高二数学-高二下学期期中考试数学(理)试卷
2014-2015学年高二(下)期中数学试卷(理科)
一、填空题:(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上.)
1.若命题P:“?x∈Q,x2+2x﹣3≥0”,则命题P的否定:.
2.抛物线y=x2的准线方程是.
3.已知复数(i为虚数单位),则复数z的虚部为.
4.已知双曲线的渐近线方程为,则m=.
5.已知正三棱锥的底面边长为6,侧棱长为5,则此三棱锥的体积为.
6.用反证法证明命题:“如果a,b∈N,ab可被3整除,那么a,b中至少有一个能被3整除”时,假设的内容应为.
7.设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y﹣1=0与l2:x+(a+1)y+4=0平行”的条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
8.某同学的作业不小心被墨水玷污,经仔细辨认,整理出以下两条有效信息:①题目:“在平面直角坐标系xoy中,已知椭圆x2+2y2=1的左顶点为A,过点A作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于B,C,…”
②解:设AB的斜率为k,…点B(,),D(﹣,0),…据此,请你写出直线CD的斜率为.(用k表示)
9.已知A(3,1)、B(﹣1,2),若∠ACB的平分线在y=x+1上,则AC所在直线方程是.
10.设α,β为两个不重合的平面,m,n是两条不重合的直线,给出下列四个命题:
①若m?α,n?α,m∥β,n∥β,则α∥β;
②若n?α,m?β,α与β相交且不垂直,则n与m不垂直;
③若α⊥β,α∩β=m,m⊥n,则n⊥β;
④若m∥n,n⊥α,α∥β,则m⊥β.其中所有真命题的序号是.
11.如图所示,已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点恰好是椭圆的右焦点F,且两条曲线的交点连线也过焦点F,则该椭圆的离心率为.
12.函数f(x)=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线,则实数a的取值范围是.
13.若实数a,b,c成等差数列,点P(﹣1,0)在动直线ax+by+c=0上的射影为M,点N 坐标为(3,3),则线段
MN长度的最小值是.
14.已知函数f(x)=x﹣1﹣(e﹣1)lnx,其中e为自然对数的底,则满足f(e x)<0的x 的取值范围为.
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(14分)(2015春?淮安校级期中)已知命题P:函数y=log a(2x+1)在定义域上单调递增;命题Q:不等式(a﹣2)x2+2(a﹣2)x﹣4<0对任意实数x恒成立,若P、Q都是真命题,求实数a的取值范围.
16.(14分)(2013?越秀区校级模拟)如图,在四棱锥P‐ABCD中,四边形ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.求证:
(1)PB∥平面AEC;
(2)平面PCD⊥平面PAD.
17.(15分)(2015春?淮安校级期中)已知圆M的方程为x2+(y﹣2)2=1,直线l的方程为x﹣2y=0,点P在直线l上,过P点作圆M的切线PA,PB,切点为A,B.
(1)若∠APB=60°,试求点P的坐标;
(2)若P点的坐标为(2,1),过P作直线与圆M交于C,D两点,当CD=时,求直线CD的方程;
(3)经过A,P,M三点的圆是否经过异于点M的定点,若经过,请求出此定点的坐标;若不经过,请说明理由.
18.(15分)(2015春?淮安校级期中)现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘,在OA、OB上分别取点C、D,作DE∥OA、
CF∥OB交弧AB于点E、F,且BD=AC,现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成
如图所示的三种的养殖区域.若OA=1km,,.
(1)求区域Ⅱ的总面积;
(2)若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是15万元、20万元、10万元,记年总收入为y万元.试问当θ为多少时,年总收入最大?
19.(16分)(2015春?淮安校级期中)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E:+=1
(a>b>0)过点(1,),其左、右焦点分别为F1、F2,离心率为.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若A、B分别为椭圆E的左、右顶点,动点M满足MB⊥AB,且MA交椭圆E于点P.
(i)求证:?为定值;
(ii)设PB与以PM为直径的圆的另一交点为Q,问:直线MQ是否过定点,并说明理由.
20.(16分)(2014?徐州模拟)已知函数f(x)=alnx+(x﹣c)|x﹣c|,a<0,c>0.
