立体几何初步时直线与平面垂直同步练习必修
高中 直线、平面垂直的判定与性质 知识点+例题+练习
教学过程在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.规律方法证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.【训练1】(2013·江西卷改编)教学效果分析教学过程如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.证明：BE⊥平面BB1C1C.考点二平面与平面垂直的判定与性质【例2】(2014·深圳一模)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝AA1，且AC＝2BC，点D是AB的中点．证明：平面ABC1⊥平面B1CD.规律方法证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也教学效果分析教学过程可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键．【训练2】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.考点三平行、垂直关系的综合问题教学效果分析教学过程【例3】(2013·山东卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥P A，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE∥平面P AD；(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.规律方法线面关系与面面关系的证明离不开判定定理和性质定理，而形成结论的“证据链”依然是通过挖掘题目已知条件来实现的，如图形固有的位置关系、中点形成的三角形的中位线等，都为论证提供了丰富的素材．【训练3】(2013·辽宁卷)如图，AB是圆O的直径，P A垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面P AC；(2)设Q为P A的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.教学效果分析1．转化思想：垂直关系的转化2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．创新突破6——求解立体几何中的探索性问题【典例】(2012·北京卷)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．[反思感悟] (1)解决探索性问题一般先假设其存在，把这个假设作已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算，在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在，如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．(2)在处理空间折叠问题中，要注意平面图形与空间图形在折叠前后的相互位置关系与长度关系等，关键是点、线、面位置关系的转化与平面几何知识的应用，注意平面几何与立体几何中相关知识点的异同，盲目套用容易导致错误．【自主体验】(2014·韶关模拟)如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AD＝CD＝12AB＝2，点E为AC中点，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2.(1)求证：DA⊥BC；(2)在CD上找一点F，使AD∥平面EFB.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b 在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的________条件．2．(2014·绍兴调研)设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列正确命题的序号是________．①若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α；②若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥α；③若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α；④若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β.3.如图，AB是圆O的直径，P A垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任一点，则图形中有________对线面垂直．4．若M是线段AB的中点，A，B到平面α的距离分别是4 cm，6 cm，则M到平面α的距离为________．5．(2014·郑州模拟)已知平面α，β，γ和直线l，m，且l⊥m，α⊥γ，α∩γ＝m，β∩γ＝l，给出下列四个结论：①β⊥γ；②l⊥α；③m⊥β；④α⊥β.其中正确的是________．6.如图，在四棱锥P ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)7．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用代号表示)．8.如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．二、解答题9．(2013·北京卷)如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.10．(2013·泉州模拟)如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．(1)求证：B1D1∥平面A1BD；(2)求证：MD⊥AC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线______上．2.如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为________．①AC⊥BD；②AC∥截面PQMN；③AC＝BD；④异面直线PM与BD所成的角为45°.3．(2013·南通二模)如图，已知六棱锥P ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．二、解答题4．(2014·北京西城一模)。
新教材高中数学第十一章立体几何初步1141直线与平面垂直刷题课件新人教B版第四册
直线与平面垂直
刷提升
2．给出下列命题，其中正确的命题为( D ) A．若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面 B．若直线a与平面α不垂直，则a与平面α内的所有的直线都不垂直 C．若直线a与平面α不平行，则a与平面α内的所有的直线都不平行 D．若异面直线a，b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直
直线与平面垂直
刷基础
题型1 异面直线所成的角
2．[河南驻马店2019高一期末]在直三棱柱ABC－A′B′C′中，侧棱AA′⊥平面ABC.若AB＝AC＝AA′＝ 1，AB⊥AC，点M，N分别为A′C′，CC′的中点，则异面直线MN与B′C′所成的角为( B ) A．90° B．60° C．45° D．30°
解析 A：直线共面不具有传递性，故A错误；B：若直线a∥平面α，则平面α内存在直线m满足 m∥a，则平面α内与直线m垂直的直线均与直线a垂直，故B错误；C：若直线a⊂α，满足直线 a与平面α不平行，故C错误；D：假设存在过a的平面与b垂直，则可知b⊥a，假设不成立， 故D正确．故选D.
直线与平面垂直
必修四
空间中的垂直关系
直线与平面垂直
刷基础
题型1 异面直线所成的角
1．[福建南平2019高一期末]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AD1与BD所成的角为( C ) A．30° B．45° C．60° D．90°
解析 连接BC1，DC1.∵AD1∥BC1，∴异面直线AD1与BD所成的角为∠DBC1.由题可得△DBC1为等边 三角形，∴∠DBC1＝60°. ∴异面直线AD1与BD所成的角为60°.故选C.
