因素分析
因素分析法的计算公式
因素分析法的计算公式
将分析指标分解为各个可以计量的因素，并根据各个因素之间的依存关系，顺次用各因素的比较值(通常即实际值)替代基准值(通常为标准值或计划值)，据以测定各因素对分析指标的影响。
例如，设某一分析指标M是由相互联系的A、B、C三个因素相乘得到，报告期(实际)指标和基期(计划)指标为：
报告期(实际)指标M1=A1 * B1 * C1
基期(计划)指标M0=A0 * B0 * C0
在测定各因素变动指标对指标R影响程度时可按顺序进行：
基期(计划)指标M0=A0 * B0 * C0 (1)
第一次替代A1 * B0 * C0 (2)
第二次替代A1 * B1 * C0 (3)
第三次替代A1 * B1 * C1 (4)
分析如下：
(2)-(1)→A变动对M的影响。
(3)-(2)→B变动对M的影响。
(4)-(3)→C变动对M的影响。
把各因素变动综合起来，总影响：△M = M1 - M0 =(4)-(3)+(3)-(2)+(2)-(1)
因素分析法的计算步骤：
(1)确定分析对象，并计算出实际与目标数的差异；
(2)确定该指标是由哪几个因素组成的，并按其相互关系进行排序(排序规则是：先实物量，后价值量；先值，后相对值)；
(3)以目标数为基础，将各因素的目标数相乘，作为分析替代的基数；
(4)将各个因素的实际数按照上面的排列顺序进行替换计算，并将替换后的实际数保留下来；
(5)将每次替换计算所得的结果，与前一次的计算结果相比较，两者的差异即为该因素对成本的影响程度；
(6)各个因素的影响程度之和，应与分析对象的总差异相等。
因素分析法
因素分析法因素分析法（factor analysis）是一种经典的多变量统计分析方法，旨在识别多个变量之间的潜在结构，从而简化数据分析的过程，减少数据维度。
因素分析法在社会科学、生物统计学、管理学等领域被广泛应用。
一、因素分析法的基本原理因素分析法的基本原理是将多个变量（如特征、指标等）转化为少数几个共同因素（factors）所解释。
这些共同因素可以解释原始数据的大部分方差。
在原始数据中，每个变量可以被看作是多个因素的线性组合。
共同因素是数据的潜在结构，可以更好地解释原始数据的本质。
因素分析法主要分为探索性因素分析（exploratory factor analysis）和确认性因素分析（confirmatory factor analysis）两种。
探索性因素分析是一种无监督学习的方法，可以帮助用户发现数据中的共同因素。
而确认性因素分析则需要进行假设检验来验证事先设定的共同因素是否合理。
探索性因素分析的具体步骤如下：1. 确定因子数。
通常可以通过选择每个因子所解释的方差百分比来确定因子数。
例如，当前三个因子可以解释总方差的60%时，我们可以选择三个因子来解释原始数据。
2. 确定因素旋转方法。
旋转方法可以保证因素间彼此独立，且每个因子更容易解释。
在因素旋转方法方面，比较经典的有正交旋转和斜交旋转。
正交旋转（例如varimax旋转）可以保证因子之间没有相关性，因此它更适合解释要素之间明确不相关的情况。
而斜交旋转（例如promax旋转）允许因子之间有相关性，因此对于与解释有关联的要素，它可能是更好的选择。
3. 计算因子得分。
因子得分是根据原始变量计算出的每个因子的数值。
得分可以通过因子负荷（factor loadings）计算得出，即每个变量与每个因子之间的关系。
因子负荷可以理解为一个指标表征变量与共同因素之间的相关性，即指标越高，变量与共同因素之间的相关性越大，这个指标越能代表这个共同因素。
二、因素分析法的应用因素分析法的应用非常广泛，在统计分析中占据很重要的地位。
因素分析法
因素分析法（Factor Analysis Approach），又称指数因素分析法，是利用统计指数体系分析现象总变动中各个因素影响程度的一种统计分析方法，包括连环替代法、差额分析法、指标分解法、定基替代法。
因素分析法是现代统计学中一种重要而实用的方法，它是多元统计分析的一个分支。
