2013届高考数学一轮复习讲义第二章 2.7 对数与对数函数
＝ N ；②logaaN＝ N (a>0 且 a≠1)．
(3)对数的重要公式 logaN logbN＝ logab (a，b 均大于零且不等于 1)； ①换底公式： 1 ②logab＝ ，推广 logab· bc· cd＝ logad . log log logba
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要点梳理
a想和函数思想的应用，主要涉及对 数式的求值，对数函数的图象和性质的综合运用以及与其他 知识的结合(如不等式、指数函数等)．
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变式训练 3
已知函数 f(x)＝loga(x＋1) (a>1)，若函数 y＝g(x)图象上任意 一点 P 关于原点对称的点 Q 的轨迹恰好是函数 f(x)的图象． (1)写出函数 g(x)的解析式； (2)当 x∈[0,1)时总有 f(x)＋g(x)≥m 成立，求 m 的取值范围．
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对数式的化简与求值
例 1 计算下列各式． (1)lg 25＋lg 2· 50＋(lg 2)2； lg (lg 3)2－lg 9＋1· 27＋lg 8－lg 1 000) (lg (2) ； lg 0.3· 1.2 lg (3)(log32＋log92)· 43＋log83)． (log
(1)lg 2· 50 没有办法直接化简，可考虑提取公因数 lg 2. lg (2)将根号下配成完全平方的形式，开根号．(3)利用换底公 式，是本题的切入口．
忆一忆知识要点
3．对数函数的图象与性质 0<a<1
图象
(0，＋∞) (1)定义域：
(2)值域： R 性质 (3)过点 (1,0) ，即 x＝ 1 时，y＝ 0 (4)当 x>1 时， y>0 当 0<x<1 时， y<0 (6)在(0，＋∞)上是增函数 (5)当 x>1 时， y<0 当 0<x<1 时， y>0
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解
(1)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52
＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5)＝2.
3 3＋3lg 2－ (lg 3) －2lg 2 (2)原式＝ (lg 3－1)· 3＋2lg 2－1) (lg 3 (1－lg 3)·(lg 3＋2lg 2－1) 2 3 ＝ ＝－ . 2 (lg 3－1)· 3＋2lg 2－1) (lg
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对数函数的图象与性质
例 2 作出函数 y＝log2|x＋1|的图象，由图象指出函数的单 调区间，并说明它的图象可由函数 y＝log2x 的图象经过怎 样的变换而得到．
从基本函数 y＝log2x 入手到 y＝log2|x|再到 y＝log2|x＋1|.
解 作出函数 y＝log2x 的图象，将其关于 y 轴对称得到函数 y＝log2|x|的图象，再将 图象向左平移 1 个单位长度就得到函数 y ＝log2|x＋1|的图象(如图所示)．由图知， 函数 y＝log2|x＋1|的递减区间为(－∞， －1)，递增区间为(－1，＋∞)．
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探究提高
作一些复杂函数的图象，首先应分析它可以从哪一个基本函 数的图象变换过来．一般是先作出基本函数的图象，通过平 移、对称、翻折等方法，得出所求函数的图象．
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变式训练 2
0<x≤10， |lg x|， 已知函数 f(x)＝ 1 若 a，b，c 互不相 －2x＋6， x>10，
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思想与方法
数形结合思想在对数函数中的应用
(14 分)已知函数 f(x)＝loga(ax－1) (a>0 且 a≠1)． 求证：(1)函数 f(x)的图象总在 y 轴的一侧； (2)函数 f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于 0.
审题视角
(1)要证明 f(x)的图象总在 y 轴的一侧，说明 f(x)的自变量只 能在(0，＋∞)或(－∞，0)取值．(2)可以在 f(x)上任取两点 y2－y1 A(x1，y1)，B(x2，y2)，证明 k＝ >0 即可． x2－x1
解 (1)f(2)＝loga4，依题意 f(2)＝2， 则 loga4＝2，∴a＝2.
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(2)由题意知 8－2x>0，解得 x<3， 由 8－2－x>0 知，x>－3， ∴函数 y＝f(x)＋f(－x)的定义域为(－3,3)． 又 y＝f(x)＋f(－x)＝loga(8－2x)＋loga(8－2－x) ＝loga[65－8(2x＋2 x)]， 65 x ∵ >2 ＋2－x≥2，当且仅当 x＝0 时取等号， 8 ∴0<65－8(2x＋2－x)≤49， ∴当 a>1 时，函数 y＝f(x)＋f(－x)在 x＝0 处取得最大值 loga49.
解 (1)设 P(x，y)为 g(x)图象上任意一点，则 Q(－x，－y) 是点 P 关于原点的对称点， ∵Q(－x，－y)在 f(x)的图象上，∴－y＝loga(－x＋1)， 即 y＝g(x)＝－loga(1－x)．
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x＋1 (2)f(x)＋g(x)≥m，即 loga ≥m. 1－x 1＋x 设 F(x)＝loga ，x∈[0,1)，由题意知，只要 F(x)min≥m 1－x 即可． ∵F(x)在[0,1)上是增函数， ∴F(x)min＝F(0)＝0. 故 m≤0 即为所求．
(2)设 A(x1，y1)、B(x2，y2)是函数 f(x)图象上的任意两点， 且 x1<x2， y1－y2 则直线 AB 的斜率 k＝ . x1－x2 [8 分]
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y 1 y 2 lo g a ( a
x1
1) lo g a ( a
x2
a 1 1 1) lo g a x , 2 a 1 [10分]
x
当 a>1 时，由(1)知 0<x1 <x2 ， 11aax x aax x ,, , 当a>1 时，由(1)知 0<x1<x2， 1 a xx a xx , 1 2 当 a>1 时，由(1)知 0<x1<x2， 1 a a 当 a>1 时，由(1)知 0<x1<x2，
logaN lg N ln N
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要点梳理
忆一忆知识要点
2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果 a>0 且 a≠1，M>0，N>0，那么 M ①loga(MN)＝ logaM＋logaN；②loga N ＝ logaM－logaN ； n ③logaMn＝ nlogaM (n∈R)；④logamMn＝ mlogaM . (2)对数的性质 ①a
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对数函数的综合应用
例 3 已知函数 f(x)＝loga(8－2x) (a>0 且 a≠1)． (1)若 f(2)＝2，求 a 的值； (2)当 a>1 时，求函数 y＝f(x)＋f(－x)的最大值．
利用 f(2)＝2，得出关于 a 的方程，即可求出 a 的值；第(2)问 中，应先确定函数 y＝f(x)＋f(－x)的定义域，再根据解析式的 特征选用适当的方法求其最大值．
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规范解答 证明 (1)由 ax－1>0，得 ax>1， [1 分]
∴当 a>1 时，x>0，即函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)， 此时函数 f(x)的图象在 y 轴的右侧； [3 分]
当 0<a<1 时，x<0，即函数 f(x)的定义域为(－∞，0)， 此时函数 f(x)的图象总在 y 轴的左侧． ∴函数 f(x)的图象总在 y 轴的一侧． [5 分] [6 分]
x1 x 1x 1 x1 x1 x2 x 2x 2 x2 x2
又 x1 －x2 <0，∴k>0. [9 分] 又 1 1－x2<0，∴k>0. [12 分] 2 又 xx－x2<0，∴k>0. [9 分] 又 x1－x2<0，∴k>0. [9 分] 1 x x 当 0<a<1 时，由(1)知 xx<x2 <0，∴ aax x aax x 1, 0<a<1 时，由(1)知 x1 <x2<0，∴ a xx a xx 1, 时，由(1)知 x1<x2<0，∴ a a 1, 1, 当 当 0<a<1 时，由(1)知 1 1<x2<0，∴ 当 0<a<1
2
3 3＋1· lg 2
lg 2 lg 2 lg 3 lg (3)原式＝lg 3＋lg 9· 4＋lg lg lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 ＝lg 3＋2lg 3· 2＋3lg 2 2lg
3 8
3lg 2 5lg 3 5 ＝ · ＝ . 2lg 3 6lg 2 4
减函数 (7)在(0，＋∞)上是
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4.反函数 指数函数 y＝ax 与对数函数 y＝logax 互为反函数，它们 的图象关于直线 y＝x 对称．
5. 第一象限中,对数函数底数与图象的关系
y
y=1
o
x
图象从左 到右,底数逐渐 变大.