立体几何初步时直线与平面垂直同步练习必修
立体几何初步时直线与平面垂直同步练习必修 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#第12课时直线与平面垂直(2)分层训练1.如果PA 、PB 、PC 两两垂直, 那么P 在平面ABC 内的射影一定是△ABC 的( )A.重心B.内心C.外心D.垂心2.设PA 、PB 、PC 是从点P 引出的三条射线, 每两条的夹角都等于60°, 则直线PC 与平面APB 所成角的余弦值是 ( ) A. 21 B. 23 C.33 D. 36 3.在四棱锥P-ABCD 中, ABCD 是正方形, PA ⊥平面ABCD, 且PA=AD , 则PC 与平面ABCD 所成角的正切值___________ .4.在三棱锥P-ABC 中, 顶点P 在平面ABC 内的射影是△ABC 的外心, 则三条侧棱PA 、PB 、PC 大小关系是_________________ .5．关于Rt ∠ＡＢＣ在平面内射影有若下判断：(1)可能是０°的角(2)可能是锐角 (3)可能是直角 (4) 可能是钝角(5)可能是180°的角，其中正确的判断的序号是 ．６.在三棱锥P-ABC 中, 点P 在平面ABC 上的射影O 是△ABC 的垂心, 求证: PA⊥BC .７．在四棱锥Ｐ－ABCD 中,ABCD 是矩形 , ＰＡ⊥面ABCD(1).指出图中有哪些三角形是直角三角形，并说明理由 ．(2). 若PA=AD=AB,试求PC 与平面ABCD 所成角的正切值．A B C DP拓展延伸如图, ABCD为正方形, SA⊥平面ABCD , 过A作与SC垂直的平面交SB、SC、SD于E、K、H , 求证: AE⊥SB , AH⊥SD .第12课时平面与平面的位置关系1．Ａ 2．Ｄ 3．Ｄ 4．２６5．平行或相交 6.平行7证明：过l作平面Ｍ交α于a，过a作平面交β于b∵l略证：∵ＢＥ//Ｃ１ＤＡ１Ｅ//ＡＤ∴ＢＥ//平面ＡＤＣ１Ａ１Ｅ//平面ＡＤＣ１∴平面Ａ１ＥＢ//平面ＡＤＣ１9．已知：α//β，l∩α＝Ａ，l∩β＝Ｂ求证：l与α、β所成的角相等证明：若l⊥α，α//β∴l⊥β∴l与α、β所成的角均为90°若l与α斜交，则过l上一点ＰAB C DHKES作a⊥α,垂足为Ｃ∵α//β∴a⊥β垂足为Ｄ∵l∩a＝P∴经过l,a的平面PBD交α于ＡＣ，交β于ＢＤ∴∠ＰＡＣ，∠ＰＢＤ分别为l和α、β所成的角∵α//β∴AC//BD∴∠ＰＡＣ＝∠ＰＢＤ即l和平面α、β所成的角相等。
人教版高中数学必修二《第八章 立体几何初步》同步练习及答案解析
人教版高中数学必修二《第八章立体几何初步》同步练习《8.1 基本几何图形》同步练习第1课时棱柱、棱锥、棱台一、选择题1．下图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是（）A．B．C．D．2．一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥必不是( )A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥3．下列几何体中棱柱有( )A．5个B．4个C．3个D．2个4．用一个平面去截一个四棱锥，截面形状不可能的是 ( )A．四边形 B．三角形 C．五边形 D．六边形5．（多选题）给出下列命题，其中假命题是（）A.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；B.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；C.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；D.棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形.6．（多选题）正方体的截面可能是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．菱形D．正六边形二、填空题7．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.8.如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm.9.下列说法中正确的为________（填序号）.（1）棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形：（2）各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；（3）正棱锥的侧面是等边三角形；（4）有两个面互相平行，其余各面都是等腰梯形的几何体是棱台.10.一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．三、解答题11．如图所示是一个三棱台ABC－A′B′C′，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．12.如图在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？《8.1 基本几何图形》同步练习答案解析第1课时棱柱、棱锥、棱台一、选择题1．下图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】将其折叠起来，变成正方体后的图形中，相邻的平面中三条线段是平行线，排除A ，C ；相邻平面只有两个是空白面，排除D ；故选B2．一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥必不是( )A ．三棱锥B ．四棱锥C ．五棱锥D ．六棱锥【答案】D【解析】正六棱锥的底面是个正六边形，正六边形共由6个等边三角形构成，设每个等边三角形的边长为 r ，正六棱锥的高为h ，正六棱锥的侧棱长为 l ，由正六棱锥的高h 、底面的半径r 、侧棱长l 构成直角三角形得，222h r l += ，故侧棱长 l 和底面正六边形的边长r 不可能相等.故选D.3．下列几何体中棱柱有( )A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】D【解析】由棱柱的定义及几何特征，①③为棱柱．故选D.4．用一个平面去截一个四棱锥，截面形状不可能的是 ( )A．四边形 B．三角形 C．五边形 D．六边形【答案】D【解析】根据一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，而四棱锥最多只有5个面，则截面形状不可能的是六边形，故选D.5．（多选题）给出下列命题，其中假命题是（）A.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；B.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；C.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；D.棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形.【答案】ABD【解析】对于A，棱柱的侧面不一定全等，故错误；对于B，由棱台的定义可知只有当平面与底面平行时，所截部分才是棱台，故错误；对于C，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直，比如正方体中共点的三个相邻平面，故正确；对于D，棱台的侧面不一定是等腰三角形，故错误；故选ABD .6．（多选题）正方体的截面可能是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．菱形D．正六边形【答案】CD【解析】 如图所示截面为三角形ABC ，OA =a ，OB =b ，OC =c ，∴222222222,,AC a c AB a b BC b c =+=+=+， ∴222202AB AC BC cos CAB AB AC +-∠==>⋅ ∴∠CAB 为锐角，同理∠ACB 与∠ABC 也为锐角，即△ABC 为锐角三角形，∴正方体的截面若是三角形，则一定是锐角三角形，不可能是钝角三角形和直角三角形，A 、B 错误；若是四边形，则可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形、正方形，但不可能是直角梯形，C 正确；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，如图为正六边形，故若是六边形，则可以是正六边形，D 正确.