使用这种方法能够使研究者把一组反映事物性质、状态、特点等的变量简化为少数几个能够反映出事物内在联系的、固有的、决定事物本质特征的因素。
因素分析法的最大功用，就是运用数学方法对可观测的事物在发展中所表现出的外部特征和联系进行由表及里、由此及彼、去粗取精、去伪存真的处理，从而得出客观事物普遍本质的概括。
其次，使用因素分析法可以使复杂的研究课题大为简化，并保持其基本的信息量。
2应用编辑是通过分析期货商品的供求状况及其影响因素，来解释和预测期货价格变化趋势的方法。
期货交易是以现货交易为基础的。
期货价格与现货价格之间有着十分紧密的联系。
商品供求状况及影响其供求的众多因素对现货市场商品价格产生重要影响，因而也必然会对期货价格重要影响。
所以，通过分析商品供求状况及其影响因素的变化，可以帮助期货交易者预测和把握商品期货价格变化的基本趋势。
在现实市场中，期货价格不仅受商品供求状况的影响，而且还受其他许多非供求因素的影响。
这些非供求因素包括：金融货币因素，政治因素、政策因素、投机因素、心理预期等。
因此，期货价格走势基本因素分析需要综合地考虑这些因素的影响。
商品供求状况对商品期货价格具有重要的影响。
基本因素分析法主要分析的就是供求关系。
商品供求状况的变化与价格的变动是互相影响、互相制约的。
商品价格与供给成反比，供给增加，价格下降；供给减少，价格上升。
商品价格与需求成正比，需求增加，价格上升；需求减少，价格下降。
在其他因素不变的条件下，供给和需求的任何变化，都可能影响商品价格变化，一方面，商品价格的变化受供给和需求变动的影响；另一方面，商品价格的变化又反过来对供给和需求产生影响：价格上升，供给增加，需求减少；价格下降，供给减少，需求增加。
第五章因素分析法
因素分析法： 因素分析法：常见的因素分析法有连环替代法和 差异分析法两种。 差异分析法两种。 连环替代法、 连环替代法、差额分析法是因素分析法的基本形 式，它是将财务指标按其构成和不同的分析目标， 它是将财务指标按其构成和不同的分析目标， 将各个因素标准值连锁地用分析值来替代， 将各个因素标准值连锁地用分析值来替代，计算 出各因素变动对整个财务指标影响程度的方法。 出各因素变动对整个财务指标影响程度的方法。
例题
• 某公司本期生产甲产品200件，实际耗用人工 8000小时，实际工资总额80000元，平均每小 时工资10元。假设标准工资率9元，单位产品 10 9 的工时消耗标准为28小时，请分析人工成本差 异。
例题
• 某物流企业的物流成本计算采用标准成本计算系统， 假设A产品有关的成本资料如下表： • 该企业本月生产A产品2450件，消耗原材料25500kg,实 际单价2. 95元/kg。实际耗用工时9750小时，人工工资 40000元。试分析A产品的成本差异。 标准价格 标准数 量 直接材料 直接人工 单位产品标 准成本 3元/kg 4元/h 4h/件 标准成本 （元/件） 16 46
10kg/件 30
• 解：（1）直接材料成本差异=数量差异+价格差异 • =（实际数量-标准数量）*标准价格+实 际数量（实际价格-标准价格） • =（25500-2450×10）×3+25500（2.95-3） • =3000-1275=1725元 • （2）直接人工成本差异=工时差异+工资率差异 • =（实际工时-标准工时）×标准工资率+实 际工时（实际工资率-标准工资率） • =（9750-2450*4）*4+9750（40000/9750-4） • =-200+1000=800元 • （3）总成本差异=实际成本-标准成本= （25500*2.95+40000）-46*2450 • =2525=（1725+800）元 • 即：A产品总成本差异为2525元，直接材料产生的成本 差异为1725元，直接人工产生的成本差异为800元。
因素分析
因素分析因素分析是一种常用的统计方法，用于探究多个变量之间的关系以及对某一现象的影响程度。
在社会科学研究、市场调查和心理学等领域，因素分析被广泛应用于数据分析。
因素分析的基本思想是将一组相关的变量转化为少数几个不相关的综合变量，以此来减少数据的复杂性，并寻找潜在的共同因素。