(1)当a=﹣,c=时,求函数f(x)的单调区间;
(2)当c=+1时,若f(x)≥对x∈(c,+∞)恒成立,求实数a的取值范围;
(3)设函数f(x)的图象在点P(x1,f(x1))、Q(x2,f(x2))两处的切线分别为l1、l2.若x1=,x2=c,且l1⊥l2,求实数c的最小值.
三、加试部分(总分40分,加试时间30分钟)
21.(10分)(2015春?淮安校级期中)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,O是AC的中点,E 是线段D1O上一点,且D1E=EO.求异面直线DE与CD1所成角的余弦值.
22.(10分)(2015春?淮安校级期中)设i为虚数单位,n为正整数.试用数学归纳法证明(cosx+isinx)n=cosnx+isinnx.
23.(10分)(2015春?淮安校级期中)已知整数n≥4,集合M={1,2,3,…,n}的所有3个元素的子集记为A 1,A2,…,.当n=5时,求集合A1,A2,…,中所有元素的
和.
24.(10分)(2015春?淮安校级期中)过抛物线y2=2px(p为大于0的常数)的焦点F,作与坐标轴不垂直的直线l交抛物线于M,N两点,线段MN的垂直平分线交MN于P点,交x轴于Q点,求PQ中点R的轨迹L的方程.
2014-2015学年高二(下)期中数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、填空题:(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上.)
1.若命题P:“?x∈Q,x2+2x﹣3≥0”,则命题P的否定:?x∈Q,x2+2x﹣3<0.
考点:命题的否定.
专题:简易逻辑.
分析:根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论.
解答:解:命题为全称命题,则命题的否定为:
?x∈Q,x2+2x﹣3<0,
故答案为:?x∈Q,x2+2x﹣3<0
点评:本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.
2.抛物线y=x2的准线方程是y=﹣1.
考点:抛物线的简单性质.
专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:先将抛物线方程化为标准方程,进而可求抛物线的准线方程.
解答:解:由题意,抛物线的标准方程为x2=4y,
∴p=2,开口朝上,
∴准线方程为y=﹣1,
故答案为:y=﹣1.
点评:本题的考点是抛物线的简单性质,主要考查抛物线的标准方程,属于基础题.3.已知复数(i为虚数单位),则复数z的虚部为﹣1.
考点:复数代数形式的乘除运算.
专题:数系的扩充和复数.
分析:化简已知复数,由复数的基本概念易得复数的虚部.
解答:解:化简可得=
===1﹣i
∴复数z的虚部为:﹣1
故答案为:﹣1.
点评:本题考查复数的代数形式的乘除运算,属基础题.
4.已知双曲线的渐近线方程为,则m=﹣2.
考点:双曲线的简单性质.
专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:利用双曲线的渐近线方程为,可得=,即可求出m.解答:解:∵双曲线的渐近线方程为,
∴=,
∴m=﹣2.
故答案为:﹣2.
点评:本题考查双曲线的渐近线,解题的关键是由渐近线方程导出a,b,c的关系.5.已知正三棱锥的底面边长为6,侧棱长为5,则此三棱锥的体积为3.
考点:棱柱、棱锥、棱台的体积.
专题:计算题.
分析:由正三棱锥的底面边长为6,侧棱长为5,知底面的正三角形的面积为:
S==9,三棱锥的高为:h==.由此能求
出此三棱锥的体积.
解答:解:∵正三棱锥的底面边长为6,侧棱长为5,
∴底面的正三角形的面积为:S==9,
故底面的正三角形的高为3,其外接圆半径为2
三棱锥的高为:h==.
所以体积为:V==3.
故答案为:3.
点评:本题考查三棱锥的体积的求法,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
6.用反证法证明命题:“如果a,b∈N,ab可被3整除,那么a,b中至少有一个能被3整除”时,假设的内容应为a,b都不能被3整除.
考点:反证法的应用.
专题:证明题.
分析:根据用反证法证明数学命题的方法和步骤,把要证的结论进行否定,得到要证的结论的反面.再由命题:“a,b中至少有一个能被3整除”的否定是:a,b都不能被3整除,从而得到答案.
解答:解:根据用反证法证明数学命题的方法和步骤,把要证的结论进行否定.
命题:“a,b中至少有一个能被3整除”的否定是:“a,b都不能被3整除”,
故答案为a,b都不能被3整除.
