2018学年高中数学选修2-2配套课件：第一章 导数及其应用1-2-2~1-2-3 精品
合集下载
2018学年高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.7.1 精品
为(x0，x
2 0
)，则切线方程为y＝2x0x－x
2 0
，
可得切线与x轴的交点坐标为 x20，0 .画
出草图，可得曲线y＝x2，直线y＝2x0x－ x20与x轴所围图形如图所示．
故 S＝S1＋S2
， 解得 x0＝1，所以切点坐标为 A(1,1)， 所求切线方程为 y＝2x－1.
本题综合考查了导数的意义以及定积分等知 识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意 义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求 出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使 问题得以解决．
2cos xdx
＝12x2＋2x| 0－2＋2sin x| ＝0－12×－22＋2×－2＋2sin π2－2sin 0 ＝2＋2＝4.
用定积分求平面图形的面积
一般地，设由曲线 y＝f(x)，y＝g(x)以及直线 x＝a，x＝b 所
b
围成的平面图形(如图所示)的面积为 S，则 S＝__a_[_f(_x_)－__g_(_x_)_]d_x_.
1．7 定积分的简单应用 1.7.1 定积分在几何中的应用
自主学习 新知突破
1．理解定积分的几何意义． 2．会通过定积分求由两条或多条曲线围成的平面图形的 面积．
[问题1] 不用计算，根据图形，你能比较下列定积分的大 小吗？
1
1
(1)0xdx________0x2dx(如图(1))；
1
2
(2) xdx________ xdx(如图(2))；
4．计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围成图形的面 积．
解析： 由yy＝＝xx2＋－32，x＋3， 解得 x＝0 或 x＝3.如图．
从而所求图形的面积
2018学年高中数学人教A版选修2-2课件 第1章 导数及其应用1.6 精品
定义 ； 4．求定积分的方法主要有：①利用定积分的________
a
微积分基本定理 ②利用定积分的几何意义 ________；③利用___________________ ．
[知识点拨]1.微积分基本定理应用的关注点
(1)用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足f ′(x)＝ f(x)的函数F(x)再计算F(b)－F(a)． (2)利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简被积函 数，再求定积分．
a
1 (5) x dx＝lnx|b a(b>a>0)．
b a
xb b x (6) e dx＝e |a.
a
x a b b x (7) | a dx＝ a(a>0且a≠1)． ln a a b (8)
a
2 3 xdx＝3x2|b a(b>a>0)．
1 2 2 1．如果 f(x)dx＝1， f(x)dx＝－1，则 f(x)dx＝______.
π
0 － π
cosxdx＝sinx|0 －π＝0.
π
2 2 (5) (sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx) -π -π 2 2
π π π π ＝－cos2＋sin2＋cos－2－sin－2＝0＋1＋0＋1＝2.
1 3 1 2 1 1 (6) (x －x)dx＝(3x －2x )|0＝－6.
2．常见的原函数与被积函数的关系
b b (1) Cdx＝Cx|a(C为常数)．
a b
1 n＋1 b (2) x dx＝ x |a(n≠－1)． n＋1
n a b b (3) sinxdx＝－cosx|a.
a
b b (4) cosxdx＝sinx|a.
a
微积分基本定理 ②利用定积分的几何意义 ________；③利用___________________ ．
[知识点拨]1.微积分基本定理应用的关注点
(1)用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足f ′(x)＝ f(x)的函数F(x)再计算F(b)－F(a)． (2)利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简被积函 数，再求定积分．
a
1 (5) x dx＝lnx|b a(b>a>0)．
b a
xb b x (6) e dx＝e |a.
a
x a b b x (7) | a dx＝ a(a>0且a≠1)． ln a a b (8)
a
2 3 xdx＝3x2|b a(b>a>0)．
1 2 2 1．如果 f(x)dx＝1， f(x)dx＝－1，则 f(x)dx＝______.
π
0 － π
cosxdx＝sinx|0 －π＝0.
