第九章典型相关分析
典型相关分析[五篇模版]
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典型相关分析[五篇模版]第一篇：典型相关分析相关分析的类型典型相关分析：用于探究一组解释变量与一组反应变量时间的关系。
典型相关分析函数：cancor（x，y，xcenter=T，ycenter=T）x 为第一组变量数据矩阵 y为第二组变量数据矩阵xcenter表示第一组变量是否中心化 ycenter表示第二组变量是否中心化自编典型相关函数：cancor.test（x，y，plot=T）x为第一组变量数据矩阵 y为第二组变量数据矩阵 plot为是否绘制典型相关图例1：d11.1 生理指标与训练指标之间的典型相关性。
生理指标：体重（x1）、腰围（x2）、脉搏（x3）；训练指标：引体向上次数（y1）、起坐次数（y2）、跳跃次数（y3）。
> X<-read.table(“clipboard”,header=T)> R<-cor(X)> R x1 x2 x3 y1 y2 y3 x1 1.0000 0.8702-0.36576-0.3897-0.4931-0.22630 x2 0.8702 1.0000-0.35289-0.5522-0.6456-0.19150 x3-0.3658-0.3529 1.00000 0.1506 0.2250 0.03493 y1-0.3897-0.5522 0.150651.0000 0.6957 0.49576 y2-0.4931-0.6456 0.22504 0.6957 1.0000 0.66921 y3-0.2263-0.1915 0.03493 0.4958 0.6692 1.00000 > R11<-R[1:3,1:3];R12<-R[1:3,4:6];R21<-R[4:6,1:3];R22<-R[4:6,4:6] > A<-solve(R11)%*%R12%*%solve(R22)%*%R21 #A=(R11)-1 R12(R22)-1 R21 > ev<-eigen(A)$values #特征值 > sqrt(ev)#典型相关系数[1] 0.79561 0.20056 0.07257以上过程是一步一步计算的，接下来我们使用R自带的典型相关函数：> xy<-scale(X)#数据标准化> ca<-cancor(xy[,1:3],xy[,4:6])#典型相关分析> ca$cor #典型相关系数[1] 0.79561 0.20056 0.07257 > ca$xcoef #x的典则载荷[,1] [,2] [,3] x1-0.17789-0.43230 0.04381 x2 0.36233 0.27086-0.11609 x3-0.01356-0.05302-0.24107 > ca$ycoef #y的典则载荷[,1] [,2] [,3] y1-0.08018-0.08616 0.29746 y2-0.24181 0.02833-0.28374 y3 0.16436 0.24368 0.09608典型变量的系数载荷并不唯一，只要是它的任意倍数即可，所以每个软件得出的结果并不一样，而是相差一个倍数。
统计学第9章 相关分析和回归分析
回归模型的类型
回归模型
一元回归
线性回归
10 - 28
多元回归
线性回归 非线性回归
非线性回归
统计学
STATISTICS (第二版)
一元线性回归模型
10 - 29
统计学
STATISTICS (第二版)
一元线性回归
1. 涉及一个自变量的回归 2. 因变量y与自变量x之间为线性关系
被预测或被解释的变量称为因变量 (dependent variable)，用y表示 用来预测或用来解释因变量的一个或多个变 量称为自变量 (independent variable) ，用 x 表示
统计学
STATISTICS (第二版)
3.相关分析主要是描述两个变量之间线性关 系的密切程度；回归分析不仅可以揭示 变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以由 回归方程进行预测和控制 4.回归系数与相关系数的符号是一样的，但 是回归系数是有单位的，相关系数是没 有单位的。
10 - 27
统计学
STATISTICS (第二版)
10 - 19
统计学
STATISTICS (第二版)
相关系数的经验解释
1. 2. 3. 4.
|r|0.8时，可视为两个变量之间高度相关 0.5|r|<0.8时，可视为中度相关 0.3|r|<0.5时，视为低度相关 |r|<0.3时，说明两个变量之间的相关程度 极弱，可视为不相关
10 - 20
10 - 6
统计学
STATISTICS (第二版)
函数关系
(几个例子)
某种商品的销售额 y 与销售量 x 之间的关系 可表示为 y = px (p 为单价)
典型相关分析的实例ppt课件
可编辑课件
6
可编辑课件
7
简单相关系数矩阵
可编辑课件
8
简单相关系数公式符号
Corr（X）＝R11 Corr（X，Y）＝R12
Corr（Y，X）＝R21
R21 R12
可编辑课件
Corr（Y）＝R22
9
简单相关系数 描述两组变量的相关关系的缺点
➢只是孤立考虑单个X与单个Y间的相关 ，没有考虑X、Y变量组内部各变量间的 相关。
1.