故选：CD .二、填空题7．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm ，则每条侧棱长为________cm.【答案】12【解析】该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，∴每条侧棱长为12 cm.8.如图，M 是棱长为2 cm 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，沿正方体表面从点A 到点M 的最短路程是________cm.【答案】 13【解析】 由题意，若以BC 为轴展开，则A ，M 两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm ，3 cm ，故两点之间的距离是13 cm.若以BB 1为轴展开，则A ，M 两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1，4，故两点之间的距离是17cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.9.下列说法中正确的为________（填序号）.（1）棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形：（2）各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；（3）正棱锥的侧面是等边三角形；（4）有两个面互相平行，其余各面都是等腰梯形的几何体是棱台.【答案】（1）【解析】（1）正确，由棱柱定义可知，棱柱的侧棱相互平行且相等，所以侧面均为平行四边形；（2）不正确，上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体；（3）不正确，正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形；（4）不正确，用反例去检验，如图，显然错误图.故答案为：（1）10.一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．【答案】5 6 9【解析】面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．三、解答题11．如图所示是一个三棱台ABC－A′B′C′，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．【答案】见解析【解析】过A′，B，C三点作一个平面，再过A′，B，C′作一个平面，就把三棱台ABC －A′B′C′分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A′－ABC，B－A′B′C′，A′－BCC′.(答案不唯一)12.如图在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A ，B ，C 重合，重合后记为点P .问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a ，则每个面的三角形面积为多少？【答案】（1）三棱锥 （2）见解析【解析】(1)如图折起后的几何体是三棱锥．(2)S △PEF ＝12a 2，S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2， S △DEF ＝32a 2.《8.1 基本几何图形》同步练习第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球一、选择题1．下列命题中，正确的是（ ）①在圆柱上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④ 2．圆柱体被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面展开图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知圆柱的轴截面是正方形，其面积为Q ，则它的一个底面的面积为（ ）A ．QB ．Q πC ．4Q πD ．2Q π 4．下列平面图形中，通过围绕定直线l 旋转可得到如图所示几何体的是( )A ．B ．C ．D ．5．（多选题）下列说法中正确的是（ ）A ．正棱锥的所有侧棱长相等B ．圆柱的母线垂直于底面C ．直棱柱的侧面都是全等的矩形D ．用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形6．（多选题）下列结论中错误的是（ ）A ．半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球B ．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥C ．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体D ．圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台二、填空题7．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的.现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是______.（填序号）8．下列命题中正确的是________（填序号）.①以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周所得到的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周所得到的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，将等腰三角形旋转一周形成的几何体是圆锥；⑤半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；⑥用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.9.如图是一个几何体的表面展开图形，则这个几何体是 ．10.一个半径为5 cm 的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm ，则截面圆半径为 cm ，面积为 cm 2.三、解答题9．如图，四边形ABCD 为直角梯形，试作出绕其各条边所在的直线旋转所得到的几何体.10．一个圆台的母线长为12cm ，两底面面积分别为24cm π和225cm π．（1）求圆台的高；（2）求截得此圆台的圆锥的母线长．《8.1 基本几何图形》同步练习及答案解析第2课时圆柱、圆锥、圆台、球一、选择题1．下列命题中，正确的是（）①在圆柱上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．A．①②B．②③C．②④D．③④【答案】C【解析】①：若上下底面各取的点的连线能平行于轴，则是母线，反之则不是，错误；②：母线的定义，显然正确；③：圆台可看做是由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到的，根据圆锥母线的定义可知错误；④圆柱的母线都平行于轴，故也相互平行，正确；只有②④两个命题是正确的.故选C.2．圆柱体被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面展开图是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】结合几何体的实物图，从截面最低点开始高度增加缓慢，然后逐渐变快，最后增加逐渐变慢，不是均衡增加的，所以A，B，C错误.故选：D.3．已知圆柱的轴截面是正方形，其面积为Q ，则它的一个底面的面积为（ ）A ．QB ．Q πC ．4Q πD ．2Q π 【答案】C【解析】圆柱的轴截面一边为高，另一边为底面的直径，由轴截面为正方形可知，高与，所以底面的面积为2ππ4Q ⋅=⎝⎭. 4．下列平面图形中，通过围绕定直线l 旋转可得到如图所示几何体的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】A.是一个圆锥以及一个圆柱; C.是两个圆锥; D. 一个圆锥以及一个圆柱;所以选B.5．（多选题）下列说法中正确的是（ ）A ．正棱锥的所有侧棱长相等B ．圆柱的母线垂直于底面C ．直棱柱的侧面都是全等的矩形D ．用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形【答案】ABD【解析】对于A ,根据正棱锥的定义知,正棱锥的所有侧棱长相等,故A 正确；对于B ,根据圆柱是由矩形绕其一边旋转而成的几何体,可知圆柱的母线与底面垂直,故B 正确；对于C ,直棱柱的侧面都是矩形,但不一定全等,故C 错误；对于D ,圆锥的轴截面是全等的等腰三角形,故D 正确.故选:ABD 。
