高考数学一轮复习专题：第5讲对数与对数函数(教案与同步练习)

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第二章第5讲对数与对数函数-2025年高考数学备考

第二章函数第5讲对数与对数函数课标要求命题点五年考情命题分析预测1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.3.知道对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数（a ＞0，且a ≠1）.对数的运算2022浙江T7；2022天津T6；2021天津T7；2020全国卷ⅠT8该讲命题热点为对数运算、对数函数的图象与性质的判断及应用，常与指数函数综合考查，且难度有上升趋势.在2025年备考过程中要熟练掌握对数的运算性质和换底公式；学会构造新函数，结合单调性比较大小；注意对函数图象的应用，注意区分对数函数图象和指数函数图象.对数函数的图象及应用2019浙江T6对数函数的性质及应用2021新高考卷ⅡT7；2021全国卷乙T12；2020全国卷ⅠT12；2020全国卷ⅡT11；2020全国卷ⅢT12；2019全国卷ⅠT3学生用书P0341.对数与对数运算（1）对数的概念一般地，如果a x ＝N （a ＞0，且a ≠1），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作①x ＝log a N，其中a 叫做对数的②底数，N 叫做③真数.以10为底的对数叫做常用对数，记作④lg N；以e 为底的对数叫做自然对数，记作⑤ln N .（2）对数的性质、运算性质及换底公式性质log a 1＝⑥0，log a a ＝⑦1，l ＝⑧N （N ＞0），其中a ＞0，且a ≠1.运算性质如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：（1）log a （M ·N ）＝⑨log a M ＋log a N；（2）log a＝⑩log a M －log a N ；（3）log aMn ＝⑪n log a M，log a a n ＝⑫n（n ∈R ）.换底公式log a b ＝⑬log log（a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0）.推论：（1）log a b ·log b a ＝⑭1；（2）lo b n ＝log a b ；（3）log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .2.对数函数的图象和性质函数y ＝log a x （a ＞1）y ＝log a x （0＜a ＜1）图象性质定义域：⑮（0，＋∞）.值域：⑯R.图象过定点⑰（1，0），即恒有log a 1＝0.当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1时，y ＜0.当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞0.在（0，＋∞）上单调递⑱增.在（0，＋∞）上单调递⑲减.规律总结1.对数函数y ＝log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a ，1），（1，－1），函数图象只在第一、四象限.2.如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c ＜d ＜1＜a ＜b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右对数函数的底数逐渐增大.注意当对数函数的底数a 的大小不确定时，需分a ＞1和0＜a ＜1两种情况进行讨论.3.反函数指数函数y ＝a x （a ＞0，且a ≠1）与对数函数y ＝log a x （a ＞0，且a ≠1）互为反函数，它们的图象关于直线⑳y ＝x对称（如图所示）.反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域，互为反函数的两个函数具有相同的单调性、奇偶性.1.[全国卷Ⅰ]设a log34＝2，则4－a＝（B）A.116B.19C.18D.16解析解法一因为a log34＝2，所以log34a＝2，则有4a＝32＝9，所以4－a＝14＝19，故选B.解法二因为a log34＝2，所以a＝2log34＝log39log34＝log49，所以4a＝9，所以4－a＝14＝19，故选B.2.[多选]以下说法正确的是（CD）A.若MN＞0，则log a（MN）＝log a M＋log a NB.对数函数y＝log a x（a＞0且a≠1）在（0，＋∞）上是增函数C.函数y＝ln1+1－与y＝ln（1＋x）－ln（1－x）的定义域相同D.对数函数y＝log a x（a＞0且a≠1）的图象过定点（1，0）且过点（a，1）,（1，－1），函数图象只在第一、四象限3.lg25＋lg2·lg50＋（lg2）2＝2.4.若log a34＜1（a＞0，且a≠1），则实数a的取值范围是（0，34）∪（1，＋∞）.5.设log a2＝m，log a3＝n，则a2m＋n的值为12.6.[2023北京高考]已知函数f（x）＝4x＋log2x，则f（12）＝1.解析因为f（x）＝4x＋log2x，所以f（12）＝412log212＝2＋log22－1＝2－1＝1.学生用书P035命题点1对数的运算例1（1）[2022天津高考]化简（2log43＋log83）（log32＋log92）的值为（B）A.1B.2C.4D.6解析（2log43＋log83）（log32＋log92）＝（2lo g223＋log233）×（log32＋log322）＝（log23＋13log23）（log32＋12log32）＝43×log23×32×log32＝2，故选B.（2）[2022浙江高考]已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝（C）A.25B.5C.259D.53解析由2a＝5得a＝log25.又b＝log83＝log23log28＝13log23，所以a－3b＝log25－log23＝log253＝log453log42＝2log453＝log4259，所以4a－3b＝4log4259＝25 9，故选C.方法技巧对数运算的一般思路（1）转化：①利用a b＝N⇔b＝log a N（a＞0且a≠1）对题目条件进行转化；②利用换底公式化为同底数的对数运算.（2）利用恒等式：log a1＝0，log a a＝1，log a a N＝N，log＝M.（3）拆分：将真数化为积、商或底数的指数幂形式，正用对数的运算性质化简.（4）合并：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数的运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底数对数的真数的积、商、幂的运算.训练1（1）[2024江苏省如皋市教学质量调研]我们知道，任何一个正实数N可以表示成N＝a×10n（1≤a＜10，n∈Z），此时lg N＝n＋lg a（0≤lg a＜1）.当n＞0时，N是n＋1位数，则41000是（C）位数.（lg2≈0.3010）A.601B.602C.603D.604解析由lg41000＝lg22000＝2000lg2≈2000×0.3010＝602＝602＋lg1，得n＝602，所以41000是603位数.故选C.（2）[2024山东泰安第二中学模拟]（2＋1027）－23＋2log32－log349－5log259＝－716.解析原式＝[（43）3]－23＋log34－log349－5log53＝（43）－2＋log39－3＝916＋2－3＝－716.命题点2对数函数的图象及应用例2（1）[浙江高考]在同一直角坐标系中，函数y＝1，y＝log a（x＋12）（a＞0，且a≠1）的图象可能是（D）A BC D解析若0＜a ＜1，则函数y ＝1是增函数，y ＝log a （x ＋12）是减函数且其图象过点（12，0），结合选项可知，选项D 可能成立；若a ＞1，则y ＝1是减函数，而y ＝log a （x ＋12）是增函数且其图象过点（12，0），结合选项可知，没有符合的图象.故选D.（2）已知当0＜x ≤14时，有＜log a x ，则实数a 的取值范围为（116，1）.解析若＜log a x 在x ∈（0，14]时成立，则0＜a ＜1，且y ＝的图象在y ＝log a x 图象的下方，作出y ＝，y ＝log a x 的图象如图所示.＜log a 14，所以0<<1，12＞14，解得116＜a ＜1.故实数a 的取值范围是（116，1）.方法技巧与对数函数有关的图象问题的求解策略1.对于图象的识别，一般通过观察图象的变化趋势、利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项.2.对于对数型函数的图象，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.训练2（1）[多选/2024辽宁省部分学校模拟]已知a x ＝b －x （a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1），则函数y ＝log a （－x ）与y ＝b x 的图象可能是（AB）解析因为a x ＝b －x ，即a x ＝（1）x ，所以a ＝1，当a ＞1时，0＜b ＜1，函数y ＝b x 在R 上单调递减，且过点（0，1），因为y ＝log a x 与y ＝log a （－x ）的图象关于y 轴对称，故y ＝log a （－x ）在（－∞，0）上单调递减且过点（－1，0），故A 符合题意.当0＜a ＜1时，b ＞1，函数y ＝b x 在R 上单调递增，且过点（0，1），y ＝log a （－x ）在（－∞，0）上单调递增且过点（－1，0），故B 符合题意.故选AB.（2）[2024安徽省皖江名校联考]已知函数f （x ）＝｜log 3｜｜｜,≠0，0，=0，设a ，b ，c ，d是四个互不相同的实数，且满足f （a ）＝f （b ）＝f （c ）＝f （d ），则｜a ｜＋｜b ｜＋｜c ｜＋｜d ｜的取值范围是（4，＋∞）.解析作出函数f（x）的图象，如图所示，易知f（x）图象关于y轴对称.设f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d）＝m（m＞0），且a＞b＞c＞d，作直线y＝m，则由图象得0＜b＜1＜a，则由题意知，log3a＝－log3b，且a＝－d，b＝－c，所以ab＝1，即b＝1，则｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＋｜d｜＝2（a＋b）＝2（a＋1）＞4，所以｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＋｜d｜的取值范围是（4，＋∞）.命题点3对数函数的性质及应用角度1比较大小例3（1）[2021新高考卷Ⅱ]若a＝log52，b＝log83，c＝12，则（C）A.c＜b＜aB.b＜a＜cC.a＜c＜bD.a＜b＜c解析a＝log52＝log54＜log55＝12＝c，b＝log83＝log89＞log88＝12＝c，所以a＜c＜b.故选C.（2）[2024天津市蓟州区第一中学模拟]已知函数f（x）在R上是增函数，若a＝f（log215），b＝f（log24.1），c＝f（20.5），则a，b，c的大小关系为（A）A.a＜c＜bB.b＜a＜cC.c＜b＜aD.c＜a＜b解析log215＝－log25＜－log24＝－2，log24.1＞log24＝2，20.5＝2∈（1，2），故log215＜20.5＜log24.1.由于f（x）在R上是增函数，故f（log215）＜f（20.5）＜f（log24.1），所以a＜c＜b.故选A.方法技巧比较对数值大小的常用方法1.底数相同时，比较真数的大小；真数相同时，利用换底公式转化为底数相同的形式，再比较大小，也可以借助对数函数的图象比较大小.2.当底数和真数都不相同时，常借助0，1或题干中出现的有理数等中间量比较大小，也可以通过作差或者作商比较大小.角度2解对数方程或不等式例4（1）[2024湘豫名校联考]已知函数f（x）＝log2｜x｜＋x2，则不等式f（ln x）＋f（－ln x）＜2的解集为（D）A.（1e，1）B.（1e，e）C.（1，e）D.（1e，1）∪（1，e）解析由题可知函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），∴ln x≠0.∵f（－x）＝log2｜－x｜＋（－x）2＝log2｜x｜＋x2＝f（x），∴f（x）是偶函数，∴由f（ln x）＋f（－ln x）＜2可得2f（ln x）＜2，即f（ln x）＜1.当x＞0时，f（x）＝log2x＋x2.∵y＝log2x和y＝x2在（0，＋∞）上都是单调递增的，∴f（x）在（0，＋∞）上单调递增，又f（1）＝1，∴｜ln x｜＜1且ln x≠0，∴1e＜x＜e且x≠1，所以原不等式的解集为（1e，1）∪（1，e）.故选D.（2）[2024江苏省淮安市五校联考]已知x＝4log6－9log6，y＝9log4＋6log4，则的值为（B）2 B.2C.5＋1D.5－1解析令log6x＝m，log4y＝n，则x＝6m，y＝4n.由x＝4log6－9log6，y＝9log4＋6log4可得6m＝4m－9m，4n＝9n＋6n，进而可得（32）m＝1－（32）2m，故（32）m＋（32）2m＝1，同理得（32）2n＋（32）n＝1，所以（32）m与（32）n均为方程t2＋t－1＝0的实数根，由t2＋t－1＝0，解得t t因为（32）m＞0，（32）n＞0，所以（32）m＝（32）n由于函数y＝（32）x为增函数，所以m＝n，＝64＝（32）m＝－1+52，故选B.方法技巧1.（1）log a f（x）＝b⇔f（x）＝a b（a＞0，且a≠1）.（2）log a f（x）＝log a g（x）⇔f（x）＝g（x）（f（x）＞0，g（x）＞0）.2.解简单对数不等式，先统一底数，化为形如log a f（x）＞log a g（x）的不等式，再借助y ＝log a x的单调性求解.角度3对数函数性质的应用例5（1）[全国卷Ⅱ]设函数f（x）＝ln｜2x＋1｜－ln｜2x－1｜，则f（x）（D）A.是偶函数，且在（12，＋∞）单调递增B.是奇函数，且在（－12，12）单调递减C.是偶函数，且在（－∞，－12）单调递增D.是奇函数，且在（－∞，－12）单调递减解析由2+1≠0，2－1≠0，得函数f（x）的定义域为（－∞，－12）∪（－12，12）∪（12，＋∞），其关于原点对称，因为f（－x）＝ln｜2（－x）＋1｜－ln｜2（－x）－1｜＝ln｜2x－1｜－ln｜2x＋1｜＝－f（x），所以函数f（x）为奇函数，排除A，C.当x∈（－12，12）时，f（x）＝ln（2x＋1）－ln（1－2x），易知函数f（x）单调递增，排除B.当x∈（－∞，－12）时，f（x）＝ln（－2x－1）－ln（1－2x）＝ln2r12－1＝ln（1＋22－1），易知函数f（x）单调递减，故选D.