抽象函数定义域快速理解.doc
抽象函数的定义域
将导致函数无意义的点排除在定义域之外，例如分母为零的点。
解不等式或不等式组
根据函数解析式的性质，解不等式或不等式组，得到定义域的范 围。
图像法求定义域
观察图像
通过观察函数的图像，确定函数在哪些区间内连 续且单调，从而确定定义域的范围。
确定临界点
找出图像中临界点对应的x值，这些点通常是定义 域的边界。
判断单调性
通过判断函数在各个区间上的单调性，进一步细 化定义域的范围。
实际应用法求定义域
分析实际背景
根据函数在实际问题中的应用背景，分析函数在哪些 情况下有意义。
确定实际限制条件
根据实际问题的限制条件，确定函数的定义域范围。
考虑实际意义
确保函数在实际应用中具有实际意义，排除无意义的 定义域范围。
04
特殊类型的抽象函数的定义域
分段函数定义域的求法
分段函数定义域的求法
分段函数由多个分段定义，每个分段定义域可能不同，因此求分段函数的定义域需要分别考虑每个分段，取所 有分段的定义域的交集。
举例
函数$f(x) = begin{cases} x^2 - 1, & x geq 0 x + 3, & x < 0 end{cases}$的定义域为$[-3, +infty)$，因为当$x geq 0$时，$x^2 - 1$的定义域为$[0, +infty)$，当$x < 0$时，$x + 3$的定义域为$(-infty, 0)$，取交集得$[-3, +infty)$。
对数函数定义域的求法
对数函数定义域的求法
对数函数$log_a(x)$的定义域为$x > 0$，因为对数函数的自变量必须大于 0。
抽象函数定义域的类型及求法
抽象函数定义域的类型及求法 抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说具有一定难度，特别是求其定义域时，许多同学解答起来总感棘手．下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法．一、已知()f x 的定义域，求[]()f g x 的定义域其解法是：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．例1 已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域． 分析：该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围．解：()f x Q 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033x ∴≤≤． 故函数(35)f x -的定义域为41033⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 二、已知[]()f g x 的定义域，求()f x 的定义域其解法是：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为()f x 的定义域．例2 已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域． 分析：令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，由于()f u 与()f x 是同一函数，因此u 的取值范围即为()f x 的定义域．解：由03x ≤≤，得21225x x -+≤≤．令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，15u ≤≤．故()f x 的定义域为[]15，．三、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集．例３ 若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域． 解：由()f x 的定义域为[]35-，，则()x ϕ必有353255x x --⎧⎨-+⎩，，≤≤≤≤解得40x -≤≤． 所以函数()x ϕ的定义域为[]40-，．。
抽象函数定义域快速理解
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抽象函数定义域的求法
抽象函数是指只给出函数的一些性质,而未给出函数解析式的一类函数。
抽象函数一般以中学阶段所学的基本函数为背景,且构思新颖,条件隐蔽,技巧性
强,解法灵活.由于这类问题本身的抽象性和其性质的隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策. 在人教版必修1的教学中涉及到抽象函数定义域的求解，学生普遍感到难以理解，我们从如下方面，并结合例题看看常考题型。
首先让学生明确两点：
①单独看某个函数，定义域一定是指单位x（自变量）的取值范围（无论是已知的定义域还是所求的定义域）——绝对情况。
②几个函数在一起，函数()Θ
=f
y与函数()Φ
=f
y（其中Φ
Θ，是关于x的表达式）中Φ
⇔
Θ，即括号内Φ
Θ，看作整体，它们的范围相同——相对情况。
1、函数f(x)的定义域为[a,b]是指谁的范围？
2、函数f(2x+1)的定义域为[a,b]是指谁的范围？
3、函数f(x)的定义域为[a,b]，则函数f(2x+1)中谁的范围是[a,b]？
4、函数f(2x+1)的定义域为[a,b]，则函数f(x)的定义域为[a,b]对吗？
在给学生充分解释这两点的含义之后再让学生做下面的题目组：
