江苏省常州市第一中学2020-2021年高二上学期期中数学试题

江苏省常州市第一中学2019-2021年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，其中正确的是（ ） A ．￢p ：∀x ∈R ，使tan x ≠1 B ．￢p ：∃x ∉R ，使tan x ≠1 C ．￢p ：∀x ∉R ，使tan x ≠1D ．￢p ：∃x ∈R ，使tan x ≠12．椭圆221167x y +=的左右焦点为12F F 、，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，△ABF 2的周长为（ ） A ．32B ．16C ．8D ．43．已知数列{}n a 满足12(2)n n a a n --=≥，且134,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．2n a n =B ．210n a n =+C ．210n a n =-D ．24n a n =+4．不等式240ax ax +-<的解集为R ，则a 的取值范围为（ ） A ．[)16,0-B ．(]8,0-C ．[]8,0-D ．(]16,0-5．已知条件p ：()()30x m x m --->；条件q ：2340x x +-<，若q 是p 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(,7)(1,)-∞-+∞B ．(],7[1,)-∞-+∞C ．()7,1-D ．[]7,1-6．设12,F F 是双曲线22124y x -=的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且1234PF PF =,则12PF F △的面积等于（ ）A ．B ．C ．24D ．487．已知数列{}n a 的前n 项和为1nn S k =-，且{}n a 既不是等差数列也不是等比数列，则k 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．1-8．已知点1F ，2F 是椭圆2222x y +=的左右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12PF PF ⋅的最小值为（ ）A ．0B ．1C ．2D．9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若150S >，160S <，则11S a ，22S a ，33S a ，…，1515S a 中的最大是（ ） A ．33S aB ．55S aC ．88S aD ．1111S a 10．设椭圆22221x y a b+=的左右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2c ，点,2a Q c ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆的内部，点P 是椭圆上的动点，且1125PF PQ F F +<恒成立，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A．1,42⎛⎫⎪⎪⎝⎭B．13⎛ ⎝⎭C．132⎛ ⎝⎭D ．1,14⎛⎫⎪⎝⎭二、多选题11．已知方程22141x y t t +=--表示的曲线C ，则下列判断正确的是（ ）A ．当14t <<时，曲线C 表示椭圆；B ．当4t >或1t <时，曲线C 表示双曲线； C ．若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则512t <<； D ．若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则4t >；12．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0n S >，设2132n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，则下列判断正确的是（ ） A ．若1q =，则n n T S = B ．若2q >，则n n T S > C ．若14q =-，则n n T S > D ．若34q =-，则n n T S > 13．点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹可能是（ ） A ．圆B ．直线C ．椭圆D ．双曲线的一支三、填空题140y -=为双曲线()22210y x b b-=>的一条渐近线，则b 的值为__________．15．已知实数4，m ，9构成一个等比数列，则圆锥曲线221x y m+=的离心率为________.16．已知正数x ，y 满足212y x x +=，则1x x y +的最小值为________.17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且13a =，29k a =，其中()k k d <为常数且*k ∈N ，等比数列{}n b 的首项为1，公比为()0q q >，前n 项和为n T ，若存在正整数m ，使得23mS T S =，则q =________.四、解答题18．在直角坐标系xOy 中，设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右两个焦点分别为1F ，2F ，过右焦点2F 且与x 轴垂直的直线l 与椭圆C相交，其中一个交点为M .（1）求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 的一个顶点为(0,)B b -，直线2BF 交椭圆C 于另一点N ，求1F BN ∆的面积.19．