部编版高中数学必修二第八章立体几何初步真题
(名师选题)部编版高中数学必修二第八章立体几何初步真题单选题1、在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6 答案：D分析：平移直线AD 1至BC 1，将直线PB 与AD 1所成的角转化为PB 与BC 1所成的角，解三角形即可.如图，连接BC 1,PC 1,PB ，因为AD 1∥BC 1，所以∠PBC 1或其补角为直线PB 与AD 1所成的角，因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以BB 1⊥PC 1，又PC 1⊥B 1D 1，BB 1∩B 1D 1=B 1，所以PC 1⊥平面PBB 1，所以PC 1⊥PB ，设正方体棱长为2，则BC 1=2√2,PC 1=12D 1B 1=√2，sin∠PBC 1=PC 1BC 1=12，所以∠PBC 1=π6. 故选：D2、正方体中，点P ，O ，R ，S 是其所在棱的中点，则PQ 与RS 是异面直线的图形是（ ）A．B．C．D．答案：C分析：对于A，B，D，利用两平行线确定一个平面可以证明直线PQ与RS共面，对于C，利用异面直线的定义推理判断作答．对于A，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，连接AC，A1C1，则AC//A1C1，如图，因为点P，Q，R，S是其所在棱的中点，则有PQ//AC，RS//A1C1，因此PQ//RS，则直线PQ与RS共面，A错误；对于B，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，连接AC，QS，PR，如图，因为点P，Q，R，S是其所在棱的中点，有AP//CR且AP=CR，则四边形APRC为平行四边形，即有AC//PR，又QS//AC，因此QS//PR，直线PQ与RS共面，B错误；对于C，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，如图，因为点P，Q，R，S是其所在棱的中点，有RS//BB1，而BB1⊂平面ABB1A1，RS⊄平面ABB1A1，则RS//平面ABB1A1，PQ⊂平面ABB1A1，则直线PQ与RS无公共点，又直线PQ与直线BB1相交，于是得直线PQ与RS不平行，则直线PQ与RS是异面直线，C正确；对于D，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，连接A1B，D1C，PS，QR，如图，因为A1D1//BC且A1D1=BC，则四边形A1D1CB为平行四边形，有A1B//D1C，因为点P，Q，R，S是其所在棱的中点，有PS//A1B，QR//D1C，则PS//QR，直线PQ与RS共面，D错误.故选：C3、下面四个选项中一定能得出平面α/⁄平面β的是（）A．存在一条直线a，a//α，a//βB．存在一条直线a，a⊂α，a//βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a//β，b//αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a//β，b//α答案：D分析：对于A，B，C，举出符合条件的特例即可判断；对于D，过直线a作平面γ∩β=c，再证c//α即可. 如图，ABCD−A1B1C1D1是长方体，平面ABCD为平面α，平面ABB1A1为平面β，对于A，直线C1D1为直线a，显然a//α，a//β，而α与β相交，A不正确；对于B，直线CD为直线a，显然a⊂α，a//β，而α与β相交，B不正确；对于C，直线CD为直线a，直线A1B1为直线b，显然a⊂α，b⊂β，a//β，b//α，而α与β相交，C不正确；对于D，因a，b是异面直线，且a⊂α，b⊂β，过直线a作平面γ∩β=c，如图，则c//a，并且直线c与b必相交，而c⊄α，于是得c//α，又b//α，即β内有两条相交直线都平行于平面α，⁄平面β.因此，平面α/故选：D4、某正方体被截去部分后得到的空间几何体的三视图如图所示，则该空间几何体的体积为（）A ．132B ．223C ．152D ．233答案：C分析：根据几何体的三视图，可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥，根据三棱锥的体积公式即可求解．解：根据几何体的三视图，该空间几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥，由图示可知，该空间几何体体积为V =23−(13×12×12×1+13×12×12×2)=152，故选：C.5、已知直线a 与平面α,β,γ，能使α//β的充分条件是（ ）①α⊥γ,β⊥γ ②α//γ,β//γ ③a //α,a //β ④a ⊥α,a ⊥βA ．①②B ．②③C ．①④D ．②④答案：D解析：根据线面的平行关系，结合相关性质，逐个分析判断即可得解.对①，若α⊥γ,β⊥γ，垂直于同一个平面的两个平面可以相交，故①错误；对②，若α//γ,β//γ，则α//β，平面的平行具有传递性，故②正确；对③，若a //α,a //β，平行于同一直线的两平面可以相交，故③错误；对④，a ⊥α,a ⊥β，垂直于同一直线的两平面平行，故④正确.综上：②④正确，故选：D.6、已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是一个圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为（）A．√23πB．2√23πC．πD．√2π答案：B分析：根据弧长计算公式，求得底面圆半径以及圆锥的高，即可求得圆锥的体积.设圆锥的底面圆半径为r，故可得2πr=2π3×3，解得r=1，设圆锥的高为ℎ，则ℎ=√32−12=2√2，则圆锥的体积V=13×πr2×ℎ=13×π×2√2=2√23π.故选：B.7、如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为（）A．18πB．20πC．22π3D．26π答案：A分析：由题意可知该几何体的体积是由半球的表面积加上圆柱的侧面积，再加上圆的面积即可解：由题意得，球的半径R=2，圆柱的底面半径r=1，高ℎ=3，则该几何体的表面积为S=2πR2+πR2+2πrℎ=8π+4π+2π×1×3=18π故选：A.8、若直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，则直线a与直线b的位置关系为（）A．异面B．相交C．平行D．平行或异面答案：C解析：利用线面垂直的性质定理进行判断.由于垂直于同一平面的两直线平行，故当直线a⊥平面α，直线b⊥平面α时，直线a与直线b平行.故选：C.多选题9、《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖膈”．如图在堑堵ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，且AA1=AB=2．下列说法正确的是（）A．四棱锥B−A1ACC1为“阳马”B．四面体A1C1CB为“鳖膈”C．四棱锥B−A1ACC1体积最大为23D．过A点分别作AE⊥A1B于点E，AF⊥A1C于点F，则EF⊥A1B答案：ABD分析：根据“阳马”和“鳖膈”的定义，可判断A，B的正误；当且仅当AC=BC时，四棱锥B−A1ACC1体积有最大值，求值可判断C的正误；根据题意可证A1B⊥平面AEF，进而判断D的正误.