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[难点正本
疑点清源]
1．关于对数的底数和真数 从对数的实质看：如果 ab＝N(a>0 且 a≠1)，那么 b 叫做 以 a 为底 N 的对数，即 b＝logaN.它是知道底数和幂求指 数的过程．底数 a 从定义中已知其大于 0 且不等于 1；N 在对数式中叫真数，在指数式中，它就是幂，所以它自 然应该是大于 0 的．
(10,12) 等，且 f(a)＝f(b)＝f(c)，则 abc 的取值范围是__________．
解析 作出 f(x)的大致图象．
由图象知，要使 f(a)＝f(b)＝f(c)，不妨设 a<b<c， 1 则－lg a＝lg b＝－ c＋6. 2 ∴lg a＋lg b＝0，∴ab＝1，∴abc＝c.
高考数学一轮复习第二章函数第六节对数与对数函数课件文
13036810=t(t>0),
∴3361=t·1080,∴361lg 3=lg t+80,
∴361×0.48=lg t+80,∴lg t=173.28-80=93.28,∴t=1093.28.
故选D.
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1-2 设2a=5b=m,且 1 + 1 =2,则m=
ab
答案 10
10 .
解析 ∵2a=5b=m>0,
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考点突破
答案 (1)A (2)A
解析
(1)由题意知x1=lo g1 2<0,x2= 212
3
= 2 ∈(0,1), 2
对于x3,满足
1 3
x3
=log3x3,画出y=
1 3
x
与y=log3x的图象(图略)可知x3>1,因
此,三者之间的大小关系为x1<x2<x3.
log log
2
1 2x, x (Fra bibliotekx), x 0.
0,
若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是
( C )
A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)
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考点突破
答案 C 解法一:①若a>0,则-a<0,
(2)a=log46,b=log40.2,
c=log23= log43 = log43 =2log43=log49, log4 2 log4 4
∵9>6>0.2,∴log49>log46>log40.2,
最新高考数学总复习——第2章 第7节 对数与对数函数
(2)t(x)＝3－ax，因为a＞0， 所以函数t(x)为减函数． 因为f(x)在区间[1,2]上为减函数， 所以y＝logat为增函数， 所以a＞1，当x∈[1,2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1) ＝loga(3－a)，
3－2a＞0， 所以loga3－a＝1，
即a＜32， a＝32.
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域：(_0_，_＋__∞_)__
值域：_R__
当x＝1时，y＝0，即过定点_(_1_,0_)___ 性质
当0＜x＜1时，y＜0；当 当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，
x＞1时，y＞0
y＜0
在(0，＋∞)上为_增__函_数___ 在(0，＋∞)上为 减函数
4.反函数 指数函数 y＝ax(a＞0 且 a≠1)与对数函数_y_＝__lo_g_ax____(a＞0 且 a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 y＝x 对称．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问 题，利用数形结合法求解．
1 (1)(2019·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数y＝ ax ，y
＝logax＋12(a＞0，且a≠1)的图象可能是(
)
A
B
C
D
(2)当0＜x≤12时，4x＜logax，则a的取值范围是(
)
A.0，
2
2
C．(1， 2)
B.
22，1
D．( 2，2)
(1)D
(2)B
[(1)对于函数y＝loga
x＋12
，当y＝0时，有x＋
1 2
＝
1，得x＝
1 2
，即y＝loga
x＋12
的图象恒过定点
高考数学一轮总复习教学课件第二章 函 数第7节 对数函数
g(x)=(a-1)x2-ax在同一坐标系中的图象可能是(
√
)
解析:(1)g(x)=(a-1)x2-ax的图象过原点,排除A,C;
当0<a<1时,f(x)=logax单调递减,g(x)开口向下,排除D.故选B.
(2)(2024·浙江杭州模拟)已知二次函数f(x)的图象如图所示,将
其向右平移2个单位长度得到函数g(x)的图象,则不等式g(x)>
在[-1,4)上单调递减,所以f(x)max=f(-1)=2log25,则B正确;
因为f(x)在(-6,-1)上单调递增,在[-1,4)上单调递减,
且f(-4)=f(2)=4,
所以不等式f(x)<4的解集是(-6,-4)∪(2,4),则C错误;
因为f(x)在[-1,4)上单调递减,所以D错误.
故选AB.
.
解析:(3)因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上单
调递减,
所以可将 f(lo (2x-5))>f(log38)等价于|lo (2x-5)|>|log38|,
即 log3(2x-5)>log38 或 log3(2x-5)<-log38=log3 ,即 2x-5>8 或
再借助y=logax的单 忽略函数的定义域
调性求解
角度三
对数函数性质的综合应用
[例4] (多选题)(2023·河北邯郸模拟)已知函数f(x)=log2(x+6)+
log2(4-x),则(
)
√
B.f(x)有最大值
√
A.f(x)的定义域是(-6,4)
C.不等式f(x)<4的解集是(-∞,-4)∪(2,+∞)
数学(文)一轮复习：第二章 基本初等函数、导数及其应用 第讲对数与对数函数
第6讲对数与对数函数,)1．对数概念如果a x＝N(a〉0,a≠1），那么数x叫做以a 为底N的对数，记作x＝log a N．其中a叫做对数的底数，N叫做真数性质底数的限制：a>0，且a≠1对数式与指数式的互化：a x＝N⇒log a N＝x负数和零没有对数1的对数是零：log a1＝0底数的对数是1：log a a＝1对数恒等式：a log a N＝N运算性质log a（M·N)＝log a M＋log a N a>0，且a≠1, log a错误!＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M（n∈R)M >0,N〉0 2.对数函数的图象与性质a〉10<a<1图象性质定义域：（0，＋∞）值域:R过定点（1，0）当x〉1时，y〉0当0〈x〈1时,y<0当x〉1时，y〈0当0<x<1时，y〉在（0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞）上是减函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数,它们的图象关于直线y＝x对称．1．辨明三个易误点（1）在运算性质中，要特别注意条件，底数和真数均大于0，底数不等于1。
（2)对公式要熟记，防止混用．（3）对数函数的单调性、最值与底数a有关，解题时要按0〈a 〈1和a〉1分类讨论，否则易出错．2．对数函数图象的两个基本点（1）当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a〈1时，对数函数的图象“下降”．(2)对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点(a，1），错误!，函数图象只在第一、四象限．3．换底公式及其推论(1）log a b＝错误!(a，c均大于0且不等于1，b〉0）；(2）log a b·log b a＝1，即log a b＝错误!（a，b均大于0且不等于1)；（3)log am b n＝错误!log a b（a〉0且a≠1，b>0，m≠0,n∈R）；(4)log a b·log b c·log c d＝log a d（a，b，c均大于0且不等于1,d>0）．1．函数y＝错误!ln(1－x）的定义域为（)A．(0，1) B．D．B 因为y＝错误!ln(1－x）,所以错误!解得0≤x〈1.2.错误!(log29）·（log34)＝（)A．错误!B．错误!C．2 D．4D原式＝错误!·错误!＝4。
高三数学一轮 第二章 第六节 对数、对数函数课件 理
与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步 骤为：
(1)确定定义域；
(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成 的，将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)， u＝g(x)；
(3)分别确定这两个函数的单调区间；
(4)若这两个函数同增或同减，则y＝f[g(x)]为 增函数，若一增一减，则y＝f[g(x)]为减函数， 即“同增异减”．
【解析】 (1)由题设，3－ax>0 对一切 x∈[0,2]恒成立，a>0 且 a≠1， ∵a>0，∴g(x)＝3－ax 在[0,2]上为减函 数，
从而 g(2)＝3－2a>0，∴a<32， ∴a 的取值范围为(0,1)∪1，32.