设数列{}n a 的各项均为正数，{}n a 的前n 项和()282n n S a =+，*n ∈N（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b ，11b =，n b =（2n ≥），{}n b 的前n 项和为n T ，若n T λ<对于*n ∈N 恒成立，求λ的范围.20．如图，有一块边长为1(hm )的正方形区域ABCD ，在点A 处装有一个可转动的小摄像头，其能够捕捉到图象的角PAQ ∠始终为45°（其中点P 、Q 分别在边BC 、CD 上），设PAB θ∠=，记tan t θ=.（1）用t 表示PQ 的长度，并研究CPQ ∆的周长l 是否为定值？ （2）问摄像头能捕捉到正方形ABCD 内部区域的面积S 至多为多少？21．已知数列{}n a 的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS +=+，其中0q >，*n ∈N（1）若22a ，3a ，22a +成等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（2）设双曲线2221n y x a -=的离心率为n e ，且253e =，判断并证明：123n e e e e +++⋯+与1433n nn --的大小关系. 22．平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）左，右焦点分别为1F ，2F，且椭圆的长轴长为2x =（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 过椭圆C 的右焦点2F ，且与椭圆相交与A ，B （与左右顶点不重合） （i ）椭圆的右顶点为M ，设MA 的斜率为1k ，MB 的斜率为2k ，求12k k ⋅的值； （ii ）若椭圆上存在一点D 满足32OA OB OD +=，求直线l 的方程.参考答案1．A 【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可． 【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，￢p ：∀x ∈R ，使tan x ≠1． 故选A ． 【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题． 2．B 【分析】由椭圆的定义得1212A 2F AF BF BF a +=+=，从而得解. 【详解】由椭圆的定义可知：1212A 28F AF BF BF a +=+==.△ABF 2的周长为1212A ?16F AF BF BF +++=. 故选B. 【点睛】本题主要考查了椭圆定义的应用，属于基础题. 3．C 【解析】∵数列{}n a 满足()122n n a a n --=≥ ∴数列{}n a 是公差为2的等差数列． 又134,,a a a 成等比数列，∴2314a a a =，即1112()4(6)a a a ++=，解得18a =-．∴82(1)210n a n n =-+-=-．选C ．4．D 【分析】对a 分成0a =，0a <两种情况进行分类讨论，结合判别式，求得a 的取值范围. 【详解】当0a =时，不等式化为40-<，解集为R ，符合题意.当0a <时，一元二次不等式对应一元二次方程的判别式2160a a ∆=+<，解得160a -<<.综上所述，a 的取值范围是(]16,0-. 故选：D 【点睛】本小题主要考查二次项系数含有参数的一元二次不等式恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题. 5．B 【分析】解一元二次不等式求得条件q 中x 的范围，解一元二次不等式求得条件p 中x 的范围，根据q 是p 的充分不必要条件列不等式组，解不等式组求得m 的取值范围.【详解】对于条件q ，()()234410x x x x +-=+-<，解得41x -<<.对于条件p ，由()()30x m x m --->，解得x m <或3x m >+.由于q 是p 的充分不必要条件，所以34m +≤-或m 1≥，解得(],7[1,)m ∈-∞-+∞. 故选：B 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查根据充分不必要条件求参数的取值范围，属于中档题. 6．C 【详解】双曲线的实轴长为2,焦距为1210F F =.根据题意和双曲线的定义知1222241233PF PF PF PF PF =-=-=,所以26PF =,18PF =, 所以2221212PF PF F F +=,所以12PF PF ⊥.所以121211682422PF F SPF PF =⋅=⨯⨯=. 故选：C 【点睛】本题主要考查了焦点三角形以及椭圆的定义运用,属于基础题型. 7．A 【分析】对k 进行分类讨论，利用递推关系式，结合等差、等比数列的定义，求得k 的值. 【详解】由于1nn S k =-，所以111a S k ==-.当2n ≥时，()()()111111nn n n n n a S S k kk k ---=-=---=-⋅.当0k =时，11a =-，()02n a n =≥，此时{}n a 既不是等差数列也不是等比数列. 当1k =时，0n a =，此时数列{}n a 是等差数列，不合题意.当0,1k ≠时，()()1111nn n n k ka k a k k +--⨯==-⨯，此时数列{}n a 是等比数列，不合题意. 综上所述，k 的值为0. 故选：A 【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查等差、等比数列的定义，属于中档题. 8．