1、已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，求f(3x-5)的定义域；
2、已知函数f(3x-5)的定义域为[－1，5]，求f(x)的定义域；
3、已知函数f(1-2x)的定义域为[－1，5]，求f(3x-5)的定义域；
4、已知函数f(1-2x)的定义域为[－1，5]，求f(-x)＋f(x2)的定义域；
5、已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，求f(1+m)+f(1-m)的定义域。
抽象函数定义域的类型和计算规则
抽象函数定义域的类型和计算规则
概述
抽象函数是数学中常见的概念，它描述了输入和输出之间的关系。
在定义抽象函数时，我们需要明确函数的定义域（输入的类型）和值域（输出的类型）以及计算规则。
本文将详细介绍抽象函数定
义域的类型和计算规则。
定义域的类型
抽象函数的定义域表示函数所能接受的输入的类型。
在数学中，定义域可以是实数、整数、有理数等具体的数集，也可以是更为抽
象的集合，例如线性空间、拓扑空间等。
定义域的类型取决于具体
的数学模型和问题，需要根据实际情况进行定义和限定。
计算规则
抽象函数的计算规则描述了函数如何根据输入的值来计算输出
的值。
计算规则可以是简单的算术运算，也可以是复杂的数学公式。
具体的计算规则取决于函数的定义和所解决的问题。
在计算抽象函数的值时，通常根据定义域的类型和计算规则进行相应的操作。
如果函数的定义域是数的集合，可以使用数学运算进行计算；如果函数的定义域是集合的元素，可以使用集合论中的运算进行计算。
总结
抽象函数的定义域的类型和计算规则是描述函数的重要方面。
合理定义抽象函数的类型和规则，可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为，从而应用于实际问题的解决中。
以上是抽象函数定义域的类型和计算规则的简要介绍。
根据具体的数学模型和问题，我们需要仔细定义和限定函数的定义域，并使用合适的计算规则进行函数值的计算。
抽象函数定义域、值域、解析式
抽象函数的定义域1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。
3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。
4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
例1已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．分析：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．本题该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围．解：()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033x ∴≤≤．故函数(35)f x -的定义域为41033⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 例2已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域．分析：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为()f x 的定义域．这种情况下，()f x 的定义域即为复合函数[]()f g x 的内函数的值域。
人教版高中数学必修1--第三章 抽象函数或复合函数的定义域
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(3)f(t)，f(φ(x))，f(h(x))三个函数中的 t，φ(x)，h(x)在对应关系 f
下的范围相同；
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第三章 函数的概念与性质
(4)已知 f(x)的定义域为 A，求 f(φ(x))的定义域，其实质是已知φ(x)
的范围(值域)为 A，求出 x 的取值范围； (5)已知 f(φ(x))的定义域为 B，求 f(x)的定义域，其实质是已知 f(φ(x))
的定义域． 解析：根据 f(x2－1)的定义域为{x|0≤x≤3}， 得 0≤x2≤9，－1≤x2－1≤8. 故 f(x)的定义域为{x|－1≤x≤8}．
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第三章 函数的概念与性质
三、已知 f(g(x))的定义域，求 f(h(x))的定义域 定义域为_若_x_函_32_≤数_x_≤_f(_x4_＋__1_)_的．定义域为x－12≤x≤2 ，则函数 f(x－1)的
第三章 函数的概念与性质
解：由题意得00≤≤xx＋－mm≤≤11，. 即－ m≤mx≤≤x≤ 1＋1－ m.m， ∵－m<m，1－m<1＋m，而 m 与 1－m 的大小不确定，∴对 m 与
1－m 的大小讨论．
①若 m＝1－m，即 m＝12 ，则 x＝m＝12 ；
②若
m<1－m，即
1 m<2
பைடு நூலகம்，则 m≤x≤1－m；
解析：由题意知－12 ≤x≤2，则12 ≤x＋1≤3，即 f(x)的定义域为 x12≤x≤3 ，∴12 ≤x－1≤3，解得32 ≤x≤4.故 f(x－1)的定义域是 x32≤x≤4 .
