停留时间分布
[化学反应工程原理]第十章__停留时间分布-数学期望及方差
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tm
tE(t)dt
0
E (t )dt
tE(t)dt
0
0
它是指整个物料在设备内的停留时间，而不是个别质点的 停留时间。 不管设备型式和个别质点的停留时间，只要反应体积与物 料体积流量比值相同，平均停留时间就相同。
➢在实验中得到的是离散情况(即各个别时间)下的E(t)，可用 下式计算：
tm
dC dt
V VR
C0C1 tmC0CdC 1
dt
C0 C tm
积分上式：ln C0 C t C F (t) 1 et /tm
C0
tm C0
F ( ) 1 e
E(t) dF(t) 1 exp( t )
dt tm
tm
方差为
2
1,
2 t
tm2
全混流反应器的F(t)和E(t)函数的曲线如图示。
ci
cn
②轴向扩散模型
轴向扩散
N
Dx
dc dx
c c+dc
dx
一、多釜串联模型(N为模型参数)
多釜串联模型是用N个全混釜串联来模拟一个实 际的反应器。N为模型参数。
1.模型假定条件： ① 每一级内为全混流； ② 级际间无返混； ③ 各釜体积相同
2.多釜串联模型的停留时间分布
设反应器总体积为Vr，并假想由N个体积相等的全混釜串联组 成，釜间无任何返混。若对系统施加脉冲示踪后，作示踪剂
F（t）
阶跃输入 出口响应
0
t
阶跃法所得输入—响应曲线
由图可知，在t=0时，C=0；t↑， C→ C0
阶跃示踪法测得的是停留时间分布函数F(t)
时间为t时，出口物料中示踪剂浓度为C(t)，物料流量为 V，所以示踪剂流出量为V C(t)，又因为在时间为t时流出 的示踪剂，也就是反应器中停留时间小于t的示踪剂，按 定义，物料中停留时间小于t的粒子所占的分率为F(t)，因 此，当示踪剂入口流量为VC0时，出口流量VC0 F(t)，所 以有：
第四章-停留时间分布
可见，F（t）与C（t）有相同的变化趋势，二者仅差常数C0。
3.脉冲法测定E( t )
0，t < 0
V0
示 踪
剂M
反应器
VR
检测器
C( t )
V0
注入刺激浓度 C = C0，t = 0 0，t > 0
C0
脉冲刺激
C0
应答曲线
Δt Δt
0
t
0
t
示踪剂物料衡算式，在dt 时间内， V0
排出量为V0C(t)dt，总量为
整理得
dC(t) dt
V0 VR
[C0
C(t)]
1 tm
[C0
C(t)];
或
dC(t) dt ; C0 C(t) tm
积分得 F (t) C(t) 1 et tm ; E(t) dF (t) 1 et tm
C0
dt tm
F( t ) E( t )
1.0
1 et tm
0
t
1 et tm
1
tm
示
M 0 V0C(t)dt
踪
剂M
反应器
VR
检测器
C( t )
V0
于是 1 V0 C(t)dt, 与归一化式
E(t)dt 1
比较，得
0M
0
E(t) V0 C(t) ( 停留时间分布密度函数公式） M
在实际实验中，脉冲注入示踪剂的量可从实验数据中求得：
M V0 0 C(t)dt,
停留时间分布密度可写成： E(t) 因停留时间分布函数为
时间t （s） 0 120 240 360 480 600 720 840 960 1080
示踪剂浓度 0 6.5 12.5 12.5 10.0 5.0 2.5 1.0 0.0 0.0 C（g / m3)
第5章停留时间分布与反应器的流动模型
E(t) 被称为停留时间分布密度函数。
此定义函数具有归一化的性质：
E(t)dt 1
0
因为当时间无限长时，t = 0时刻加入的流体质点都会流出反应器，即
ndt N
0
和
E(t)dt
ndt
N 1
0
0
停留时间分布密度具有如下的特性：
E t 0 t<0 E t 0 t 0
13
停留时间分布函数
如果假定红色粒子和主流体之间除了颜色的差别以外，其余 所有性质都完全相同，那么就可以认为这100个粒子的停留 时间分布就是主流体的停留时间分布。
10
N N
停留时间为t t t的物料量 t 0时瞬间进入反应器的物料量
以时间t为横坐标，出口流中红色粒子数为纵坐标，将上表作图。
N 表示停留时间为t→t+△t的物料占总进料的分率。 N
反应器内的返混程度不同—停留时间不同—浓度分布 不同—反应速率不同—反应结果不同—生产能力不同