A 【分析】首先根据椭圆方程求得,,a b c ，由此判断出当P 为椭圆上下顶点时，12,2PF PF π=，由此求得12PF PF ⋅的最小值. 【详解】由2222x y +=得2212x y+=，所以1a b c ===，所以当P 为椭圆上下顶点时，三角形1PF O 和三角形2PF O 都是等腰直角三角形，所以此时12,2PF PF π=，12PF PF ⋅取得最小值为0. 故选：A【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，考查向量数量积运算，属于基础题. 9．C 【分析】由题意得到890,0a a ><，由此判断出等差数列{}n a 的单调性和符号，从而判断出nnS a 中的最大值. 【详解】 依题意()()()11511615816891516150,8022a a a a S a S a a ++==>==+<，所以890,0a a ><，所以等差数列{}n a 是递减数列，故8a 是正项中的最小的，9a 是负项中的最大的，8S 是n S 的最大值，故88S a 故最大. 故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前n 项和公式，考查分析思考与解决问题的能力，属于中档题. 10．A 【分析】利用点,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆的内部，以及1125PF PQ F F +<列不等式，化简后求得椭圆的离心率的取值范围. 【详解】因为点,2a Q c ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆的内部，所以222214c aa b+<①，而222a b c =+②，，由①②得444a b <，即222a b <.所以2e =<=. 因为1125PF PQ F F +<，而122PF PF a +=，所以2210a PF PQ c -+<，即2102PQ PF c a -<-，由三角形的性质可得222aPQ PF QF -<=，因为P 是椭圆C 上的动点，且1125PF PQ F F +<恒成立，所以221022aPQ PF QF c a -<=<-，所以4a c <，即14c e a =>，所以椭圆离心率的取值范围是1,42⎛ ⎝⎭. 故选：A 【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，考查椭圆离心率的取值范围的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 11．BC 【分析】根据圆、椭圆和双曲线的定义以及标准方程，判断出正确选项. 【详解】由41t t -=-，得52t =，此时方程22141x y t t +=--表示圆，故A 选项错误.由双曲线的定义可知()()410t t --<时，即1t <或4t >时，方程22141x y t t +=--表示双曲线，故B 选项正确.由椭圆的定义可知，当椭圆焦点在x 轴上时，满足410t t ->->，解得512t <<，故C 选项正确.当曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则4010t t ->⎧⎨->⎩，解得14t <<，故D 选项不正确.综上所述，正确的选项为BC . 故选：BC 【点睛】本小题主要考查圆、椭圆和双曲线的定义和标准方程，属于基础题. 12．BD 【分析】先求得q 的取值范围，根据q 的取值范围进行分类讨论，利用差比较法比较出n T 和n S 的大小关系. 【详解】由于{}n a 是等比数列，0n S >，所以110,0a S q =>≠， 当1q =时，10n S na =>，符合题意； 当1q ≠时，()1101n n a q S q-=>-，即101nq q ->-，上式等价于1010n q q ⎧->⎨->⎩①或1010n q q ⎧-<⎨-<⎩②.解②得1q >.解①，由于n 可能是奇数，也可能是偶数，所以()()1,00,1q ∈-.综上所述，q 的取值范围是()()1,00,-+∞.2213322n n n n b a a a q q ++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以232n n T q q S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()2311222n n n n T S S q q S q q ⎛⎫⎛⎫-=⋅--=⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而0n S >，且()()1,00,q ∈-⋃+∞.所以，当112q -<<-，或2q >时，0n n T S ->，即n n T S >，故BD 选项正确，C 选项错误.当12(0)2q q -<<≠时，0n n T S -<，即n n T S <. 当12q =-或2q 时，0,n n n n T S T S -==，A 选项错误.综上所述，正确的选项为BD. 故选：BD【点睛】本小题主要考查等比数列的前n 项和公式，考查差比较法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 13．ACD 【分析】对A 点的位置进行分类讨论，结合圆、椭圆、双曲线的定义，判断出动点的轨迹. 【详解】设动点为Q ，圆C 的半径为r .当A 在圆C 内且不与圆心C 重合时，如下图所示，平面内到定圆C 的距离为QB ，到定点A 的距离为QA ，依题意QB QA =，所以QC QA QC QB r CA +=+=>，所以Q 的轨迹为椭圆.所以C 选项正确.当A 在圆C 内且与圆心C 重合时，Q 点的轨迹即为圆C .所以A 选项正确.