抽象函数定义域的类型和求解方式
抽象函数定义域的类型和求解方式介绍抽象函数是数学中重要的概念之一，它描述了输入和输出之间的关系。
在定义抽象函数时，我们需要考虑函数的定义域和值域。
本文将介绍抽象函数定义域的不同类型以及求解抽象函数的方式。
抽象函数定义域的类型抽象函数的定义域可以分为有限定义域和无限定义域两种类型。
有限定义域有限定义域是指抽象函数的输入值集合是有限的。
在这种情况下，我们可以使用离散的方式描述定义域。
例如，如果抽象函数描述了某个集合中每个元素的身高，那么定义域就是该集合中的元素。
无限定义域无限定义域是指抽象函数的输入值集合是无限的。
在这种情况下，我们需要使用连续的方式描述定义域。
例如，如果抽象函数描述了某个物体的位置随时间的变化关系，那么定义域就是一个时间区间。
求解抽象函数的方式求解抽象函数是指根据函数的定义域和值域来确定函数的输入和输出之间的关系。
解析法解析法是一种常用的求解抽象函数的方式。
通过分析函数表达式，我们可以得到函数的解析形式。
例如，对于线性函数 f(x) = ax + b，我们可以通过解析法得到函数的斜率和截距，从而确定函数的输入和输出之间的关系。
图像法图像法是一种直观的求解抽象函数的方式。
通过绘制函数的图像，我们可以观察函数的特点，从而确定函数的输入和输出之间的关系。
例如，对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以通过绘制函数的图像来研究函数的开口方向和顶点位置。
数值法数值法是一种通过计算来求解抽象函数的方式。
通过选择一组特定的输入值，计算函数的输出值，我们可以得到函数的部分输入和输出关系。
例如，对于三角函数 sin(x)，我们可以选择不同的角度值，计算函数在这些角度下的值，从而得到函数的近似的输入和输出关系。
总结本文介绍了抽象函数定义域的不同类型以及求解抽象函数的方式。
通过了解抽象函数的定义域和值域，我们可以更好地理解抽象函数的输入和输出之间的关系，从而应用它们到实际问题中。
抽象函数的定义域课件
掌握抽象函数定义域的特性，如域的纯粹性、域的依赖性等。
抽象函数定义域的求法
学会如何根据函数的解析式和上下文信息，求出抽象函数的定义域。
对于抽象函数定义域的应用的展望
数学学科中的应用
了解抽象函数定义域在数学学科 中的应用，如代数、分析、拓扑等。
其他学科中的应用
探讨抽象函数定义域在其他学科中 的应用，如物理、例函数是指形如$y=cx$的函数，此时函数的定义域通常为全体实数。
03
确定根式函数的定义域
根式函数是指形如$y=√x$的函数，此时函数的定义域通常为非负实数。
抽象函数定义域的应用
在数学建模中的应用
数学建模中的抽象函数定义域通常用来描述变量 之间的函数关系，帮助我们更好地理解问题的本 质和规律。
之间的关系。
通过定义域，我们可以确定算法 的输入和输出范围，从而更好地
理解和设计算法。
此外，抽象函数定义域在算法设 计中还可以帮助我们更好地理解 算法的复杂度和效率，以及优化
算法的性能。
总结与展望
对于抽象函数定义域的理解和掌握
定义域的基本概念
了解定义域是什么，如何确定定义域，以及定义域在函数中的重 要性。
限制定义域在确定函数性质和 运算规则时具有重要作用。
抽象函数定义域的求法
根据函数的性质求定义域
01 确定性
函数中的映射关系应明确，不能含糊不清。
02 互异性
函数的定义域中的每一个元素，在函数的值域中 只能对应一个元素。
03 任意性
函数中的对应关系可以在定义域的任意子集上进行。
根据实际应用求定义域
抽象函数的特性
01 非具体性
抽象函数没有具体的解析表达式，不能通过解析 表达式来表达函数关系。
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抽象函数定义域的求法
抽象函数是指只给出函数的一些性质,而未给出函数解析式的一类函数。
抽象函数一般以中学阶段所学的基本函数为背景,且构思新颖 ,条件隐蔽 ,技巧性强,解法灵活 .由于这类问题本身的抽象性和其性质的隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策 . 在人教版必修 1 的教学中涉及到抽象函数定义域的求解，学生普遍感到难以理解，我们从如下方面，并结合例题看看常考题型。
首先让学生明确两点：
①单独看某个函数，定义域一定是指单位x （自变量）的取值范围（无论是已知的定义域还是所求的定义域）——绝对情况。
②几个函数在一起，函数y f与函数y f（其中，是关于x的表达式）中，即括号内，看作整体，它们的范围相同——相对情况。
1、函数 f(x) 的定义域为 [a,b]是指谁的范围？
2、函数 f(2x+1) 的定义域为 [a,b]是指谁的范围？
3、函数 f(x) 的定义域为 [a,b]，则函数 f(2x+1) 中谁的范围是 [a,b]？
4、函数 f(2x+1) 的定义域为 [a,b]，则函数 f(x) 的定义域为 [a,b]对吗？
在给学生充分解释这两点的含义之后再让学生做下面的题目组：
1、已知函数 f(x) 的定义域为 [ －1，5] ，求 f(3x-5) 的定义域；
2、已知函数 f(3x-5) 的定义域为 [ －1，5] ，求 f(x) 的定义域；
3、已知函数 f(1-2x) 的定义域为 [ －1，5] ，求 f(3x-5) 的定义域；
4、已知函数 f(1-2x) 的定义域为 [ －1，5] ，求 f(-x) ＋f(x2)的定义域；
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