点评:本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤,求一个命题的否定,属于中档题.
7.设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y﹣1=0与l2:x+(a+1)y+4=0平行”的充分不必要条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.
专题:计算题.
分析:利用a=1判断两条直线是否平行;通过两条直线平行是否推出a=1,即可得到答案.解答:解:因为“a=1”时,“直线l1:ax+2y﹣1=0与l2:x+(a+1)y+4=0”
化为l1:x+2y﹣1=0与l2:x+2y+4=0,显然两条直线平行;
如果“直线l1:ax+2y﹣1=0与l2:x+(a+1)y+4=0平行”
必有a(a+1)=2,解得a=1或a=﹣2,
所以“a=1”是“直线l1:ax+2y﹣1=0与l2:x+(a+1)y+4=0平行”的充分不必要条件.
故答案为:充分不必要.
点评:本题考查充要条件的判断,能够正确判断两个命题之间的条件与结论的推出关系是解题的关键.
8.某同学的作业不小心被墨水玷污,经仔细辨认,整理出以下两条有效信息:①题目:“在平面直角坐标系xoy中,已知椭圆x2+2y2=1的左顶点为A,过点A作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于B,C,…”
②解:设AB的斜率为k,…点B(,),D(﹣,0),…据此,请你写出
直线CD的斜率为.(用k表示)
考点:直线与圆锥曲线的关系.
专题:直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:由题意可得直线AC的斜率为,则将k换成,可得点C(,),运
用直线的斜率公式,计算即可得到.
解答:解:椭圆x2+2y2=1的左顶点为A(﹣1,0),过点A作两条斜率之积为2的射线,设直线AB的斜率为k,则直线AC的斜率为,
由题意可得点B(,),D(﹣,0),
则将k换成,可得点C(,),
则直线CD的斜率为
=.
故答案为:.
点评:本题考查椭圆的方程和性质,考查直线和椭圆的位置关系,考查运算能力,属于中档题.
9.已知A(3,1)、B(﹣1,2),若∠ACB的平分线在y=x+1上,则AC所在直线方程是x﹣2y﹣1=0.
考点:与直线关于点、直线对称的直线方程.
分析:设点A关于直线y=x+1对称的点A′(x0,y0),则由题条件可求出A′(0,4).所以直线A′B的方程为2x﹣y+4=0.由此知C(﹣3,﹣2).从而得到直线AC的方程.
解答:解:设点A关于直线y=x+1对称的点A′(x0,y0),
则,解得,即A′(0,4).
∴直线A′B的方程为2x﹣y+4=0.
由得,
解得C(﹣3,﹣2).
∴直线AC的方程为x﹣2y﹣1=0.
故答案:x﹣2y﹣1=0
点评:本题考查直线方程的求法,解题时要结合实际情况,准确地进行求解.
10.设α,β为两个不重合的平面,m,n是两条不重合的直线,给出下列四个命题:
①若m?α,n?α,m∥β,n∥β,则α∥β;
②若n?α,m?β,α与β相交且不垂直,则n与m不垂直;
③若α⊥β,α∩β=m,m⊥n,则n⊥β;
④若m∥n,n⊥α,α∥β,则m⊥β.其中所有真命题的序号是④.
考点:平面与平面之间的位置关系.
专题:证明题.
分析:①若m?α,n?α,m∥β,n∥β,则α∥β,由面面平行的判定定理判断;
②若n?α,m?β,α与β相交且不垂直,则n与m不垂直,由线线的位置关系判断;
③若α⊥β,α∩β=m,m⊥n,则n⊥β,由线面垂直的条件进行判断;
④若m∥n,n⊥α,α∥β,则m⊥β,由线面垂直的条件进行判断.
解答:解:①若m?α,n?α,m∥β,n∥β,则α∥β,是一个错误命题,因为m,n不一定相交;
②若n?α,m?β,α与β相交且不垂直,则n与m不垂直,是错误命题,因为两个不垂直的平面中也存在互相垂直的两条直线;
③若α⊥β,α∩β=m,m⊥n,则n⊥β,是错误命题,因为对比面面垂直的性质定理知,少了一个条件即n?α;
④若m∥n,n⊥α,α∥β,则m⊥β是一个正确命题,因为两条平行线中的一条垂直于一个平面,则它也垂直于另一个平面,再有两个平行平面中的一个平面与一条直线垂直,则另一个平面也与这条直线垂直.