（2）[全国卷Ⅰ]若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则（B）A.a＞2bB.a＜2bC.a＞b2D.a＜b2解析令f（x）＝2x＋log2x，因为y＝2x在（0，＋∞）上单调递增，y＝log2x在（0，＋∞）上单调递增，所以f（x）＝2x＋log2x在（0，＋∞）上单调递增.又2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b＜22b＋log2（2b），所以f（a）＜f（2b），所以a＜2b.故选B.方法技巧对数型复合函数的单调性问题的求解策略（1）对于y＝log a f（x）型的复合函数的单调性，有以下结论：函数y＝log a f（x）的单调性与函数u＝f（x）（f（x）＞0）的单调性在a＞1时相同，在0＜a＜1时相反.（2）研究y＝f（log a x）型的复合函数的单调性，一般用换元法，即令t＝log a x，则只需研究t＝log a x及y＝f（t）的单调性即可.注意研究对数型复合函数的单调性，一定要坚持“定义域优先”原则，否则所得范围易出错.训练3（1）[2024河南名校联考]“a≤2”是“函数f（x）＝ln（x2－ax＋12）在区间（2，＋∞）上单调递增”的（A）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析二次函数y＝x2－ax＋12图象的对称轴为x＝2，若函数f（x）＝ln（x2－ax＋12）在区间（2，＋∞≤2，2＋12≥0，即a≤94，故“a≤2”是“函数f（x）＝ln（x2－ax＋12）在区间（2，＋∞）上单调递增”的充分不必要条件.故选A.（2）[2024河南商丘高三名校联考]已知a＝log64，b＝log53，c＝log76，则（B）A.a＜b＜c B.b＜a＜cC.b＜c＜aD.c＜a＜b解析由题意得a，b，c∈（0，1），∵log64·log67＜（log64+log672）2＝（log6282）2＜1，∴log64＜1log67＝log76，即a＜c.∵a＝log64＝log64256＞log64216＝34，b＝log53＝log5481＜log54125＝34，∴a＞b.综上所述，可得b＜a＜c.故选B.（3）[2024湖北名校联考改编]已知奇函数f（x）＝lg1+B1+（k≠1），则不等式－1＜f（x）＜lg12的解集为（13，911）.解析因为f（x）为奇函数，所以f（－x）＋f（x）＝lg1－B1－＋lg1+B1+＝lg1－221－2＝0，所以k2＝1.因为k≠1，所以k＝－1，则由－1＜f（x）＜lg12，得lg110＜lg1－1+＜lg12，所以110＜1－1+＜12，解得13＜x＜911.学生用书P038指数、对数、幂值比较大小的策略策略1直接法例6（1）[2023南京六校联考]若a ＝0.40.5，b ＝0.50.4，c ＝log 324，则a ，b ，c 的大小关系是（D）A.a ＜b ＜cB.b ＜c ＜aC.c ＜b ＜aD.c ＜a ＜b解析因为0.40.5＜0.50.5＜0.50.4，所以a ＜b .因为c ＝log 324＝lo 2522＝25log 22＝0.4＜0.40.5＝a ，所以c ＜a ＜b ，故选D.（2）[2022全国卷甲]已知9m ＝10，a ＝10m －11，b ＝8m －9，则（A）A.a ＞0＞bB.a ＞b ＞0C.b ＞a ＞0D.b ＞0＞a解析因为9m ＝10，所以m ＝log 910，所以a ＝10m －11＝10log 910－11＝10log 910－10log 1011，因为log 910－log 1011＝lg10lg9－lg11lg10＝（lg10）2－lg 9·lg 11lg9·lg10＞（lg10）2－（lg9+lg112）2lg9·lg10＝1－（lg992）2lg9＞0，所以a ＞0.b ＝8l 910－9＝8l 910－8l 89，因为log 910－log 89＝lg10lg9－lg9lg8＝lg10·lg8－（lg9）2lg9·lg8＜（lg10+lg82）2－（lg 9）2lg9·lg8＝（lg802）2－（lg812）2lg9·lg8＜0，所以b ＜0.综上，a ＞0＞b .故选A.策略2图象法例7[2024山西大学附中模拟]若e a ＝－ln a ，e －b ＝ln b ，e －c ＝－ln c ，则（B ）A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜c ＜aD.b ＜a ＜c解析在同一直角坐标系中作出y ＝e x ，y ＝e －x ，y ＝ln x ，y ＝－ln x 的图象，如图所示，由图象可知a ＜c ＜b .故选B.策略3构造函数法例8[全国卷Ⅰ]设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则（D）A.2x ＜3y ＜5zB.5z ＜2x ＜3yC.3y ＜5z ＜2xD.3y ＜2x ＜5z解析令2x ＝3y ＝5z ＝k ，由x ，y ，z 为正数，知k ＞1.解法一（作差法）易知x ＝lglg2，y ＝lglg3，z ＝lglg5.因为k ＞1，所以lg k ＞0，所以2x －3y ＝2lg lg2－3lg lg3＝lgH （2lg3－3lg2）lg2×lg3＝lgHlg 98lg2×lg3＞0，故2x ＞3y ，2x －5z ＝2lg lg2－5lg lg5＝lgH （2lg5－5lg2）lg2×lg5＝lgHlg 2532lg2×lg5＜0，故2x ＜5z .所以3y ＜2x ＜5z .解法二（作商法）易知x ＝lg lg2，y ＝lglg3，z ＝lg lg5.由23＝23×lg3lg2＝lg9lg8＞1，得2x ＞3y ，由52＝52×lg2lg5＝lg 25lg 52＞1，得5z ＞2x .所以3y ＜2x ＜5z .解法三（函数法）易知x ＝ln ln2，y ＝ln ln3，z ＝lnln5.设函数f （t ）＝En ln（t ＞0，t ≠1），则f （2）＝2ln ln2＝2x ，f （3）＝3ln ln3＝3y ，f （5）＝5ln ln5＝5z .f '（t ）＝ln ·ln －1·En （ln ）2＝（ln －1）ln （ln ）2，易得当t ∈（e ，＋∞）时，f '（t ）＞0，函数f （t ）单调递增.因为e ＜3＜4＜5，所以f （3）＜f （4）＜f （5）.又f （2）＝2ln ln2＝2×2ln 2ln2＝4ln ln4＝f （4），所以f （3）＜f （2）＜f （5），即3y ＜2x ＜5z .方法技巧指数、对数、幂值比较大小的策略1.直接利用函数的性质，题目中出现的常数，特殊值（如0，1）等比较大小.2.当待比较大小的代数式无法单独分离出来时，通常会考虑代数式的几何意义，通过图象，利用交点坐标比较大小.3.式子结构比较麻烦，或呈现一定规律时，通常会构造新函数，利用新函数的单调性比较大小.4.作差、作商也是比较大小常用的方法.训练4（1）[2024山东省枣庄市第三中学模拟]设x ＝e 0.03，y ＝1.032，z ＝ln （e 0.6＋e 0.4），则x ，y ，z 的大小关系为（A）A.z ＞y ＞x B.y ＞x ＞z C.x ＞z ＞yD.z ＞x ＞y解析易得ln x＝0.03，ln y＝2ln1.03＝2ln（1＋0.03），令f（x）＝x－2ln（1＋x）（0＜x ＜110），则f'（x）＝1－2r1＝－1r1＜0，∴f（x）在（0，110）上递减，∴f（x）＜0－2ln（1＋0）＝0，则x＜2ln（1＋x），∴0.03＜2ln（1＋0.03），故y＞x.y＝1.032＝1.0609，z＝ln（e0.6＋e0.4）＞ln20.6+0.4＝ln2＋ln＝ln2＋12，易得ln2＞35，∴z＞1.1，∴y＜z.故z ＞y＞x，故选A.（2）[多选/2023黑龙江西北八校联考]已知实数x，y，z满足z·ln x＝z·e y＝1，则下列关系式可能成立的是（ABC）A.x＞y＞zB.x＞z＞yC.z＞x＞yD.z＞y＞x解析由题知实数x，y，z满足ln x＝e y＝1，在同一直角坐标系中分别作出函数m＝ln n，m＝e n，m＝1的大致图象，如图所示，再分别作出与n轴平行且与三个函数图象均相交的直线，依次记为m＝m1，m＝m2，m＝m3，如图所示.由直线m＝m1与三个函数图象的交点情况可得z＞x＞y，由直线m＝m2与三个函数图象的交点情况可得x＞z＞y，由直线m＝m3与三个函数图象的交点情况可得x＞y＞z.故选ABC.（3）[多选/2024广东省汕头市金禧中学模拟]若0＜c＜b＜1＜a，则下列不等式正确的是（ABC）A.log2024a＞log2024bB.log c a＞log b aC.（c－b）a c＞（c－b）a bD.（a－c）a c＞（a－c）a b解析对选项A：因为a＞1＞b＞0，且f（x）＝log2024x为增函数，所以f（a）＞f（b），即log2024a＞log2024b，故A正确.对选项B：因为a＞1＞b＞c＞0，所以log a c＜log a b＜0，所以1l＞1l，即log c a＞log b a，故B正确.对选项C，D：由题意易知a c＜a b且c－b＜0，a－c＞0，所以（c－b）a c＞（c－b）a b，（a－c）a c＜（a－c）a b，所以C正确，D错误.故选ABC.1.[命题点1/2024江苏省南通市教学质量调研]若3x＝4y＝6z＝k，且2＋1－1＝12，则实数k 的值为36.解析∵3x＝4y＝6z＝k，∴x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，则2＋1－1＝2log3＋1log4－1log6＝2log k3＋log k4－log k6＝log k9＋log k4－log k6＝log k（9×46）＝log k6＝12，∴12＝6，即k＝36.2.[命题点2/2024辽宁省大连市滨城高中联考]函数y＝log a x＋a x－1＋2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（k，b），若m＋n＝b－k且m＞0，n＞0，则9＋1的最小值为（B）A.9 B.8 C.92 D.52解析因为函数y＝log a x＋a x－1＋2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（1，3），所以m＋n ＝3－1＝2，所以2（9＋1）＝（m＋n）（9＋1）＝10＋9＋≥10＋29＝16，所以9＋1≥8，当且仅当n＝12，m＝32时等号成立，故选B.3.[命题点2]已知函数f（x）＝ln x，则函数y＝f（11－）的图象大致为（D）解析f（11－）＝ln11－＝－ln（1－x），其定义域为（－∞，1），且为增函数，故选D.4.[命题点3角度1]已知函数f（x）＝2｜x｜，a＝f（log0.53），b＝f（log45），c＝f（cosπ3），则（B）A.a＞c＞bB.a＞b＞cC.b＞a＞cD.c＞a＞b解析a＝f（log0.53）＝f（－log23），b＝f（log45）＝f（log25），c＝f（cosπ3）＝f（12），易知函数f（x）＝2｜x｜为偶函数，∴a＝f（log23）.又当x＞0时，函数f（x）＝2｜x｜＝2x单调递增，且log23＞log25＞12，∴f（log23）＞f（log25）＞f（12），∴a＞b＞c.故选B.5.[命题点3角度2，3/多选/2024湖南名校联考]已知函数f（x）＝lg（x2－x＋414），则（ACD）A.f（x）的最小值为1B.∃x∈R，满足f（1）＋f（x）＝2C.f（log92）＞f（23）D.f（90.1－12）＞f（30.18－12）解析由题知f（x）＝lg[（x－12）2＋10]，则f（x）在（－∞，12）上单调递减，在（12，＋∞）上单调递增，所以f（x）的最小值为f（12）＝lg10＝1，A正确.因为f（x）≥1，f（1）＞1，所以f（1）＋f（x）＞2，B错误.易知f（x）图象关于x＝12对称，因为0＜log92＝lg2lg9＜lg2lg8＝13，所以｜log92－12｜＞16，又｜23－12｜＝16，所以f（log92）＞f（23），C正确.因为90.1＝30.2＞30.18＞1，所以90.1－12＞30.18－12＞12，所以f（90.1－12）＞f（30.18－12），D正确.故选ACD.6.[思维帮角度1，3]已知实数a，b满足a＝log23＋log86，6a＋8a＝10b，则下列判断正确的是（C）A.a＞2＞bB.b＞2＞aC.a＞b＞2D.b＞a＞2解析先比较a与2的大小：a＝log23＋log86＝log23＋lo236＝log23＋13log26＝log23＋13（log22＋log23）＝1+4log233＝1+log2813，又2＝log2643，且log281＞log264，所以1+log2813－log2643＞0，即a＞2.再比较b与2的大小：因为a＞2，所以6a＋8a＞62＋82＝102，又6a＋8a＝10b，所以b＞2.最后比较a与b的大小：令f（x）＝6x＋8x－10x，x＞2，t＝x－2，t＞0，则x＝t＋2，令g（t）＝6t＋2＋8t＋2－10t＋2，t ＞0，则g（t）＝36×6t＋64×8t－100×10t＜36×8t＋64×8t－100×10t＝100×8t－100×10t ＜0，即当x＞2时，6x＋8x＜10x，所以6a＋8a＝10b＜10a，所以b＜a.综上，a＞b＞2.故选C.7.[思维帮角度2]若e－1·x3＝－ln x2·x3＝－1，则下列不等关系一定不成立的是（D）A.x1＜x3＜x2B.x3＜x1＜x2C.x3＜x2＜x1D.x1＜x2＜x3解析由e－1·x3＝－ln x2·x3＝－1，得e－1＝－ln x2＝－13.由e－1＞0，得0＜x2＜1，x3＜0.作出函数y＝e－x，y＝－ln x（0＜x＜1），y＝－1（x＜0）的大致图象，如图，由图可知x1＜x3＜x2，x3＜x1＜x2，x3＜x2＜x1均能够成立，只有D选项中的式子不可能成立.故选D.8.[思维帮角度3]已知a＜5且a e5＝5e a，b＜4且b e4＝4e b，c＜3且c e3＝3e c，则（D）A.c＜b＜aB.b＜c＜aC.a＜c＜bD.a＜b＜c解析解法一易知a，b，c均大于零.a e5＝5e a⇒e55＝e，b e4＝4e b⇒e44＝e，c e3＝3e c⇒e33＝e，所以设函数f（x）＝e，则有f（5）＝f（a），f（4）＝f（b），f（3）＝f（c），且f'（x）＝e（－1）2，则易得f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，作出f（x）在（0，＋∞）上的大致图象，如图，因为a＜5，b＜4，c＜3，所以a＜b＜c.解法二由题知，a＜5，b＜4，c＜3，因为a e5＝5e a，所以两边同时取对数可得ln a＋5＝ln5＋a，即ln－ln5－5＝1，同理可得ln－ln4－4＝ln－ln3－3＝1，即点A（a，ln a）与点D（5，ln5）连线的斜率k1＝1，点B（b，ln b）与点E（4，ln4）连线的斜率k2＝1，点C（c，ln c）与点F（3，ln3）连线的斜率k3＝1.因为点A，B，C，D，E，F均在函数y＝ln x的图象上，且AD∥BE∥CF，所以作出对应的示意图如图所示，由图可得a＜b＜c.故选D.学生用书·练习帮P2681.