通过分析这些共同因素，我们可以更好地理解研究对象，并得出有关其表现、特征以及影响因素的结论。
因素分析通常包括两个步骤：因子提取和因子旋转。
在因子提取阶段，我们根据某些预先设定的准则（如特征值、方差贡献率等）选择一些因子，这些因子是可以解释原始变量的大部分方差的综合变量。
在因子旋转阶段，我们通过变换原始因子，使得因子之间的关系更加简洁和易于解释。
因素分析的结果可以用因子载荷矩阵来表示。
因子载荷矩阵显示了每个因子与原始变量之间的相关性。
通过观察因子载荷矩阵，我们可以判断每个因子对于原始变量的解释程度，以及原始变量与因子之间的关系如何。
因素分析可以帮助我们识别和理解变量之间的潜在关系，从而揭示出一些隐藏的因素和规律。
例如，在市场调查中，因素分析可以帮助我们确定用户对产品的评价维度，进而改善产品的设计和营销策略。
在心理学研究中，因素分析可以帮助我们了解人类行为和态度背后的驱动因素，并为制定干预措施提供依据。
然而，需要注意的是，因素分析并不是一种万能的分析方法。
在应用因素分析时，我们需要充分了解研究对象和数据的特点，并正确选择合适的分析方法和工具。
此外，因素分析的结果往往需要结合实际情况进行解释和判断，而不能完全依赖于统计指标和计算结果。
总之，因素分析是一种强大的数据分析方法，可以帮助我们揭示变量之间的关系和潜在因素。
通过深入分析因子载荷矩阵，我们可以获得对研究对象的深入认识，并为后续研究和实践提供指导。
尽管因素分析有其局限性，但只要我们正确应用和解释其结果，它将成为我们研究和决策的有力工具。
因素分析法
因素分析法因素分析法（Factor Analysis）是一种统计分析方法，用于研究变量之间的关系，揭示潜在的影响因素。
这种方法基于隐变量模型，通过统计数据降维和数据描述，帮助我们理解数据背后的结构和关联。
因素分析法最初由心理学家斯皮尔曼（C. Charles Spearman）于1904年提出，旨在研究智力的因素结构。
随后，这种方法被逐渐应用于其他学科领域，如经济学、社会学、市场研究等。
在实践中，因素分析法被广泛用于数据挖掘、模式识别、变量选择和数据降维等领域。
因素分析法的基本原理是假设多个观测变量与少数几个潜在因素相关联，且这些潜在因素无法直接观测到。
通过因素分析，我们可以发现这些潜在因素，从而帮助我们理解变量之间的关系。
一般来说，因素分析法包括两个步骤：因子提取和因子旋转。
因子提取是指从观测变量中提取出少数几个解释变量的因子。
常用的因子提取方法有主成分分析法（Principal Component Analysis）和主因子分析法（Principal Factor Analysis）。
主成分分析法将变量与因子之间的关系表示为线性组合，将原始变量转化为几个无关的主成分，保留了原始数据的总方差的大部分信息。
主因子分析法在主成分分析的基础上，进一步提取出与原始变量更相关的因子，以更好地解释变量之间的关系。
因子旋转是指调整因子所带的权重，使得因子之间的相关性更小，更容易解释。
常用的因子旋转方法有正交旋转和斜交旋转。
正交旋转方法（如Varimax旋转）使得因子之间没有相关性，从而更容易解释各个因子的特征。
斜交旋转方法（如Oblique旋转）允许因子之间存在相关性，适用于因子之间存在关联的情况。
因素分析法的应用范围广泛，涵盖了许多领域。
在社会科学研究中，因素分析法可以用于研究心理学测试中的潜在因素，如人格特征、态度、价值观等。
在市场研究中，因素分析法可以用于揭示消费者行为背后的因素，如购买决策、品牌选择等。
因素分析法公式
因素分析法公式因素分析法（factor analysis）是一种统计分析方法，它可以将多个变量或能够测量的指标归纳为少数因素，以便分析因素之间的关系，是社会科学研究中经常用来检验和比较研究者对问题的理解情况。
一、因素分析法简介：1. 定义：因素分析法（Factor Analysis，FA）是一种可以对变量间的关系进行分析的统计学方法，它可以解释变量的潜在关系，或分解复杂的变量模式，以便了解变量之间的关系。