故答案为④
点评:本题考查平面与平面之间的位置关系,解题的关键是有着较好的空间想像能力以及对命题相关的定义与定理掌握得比较熟练.
11.如图所示,已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点恰好是椭圆的右焦点F,且两
条曲线的交点连线也过焦点F,则该椭圆的离心率为﹣1.
考点:抛物线的简单性质;椭圆的简单性质.
专题:计算题.
分析:设椭圆的左焦点为F',抛物线与椭圆在第一象限的交点为A,连接AF',可得Rt△AFF'
中,AF=FF'=p,从而AF'=p,再根据椭圆的定义,可得AF+AF'=2a=(1+)p,最后用椭圆的离心率的公式求出该椭圆的离心率.
解答:解:设椭圆的左焦点为F',抛物线与椭圆在第一象限的交点为A,连接AF',
∴F(,0),F'(﹣,0),可得焦距FF'=p=2c,(c=为椭圆的半焦距)
对抛物线方程y2=2px令x=,得y2=p2,所以AF=|y A|=p
∴Rt△AFF'中,AF=FF'=p,可得AF'=p
再根据椭圆的定义,可得AF+AF'=2a=(1+)p,
∴该椭圆的离心率为e===﹣1
故答案为:﹣1
点评:本题给出椭圆的右焦点恰好是抛物线的焦点,并且两曲线的通径合在一起,求椭圆的离心率,着重考查了椭圆的定义与简单几何性质和抛物线的标准方程等知识点,属于中档题.
12.函数f(x)=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线,则实数a的取值范围是(﹣∞,2﹣)∪.
考点:利用导数研究曲线上某点切线方程.
专题:导数的综合应用.
分析:函数f(x)=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线?方程f′(x)=在区间x∈(0,+∞)上有解,并且去掉直线2x﹣y=0与曲线f(x)相切的情况,解出即可.
解答:解:,(x>0).
∵函数f(x)=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线,
∴方程在区间x∈(0,+∞)上有解.
即在区间x∈(0,+∞)上有解.
∴a<2.
若直线2x﹣y=0与曲线f(x)=lnx+ax相切,设切点为(x0,2x0).
则,解得x0=e.
此时.
综上可知:实数a的取值范围是(﹣∞,2﹣)∪.
故答案为:(﹣∞,2﹣)∪.
点评:本题考查了导数的几何意义、切线的斜率、相互平行的直线之间的斜率关系、恒成立问题的等价转化等基础知识与基本技能方法,属于中档题.
13.若实数a,b,c成等差数列,点P(﹣1,0)在动直线ax+by+c=0上的射影为M,点N 坐标为(3,3),则线段
MN长度的最小值是5﹣.
考点:等差数列的性质.
专题:等差数列与等比数列.
分析:利用等差数列的性质得到2b=a+c,整理后可得直线ax+by+c=0恒过Q(1,﹣2),由条件得到PM与QM垂直得到M在以PQ为直径的圆上,利用中点坐标公式求出圆心A 的坐标,利用两点间的距离公式求出此圆的半径r和|AN|,判断出点N与圆的位置关系,在求出线段MN长度的最小值.
解答:解:∵实数a,b,c成等差数列,
∴2b=a+c,即a﹣2b+c=0,
可得动直线ax+by+c=0恒过Q(1,﹣2),
∵点P(﹣1,0)在动直线ax+by+c=0上的射影为M,
∴∠PMQ=90°,则M在以PQ为直径的圆上,
∴此圆的圆心A坐标为(,),即A(0,﹣1),
半径r=|PQ|==,
又N(3,3),∴|AN|==5,则点N在圆外,
则|MN|min=5﹣,
故答案为:5﹣.
点评:本题考查了等差数列的性质,恒过定点的直线方程,圆周角定理,线段中点坐标公式,以及两点间的距离公式,利用等差数列的性质得到2b=a+c,即a﹣2b+c=0是解本题的突破点.
14.已知函数f(x)=x﹣1﹣(e﹣1)lnx,其中e为自然对数的底,则满足f(e x)<0的x 的取值范围为(0,1).
考点:利用导数研究曲线上某点切线方程.