[2023宁夏六盘山高级中学模拟]若f（x）满足对定义域内任意的x1，x2，都有f（x1）＋f（x2）＝f（x1·x2），则称f（x）为“好函数”，则下列函数是“好函数”的是（D）A.f（x）＝2xB.f（x）＝（12）xC.f（x）＝x2D.f（x）＝log3x解析因为log3x1＋log3x2＝log3x1x2，满足f（x1）＋f（x2）＝f（x1·x2），所以f（x）＝log3x是“好函数”，故选D.2.[2024四川成都模拟]已知a＝log0.70.3，b＝log0.30.7，c＝0.5，则a，b，c的大小关系为（D）A.a＜c＜bB.c＜b＜aC.a＜b＜cD.b＜c＜a解析依题意，a＝log0.70.3＞log0.70.72＝2，b＝log0.30.7＝1log0.70.3＜12，而c＝0.5，所以b＜c ＜a.故选D.3.已知函数f（x）＝x＋1－2，x∈（2，8），当x＝m时，f（x）取得最小值n.则在平面直角坐标系中，函数g（x）＝lo g1｜x＋n｜的图象是（A）解析∵函数f（x）＝x－2＋1－2＋2≥（－2）·1－2＋2＝4，x∈（2，8），当且仅当x －2＝1－2，即x＝3时取等号，∴m＝3，n＝4.则函数g（x）＝log13｜x＋4｜在（－4，＋∞）上单调递减，在（－∞，－4）上单调递增，观察选项可知，选项A符合.故选A. 4.[2024河北石家庄市第十五中学模拟]已知函数f（x）＝lg（x2－ax＋12）在[－1，3]上单调递减，则实数a的取值范围是（B）A.[6，＋∞）B.[6，7）C.（－∞，－2]D.（－13，－2]解析由题意得，函数y＝x2－ax＋12在[－1，3]上单调递减，且在[－1，3]上x2－ax＋12＞0≥3，－3+12>0，解得6≤a＜7，故a的取值范围是[6，7）.故选B.5.[2024陕西咸阳模拟]已知a＝2－0.01，b＝log510，c＝log612，则a，b，c的大小关系为（A）A.b＞c＞aB.b＞a＞cC.c＞b＞aD.c＞a＞b解析a＝2－0.01∈（2－1，20）＝（12，1），b＝1＋log52＞1，c＝1＋log62＞1，且log52＞log62，故b＞c＞a.故选A.6.[2023河南部分学校联考]设a＝log23，b＝log4x，c＝log865，若a，b，c中b既不是最小的也不是最大的，则x的取值范围是（A）A.（9，6523）B.（3，6513）C.[9，6523]D.[3，6513]解析∵a＝log23＝log827＜log865＝c，∴a＜b＜c，∴log23＜log4x＜log865，∴log23＜log212＜log26513，∴3<12＜6513，得9＜x＜6523，即x的取值范围是（9，6523），故选A.7.[2023山东模拟]已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）单调递减，（2x－5））＞f（log38）的解集为（C）则不等式f（lo g13A.{x｜52＜x＜4116}B.{x｜x＞132}C.{x｜52＜x＜4116或x＞132}D.{x｜x＜52或4116＜x＜132}解析因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（－∞，0]上单调递减，所以可将f （lo 13（2x －5））＞f （log 38）化为｜lo 13（2x －5）｜＞｜log 38｜，即log 3（2x －5）＞log 38或log 3（2x －5）＜－log 38＝log 318，即2x －5＞8或0＜2x －5＜18，解得x ＞132或52＜x ＜4116.故选C.8.[多选/2024甘肃省部分学校质量检测]若（a ，b ）（a ＞0，a ≠1）为函数y ＝log 2x 图象上的一点，则下列选项正确的是（ABC）A.（b ，a ）为函数y ＝2x 图象上的点B.（1，b ）为函数y ＝log 12x 图象上的点C.（－b ，a ）为函数y ＝（12）x 图象上的点D.（a ，2b ）为函数y ＝log 4x 图象上的点解析∵（a ，b ）（a ＞0，a ≠1）为函数y ＝log 2x 图象上的一点，∴log 2a ＝b ，∴2b ＝a ，则（b ，a ）为函数y ＝2x 图象上的点，故A 正确；∵log 2a ＝b ，∴log 121＝－1－1log 2a ＝b ，则（1，b ）为函数y ＝log 12x 图象上的点，故B 正确；∵2b ＝a ，∴（12）－b ＝2b ＝a ，则（－b ，a ）为函数y ＝（12）x 图象上的点，故C 正确；∵log 2a ＝b ，∴log 4a ＝12log 2a ＝12b ，故D 错误.故选ABC.9.[2023天津市汇文中学模拟]计算：（827）－23＋10lg3＋lo log 54·log 25＝3.解析（827）－23＋10lg 3＋lo log 54·log 25＝[（23）3]－23＋3＋log 3−2312－2lg2lg5·lg5lg2＝（23）－2＋3＋12－2log 33－2＝94＋3－14－2＝3.10.[2024江苏省联考]已知函数f （x ）＝2－log 2，≥1，4，<1，则f （f （12））＝1.解析由函数f （x ）＝2－log 2，≥1，4，<1，得f （f （12））＝f （2）＝1.11.[2024北京市中关村中学模拟]声音的等级f （x ）（单位：dB ）与声音强度x （单位：W /m 2）满足f （x ）＝10×lg1×10－12.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB.一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的108倍.解析由f （x ）＝10×lg1×10－12，即y ＝10×lg1×10－12可知，声音强度x ＝1010×10－12＝10－12+10，设喷气式飞机起飞时声音强度与一般说话时声音强度分别为x 1，x 2，故强度之比12＝10－12+1401010－12+6010＝108.12.[2024贵州贵阳名校联考]已知函数f （x ）＝log 2｜x －a ｜＋1，且f （6＋x ）＝f （2－x ），则f （2）＝2.解析由f （6＋x ）＝f （2－x ）可知，函数f （x ）的图象关于直线x ＝4对称，而函数f （x ）＝log 2｜x －a ｜＋1的图象关于直线x ＝a 对称，所以a ＝4，所以f （x ）＝log 2｜x －4｜＋1，所以f （2）＝log 2｜2－4｜＋1＝2.13.[2023乌鲁木齐质监（一）]已知函数f （x ）＝ln 2－3+，a ＝log 23，b ＝log 34，c ＝log 58，则（A）A.f （a ）＜f （c ）＜f （b ）B.f （a ）＜f （b ）＜f （c ）C.f （c ）＜f （a ）＜f （b ）D.f （c ）＜f （b ）＜f （a ）解析f （x ）＝ln2－3+＝ln （－1＋53+），由2－3+＞0，得f （x ）的定义域为{x ｜－3＜x ＜2}，由复合函数的单调性可得，f （x ）在（－3，2）上单调递减.由＝log 34log 58＝lg4lg3lg8lg5＝2lg2lg53lg2lg3＝lg25lg27＜1，c ＞1得b ＜c .又9＞8，即32＞23，所以3＞232，log 23＞32，同理8＜532，log 58＜32，所以c ＜a ，于是b ＜c ＜a ，再结合f （x ）的单调性可得f （a ）＜f （c ）＜f （b ），故选A.14.[2024陕西模拟]已知函数f （x ）＝（12），≥1，（+<1，则下列结论正确的是（B ）A.f （f （0））＝12B.f （f （1C.f （f （log 23D.f （x ）的值域为（0，1]解析对于选项A ，f （0）＝f （1）＝12，f （f （0））＝f （12）＝f （3）＝（12）32＝（18）12＝A 错误；对于选项B ，f （1）＝12，f （f （1））＝f （12）B 正确；对于选项C ，因为log 23＞1，所以f （log 23）＝（12）log 23＝2log 213＝13，f （f （log 23））＝f （13）＝f（43）＝（12）43C错误；对于选项D，当x≥1时，f（x）＝（12）x∈（0，12]，当0≤x＜1时，1≤x＋1＜2，f（x）＝f（x＋1）＝（12）x＋1∈（14，12]，又当x＜0时，f（x）＝f（x＋1），所以当x＜0时，f（x）∈（14，12]，综上，函数f（x）的值域为（0，12]，故D 错误.故选B.15.[2024南昌市模拟]已知函数y＝e x和y＝ln x的图象与直线y＝2－x交点的横坐标分别为a，b，则（D）A.a＞bB.a＋b＜2C.ab＞1D.a2＋b2＞2解析易知y＝e x与y＝ln x互为反函数，对应的图象关于直线y＝x对称，如图，直线y＝x与y＝2－x垂直，所以两函数的图象与直线y＝2－x的交点A，B关于直线y＝x对称.设直线y＝x与y＝2－x的交点为C，则C（1，1），∴a＋b＝2且a≠b.＞＋2＝1，即a2＋b2＞2.故选D.16.[2024河南省六市部分学校联考]已知正数a，b，c∈（1，＋∞），且满足2－1－1＝2＋log2a，3－2－1＝3＋log3b，4－3－1＝4＋log4c，则下列不等式成立的是（B）A.c＜b＜aB.a＜b＜cC.a＜c＜bD.c＜a＜b解析由2－1－1＝2＋log2a，可得1－1＝log2a，由3－2－1＝3＋log3b，可得1－1＝log3b，由4－3－1＝4＋log4c，可得1－1＝log4c，易知y＝1－1（x＞1）和y＝log m x（m＝2，3，4）的图象相交，在同一平面直角坐标系中画出y＝log2x，y＝log3x，y＝log4x与y＝1－1（x＞1）的图象如图.根据图象可知a＜b＜c.故选B.17.[2024合肥开学考试]定义在（0，＋∞）上的函数f（x）满足：对∀x1，x2∈（0，＋∞），且x 1≠x 2都有（1）－（2）1－2＞1，则不等式f （2log 2x ）－f （x ）＞log 2x 2－x 的解集为（B）A.（1，2）B.（2，4）C.（4，8）D.（8，16）解析根据题意：设x 1＞x 2，则（1）－（2）1－2＞1⇒f （x 1）－f （x 2）＞x 1－x 2⇒f （x 1）－x 1＞f （x 2）－x 2，可得函数h （x ）＝f （x ）－x 在（0，＋∞）上单调递增.则f （2log 2x ）－f （x ）＞log 2x 2－x ⇒f （log 2x 2）－log 2x 2＞f （x ）－x ⇒log 2x 2＞x ⇒log 2x 2＞log 22x ⇒x 2＞2x ，在同一坐标系中画出y ＝x 2与y ＝2x 的图象，如图.又x ＞0，得2＜x ＜4，则不等式的解集为（2，4），故选B.18.[多选/2023重庆二调]若a ，b ，c 都是正数，且2a ＝3b ＝6c ，则（BCD ）A.1＋1＝2B.1＋1＝1C.a ＋b ＞4cD.ab ＞4c 2解析令2a ＝3b ＝6c ＝m ，则a ＝log 2m ，b ＝log 3m ，c ＝log 6m ，∴1＝log m 2，1＝log m 3，1＝log m 6，∴1＋1＝log m 2＋log m 3＝log m 6＝1，A 选项错误，B 选项正确；a ＋b ＝（a ＋b ）（1＋1）c ＝c （2＋＋）＞c （2＋＝4c ，（∵a ≠b ，∴等号无法取到）C 选项正确；1＝1＋1＝＋B＞4B，∴ab ＞4c 2，D 选项正确.故选BCD.19.[多选/2024云南省昆明市第一中学双基检测]设偶函数f （x ）＝log a ｜x －b ｜在（－∞，0）上单调递增，则下列结论中正确的是（BC）A.f （a ＋2）＞f （b ＋2）B.f （a ＋2）＜f （b ＋2）C.f （a ＋1）＞f （b －2）D.f （a ＋1）＜f （b －2）解析因为函数f （x ）为偶函数，所以b ＝0.又偶函数f （x ）＝log a ｜x ｜在（－∞，0）上单调递增，则0＜a ＜1，所以1＜a ＋1＜2，2＜a ＋2＜3，且由函数f （x ）为偶函数知f （x ）在（0，＋∞）上单调递减.对于选项A 和B ，因为a ＋2＞2＝b ＋2，所以f （a ＋2）＜f （b ＋2），故A 错误，B 正确；对于选项C 和D ，因为1＜a ＋1＜2，b －2＝－2，所以f （a ＋1）＞f （2）＝f （－2）＝f （b －2），故C 正确，D 错误.故选BC.20.[多选/2024黑龙江哈尔滨模拟]已知函数f （x ）＝lo g 13（ax 2－3ax ＋2），则下列说法正确的是（AC）A.若f （x ）的值域为R ，则a ∈[89，＋∞）B.若f （x ）的定义域为R ，则a ∈（0，89）C.若f （x ）的最大值为0，则a ＝49D.若f （x ）的最小值为1，则a ＝2027解析选项A ：f （x ）的值域为R ，说明函数y ＝ax 2－3ax ＋2能取到所有大于0的数，当a＝0时，ax 2－3ax ＋2＝2，不满足；当a ≠0时，>0，Δ=92－8≥0，解得a ≥89，选项A 正确.选项B ：当f （x ）的定义域为R 时，函数y ＝ax 2－3ax ＋2＞0恒成立，当a ＝0时，ax 2－3ax ＋2＝2恒成立；当a ≠0时，>0，Δ=92－8<0，解得0＜a ＜89，综上，a ∈[0，89），选项B 错误.选项C ：若f （x ）的最大值为0，即y ＝ax 2－3ax ＋2的最小值为1=1，解得a ＝49，选项C 正确.选项D ：若f （x ）的最小值为1，即y ＝ax 2－3ax ＋2的最大值为13，则有13，无解，选项D 错误.故选AC.21.[多选/2024聊城模拟]对于两个均不等于1的正数m 和n ，定义：m*n ＝min {log m n ，log n m }，则下列结论正确的是（BC ）A.若a ＞1，且3*a ＝2*4，则a ＝9B.若a ≥b ≥c ＞1，且q q＝c*a ，则b ＝cC.若0＜a ＜b ＜c ＜1，则a*b －a*c ＝a*（）D.若0＜a ＜b ＜c ＜1，x ＞y ＞z ＞0，则（a x *b y ）·（b y *c z ）＝2（a x *c z ）解析选项A ：当1＜a ＜3时，log 3a ＝log 42，即log 3a ＝12，即a ＝312＝3；当a ＞3时，log a 3＝log 42，即log a 3＝12，即a ＝9.综上，当a ＞1时，a ＝3或a ＝9，则A 错误.选项B ：由q q＝c*a 及a ≥b ≥c ＞1，得log a b ＝log b c ·log a c ，即lg lg＝lg lg ·lglg，即lg 2b ＝lg 2c ，即lg b ＝lg c 或lg b ＝－lg c ，即b ＝c 或bc ＝1.由b ≥c ＞1，得bc ＞1，从而可得b ＝c ，则B 正确.选项C ：若0＜a ＜b ＜c ＜1，则a*b －a*c ＝log a b －log a c ＝log a，而由1＞＞b ＞a ＞0，得a*（）＝log a，所以a*b －a*c ＝a*（）成立，则C 正确.选项D ：由指数函数f （t ）＝a t （0＜a ＜1）是减函数，且x ＞y ，可得a x ＜a y .由幂函数h （x ）＝x y （y ＞0）在（0，＋∞）上单调递增，且a ＜b ，可得a y ＜b y ，于是0＜a x ＜b y ＜1，所以a x *b y ＝log b y ＝log a b ，同理b y *c z ＝log b c ，a x *c z ＝log a c ，所以（*）·（*）*＝log bloglog ＝log b logloglog＝1，则D 错误.故选BC.。