非理想流动反应器：介于两种理想情况之间,停留时间是 随机变量，因此停留时间分布是一种概率分布。
6
几个概念：
停留时间： 流体从进入反应器系统到离开系统总共经历的时间，即流体从系
统的进口到出口所耗费的时间。
年龄 反应物料质点从进入反应器算起已经停留的时间；是对仍留在反
应器中的物料质点而言的。 寿命
反应物料质点从进入反应器到离开反应器的时间；是对已经离开反 应器的物料质点而言的。
7
相互联系： 寿命指反应器出口流出流体的年龄 实际测得的一般是寿命分布，应用价值大。停 留时间分布一般指的是寿命分布。
返混： 又称逆向返混，不同年龄的质点之间的混合。
———是时间概念上的混合
停留时间分布讲义
实验五 连续流动搅拌釜式反应器停留时间分布的测定1实验的意义和目的在研究工业生产反应器内进行的液相反应时，不仅要了解浓度、温度等因素对反应速度的影响，还要考虑物料的流动特性和传热与传质对反应速度的影响。
由于种种原因造成的涡流、速度分布等使物料产生不同程度的返混。
返混不仅会改变反应器内的浓度分布从而影响反应率，同时还会给反应的放大、设计带来很大的困难。
反应器的返混程度是很难直接观察和度量的。
返混会产生两个孪生现象：其一是改变了反应器内的浓度分布；其二是造成物料的停留时间分布。
测定物料的停留时间分布是一种比较简单的方法。
因此，通常采用测定停留时间分布的来探求反应器的返混程度。
通过测定反应器的停留时间分布，对过程的物理实质加以概括和简化，可以概括出流动模型。
本实验的目的是：（1） 解反应器中物料返混的现象；（2） 掌握停留时间分布的实验测定方法；（3） 掌握脉冲法测定停留时间分布的数据处理的方法；（4） 排除实验障碍，正确测定实验数据。
2实验原理应用应答技术，利用脉冲加入示踪物的方法，在连续流动搅拌釜式反应器中进行停留时间分布测定。
在系统达到稳定后，瞬间将示踪物注入搅拌釜中，然后分析出口流体中示踪物的浓度变化，并且通过出口流量V 和浓度C p ，示踪物的加入量M 来计算其停留时间分布，即： 分布密度函数：0.()()p p p V C C dF t E t dt M C dt∞===⎰； 分布函数：000()t tpp p C dtV C dt F t M C dt∞==⎰⎰⎰； 平均停留时间：0000()()pp t E t dt tC dt t E t dtC dt ∞∞∞∞⋅==⎰⎰⎰⎰；停留分布的方差：2222000()()()()tt t E t dt t E t dt t E t dtσ∞∞∞-⋅==⋅-⎰⎰⎰ 220p p t C dtt C dt∞∞=-⎰⎰如果用对比时间 t t θ=为自变量表示概率函数，则平均停留时间1t tθ==；在对应的时标处，即θ和t t θ=，停留时间分布函数值相等，()()F F t θ=；停留时间分布密度()()()()(/)dF dF t E t E t d d t t θθθ===⋅；对应的随机变量θ的方差22200(1)()(1)()E d E t td σθθθθθ∞∞=-=-⎰⎰ 2201()()t t E t dt t ∞=-⎰ 有了以上关系，显然，对于全混流，21σ=对于平推流，220t σσ==对于一般实际情况，201σ≤≤ 当流动搅拌反应器在搅拌足够剧烈时，可看成理想全混流反应器。
停留时间分布与反应器的流动模型讲义
停留时间分布与反应器的流动模型讲义停留时间分布（RTD）是描述流体在反应器内停留时间的分布情况。
它对于理解反应器的性能和效率至关重要。
通过分析停留时间分布，可以评估反应过程中各种反应物的浓度分布，从而优化反应器设计和操作。
在反应器中，流体进入并通过反应器。
然而，由于流体的动力学特性和反应器的几何形状，不同流体分子停留在反应器中的时间是不一样的。
停留时间分布图描述了流动物质的停留时间的概率分布。
停留时间分布可以通过数学模型来描述。
最常用的数学模型是以连续搅拌反应器（CSTR）为基础的模型。
CSTR是一种理想化的反应器类型，其中反应物在反应器中均匀分布，并以恒定的速率混合。
CSTR模型假设反应物的停留时间服从完美的指数分布。
另一个常用的模型是斑点流动模型（PFR）。
在PFR中，流体在反应器中形成了一系列的“斑点”，每个斑点代表一个流体分子，它们按照一定的速率顺序通过反应器。
PFR模型假设反应物的停留时间服从完美的单谷型分布。
PFR模型更适用于流体通过小直径管道或多孔介质的情况。
反应器的流动模型是利用数学模型描述反应物在反应器内的运动和行为，从而揭示反应过程中的动力学特性。