2. 目的：通过将多个变量或指标归纳为更少的因素的过程，因素分析法将有助于更好地理解变量间的关系，从而更有效地进行研究。
二、因素分析法公式：1. 因素分析方程：因素分析方程可以表示为：$X = \Lambda F + E，其中，$（1）$X$ 是一个 $n$ x $p$ 维的数据矩阵，表示 $n$ 个被观测到的样本，每个样本有 $p$ 个变量；（2）$\Lambda$ 是一个 $p$ x $k$ 维的因式矩阵，$k$ 代表潜在因子数；（3）$F$ 是一个 $k$ x $n$ 维的因子矩阵，每行代表一个潜在因子的水平；（4）$E$ 是一个 $p$ x $n$ 维的误差项矩阵。
2. 因素分析公式：因素分析公式可以表示为：$F_{ij}=\sum_{i} c_{ik}\Lambda_{jk} + \sum_{k}d_{jk}e_{ik}$其中，$F_{ij}$ 表示样本 $i$ 对于第 $j$ 个潜在因子的响应情况；$\Lambda_{jk}$ 表示第 $j$ 个潜在因子的潜在贡献；$c_{ik}$表示样本$i$ 对于第 $k$ 个因素的响应情况；$e_{ik}$表示与第 $j$ 个因素无关的噪声项；而 $d_{jk}$ 则表示第 $k$ 个因素的方差。
三、因素分析法的优势：1. 提供原始数据的概括和抽象：使用因素分析法可以对原始数据进行抽象以便节省大量时间，空间和精力。
2. 有助于发现潜在因素：利用因素分析法可以获得有价值的潜在因素，这些因素可以用于研究相关问题。
财务报表分析——因素分析
财务报表分析——因素分析财务报表是反映企业经营状况和财务状况的重要工具，它包括资产负债表、利润表和现金流量表。
通过对财务报表的分析，可以帮助投资者、企业管理者等了解企业的经营状况，并作出相应的决策。
其中，因素分析是一种常用的财务报表分析方法之一，通过对财务指标间的相关性进行分析，筛选出影响企业经营和财务状况的关键因素，为决策者提供参考依据。
财务报表中的因素分析可以分为两个层面，即内部因素分析和外部因素分析。
内部因素分析主要关注企业自身的经营状况和财务状况，如资产负债表中的资产负债比例、利润表中的毛利率和净利润率等指标。
通过对这些指标的分析，可以了解企业的经营能力和盈利能力，及时发现问题并采取相应的改进措施。
外部因素分析主要关注企业所处的行业环境和市场环境，如行业平均指标和市场前景等。
通过对这些因素的分析，可以了解企业所处的行业竞争力和市场发展潜力，为企业的经营决策提供参考。
在因素分析的过程中，有几个关键的步骤是需要注意的。
首先，需要对财务报表进行整理和分类，将相关的指标归类到一起。
然后，对各指标之间的相关性进行分析，可以使用相关系数或回归分析等方法进行计算。
通过分析相关性，可以找出影响企业经营和财务状况的关键因素。
接下来，需要对这些关键因素进行排序和权重分配，找出对企业最为重要的因素。
最后，根据因素分析的结果，可以给出相应的建议和改进措施，帮助企业提升经营和财务状况。
对于企业来说，因素分析是一项复杂的任务，需要充分了解财务报表的基本知识和相关的分析方法。
同时，还需要具备一定的分析和判断能力，能够准确地评估各种因素对企业的影响程度。
此外，还需要考虑到宏观经济环境和行业竞争状况等外在因素的影响，从而得出更为准确的结论和建议。
最后，因素分析是一种有益的工具，可以帮助企业管理者和投资者了解企业的经营和财务状况，制定相应的决策。
然而，我们也要认识到因素分析并非万能的，仅凭因素分析的结果进行决策是存在风险的，还需要综合考虑其他因素的影响。
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5、对因子做出解释
以上的步骤，大部分可由软件都可替你做好。 但最主要的步骤5，却是要使用者自行依照自 己的专业判断来执行
五、SPSS软件中的因素分析
从菜单上选择<Analyze>的<Data Reduction>下的<Factor> 命令，即打开了因 素分析的主对话框，在主对话框中，有指定 参与因素分析的变量，还有五个子对话框可 供选择。 分别是<Descriptives>、<Extraction>、 <Rotation>、<Score>、<Options>