求X，Y变量组的相关阵
R= R11
R
21
R12
R
2
2
；
2. 求矩阵 A、B
3. A(R11)1R12(R22)1R21
B(R22)1R21(R11)1R12
4. 可以证明A、B有相同的非零特征根；
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16
3. 求A或B的λi（相关系数的平方）与 i ，
i＝1,…,m，即 i i2 ；
2. 第一对典则相关系数较两组变量间任一个简 单相关系数的绝对值都大，即
3. ρ1≥max(|Corr(Xi,Yj)|) 或
4.
ρ1≥max(|Corr(X,Yj)|) ≥max(|Corr(Xi,Y)|)
可编辑课件
33
（四）校正典型相关系数
（Adjusted Canonical Correlation）
的应用。
可编辑课件
4
实例（X与Y地位相同）
可编辑课件
5
1985年中国28 省市城市男生 (19～22岁)的调查数据。记形态指标身
高(cm)、坐高、体重(kg)、胸围、肩 宽、盆骨宽分别为X1，X2，…，X6；
机能指标脉搏(次/分)、收缩压 (mmHg) 、舒张压(变音)、 舒张压(消 音)、肺活量(ml)分别为Y1，Y2，…， Y5。现欲研究这两组变量之间的相关 性。
第九章 相关分析
第九章 相关分析
( y y)2
=
( y yc )2
+
( yc y)2
由此可以推导出：
( y yc ) ( y y) ( yc y)
2 2
2
2
Lyy (a bx a b x) Lyy b ( x x)
2 2
Lyy b Lxx
表明两变量完全不相关。 （4）当计算相关系数的原始数据较多（如50项以 上）时，认为相关系数在0.3以下为无相关， 0.3以上为有相关；0.3-0.5为低度相关；0.5-0.8 为显著相关；0.8以上为高度相关。
9
第九章 相关分析
相关系数计算分析例题
生产费用
序 月产量 号 1 1.2 2 2.0 3 3.1 4 3.8 5 5.0 6 6.1 7 7.2 8 8.0 ∑ 36.4
2 2
x n y y
2
2
0.97
说明产量和生产费用之间存在高度正相关。
第九章 相关分析
第三节
回 归 分 析
一、回 归 分 析 的 意 义 回归分析是对具有相关关系的两个或两个以 上变量之间的数量变化的一般关系进行测定，确 立一个相应的数学表达式，以便从一个已知量来 推测另一个未知量，为估算预测提供一个重要的 方法。 二、回 归 的 种 类 按自变量的个数分 按回归线的形态分 一元回归 多元回归 线性回归 非线性回归
Lxx x b b y Lyy
y br r x
Lyy L21 xx
第九章 相关分析
五 回归分析与相关分析的特点
1、回归分析必须区分自变量和因变量，而相关 分析不必区分。 2、回归分析的两个变量一个是自变量，一个是 因变量，通过给定自变量的值来推算因变量 的可能值；而相关分析的两个变量都是随机 变量。 3、回归分析中对于因果关系不甚明确的两个变量， 可以建立两个回归方程；而相关分析只能计算 出一个相关系数。 4、一种回归方程只能做一种推算，即只能给出自 变量的值来推算因变量的值，不能逆推。
第九章 相关与回归分析
第9章相关与回归分析【教学内容】相关分析与回归分析是两种既有区别又有联系的统计分析方法。