π
2 2 (5) (sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx) -π -π 2 2
π π π π ＝－cos2＋sin2＋cos－2－sin－2＝0＋1＋0＋1＝2.
1 3 1 2 1 1 (6) (x －x)dx＝(3x －2x )|0＝－6.
2．常见的原函数与被积函数的关系
b b (1) Cdx＝Cx|a(C为常数)．
a b
1 n＋1 b (2) x dx＝ x |a(n≠－1)． n＋1
n a b b (3) sinxdx＝－cosx|a.
a
b b (4) cosxdx＝sinx|a.
2018学年人教A版数学选修2-2课件 第一章 导数及其应用 1.1.3导数的几何意义 精品
答案：D
4．设曲线 y＝ax2 在点(1，a)处的切线与直线 2x－y －6＝0 平行，则 a 等于__________．
解析：因为 y′|x＝1＝
a（1＋Δx）2－a·12 ＝
Δx
2aΔx＋a（Δx）2 ＝ (2a＋aΔx)＝2a，
Δx
所以 2a＝2，所以 a＝1. 答案：1
5．曲线 y＝13x3－2 在点1，－53处切线的倾斜角为
因为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝ (x0＋Δx)3－3(x0＋Δx)2＋(x0＋Δx)－(x30－3x20＋x0)＝ 3x20Δx＋3x0(Δx)2－6x0Δx＋(Δx)3－3(Δx)2＋Δx，(4 分)
Δy 所以Δx＝3x20＋3x0Δx－6x0＋(Δx)2－3Δx＋1，(5 分)
所以 f′(x0)＝
2．曲线 y＝－2x2＋1 在点(0，1)处的切线的斜率是 ()
A．2 B．1 C．0 D．－1 Δy
解析：y′|x＝0＝ Δx＝ (－2Δx)＝0.
答案：C
3．已知曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 2x －y＋2＝0，则 f′(1)＝( )
A．4 B．－4 C．－2 D．2 解析：由导数的几何意义知 f′(1)＝2.
________． 解析：因为 y′＝
13（x＋Δx）3－2－13x3－2＝ Δx
x2＋xΔx＋13（Δx）2＝x2，所以切线的斜率 k＝ y′|x＝1＝1.所以切线的倾斜角为π4. 答案：π4
类型 1 求曲线上某点处的切线方程(自主研析) [典例 1] 求曲线 f(x)＝x3＋2x＋1 在点(1，4)处的切 线方程． 解：Δy＝f(1＋Δx)－f(1) ＝(1＋Δx)3＋2(1＋Δx)＋1－(13＋2×1＋1) ＝5Δx＋3(Δx)2＋(Δx)3，
4．设曲线 y＝ax2 在点(1，a)处的切线与直线 2x－y －6＝0 平行，则 a 等于__________．
解析：因为 y′|x＝1＝
a（1＋Δx）2－a·12 ＝
Δx
2aΔx＋a（Δx）2 ＝ (2a＋aΔx)＝2a，
Δx
所以 2a＝2，所以 a＝1. 答案：1
5．曲线 y＝13x3－2 在点1，－53处切线的倾斜角为
因为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝ (x0＋Δx)3－3(x0＋Δx)2＋(x0＋Δx)－(x30－3x20＋x0)＝ 3x20Δx＋3x0(Δx)2－6x0Δx＋(Δx)3－3(Δx)2＋Δx，(4 分)
Δy 所以Δx＝3x20＋3x0Δx－6x0＋(Δx)2－3Δx＋1，(5 分)
所以 f′(x0)＝
2．曲线 y＝－2x2＋1 在点(0，1)处的切线的斜率是 ()
A．2 B．1 C．0 D．－1 Δy
解析：y′|x＝0＝ Δx＝ (－2Δx)＝0.
答案：C
3．已知曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 2x －y＋2＝0，则 f′(1)＝( )
A．4 B．－4 C．－2 D．2 解析：由导数的几何意义知 f′(1)＝2.
