场论与数理方程
数理方程学习方法..
三、如何学好数学物理方法
1.认真学好先行课 2.珍视课堂学习，专心听讲积极思维 3.勤于练习、勤于思考、勤于答疑 4.善于总结、善于分析、善于对比 5.乐于交流，乐于讨论，乐于创新 6.学会举一反三，懂得由树木见森林。 7.熟记重要公式结果，简化求解过程。 8.树立信心，培养兴趣
Xi’an jiaotong University
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一、本课程的内容和特点
数学物理方法 成了公认的难教难学的 课程。 如何变难教难学课程为易教易学课 程，也就成了全国高校数学物理研究会
每届年会的重要议题。 数学物理方法应是数学美和物理美的 结合 “我没有试图直接解决某一物理问题，而 只是试图寻求某种优美的数学”
---牛顿
xi xi (t ), t
“只要能解微分方程，我就能预测宇宙的过去 和将来” -Laplace
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二、数学物理方法在物理学中的地位
1.数理方法是物理学科的重要基础课 2.数理方法是进行基础研究的重要工具 3.数理方法是培养学生逻辑思维能力和 创造思维能力的重要课程
电动力学 量子力学
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二、数学物理方法在物理学中的地位
1.数理方法是物理学科的重要基础课
数理方法是普通物理与四大力学的“粘合剂”
四大力学
理论力学 热 统
数理方法
数理方程 分离变量法 正交曲线坐标 格林函数法 (电象法) 傅里叶变换法 δ函数 特殊函数 变分原理
电动力学 量子力学
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二、数学物理方法在物理学中的地位
数理方程知识点总结
数理方程知识点总结数理方程是数学理论中的重要分支，其主要研究方向是解决各种类型的方程，包括一元多项式方程、二元一次方程以及各种变形形式的方程等。
数理方程的解决方法非常多元化，通常采用代数、几何、分析等多种方法进行解决，本文将对数理方程的相关知识点进行总结。
一、一元多项式方程1、一元n次多项式方程形如$f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + ... + a_{n-1}x + a_n = 0$，其中$a_0 \neq 0$, $n$为任意正整数，求出方程的根$x_1, x_2, ...,x_n$。
求解该方程的方法有以下几种：（1）牛顿迭代法牛顿迭代法的基本思想是：将一元n次多项式方程重新构造成$x = g(x)$的形式，并求该函数在曲线上的切线截距，不断通过切线截距逼近根的值。
具体算法如下：• 任选一个随机数$x_0$作为初值；• 计算$y = f(x)$在$x = x_0$处的导数$f'(x_0)$；• 根据切线公式$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$，计算出当$y = 0$时的$x$值$x_1$，即$x_1 = x_0 - f(x_0) / f'(x_0)$；• 重复上述过程，将$x_1$作为$x_0$，计算出$x_2$；• 重复以上步骤，直到$x_n$接近被求解的根。
（2）二分法二分法的基本思想是根据函数值的符号改变区间的端点，使函数在这个区间内单调递增或递减，从而迅速缩小待求解根所在的“搜索区间”，达到求解根的目的。
算法流程如下：• 选定区间$[a, b]$值满足$f(a)f(b) < 0$，即根在$[a, b]$区间内；• 取区间中点$c = (a + b) / 2$，计算$f(c)$；• 如果$f(c) = 0$，即找到根；• 如果$f(a)f(c) < 0$，即根在区间$[a, c]$内，则将$b$更新为$c$；• 如果$f(b)f(c) < 0$，即根在区间$[c, b]$内，则将$a$更新为$c$；• 重复以上过程，不断缩小区间，直到找到根或直到区间长度足够小时停止。
场论的相关数学理论
场论的相关数学理论场论是研究某些物理量在空间中的分布状态及其运动形式的数学理论，它的内容是进一步深入研究电磁场及流体等的运动规律的基础，也是学习某些后继课程的基础，本章主要介绍场论中几个基本概念（梯度、散度、旋度）以及它们的应用。
