2018学年高中数学选修2-2配套课件：第一章 导数及其应用1-2-2~1-2-3 精品

答案
知识点二 复合函数的导数
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变
复合函数的概念 量u，y可以表示成 x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)
和u＝g(x)的复合函数，记作_y_＝__f_(g_(_x_))
复合函数的求导 法则
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导
(2)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的情况下分母不为0) 可导吗？反之如何？
答案 若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的情况下分母不 为0)必可导. 若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如，设 f(x)＝sin x＋1x，g(x)＝cos x－1x， 则f(x)，g(x)在x＝0处均不可导，但它们的和f(x)＋g(x)＝sin x＋cos x在x＝0 处可导.
＝4sin 2x＋π3cos2x＋π3＝2sin4x＋23π.
解析答案
题型三 导数几何意义的应用
例3 (1)曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1,1)处的切线方程是 4x－y－3＝0 .
解析
利用求导法则与求导公式可得y′＝(3ln
x＋1)＋x×
3 x
Biblioteka Baidu＝3ln
x＋4.
∴k切＝y′|x＝1＝4，
∴切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.
(
4
x)
2x(1
2
x
2
)
3 2
.
2
2
解析答案
(4)y＝(2x2－3) 1＋x2.
解 令 y＝uv，u＝2x2－3，v＝ 1＋x2，
令 v＝ w，w＝1＋x2.
v′x＝v′w·w′x＝(
w)′(1＋x2)′1
1
w2
2
x
2
＝ 2
12＋x x2＝
1x＋x2，
∴y′＝(uv)′＝u′v＋uv′＝(2x2－3)′·
x′
x－cos x x2
x′
sin x
1
x cos x x 2 x
＝－
xsin
xx＋c2os xx＝－cos
x＋2xsin 2x x
x .
解析答案
(4)y＝x－sin 2x·cos 2x. 解 ∵y＝x－sin 2x·cos 2x＝x－12sin x， ∴y′＝x－12sin x′＝1－12cos x.
1 ·(－3)＝ 1－3x2
3
－1 .
1－3x2
解析答案
(4)y＝x· 2x－1；
解 y′＝x′· 2x－1＋x·( 2x－1)′.
1
设 t＝ 2x－1，u＝2x－1，则 t u2 ,
t′x＝t′u·u′x＝
1 2
1
u2
(2
x
1)'
＝12×
∴y′＝
2x－1＋
2xx－1＝
3x－1 2x－1.
2x1－1×2＝
(2)已知函数f(x)＝
k＋ln ex
x
(k为常数，e＝2.718
28…是自然对数的底数)，
曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，则k的值为 1 .
ln x＋k
1－kx－xln x
解析 由 f(x)＝ ex ，得 f′(x)＝ xex ，x∈(0，＋∞).
由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，∴f′(1)＝0，∴k＝1.
数间的关系为yx′＝ yu′·ux′，即y对x的导数等于_y_对__u_ _的__导__数__与__u_对__x_的__导__数__的__乘__积__
思考 设函数y＝f(u)，u＝g(v)，v＝φ(x)，如何求函数y＝f(g(φ(x)))的导数？
答案 y′x＝y′u·u′v·v′x.
答案
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题型探究
第 1章 1.2 导数的运算
1.2.2 函数的和、差、积、商的导数 1.2.3 简单复合函数的导数
学习 目标
1.理解函数的和、差、积、商的求导法则. 2.掌握求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算 法则求函数的导数. 3.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导.
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两个函数的积的导数，等于第一个函数的导 数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第 二个函数的导数
gfxx′＝__f′___x_g__x_g－_2_xf__x_·_g_′__x_
_(_g_(_x_)≠__0__)
两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上 分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母 的平方
答案
思考 (1)函数g(x)＝C·f(x)(C为常数)的导数是什么？ 答案 g′(x)＝Cf′(x).
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解析答案
3.f1x＝1＋x x，则 f′(x)＝－1＋1 x2 .