________． 解析：因为 y′＝
13（x＋Δx）3－2－13x3－2＝ Δx
x2＋xΔx＋13（Δx）2＝x2，所以切线的斜率 k＝ y′|x＝1＝1.所以切线的倾斜角为π4. 答案：π4
类型 1 求曲线上某点处的切线方程(自主研析) [典例 1] 求曲线 f(x)＝x3＋2x＋1 在点(1，4)处的切 线方程． 解：Δy＝f(1＋Δx)－f(1) ＝(1＋Δx)3＋2(1＋Δx)＋1－(13＋2×1＋1) ＝5Δx＋3(Δx)2＋(Δx)3，
2018版数学人教A版选修2-2课件：第一章 导数及其应用 1-2-2(三)
例 3 设 f(x)＝ln(x＋1)＋ x＋1＋ax＋b(a，b∈R，a，b 为常数)，曲线 3 y＝f(x)与直线 y＝2x 在(0,0)点相切，求 a，b 的值.
解答
反思与感 悟
本类题正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点 是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一 定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键.
第一章 §1.2 导数的计算
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算
学习目标
1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.
2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过 的公式、法则进行一些复合函数的求导 (仅限于形 如f(ax＋b)的导数).
内容索引
问题导学
题型探究
当堂训练
问题导学
知识点 复合函数的概念及求导法则
看作是由y＝ln u和u＝2x＋5，经过“复合”得到的，即 y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.
答案
思考3
试求函数y＝ln(2x＋5)的导数.
1 2 答案 y′＝ · (2x＋5)′＝ . 2x＋5 2x＋5
答案
梳理
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝
g(x)，如果通过变量 u，y可以表示 x的函数
1 1 解 ∵(ln 3x)′＝3x×(3x)′＝x， ln 3x′ex－ln 3xex′ ∴y′＝ ex2 1 － ln 3 x 1－xln 3x x ＝ ex ＝ xex .
解答
(2)y＝x 1＋x2；
解 y′＝(x 1＋x2)′ ＝x′ 1＋x2＋x( 1＋x2)′
2 x ＝ 1＋x2＋ 1＋x2
复合函数的概念 成 作y＝
，那么称这个函数为函
2018秋新版高中数学人教A版选修2-2课件：第一章导数及其应用 1-2-1-1-2-2
y= ������ (x>0),所以 y'=
1 2 ������
.因为 kAB= ,所以
1 2
1 2 ������
= ,x=1.由 y2=x(y>0),
1 2
得 y=1,所以点 P 的坐标为 (1,1).
典例透析 题型一 题型二 题型三
2 (方法二)设 P ������0 ,������0 ,因为 |AB|为定值 ,所以要使 △PAB 的面积最 大 ,只要使点 P 到直线 AB:x-2y-4=0 的距离最大即可.设点 P 到直线
典例透析 题型一 题型二 题型三
典例透析 题型一 题型二 题型三
【变式训练 1】 求下列函数的导数: (1)y=x-5; (2)y=4x; (3)y= x x x; (4)y=log7x; π (5)y=sin + x . 2 解:(1)y'=-5x-6. (2)y'=4xln 4.
1 1 (3) y= x 2 ·x 4 7 -1 y'= x 8 .
1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
-1-
目标导航
知识梳理
1.几个常用函数的导数
原函数 导函数 f(x)=c(c 为常 f'(x)=0 数) f(x)=x f'(x)=1 f(x)=x2 f'(x)=2x f(x)= f(x)= x
1 x
f'(x)=− f'(x)=
1 xln a 1 x
知识梳理
知识梳理
重难聚焦
1.如何理解常数函数的导数为0的意义? 剖析:设f(x)=c,则f'(x)=0的几何意义为函数f(x)=c的图象上每一点 处的切线的斜率都为0,其物理意义为若f(x)=c表示路程关于时间的 函数,则f'(x)=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于 静止状态.
1 2 ������
.因为 kAB= ,所以
1 2
1 2 ������
= ,x=1.由 y2=x(y>0),
1 2
得 y=1,所以点 P 的坐标为 (1,1).