§2.1 场 1、 场的概念 设有一个区域（有限或无限）V ，如果V 内每一点M ，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在区域V 中确定了该物理量的一个场。
若该物理量是数量，则称此场为数量场；若是矢量，则称此场为矢量场。
例如温度场、密度场、电位场等为数量场，而力场、速度场等为矢量场。
此外，若物理量在场中各点处的对应值不随时间而变化，则称该场为稳定场；否则，称为不稳定场。
后面我们只讨论稳定场（当然，所得的结果也适合于不稳定场的每一瞬间情况）。
在数学上给定一个数量场就相当于给定了一个数性函数)(M u u =；同样，给定了一个矢量场就相当于给定了一个矢性函数A=A )(M ，其中M 表示区域V 中的点。
当取顶了直角坐标系Oxyz 以后，空间中的点M 由它的三个坐标x 、、y、所确定，因此，一个数量场可以用一个数性函数)(x 、、y、z u u = （2.1.1）来表示。
同样，一个矢量场可用一个矢性函数A=A )(x 、、y、 （2.1.2） 来表示。
从数学观点看，数量场的概念与点函数概念相比没有新的内容，向量场的概念与向量函数相比没有新的内容，但是为了强调场这个概念的起源与物理意义，我们仍用“场”的有关术语重述前面有关章节的内容，并赋予它新的含义。
2、 数量场的等值面 在数量场中，为了直观地研究数量u 在场中的分布状况，我们引入等值面的概念。
所谓等值面，是指由场中使函数u 取相同数值的点所组成的曲面。
例如电位场中的等值面，就是由电位相同的点所组成的等值面。
显然，数量场u 的等值面方程为C x 、、y、u ==)(（C 为常数）。
由隐函数存在定理知道，在函数u 为单值，且连续偏导数z y x u 、u 、u '''不全为零时，这种等值面一定存在。
场论的名词解释
场论的名词解释引言：场论（Field Theory），是物理学中的一个重要分支。
它被广泛应用于粒子物理学、相对论、统计力学等领域，为我们理解自然界的基本原理提供了一种深入的思考方式。
本文将对场论进行详细解释和探讨，带领读者进入这个神秘而美妙的世界。
1. 场的概念与特性在物理学中，场是一种描述物质或物质运动的物理量分布的数学对象。
它可以是标量场（Scalar Field）、矢量场（Vector Field）、张量场（Tensor Field）等。
场具有局部性、连续性和相对性等基本特性。
局部性意味着场的值在空间中的任意一点都是独立的；连续性表示场的取值在空间中任意两点之间是连续变化的；相对性则是指场的取值与观察者的参考系有关。
2. 场的基本描述场论采用数学上的场方程来描述和推导物理现象。
典型的场方程包括著名的波动方程、麦克斯韦方程组和薛定谔方程等。
这些方程可以通过变分原理和作用量原理来推导，从而获得代表系统演化的微分方程。
通过求解这些方程，我们可以得到描述场的物理量和它们随时间和空间的变化而变化的解。
3. 场与粒子的关系场论的一个重要概念是“场粒子二重性”。
根据量子力学的观点，场与粒子是密不可分的。
简单来说，场是描述粒子的数学对象，而粒子则是场的激发或扰动。
例如，在量子场论中，电子场和正电子场可以相互作用，从而产生电子-正电子对。
这种相互作用过程可以通过费曼图等图形进行描述，使我们对粒子的产生和湮灭有更直观的理解。
4. 场的量子化场论的量子化是将经典场论转化为量子场论的过程。
在经典场论中，场是连续的，而在量子场论中，场被量子化成离散的粒子。
量子场论采用了量子力学和量子统计的框架，引入了算符和正则量子化方法等技巧，从而使得场可以像粒子一样被描述。
量子场论的发展为我们理解基本粒子和宇宙微观结构提供了理论基础。
5. 场论的应用和发展场论的应用广泛涉及微观和宏观世界的各个领域。
在粒子物理学中，场论为我们理解基本粒子的相互作用提供了框架。
数理方程 - 01 - 数理方程绪论
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11
通解（一般解）
• 一般来讲，一阶偏微分方程的解依赖一个任意函数， 二阶方程依赖两个任意函数。 • 通解或一般解：m 阶偏微分方程的解如果包含有 m 个任意函数。 • 注意：这 m 个函数不能合并，如 f + g 其实就相当于 一个任意函数。
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例
• 求 tuxt 2ux 2 xt 的通解
M1
M2 d
O
x
x+x
x