y
y’ x’
z’ x z
一般来说，转轴的方法有两大类：正交转 轴法和斜交转轴法 正交旋转是使因子轴之间仍然保持90度角， 即因子之间是不相关的
斜交旋转中，因子之间的夹角可以是任意 的，即因子之间不一定是正交的
正交旋转(orthogonal rotation)方法主要包 括：方差最大法(varimax)、四次方最大法 (quartimax)、等量最大法(equimax)
②因子个数的确定
有两个方法：一个是特征值准则，即取特征 值大于等于1的主成分或公因子作为初始因 子，放弃特征值小于1的
二是碎石检验准则(scree test criterion) ，这种图的形状 像一个山峰，从第一个因子开始，曲线迅速下降，然 后下降变得平缓，最后变成近似一条直线，曲线变平 开始的前一个点认为是提取的最大因子个数
附近，且各坐标轴附近积聚的变量数或者各因素的累计贡献 应大致平均。二维坐标系中，正交旋转只需把坐标轴旋转到 尽可能接近变量处即可。多维坐标系将因子空间分解成多个 二维平面，分别进行简单结构的旋转，直到得出稳定、一致 的结果。
对旋转的理解
降维的过程就通过旋转坐标，把方差最大方 向做为坐标，而淘汰方差较小的纬度，这样 就可以将N维空间的问题转化为一维空间的 距离问题。
A =
三、基本概念
因素(factor)和因素负荷 公因子方差或共同度 特征值(eigenvalues)和因子的贡献（解 释量）
1、因素(factor)和因素负荷
潜在变量、假想变量
在因素分析中，通过研究众多变量之间的内部 依赖关系，然后用少数几个假想变量来表示基 本的数据结构，这些假想变量能够反映原来众 多的观测变量所代表的主要信息，并解释这些 观测变量之间的相互依存关系，我们把这些假 想变量称之为因素。
3、特征值和因子的贡献（解释量）
每个公因子对数据的解释能力，可以用该 因子所解释的总方差来衡量，通常称为该 因子的贡献(contributions) ，记为Vp 它等于和该因子有关的因子负荷的平方和， 即Vp=∑a2ip
实际中更常用相对指标，即因子贡献率， 用每个因子所解释的方差占所有变量总方 差的比例来表示
3、因子旋转
因素分析的目的不仅是求出公因子，更主要的 是要知道每个因子的意义。通过坐标变换使因 子解的实际意义更容易解释
一般因素分析得到的结果往往是很难加以解释 的 ，当某些变量同时在几个因子上都有相当程 度的负荷量时，因子的解释工作就更加困难
因子旋转的目的是通过改变坐标轴的位置， 重新分配各个因子所解释的方差的比例， 使因子结构更简单，更易于解释
方差最大法（Varimax）：使各因子（列） 上与该因子有关的负荷平方的方差最大， 即拉开列上各变量的负荷差异，最常用
斜交旋转(oblique rotation)方法，比正交旋转 更具有一般性，它没有因子之间是不相关的这 个限制，主要是直接斜交旋转(Direct Oblimin)、 快速斜交旋转法(Promax)
f1
a11 a12
x1
u1
f2
…
x2
…
u2
…
a1m
Fm
xk
uk
图1 因素分析模型
因素分析模型，是每个观测变量由一组因素的 线性组合来表示，设有k个观测变量（此为标 准化变量），分别为x1，x2，…，xk，其中xi 为具有零均值、单位方差的标准化变量
因素模型的一般表达形式为： xi=ai1f1+ai2f2+…+aimfm+ui (i=1，2，…，k) x1 =a11f1+a12f2+…+a1mfm+u1 x2=a21f1+a22f2+…+a2mfm+u2 … xk=ak1f1+ak2f2+…+akmfm+uk
这个模型，称为因子模型，在该模型中：
(1) f1，f2，…，fm叫做公因子(common factors)，它们是各个观测变量所共有的因 子，解释了变量之间的相关。公共因子都 是均值为0，方差为1的变量。
(2) ui称为特殊因子(unique factor)，它是每 个观测变量所特有的因子，只和xi有关，相 当于残差，表示该变量不能被公因子所解释 的部分。代表公因子以外的影响因素，实际 分析时忽略不计。特殊因子的均值为0。