底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，∴在堑堵ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，侧棱AA1⊥平面ABC，A选项，∴AA1⊥BC，又AC⊥BC，且AA1∩AC=A，则BC⊥平面A1ACC1，∴四棱锥B−A1ACC1为“阳马”，对；B选项，由AC⊥BC，即A1C1⊥BC，又A1C1⊥C1C且BC∩C1C=C，∴A1C1⊥平面BB1C1C，∴A1C1⊥BC1，则△A1BC1为直角三角形，又由BC⊥平面AA1C1C，得△A1BC为直角三角形，由“堑堵”的定义可得△A1C1C为直角三角形，△CC1B为直角三角形．∴四面体A1C1CB为“鳖膈”，对；C选项，在底面有4=AC2+BC2≥2AC⋅BC，即AC⋅BC≤2，当且仅当AC=BC=√2时取等号，V B−A1ACC1=13S A1ACC1×BC=13AA1×AC×BC=23AC×BC≤43，错；D选项，因为BC⊥平面AA1C1C，则BC⊥AF，AF⊥A1C且A1C∩BC=C，则AF⊥平面A1BC，∴AF⊥A1B，又AE⊥A1B且AF∩AE=A，则A1B⊥平面AEF，所以则A1B⊥EF，对；故选：ABD．10、在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则下列命题正确的是（）A．异面直线C1P和CB1所成的角为定值B．直线CD和平面BPC1相交C．三棱锥D−BPC1的体积为定值D．直线CP和直线A1B可能相交答案：AC解析：A：由正方体的性质判断B1C⊥平面ABC1D1，得出B1C⊥C1P，异面直线C1P与CB1所成的角为90°；B：由CD//AB，证明CD//平面ABC1D1，即得CD//平面BPC1；C：三棱锥D−BPC1的体积等于三棱锥的体积P−DBC1的体积，判断三棱锥D−BPC1的体积为定值；D：可得直线CP和直线A1B为异面直线.对于A，因为在正方体ABCD−A1B1C1D1中，B1C⊥BC1，B1C⊥C1D1，又BC1∩C1D1=C1，BC1，C1D1⊂平面ABC1D1，所以B1C⊥平面ABC1D1，而C1P⊂平面ABC1D1，所以B1C⊥C1P，故这两个异面直线所成的角为定值90°，所以A正确；对于B，因为平面BPC1与面ABC1D1是同一平面，DC//AB，AB⊂平面ABC1D1，CD⊂平面ABC1D1，故CD//平面ABC1D1，即CD//平面BPC1，故B错误；对于C，三棱锥D−BPC1的体积等于三棱锥P−DBC1的体积，而平面DBC1为固定平面，且△DBC1大小一定，又因为P∈AD1，因为AD1//BC1，AD1⊂平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，所以AD1//平面DBC1，所以点A到平面DBC1的距离即为点P到该平面的距离，为定值，所以三棱锥D−BPC1的体积为定值，故C正确；对于D，直线CP和直线A1B是异面直线，不可能相交，故D错误.故选：AC.分析：本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定及性质，异面直线所成的角，直线与平面所成的角，空间中的距离，正确理解判定定理和性质是解题的关键.11、已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的是（）A．PB⊥BCB．PD⊥CDC．PD⊥BDD．PA⊥BD答案：ABD分析：由PA⊥矩形ABCD，得PA⊥BD，若PD⊥BD，则BD⊥平面PAD，又BA⊥平面PAD，则过平面外一面有两条直线与平面垂直，不成立，故PD⊥BD不正确．解：∵PA⊥矩形ABCD，BD⊂矩形ABCD，∴PA⊥BD，故D正确．若PD⊥BD，则BD⊥平面PAD，又BA⊥平面PAD，则过平面外一面有两条直线与平面垂直，故PD⊥BD不正确，故C不正确；∵PA⊥矩形ABCD，∴PA⊥CD，AD⊥CD，∴CD⊥平面PAD，∴PD⊥CD，故B正确；∵PA⊥矩形ABCD，∴由三垂线定理得PB⊥BC，故A正确；故选：ABD．填空题12、已知三棱柱ABC−A1B1C1中，棱长均为2，顶点A1在底面ABC上的射影恰为AB的中点D，E为AC的中点，则直线BE与直线AB1所成角的余弦值为________．答案：34 分析：根据三棱柱性质与题中的中点条件，可将所求直线BE 与直线AB 1所成角的余弦值转化为求直线GB 1与直线AB 1所成角的余弦值，那么就要通过多次转化最终求得△AGB 1中三边长，然后直接在△AGB 1中运用余弦定理即可.如图，取A 1C 1中点G ，连接B 1G,AG,AE,DE,GE ,由三棱柱的性质易证得GE //BB 1,GE =BB 1,所以四边形GEBB 1为平行四边形，所以GB 1//BE ,所以下面即求直线GB 1与直线AB 1所成角的余弦值.由题意知，A 1D ⊥平面ABC ,因为AB,DE ⊂平面ABC ,所以A 1D ⊥AB,A 1D ⊥DE ，在Rt △AA 1D 中，AA 1=2,AD =12AB =1,∠A 1DA =90°,求得A 1D =√3,∠A 1AD =60°.所以在菱形AA 1B 1B 中，AB 1=2ABcos30°=2√3.在Rt △A 1DE 中，∠A 1DE =90°,A 1D =√3,DE =12BC =1,求得A 1E =2.所以在△A 1AE 中，根据余弦定理得cos∠A 1AE =AA 12+AE 2−A 1E 22AE⋅AA 1=14,所以cos∠AA 1G =cos(π−∠A 1AE)=−14. 在△A 1AG 中根据余弦定理得AG 2=AA 12+A 1G 2−2AA 1⋅A 1Gcos∠AA 1G,AG =√6.在△AGB 1中，AG =√6,AB 1=2√3,GB 1=√3,根据余弦定理得cos∠GB 1A =GB 12+AB 12−AG 22GB 1⋅AB 1=34, 所以直线GB 1与直线AB 1所成角的余弦值为34，即直线BE 与直线AB 1所成角的余弦值为34.故答案为:34。
高中数学第一章立体几何初步1.2.3.1直线与平面垂直练习(含解析)新人教B版必修2
第1课时直线与平面垂直线面垂直的概念(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行．( )(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．( )(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．( )(4)过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．( )(5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．( )答案(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√解析(1)直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系有两种：①平行，②异面，∴该命题应打“×”．(2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系．若为平行，则该命题应打“×”；若为相交，则该命题应打“√”，正是因为这两种情况可能同时具备，因此，不能说明面内这无数条线的位置关系，∴该命题应打“×”．(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该直线必垂直于三角形的第三边，∴该命题应打“√”．(4)前面介绍了两个命题，①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点A垂直于直线a的平面唯一，因此，过点A且与直线a垂直的直线都在过点A且与直线a垂直的平面内，∴该命题应打“√”．(5)三条共点直线两两垂直，设为a，b，c且a，b，c共点于O，∵a⊥b，a⊥c，b∩c＝O，且b，c确定一平面，设为α，则a⊥α，同理可知b垂直于由a，c确定的平面，c垂直于由a，b确定的平面．∴该命题应打“√”．2．若直线l不垂直于平面α，那么平面α内( )A ．不存在与l 垂直的直线B ．只存在一条与l 垂直的直线C ．存在无数条直线与l 垂直D ．以上都不对答案 C解析 直线与平面不垂直也可以垂直于平面内的无数条直线，不过它们都是平行直线，不能是相交直线．