当A 在圆C 上时，连接CA 并延长，Q 点的轨迹即为以C 为端点的射线CA ，如下图所示.当A 在圆C 外时，设B 是圆C 上任意一点，连接AB ，作线段AB 的垂直平分线DQ ，交直线BC 于Q .则QA QB =，所以QC QA QC QB r CA -=-=<，所以Q 的轨迹为双曲线的一支.所以D 选项正确.故选：ACD 【点睛】本小题主要考查动点轨迹的探究，考查圆、椭圆、双曲线的定义，考查分析、思考与解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.14【解析】由双曲线方程可得双曲线的渐近线满足：2220y x b-=，整理可得：y bx ±=，即：0bx y ±=， 则双曲线的一条渐近线为：0bx y -=，结合题意可得：b =15．6【分析】根据等比中项的性质求得m ，由此对m 进行分类讨论，求得圆锥曲线221xy m+=的离心率.【详解】由于实数4,,9m 成等比数列，所以24936m =⨯=，所以6m =±.当6m =时，2216x y +=为椭圆，c a c e a ======当6m =-时，2216x y +=-为双曲线，1,1a b c e ======.所以锥曲线221x y m +=的离心率为6.故答案为：6【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查椭圆和双曲线的离心率的求法，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.16．6+ 【分析】利用“1”的代换的方法，求得1xx y+的最小值.【详解】由212y x x +=得421y x x+=，所以1x x y +22124426y x x x y x y y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪⎪⎝⎭+ ⎝⎭+66≥+=+，当且仅当2422224,2,x y x y x y x ===，即14,28x y ==时，取得最小值.故答案为：6+ 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.17【分析】根据等差数列的性质以及已知条件，求得,k d 的值，结合23mS T S =，求得q 的值. 【详解】 依题意2121k a a d k k -=>-，即9321d k k -=>-，由于*k ∈N ，所以由9321k k ->-得()()2262230k k k k --=-+<，解得322k -<<，所以1,6k d ==，所以63n a n =-.所以236332n n S n n +-=⋅=.依题意23mS T S =，即221213q q m =++，即22410q q m ++-=，此方程有解，所以22241614130m m ⎛⎫∆=--=-≥ ⎪⎝⎭，2163m ≤，由于m 为正整数，所以1m =或2m =.注意到0q >，所以：①当1m =时，221430q q q q ++-=+-=，解得12q =. ②当2m =时，22110q q q q ++-=+=，无解.综上所述，12q =.故答案为：12【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前n 项和以及等比数列前n 项和，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.18．（1）22142x y +=； （2）83.【分析】（1）由已知易得c 值与线段MF 2的长度，在直角三角形MF 1F 2中勾股定理求出a 即可写出椭圆C 的标准方程．（2）此题可转化为求以线段为底边的两个三角形的和问题，一个三角形的高为一个为|y n |．故只须求y n 即可．【详解】（1）因为l x ⊥轴，所以2F坐标为)，所以22222211,2,a bc a b ⎧+=⎪⎨⎪=-=⎩解得224,2,a b ⎧=⎨=⎩ 所以椭圆方程为22142x y +=.（2）直线2BF的方程为y x =联立22142y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得到N的纵坐标为3.又12F F =所以11212F BN BF F NF F S S S ∆∆∆=+=1823⨯⨯=⎭. 【点睛】本题考查求椭圆的方程，及椭圆中焦点三角形的面积，是直线与椭圆位置关系中一类相对来说比较简单点的题．19．（1）42n a n =-；（2）2λ≥. 【分析】 （1）利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式.（2）利用裂项求和法求得{}n b 的前n 项和为n T ，进而利用n T 的单调性，求得λ的范围 【详解】（1）由于0n a >且()282n n S a =+①.当1n =时，()21182a a =+，记得12a =. 当2n ≥时，()21182n n S a --=+②，①-②并化简得()()1140n n n n a a a a --+--=，其中10n n a a ->+，所以140n n a a ---=，所以数列{}n a 是首项为2，公差为4的等差数列，所以42n a n =-.（2）由（1）知42n a n =-，所以224222n n S n n +-=⋅=，所以()2121n S n -=-，所以()()111211n b n n n n n====-≥--.所以 121111111122231n n T b b b n n n =+++=+-+-++-=--，由于12n-是单调递增数列，且122n-<，所以2λ≥. 【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查裂项求和法，考查数列的单调性，属于中档题.20．（1）211t PQ t+=+，2l =hm ；（2）(22hm .