(2)假设存在这样的实数 a，由题设知 f(1) ＝1，
即 loga(3－a)＝1，∴a＝32， 此时 f(x)＝log323－32x， 当 x＝2 时，f(x)没有意义，故这样的实 数不存在．
【答案】 A
4．已知 loga(3a－1)有意义，那么实数 a 的取值范围是________．
a＞0
【解析】 由a≠1 3a－1＞0
，可得 a＞31且
a≠1.
【答案】 a＞13且 a≠1
5．函数 y＝ log1(3x－2)的定义域是________．
2
【解析】 要使 y＝ log1(3x－2)有意义
(3)令 u(x)＝xx＋ －bb，则函数 u(x)＝1＋x2－bb 在(－∞，－b)和(b，＋∞)上分别为减函 数，所以当 0<a<1 时，f(x)在(－∞，－ b)和(b，＋∞)上分别为增函数；当 a>1 时，f(x)在(－∞，－b)和(b，＋∞)上分 别为减函数．
(4)解关于 x 的方程 y＝logaxx＋ －bb，得 x＝ b(ay＋1)
高考数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.6 对数与对数函数课件 理
D．①②④
13
第十三页，共四十五页。
解析：若 M＝N＝0，则 logaM，logaN，logaM2，logaN2 无意义，若 logaM2＝logaN2， 即 M2＝N2，则|M|＝|N|，①③④不正确，②正确．
答案：C
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2.写出下列各式的值： (1)log2 22＝________； (2)log53＋log513＝________； (3)lg 52＋2lg 2－12－1＝________；
「应用提示研一研」 1.换底公式的两个重要推论
其中 a＞0 且 a≠1，b＞0 且 b≠1，m，n∈R.
11
第十一页，共四十五页。
2.对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线 y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故 0 ＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
12
第十二页，共四十五页。
「基础小题练一练」
1.对于 a＞0 且 a≠1，下列结论正确的是( )
①若 M＝N，则 logaM＝logaN； ②若 logaM＝logaN，则 M＝N； ③若 logaM2＝logaN2，则 M＝N； ④若 M＝N，则 logaM2＝logaN2. A.①③
B．②④
C.②
5＋(lg 5＋lg 2)·lg 3＝lg 5＋lg 3＝lg 15.
∴x＝15.
答案：(1)81
5 (2)4
(3)15
23
第二十三页，共四十五页。
对数函数的图象(tú xiànɡ)及应用
[典 例 导 引] (1)函数 y＝2log4(1－x)的图象大致是( )
(2)若不等式(x－1)2＜logax 在 x∈(1,2)内恒成立，则实数 a 的取值范围为________．
高三数学一轮复习讲义对数与对数函数
对数与对数函数对数与对数运算内容对数的概念、运算性质，换底公式转化为自然对数或常用对数，对数化简运算的作用知识点1、定义：一般地a x =N ，x 是以a 为底N 的对数，记x=log a N ；x -对数、a -底数、N -真数2、对数的性质(1) log a 1=0，log a a =1 (2) a log a N =N (N>0)，log a a N =N (3) 负数、0没有对数3、对数运算性质，a > 0且a ≠ 1，M > 0，N > 0，则(1) log a (MN )=log a M +log a N (2) log a MN =log a M -log a N(3) log a M n =n log a M (n ∈R) (4) log a b =log m blog m a易错点对数运算时真数大于0例1 天文学中，天体的明暗程度可用星等或亮度描述。
两颗星的星等与亮度满足m 2 - m 1 = 52 lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k =1,2)。
已知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度比值为()A 1010.1B 10.1C lg10.1D 10-10.1【答案】 A【分析】注意对实际问题中公式的理解【详解】m 2-m 1=52 lg E 1E 2 知：-1.45-(-26.7)=52 lg E 1E 2 ，E 1E 2 =1010.1【考核】对数应用例2 等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11 + a 9a 12 = 2e 5，则ln a 1 + ln a 2 +...+ ln a 20 =_____ 【答案】50【分析】对数的和等于真数积的对数【详解】ln a 1 + ln a 2 + ... + ln a 20 = 120219101110ln()ln()...ln()a a a a a a +++= 10 ln(a 10a 11)∵a 10a 11 + a 9a 12 = 2 a 10a 11 = 2e 5，ln(a 10a 11 ) = 5 ∴ln a 1 + ln a 2 + ... + ln a 20 = 50【考核】对数运算公式：log a (MN )=log a M +log a N 应用例3 计算(lg2)2 + lg2·lg50 + lg25=___ 【答案】2 【分析】【详解】(lg2)2 + lg2·lg50 + lg25 = lg2(lg2 + lg50) + 2lg5 = 2lg2 + 2lg5 = 2(lg2 + lg5) = 2 【考核】对数的运算：幂指数前置作乘，和变积例4 已知7p =2，7q =5，则lg2用p 、q 表示为_____ 【答案】 qp + q 【分析】【详解】p = log 27 =lg7lg2 ，q = log 57 = lg7lg5 ：p q = lg5lg2 = 1 - lg2lg2∴ lg2 =q p + q【考核】对数运算：换底公式的应用、除变差例5 计算lg8 + lg125 - lg2 - lg5lg 10 ·lg0.1【答案】- 4 【分析】【详解】lg8 + lg125 - lg2 - lg5 = 3lg2 + 3lg5 - lg2 - lg5 = 2(lg2 + lg5) = 2lg 10 ·lg0.1 = 12 ·(-1) = - 12∴lg8+lg125-lg2-lg5lg 10 ·lg0.1= - 4【考核】对数运算：加变乘例6 若log 2(log 3x ) = log 3(log 2y ) = 2，则x + y =_____ 【答案】593 【分析】【详解】log 2(log 3x ) = 2 ⇒ x = 34log 3(log 2y ) = 2 ⇒ y = 29 x + y = 593【考核】对数运算例7 函数f(x ) = ln(1+9x 2 -3x ) + 1，则f(lg2) + f(lg 12) = ( )A -1B 0C 1D 2【答案】D 【分析】【详解】f(x ) = ln(1+9x 2 - 3x ) + 1，f(-x ) = ln(1+9x 2 + 3x ) + 1∴有f(x ) + f(-x ) = 2f(lg2) + f(lg 12) = f(lg2) + f(-lg2) = 2【考核】对数运算：和变积总结对数运算、换底公式，明确公式成立的条件，防止错混；熟悉变换应用、逆应用等对数函数图像与性质内容对数函数模型、概念、单调性、图像特点 知识点例1 函数y = 3 + log a (2x + 3)的图像必过( )A (-1,3)B (-1,4)C (0,1)D (2,2)【答案】A【分析】应用log a 1 = 0【详解】2x + 3 = 1，x = -1；必过(-1,3)【考核】对数的性质例2 已知a = log0.60.5，b = ln0.5，c = 0.60.5，则( )A a > b > cB a > c > bC c > a > bD c > b > a 【答案】B【分析】选用特殊中间值：0、1作比较【详解】log0.60.5 > 1 > 0.60.5 > 0 > ln0.5【考核】对数、指数的大小比较例3 已知y = log a (8 - 3ax)在[1,2]上递减，则实数a的取值范围( )A (0,1)B (1,43 )C (43,4) D (1,+∞)【答案】B【分析】a > 0，3a > 0：y = 8 - 3ax 单调减，复合函数y = log a (8 - 3ax )在[1,2]上递减 即y = log a x 在[1,2]上递增【详解】y = log a x 在[1,2]上递增，得a > 1；而8 - 3ax > 0在[1,2]上成立，有a < 43【考核】含对数函数的复合函数单调性，对数的性质，不等式例4 函数f(x ) = ln x 的图像与函数g(x ) = x 2 - 4x + 4的图像的交点个数为( ) A 0B 1C 2D 3【答案】C【分析】数形结合 【详解】【考核】对数函数图像例5 已知x = log 2 3 - log 2 3 ，y = log 0.5 π，z = 0.9-1.1，则( ) A x < y < zB z < y < xC y < z < xD y < x < z【答案】D【分析】转化成对数形式，以函数的方法与中间值比较大小【详解】log 2 3 - log 2 3 = 12 log 2 3，log 0.5 π = - log 2 π，0.9-1.1 = (109)1.1- log2 π < 0 < 12<12log2 3 < 1 < (109)1.1【考核】对数比较大小例6定义在R上是偶函数f(x)满足f(x+2) = f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x) = x，则函数y = f(x) - log3|x|的零点个数( )A 2B 3C 4D 6【答案】C【分析】利用函数奇偶性、周期性判断f(x)与log3|x|交点个数【详解】偶函数f(x)，x∈[-1,0]时f(x) = f(- x) = - x【考核】函数图形及性质例7 偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，a = f(log2 13)，b = f(32)，c = f(log3 2)，则下列关系式正确的是( )A a < b < cB a < c < bC c < a < bD c < b < a 【答案】D【分析】利用函数奇偶性和单调性，根据自变量大小比较函数值大小【详解】log2 13=- log2 3，log3 2 =1log2 3(1 < log2 3 < 2)；32= log2 2 2偶函数知：a = f(log2 13) = f(-log2 3) = f(log2 3)∴0 <1log2 3< 1 < log2 2 2 < log2 3【考核】对数的公式的灵活应用，比较大小例8 f(x )是定义在R 上的偶函数，对x ∈R ，都有f(x -2) = f(x +2)，且当x ∈[-2,0]时，f(x ) = (12 )x-1，若在区间(-2,6)内关于x 的方程f(x ) - log a (x +2) = 0 (a > 1)恰好有3个不同的实数根，则a 的取值范围( ) A (2,+∞) B (1,2) C (34 ,2)D (34 ,2]【答案】C【分析】奇偶性、周期性求出最小周期内的函数解析式，根据方程中3个不同实根，即函数图像有3个不同交点：首先确定图像边界：如2、4个交点的情况，这两种情况之间为3个交点的情况【详解】x ∈R 有f(x -2) = f(x +2) ⇒ f(x ) = f(x +4)，T=4且令x ∈[0,2]有f(x ) = f(-x ) = (12)-x - 1 = 2x -1与log a (x +2)(a > 1)的函数图像如下【考核】奇偶性、周期性，周期函数、对数函数图像性质例9 已知函数f(x ) = ⎩⎨⎧ x - 1，x ≤22 + log a x ，x > 2(a > 0且a ≠ 1)的最大值为1，则a 的取值范围( )A [12,1) B (0,1)C (0,12]D (1,+∞)【答案】A【分析】2 + log a x ≤1在定义域内恒成立的问题 【详解】x > 2时，2 + log a x ≤1即可：0 < a < 1，x ≥1a ⇒ 1a ≤2，a ≥12a > 1时log a x 单调增，故没有最大值【考核】对数函数单调性，图像的性质例10 函数f(x ) = log 2 (4x - x 2)的单调减区间是( )A (0,4)B (0,2)C (2,4)D (2,+∞) 【答案】C【分析】真数大于0确定定义域，根据复合函数单调性确定减区间 【详解】y = 4x - x 2 > 0，即x ∈(0,4)且(0,2)↑，(2,4) ↓y = log 2 x 单调递增∴ 复合函数“同增异减”：log 2 (4x - x 2)在(2,4) ↓【考核】对数的性质，复合函数单调性例11 已知log a 34< 1，那么a 的取值范围是____【答案】(0,34)∪(1,+∞)【分析】根据底数a 讨论对数函数单调性，求解不等式 【详解】0 < a < 1，log a 34 < 1有a < 34a > 1，log a 34 < 1恒成立得a ∈(0,34)∪(1,+∞)【考核】对数底数的讨论解不等式总结1、对数函数y = log a x 图像及应用(1) 特殊点：(a ,1)，(1,0)，(1a ,-1)(2) 一般对数函数：通过对y = log a x 平移、对称、翻转等变换得到 (3) 方程、不等式恒成立：利用对数函数图像，数形结合 2、对数函数的性质及应用(1) 对数大小比较：化同底形式确定大小；中间过渡值比较大小，如：0、1或其它特殊值(2) 图像法：观察函数图像比大小(3) 利用单调性：比大小、解不等式、求最值 3、对数综合性问题需注意(1) 底数的范围 (2) 定义域(3) 对数问题的等价转化。
高考数学一轮复习讲义 第2章 第5节 对数与对数函数
第五节对数与对数函数[考纲要求]1．理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点,会画底数为2,10,12的对数函数的图象．3．体会对数函数是一类重要的函数模型．了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a>0,且a≠1)．突破点一对数的运算[基本知识]1．对数的概念、性质及运算概念如果a x＝N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x＝log a N,其中a叫做对数的底数,N叫做真数,log a N叫做对数式性质对数式与指数式的互化:a x＝N⇔x＝log a Nlog a1＝0,log a a＝1,a log a N＝_N_运算法则log a(M·N)＝log a M＋log a Na>0,且a≠1,M>0,N>0 log aMN＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M(n∈R)(1)换底公式:log a b＝log c blog c a(a>0,且a≠1,c>0,且c≠1,b>0);(2)log a b＝1log b a,推广log a b·log b c·log c d＝log a d.[基本能力]一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)(1)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.()(2)log2x2＝2log2x.()(3)存在这样的M,N使得log2(MN)＝log2M·log2N.()答案:(1)×(2)×(3)√二、填空题1．已知log62＝p,log65＝q,则lg 5＝________(用p,q表示)．解析:lg 5＝log65log610＝qlog62＋log65＝qp＋q.答案:q p ＋q2．计算:2312log ＋lg 8＋32lg 25＋⎝⎛⎭⎫925-12＝________. 解析:原式＝13＋3(lg 2＋lg 5)＋53＝5.答案:53．已知4a ＝2,lg x ＝a ,则x ＝________. 解析:∵4a ＝22a ＝2,∴a ＝12.∴lg x ＝12,∴x ＝10.答案:104．log 225·log 34·log 59＝________.解析:原式＝lg 25lg 2·lg 4lg 3·lg 9lg 5＝2lg 5lg 2·2lg 2lg 3·2lg 3lg 5＝8.答案:8[典例感悟]计算下列各式的值: (1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514;(2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64.解:(1)原式＝log 535＋log 550－log 514＋2log 12212＝log 535×5014＋log 122＝log 553－1＝2.(2)原式＝[(log 66－log 63)2＋log 62·log 6(2×32)]÷log 64＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫log 6632＋log 62·(log 62＋log 632)÷log 622 ＝[(log 62)2＋(log 62)2＋2log 62·log 63]÷2log 62 ＝log 62＋log 63＝log 6(2×3)＝1.[方法技巧]解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式,要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.[针对训练]1．计算:⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷100-12＝________. 解析:原式＝lg ⎝⎛⎭⎫14×125×10012＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20. 答案:－202．计算:lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋(lg 23)2＋lg 16＋lg 0.06＝________.解析:原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2＋lg ⎝⎛⎭⎫16×0.06 ＝3lg 5·lg 2＋3lg 5＋3(lg 2)2－2＝ 3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2＝3lg 2＋3lg 5－2＝1.答案:13．(2019·宁波期末)已知4a ＝5b ＝10,则1a ＋2b ＝________.解析:∵4a ＝5b ＝10,∴a ＝log 410,1a ＝lg 4,b ＝log 510,1b ＝lg 5,∴1a ＋2b ＝lg 4＋2lg 5＝lg 4＋lg25＝lg 100＝2.答案:2突破点二 对数函数的图象及应用[基本知识]1．对数函数的图象 函数y ＝log a x ,a >1y ＝log a x,0<a <1图象图象特征 在y 轴右侧,过定点(1,0)当x 逐渐增大时,图象是上升的当x 逐渐增大时,图象是下降的2.底数的大小决定了图象相对位置的高低不论是a ＞1还是0＜a ＜1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大,如图,0<c <d <1<a <b .