线面垂直的判定3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点，O为底面ABCD 的中心，求证：B 1O⊥平面PAC ． 证明 如图所示，连接AB 1，CB 1，B 1D 1，PB 1，PO ．设AB ＝a ，则AB 1＝CB 1＝B 1D 1＝2a ，AO ＝OC ＝22a ， 在正方形中，AC⊥平面DBB 1D 1，B 1O ⊂平面DBB 1D 1，所以B 1O⊥AC．因为B 1O 2＝OB 2＋BB 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＋a 2＝32a 2， PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋(2a)2＝94a 2． OP 2＝PD 2＋DO 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＝34a 2， 所以B 1O 2＋OP 2＝PB 21，所以B 1O⊥OP．又PO∩AC＝O ，所以B 1O⊥平面PAC ． 线面垂直的性质m的位置关系是( )A．平行 B．异面 C．相交 D．垂直答案 A解析因为直线l垂直于△ABC的边AB和AC，所以l垂直于平面ABC，同理可证，m垂直于平面ABC，根据线面垂直的性质定理得l∥m．5．已知点P是△ABC所在平面外一点，点P与AB，AC，BC的距离相等，且点P在△ABC 上的正投影O在△ABC内，则点O一定是△ABC的( )A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心答案 A解析如图所示，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，分别交AB，AC，BC于点D，E，F．点O 是点P在平面ABC内的正投影，连接OD，OE，OF．因为点P到AB，AC，BC的距离相等，且PO⊥平面ABC，所以PD＝PE＝PF，PO＝PO＝PO，∠POD＝∠POE＝∠POF＝90°，所以△POD≌△POE≌△POF，所以OD＝OE＝OF．因为PO⊥AB，PD⊥AB且PD∩PO＝P，所以AB⊥平面POD，所以AB⊥OD．同理可得OF⊥BC，OE⊥AC．又因为OD＝OE＝OF，所以点O到三角形三边的距离相等，故点O为三角形ABC的内心．一、选择题1．三条直线两两垂直，下列四个命题：①这三条直线必共点；②其中必有两条直线不同在任一平面内；③三条直线不可能在同一平面内；④其中必有两条直线在同一平面内．其中真命题的个数是( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个答案 B解析三条直线两两垂直的情况共有三种：(1)三条直线都不相交，此时任意两条都不在同一平面内；(2)三条直线中只有两条相交，此时这两条在同一平面内；(3)三条直线过同一点，此时这三条直线中任意两条都在同一平面内，但这三条直线不在同一平面内．只有命题③是真命题．故正确答案是B．2．如图所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折起，使点G1，G2，G3重合，重合后的点记为G，那么下列结论成立的是( )A．SD⊥平面EFG B．SG⊥平面EFGC．GF⊥平面SEF D．GD⊥平面SEF答案 B解析折起后，SG⊥GE，SG⊥GF，而GF∩GE＝G，∴SG⊥平面EFG．3．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．其中真命题的序号是( )A．①② B．②③ C．①④ D．③④答案 C解析由平行公理可知①正确；②不正确，若三条直线在同一平面内，则a∥c；③不正确，a与b有可能平行，也有可能异面或相交；由线面垂直的性质可知④正确．4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是( )A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连线的线段D．BC中点与B1C1中点连线的线段答案 A解析 由BD 1⊥AC，BD 1⊥AB 1，得BD 1⊥平面AB 1C ，又AP⊥BD 1，得P∈面AB 1C∩面BB 1C 1C ＝B 1C ．5．P 为△ABC 所在平面外的一点，且PA ，PB ，PC 两两垂直，则下列命题，其中正确的个数是( )①PA⊥BC；②AB⊥BC；③P 在平面ABC 上的射影为△ABC 的垂心；④P 在平面ABC 上的射影为△ABC 的内心．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 B解析 PA⊥PB，PA⊥PC ⇒PA⊥平面PBC ，∴PA⊥BC，即①为真；同理PC⊥AB，若AB⊥BC，则AB⊥平面PBC ，PA∥AB，矛盾，即②为假命题；设P 在平面ABC 上的射影为H ，易证AH⊥BC，BH⊥AC，CH⊥AB，即③为真，④为假．二、填空题6．如图，PC⊥平面ABC ，PC ＝12，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝6，BC ＝8，则P 到直线AB 的距离是________．答案 12295解析 过C 作CD⊥AB 于D ，连接PD ．∵PC⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴PC⊥AB，又PC∩CD ＝C ，∴AB⊥平面PCD ，∵PD ⊂平面PCD ，∴PD⊥AB．∴PD 的长即为P 到直线AB 的距离．在Rt△PCD 中，CD ＝6×862＋82＝245， ∴PD＝PC 2＋CD 2＝ 122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2452＝12295． 7．如图所示，已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a ，PA⊥平面ABCD ，若在BC 上只有一个点Q 满足PQ⊥QD，则a 的值等于________．答案 2解析∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QD，又∵PQ⊥QD，∴QD⊥平面PAQ．∴AQ⊥QD，即Q在以AD为直径的圆上，当圆与BC相切时，点Q只有一个，故BC＝2AB＝2．8．如图所示，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB为⊙O的直径，C是⊙O上异于A，B的点，则△PAB，△PAC，△PBC，△ABC中，直角三角形的个数是________．答案 4解析∵PA⊥⊙O所在的平面，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，∴△P AB，△PAC为直角三角形．又AB为圆的直径，C在圆周上，∴AC⊥BC，∴△ABC为直角三角形．∵PA⊥BC，AC⊥BC，AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴△PBC为直角三角形．三、解答题9．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC于D，求证：AD⊥平面SBC．证明∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC．又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC．又AC∩SA＝A，∴BC⊥平面SAC．∵AD⊂平面SAC，∴BC⊥AD．又SC⊥AD，SC∩BC＝C，∴AD⊥平面SBC．10．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，AB＝a．(1)求证：A1D⊥B1C1；(2)判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论．解(1)证明：∵点D是正三角形ABC中BC边的中点，∴AD⊥BC．又∵A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥BC．于是BC⊥平面A1AD，从而A1D⊥BC．由BC∥B1C1，得A1D⊥B1C1．(2)直线A1B∥平面ADC1．证明如下：如图，设A1C交AC1于点F，则F为A1C的中点．连接DF．∵D是BC的中点，∴DF∥A1B．又∵DF⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1．。