典例透析 题型一 题型二 题型三
2 (方法二)设 P ������0 ,������0 ,因为 |AB|为定值 ,所以要使 △PAB 的面积最 大 ,只要使点 P 到直线 AB:x-2y-4=0 的距离最大即可.设点 P 到直线
典例透析 题型一 题型二 题型三
典例透析 题型一 题型二 题型三
【变式训练 1】 求下列函数的导数: (1)y=x-5; (2)y=4x; (3)y= x x x; (4)y=log7x; π (5)y=sin + x . 2 解:(1)y'=-5x-6. (2)y'=4xln 4.
1 1 (3) y= x 2 ·x 4 7 -1 y'= x 8 .
1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
-1-
目标导航
知识梳理
1.几个常用函数的导数
原函数 导函数 f(x)=c(c 为常 f'(x)=0 数) f(x)=x f'(x)=1 f(x)=x2 f'(x)=2x f(x)= f(x)= x
1 x
f'(x)=− f'(x)=
1 xln a 1 x
知识梳理
知识梳理
重难聚焦
1.如何理解常数函数的导数为0的意义? 剖析:设f(x)=c,则f'(x)=0的几何意义为函数f(x)=c的图象上每一点 处的切线的斜率都为0,其物理意义为若f(x)=c表示路程关于时间的 函数,则f'(x)=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于 静止状态.
2018学年高中数学人教A版选修2-2课件 第1章 导数及其应用1.2.1 精品
(2)先求导数，①中点 P 在曲线上，可直接利用导数求出斜 率， 写出切线方程； ②中点 Q 不在曲线上， 可先设切点为 M(x0， y0)，利用导数求出斜率，再利用两点式求得斜率，由同一直线 的斜率相等列方程求出 x0，即可得到斜率 k 的值和 M 的坐标．
[ 解析]
(1)∵π 为常数，∴f ′(x)＝0.
所以切线方程为 即 x＋9y＋6＝0.
1 1 y－－3＝－9(x＋3)，
导数的应用
如图，设直线 l1 与曲线 y＝ x相切于点 P，直 线 l2 过点 P 且垂直于 l1，若 l2 交 x 轴于点 Q，又作 PK 垂直 x 轴于点 K，求 KQ 的长. 导学号 10510101
[ 思路分析]
1 1 y′＝ x ′＝－x2，所以切线斜率为
1 1 所以切线方程为 y－x ＝－x2(x－x0) 0 0 1 2 即 y＝－x2x＋x . 0 0
又切线方程为 y＝－x＋b， 1 ＝－1 －x2 0 ∴ 2 ＝b x0
x0＝1 ，解得 b＝2 x0＝－1 或 b＝－2
[答案] B
[ 解析]
1 由于 y＝ x，∴y′＝ ，于是 f ′(4)＝1， 2 x
1
1 1 π ∴曲线在点(4，2)处的切线的斜率等于 1，倾斜角为4.
1 4．若直线 y＝－x＋b 为函数 y＝x 的图象的切线，求 b 及 切点坐标. 导学号 10510098
[ 解析] 因为
设切点坐标为(x0，y0)， 1 k＝－x2. 0
(3)二次函数 f(x)＝x2：导数 y′＝2x，几何意义为函数 y＝ x2 的图象上点(x，y)处的切线斜率为 2x，当 y＝x2 表示路程关于 时间的函数时，y′＝2x 表示在时刻 x 的瞬时速度为 2x. 1 1 (4)反比例函数 f(x)＝x ：导数 y′＝－x2，几何意义为函数 y 1 1 ＝x 的图象上点(x，y)处切线的斜率为－x2.
[ 解析]
(1)∵π 为常数，∴f ′(x)＝0.
所以切线方程为 即 x＋9y＋6＝0.