在x 轴上侧,图象从左到右相应的底数由小变大; 在x 轴下侧,图象从右到左相应的底数由小变大． (无论在x 轴的上侧还是下侧,底数都按顺时针方向变大) 3．指数函数与对数函数的关系指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y ＝x 对称．[基本能力]一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)(1)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a －1,函数图象不在第二、三象限．( )(2)函数y ＝log 2(x ＋1)的图象恒过定点(0,0)．( ) 答案:(1)√ (2)√ 二、填空题1．已知函数y ＝log a (x －3)－1的图象恒过定点P ,则点P 的坐标是________． 解析:y ＝log a x 的图象恒过点(1,0),令x －3＝1,得x ＝4,则y ＝－1. 答案:(4,－1)2．函数y ＝log 3|2x －m |的图象关于x ＝12对称,则m ＝________.答案:13．若f (x )＝log 2x ,则f (x )>0的x 的范围是________． 答案:(1,＋∞)[全析考法]考法一 对数函数图象的辨析[例1] (2019·海南三市联考)函数f (x )＝|log a (x ＋1)|的大致图象是( )[解析] 法一:函数f (x )＝|log a (x ＋1)|的定义域为{x |x >－1},且对任意的x ,均有f (x )≥0,结合对数函数的图象可知选C.法二:||y ＝log a (x ＋1)的图象可由y ＝log a x 的图象左移1个单位,再向上翻折得到,结合选项知选C.[答案] C [方法技巧]研究对数型函数图象的思路研究对数型函数的图象时,一般从最基本的对数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地,要注意底数a >1或0<a <1这两种不同情况．考法二 对数函数图象的应用[例2] (2019·辽宁五校联考)已知函数f (x )＝|ln x |.若0<a <b ,且f (a )＝f (b ),则a ＋4b 的取值范围是( )A ．(4,＋∞)B ．[4,＋∞)C ．(5,＋∞)D ．[5,＋∞)[解析] 由f (a )＝f (b )得|ln a |＝|ln b |,根据函数y ＝|ln x |的图象及0<a <b ,得－ln a ＝ln b,0<a <1<b ,1a ＝b .令g (b )＝a ＋4b ＝4b ＋1b ,易得g (b )在(1,＋∞)上单调递增,所以g (b )>g (1)＝5. [答案] C [易错提醒]应用对数函数图象求解问题时易出现作图失误导致求解错误,要记准记牢图象的变换规律．[集训冲关]1.[考法一]函数f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)的图象大致为( )解析:选A由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数,图象关于y轴对称．设g(x)＝log a|x|,先画出x>0时,g(x)的图象,然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象,最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象,结合图象知选A.2.[考法二]已知函数f(x)＝|log12x|的定义域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12m,值域为[0,1],则m的取值范围为________．解析:作出f(x)＝|log12x|的图象(如图),可知f⎝⎛⎭⎫12＝f(2)＝1,f(1)＝0,由题意结合图象知:1≤m≤2.答案:[1,2]3.[考法二]使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是________．解析:在同一坐标系中分别画出函数y＝log2(－x)和y＝x＋1的图象(如图所示),由图象知使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是(－1,0)．答案:(－1,0)突破点三对数函数的性质及应用[基本知识]对数函数的性质函数y＝log a x(a>0,且a≠1)a>10<a<1性质定义域(0,＋∞)值域R单调性在(0,＋∞)上是增函数在(0,＋∞)上是减函数函数值变化规律当x＝1时,y＝0当x>1时,y>0; 当x>1时,y<0;当0<x <1时,y <0当0<x <1时,y >0一、判断题(对的打“√”,错的打“×”) (1)当x >1时,log a x >0.( )(2)函数y ＝lg(x ＋3)＋lg(x －3)与y ＝lg[(x ＋3)(x －3)]的定义域相同．( ) (3)对数函数y ＝log a x (a >0,且a ≠1)在(0,＋∞)上是增函数．( ) 答案:(1)× (2)× (3)× 二、填空题1．函数y ＝log 2x －1的定义域为________． 答案:[2,＋∞)2．函数y ＝log 12(3x －1)的单调递减区间为________．答案:⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13＋∞3．函数y ＝log a x (a >0,a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a ＝________. 答案:2或12[全析考法]考法一 与对数有关的函数定义域问题[例1] (2018·西安二模)若函数y ＝log 2(mx 2－2mx ＋3)的定义域为R,则实数m 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．[0,3)C ．(0,3]D ．[0,3][解析] 由题意知mx 2－2mx ＋3>0恒成立．当m ＝0时,3>0,符合题意;当m ≠0时,只需⎩⎨⎧m >0Δ＝(－2m )2－12m <0解得0<m <3.综上0≤m <3,故选B. [答案] B [方法技巧]已知f (x )＝log a (px 2＋qx ＋r )(a >0,且a ≠1)的定义域为R,求参数范围时,要注意分p ＝0,p ≠0讨论．同时p ≠0时应结合图象说明成立条件．考法二 与对数有关的比较大小问题[例2] (2019·湖北华中师大第一附属中学期中)设a ＝2 01812019,b ＝log 2 018 2 019,c ＝log 2 019 2 018,则a ,b ,c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．c >b >a[解析] ∵a ＝2 01812019>2 0180＝1,1＝log 2 0182 018>b ＝log 2 018 2 019>log 2 018 2 018＝12,c ＝log 2 019 2 018<log 2 019 2 019＝12,所以a >b >c .故选A. [答案] A[方法技巧] 对数函数值大小比较的方法 单调性法 在同底的情况下直接得到大小关系,若不同底,先化为同底中间量过渡法 寻找中间数联系要比较的两个数,一般是用“0”,“1”或其他特殊值进行“比较传递”图象法根据图象观察得出大小关系考法三 与对数有关的不等式问题[例3] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2xx ＞0log 12(－x )x ＜0.若f (a )＞f (－a ),则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞,－1)∪(1,＋∞)C ．(－1,0)∪(1,＋∞)D ．(－∞,－1)∪(0,1)[解析] 由题意得⎩⎨⎧a ＞0log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0－log 2(－a )＞log 2(－a )解得a ＞1或－1＜a ＜0.故选C. [答案] C [方法技巧]简单对数不等式问题的求解策略(1)解决简单的对数不等式,应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值,再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数a 的值有关,在研究对数函数的单调性时,要按0<a <1和a >1进行分类讨论．(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解． 考法四 对数函数性质的综合问题[例4] 若函数f (x )＝log 12(－x 2＋4x ＋5)在区间(3m －2,m ＋2)内单调递增,则实数m 的取值范围为( )A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤433B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤432C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫432 D.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫43＋∞ [解析] 由－x 2＋4x ＋5＞0,解得－1＜x ＜5.二次函数y ＝－x 2＋4x ＋5的对称轴为x ＝2.由复合函数单调性可得函数f (x )＝ log 12(－x 2＋4x ＋5)的单调递增区间为(2,5)．要使函数f (x )＝log 12(－x 2＋4x ＋5)在区间(3m －2,m ＋2)内单调递增,只需⎩⎪⎨⎪⎧3m －2≥2m ＋2≤53m －2＜m ＋2解得43≤m ＜2.[答案] C [方法技巧]解决对数函数性质的综合问题的3个注意点(1)要分清函数的底数是a ∈(0,1),还是a ∈(1,＋∞)．