高中数学第八章立体几何初步8.6.3平面与平面垂直一同步练习含解析新人教A版必修第二册
课时素养评价三十二平面与平面垂直(一)(15分钟30分)1.设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β(A.若l⊥β,则α⊥βB.若α⊥β,则l⊥mC.若l∥β,则α∥βD.若α∥β,则l∥m【解析】选A.因为l⊥β,l⊂α,所以α⊥β(面面垂直的判定定理),故A正确.【补偿训练】已知直线a,b与平面α,β,γ,下列能使α⊥β成立的条件是(A.α⊥γ,β⊥γB.α∩β=a,b⊥a,b⊂βC.a∥β,a∥αD.a∥α,a⊥β【解析】选D.由a∥α,知α内必有直线l与a平行.而a⊥β,所以l⊥β,所以α⊥β.2.如图所示,定点A和B都在平面α内,定点P∉α,PB⊥α,C是平面α内异于A和B的动点,且PC⊥AC,则△ABC为(A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定【解析】选B.由PB⊥α,得PB⊥AC,又PC⊥AC,且PB∩PC=P,故AC⊥平面PBC,所以AC⊥BC,则△ABC为直角三角形.3.一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的大小关系为( A.相等 B.互补C.相等或互补D.不确定【解析】选D.如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,E,F分别是CD,C1D1的中点,二面角D -AA1-E与二面角B1-AB-D 的两个半平面就是分别对应垂直的,但是这两个二面角既不相等,也不互补.4.在正方体ABCD -A1B1C1D1中,E是CC1的中点,则平面EBD与平面AA1C1C的位置关系是.(填“垂直”“不垂直”其中的一个)【解析】如图,在正方体中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BD.又AC⊥BD,CC1∩AC=C,所以BD⊥平面AA1C1C.又BD⊂平面EBD,所以平面EBD⊥平面AA1C1C.答案:垂直5.以等腰直角三角形斜边上的高为棱,把它折成直二面角,则折叠后原等腰直角三角形两条直角边的夹角为.【解析】如图所示,是等腰直角三角形ABC以斜边AB上的高CD为棱,折成直二面角后的图形,折叠后AD⊥CD,BD⊥DC,∠ADB即所成二面角的平面角,故∠ADB=90°.设AD=a,则有BD=CD=a,所以AB=AC=BC=a,所以△ABC是等边三角形,所以折叠后原等腰直角三角形两条直角边AC,BC的夹角为60°.答案:60°6.(2020·合肥高一检测)如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,(1)求证:DB1⊥AC;(2)求证:平面A1B1CD⊥平面ACD1.【证明】(1)连接BD、B1D1,因为DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以DD1⊥AC,又AC⊥BD,BD∩DD1=D,BD、DD1⊂平面DBB1D1,所以AC⊥平面DBB1D1,又DB1⊂平面DBB1D1,所以DB1⊥AC.(2)由(1)同理可得DB1⊥AD1,又AD1∩AC=A,AD1,AC⊂平面ACD1,所以DB1⊥平面ACD1,又DB1⊂平面A1B1CD,所以平面A1B1CD⊥平面ACD1.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:β∩γ=l,l∥α,m⊂α和m⊥γ,那么必有(A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ【解析】选A.B错,有可能m与β相交;C错,有可能m与β相交;D错,有可能α与β相交.2.如图,AB是圆的直径,PA⊥AC,PA⊥BC,C是圆上一点(不同于A,B),且PA=AC,则二面角P-BC -A的平面角为(A.∠PACB.∠CPAC.∠PCAD.∠CAB【解析】选C.因为AB为圆的直径,所以AC⊥BC.因为PA⊥BC,AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC.所以BC⊥PC.所以∠PCA为二面角P-BC -A的平面角.3.如图,在四棱锥S -ABCD中,底面ABCD为正方形,SA⊥平面ABCD,AC与BD相交于点O,点P是侧棱SC上一动点,则一定与平面PBD垂直的平面是(A.平面SABB.平面SACC.平面SCDD.平面ABCD【解析】选B.因为在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,所以BD⊥AC.因为SA⊥平面ABCD,所以SA⊥BD.因为SA∩AC=A,所以BD⊥平面SAC.因为BD⊂平面PBD,所以平面PBD⊥平面SAC.4.将锐角A为60°,边长为a的菱形沿BD折成60°的二面角,则折叠后A与C之间的距离为(A.aB. aC. aD. a【解析】选C.设折叠后点A到A1的位置,取BD的中点E,连接A1E,CE.则BD⊥CE,BD⊥A1E.于是∠A1EC为二面角A1-BD -C的平面角.故∠A1EC=60°.因为A1E=CE,所以△A1EC是等边三角形.所以A1E=CE=A1C= a.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面ABCD为菱形,M是PC上的一个动点,若要使得平面MBD⊥平面PCD,则应补充的一个条件可以是(A.MD⊥MBB.MD⊥PCC.AB⊥ADD.BM⊥PC【解析】选BD.连接AC,BD,BM,MD.因为在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,所以BD⊥PA,BD⊥AC,因为PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,所以BD⊥PC.所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD.而PC属于平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD.6.(2020·抚顺高一检测)已知正方形ABCD的边长为2,若将正方形ABCD沿对角线BD折叠为三棱锥A-BCD,则在折叠过程中,能出现(A.BD⊥ACB.平面ABD⊥平面CBDC.V A-CBD=D.AB⊥CD【解析】选ABC.设正方形中心为O,则BD⊥OC,BD⊥OA,且OC∩OA=O,所以BD⊥平面AOC,所以BD⊥AC,故A正确;因为∠AOC为二面角A-BD -C的平面角,所以当∠AOC=时,平面ABD⊥平面CBD,故B正确;当∠AOC=时,V A-BCD取得最大值为S△BCD·OA=×2×=,所以三棱锥A-BCD的体积的取值范围是,故C正确;若AB⊥CD,又BC⊥CD,则CD⊥平面ABC,所以CD⊥AC,所以AD>CD,显然这与AD=CD矛盾,故AB与CD不垂直.三、填空题(每小题5分,共10分)7.如图,二面角α-l-β的大小是60°,线段AB⊂α,B∈l,AB与l所成的角为30°,则AB与平面β所成的角的正弦值是.【解析】如图,作AO⊥β于O,AC⊥l于C,连接OB,OC,则OC⊥l.设AB与β所成的角为θ,则∠ABO=θ,由图得sin θ==·=sin 30°·sin 60°=.答案:8.如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是(填序号).①PB⊥AD;②平面PAB⊥平面PAE;③BC∥平面PAE;④直线PD与平面ABC所成的角为45°.【解析】因为AD∥BC,PB与BC不垂直,故PB与AD不垂直,①不正确;由PA⊥AB,AE⊥AB,PA∩AE=A,得AB⊥平面PAE,因为AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAE,②正确;延长CB,EA,两者相交,因此BC与平面PAE相交,③不正确;由于PA⊥平面ABC,所以∠PDA 就是直线PD与平面ABC所成的角,由PA=2AB,AD=2AB,得PA=AD,所以∠PDA=45°,④正确.