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受力分析
3. 惯性力：
▫ 惯性会使物体有保持原有运动状态的倾向，若是以该 物体为参照物，看起来就仿佛有一股方向相反的力作 用在该物体上，故称之为惯性力：F = -ma。 每点的质量为 dm ( x)dx ，每点的加速度为 a utt ， 所有点求和得到积分，即惯性力为
2 ▫ 设 v ux ，则化为 vt v 2 x t
▫ 视 x 为参数，则为关于 v 的一阶常微分方程，
2 2 dt dt 2 2 3 t t ▫ 由求解公式可得 v e 2 xe dt G( x) t G ( x) xt 3
场论与数理方程lesson8
在整个 域内 g 0，所以在 内
1 1 G g 4 rM 0 M 4 rM 0 M
即
1 0 G( M , M 0 ) 4 rM 0 M
性质4
格林函数 G( M , M 0 )在自变量 M 及参变量 M 0 之间
G(M1 , M 2 ) G(M 2 , M1 )
具有对称性，即设 M1, M 2为区域中的两点，则
三、调和函数的积分表达式：
1 u(M 0 ) 4 1 u(M ) n rM M 0 1 u( M ) dSM rM M n 0
其中点 M0 ( x0 , y0 , z0 )
四、格林函数
g (M , M 0 ) ，它在区域 内关于变量 M 是到处调和的， 1 并且在区域 的边界 上与函数 在边界 上的 4 rM 0 M
格林第二公式
u v (uv vu )d u v dS n n
g (M , M 0 ) |
1 | 4 rM 0 M
由格林第二公式得
g u g 式相减，就得到
1 ，故以 M 0为中心，适当小的 为半径作球 ， 4 rM 0 M
总可以使 G在 上为正。又G 在 及 围成的域内是调和
的，且
G | 0, G | 0
由极值原理知，在该域内 G 0 ，令 0 ，则知在整
个域 内 G 0 。
1 又 g 在 内处处调和且 g | 4 r 0 ，由极值原理知， M0M
值相同，即
若 u , v 均调和，则它们满足格林第一公式
u v u v u v v uvd u n dS x x y y z z d
场论与数理方程lesson05
y
B
C
G
F
在dt 时间内通过ABCD面流入的质量为
n
D
A
E H
dx
o
x
x + dx
图 9.2
z
u u dm x (k ) x dtdydz (k ) x dtdydz n x x 在dt 时间内通过FGHE面流入的质量为 u u dm x dx (k ) x dx dtdydz (k ) x dx dtdydz n x
弹性支持 自由冷却
热传导方程的定解问题：
例：有一长为 l 的均匀细杆，侧向与外界无热交换，杆内有强 度随时间连续变化的热源，设在同一截面上具有同一热源强度 及初始温度为 ( x)，且杆的一端保持零度，另一端绝热，试推 导定解问题。
u 2u a 2 2 f ( x, t ), x (0, l ), t 0 t x u (l , t ) u (0, t ) 0, t 0 x u ( x, 0) ( x), x [0, l ]
u k |x 0 dsdt H [u (0, t ) u1 (t )]dsdt n u k |x 0 H [u (0, t ) u1 (t )] x u H H |x 0 u (0, t ) u1 (t ) x k k
H 令 k
u u u1 (t ) x x 0
u 2u a2 2 t x
则得到一维扩散方程
一维热传导方程的边界条件：两边界条件
（1）两端温度为已知函数：
u |x0 (t ), u |xl (t )
数学物理中的场论
数学物理中的场论场论可以说是数学物理学中非常重要的一个分支，其主要研究的是具有空间分布性质的物理场，如电磁场、引力场、量子场等。
场论是数学和物理学高深复杂的交叉学科，其应用广泛，贯穿于整个物理学和工程学的各个领域。
首先，让我们来看一下什么是物理场。
物理场是由在空间中存在的物理量所构成的。
物理量指的是描述物理世界状态和性质的数或向量。
比如我们所熟悉的温度、速度、电场、电势等物理量，这些物理量都是可以在空间中建立起来的，它们随着位置的变化而变化，从而形成了物理场。
场论的基础概念是场和场量。
场是空间中各个点的物理量在某种范围内的集合，场存在于物理空间中。
物理学家常说的物质场是指物质状态在空间和时间上分布的物理量，比如说电磁场、流体力学场和引力场等等。
而更为基础的是标量场，即不随空间方向而变化的物理变量。