本章阐述了相关关系的概念与特点;相关关系与函数关系的区别与联系;相关关系的种类;相关关系的测定方法(直线相关系数的含义、计算方法与运用);回归分析的概念与特点;回归直线方程的求解及其精确度的评价;估计标准误差的计算。
【教学目标】1、了解相关与回归分析的概念、特点和相关分析与回归分析的区别与联系；2、掌握相关分析的定性和定量分析方法；3、掌握回归模型的拟合方法、对回归方程拟合精度的测定和评价的方法。
【教学重、难点】1、相关分析与回归分析的概念、特点、区别与联系；2、相关与回归分析的有关计算公式和应用条件。
第一节相关分析的一般问题一、相关关系的概念与特点（一）相关关系的概念在自然界与人类社会中,许多现象之间是相互联系、相互制约的,表现在数量上也存在着一定的联系。
这种数量上的联系和关系究其实质,可以概括为两种不同类型,即函数关系与相关关系。
相关关系:是指现象之间客观存在的,在数量变化上受随机因素的影响,非确定性的相互依存关系。
例如,商品销售额与流通费用率之间的关系就是一种相关关系。
（二）相关关系的特点1、相关关系表现为数量相互依存关系。
2、相关关系在数量上表现为非确定性的相互依存关系。
二、相关关系的种类1、相关关系按变量的多少,可分为单相关和复相关2、相关关系从表现形态上划分,可分为直线相关和曲线相关3、相关关系从变动方向上划分,可分为正相关和负相关4、按相关的密切程度分,可分为完全相关、不完全相关和不相关三、相关分析的内容相关分析是对客观社会经济现象间存在的相关关系进行分析研究的一种统计方法。
其目的在于对现象间所存在的依存关系及其所表现出的规律性进行数量上的推断和认识,以便为回归分析提供依据。
相关分析的内容和程序是:(1)判别现象间有无相关关系(2)判定相关关系的表现形态和密切程度第二节相关关系的判断与分析一、相关关系的一般判断（一）定性分析对现象进行定性分析,就是根据现象之间的本质联系和质的规定性,运用理论知识、专业知识、实际经验来进行判断和分析。
第9章-典型相关分析资料
2020/11/11
主编：费宇
13
3.样本典型相关变量
• 前面我们是从变量x与变量y的协方差阵Σ出发考虑x 与y的典型相关变量,这称为总体典型相关变量,但
(9.3)
Cov(u, v) Cov(aT x, bT y) aTCov( x, y)b aT 12b.
2020/11/11
主编：费宇
6
1.总体典型相关变量
• 两个新变量u和v之间的相关系数（即典型相关 系数）为
Corr(u, v) Corr(aT x, bT y)
aT 12b
(aT 11a) (bT 22b)
另一组变量为y=(y1, y2,…, yq )T ,且p≤q ,变量x 与变量y的协方差阵为
Var(x)
Σ
Cov(
x,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y)
Cov(
y,
x)
Cov( Var
x, y) ( y)
11 21
12
22
(9.1)
2020/11/11
主编：费宇
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1.总体典型相关变量
• 为研究变量x与变量y之间的线性相关关系,我们 考虑它们之间的线性组合
2 2
x2 y2
aip xp aiT x, biq yq biT y.
(i 1,2,
, p)
(9.11)
每一对变量称为一对典型变量,其中u1和v1称为第一
对典型变量,它们之间的相关系数λ1称为第一典型相 关系数.