答案:②④四、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在长方体ABCD -A1B1C1D1中,BC=2,AA1=1,E,F分别在AD和BC上,且EF∥AB.若二面角C1-EF-C等于45°,求BF的值.【解析】因为AB⊥平面BC1,C1F⊂平面BC1,CF⊂平面BC1,所以AB⊥C1F,AB⊥CF.又EF∥AB,所以C1F⊥EF,CF⊥EF,所以∠C1FC是二面角C1-EF-C的平面角,即∠C1FC=45°.所以△FCC1是等腰直角三角形,所以CF=CC1=AA1=1.又BC=2,所以BF=BC-CF=2-1=1.10.(2020·新乡高一检测)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠CDA=90°,PA⊥平面ABCD,PA=AD=DC=1,AB=2.(1)证明:平面PAC⊥平面PBC;(2)求点D到平面PBC的距离.【解析】(1)由已知得AC==,BC==,AB=2,所以AC2+BC2=AB2,所以BC⊥AC,因为PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以PA⊥BC,因为PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,因为BC⊂平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC.(2)由(1)得BC⊥平面PAC,BC⊥AC,BC=,所以PC==,设点D到平面PBC的距离为d,因为V P-BCD=V D -PBC,所以××DC×AD×PA=××PC×BC×d,所以××1×1×1=××××d,解得d=,所以点D到平面PBC的距离为.1.如图,在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则在三棱锥P-ABC的四个面中,互相垂直的面有对.【解析】因为PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P,所以PA⊥平面PBC.因为PA⊂平面PAB,PA⊂平面PAC,所以平面PAB⊥平面PBC,平面PAC⊥平面PBC.同理可证平面PAB⊥平面PAC.答案:32.如图,在三棱台DEF-ABC中, AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.(1)求证:BD∥平面FGH;(2)若CF⊥BC,AB⊥BC,求证:平面BCD⊥平面EGH.【证明】(1)如图所示,连接DG,设CD∩GF=M,连接MH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,所以AC=2DF.因为G是AC的中点,所以DF∥GC,且DF=GC,所以四边形CFDG是平行四边形,所以DM=MC.因为BH=HC,所以MH∥BD.又BD⊄平面FGH,MH⊂平面FGH,所以BD∥平面FGH.(2)因为G,H分别为AC,BC的中点,所以GH∥AB.因为AB⊥BC,所以GH⊥BC.又H为BC的中点,所以EF∥HC,EF=HC,所以四边形EFCH是平行四边形,所以CF∥HE.因为CF⊥BC,所以HE⊥BC.又HE,GH⊂平面EGH,HE∩GH=H,所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD, 所以平面BCD⊥平面EGH.。
高中数学 第八章 立体几何初步 8.6.2 直线与平面垂直(一)同步练习(含解析)新人教A版必修第
学习资料课时素养评价三十直线与平面垂直(一)（15分钟30分）1。
已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( ）A.α∥β,且m⊂α B.m∥n,且n⊥βC.m⊥n，且n⊂βD。
m⊥n,且n∥β【解析】选B。
A中,由α∥β，且m⊂α，知m∥β;B中,由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n,知m也垂直于β内的任意直线,所以m⊥β，B符合题意;C，D中,m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意。
2.若斜线段AB是它在平面α内射影长的2倍,则AB与平面α所成角的大小为（）A.60°B.45°C.30°D.90°【解析】选A。
斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形。
如图所示,∠ABO即是斜线段与平面所成的角。
又AB=2BO,所以cos ∠ABO==，所以∠ABO=60°.3.若三条直线OA,OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于（A.平面OABB.平面OACC.平面OBC D。
平面ABC【解析】选C。
因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC=O，OB,OC⊂平面OBC，所以OA⊥平面OBC.4.如图所示,在正方体ABCD —A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M,N分别是棱DD1,D1C1的中点，则平面AB1C,平面ACC1A1，平面OCN，平面A1C1D中,与直线OM垂直的是。
【解析】因为AC⊥平面BDD1，所以AC⊥OM,同理可证B1C⊥OM,AC∩B1C=C,所以OM⊥平面AB1C;同理，OM⊥平面A1C1D。
答案：平面AB1C，平面A1C1D5.如图，在直三棱柱ABC —A1B1C1中，AB⊥AC,AB=AA1,AB1∩A1B=M。
求证：A1B⊥平面MAC.【证明】因为在直三棱柱ABC —A1B1C1中，AB⊥AC,AB=AA1,A1B∩AB1=M,所以A1B⊥AM，AC⊥AA1，因为AB∩AA1=A，所以AC⊥平面ABB1A1，所以AC⊥AB1，因为AM∩AC=A,所以A1B⊥平面MAC.（30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1.已知直线m，n是异面直线,则过直线n且与直线m垂直的平面(A.有且只有一个B.至多一个C.有一个或无数个D.不存在【解析】选B.若异面直线m，n垂直,则符合要求的平面有一个,否则不存在。
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立体几何初步时直线与平面垂直同步练习必修
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第11课时 直线与平面垂直
分层训练
1.已知a ⊥平面α, b α, 则a 与b 的位置关系是
( )
A. a a ⊥b
C. a 与b 垂直相交
D. a 与b 垂直且异面
2.下列命题中正确的是(其中a 、b 、c 为不相重合的直线, α为平面)
( )
①若b ① ② ③ ④ B. ① ④
C. ①
D. ④
3.已知直线l ⊥平面α，直线
m 平面β，有下列四个命题
(1)若α(2)和(4) D(1)和(3)
3.已知直线a
4.在四棱锥P-ABCD 中, 底面ABCD 是矩形, PA ⊥平面ABCD, 则这个多面体面是直角三角形的为______________ .
5.如图, 在正方形ABCD-A 1B 1C 1D 1中, 则BD 1与AC 的位置关系
___________ . BD 1与B 1C 的位置关系___________ . 进而可得BD 1与平
面ACB 1的关系___________ .
6.如图。
一点P 不在ΔABC 所在的平面内，O 是ΔABC 的外心，若PA=PB=PC.
求证：PO ⊥平面ABC.
A B C A 1
选修延伸
1.证明: 过一点和已知平面垂直的直线只有一条.
2．已知直线a
接ＡＯ并延长交ＢＣ于Ｄ ∵Ｏ为重心
∴ＡＤ⊥ＢＣ
而ＰＯ平面ＡＢＣ
∴ＢＣ⊥ＰＡ
7.(1) ∵ＰＡ⊥平面ABCD
而BC ⊥AB,CD ⊥AD
∴BC ⊥PB,CD ⊥PD
∴PBC, PDC 是Ｒt 。
PAB ，PAD 也是Ｒ
t
（２）∠PCA 为PC 与平面ABCD 所成
角，易求tan ∠
PCA=
2 拓展延伸
7．证明∵ＳＡ⊥平面ABCD
O
A
B P C
∴平面ＳＡＢ⊥平面ABCD
∵BC⊥AＢ
∴BC平面ＳＡＢ，ＡＥ平面ＳＡＢ∴BC⊥AＥ
∴ＳC⊥AＥ
∴BC∩ＳC＝Ｃ
又∵ＳC⊥平面ＡＥＫＨ
∴AＥ⊥ＳＢ
同理：AＨ⊥ＳＤ。