解析 由 f1x＝1＋x x＝1x＋1 1，得 f(x)＝x＋1 1， 从而 f′(x)＝－1＋1 x2.
12345
解析答案
12345
4.已知函数f(x)＝asin x＋bx3＋4(a∈R，b∈R)，f′(x)为f(x)的导函数， 则f(2 014)＋f(－2 014)＋f′(2 015)－f′(－2 015)的值为 8 .
例4 求函数y＝sinnxcos nx的导数.
错解 y′＝(sinnx)′cos nx＋sinnx(cos nx)′
＝nsinn－1x·cos nx＋sinnx·(－sin nx)＝nsinn－1x·cos nx－sinnxsin nx.
错因分析 在第二步中，忽略了对中间变量sin x和nx进行求导.
∴y′x＝y′u·u′v·v′x＝(u2)′·(sin
v)′·1x′＝2u·cos
0－1 v· x2
＝2sin
1 x·cos
1x·－x21＝－x12·sin
2 x.
(3)y＝ 1－1 2x2；
解
设
y
1
u2
,
u
1
2x2,
则
y'
=
(u
1 2
)'(1
2
x
2
)'
=
(
1
u
3 2
)
(
4
x)
=
1
(1
2
x
2
)
3 2
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 (1)若曲线y＝x3＋ax在(0,0)处的切线方程为2x－y＝0， 则实数a的值为 2 . 解析 曲线y＝x3＋ax的切线斜率k＝y′＝3x2＋a， 又曲线在坐标原点处的切线方程为2x－y＝0， ∴3×02＋a＝2，故a＝2.
解析答案
(2)若函数f(x)＝ex 在x＝a处的导数值与函数值互为相反数，则a的值
xcos
x′
sin x＋xcos xcos x＋xsin2 x
＝
cos2 x
sin xcos x＋x ＝ cos2 x .
解析答案
(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； 解 方法一 y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′ ＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′ ＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2 ＝3x2＋12x＋11. 方法二 ∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3) ＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11.
1
x
为2 .
解析 ∵f(x)＝exx，∴f(a)＝eaa. 又∵f′(x)＝exx′＝ex·xx－2 ex，∴f′(a)＝ea·aa－2 ea.
由题意知f(a)＋f′(a)＝0，
∴eaa＋ea·aa－2 ea＝0，∴2a－1＝0，∴a＝12.
解析答案
易错易混 因对复合函数的层次划分不清导致求导时出现错误
1＋x2＋(2x2－3)·
x 1＋x2
＝4x
1＋x2＋2x13－＋3xx2 ＝
6x3＋x 1＋x2.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 求下列函数的导数： (1)y＝(2x＋1)5；
解 设u＝2x＋1，则y＝u5， ∴y′x＝y′u·u′x＝(u5)′·(2x＋1)′＝5u4·2＝10u4＝10(2x＋1)4. (2)y＝1－13x4；
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
自主学习
知识点一 导数运算法则
法则
语言叙述
[f(x)±g(x)]′＝ __f′__(_x_)±__g_′__(_x_)_
两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函 数的导数的和(或差)
[f(x)·g(x)]′＝ _f_′__(_x_)·_g_(_x)_＋__f_(x_)_·_g_′__(x_)
答案
(3)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导成立吗？ 答案 导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导仍然成立. 两个函数和(差)的导数运算法则可以推广到有限个函数的情况， 即[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)±f′2(x)±f′3(x)±…±f′n(x).
题型一 导数运算法则的应用 例1 求下列函数的导数： (1)y＝15x5＋23x3； 解 y′＝15x5＋23x3′＝15x5′＋23x3′＝x4＋2x2. (2)y＝lg x－ex；
解 y′＝(lg x－ex)′＝(lg x)′－(ex)′＝xln110－ex.
重点突破
解析答案
(3)y＝
1 x·cos
＝nsinn－1 xcos[(n＋1)x].