比如说温度场，电势场等等。
场量是指场在某一点的值或场的变化量，是一种与场相关的数值，比如说电荷、质量、能量等等。
场论主要分为经典场论和量子场论两个方面。
经典场论是研究电磁场、引力场和流体场等经典物理场的性质和相互作用的物理学理论。
它是在经典物理学范畴内发展起来的，在宏观世界中非常有效。
量子场论跟经典场论类似，试图描述宇宙中各种基本粒子的行为，它着重于描述物质粒子的行为，特别是声子、玻色子等量子粒子的行为。
量子场论与经典场论有很大的差别，其中最基本的差别是对物理量的测量不可能完全精确，因此基本粒子的性质在量子场论中是随机和模糊的。
场论的研究涉及到数学、物理学、天文学、化学、工程学等众多学科。
在数学中，场论使得微分方程、椭圆方程和双曲方程可以更加容易被处理。
在物理学中，场论首先被用来研究电磁波的性质。
后来，它被用来研究引力场以及基本粒子之间的相互作用，成为了研究宇宙学的重要工具。
总之，场论是数学物理学中至关重要的一个分支，它为了解自然世界的本质起到了至关重要的作用，目前仍在不断被推陈出新，拓展着我们对宇宙的认识。
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utt a uxx
2
（8）
称式（8）为一维弦振动方程（一维波动方程）
(2) 如果在弦的单位长度上还有横向外力 F ( x, t ) 作用，则式(2)应该改写为
T1 sin 1 T2 sin 2 gds F ( x, t )ds dsutt
可导出
utt a uxx f ( x, t )
（2）
sin 2 2 tan 2
ds (dx)2 (du)2 1 (ux )2 dx dx
注意到:
u ux tan sin 故由上图得 x
ux x tan 1 sin 1 ,
这样，(1)和(2)简化为
ux
x dx
tan 2 sin 2
差分方法 有限元 多尺度
古典解
数值解法
数值解
第一章 一些典型方程和定解条件的推导
§1.1 基本方程的建立 一、弦振动方程
例1：设一长为l的均匀柔软的细弦，导出弦的微小的横振动方 程
u
T2
u ( x, t )
B
T 1
C
α2
α1
A
x
x + dx
图 9.1
x
横振动：1.在同一平面内振动 2.振向与弦向垂直
(5)
dx
x dx
可以取得很小，根据微分知识有下式成立
x
ux
因此
ux
u x dx u xx dx x
utt Tuxx g 0
(6)
utt a 2uxx g
其中 a 2 T / 讨论：
（7）
上式即为弦作微小横振动的运动方程，简称为弦振动方程．
（1）若设弦的重量远小于弦的张力，则上式(7)右端的重力 加速度项可以忽略．由此得到下列齐次偏微分方程：
u
T2
B
T1
C
α2
α1
A
x
x + dx
图 9.1
x
作用于小段 ABC 的横向合力应该为零：
T2 cos 2 T1 cos 1 0
仅考虑微小的横振动， 夹角
（1）
1 , 2 为很小的量，忽略 12 , 22
及其以上的高阶小量，则根据级数展开式有
12 cos 1 1 2!
1, cos 2 1
T1 T2
u
T2
B
T1
C
α2
α1
A
x
x + dx
图 9.1
x
根据牛顿第二定律 F ma u 方向运动的方程可以描述为
T2 sin 2 T1 sin 1 gds (ds)utt
13 sin 1 1 1 tan 1 , 3!
微分方程
常微分方程
u ( x)
u f ( x) x偏微分方程u ( x, t ) （其中x表示位置，t表示时间） v( x, n) （其中x表示大小，n表示方向）
2u 2u 2 f ( x, t ) 2 x t
数学物理方程
数学物理方程：用数学方法研究物理现象的偏微分 方程。 经典方程
2
(9)
式中 f ( x, t ) F ( x, t ) 称为力密度
式（9）称为弦的受迫振动方程.
T2 u x x dx T1 u x x gdx utt dx T2 T1 0
（3(9.1.3) ） （4） (9.1.4)
T2 T1
，弦中张力不随
可记为 x 而变，
T T2 T1 故有
T (ux
变化量
x dx
ux x ) gdx utt dx
波动方程 热传导方程 调和方程
数学物理方程的发展
对流扩散方程 奇异摄动方程
2u u u a 2 b f ( x, t ) x x t 2u u 1 2 2 f ( x, t ) x x
弹性力学
数学物理方程的解法
分析解法
分离变量法 积分变换法 行波法