1 1 y－－3＝－9(x＋3)，
导数的应用
如图，设直线 l1 与曲线 y＝ x相切于点 P，直 线 l2 过点 P 且垂直于 l1，若 l2 交 x 轴于点 Q，又作 PK 垂直 x 轴于点 K，求 KQ 的长. 导学号 10510101
[ 思路分析]
1 1 y′＝ x ′＝－x2，所以切线斜率为
1 1 所以切线方程为 y－x ＝－x2(x－x0) 0 0 1 2 即 y＝－x2x＋x . 0 0
又切线方程为 y＝－x＋b， 1 ＝－1 －x2 0 ∴ 2 ＝b x0
x0＝1 ，解得 b＝2 x0＝－1 或 b＝－2
[答案] B
[ 解析]
1 由于 y＝ x，∴y′＝ ，于是 f ′(4)＝1， 2 x
1
1 1 π ∴曲线在点(4，2)处的切线的斜率等于 1，倾斜角为4.
1 4．若直线 y＝－x＋b 为函数 y＝x 的图象的切线，求 b 及 切点坐标. 导学号 10510098
[ 解析] 因为
设切点坐标为(x0，y0)， 1 k＝－x2. 0
(3)二次函数 f(x)＝x2：导数 y′＝2x，几何意义为函数 y＝ x2 的图象上点(x，y)处的切线斜率为 2x，当 y＝x2 表示路程关于 时间的函数时，y′＝2x 表示在时刻 x 的瞬时速度为 2x. 1 1 (4)反比例函数 f(x)＝x ：导数 y′＝－x2，几何意义为函数 y 1 1 ＝x 的图象上点(x，y)处切线的斜率为－x2.
2018学年高中数学新选修2-2课件：第一章 导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运
返回
1 2
)(1－2x2)′
＝(
1
u
3 2
)·(－4x)＝
1
(1
2
x2
)
3 2
(－4x)
2
2
＝2
x(1
2
x
2
)
3 2
.
解析答案
(4)y＝(2x2－3) 1＋x2.
解 令 y＝uv，u＝2x2－3，v＝ 1＋x2，
令 v＝ w，w＝1＋x2.
v′x＝v′w·w′x＝(
w)′(1＋x2)′＝
1
1
w2
2x
2
返回
题型探究
题型一 导数运算法则的应用
解 y′＝15x5＋23x3′＝15x5′＋23x3′ ＝x4＋2x2. (2)y＝lg x－ex； 解 y′＝(lg x－ex)′＝(lg x)′－(ex)′＝xln110－ex.
重点突破
解析答案
解析答案
(4)y＝x－sin
x 2·cos
x 2.
解
∵y＝x－sin
答案
(3)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导成立吗？ 答案 导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导仍然成立. 两个函数和(差)的导数运算法则可以推广到有限个函数的情况， 即[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)±f′2(x)±f′3(x)±…±f′n(x).
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
知识点一 导数运算法则
自主学习
法则
语言叙述
[f(x)±g(x)]′＝_f_′__(x_)_±__g_′__(_x)__
两个函数的和(或差)的导数，等于这 两个函数的导数的和(或差)
1 2
)(1－2x2)′
＝(
1
u
3 2
)·(－4x)＝
1
(1
2
x2
)
3 2
(－4x)
2
2
＝2
x(1
2
x
2
)
3 2
.
解析答案
(4)y＝(2x2－3) 1＋x2.
解 令 y＝uv，u＝2x2－3，v＝ 1＋x2，
令 v＝ w，w＝1＋x2.
v′x＝v′w·w′x＝(
w)′(1＋x2)′＝
1
1
w2
2x
2
返回
题型探究
题型一 导数运算法则的应用
解 y′＝15x5＋23x3′＝15x5′＋23x3′ ＝x4＋2x2. (2)y＝lg x－ex； 解 y′＝(lg x－ex)′＝(lg x)′－(ex)′＝xln110－ex.
重点突破
解析答案
解析答案
(4)y＝x－sin
x 2·cos
x 2.
解
∵y＝x－sin
答案
(3)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导成立吗？ 答案 导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导仍然成立. 两个函数和(差)的导数运算法则可以推广到有限个函数的情况， 即[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)±f′2(x)±f′3(x)±…±f′n(x).
