 ( 2 ) T2 (0 ) T2 (1)
T3 (0 )
14
当然，还可以继续对Rn 做下去，但由于在新的求积公式中， 当时m 4，其线性组合系数 4m
即 当然
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Rn R2k 1 T3 (k 1)
R2 n T3 (k )
公式(9)称为龙贝格 积分公式
12
将 上 述 结 果 综 合 后
ຫໍສະໝຸດ ba T0 (0 ) [ f ( a ) f (b )] 2 2 k 1 1 1 ba ba T0 (k ) T0 (k 1) k f (a (2 j 1) k ) 2 2 2 j 0
T1( 2) 1 (1) 2 1 T1 2 2 2
[ f (1
i 1
21
2 1 2
2
(2i 1)]
1 (1) 1 1 1 T1 [ f (1 (2 1)) f (1 (4 1))] 2 4 4 4 1 (1) 1 5 7 T1 [ f ( ) f ( )] 2 4 4 4 1 (1) 1 1 1 T1 [ ] 0.69702 2 4 5 7 4 4 4 ( 2) 1 (1) (1) ( 2) (1) (1) 由T1 ，T1 构造T2 ，T2 T1 － T1 ＝0.69325 3 3
记Tn T0 (k 1)
ba h k 1 2
ba x j a jh a j k 1 2
x
j
1 2
1 ba ba 1 x j h a ( j ) k 1 a ( 2 j 1) k 2 2 2 2
6
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因此(1)(2)(3)式可化为如下递推公式
1 b a 2 1 ba T0 (k ) T0 (k 1) k f (a (2 j 1) k ) 2 2 2 j 0 k 1, 2 ,
k 1
T0 (0 )
ba [ f ( a ) f (b )] 2
-------(4)
上式称为复合变步长梯形求积公式
C 2 n T2 (k )
--------(8)
表明：用S 2 n 和S n 作适当组合 会得到比S 2 n 更精确的值，即 逐次分半的柯特斯公式C n。11
当然
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同理：用C2n和Cn组合又可得到比C2n更精确的积分公式
由复合Cotes公式的余项
1 I C2 n (C2 n Cn ) 63 64 1 64 1 得 I C2 n Cn T2 ( k ) T2 ( k 1) 63 63 63 63 64 1 --------(9) 令 T3 ( k 1) T2 ( k ) T2 ( k 1) 63 63
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7
二、外推加速公式
由复合梯形公式的余项公式
1 I T2 n (T2 n Tn ) 3 4 1 可得 I T2 n Tn 3 3
T2n 1 h Tn 2 2
f (x
j 0
n 1
j
1) 2
由(3)式
4 1 b a n 1 1 I ( Tn f ( x 1 )) Tn j 3 2 2n j 0 3 2
3
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由(1)(2)两式可
T2n
1 h Tn 2 2
f (x
j 0
n 1
1) j 2
--------(3)
(3)式称为递推的梯形公式 递推梯形公式加上一个控制精度,即可成为自动选 取步长的复化梯形公式
优点：梯形法计算简单 缺点：收敛慢，为了达到要求的精度，需要二分区间 多次，分点大量增加，计算量很大
16 1 16 1 I S 2 n S n T1 ( k ) T1 ( k 1) 15 15 15 15 16 1 T2 ( k 1) T1 ( k ) T1 ( k 1) Cn 15 15
--------(7)
Cn C2 k 1 T2 (k 1)
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sin x 例1 将三个加速公式用于求 I dx 0 x
1
k
0
T2k
0.9207355
S2k 1
0.9461459
0.9460869 0.9460833
C2k 2
0.9460830 0.9460831
R2k 3
1
2 3
0.9397933
0.9445735 0.9456909
m
4 1 4 1 修正效果不大，因此，一般不再继续下去。
1与
1
m
0，对积分
上述公式推导说明，T1公式是梯形公式，对于次数不高 于1的多项式准确；S1是辛普森公式，对于次数不高于3 的多项式准确；C1是柯特斯公式，它对于次数不高于5 的多项式准确，每一个公式均由前一公式的适当线性组 合得到，精确度都提高2次。因此可以验证，由柯特斯 公式C1构造得到的龙贝格公式R1，对次数不高于7次的 多项式准确。 龙贝格公式计算积分占用内存少，精度高
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--------(3)
5
n 1时，h b a
则由(1)(2)(3)式,有
ba T1 [ f ( a ) f (b)] 2 1 ba 1 T2 T1 f ( a h) 2 2 2
T0 (0) T0 (1)
k 1, 2 ,
若n 2 k 1
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其中x
j
1 2
1 1 x j h a ( j )h 2 2
n 1 n 1 ba T2 n [ f ( a ) 2 f ( x j ) 2 f ( x 1 ) f (b)] j 4n j 1 j 0 2 n 1 ba b a n 1 [ f (a) 2 f ( x j ) f (b)] 2 f ( x 1 ) j 4n 4n j 0 j 1 2
0.9460831
从表中可以看出三次加速求得R1=0.9460831每位数字都是 有效数字
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17
例2. 使用龙贝格方法计算定积分
并使误差不超过0.0001 。
2
1
1 dx ， x
解：（1）在区间[1,2]上用梯形公式得
T1(0)
1 1 1 1 [ f (1) f (2)] [ ] 0.75000 2 2 1 2
（2）将[1,2]二等分，计算T1(1)
T1(1)
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ba 1 ab 1 [ f (a) f ( ) f (b)] 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 [ ] 0.70833 2 2 1 1 2 2 2 2
18
（3）将[1,2]再分半成四等分
移项 合并
1 4(b a ) n 1 Tn f (x 1 ) j 3 6n j 0 2