高考数学一轮专项复习练习卷-北师大版-对数运算与对数函数(含解析)

一、单项选择题1．(2023·哈尔滨模拟)函数y ＝log 0.5(4x －3)的定义域为()A ．[1，＋∞)B.34，1C.34，1 D.0，342．若函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图象过点(1,3)，则f (log 28)等于()A ．－1B ．1C ．2D ．33．若12log 0.8log 0.8x x <<0，则x 1与x 2的关系正确的是()A ．0<x 2<x 1<1B ．0<x 1<x 2<1C ．1<x 1<x 2D ．1<x 2<x 14.已知函数f (x )＝log a (x －b )(a >0，且a ≠1，a ，b 为常数)的图象如图，则下列结论正确的是()A ．a >0，b <－1B ．a >0，－10且a ≠1)在x ∈(1,2]内恒成立，则实数a 的取值范围为()A ．(1,2]B ．(1,2)C ．(1，2]D ．(2，2)二、多项选择题7．(2024·永州模拟)若10a ＝5，10b ＝20，则()A ．a ＋b ＝4B ．b －a ＝lg 4C ．ab <2(lg 5)2D ．b －a >lg 58．(2023·吕梁模拟)已知函数f (x )x 2－4x ，x ≤0，2x |，x >0，若x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则下列结论正确的是()A ．x 1＋x 2＝－4B ．x 3x 4＝1C ．1<x 4<4D ．0<x 1x 2x 3x 4≤2三、填空题9．计算：lg 25＋23lg 8－log 227×log 32＋2log 32＝.10．(2023·绍兴模拟)已知函数f (x )满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，且当x >y 时，f (x )<f (y )，请你写出一个符合上述条件的函数f (x )＝.11．设p >0，q >0，若log 4p ＝log 6q ＝log 9(2p ＋q )，则p q ＝.12．(2023·龙岩模拟)已知函数y ＝f (x )，若在定义域内存在实数x ，使得f (－x )＝－f (x )，则称函数y ＝f (x )为定义域上的局部奇函数．若函数f (x )＝log 3(x ＋m )是[－2,2]上的局部奇函数，则实数m 的取值范围是．四、解答题13．已知f (x )＝213log (5)x ax a -+．(1)若a ＝2，求f (x )的值域；(2)若f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．14．(2024·株洲模拟)已知函数f (x )＝log 9(9x ＋1)－kx (k ∈R )是偶函数．(1)求k 的值；(2)若方程f (x )＝log 9m 的取值范围．15．已知正实数x，y，z满足log2x＝log3y＝log5z≠0，则()A．x>y>zB．x<y<zC．x，y，z可能构成等比数列D．关于x，y，z的方程x＋y＝z有且只有一组解16．(2023·潍坊模拟)已知函数f(x)＝log a x－(a)x－log a2(a>1)有两个零点，则实数a的取值范围是．§2.8对数运算与对数函数1．C 2.B 3.C 4.D 5.D 6．B [若0<a <1，此时x ∈(1,2]，log a x <0，而(x －1)2>0，故(x －1)2<log a x 无解；若a >1，此时x ∈(1,2]，log a x >0，而(x －1)2>0，令f (x )＝log a x ，g (x )＝(x －1)2，画出函数f (x )与g (x )的图象，如图，若不等式(x －1)2<log a x 在x ∈(1,2]内恒成立，则log a 2>1，解得a ∈(1,2)．]7．BC [由10a ＝5，10b ＝20，得a ＝lg 5，b ＝lg 20，则a ＋b ＝lg 5＋lg 20＝lg(5×20)＝lg 100＝2，故A 错误；b －a ＝lg 20－lg 5＝lg 205＝lg 4<lg 5，故B 正确，D 错误；ab ＝lg 5×lg 20＝lg 5×(lg 4＋lg 5)＝lg 5×lg 4＋(lg 5)2，∵lg 4<lg 5，∴lg 5×lg 4＋(lg 5)2<lg 5×lg 5＋(lg 5)2＝2(lg 5)2，∴ab <2(lg 5)2，故C 正确．]8．AB [函数f (x )x 2－4x ，x ≤0，2x |，x >0的图象如图所示，设f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)＝t ，则0<t <4，则直线y ＝t 与函数y ＝f (x )图象的4个交点横坐标分别为x 1，x 2，x 3，x 4.对于A ，函数y ＝－x 2－4x 的图象关于直线x ＝－2对称，则x 1＋x 2＝－4，故A 正确；对于B ，由图象可知|log 2x 3|＝|log 2x 4|，且0<x 3<1<x 4，所以－log 2x 3＝log 2x 4，即log 2(x 3x 4)＝0，所以x 3x 4＝1，故B 正确；对于C ，由图象可知log 2x 4∈(0,4)，则1<x 4<16，故C 错误；对于D ，由图象可知－4<x 1<－2，当x ≤0时，f (x )＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4，所以x 1x 2x 3x 4＝x 1(－4－x 1)＝－x 21－4x 1＝－(x 1＋2)2＋4＝f (x 1)∈(0,4)，故D 错误．]9．210.12log x (答案不唯一)11.1212．(2，5]解析因为f (x )＝log 3(x ＋m )是[－2,2]上的局部奇函数，所以x ＋m >0在[－2,2]上恒成立，所以m －2>0，即m >2，由局部奇函数的定义，存在x ∈[－2,2]，使得log 3(－x ＋m )＝－log 3(x ＋m )，即log 3(－x ＋m )＋log 3(x ＋m )＝log 3(m 2－x 2)＝0，所以存在x ∈[－2,2]，使得m 2－x 2＝1，即m 2＝x 2＋1，又因为x ∈[－2,2]，所以x 2＋1∈[1,5]，所以m 2∈[1,5]，即m ∈[－5，－1]∪[1，5]，综上，m ∈(2，5]．13．解(1)当a ＝2时，f (x )＝213log (-210)x x ，令t ＝x 2－2x ＋10＝(x －1)2＋9，∴t ≥9，f (x )≤13log 9＝－2，∴f (x )的值域为(－∞，－2]．(2)令u ＝x 2－ax ＋5a ，∵y ＝13log u 为减函数，f (x )在(1，＋∞)上单调递减，∴u ＝x 2－ax ＋5a 在(1，＋∞)上单调递增，1，4a ≥0，解得－14≤a ≤2，∴a 的取值范围是－14，2.14．解(1)因为9x ＋1>0，所以f (x )的定义域为R ，又因为f (x )是偶函数，所以∀x ∈R ，有f (－x )＝f (x )，即log 9(9－x ＋1)＋kx ＝log 9(9x ＋1)－kx 对∀x ∈R 恒成立，则2kx ＝log 9(9x ＋1)－log 9(9－x＋1)＝log 99x ＋19－x ＋1＝log 99x ＝x 对∀x ∈R 恒成立，即x (2k －1)＝0对∀x ∈R 恒成立，因为x 不恒为0，所以k ＝12.(2)由(1)得f (x )＝log 9(9x ＋1)－12x ＝log 9(9x ＋1)－129log 9x ＝log 99x ＋13x ＝log x则方程f (x )＝log log x log 不相等的实数解，所以方程3x ＋13x ＝m 3x ＋1有两个不相等的实数解，令t ＝3x ，且t >0，方程化为t ＋1t ＝m t＋1，即方程m ＝t 2－t ＋1在(0，＋∞)上有两个不相等的实数解，令g (t )＝t 2－t ＋1，则y ＝m 与y ＝g (t )在(0，＋∞)上有两个交点，如图所示，又g (t )所以g (t )≥＝34，且g (0)＝1，所以m 15．D [令log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝t ≠0，则x ＝2t ，y ＝3t ，z ＝5t ，令g(k)＝k t，由幂函数图象的性质可知，当t>0时，g(k)＝k t在(0，＋∞)上单调递增，故2t<3t<5t，即x<y<z，当t<0时，g(k)＝k t在(0，＋∞)上单调递减，故2t>3t>5t，即x>y>z，故A，B不一定正确；假设x，y，z成等比数列，则y2＝xz⇒(3t)2＝2t·5t⇒9t＝10t，则t＝0，与已知矛盾，故C错误；因为x＋y＝z，则2t＋3t＝5t，即1，令f(t)1，由指数函数的性质可知f(t)为减函数，注意到f(1)＝0，故f(t)只有一个零点，即1只有一个解t＝1，所以x＋y＝z只有一组解x＝2，y＝3，z＝5，故D正确．]16．(1，1 e e)解析由题知，x>0，f(x)＝log a x－(a)x－log a2＝log a x2－2x a，令t＝x2，t>0，则y＝log at与y＝a t的图象在(0，＋∞)上有两个交点，又y＝log a t与y＝a t互为反函数，所以交点在直线y＝t上，设y＝log a t，y＝a t的图象与直线y＝t相切时，切点坐标为(m，n)，m>0，a m ln a＝1，a m，解得m＝e，又1m ln a＝1，所以a＝1e e>1，所以当a＝1e e时，y＝log a t和y＝a t只有一个交点，如图1；当a>1e e时，y＝log a t和y＝a t无交点，如图2；当1<a<1e e时，y＝log a t和y＝a t有两个交点，如图3.综上，a的取值范围为(1，1e e)．。

对数及对数函数教案8篇

写教案能帮助教师更好地安排课堂教学时间，教案要结合实际的教学进度和学生的学习能力，才能更好地帮助学生提高学习效果，下面是范文社小编为您分享的对数及对数函数教案8篇，感谢您的参阅。

对数及对数函数教案篇1【学习目标】一、过程目标1通过师生之间、学生与学生之间的互相交流，培养学生的数学交流能力和与人合作的精神。

2通过对对数函数的学习，树立相互联系、相互转化的观点，渗透数形结合的数学思想。

3通过对对数函数有关性质的研究，培养学生观察、分析、归纳的思维能力。

二、识技能目标1理解对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图象，感受研究对数函数的意义。

2掌握对数函数的性质，并能初步应用对数的性质解决简单问题。

三、情感目标1通过学习对数函数的概念、图象和性质，使学生体会知识之间的有机联系，激发学生的.学习兴趣。

2在教学过程中，通过对数函数有关性质的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质。

教学重点难点：1对数函数的定义、图象和性质。

2对数函数性质的初步应用。

教学工具：多媒体学前准备】对照指数函数试研究对数函数的定义、图象和性质。

对数及对数函数教案篇2对数函数及其性质教学设计1.教学方法建构主义学习观，强调以学生为中心，学生在教师指导下对知识的主动建构。

它既强调学习者的认知主体作用，又不忽视教师的指导作用。

高中一年级的学生正值身心发展的过渡时期，思维活跃，具有一定的独立性，喜欢新鲜事物，敢于大胆发表自己的见解，不过思维还不是很成熟.在目标分析的基础上，根据建构主义学习观，及学生的认知特点，我拟采用“探究式”教学方法。