2020/11/11
主编：费宇
11
2.典型相关变量的性质
• 我们不加证明的给出典型变量以下三个性质: • (1)每一对典型变量ui及vi (i=1,2,…,p)的标准差
(9)第9章 相关分析
列边缘分布
列观察值的合计数的分布 例如，四个分公司接受调查的人数分别为 100 人， 120 人， 90人，110人
2. 条件分布与条件频数
变量 X 条件下变量 Y 的分布，或在变量 Y 条件下 变量 X 的分布 每个具体的观察值称为条件频数
9 - 17
社会 统计学
条件频数
观察值的分布
期望频数的分布
(例题分析)
一分公司 二分公司 三分公司 四分公司
赞成该 方案
实际频数 期望频数
实际频数 期望频数
68 66
32 34
75 80
75 40
57 60
33 30
79 73
31 37
反对该 方案
9 - 23
2
社会 统计学
列联表 (独立性)检验
判断两个分类变量之间是否存在联
系。对父母的孝敬程度是否与孩子的
9 - 32
社会 统计学
相关系数
(原理分析)
一个简化的 22 列联表
因素 Y y1 y2 合计
9 - 33
因素 X x1 x2
合计
a c a+c
b d b+d
a+b c+d n
社会 统计学
相关系数
(原理分析)
列联表中每个单元格的期望频数分别为 (a b)(a c) (a c)(c d ) e11 e21 n n (a b)(b d ) (b d )(c d ) e12 e22 n n 将各期望频数代入 的计算公式得
9 - 30
社会 统计学
一
二
利用2的相关测量
第九章 典型相关分析 《应用多元统计分析》 ppt课件
aΣ12b ，
(9.14)
式(9.14)说明， 的值就是线性组合U 和V 之间的相关系数。因此，式(9.11)可写成
Σ11a Σ12b 0 ，
(9.15)
Σ21a Σ22b 0 ，
(9.16)
为求解方程，先以
Σ12
Σ1 22
左乘以式(9.16)，并将式(9.15)代入式(9.16)，得
来度量。当 p 1， q 1 时，对两组变量两两求相关系数，就得到了 ( p q) ( p q)阶相
关阵。在变量数较多的时候，直接通过相关阵研究两组变量之间的相关关系不仅繁琐，同时 也不容易抓住问题的本质。回归分析中的复相关系数给了我们提示，复相关系数可以描述一 个变量与一组变量线性组合之间的相关性。那么是否能够更进一步从每一组变量中构造少数 综合变量，用少数综合变量的相关关系来反映两组变量之间的相关关系呢？
为典型变量，这些变量对之间的相关系数称为典型相关系数。
6
一、总体典型变量与典型相关系数
由典型相关分析原理，典型相关分析希望寻求 a 和 b 使得 UV 达到最大，但是由于随机
变量乘以常数时不改变它们的相关系数，为了防止不必要的结果重复出现，最好的限制是令
D(U ) 1和 D(V ) 1。于是，我们的问题就转化为，在
这里，我们不加证明地直接给出典型变量所具有的性质：
性质 9.1：由 X1, X2, , X p 所组成的典型相关变量U1,U2, ,U p 互不相关；同样地， 由 Y1,Y2, ,Yq 所组成的典型相关变量V1,V2, ,Vp 也互不相关，并且它们的方差均等于 1。
用数学表达式为：
D(Uk ) D(Vk ) 1，
一、典型相关分析的基本思想
假设一组随机变量为 X1, X2, , X p ，另一组随机变量为Y1,Y2, ,Yq ，我们要研究两组
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V XY V Y Y
则随机变量 a1X,b1Y 的方差及相关系数为
我们来看9.1.2 的数据，数据文件名为dx.txt。读入并计算它的协 方差矩阵，然后对矩阵分块。
clc,clear XpV===3vlop;aqad=((c2'oe;v:\(dXa),t4a)\dx%.tx计t')算; 原始数据的协方V差xV矩xyVyxV阵yyx
例9.1.2：设有我校某班31名学生， 我们想研究他们在大学的学习、生活 行为和他们的专业课成绩、体育课成 绩有什么关系。两组数据的含义如下。 （数据为学习本课程某学生采集）
X1: 平均学习时间 X2: 平均锻炼时间 X1: 平均起床过6:30时间 Y1: 平均专业课成绩 Y1: 平均体育课成绩
X1 X2
则称 1, 1 是第一对典型相关变量，找出了第一组之后，我们
再找第二组，第三组……第q组。
我们来推导如何获得a1，b1使 1 a1'X和 1 b1'Y的相
关系数最大。设 X P 随机向量的协方差阵为V，把V分块写出，
记为
Y
q
V Y X V C (X )(O Y ,X )V C(O V X (,Y Y )) V V V Y XX X
X3
10
