结构动力学哈工大版课后习题集解答

3、 拉格朗日方程法：
适用围：所有的单自由度系统的振动。
解题步骤：（1）设系统的广义坐标为 ，写出系统对于坐标 的动能 T 和势能 U 的表达式；
进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U ；
（2）由格朗日方程
dt
(
L
)
L
=0，得到系统的运动微分方程；
（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
则固有频率为： k
48EIl3
；
m
48EI k1l 3 m
（b）此系统相当于两个弹簧并联, 等效刚度为:
k
k1
48EI l3
;
k1 则固有频率为:
k k1l 3 48EI
m
ml 3
l
l
2
2
m
k1
图 1-33（b）
(c)系统的等效刚度
k
k1
3EI l3
k1
3EI l3
则系统的固有频率为
解：以 为广义坐标，则
系统的动能为
T
T重物
T轮子
1（m）x 2
2
1 2
I 0 2
1（ P ）x2 1 ( 1 P R 2 ) x 2 P x 2 P x 2
2 2g
2 2 g R 4g 4g
P x 2 2g
系统的势能为： 拉格朗日函数为
U
U重物
U弹簧
－Px
1 2
kx2
；
A
图 1-34
则
Amax xst 2 ，
得
max 1 2 , 2 max 。
1.4 求图 1-35 中标出参数的系统的固有频率。 m
（a）此系统相当于两个弹簧串联，弹簧刚度为 k1、
简支梁刚度为
k2
48EI l3
；
等效刚度为 k;
l 2
k1 l 2
则有
1 1 1 ； k k1 k2
图 1-33（a）
B
0
x
L=T-U ;
由拉格朗日方程
dt
(Lx )
L x
0
得
P x kx P g
则，
0 =
kg P
所以：系统的固有频率为 kg P
1.6 求图 1-35 所示系统的固有频率。图中磙子半径为 R，质量为 M，作纯滚动。弹簧刚
度为 K 。 解：磙子作平面运动， 其动能 T=T 平动 +T 转动 。
k
R
x
M
图 2 ;
T转动
1 2
I
x R
2
1 2
MR2 2
x R
2
;
T 1 Mx 2 1 Mx 2 3 Mx 2 ；
2
4
4
而势能
U 1 Kx 2 ； 2
系统机械能
T U 3 Mx 2 1 Kx 2 C ;
4
2
由 d T U 0 得系统运动微分方程
4、 能量守恒定理法
适用围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。
解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能 T 和势能 U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const
（2）将能量守恒定理 T+U=Const 对时间求导得零,即 d(T U) 0 ，进一步得到
谷的幅值 Ai 、 Ai1 。
（2）由对数衰减率定义 ln( Ai ) ， Ai 1
进一步推导有
2 ， 1 2
因为 较小， 所以有 。 2
方法二：共振法求单自由度系统的阻尼比。
（1）通过实验，绘出系统的幅频曲线， 如下图：
单自由度系统的幅频曲线
（2）分析以上幅频曲线图，得到：
于是 进一步 最后
1,2 max / 2 2 / 4 ；
12
(1
2
)
2 n
；
2 2
(1
2
)
2 n
；
2 1 / 2n / 2n ；
1.3 叙述用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。 用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法有两个：幅频（相频）曲线法和功率法。
方法一：幅频（相频）曲线法
当单自由度系统在正弦激励 F0 sin t 作用下其稳态响应为：
dt
3 Mx Kx 0 ； 2
得系统的固有频率
n
2K 3M
；
1.7 求图 1-36 所示齿轮系统的固有频率。已知齿轮 A 的质量为 mA，半径为 rA，齿轮 B 的
质量为 mB，半径为 rB,杆 AC 的扭转刚度为 KA, ,杆 BD 的扭转刚度为 KB,
第一章 单自由度系统
1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。
单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守
恒定理法。
1、 牛顿第二定律法
适用围：所有的单自由度系统的振动。
解题步骤：（1） 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力；
（2） 利用牛顿第二定律 m x F ,得到系统的运动微分方程；
弹性力作功为
Wc 0 、
阻尼力做功为
Wd c A2 、
激振力做作功为
W f F0 sin ；
（2） 由机械能守恒定理得，弹性力、阻尼力和激振力在一个周期所作功为零，
即：
Wc +Wd +W f 0 ；
于是
F0 sin - c A2 0
进一步得：
A F0 sin c ；
（3） 当n 时， sin 1，
dt 系统的运动微分方程；
（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。
用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。
方法一：衰减曲线法。
求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波
k k1l3 3EI
m
ml 3
m
k1
k1
图 1-3（3 c）
（d）由动量距定理 m0 F I0得：
（
1 2
l
k1
1 2
l
1 2
l
k1
1 2
l
）=
1 2
ml
2
得：
k1 0 ， 2m
则
k1 。
2m
m
k1
l 2
k1
l 2
图 1-33
（d）
1.5 求下图所示系统的固有频率。图中匀质轮 A 半径 R,重物 B 的重量为 P/2,弹簧刚度为 k.
x Asin( t ) ,
其中：
A
F0
x st
；
m
2 n
2 0
4n 2 2
1 2 4 2 2
(1)
arctan2 /1 2
(2)
从实验所得的幅频曲线和相频曲线图上查的相关差数，由上述（1），（2）式求得阻尼比 。
方法二：功率法：
（1） 单自由度系统在 F0 sin t 作用下的振动过程中，在一个周期，
（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
2、 动量距定理法
适用围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。
解题步骤：（1） 对系统进行受力分析和动量距分析；
（2） 利用动量距定理 J M ,得到系统的运动微分方程；
（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。