将一节课的核心内容通过四个活动的形式引导学生对知识进行主动建构。

其理论依据为建构主义学习理论。

它很好地体现了“学生为主体，教师为主导，问题为主线，思维为主攻”的“四为主”的教学思想。

2.学法指导新课程强调“以学生发展为核心”，强调培养学生的自主探索能力与合作学习能力。

2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第5课时对数与对数函数

第5课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
(3)由指数函数的性质： ∵0<0.9<1，而5.1>0， ∴0<0.95.1<1，即0<m<1. 又∵5.1>1，而0.9>0，∴5.10.9>1，即n>1. 由对数函数的性质： ∵0<0.9<1，而5.1>1，∴log0.95.1<0，即p<0.综上，p<m<n.
图所示，则a，b满足的关系是( A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1 C．0<b－1<a<1 D．0<a 11；又－1<f(0)<0，即－1<logab<0，所以a－
【解析】设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，只需f1(x)＝(x－ 1)2在(1,2)上的图像在f2(x)＝logax的下方即可．(如图所示)
第二章
第5课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
当0<a<1时，显然不成立．当a>1时，如图，要使在(1,2)上， f1(x)＝(x－1)2的图像在f2(x)＝logax的下方，只需 f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，∴1<a≤2.
第二章
第5课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）

高考一轮复习教案三(5)对数函数(学生)

模块：三、函数（二）课题： 5、对数运算与对数函数教学目标：理解对数的意义，掌握运算法则，会用计算器求对数，理解对数函数有关基本概念，掌握其基本性质与图像；重难点：对数函数的图像与性质及应用．一、知识要点1、对数的概念和性质（1）对数的概念：若()0,1b a N a a =>≠，则b 叫做以a 为底的N 的对数，记作log a b N =，其中a 是底数，N 是真数．（2）对数的性质①底的对数等于1，即log 1a a =；1的对数等于0，即log 10a =； ②对数恒等式：()log 0a NaN N =>；③换底公式：()log log 0,0,1,0,1log a b a NN N a a b b b=>>≠>≠；④运算性质：()log log log a a a MN M N =+；log log log aa a MM N N=-； ()log log n a a M n M n R =∈；log log m n a a nb b m=．定义形如log a y x =（a 0>且1a ≠）的函数叫做对数函数定义域 ()0,+∞值域(),-∞+∞图像性质奇偶性非奇非偶函数单调性在()0,+∞上是增函数 ()0,+∞上是减函数范围当1x >时，0y >；当01x <<时，0y >；例1、求下列函数的定义域：（1）2log y =（2）y =（3）(1)log (1)x y x -=+．例2、已知函数2()lg(1)f x ax ax =++的定义域为R ，求实数a 的取值范围．例3、判断函数())f x x =的奇偶性．例4、（1）设2log 3a =，3log 7b =，试用a 、b 表示出42log 56；（2）已知2279log log 6a b +=，227917log log 3b a +=，求a 、b 的值．例5、已知函数()22log 2y x =-的定义域是[],a b ，值域是[]21,log 14，求实数a 、b 的值．例6、已知函数()()212log f x x ax a =--在区间(,1-∞上是增函数，求实数a 的取值范围．例7、（1）比较1log 5a +与()log 1a a +（0a >且1a ≠）的大小；（2）已知：01x <<，0a >，1a ≠，比较()|log 1|a x -和()|log 1|a x +的大小．例8、已知函数()()log 1a f x x =+在区间[)1,+∞上的函数值恒有()2f x >，求实数a 的取值范围．例9、设,a b R ∈，且2a ≠，定义在区间(),b b -内的函数()1lg 12axf x x+=+是奇函数．（1）求b 的取值范围；（2）讨论函数()f x 的单调性．三、课堂练习1、函数y =的定义域是．2、函数()311xy x =-≥的反函数是． 3、若函数()log 4a a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（0a >且1a ≠）的值域为R ，则实数a 的取值范围是．4、函数()23log 28y x x =--的单调增区间是． 5、若函数()421xxf x =++的反函数为()1fx -，则()10f x -<的解集是． 6、把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数()23log f x x =+的图像与()g x 的图像关于对称，则函数()g x = （填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）． 7、已知函数()f x 的图像与()2x g x =的图像关于直线y x =对称，令()()1||h x f x =-，则关于函数()h x 有下列命题：①()h x 的图像关于原点()0,0对称；②()h x 的图像关于y 轴对称；③()h x 的最大值为0；④()h x 在区间()1,1-上单调增．其中正确的命题是（把正确命题的序号都填上）．四、课后作业一、填空题1、若30.618a=，[],1a k k ∈+，k Z ∈，则k = ．2、若函数()22log 2y x ax a =+++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是． 3、若函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）在区间[],2a a 上的最大值是最小值的3倍，则a = ．4、若函数2log 3xa y ⎛⎫= ⎪⎝⎭（0a >且1a ≠）在R 上是减函数，则a 的取值范围是．5、已知函数()2||f x x x =-，若()31log 21f f m ⎛⎫< ⎪+⎝⎭，则实数m 的取值范围是．6、设()()3log 6f x x =+的反函数为()1fx -，若()()116627f m f n --⎡⎤⎡⎤+⋅+=⎣⎦⎣⎦，则()f m n += ．二、选择题7、设01a <<，函数()()2log 22xx a f x a a =--，则使()0f x <的x 的取值范围是（） A 、(),0-∞B 、()0,+∞C 、(),log 3a -∞D 、()log 3,a +∞8、函数()()2log 2f x ax =-在[]0,1上是减函数，则a 的取值范围是（） A 、()0,1B 、()1,2C 、()0,2D 、()2,+∞9、设()2lg 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（） A 、()1,0-B 、()0,1C 、(),0-∞D 、()(),01,-∞+∞三、解答题10、已知函数()()()lg ,10x xf x a kb k R a b +=-∈>>>的定义域恰为区间()0,+∞，是否存在这样的a b 、，使得()f x 恰在()1,+∞上取正值，且()3lg4f =？若存在，求出a b 、的值；若不存在，请说明理由．11、对于函数()()212log 24f x ax x =-+()a R ∈．（1）若()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围；（2）若()f x 的值域为R ，求a 的取值范围；（3）若()f x 的值域为(],1-∞，求a 的取值范围；（4）若()f x 在(],3-∞上为增函数，求a 的取值范围．12、已知函数()3log f x x =．（1）若关于x 的方程()()()23f ax f axf ⋅=的解都在区间()0,1内，求实数a 的范围；（2）若函数()223f x ax -+在区间[)2,+∞上单调递增，求正实数a 的取值范围．。

福建漳州市高考数学一轮复习教案对数函数

一轮复习教案对数函数1．对数：⑤ log m na a nb b m = .例1 计算：（1）)32(log32-+（2）2(lg 2)2+lg 2·lg5+12lg )2(lg 2+-;（3）21lg4932-34lg 8+lg 245.解：（1）方法一利用对数定义求值基础过关典型例题设)32(log32-+=x,则(2+3)x=2-3=321+=（2+3）-1,∴x=-1.方法二利用对数的运算性质求解)32(log 32-+=32log +321+=32log+(2+3)-1=-1.（1）log 2487+log 212-21log 242-1;（2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25;（3）(log 32+log 92)·(log 43+log 83). 解：(1)原式=log 2487+log 212-log 242-log 22=log 2.232log 221log 242481272322-===⨯⨯⨯-（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2. （3）原式=(.452lg 63lg 5·3lg 22lg 3)2lg 33lg 2lg 23lg (·)3lg 22lg 3lg 2lg ==++ 例2 比较下列各组数的大小.（1）log 332与log 556;（2）log 1.10.7与log 1.20.7;（3）已知log 21b ＜log 21a ＜log 21c,比较2b ,2a ,2c的大小关系.解：（1）∵log 332＜log 31=0,而log 556＞log 51=0,∴log 332＜log 556.(2)方法一 ∵0＜0.7＜1,1. 1＜1.2,∴0＞2.1log 1.1log 7.00.7>, ∴2.1log 11.1log 17.07.0<,即由换底公式可得log 1.10.7＜log 1.20.7. 方法二作出y=log 1.1x 与y=log 1.2x 的图象.如图所示两图象与x=0.7相交可知log 1.10.7＜log 1.20.7. (3)∵y=x 21log 为减函数，且c a b 212121log log log <<,∴b ＞a ＞c,而y=2x 是增函数，∴2b ＞2a ＞2c.变式训练2：已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，则log a bb bba1log ,log ,1的大小关系是（）A.log a bb bba1log log 1<<B.bb b b aa1log 1loglog << C.b b b a ba1log 1loglog << D.b bb a a b log 1log 1log << 解： C例3已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a ≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a 的取值范围.解：当a ＞1时，对于任意x ∈［3，+∞），都有f(x)＞0. 所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=log a x 在［3，+∞）上为增函数， ∴对于任意x ∈［3，+∞），有f(x)≥log a 3.因此，要使|f(x)|≥1对于任意x ∈［3，+∞）都成立. 只要log a 3≥1=log a a 即可，∴1＜a ≤3. 当0＜a ＜1时，对于x ∈［3，+∞），有f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x).∵f （x ）=log a x 在［3，+∞）上为减函数， ∴-f （x ）在［3，+∞）上为增函数. ∴对于任意x ∈［3，+∞）都有 |f(x)|=-f(x)≥-log a 3.因此，要使|f(x)|≥1对于任意x ∈［3，+∞）都成立，只要-log a 3≥1成立即可， ∴log a 3≤-1=log aa1,即a 1≤3,∴31≤a ＜1.综上，使|f(x)|≥1对任意x ∈［3，+∞）都成立的a 的取值范围是：(1，3］∪［31，1）. 变式训练3：已知函数f （x ）=log 2(x 2-ax-a)在区间（-∞,1-3］上是单调递减函数.求实数a的取值范围. 解：令g(x)=x 2-ax-a,则g(x)=（x-2a ）2-a-42a ,由以上知g(x ）的图象关于直线x=2a对称且此抛物线开口向上.因为函数f(x)=log 2g(x)的底数2＞1, 在区间（-∞,1-3］上是减函数，所以g(x)=x 2-ax-a 在区间（-∞,1-3］上也是单调减函数，且g(x)＞0.∴⎪⎩⎪⎨⎧>-----≥⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-0)31()31(3220)31(2312a a a g a ，即解得2-23≤a ＜2.故a 的取值范围是{a|2-23≤a ＜2}.例4 已知过原点O 的一条直线与函数y=log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过A 、B 作y 轴的平行与函数y=log 2x 的图象交于C 、D 两点.（1）证明:点C 、D 和原点O 在同一直线上；（2）当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标. （1）证明设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2,由题设知x 1＞1,x 2＞1,则点A 、B 的纵坐标分别为log 8x 1、log 8x 2. 因为A 、B 在过点O 的直线上，所以228118log log x x x x = 点C 、D 的坐标分别为(x 1,log 2x 1)、(x 2,log 2x 2), 由于log 2x 1=2log log 818x =3log 8x 1,log 2x 2=3log 8x 2,OC 的斜率为k 1=118112log 3log x x x x =,OD 的斜率为,log 3log 2282222x x x x k ==由此可知k 1=k 2,即O 、C 、D 在同一直线上.（2）解：由于BC 平行于x 轴，知log 2x 1=log 8x 2，即得log 2x 1=31log 2x 2,x 2=x 31, 代入x 2log 8x 1=x 1log 8x 2，得x 31log 8x 1=3x 1log 8x 1,由于x 1＞1,知log 8x 1≠0,故x 31=3x 1, 又因x 1＞1,解得x 1=3,于是点A 的坐标为（3，log 83). 变式训练4：已知函数f(x)=log 211-+x x +log 2(x-1)+log 2(p-x).（1）求f(x)的定义域；（2）求f(x)的值域.解：（1）f(x)有意义时，有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->->-+,③0,②01,①011x p x x x由①、②得x ＞1,由③得x ＜p,因为函数的定义域为非空数集，故p ＞1,f(x)的定义域是(1,p).（2）f(x)=log 2［(x+1)(p-x)］=log 2［-（x-21-p ）2+4)1(2+p ］ (1＜x ＜p),①当1＜21-p ＜p ，即p ＞3时， 0＜-(x-4)1(4)1()21222+≤++-p p p ,∴log 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x ≤2log 2(p+1)-2.②当21-p ≤1，即1＜p ≤3时，∵0＜-(x-),1(24)1()2122-<++-p p p ∴log 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x ＜1+log 2(p-1).综合①②可知：当p ＞3时，f(x)的值域是（-∞,2log 2(p+1)-2］;当1＜p≤3时，函数f(x)的值域是(-∞,1+log2(p-1)).1．处理对数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解. 2．对数函数值的变化特点是解决含对数式问题时使用频繁的关键知识，要达到熟练、运用自如的水平，使用时常常要结合对数的特殊值共同分析.3．含有参数的指对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类.4．含有指数、对数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数(特别是二次函数)形成的函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或综合.。