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
知识点一 导数运算法则
自主学习
法则
语言叙述
[f(x)±g(x)]′＝_f_′__(x_)_±__g_′__(_x)__
两个函数的和(或差)的导数，等于这 两个函数的导数的和(或差)
2018学年人教A版数学选修2-2课件 第一章 导数及其应用 1-1-2导数的概念 精品
f（x0－3ΔΔx）x －f（x0）＝1，求 f′(x0)． 易错提示：由于忽略了分子与分母相应的符号的一致 性，解答时容易出现以下错误：
f（x0－3Δx）－f（x0） ＝
Δx
f（x0－3Δx）－f（x0）
[
3Δx
·3]＝3f′(x0)＝1，所以 f ′(x0)
＝13.
防 范 措 施 ： 在 导 数 的 定 义 f ′(x0) ＝ f（x0＋ΔΔx）x－f（x0）中，Δx 是 f(x0＋Δx)与 f(x0)中的 两个自变量的差，即(x0＋Δx)－x0.在求解此类问题时要 严格按照定义，注意分子与分母相应的符号的一致性．
解析：
2k
＝
－12 f[x0＋（－－k）k]－f（x0）＝－12f′(x0)＝
－12×2＝－1. 答案：A
1．注意区分平均速度与瞬时速度的概念，瞬时速度 是运动物体在 t0 到 t0＋Δt 这一段时间内的平均速度当Δt →0 时的极限，即运动方程 s＝f(t)在 t＝t0 时对时间 t 的导 数．
第一章 导数及其应用
1.1 变化率与导数 1．1.2 导数的概念
[学习目标] 1.了解瞬时变化率、导数概念的实际背 景(重点)． 2.了解导数的概念(难点)． 3.会利用导数的 定义求函数的导数(重点、难点)．
[知识提炼·梳理]
1．瞬时速度 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．若物体运动 的路程与时间的关系式是 s＝f(t)，当Δt 趋近于 0 时，函 数 f(t) 在 t0 到 t0 ＋ Δ t 之 间 的 平 均 变 化 率 f（t0＋ΔΔt）t－f（t0）趋近于常数，
Δx
2x0Δx＋aΔx＋（Δx）2 ＝
Δx
(2x0＋a＋Δx)＝2x0＋a.
归纳升华
f（x0－3Δx）－f（x0） ＝
Δx
f（x0－3Δx）－f（x0）
[
3Δx
·3]＝3f′(x0)＝1，所以 f ′(x0)
＝13.
防 范 措 施 ： 在 导 数 的 定 义 f ′(x0) ＝ f（x0＋ΔΔx）x－f（x0）中，Δx 是 f(x0＋Δx)与 f(x0)中的 两个自变量的差，即(x0＋Δx)－x0.在求解此类问题时要 严格按照定义，注意分子与分母相应的符号的一致性．
解析：
2k
＝
－12 f[x0＋（－－k）k]－f（x0）＝－12f′(x0)＝
－12×2＝－1. 答案：A
1．注意区分平均速度与瞬时速度的概念，瞬时速度 是运动物体在 t0 到 t0＋Δt 这一段时间内的平均速度当Δt →0 时的极限，即运动方程 s＝f(t)在 t＝t0 时对时间 t 的导 数．
第一章 导数及其应用
1.1 变化率与导数 1．1.2 导数的概念
[学习目标] 1.了解瞬时变化率、导数概念的实际背 景(重点)． 2.了解导数的概念(难点)． 3.会利用导数的 定义求函数的导数(重点、难点)．
[知识提炼·梳理]
1．瞬时速度 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．若物体运动 的路程与时间的关系式是 s＝f(t)，当Δt 趋近于 0 时，函 数 f(t) 在 t0 到 t0 ＋ Δ t 之 间 的 平 均 变 化 率 f（t0＋ΔΔt）t－f（t0）趋近于常数，
Δx
2x0Δx＋aΔx＋（Δx）2 ＝
Δx
(2x0＋a＋Δx)＝2x0＋a.
归纳升华
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2x1－1.