【分析】（1）利用已知条件求出t 的关系式，进一步求出周长为定值（2）利用关系式的恒等变换和不等式的基本性质求出结果. 【详解】 （1）设,1(01)BP t CP t t ==-≤≤，所以()145,ADtan 451tDAQ DQ tθθ︒︒-∠=-=-=+， 则：12111t tCQ t t-=-=++， 所以211t PQ t +==+ 故221111211t t l CP CQ PQ t t t t t+=++=-++=-++=++所以CPQ ∆的周长l 是定值2hm . （2）ABP ADQ S S S S ∆∆=--正方形11121212222121t t t t t -⎛⎫=--⋅=-++- ⎪++⎝⎭，当且仅当1t =时，等号成立，所以摄像头能捕捉到正方形ABCD 内部区域的面积S 至多为2-2hm .【点睛】本题主要考查了实际问题中函数解析式，均值不等式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题. ‘21．（1）12n n a ；（2）1231433n n nn e e e e ->-+++⋯+，证明见解析. 【分析】（1）利用()12n n n a S S n -=-≥，以及等差中项的性质，求得数列{}n a 的通项公式. （2）由n a 以及253e =求得n e 的表达式，比较1e 与11433--的大小关系，由此猜想1231433n n nn e e e e ->-+++⋯+，利用放缩法，结合等比数列前n 项和公式，证得不等式成立. 【详解】（1）因为11a =，11n n S qS +=+①，当1n =时，211S qS =+，即1211a a qa +=+，2a q =.当2n ≥时，11n n S qS -=+②，①-②并化简得1n n a qa .所以数列{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列，所以1n n a q-=.则23a q =.由于22a ，3a ，22a +成等差数列，，所以()322222a a a =++，即2232q q =+（0q >），解得2q.所以12n na .（2）双曲线的离心率公式为e =，所以n e ==.由253e =得()503q =>，解得43q =，故n e =.1e =，114313--=，111433e -->，所以猜想1231433n n n n e e e e ->-+++⋯+.由143n n e -⎛⎫=>= ⎪⎝⎭，所以2112314144443314333313nn n n n n e e e e --⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭+++⋯+>++++== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-得证. 【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查等差中项的性质，考查放缩法证明不等式，属于中档题.22．（1）2213x y +=;（2）（i）(153-+;（ii）0x y ±=. 【分析】（1）根据椭圆长轴长和右准线以及222a b c =+，求得,,a b c 的值，进而求得椭圆C 的方程. （2）设出直线l 的方程，联立直线l 的方程和椭圆方程，写出韦达定理. （i ）求得12,k k ，结合韦达定理求得12k k ⋅的值.（ii ）利用32OA OB OD +=求得D 点坐标，代入椭圆方程，由此求得直线l 的方程. 【详解】（1）由于椭圆的长轴长为2x =22222a a c a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得1a c b ===，所以椭圆方程为2213x y +=.（2）依题意)M.设()()1122,,,A x y B xy ，设直线l 的方程为xmy =+2213x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩消去x并化简得()22310m y ++-=，所以1223y y m +=-+，12213y y m ⋅=-+，所以()121223x x m y y m +=++=+，((1212x x my my ⋅=⋅+()212122m y y y y =++22363m m -+=+.（i ）12kk⋅==21-=(11533==-=-+.（ii ）设()00,D x y ，由32OA OB OD +=得132OA OB OD +=，即()121211220011,,,,222222x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即00x y==，代入椭圆方程得2122122132x y ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+= ⎪ ⎪⎝⎭，化简得22221122121211311143433x y x y x x y y ⎛⎫⎛⎫⎫++++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于,A B 在椭圆上，所以22221122111,133x y x y +=+=，所以上式可化为1212103x x y y +=，即22221033m m m -+-=++，即21m =，解得1m=±，所以直线l 的方程为x y=±+，即0x y ±=. 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查定值问题，考查探究性问题，考查运算求解能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.。