高考数学一轮复习第二篇函数与基本初等函数Ⅰ第5讲对数与对数函数教案理新人教版

第5讲对数与对数函数【2013年高考会这样考】1．考查对数函数的定义域与值域． 2．考查对数函数的图象与性质的应用．3．考查以对数函数为载体的复合函数的有关性质． 4．考查对数函数与指数函数互为反函数的关系．【复习指导】复习本讲首先要注意对数函数的定义域，这是研究对数函数性质．判断与对数函数相关的复合函数图象的重要依据，同时熟练把握对数函数的有关性质，特别注意底数对函数单调性的影响．基础梳理1．对数的概念 (1)对数的定义如果a x＝N (a ＞0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． (2)几种常见对数2.(1)对数的性质①a log a N ＝N ；②log a a N＝N (a ＞0且a ≠1)． (2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .(3)对数的运算法则如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log am M n＝n mlog a M . 3．对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．一种思想对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明．两个防范解决与对数有关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．三个关键点画对数函数的图象应抓住三个关键点：(a,1)，(1,0)，⎝⎛⎭⎪⎫1a，－1.四种方法对数值的大小比较方法(1)化同底后利用函数的单调性．(2)作差或作商法．(3)利用中间量(0或1)． (4)化同真数后利用图象比较．双基自测1．(2010·四川)2 log 510＋log 50.25＝( )．A ．0B ．1C ．2D ．4 解析原式＝log 5100＋log 50.25＝log 525＝2. 答案 C2．(人教A 版教材习题改编)已知a ＝log 0.70.8，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系是( )． A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b解析将三个数都和中间量1相比较：0＜a ＝log 0.70.8＜1，b ＝log 1.10.9＜0，c ＝1.10.9＞1. 答案 C3．(2012·黄冈中学月考)函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为( )． A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析设y ＝f (x )，t ＝3x＋1. 则y ＝log 2t ，t ＝3x＋1，x ∈R .由y ＝log 2t ，t >1知函数f (x )的值域为(0，＋∞)．答案 A4．(2012·汕尾模拟)下列区间中，函数f (x )＝|ln(2－x )|在其上为增函数的是( )．A ．(－∞，1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，43C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32D ．[1,2)解析法一当2－x ≥1，即x ≤1时，f (x )＝|ln(2－x )|＝ln(2－x )，此时函数f (x )在(－∞，1]上单调递减．当0＜2－x ≤1，即1≤x ＜2时，f (x )＝|ln(2－x )|＝－ln(2－x )，此时函数f (x )在[1,2)上单调递增，故选D. 法二 f (x )＝|ln(2－x )|的图象如图所示．由图象可得，函数f (x )在区间[1,2)上为增函数，故选D. 答案 D5．若log a 23>1，则a 的取值范围是________．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1考向一对数式的化简与求值【例1】►求值：(1)log 89log 23；(2)(lg 5)2＋lg 50·lg 2；(3)12lg 3249－43lg 8＋lg 245. [审题视点] 运用对数运算法则及换底公式．解 (1)原式＝log 2332log 23＝23.(2)原式＝(lg 5)2＋lg(10×5)lg 105＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)(1－lg 5)＝(lg 5)2＋1－(lg 5)2＝1. (3)法一原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10＝12. 法二原式＝lg 427－lg 4＋lg(75)＝lg 42×757×4＝lg 10＝12.对数源于指数，对数与指数互为逆运算，对数的运算可根据对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式进行．在解决对数的运算和与对数的相关问题时要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化．【训练1】 (1)若2a ＝5b＝10，求1a ＋1b的值．(2)若x log 34＝1，求4x ＋4－x的值．解 (1)由已知a ＝log 210，b ＝log 510，则1a ＋1b＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.(2)由已知x ＝log 43，则4x ＋4－x＝4log 43＋4－log 43＝3＋13＝103.考向二对数值的大小比较【例2】►已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )．A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c[审题视点] 利用函数单调性或插入中间值比较大小．解析 log 123＝－log 23＝－log 49，b ＝f (log 123)＝f (－log 49)＝f (log 49)，log 47＜log 49,0.2－0.6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－35＝5125＞532＝2＞log 49，又f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f (x )在[0，＋∞)上是单调递减的， ∴f (0.2－0.6)＜f (log 123)＜f (log 47)，即c ＜b ＜a ，故选B.答案 B一般是同底问题利用单调性处理，不同底问题的处理，一般是利用中间值来比较大小，同指(同真)数问题有时也可借助指数函数、对数函数的图象来解决．【训练2】 (2010·全国)设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－12，则( )．A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a解析法一 a ＝log 32＝1log 23，b ＝ln 2＝1log 2e ，而log 23＞log 2e ＞1，所以a ＜b ，c ＝5－12＝15，而5＞2＝log 24＞log 23，所以c ＜a ，综上c ＜a ＜b ，故选C.法二 a ＝log 32＝1log 23，b ＝ln 2＝1log 2e ，1＜log 2e ＜log 23＜2，∴12＜1log 23＜1log 2e＜1；c ＝5－12＝15＜14＝12，所以c ＜a ＜b ，故选C.答案 C考向三对数函数性质的应用【例3】►已知函数f (x )＝log a (2－ax )，是否存在实数a ，使函数f (x )在[0,1]上是关于x 的减函数，若存在，求a 的取值范围．[审题视点] a ＞0且a ≠1，问题等价于在[0,1]上恒有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞12－ax ＞0.解 ∵a ＞0，且a ≠1，∴u ＝2－ax 在[0,1]上是关于x 的减函数．又f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]上是关于x 的减函数，∴函数y ＝log a u 是关于u 的增函数，且对x ∈[0,1]时，u ＝2－ax 恒为正数．其充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＞12－a ＞0，即1＜a ＜2.∴a 的取值范围是(1,2)．研究函数问题，首先考虑定义域，即定义域优先的原则．研究复合函数的单调性，一定要注意内层与外层的单调性问题．复合函数的单调性的法则是“同增异减”．本题的易错点为：易忽略2－ax ＞0在[0,1]上恒成立，即2－a ＞0.实质上是忽略了真数大于0的条件．【训练3】已知f (x )＝log 4(4x－1) (1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的单调性；(3)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域．解 (1)由4x－1>0解得x >0，因此f (x )的定义域为(0，＋∞)． (2)设0<x 1<x 2，则0<4x 1－1<4x 2－1，因此log 4(4x 1－1)<log 4(4x 2－1)，即f (x 1)<f (x 2)，f (x )在(0，＋∞)上递增．(3)f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上递增，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，f (2)＝log 415，因此f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为[0，log 415]．难点突破4——与指数、对数函数求值问题有关的解题基本方法指数与对数函数问题，高考中除与导数有关的综合问题外，一般还出一道选择或填空题，考查其图象与性质，其中与求值或取值范围有关的问题是热点，难度虽然不大，但要注意分类讨论．一、与对数函数有关的求值问题【示例】► (2011·陕西)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2dt ，x≤0，若f(f(1))＝1，则a ＝________.二、与对数函数有关的解不等式问题【示例】► (2011·辽宁改编)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f(x)≤2的x 的取值范围是________．。