解析答案
(5)y＝lg(2x2＋3x＋1)；
解 设u＝2x2＋3x＋1，则y＝lg u， ∴y′x＝y′u·u′x＝uln110×(2x2＋3x＋1)′＝2x2＋43xx＋＋31ln 10. (6)y＝sin22x＋π3. 解 设 u＝sin2x＋π3，v＝2x＋π3，则 y＝u2，u＝sin v， ∴y′x＝y′u·u′v·v′x＝2u·cos v·2x＋π3′＝2sin2x＋π3·cos2x＋π3·2
解 设u＝1－3x，则y＝u－4， ∴y′x＝y′u·u′x＝(u－4)′·(1－3x)′ ＝－4u－5·(－3)＝12u－5＝12(1－3x)－5＝1－123x5.
解析答案
(3)y＝ 3 1－3x；
1
解 设u＝1－3x，则 y u3 ,
∴y′x＝y′u·u′x＝
1 3
2
u 3
(1
3x)'
＝13·3
x；
解
方法一
y′＝
1x·cos
x′＝
1x′cos
x＋
1x(cos
x)′
＝(
x
1 2
)′cos
x－
1 xsin
x＝
1 2
3
x2
cos x－
1 xsin x
＝－c2osxx3－
1 xsin
x＝－2coxs
xx－
1 xsin
x
cos ＝－
x＋2xsin 2x x
x .
方法二
y′＝
1 x·cos
x′＝cosxx′＝cos
1
x
为2 .
解析 ∵f(x)＝exx，∴f(a)＝eaa. 又∵f′(x)＝exx′＝ex·xx－2 ex，∴f′(a)＝ea·aa－2 ea.
由题意知f(a)＋f′(a)＝0，
∴eaa＋ea·aa－2 ea＝0，∴2a－1＝0，∴a＝12.
解析答案
易错易混 因对复合函数的层次划分不清导致求导时出现错误
xcos
x′
sin x＋xcos xcos x＋xsin2 x
＝
cos2 x
sin xcos x＋x ＝ cos2 x .
解析答案
(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； 解 方法一 y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′ ＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′ ＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2 ＝3x2＋12x＋11. 方法二 ∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3) ＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11.
(
4
x)
2x(1
2
x
2
)
3 2
.
2
2
解析答案
(4)y＝(2x2－3) 1＋x2.
解 令 y＝uv，u＝2x2－3，v＝ 1＋x2，
令 v＝ w，w＝1＋x2.
v′x＝v′w·w′x＝(
w)′(1＋x2)′1
1
w2
2
x
2
＝ 2
12＋x x2＝
1x＋x2，
∴y′＝(uv)′＝u′v＋uv′＝(2x2－3)′·
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 (1)若曲线y＝x3＋ax在(0,0)处的切线方程为2x－y＝0， 则实数a的值为 2 . 解析 曲线y＝x3＋ax的切线斜率k＝y′＝3x2＋a， 又曲线在坐标原点处的切线方程为2x－y＝0， ∴3×02＋a＝2，故a＝2.
解析答案
(2)若函数f(x)＝ex 在x＝a处的导数值与函数值互为相反数，则a的值
解析答案
x－1 (4)y＝x＋1. 解 方法一
y′＝xx＋ －11′＝x－1′x＋1x＋－1x2－1x＋1′
＝x＋1x－＋1x－2 1＝x＋212.
方法二 ∵y＝xx－ ＋11＝x＋x＋1－1 2＝1－x＋2 1，
∴y′＝1－x＋2 1′＝－x＋2 1′＝－2′x＋1x＋－122x＋1′＝x＋212.
第 1章 1.2 导数的运算
1.2.2 函数的和、差、积、商的导数 1.2.3 简单复合函数的导数
学习 目标
1.理解函数的和、差、积、商的求导法则. 2.掌握求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算 法则求函数的导数. 3.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导.
栏目 索引
知识梳理 题型探究 当堂检测
1 ·(－3)＝ 1－3x2
3
－1 .
1－3x2
解析答案
(4)y＝x· 2x－1；
解 y′＝x′· 2x－1＋x·( 2x－1)′.