(2)确定函数的定义域,无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质,都要在其定义域上进行．(3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性．[集训冲关]1.[考法一]函数f (x )＝1ln (3x ＋1)的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－130∪(0,＋∞) C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－13＋∞ D ．[0,＋∞)解析:选B 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1>0ln (3x ＋1)≠0解得x >－13且x ≠0,故选B.2.[考法二]设a ＝log 50.5,b ＝log 20.3,c ＝log 0.32,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A ．b <a <c B ．b <c <a C ．c <b <aD ．a >b >c解析:选B a ＝log 50.5>log 50.2＝－1,b ＝log 20.3<log 20.5＝－1,c ＝log 0.32>log 0.3103＝－1,log 0.32＝lg 2lg 0.3,log 50.5＝lg 0.5lg 5＝lg 2－lg 5＝lg 2lg 0.2.∵－1<lg 0.2<lg 0.3<0,∴lg 2lg 0.3<lg 2lg 0.2,即c <a ,故b <c <a .故选B.3.[考法三](2019·湛江模拟)已知log a 34<1,那么a 的取值范围是________．解析:∵log a 34<1＝log a a ,故当0<a <1时,y ＝log a x 为减函数,0<a <34;当a >1时,y ＝log a x 为增函数,a >34,∴a >1.综上所述,a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫034∪(1,＋∞)．答案:⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫034∪(1,＋∞)4.[考法四](2019·盐城中学月考)已知函数f (x )＝log a1－xb ＋x(0<a <1)为奇函数,当x ∈(－1,a ]时,函数f (x )的值域是(－∞,1],则a ＋b 的值为________．解析:由1－xb ＋x >0,解得－b <x <1(b >0)．又奇函数定义域关于原点对称,故b ＝1.所以f (x )＝log a1－x 1＋x (0<a <1)．又g (x )＝1－x x ＋1＝－1＋2x ＋1在(－1,a ]上单调递减,0<a <1,所以f (x )在 (－1,a ]上单调递增．又因为函数f (x )的值域是(－∞,1],故f (a )＝1,此时g (a )＝a ,即1－a a ＋1＝a ,解得a ＝2－1(负根舍去),所以a ＋b ＝ 2.答案: 2[课时跟踪检测][A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(log 29)(log 32)＋log a 54＋log a ⎝⎛⎭⎫45a (a >0,且a ≠1)的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析:选B 原式＝(2log 23)(log 32)＋log a ⎝⎛⎭⎫54×45a ＝2×1＋log a a ＝3. 2．(2018· 衡水名校联考)函数y ＝log 23(2x －1)的定义域是( )A ．[1,2]B ．[1,2)C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤121 D.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤121 解析:选D 由log 23(2x －1)≥0⇒0<2x －1≤1⇒12<x ≤1.3．设a ＝log 3π,b ＝log 23,c ＝log 32,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a解析:选A 因为a ＝log 3π＞log 33＝1,b ＝log 23＜log 22＝1,所以a ＞b ; 又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2＞1,c ＞0,所以b ＞c .故a ＞b ＞c . 4．(2019·武汉调研)函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)(a >1)的单调递增区间是( ) A ．(－∞,－2) B ．(－∞,－1) C ．(2,＋∞)D ．(5,＋∞)解析:选D 由函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)得x 2－4x －5>0,得x <－1或x >5.令m (x )＝x 2－4x －5,则m (x )＝(x －2)2－9,m (x )在[2,＋∞)上单调递增,又由a >1及复合函数的单调性可知函数f (x )的单调递增区间为(5,＋∞),故选D.5．已知a >0,且a ≠1,函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P .若点P 也在幂函数f (x )的图象上,则f (x )＝________.解析:设幂函数为f (x )＝x α,因为函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P (2,2),则2α＝2,所以α＝12,故幂函数为f (x )＝x 12.答案:x 126．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为__________,单调递增区间为__________． 解析:作出函数y ＝log 2x 的图象,将其关于y 轴对称得到函数y ＝log 2|x |的图象,再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)．由图知,函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为(－∞,－1),单调递增区间为(－1,＋∞)．答案:(－∞,－1) (－1,＋∞)[B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·广东普通高中学业水平考试)对任意的正实数x ,y ,下列等式不成立的是( ) A ．lg y －lg x ＝lg yxB ．lg(x ＋y )＝lg x ＋lg yC ．lg x 3＝3lg xD ．lg x ＝ln xln 10解析:选B 由对数的运算性质可知lg x ＋lg y ＝lg(xy ),因此选项B 错误． 2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0,且a ≠1)的反函数,且f (2)＝1,则f (x )＝( ) A ．log 2x B.12xC ．log 12xD ．2x －2解析:选A 由题意知f (x )＝log a x (a >0,且a ≠1)． ∵f (2)＝1,∴log a 2＝1.∴a ＝2.∴f (x )＝log 2x .3．已知函数f (x )＝lg(1＋4x 2＋2x )＋2,则f (ln 2)＋f ⎝⎛⎭⎫ln 12＝( ) A ．4 B ．2 C ．1D ．0解析:选A 由函数f (x )的解析式可得:f (x )＋f (－x )＝lg(1＋4x 2＋2x )＋2＋lg(1＋4x 2－2x )＋2＝lg(1＋4x 2－4x 2)＋4＝4, ∴f (ln 2)＋f ⎝⎛⎭⎫ln 12＝f (ln 2)＋f (－ln 2)＝4.故选A. 4．(2019·衡水中学模考)函数y ＝x ln|x ||x |的图象可能是( )解析:选B 易知函数y ＝x ln|x ||x |为奇函数,故排除A,C;当x >0时,y ＝ln x ,只有B 项符合．故选B.5．(2019·菏泽模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋8x ≤2log ax ＋5x >2(a >0,a ≠1)的值域为[6,＋∞),则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1)∪(1,2)C ．(1,2]D ．[2,＋∞)解析:选C 当x ≤2时,f (x )∈[6,＋∞),所以当x >2时,f (x )的取值集合A ⊆[6, ＋∞)．当0<a <1时,A ＝(－∞,log a 2＋5),不符合题意;当a >1时,A ＝(log a 2＋5,＋∞),若A ⊆[6,＋∞),则有log a 2＋5≥6,得1<a ≤2.综上所述,选C.6．设a ,b ,c 均为正数,且2a ＝log 12a ,⎝⎛⎭⎫12b ＝log 12b ,⎝⎛⎭⎫12c ＝log 2c ,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c解析:选A ∵a ＞0,∴2a ＞1,∴log 12a ＞1,∴0＜a ＜12.∵b ＞0,∴0＜⎝⎛⎭⎫12b ＜1,∴0＜log 12b ＜1,∴12＜b ＜1. ∵c ＞0,∴⎝⎛⎭⎫12c ＞0,∴log 2c ＞0,∴c ＞1. ∴0＜a ＜12＜b ＜1＜c ,故选A.7．已知函数f (x )＝log a(2x －a )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1223上恒有f (x )>0,则实数a 的取值范围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫131B.