高三数学一轮基础巩固第2章第5节《对数与对数函数》(含解析)新人教B版

2016届高三数学一轮基础巩固第2章第5节对数与对数函数新人教B 版一、选择题1．(2014·四川泸州一诊)2lg2－lg 125的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] B[解析] 2lg2－lg 125＝lg(22÷125)＝lg100＝2，故选B.2．(文)为了得到函数y ＝ln x －3e 的图象，只需把函数y ＝lnx 的图象上所有的点( ) A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 [答案] D[解析] 由y ＝ln x －3e 得到y ＝ln(x －3)－1，由y ＝lnx 图象上所有点向右平移3个单位，得到y ＝ln(x －3)的图象，再向下平移一个单位得到y ＝ln(x －3)－1的图象．故选D. (理)(2013·江苏无锡)函数y ＝log22－x2＋x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称 [答案] A[解析] 由2－x 2＋x >0得－2<x<2，f(－x)＝log22＋x 2－x ＝－log22－x2＋x ＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，∴选A.3．(文)(2015·湖北省教学合作十月联考)已知a ＝(15)12 ，b ＝log513，c ＝log 15 13，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a>b>c B ．c>a>b C ．a>c>b D ．c>b>a [答案] B[解析] a ＝(15)12 ＝15<12；c ＝log 15 13＝log53>log55＝12；b ＝log513<log51＝0，故c>a>b.(理)(2013·湖南模拟)下面不等式成立的是( ) A ．log32<log23<log25 B ．log32<log25<log23C ．log23<log32<log25D ．log23<log25<log32 [答案] A[解析] log32<1<log23<log25，故选A. 比较对数式的值大小的方法： ①利用中间量0、1.(2014·河北石家庄一模)已知a ＝312 ，b ＝log 13 12，c ＝log213，则( )A ．a>b>cB ．b>c>aC ．c>b>aD ．b>a>c [答案] A[解析] 因为312 >1,0<log 13 12<1，c ＝log213<0，所以a>b>c ，故选A. ②指数互化(2014·湖北省重点中学联考)∀α∈(π4，π2)，x ＝，y ＝，则x 与y 的大小关系为( ) A ．x>y B ．x<y C ．x ＝y D ．不确定 [答案] C[解析] 因为logπx ＝logπsinαlogπcosα，logπy ＝logπsinα·logπcosα，所以logπx ＝logπy ，所以x ＝y ，故选C. ③作差法 (2014·山东临沂市重点中学月考)若x ∈(e －1,1)，a ＝lnx ，b ＝2lnx ，c ＝ln3x ，则( ) A ．a<b<c B ．c<a0，故c>a ，综上b<a<c. ④化同真借助图象 (2013·新课标Ⅱ)设a ＝log36，b ＝log510，c ＝log714，则( ) A ．c>b>a B ．b>c>a C ．a>c>b D ．a>b>c [答案] D[解析] 本题考查了对数的运算性质． ∵a ＝log36＝1＋log32； b ＝log510＝1＋log52； c ＝log714＝1＋log72.∵log32>log52>log72，∴a>b>c. ⑤用单调性 (2014·吉林长春质检)已知函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，则( )A ．f(3)<f(－2)<f(1)B ．f(1)<f(－2)<f(3)C ．f(－2)<f(1)<f(3)D ．f(3)<f(1)<f(－2) [答案] B[解析] 因为f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以a>1，f(1)<f(2)<f(3)．又函数f(x)＝loga|x|为偶函数，所以f(2)＝f(－2)，所以f(1)<f(－2)<f(3)． ⑥转化法若函数f(x)＝log2(x ＋1)且a>b>c>0，则f a a 、f b b 、f cc 的大小关系是( ) A.f a a >f b b >f c c B.f c c >f b b >f aa C.fb b >f a a >fc c D ．f a a >f c c >f b b[答案] B[解析] ∵f a a 、f b b 、f cc 可看作函数图象上的点与原点所确定的直线的斜率，结合函数f(x)＝log2(x ＋1)的图象及a>b>c>0可知f c c >f b b >f aa .故选B. ⑦综合法(2013·宣城二模)若a ＝ln264，b ＝ln2·ln3，c ＝ln2π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a>b>c B ．c>a>b C ．c>b>a D ．b>a>c [答案] A[解析] ∵ln6>lnπ>1，∴a>c ，排除B ，C ；b ＝ln2·ln3<(ln2＋ln32)2＝ln264＝a ，排除D ，故选A.4．(文)(2014·云南统一检测)已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋xx ，x<0log 12 x ，x>0，则f(x )≥－2的解集是( )A ．(－∞，－13]∪[4，＋∞) B ．(－∞，－13]∪(0,4] C ．[－13，0)∪[4，＋∞) D ．[－13，0)∪(0,4] [答案] B[解析] 当x<0时，f(x)≥－2，即1＋x x ≥－2，可转化为1＋x≤－2x ，得x≤－13；当x>0时，f(x)≥－2，即log 12 x≥－2，可转化为log 12 x≥log 124，解得0<x≤4.综上可知不等式的解集为(－∞，－13]∪(0,4]．(理)(2014·宁夏银川质检)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x>0， log 12 －x ，x<0.若f(a)>f(－a)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) [答案] C[解析] f(a)>f(－a)化为⎩⎪⎨⎪⎧ a>0，log2a>log 12 a ，或⎩⎪⎨⎪⎧a<0， log 12 －a >log2－a . ∴a>1或－1<a<0，故选C.5．(2014·安徽皖南八校第一次联考)已知集合A ＝{x|y ＝log2(x2－1)}，B ＝{y|y ＝(12)x －1}，则A ∩B ＝( ) A ．(12，1)B ．(1,2)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞) [答案] D[解析] A ＝{x|y ＝log2(x2－1)}＝{x|x2－1>0}＝{x|x>1或x<－1}，B ＝{y|y ＝(12)x －1}＝{y|y>0}，∴A ∩B ＝{x|x>1}．6．定义在R 上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2014x ＋log2014x ，则方程f(x)＝0的实根的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 [答案] C[解析] 当x>0时，f(x)＝0即2014x ＝－log2014x ，在同一坐标系下分别画出函数f1(x)＝2014x ，f2(x)＝－log2014x 的图象(图略)，可知两个图象只有一个交点，即方程f(x)＝0只有一个实根，又因为f(x)是定义在R 上的奇函数，所以当x<0时，方程f(x)＝0也有一个实根，又因为f(0)＝0，所以方程f(x)＝0的实根的个数为3. 二、填空题7．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________. [答案] 10[解析] ∵2a ＝5b ＝m ， ∴a ＝log2m ，b ＝log5m ， ∴1a ＋1b ＝1log2m ＋1log5m ＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴m ＝10. 8．(文)(2014·南京模拟)若函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数．如果实数t 满足f(lnt)＋f(ln 1t )≤2f(1)，那么t 的取值范围是________． [答案] [1e ，e][解析] 由于函数f(x)是定义在R 上的偶函数，所以f(lnt)＝f(ln 1t )，由f(lnt)＋f(ln 1t )≤2f(1)，得f(lnt)≤f(1)．又函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增函数，所以|lnt|≤1，－1≤lnt≤1，故1e ≤t≤e. (理)(2014·浙江温州八校联考)设函数f(x)的定义域为R ，且是以3为周期的奇函数，|f(1)|>2，f(2)＝loga4(a>0，且a≠1)，则实数a 的取值范围是________． [答案] 12<a<1或1<a<2[解析] 由条件知，|f(1)|＝|f(－1)|＝|f(2)|＝|loga4|>2， ∴loga4>2或loga4<－2， ∴1<a<2或12<a<1.9．(2014·广东韶关调研)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x>0，3x ， x≤0，且关于x 的方程f(x)＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．[答案] (1，＋∞)[解析] 如图，在同一坐标系内分别作出y1＝f(x)，y2＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴的截距，结合图形可知当a>1时，直线y2＝－x ＋a 与y1＝log2x 只有一个交点．三、解答题10．(2014·江西南昌第二中学第一次月考)已知f(x)＝log 12 (x2－mx －m)．(1)若函数f(x)的值域为R ，求实数m 的取值范围；(2)若函数f(x)在区间(－∞，1－3)上是增函数，求实数m 的取值范围．[解析] (1)设g(x)＝x2－mx －m ，要使得函数f(x)的值域为R ，则g(x)＝x2－mx －m 能取遍所有的正数，则有(－m)2－4×(－m)≥0，解得m≥0或m≤－4.(2)函数f(x)＝log 12 (x2－mx －m)的底数是12，那么若函数f(x)在区间(－∞，1－3)上是增函数，则函数g(x)＝x2－mx －m 在区间(－∞，1－3)上是减函数，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2≥1－3，1－32－m 1－3－m≥0，解得2－23≤m≤2.一、选择题11．(2015·山西省忻州一中等四校联考)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋x ，x≤1log0.5x ，x>1，若对于任意x ∈R ，不等式f(x)≤t24－t ＋1恒成立，则实数t 的取值范围是( ) A ．(－∞，1]∪[2，＋∞) B ．(－∞，1]∪[3，＋∞) C ．[1,3] D ．(－∞，2]∪[3，＋∞) [答案] B[解析] 当x≤1时，y ＝－x2＋x ＝－(x －12)2＋14，在(－∞，12]上递增，在(12，1]上递减，故此时ymax ＝f(12)＝14；当x>1时，y ＝log0.5x 是减函数，此时y<log0.51＝0；综上知函数f(x)的最大值为14，故不等式f(x)≤t24－t ＋1恒成立，只需t24－t ＋1≥14即可，解得t≤1或t≥3.故选B.12．(文)(2013·江西省七校联考)设a ＝0.64.2，b ＝70.6，c ＝log0.67，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c<b<a B ．c<a70＝1，log0.67<log0.61＝0，因此c<a0⇒2a>1⇒log 12 a>1⇒0<a<12；由(12)b ＝log 12 b 可知b>0⇒0<(12)b<1⇒0<log 12 b<1⇒12<b<1；由(12)c ＝log2c 可知c>0⇒0<(12)c<1⇒0<log2c<1⇒1<c<2，从而a<b<c.∴选A.[点评] 比较一组幂式、对数式形式的数的大小步骤：第一步：判正负，把正数与负数区分开；第二步：正数与1比较，找出大于1的数和小于1的数，负数转化为比较其绝对值的大小；第三步：构造函数，利用函数单调性或图象比较，底数相同的幂式，用指数函数的单调性；底数相同的对数式用对数函数的单调性；指数相同的幂式用幂函数的单调性或指数函数的图象；真数相同的对数式用对数函数的图象；底数不同、指数也不同的幂式或底数不同、真数也不同的对数式可引入中间量转化或化成同底，另外要注意指对互化的灵活运用．第四步：下结论．13．(2013·北京东城区检测)给出下列命题：①在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x －1，y ＝x 12 ，y ＝(x －1)2，y ＝x3中有3个是增函数；②若logm3<logn3<0，则0<n<m<1；③若函数f(x)是奇函数，则f(x －1)的图象关于点A(1,0)对称；④已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －2，x≤2log3x －1，x>2，则方程f(x)＝12有2个实数根，其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] C[解析] 命题①中，在(0，＋∞)上只有y ＝x 12 ，y ＝x3为增函数，故①不正确；②中第1个不等式等价于log31>log3m>log3n ，故0<n<m<1，②正确；③中函数y ＝f(x －1)的图象是把y ＝f(x)的图象向右平移1个单位得到的，由于函数y ＝f(x)的图象关于坐标原点对称，故函数y ＝f(x －1)的图象关于点A(1,0)对称，③正确；④中当3x －2＝12时，x ＝2＋log312<2，当log3(x －1)＝12时，x ＝1＋3>2，故方程f(x)＝12有2个实数根，④正确．故选C.14．已知符号函数sgn(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0，则函数f(x)＝sgn(lnx)－ln2x 的零点个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 [答案] C[解析] 由题意得f(x)＝sgn(lnx)－ln2x＝⎩⎪⎨⎪⎧1－ln2x ， x>1，－ln2x ， x ＝1，－1－ln2x ， 0<x<1，则令1－ln2x ＝0⇒x ＝e 或x ＝1e (舍去)；令－ln2x ＝0⇒x ＝1；当－1－ln2x ＝0时，方程无解，所以f(x)＝sgn(lnx)－ln2x 有两个零点，故选C. 二、填空题 15．(2014·河南郑州模拟)已知函数y ＝f(x)的图象与函数y ＝2－x －1的图象关于直线y ＝x 对称，则f(3)＝________. [答案] －2[解析] 由题意y ＝f(x)的图象与函数y ＝2－x －1的图象关于直线y ＝x 对称，令f(3)＝a ，则点(a,3)必在函数y ＝2－x －1的图象上，所以2－a －1＝3，解得a ＝－2，即f(3)＝－2. 16．(文)(2013·安徽师大附中、安庆一中联考)已知函数f(x)的定义域为A ，若其值域也为A ，则称区间A 为f(x)的保值区间．若g(x)＝x ＋m ＋lnx 的保值区间是[e ，＋∞)，则m 的值为________． [答案] －1[解析] 由题意得，g(x)的值域为[e ，＋∞)，由x≥e 时，g ′(x)＝1＋1x >0，所以当x≥e 时，g(x)为增函数，由题意可得g(e)＝e ＋m ＋1＝e ，解得m ＝－1.(理)(2014·山东郯城一中月考)对任意实数a 、b ，定义运算“*”如下：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a≤b ，b ，a>b .则函数f(x)＝log 12 (3x －2)*log2x 的值域为________．[答案] (－∞，0][解析] 易知函数f(x)的定义域为(23，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y ＝log 12 (3x －2)和y ＝log2x 的图象，由a*b 的定义可知，f(x)的图象为图中实线部分，∴由图象可得f(x)＝⎩⎨⎧log2x ，23<x≤1，log 123x －2，x>1.的值域为(－∞，0]．三、解答题 17．(文)(2014·吉林长春模拟)设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2. (1)求a 的值及f(x)的定义域； (2)求f(x)在区间[0，32]上的最大值．[解析] (1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，a≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x>0，3－x>0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f(x)的定义域为(－1，3)． (2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f(x)是增函数；当x ∈(1,3)时，f(x)是减函数，函数f(x)在[0，32]上的最大值是f(1)＝log24＝2.(理)(2013·大连二十四中期中)已知函数f(x)＝ax ＋lnx(a ∈R)． (1)若a ＝2，求曲线y ＝f(x)在x ＝1处切线的斜率．(2)设g(x)＝x2－2x ＋2，若对任意x1∈(0，＋∞)，均存在x2∈[0,1]，使得f(x1)<g(x2)，求a 的取值范围．[解析] (1)∵a ＝2，∴f(x)＝2x ＋lnx ，∴f ′(x)＝2＋1x ，∴f ′(1)＝3，故y ＝f(x)在x ＝1处切线的斜率为3.(2)由条件知，f(x)max<g(x)max.∵g(x)＝x2－2x ＋2，x ∈[0,1]，∴g(x)max ＝g(0)＝2，当a≥0时，f(x)＝ax ＋lnx 在(0，＋∞)上单调递增，值域为R ，故无最大值，不合题意．当a<0时，∵f ′(x)＝a ＋1x ；当x ∈(0，－1a )时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，当x ∈(－1a ，＋∞)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，∴f(x)在x ＝－1a 时取到极大值，f(－1a )＝－1－ln(－a)．也是f(x)的最大值， ∴－1－ln(－a)<2，∴a<－1e3.18．(文)已知函数f(x)＝log4(4x ＋1)＋2kx(k ∈R)是偶函数． (1)求k 的值；(2)若方程f(x)＝m 有解，求m 的取值范围．[解析] (1)由函数f(x)是偶函数可知，f(－x)＝f(x)，∴log4(4x ＋1)＋2kx ＝log4(4－x ＋1)－2kx ，即log44x ＋14－x ＋1＝－4kx ，∴log44x ＝－4kx ，∴x ＝－4kx ，即(1＋4k)x ＝0，对一切x ∈R 恒成立，∴k ＝－14. (2)由m ＝f(x)＝log4(4x ＋1)－12x ＝log44x ＋12x ＝log4(2x ＋12x )， ∵2x>0，∴2x ＋12x ≥2，∴m≥log42＝12.故要使方程f(x)＝m 有解，m 的取值范围为[12，＋∞)．(理)(2014·四川资阳二诊)设函数f(x)＝log4(4x ＋1)＋ax(a ∈R)． (1)若函数f(x)是定义在R 上的偶函数，求a 的值；(2)若不等式f(x)＋f(－x)≥mt ＋m 对任意x ∈R ，t ∈[－2，1]恒成立，求实数m 的取值范围． [解析] (1)由函数f(x)是定义在R 上的偶函数，得f(x)＝f(－x)恒成立，即log4(4x ＋1)＋ax ＝log4(4－x ＋1)－ax ，所以2ax ＝log44－x ＋14x ＋1＝log414x ＝－x ，所以(2a ＋1)x ＝0恒成立，则2a ＋1＝0，故a ＝－12.(2)f(x)＋f(－x)＝log4(4x ＋1)＋ax ＋log4(4－x ＋1)－ax ＝log4(4x ＋1)＋log4(4－x ＋1)＝log4[(4x ＋1)·(4－x ＋1)]＝log4(2＋4x ＋4－x)≥lo g4(2＋24x×4－x)＝1. 所以mt ＋m≤1对任意t ∈[－2,1]恒成立，令h(t)＝mt ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧h －2＝－2m ＋m≤1，h 1＝m ＋m≤1，解得－1≤m≤12，故实数m 的取值范围是[－1，12]．。