1
设 t＝ 2x－1，u＝2x－1，则 t u2 ,
t′x＝t′u·u′x＝
1 2
1
u2
(2
x
1)'
＝12×
∴y′＝
2x－1＋
2xx－1＝
3x－1 2x－1.
2x1－1×2＝
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)y＝x4－3x2－5x＋6；
解 y′＝(x4－3x2－5x＋6)′＝(x4)′－(3x2)′－(5x)′＋6′＝4x3－6x－5.
(2)y＝x·tan x；
解
y′＝(x·tan
x)′＝xcsoisn
xx′＝xsin
x′cos x－xsin cos2 x
∴y′x＝y′u·u′v·v′x＝(u2)′·(sin
v)′·1x′＝2u·cos
0－1 v· x2
＝2sin
1 x·cos
1x·－x21＝－x12·sin
2 x.
(3)y＝ 1－1 2x2；
解
设
y
1
u2
,
u
1
2x2,
则
y'
=
(u
1 2
)'(1
2
x
2
)'
=
(
1
u
3 2
)
(
4
x)
=
1
(1
2
x
2
)
3 2
x′
x－cos x x2
x′
sin x
1
x cos x x 2 x
＝－
xsin
xx＋c2os xx＝－cos
x＋2xsin 2x x
x .
解析答案
(4)y＝x－sin 2x·cos 2x. 解 ∵y＝x－sin 2x·cos 2x＝x－12sin x， ∴y′＝x－12sin x′＝1－12cos x.
两个函数的积的导数，等于第一个函数的导 数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第 二个函数的导数
gfxx′＝__f′___x_g__x_g－_2_xf__x_·_g_′__x_
_(_g_(_x_)≠__0__)
两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上 分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母 的平方
答案
思考 (1)函数g(x)＝C·f(x)(C为常数)的导数是什么？ 答案 g′(x)＝Cf′(x).
＝nsinn－1 xcos[(n＋1)x].
防范措施
解析答案
返回
当堂检测
10 1.已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为 3 .
12345
解析 因f′(x)＝3ax2＋6x， 且 f′(－1)＝3a－6＝4，解得 a＝130.
解析答案
2.函数 y＝12(ex＋e－x)的导数是 12(ex－e－x) . 解析 因为 y′＝12(ex＋e－x)′＝12(ex－e－x).
题型一 导数运算法则的应用 例1 求下列函数的导数： (1)y＝15x5＋23x3； 解 y′＝15x5＋23x3′＝15x5′＋23x3′＝x4＋2x2. (2)y＝lg x－ex；
解 y′＝(lg x－ex)′＝(lg x)′－(ex)′＝xln110－ex.
重点突破
解析答案
(3)y＝
1 x·cos
1＋x2＋(2x2－3)·
x 1＋x2
＝4x
1＋x2＋2x13－＋3xx2 ＝
6x3＋x 1＋x2.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 求下列函数的导数： (1)y＝(2x＋1)5；
解 设u＝2x＋1，则y＝u5， ∴y′x＝y′u·u′x＝(u5)′·(2x＋1)′＝5u4·2＝10u4＝10(2x＋1)4. (2)y＝1－13x4；
答案
知识点二 复合函数的导数
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变
复合函数的概念 量u，y可以表示成 x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)
和u＝g(x)的复合函数，记作_y_＝__f_(g_(_x_))
复合函数的求导 法则
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导
数间的关系为yx′＝ yu′·ux′，即y对x的导数等于_y_对__u_ _的__导__数__与__u_对__x_的__导__数__的__乘__积__
思考 设函数y＝f(u)，u＝g(v)，v＝φ(x)，如何求函数y＝f(g(φ(x)))的导数？
答案 y′x＝y′u·u′v·v′x.
答案
返回
题型探究
答案
(3)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导成立吗？ 答案 导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导仍然成立. 两个函数和(差)的导数运算法则可以推广到有限个函数的情况， 即[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)±f′2(x)±f′3(x)±…±f′n(x).