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫131C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫231 D.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫231 解析:选A 当0<a <1时,函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1223上是减函数,所以log a⎝⎛⎭⎫43－a >0,即0<43－a <1,解得13<a <43,故13<a <1;当a >1时,函数f (x )在区间[ 12,23]上是增函数,所以log a (1－a )>0,即1－a >1,解得a <0,此时无解．综上所述,实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫131.8．(2019·六安一中一模)计算:(lg 3)2－lg 9＋1－lg 13＋8130.5 log 5＝________.解析:原式＝(lg 3)2－2lg 3＋1＋lg 3＋33log 25＝1－lg 3＋lg 3＋25＝26.答案:269．已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0,且a ≠1),若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立,则实数a 的取值范围是________．解析:当a >1时,f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数,由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立,得f (x )min ＝log a (8－2a )>1,解得1<a <83.当0<a <1时,f (x )在[1,2]上是增函数,由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立,得f (x )min ＝log a (8－a )>1,解得a >4,且0<a <1,故不存在．综上可知,实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫183.答案:⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫18310．若函数f (x )＝log a (x 2－26x ＋a )(a >0,且a ≠1)有最小值12,则实数a 的值等于________．解析:令g (x )＝x 2－26x ＋a ,则f (x )＝log a [g (x )]．①若a ＞1,由于函数f (x )有最小值12,则g (x )应有最小值 a ,而g (x )＝x 2－26x ＋a ＝(x －6)2＋a －6,当x ＝6时,取最小值a －6,因此有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1a ＝a －6解得a ＝9.②若0＜a ＜1,由于函数f (x )有最小值12,则g (x )应有最大值a ,而g (x )不存在最大值,不符合题意．综上,实数a ＝9.答案:911．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋ax －2,其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域;(2)当a ∈(1,4)时,求函数f (x )在[2,＋∞)上的最小值; (3)若对任意x ∈[2,＋∞)恒有f (x )>0,试确定a 的取值范围．解:(1)由x ＋ax －2>0,得x 2－2x ＋a x >0,当a >1时,x 2－2x ＋a >0恒成立,定义域为(0,＋∞);当a＝1时,定义域为{x |x >0且x ≠1};当0<a <1时,定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x －2,当a ∈(1,4),x ∈[2,＋∞)时,∴g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax 2>0.因此g (x )在[2,＋∞)上是增函数,∴f (x )在[2,＋∞)上是增函数．则f (x )min ＝f (2)＝lg a2.(3)对任意x ∈[2,＋∞),恒有f (x )>0.即x ＋ax －2>1对x ∈[2,＋∞)恒成立．∴a >3x －x 2.令h (x )＝3x －x 2,x ∈[2,＋∞)．由于h (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94在[2,＋∞)上是减函数,∴h (x )max ＝h (2)＝2.故a >2时,恒有f (x )>0.因此实数a 的取值范围为(2,＋∞)．12．(2019·邯郸模拟)已知函数f (x )＝log a (3－ax )． (1)当x ∈[0,2]时,函数f (x )恒有意义,求实数a 的取值范围;(2)是否存在这样的实数a ,使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1？如果存在,试求出a 的值;如果不存在,请说明理由．解:(1)∵a >0且a ≠1,设t (x )＝3－ax , 则t (x )＝3－ax 为减函数,当x ∈[0,2]时,t (x )的最小值为3－2a , ∵当x ∈[0,2]时,f (x )恒有意义, 即x ∈[0,2]时,3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0,∴a <32.又a >0且a ≠1,∴a ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132.(2)由(1)知函数t (x )＝3－ax 为减函数．∵f (x )在区间[1,2]上为减函数,∴y ＝log a t 在[1,2]上为增函数,∴a >1, 当x ∈[1,2]时,t (x )的最小值为3－2a ,f (x )的最大值为f (1)＝log a (3－a ),∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0log a (3－a )＝1即⎩⎪⎨⎪⎧a <32a ＝32.故不存在这样的实数a ,使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1.[C 级 难度题——适情自主选做]1．(2019·长沙五校联考)设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1,x 2,则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1D ．0<x 1x 2<1解析:选D 构造函数y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|,并作出它们的图象,如图所示．因为x 1,x 2是10x ＝|lg(－x )|的两个根,所以两个函数图象交点的横坐标分别为x 1,x 2,不妨设x 2<－1,－1<x 1<0,则10x 1＝－lg(－x 1),10x 2＝lg(－x 2),因此10x 2－10x 1＝lg(x 1x 2),因为10x 2－10x 1<0,所以lg(x 1x 2)<0,即0<x 1x 2<1.2．(2019·安丘一中期中)如图所示,矩形ABCD 的三个顶点A ,B ,C 分别在函数y ＝2x ,y＝x 12,y ＝⎝⎛⎭⎫22x 的图象上,且矩形的边分别平行于两坐标轴,若点A 的纵坐标为2,则点D 的坐标为________．解析:因为点A 的纵坐标为2,所以令2x ＝2,解得点A 的横坐标为12,故x D ＝12.令x 12＝2,解得x ＝4,故x C＝4.所以y C＝⎝⎛⎭⎫224＝14,故y D＝14,所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1214.答案:⎝ ⎛⎭⎪⎫12143．已知函数f (x )＝|log 3x |,实数m ,n 满足0＜m ＜n ,且f (m )＝f (n ),若f (x )在[m 2,n ]上的最大值为2,则nm ＝________.解析:因为f (x )＝|log 3x |＝⎩⎨⎧－log 3x0＜x ＜1log 3xx ≥1所以f (x )在(0,1)上单调递减,在(1, ＋∞)上单调递增,由0＜m ＜n 且f (m )＝f (n ),可得⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜m ＜1n ＞1log 3n ＝－log 3m则⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜1n ＞1mn ＝1所以0＜m 2＜m＜1,则f (x )在[m 2,1)上单调递减,在(1,n ]上单调递增,所以f (m 2)＞f (m )＝f (n ),则f (x )在[m 2,n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2,解得m ＝13,则n ＝3,所以n m ＝9.答案:9。
高考数学一轮复习课件第二章对数与对数函数
答案：c>a>b
[易错纠偏] (1)对数函数图象的特征不熟致误； (2)忽视对底数的讨论致误； (3)忽视对数函数的定义域致误．
1．已知 a>0，a≠1，函数 y＝ax 与 y＝loga(－x)的图象可能是________．(填序号)
3
＝ 3＋2 log2 3
＝
3＋
3 3
＝4
3 3.