心理测量学
第十四讲 因素分析
一、概述
心理测验通常显示出从中度到高度的正相 关
假设：设计的两个测验是测量阅读理解和 词汇的，两者之间的相关是0.53 请问：为什么这些测验是相关的
也许：它们相关是因为它们都测量了非常多 的相同东西——言语能力 归纳推理：通过注意到两个测验似乎拥有共 同的特征，鉴别出言语能力这个更一般的、 抽象的、普通的变量 进行因素分析是达到相同结果的一个统计方 法
当因素分析被运用到表1所表示的相关时， 结果与我们通过对这些相关进行日常分析 的结果是非常相似的
表2 对表1中的相关进行一个因素分析的结果
变量 阅读理解
因素负荷
因素1
0.88
因素2
0.09
词 汇
图形旋转
0.76
0.04
0.15
0.72
分解图形
0.20
0.78
这个分析表明，这里有两个不同的因素 因素负荷，或最初的四个测验和这两个因素之 间的相关标示在表2中 阅读理解和词汇与第一个因素显示出高相关， 与第二个因素显示出低相关 FR和EF都与第二个因素显示出高相关，但 是与第一个因素显示出低相关
(3) aij称为因子负荷(factor loadings)，它是 第i个变量xi在第j个公因子fj上的负荷。因素 负荷或因素载荷，实质就是公因子fj和变量 xi的相关系数。矩阵A=（aij）称为因子载荷 矩阵。 a11 a21 … ak1 a12 a22 … ak2 … a1m … a2m … … … akm
公因子方差反映的是单个变量被所有公因 子解释的部分比例，因子贡献反映的则是 单个因子解释的数据总方差
四、因素分析的步骤
首先，计算所有变量的相关矩阵 第二步是提取因子
第三步是进行因子旋转
第四步是计算因子值 第五步是解释因子
1、计算相关矩阵
计算所有变量之间的相关系数，得到相关矩阵 R 根据计算出的相关矩阵还应该进一步判断应用 因子分析方法是否合适
当公因子之间彼此正交时，公因子方差等于和 该变量有关的因子负荷的平方和，用公式表示 为：hi2=ai12+ai22+…+aim2
如何理解公因子方差呢？ 请回忆一下测定系数或决定系数 负荷系数的平方就是变量xi与因子fj的共同变 异
m个公因子对第i个变量方差的贡献称为第i个 变量的共同度 表示全部公因子对变量xi的总方差所做出的贡 献
在实际应用中，由于斜交旋转的结果太容易受 研究者主观意愿的左右，所以建议尽量采用默 认的正交旋转
4、计算因子值
因子值是各个因子在每个案例上的得分值，有 了因子值可以在其他的分析中使用这些因子 求解因子值的方法主要有：回归法、Bartlett法 和Anderson-Rubin法 ，一般使用回归法
二、因素分析数学模型
因素分析是通过研究多个变量间相关系数矩阵（协 方差矩阵）的内部依赖关系，找出能综合所有变量 的少数几个随机变量，这几个随机变量是不可测量 的，通常称为因子，或因素，然后根据相关性的大 小把变量分组，使得同组内的变量之间相关性较高， 但不同组的变量相关性较低。
各个因子间互不相关，所有变量都可以表示成 公因子的线性组合，因素分析的目的就是减少 变量的数目，用少数因子代替所有变量去分析 整个问题
特征值 a112+a212+a312 a122+a222+a322+
+a412+a512 a422+a522 解释量 (a112+a212+a312 (a122+a222+a322 +a412+a512) +a422+a522) ÷5 ÷5
因素模型： x1=a11f1+a12f2 +u1 x2=a21f1+a22f2 +u2 x3=a31f1+a32f2 +u3 x4=a41f1+a42f2 +u4 x5=a51f1+a52f2 +u5
在各因子上只有少数变量有较高的负荷，其它变 量上的负荷（绝对值）很低 任取两因子，每个变量只能在一个因子上有较高 负荷
简言之，就是调整因素负荷矩阵式中的 行、列值向0和1极化，使某些变量的负 荷尽可能往某个因子上集中，而另一些 变量的负荷尽可能往另一个因子上集中
• 旋转图解：良好的旋转应当使得变量向量尽可能落在坐标轴