专题:导数的综合应用.
分析:求函数的导数,判断函数的单调性,求出不等式f(x)<0的解,即可得到结论.解答:解:∵f(x)=x﹣1﹣(e﹣1)lnx,
∴函数的定义域为(0,+∞),
函数的导数为f′(x)=1﹣=,
由f′(x)>0得x>e﹣1,此时函数单调递增,
由f′(x)<0得0<x<e﹣1,此时函数单调递减,
在x=e﹣1时,函数取得极小值,
∵f(1)=0,f(e)=0,
∴不等式f(x)<0的解为1<x<e,
则f(e x)<0等价为1<e x<e,
即0<x<1,
故答案为:(0,1)
点评:本题主要考查不等式的求解,根据导数研究函数的单调性是解决本题的关键.
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(14分)(2015春?淮安校级期中)已知命题P:函数y=log a(2x+1)在定义域上单调递增;命题Q:不等式(a﹣2)x2+2(a﹣2)x﹣4<0对任意实数x恒成立,若P、Q都是真命题,求实数a的取值范围.
考点:命题的真假判断与应用.
专题:函数的性质及应用;不等式的解法及应用.
分析:先求出P、Q是真命题时,实数a的取值范围,结合P、Q都是真命题,求出两个范围的交集,可得答案.
解答:解∵命题P函数y=log a(2x+1)在定义域上单调递增;
∴a>1…(4分)
又∵命题Q不等式(a﹣2)x2+2(a﹣2)x﹣4<0对任意实数x恒成立;
∴a=2…(6分)
或,…(10分)
解得:﹣2<a<2
综上所述:﹣2<a≤2…(12分)
∵P、Q都是真命题,
∴a的取值范围是1<a≤2…(14分)
点评:本题考查的知识点是命题的真假判断与应用,此类题型往往综合较多的其它知识点,综合性强,难度中档.
16.(14分)(2013?越秀区校级模拟)如图,在四棱锥P‐ABCD中,四边形ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.求证:
【好题】高二数学上期末试卷(及答案)(1)
【好题】高二数学上期末试卷(及答案)(1) 一、选择题 1.将1000名学生的编号如下:0001,0002,0003,…,1000,若从中抽取50个学生,用系统抽样的方法从第一部分0001,0002,…,0020中抽取的号码为0015时,抽取的第40个号码为( ) A .0795 B .0780 C .0810 D .0815 2.如果数据121x +、221x +、L 、21n x +的平均值为5,方差为16,则数据:153x -、 253x -、L 、53n x -的平均值和方差分别为( ) A .1-,36 B .1-,41 C .1,72 D .10-,144 3.执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( ) A .1 B .-1 C .0 D .-2 4.下列赋值语句正确的是( ) A .s =a +1 B .a +1=s C .s -1=a D .s -a =1 5.把化为五进制数是( ) A . B . C . D . 6.在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ,作一矩形,邻边长分別等于线段AC 、CB 的长,则该矩形面积小于216cm 的概率为( ) A . 23 B . 34 C . 25 D . 13 7.执行如图的程序框图,如果输出a 的值大于100,那么判断框内的条件为( )
A .5k <? B .5k ≥? C .6k <? D .6k ≥? 8.某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试(试卷满分为100分)的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本,如茎叶图所示.若分别从(1)班、(2)班的样本中各取一份,则(2)班成绩更好的概率为( ) A . 1636 B . 1736 C . 12 D . 1936 9.为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表: 收入x 万 8.3 8.6 9.9 11.1 12.1 支出y 万 5.9 7.8 8.1 8.4 9.8 根据上表可得回归直线方程???y bx a =+,其中0.78b ∧ =,a y b x ∧ ∧ =-元,据此估计,该社区一户收入为16万元家庭年支出为( ) A .12.68万元 B .13.88万元 C .12.78万元 D .14.28万元 10.已知具有线性相关的两个变量,x y 之间的一组数据如下表所示: x 0 1 2 3 4 y 2.2 4.3 4.5 4.8 6.7 若,x y 满足回归方程 1.5??y x a =+,则以下为真命题的是( ) A .x 每增加1个单位长度,则y 一定增加1.5个单位长度 B .x 每增加1个单位长度,y 就减少1.5个单位长度 C .所有样本点的中心为(1,4.5)