【答案】
(1பைடு நூலகம்－12
33
43 (2) 3
对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数 最简，然后正用对数的运算性质化简合并． (2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化 为同底对数真数的积、商、幂的运算．
(1)已知奇函数 f(x)在 R 上是增函数．若 a＝－f(log215)，b＝f(log24.1)，c＝f(20.8)，
则 a，b，c 的大小关系为
()
A．a<b<c
B．b<a<c
C．c<b<a
D．c<a<b
(2)设 a＝log3π，b＝log2 3，c＝log3 2，则
A．a>b>c
B．a>c>b
解析：函数 y＝loga(－x)的图象与 y＝logax 的图象关于 y 轴对称，符合条件的只有②. 答案：②
2．函数 y＝logax(a>0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是 1，则 a＝________． 解析：分两种情况讨论：①当 a>1 时，有 loga4－loga2＝1，解得 a＝2；②当 0<a<1 时， 有 loga2－loga4＝1，解得 a＝12.所以 a＝2 或12. 答案：2 或12
2013高考数学一轮同步训练(文科) 2.7对数函数
第七节对数函数强化训练1.已知函数f (x )=log 2(1)x +,若()f α=1α,等于( ) A.0 B.1 C.2D.3答案:B解析:12α+=,故1α=,选B. 2.2log 510+log 50.25等于( ) A.0 B.1 C.2 D.4答案:C解析:2log 510+log 50.25=log 5100+log 50.25=log 5252=. 3.已知f (x )=|log 2x |,则33()()82f f += .答案:2 解析:33()()82f f +=|log 238|+|log 232|=|log 23-3|+|log 231-|=3-log 23+log2312-=.4.已知函数f (x )=12300log x x x x +⎧,≤,⎨,>,⎩则使函数f (x )的图象位于直线y =1上方的x 的取值范围是 .答案:{x |10x -<≤或x >2}解析:当0x ≤时,由131x +>,得x +1>0, 即x >-1.∴10x -<≤.当x >0时,由log 21x >,得x >2.∴x 的取值范围是{x |10x -<≤或x >2}.5.是否存在实数a ,使函数f (x )=log 2()a ax x -在区间[]24,上是增函数？如果存在，求出a 的取值范围；如果不存在，请说明理由.解:设2()g x ax x =-,并假设符合条件的实数a 存在,当a >1时,为了使f (x )=log 2()a ax x -在区间[2,4]上是增函数,需2()g x ax x =-在区间[2,4]上是增函数,∴122x a=≤,解得14a ≥.又∵a >1,∴a >1.当0<a <1时,为了使f (x )=log 2()a ax x -在区间[]24,上是增函数， 需2()g x ax x =-,在区间[2,4]上是减函数. ∴142x a=≥,解得18a ≤.又∵0<a <1,∴108a <≤.综上可知:当a >1或108a <≤时,函数f (x )=log 2()a ax x -在区间[2,4]上是增函数.见课后作业B题组一 对数的化简与求值1.设a =log 54(b ,=log 253)c ,=log 45,则( ) A.a <c <b B.b <c <a C.a <b <c D.b <a <c答案:D解析:a =log 54(01)c ∈,,=log 45(1)(b ∈,+∞,=log 253)(01)c ∈,,最大,排除A B .、 又∵b =(log 253)<log 53<log 54a =, ∴b <a <c .2.已知log 23a =,log 37b =,则用a ,b 表示log 1456为 . 答案:31ab ab ++解析:∵log 23a =,log 37b =,∴log 27ab =. ∴log 221422log 563log 7356log 141log 71ab ab ++===++.题组二 对数函数的图象3.若函数y =f (x )是函数(0x y a a =>,且1)a ≠的反函数,其图象经过点)a ,则f (x )等于 ( ) A.log 2x B.12x C.log 12x D.2x答案:C解析:由题意f (x )=log a x ,∴a =log 1212a a =.∴f (x )=log 12x .4.若函数f (x )=log ()a x b +的图象如图所示,其中a ,b 为常数,则函数g (x )=x a b +的大致图象是 ( )答案:D解析:由题意得0<a <1,0<b <1,则函数g (x )=x a b +的大致图象是D. 5.已知函数f (x )=2881651x x x x x -,≤,⎧⎨-+,>,⎩g (x )=ln x ,则f (x )与g (x )两函数图象的交点个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4答案:B 解析:画出f (x )=2881651x x x x x -,≤,⎧⎨-+,>,⎩g (x )=ln x 的图象(图略),两函数图象的交点个数为2,故选B.题组三 对数函数的性质6.函数f (x )=lg(x -1)的定义域是( ) A.(2),+∞ B.(1),+∞ C.[1),+∞D.[2),+∞答案:B解析:f (x )的定义域需满足x -1>0,故x >1,选B.7.若点(a ,b )在y =lg x 图象上1a ,≠,则下列点也在此图象上的是( ) A.1()b a,B.(10a ,1-b )C.10(1)b a,+D.2(2)a b ,答案:D解析:由题意b =lg a ,2b =2lg a =lg 2a ,即2(2)a b ,也在函数y =lg x 的图象上. 8.函数()x f x a =+log (1)a x +在[]01,上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为 . 答案:12解析:∵x y a =与y =log (1)a x +单调性相同且在[]01,上的最值分别在两端点处取得. 最值之和:f (0)0(1)f a +=+log 1a a ++log 2a a =,∴log 210a +=. ∴12a =.9.已知函数f (x )=lg 22[(1)(1)a x a x -+++1]. (1)若f (x )的定义域为R ,求实数a 的取值范围; (2)若f (x )的值域为R ,求实数a 的取值范围.解:(1)依题意22(1)(1)a x a x -+++1>0对一切x ∈R 恒成立. 当210a -≠时,必须有22210(1)4(1)0a a a ⎧->,⎨∆=+--<,⎩即a <-1或53a >.当210a -=时1a ,=±,当a =-1时,f (x )=0满足题意,当a =1时不合题意. 故1a ≤-或53a >.(2)依题意,只要22(1)(1)t a x a x =-+++1能取到(0),+∞的所有值,则f (x )的值域为R ,故有 22210(1)4(1)0a a a ⎧->,⎨∆=+--≥,⎩ 即513a <≤. 又当210a -=时1a ,=±.当a =1时t =2x +1符合题意,当a =-1时,不合题意. 故513a ≤≤.题组四 对数函数的综合应用10.已知函数f (x )满足:当4x ≥时1()()2x f x ,=;当x <4时,f (x )=f (x +1).则f (2+log 23)等于( ) A.124B.112C.18D.38答案:A解析:∵22342<<=, ∴1<log 232<. ∴3<2+log 234<.∴f (2+log 23)(3f =+log 23)(f =log 2221log 2424log log 242124)()222-===124=. 11.若函数f (x )=log 2(2)(01)a x x a a +>,≠在区间1(0)2,内恒有f (x )>0,则f (x )的单调递增区间是 . 答案:1()2-∞,-解析:定义域为1(0)()2,+∞⋃-∞,-,当1(0)2x ∈,时22(01)x x ,+∈,,因为01a a >,≠,设u=220x x y +>,=log a u 在(0,1)上大于0恒成立,所以0<a <1, 所以函数f (x )=log 2(2)(01)a x x a a +>,≠的单调递增区间是212(()(0))2u x x x =+∈-∞,-⋃,+∞的递减区间,即1()2-∞,-.12.若2()f x x x b =-+,且f (log 2)a b =,log 2()2(f a a =>0且1)a ≠.(1)求f (log 2)x 的最小值及相应x 的值;(2)若f (log 2)(1)x f >且log 2()(1)f x f <,求x 的取值范围. 解:(1)∵2()f x x x b =-+,∴f (log 2)(a =log 22)a -log 2a b b +=. ∵log 20a ≠,∴log 21a =. ∴a =2.又∵log 2()2f a =, ∴f (a )=4. ∴24a a b -+=. ∴b =2.∴2()2f x x x =-+.∴f (log 2)(x =log 22)x -log 22(x +=log 2217)42x -+.∴当log 212x =,即x =时,f (log 2)x 有最小值74.(2)由题意知22222()22log log (2)2log x x x x ⎧-+>,⎨-+<.⎩ ∴22201log log 024x x x x <>,⎧⎨<-+<.⎩或∴01212x x x <<>,⎧⎨-<<.⎩或∴0<x <1。