防范措施
解析答案
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当堂检测
10 1.已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为 3 .
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解析 因f′(x)＝3ax2＋6x， 且 f′(－1)＝3a－6＝4，解得 a＝130.
解析答案
2.函数 y＝12(ex＋e－x)的导数是 12(ex－e－x) . 解析 因为 y′＝12(ex＋e－x)′＝12(ex－e－x).
2x1－1.
解析答案
(5)y＝lg(2x2＋3x＋1)；
解 设u＝2x2＋3x＋1，则y＝lg u， ∴y′x＝y′u·u′x＝uln110×(2x2＋3x＋1)′＝2x2＋43xx＋＋31ln 10. (6)y＝sin22x＋π3. 解 设 u＝sin2x＋π3，v＝2x＋π3，则 y＝u2，u＝sin v， ∴y′x＝y′u·u′v·v′x＝2u·cos v·2x＋π3′＝2sin2x＋π3·cos2x＋π3·2
解析答案
题型二 复合函数求导法则的应用 例2 求下列函数的导数： (1)y＝(1＋cos 2x)3； 解 y＝(1＋cos 2x)3＝(2cos2x)3＝8cos6x， y′＝48cos5x·(cos x)′＝48cos5x·(－sin x)， ＝－48sin xcos5x.
解析答案
(2)y＝sin2 1x； 解 令 y＝u2，u＝sin 1x，再令 u＝sin v，v＝1x，
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)y＝x4－3x2－5x＋6；
解 y′＝(x4－3x2－5x＋6)′＝(x4)′－(3x2)′－(5x)′＋6′＝4x3－6x－5.
(2)y＝x·tan x；
解
y′＝(x·tan
x)′＝xcsoisn
xx′＝xsin
x′cos x－xsin cos2 x
解析 f′(x)＝acos x＋3bx2， ∴f′(－x)＝acos (－x)＋3b(－x)2＝f′(x). ∴f′(x)为偶函数. ∴f′(2 015)－f′(－2 015)＝0. f(2 014)＋f(－2 014)＝asin 2 014＋b·2 0143＋4＋asin(－2 014)＋ b·(－2 014)3＋4＝8. ∴f(2 014)＋f(－2 014)＋f′(2 015)－f′(－2 015)＝8.
解析答案
x－1 (4)y＝x＋1. 解 方法一
y′＝xx＋ －11′＝x－1′x＋1x＋－1x2－1x＋1′
＝x＋1x－＋1x－2 1＝x＋212.
方法二 ∵y＝xx－ ＋11＝x＋x＋1－1 2＝1－x＋2 1，
∴y′＝1－x＋2 1′＝－x＋2 1′＝－2′x＋1x＋－122x＋1′＝x＋212.
正解 y′＝(sinnx)′cos nx＋sinnx(cos nx)′
＝nsinn－1x·(sin x)′·cos nx＋sinnx·(－sin nx)·(nx)′
＝nsinn－1x·cos x·cos nx－sinnx·(sin nx)·n
＝nsinn－1x(cos xcos nx－sin xsin nx)
解 设u＝1－3x，则y＝u－4， ∴y′x＝y′u·u′x＝(u－4)′·(1－3x)′ ＝－4u－5·(－3)＝12u－5＝12(1－3x)－5＝1－123x5.
解析答案
(3)y＝ 3 1－3x；
1
解 设u＝1－3x，则 y u3 ,
∴y′x＝y′u·u′x＝
1 3
2
u 3
(1
3x)'
＝13·3
x；
解
方法一
y′＝
1x·cos
x′＝
1x′cos
x＋
1x(cos
x)′
＝(
x
1 2
)′cos
x－
1 xsin
x＝
1 2
3
x2
cos x－
1 xsin x
＝－c2osxx3－
1 xsin
x＝－2coxs
xx－
1 xsin
x
cos ＝－
x＋2xsin 2x x
x .
方法二
y′＝
1 x·cos
x′＝cosxx′＝cos