10 0 -15 -15 -10 0 30 5 0 0 20 5 -5 0 10 -10 10 20 -40 0 -50 -40 -40 0 -10 0 5 -5
Y1
238
227 198 263 263 267 242 194 150 237 253 221 242 263 245 226 269 234 225 290 245 247 251 250 273 217 211 234 287
第九章典型相关分析
第九章 典型相关分析
一、引言 二、直观解释与基本算法 三、案例9
9.1 引言
前面所讨论的方法都是对一组变量内部各变量之间相互关系
进行分析，讨论。但实际问题中常常涉及到两组随机变量之
间的关系，即
X X1,X2,,Xp YY1,Y2,,Yq
这里
X i(x1i,x2i, ,xN)i ' Yj(y1j,y2j, ,yN)j '
我们要从这两族中选取相关系数最大的一对，则称这一对为第一典 型相关变量，注意这里，分别是X1,X2,……,Xp和Y1,Y2,……,Yq 的线性函数，从而找到了这两组变量的相关关系。设
(1 ,1 )(a 1 X ',b 1 Y ') V (1 M ) 1 ,V ( 1 ) 1 A (,) X
则
11
则随机变量 a1X,b1Y 的方差及相关系数为
Y2
85
88 85 94 90 70 84 91 75 87 78 65 70 75 70 75 75 80 85 70 72 78 90 65 78 83 82 85 77
9.2 直观解释与基本算法
（1）直观解释
还是象主分量分析那样，将X1，X2，…Xp与Y1,Y2,……,Yq的方 差集中，其基本思想是：
X1,X2,……,Xp为向量空间中的一组向量，由代数知识可知它们可张 出一个空间Ω1，在这个空间中我们可以找到标准正交基基。这里假 定X1,X2,……,Xp相互之间没有线性关系。同理Y1,Y2,……,Yq，可 张出空间Ω2，也存在正交基簇。则存在
1 , 2
aX 'a1X1a2X2 apXp bX 'b1Y1b2Y2 bpYp
i1,2...p ..., j1,2,..q ....,
我们要探讨X,Y之间的关系。
例9.1.1：香烟的制作过程，为得到高质量的卷烟，要对以下烟 草指标进行配料实验。
X1：烟草等级 X2：发酵时间 …… Xp：香精量 进入加工系统并生产出成品烟卷，则对烟卷的质量有以下指标 衡量。
Y1：烟丝颜色 Y2：香度
a1 X b1Y
' '
是第一典型变量
再在各自空间中找一对相关系数次大的 2, 2 并且满足
12 1 2
这一过程一直继续下去，我们就可以找到k对典型变量了。这里
k=min(p,q)
（2）基本算法
设：X是向量矩阵X=（X1,X2,……,Xp）；Y是向 量矩阵 Y= （Y1,Y2,……,Yq）。不失一般性，设p>q，考虑随机向量的 一切线性组合
…… Yq：焦油含量
我们可以将生产过程看作一个黑箱，通过研究
投入 X1,X2,,Xp
产出 Y1,Y2,,Yq 之间的相关关系，来找出生产过程的内部机制，从而达到优化产 生工艺的目的。见下图
显 然 X1,X2,……,Xp 与 Y1,Y2,……,Yq 之 间 的 关 系 是 令 人 感 兴 趣 的 。 如果能够找到某些Y确与X有一定的关系，我们就可以通过控制某 些X来达到提高产品质量和降低成本的目的。 我们很容易举出类似的例子，如名酒的勾兑，两组天气指标的相关 关系，生产系统的投入指标和产出指标关系等等。
(X)aX':aRp (Y)bY':bRq
显然当X、Y不同时，空间 ( X ) (Y ) 却可能有相同的部
分。 1,2, ,p 和 1, 2, , q 分别是两空间的基，
即其协方差矩阵为对角线，且方差为1。我们要寻找 ， ，
即确 1定系 数1 a1，b1使
(1 ,1 )(a 1 X ',b 1 Y ') V (1 M ) 1 ,V ( 1 ) 1 A (,) X
协方差矩阵分块如下：
2732. -25.75 -732.4 1196. -67.29
-25.75 130.6 28.58 -23.11 62.01
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
V=
-732.4 28.58 336.2 -241.2 13.13
1196. -23.11 -67.29 62.01
-241.2 800.6 -42.16 13.13 -42.16 64.56
25 0
30 30 20 30 140 40 130 30 120 15 70 30 10 40 10 10 70 30 130 20 15 10 80 10 100 10 70 25 20 20 150 20 30 10 20 50 200 20 70 20 130 10 140 30 140 10 140 25 100 30 60 25 70 35 150 25