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1．对数的概念一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )． (2)对数的性质 ①log a Na＝ N ；②log a a N ＝ N (a >0且a ≠1)．(3)对数的换底公式log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．3．对数函数的图象与性质(1)(0，＋∞)4.反函数指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线 y ＝x 对称．【知识拓展】1．换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log b a；(2)log log .m n a a nb b m=其中a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，m ，n ∈R . 2．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c <d <1<a 0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( × )(3)函数y ＝log 2x 及13log 3y x =都是对数函数．( × )(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (5)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ )(6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( √ )1．(教材改编)(log 29)·(log 34)等于( ) A.14 B.12C ．2D ．4答案 D解析 (log 29)·(log 34)＝2log 23·2log 32＝4. 2．函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图象是( )答案 B解析由函数f (x )＝lg(|x |－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域为R .又当x >1时，函数单调递增，所以只有选项B 正确． 3．已知324log 0.3log 3.4log 3.6155()5a b c ＝，＝，＝，则( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．a >c >b D ．c >a >b答案 C解析 3310log log 0.331()5,5c == ∵log 3103>log 33＝1且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<log 44＝1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∴log 23.4>log 3103>log 43.6.由于y ＝5x 为增函数，32410log log 3.4log 3.63555∴＞＞.即324log 0.3log 3.4log 3.615()5,5＞＞故a >c >b .4．(2016·成都模拟)函数y ＝log 0.5(4x －3)的定义域为．答案 (34，1]解析由log 0.5(4x －3)≥0且4x －3>0，得34<x ≤1.5．(教材改编)若log a 34<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是．答案 ⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞) 解析当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，∴0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞)．题型一对数的运算例1 (1)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n ＝ . (2)计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝ .答案 (1)12 (2)1解析 (1)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3， ∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12. (2)原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋(1－log 63)(1＋log 63)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.思维升华对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．(1)若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝ .(2)(2016·济南模拟)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1＝ . 答案 (1)433(2)1解析 (1)∵a ＝log 43＝log 223＝12log 23＝log 23，log log 2222a a --∴+=+log 2=＝3＋33＝433. (2)原式＝2×(12lg 2)2＋12lg 2×lg 5＋(lg 2－1)2＝12lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－12lg 2 ＝12lg 2＋1－12lg 2＝1. 题型二对数函数的图象及应用例2 (1)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1,0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1,0<c <1(2)(2017·合肥月考)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A ．(0，22) B ．(22，1) C ．(1，2) D ．(2，2)答案 (1)D (2)B解析 (1)由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0<a <1，∵图象与x 轴的交点在区间(0,1)之间，∴该函数的图象是由函数y ＝log a x 的图象向左平移不到1个单位后得到的，∴0<c <1.(2)构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在(0，12]上的图象，可知f (12)<g (12)，即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为(22，1)．思维升华 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．(1)若函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )(2)(2016·新疆乌鲁木齐一诊)设f (x )＝|ln(x ＋1)|，已知f (a )＝f (b )(a 0 B ．a ＋b >1 C ．2a ＋b >0 D ．2a ＋b >1答案 (1)B (2)A解析 (1)由题意y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过(3,1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝(13)x ，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象性质可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符，故选B. (2)作出函数f (x )＝|ln(x ＋1)|的图象如图所示，由f (a )＝f (b )，得－ln(a ＋1)＝ln(b ＋1)，即ab ＋a ＋b ＝0.0＝ab ＋a ＋b <(a ＋b )24＋a ＋b ，即(a ＋b )(a ＋b ＋4)>0，显然－1<a <0，b >0，∴a ＋b ＋4>0，∴a ＋b >0，故选A.题型三对数函数的性质及应用命题点1 比较对数值的大小例3 (2015·天津)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜a ＜b D ．c ＜b ＜a答案 C 解析由f (x )＝2|x－m |－1是偶函数可知m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1. 所以()0.52log 3log 30.5log 321212a f ＝＝－＝－＝，()22log 5log 52log 521214b f ＝＝－＝－＝，c ＝f (0)＝2|0|－1＝0，所以c <a f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)答案 (1)(0，23)∪(1，＋∞) (2)C解析 (1)当a >1时，函数y ＝log a x 在定义域内为增函数，所以log a 23<log a a 总成立．当0<a <1时，函数y ＝log a x 在定义域内是减函数，由log a 23<log a a ，得a <23，故0<a <23.综上，a 的取值范围为(0，23)∪(1，＋∞)．(2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >－log 2a 或1220log ()log ().a a a ⎧⎪⎨--⎪⎩＜，＞解得a >1或－1<a <0，故选C.命题点3 和对数函数有关的复合函数例5 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a 的取值范围为(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数． ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，f (x )的最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a (3－a )＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 思维升华 (1)对数值大小比较的主要方法 ①化同底数后利用函数的单调性； ②化同真数后利用图象比较；③借用中间量(0或1等)进行估值比较．(2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题．(1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞) D ．[2，＋∞)答案 (1)D (2)A解析 (1)当x ≤1时，21－x ≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；当x >1时，1－log 2x ≤2，解得x ≥12，所以x >1.综上可知x ≥0.(2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)，故选A.3．比较指数式、对数式的大小考点分析比较大小问题是每年高考必考内容之一：(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.典例 (1)(2016·全国乙卷)若a >b >0,0<c <1，则( ) A ．log a c <log b c B ．log c a <log c b C ．a c c b(2)(2016·河南八市质检)若a ＝20.3，b ＝log π3，c ＝log 4cos 100，则( ) A ．b >c >a B ．b >a >c C ．a >b >cD ．c >a >b(3)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2，则下列关系中不可能成立的是( ) A ．a b >0，所以lg a >lg b ，但不能确定lg a 、lg b 的正负，所以它们的大小不能确定，所以A 错；对B ：log c a ＝lg a lg c ，log c b ＝lg blg c，而lg a >lg b ，两边同乘以一个负数1lg c 改变不等号方向，所以B 正确；对C ：由y ＝x c 在第一象限内是增函数，即可得到a c >b c ，所以C 错；对D ：由y ＝c x 在R 上为减函数，得c a <c b ，所以D 错．故选B.(2)因为20.3>20＝1,0＝log π1<log π3<log ππ＝1， log 4cos 100<log 41＝0，所以a >b >c ，故选C.(3)由log a 2<log b 2<log c 2的大小关系，可知a ，b ，c 有如下四种可能：①1<c <b <a ；②0<a <1<c <b ；③00，解得x >2且x ≠3②；由①②求交集得函数的定义域为(2,3)∪(3,4]．故选C.2．设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( ) A ．b <a <c B ．c <a 2. ∵c ＝0.83.1，∴0<c <1. 即c <a 1，则f (2 018)等于( ) A ．2 019B ．2 018C ．2 017D ．2 016答案 A解析由已知f (2 018)＝f (2 017)＋1＝f (2 016)＋2＝f (2 015)＋3 ＝…＝f (1)＋2 017＝log 2(5－1)＋2 017＝2 019.5．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)等于( )A ．1B.45 C ．－1D ．－45答案 C解析由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f (log 245)24log 51(2)5=-+＝－1. 6．若函数f (x )＝log a (x 2＋32x )(a >0，a ≠1)在区间(12，＋∞)内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(12，＋∞) 答案 A解析令M ＝x 2＋32x ，当x ∈(12，＋∞)时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝(x ＋34)2－916，因此M 的单调递增区间为(－34，＋∞)．又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．7．(2015·安徽)lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝ . 答案－1解析 lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝lg 52＋lg 22－2＝lg ⎝⎛⎭⎫52×4－2＝1－2＝－1.8．函数2()log )f x x =的最小值为．答案－14解析 2()log )f x x =＝12log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x (1＋log 2x )．设t ＝log 2x (t ∈R )，则原函数可以化为y ＝t (t ＋1)＝(t ＋12)2－14(t ∈R )，故该函数的最小值为－14，故f (x )的最小值为－14. 9．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间[12，23]上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是．答案 (13，1) 解析当0<a <1时，函数f (x )在区间[12，23]上是减函数，所以log a (43－a )>0，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间[12，23]上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是(13，1)． *10.(2016·南昌模拟)关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0，x ∈R )有下列命题： ①函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；②在区间(－∞，0)上，函数y ＝f (x )是减函数；③函数f (x )的最小值为lg 2；④在区间(1，＋∞)上，函数f (x )是增函数．其中是真命题的序号为．答案 ①③④解析 ∵函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0，x ∈R )，显然f (－x )＝f (x )，即函数f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称，故①正确；当x >0时，f (x )＝lg x 2＋1|x |＝lg x 2＋1x ＝lg(x ＋1x )，令t (x )＝x ＋1x ，x >0，则t ′(x )＝1－1x 2，可知当x ∈(0,1)时，t ′(x )<0，t (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，t ′(x )>0，t (x )单调递增，即在x ＝1处取得最小值为2.由偶函数的图象关于y 轴对称及复合函数的单调性可知②错误，③正确，④正确，故答案为①③④.11．已知函数f (x )＝lnx 1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是．答案 ⎝⎛⎭⎫0，14 解析由题意可知ln a 1－a ＋ln b 1－b＝0，即ln ⎝⎛⎭⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14，又0<a k ·g (x )恒成立，求实数k 的取值范围．解 (1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2，因为x ∈[1,4]，所以log 2x ∈[0,2]，故函数h (x )的值域为[0,2]．(2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )，得(3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ，令t ＝log 2x ，因为x ∈[1,4]，所以t ＝log 2x ∈[0,2]，所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈[0,2]恒成立，①当t ＝0时，k ∈R ；②当t ∈(0,2]时，k <(3－4t )(3－t )t 恒成立，即k <4t ＋9t－15，因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号，所以4t ＋9t－15的最小值为－3. 综上，实数k 的取值范围为(－∞，－3)．*13.(2017·厦门月考)已知函数f (x )＝ln x ＋1x －1.(1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性；(2)对于x ∈[2,6]，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m (x －1)(7－x )恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1， ∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln －x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln(x ＋1x －1)－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x )， ∴f (x )＝ln x ＋1x －1是奇函数． (2)由于x ∈[2,6]时，f (x )＝lnx ＋1x －1>ln m (x －1)(7－x )恒成立， ∴x ＋1x －1>m (x －1)(7－x )>0， ∵x ∈[2,6]，∴0<m <(x ＋1)(7－x )在x ∈[2,6]上恒成立．令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－(x －3)2＋16，x ∈[2,6]，由二次函数的性质可知，x ∈[2,3]时函数g (x )单调递增，x ∈[3,6]时函数g (x )单调递减，即x ∈[2,6]时，g (x )min ＝g (6)＝7，∴0<m <7.第5讲对数与对数函数一、选择题1．已知实数a ＝log 45，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120，c ＝log 30.4，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b <c <aB ．b <a <cC ．c <a <bD ．c 1，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1，c ＝log 30.4<0，故c <b <a . 答案 D2．设f (x )＝lg(21－x＋a )是奇函数，则使f (x )＜0的x 的取值范围是( )． A ．(－1,0) B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴a ＝－1.∴f (x )＝lg x ＋11－x ，由f (x )＜0得，0＜x ＋11－x＜1， ∴－1＜x ＜0.答案 A3．若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是( )．A ．0<a <1B ．0<a <2，a ≠1C ．1<a <2D ．a ≥2解析因为y ＝x 2－ax ＋1是开口向上的二次函数，从而有最小值4－a 24，故要使函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a >1，且4－a 24>0，得1<a <2，故选C.答案 C4．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的大致图象如图所示，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象是 ( )．解析由已知函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象可得0<a <1，00且a ≠1)满足对任意的x 1，x 2，当x 1<x 2≤a 2时，f (x 1)－f (x 2)>0，则实数a 的取值范围为( )． A ．(0,1)∪(1,3) B ．(1,3)C ．(0,1)∪(1,23)D ．(1,23) 解析 “对任意的x 1，x 2，当x 1<x 2≤a 2时，f (x 1)－f (x 2)>0”实质上就是“函数单调递减”的“伪装”，同时还隐含了“f (x )有意义”．事实上由于g (x )＝x 2－ax ＋3在x ≤a 2时递减，从而⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2>0.由此得a 的取值范围为(1,23)．故选D.答案 D6．已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是 ( )．A ．(22，＋∞)B ．[22，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞) 解析作出函数f (x )＝|lg x |的图象，由f (a )＝f (b )，0<a 3.故选C.答案 C二、填空题7．对任意非零实数a ，b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则(log 128)⊗⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝________. 解析框图的实质是分段函数，log 128＝－3，⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9，由框图可以看出输出9－3＝－3.答案－3.8．设g (x )＝⎩⎨⎧ e x ，x ≤0，ln x ，x ＞0，则g ⎣⎢⎡⎦⎥⎤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________. 解析 g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＜0， ∴g ⎣⎢⎡⎦⎥⎤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12＝e ln 12＝12. 答案 129．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.解析 ∵log 2x ≤2，∴0＜x ≤4.又∵A ⊆B ，∴a ＞4，∴c ＝4.答案 410．对于任意实数x ，符号[x ]表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数．在实数轴R (箭头向右)上[x ]是在点x 左侧的第一个整数点，当x 是整数时[x ]就是x .这个函数[x ]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么[log 31]＋[log 32]＋[log 33]＋[log 34]＋…＋[log 3243]＝________.解析当1≤n ≤2时，[log 3n ]＝0，当3≤n <32时，[log 3n ]＝1，…，当3k ≤n <3k ＋1时，[log 3n ]＝k .故[log 31]＋[log 32]＋[log 33]＋[log 34]＋…＋[log 3243]＝0×2＋1×(32－3)＋2×(33－32)＋3×(34－33)＋4×(35－34)＋5＝857.答案 857三、解答题11．已知函数f (x )＝log 12(a 2－3a ＋3)x .(1)判断函数的奇偶性；(2)若y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围．解 (1)函数f (x )＝log 12(a 2－3a ＋3)x 的定义域为R .又f (－x )＝log 12(a 2－3a ＋3)－x＝－log 12(a 2－3a ＋3)x ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数．(2)函数f (x )＝log 12(a 2－3a ＋3)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则y ＝(a 2－3a ＋3)x 在(－∞，＋∞)上为增函数，由指数函数的单调性，知a 2－3a ＋3>1，解得a <1或a >2.所以a 的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)．12．若函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M .当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最值及相应的x 的值．解 y ＝lg(3－4x ＋x 2)，∴3－4x ＋x 2＞0，解得x ＜1或x ＞3，∴M ＝{x |x ＜1，或x ＞3}，f (x )＝2x ＋2－3×4x ＝4×2x －3×(2x )2.令2x ＝t ，∵x ＜1或x ＞3，∴t ＞8或0＜t ＜2.∴f (t )＝4t －3t 2＝－3⎝⎛⎭⎪⎫t －232＋43(t ＞8或0＜t ＜2)．由二次函数性质可知：当0＜t ＜2时，f (t )∈⎝⎛⎦⎥⎤0，43，当t ＞8时，f (t )∈(－∞，－160)，当2x＝t ＝23，即x ＝log 2 23时，f (x )max ＝43. 综上可知：当x ＝log 2 23时，f (x )取到最大值为43，无最小值． 13．已知函数f (x )＝log a x ＋b x －b(a ＞0，b ＞0，a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)讨论f (x )的奇偶性；(3)讨论f (x )的单调性；解 (1)令x ＋b x －b＞0，解得f (x )的定义域为(－∞，－b )∪(b ，＋∞)．(2)因f (－x )＝log a －x ＋b －x －b ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b x －b －1 ＝－log a x ＋b x －b＝－f (x )，故f (x )是奇函数．(3)令u (x )＝x ＋b x －b ，则函数u (x )＝1＋2b x －b在(－∞，－b )和(b ，＋∞)上是减函数，所以当0＜a ＜1时，f (x )在(－∞，－b )和(b ，＋∞)上是增函数；当a ＞1时，f (x )在(－∞，－b )和(b ，＋∞)上是减函数．14．已知函数f (x )＝log a x ＋1x －1，(a >0，且a ≠1)． (1)求函数的定义域，并证明：f (x )＝log ax ＋1x －1在定义域上是奇函数； (2)对于x ∈[2,4]，f (x )＝log ax ＋1x －1>log a m (x －1)2(7－x )恒成立，求m 的取值范围．解 (1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1， ∴函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝log a －x ＋1－x －1＝log a x －1x ＋1＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－log a x ＋1x －1＝－f (x )，∴f (x )＝log a x ＋1x －1在定义域上是奇函数． (2)由x ∈[2,4]时，f (x )＝log a x ＋1x －1>log a m (x －1)2(7－x )恒成立， ①当a >1时，∴x ＋1x －1>m (x －1)2(7－x )>0对x ∈[2,4]恒成立． ∴0<m <(x ＋1)(x －1)(7－x )在x ∈[2,4]恒成立．设g (x )＝(x ＋1)(x －1)(7－x )，x ∈[2,4]则g (x )＝－x 3＋7x 2＋x －7，g ′(x )＝－3x 2＋14x ＋1＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －732＋523， ∴当x ∈[2,4]时，g ′(x )>0.∴y ＝g (x )在区间[2,4]上是增函数，g (x )min ＝g (2)＝15. ∴0<m <15.②当0<a <1时，由x ∈[2,4]时，f (x )＝log a x ＋1x －1>log a m (x －1)2(7－x )恒成立， ∴x ＋1x －1<m (x －1)2(7－x )对x ∈[2,4]恒成立． ∴m >(x ＋1)(x －1)(7－x )在x ∈[2,4]恒成立．设g (x )＝(x ＋1)(x －1)(7－x )，x ∈[2,4]，由①可知y ＝g (x )在区间[2,4]上是增函数， g (x )max ＝g (4)＝45，∴m >45.∴m 的取值范围是(0,15)∪(45，＋∞).。

高考数学一轮复习专题：第5讲 对数与对数函数(教案与同步练习)

第二章 第5讲 对数与对数函数-2025年高考数学备考