通过结合停留时间分布和流动模型，可以研究反应器中的物质传递、反应速率、混合程度等重要参数。
总结一下，停留时间分布和反应器的流动模型对于理解反应器的性能和优化设计非常重要。
它们可以帮助我们预测和改进反应过程中的各种流体动力学参数，从而提高反应器的效率和产量。
停留时间分布（RTD）与反应器的流动模型在化学工程领域具有广泛的应用。
通过分析停留时间分布和建立合适的流动模型，可以有效地揭示反应器内复杂流动与反应过程之间的关系，优化反应器设计和流程操作。
首先，停留时间分布是评估反应器性能的一个重要指标。
它反映了反应物在反应器内停留的时间分布情况。
对于快速反应，需要较短的停留时间，而对于缓慢反应，则需要较长的停留时间。
停留时间分布可以通过实验测量或数值模拟来获得。
第四章 停留时间分布
第一节 连续流动反应器中物料混合分析 一、混合现象分类
物料在反应器中进行反应必须相互接触混合，反应器中的 物料混合可分为空间概念上的混合和时间概念上的混合。 1. 空间概念混合 空间混合是指各组分之间在分子水平上均匀分布。 2. 时间概念混合 ①同龄混合——物料在反应器中有相同的停留时间。
V0 C (t )dt , 与归一化式 M
0
E (t )dt 1 比较，得
V0 E (t ) C (t ) ( 停留时间分布密度函数公式） M
在实际实验中，脉冲注入示踪剂的量可从实验数据中求得：
M V0 C (t )dt ,
0
停留时间分布密度可写成： E (t ) 因停留时间分布函数为
i
C (t )dt C (t )dt V C (t )dt C (t )dt
t 0 0 0 0 0 0
V0 C (t )dt
t
t
停留时间分布密度：
停留时间分布函数：
F (ti )
C (t )t C (t )t
i 1 i i 1 i
t
i
i
三、停留时间分布的数字特征
V0C (t ) V0C (t ) M V0 C (t )dt
0
C (t )
0
C (t )dt
V0C (t ) F (t ) E (t )dt; 另外， E (t ) 0 M
t
V0 F (t ) M
实验离散型数据表示
反应过程与设备例题与习题(第三章)
第三章非理想流动一、主要基本理论、基本概念1.停留时间：物料质点从进入反应器开始，到离开为止，在反应器中总共停留的时间。
2.平均停留时间：整个物料在反应器内平均停留的时间。
3.停留时间分布密度函数E(t)同时进入反应器的N 个流体质点中，停留时间介于t 与t+dt 之间的质点所占的分率dN/N 为E(t)dt 。
1)(0=⎰∞dt t E4.停留时间分布函数F(t)流过反应器的物料中停留时间小于t 的质点(或停留时间介于0～t 之间的质点)分率。
⎰=tdt t E t F 0)()(5.停留时间分布的数字特征 ① 数 学期 望 t =⎰⎰∞∞0)()(dtt E dt t tE② 方 差2t σ=⎰⎰∞∞-02)()()(dtt E dtt E t t③ 无因次方差22//t tt t θσσθ==6.停留时间分布的实验方法及对应曲线 ① 脉冲示踪 E(t) 曲线 ② 阶跃示踪 F(t) 曲线 ③ 无因次化 /()()()()t tE tE tF F t θθθ===7.理想流动模型的停留时间分布① 平推流 001()()1t t E t E t t θθθ≠≠⎧⎧==⎨⎨∞=∞=⎩⎩ 001()()111t t F t F t tθθθ〈〈⎧⎧==⎨⎨≥≥⎩⎩2210t t θτθσσ====② 全混流 ()1/exp(/)()E t t t t E e θθ-=-=()1exp(/)()1F t t t F e θθ-=--=-2/1t t tθτθσ===8.非理想流动模型的停留时间分布①扩散模型：是在平推流模型的基础上再迭加一个轴向扩散的校正，模型参数是轴向扩散系数Ｄl （或P e 数），停留时间分布可表示为Ｄl 的函数。
适用于返混不大的系统。
Pe >100时: θ=1 22/2/t t Pe θσσ==闭 式: θ=1222/2/(1)Pe Pe Pe e θσ-=--②多级串联全混流模型：是用m 个等体积的全混流模型串联来模拟实际反应器。
化学反应工程-第四章停留时间分布与流动模型
第四章 停留时间分布与流动模型
4.1.1 停留时间分布的定量描述
停留时间：反应物料从反应器入口到出口所经历的时间
借用人口统计学（Population）两个统计参数 a) 社会人口的年 龄分布和 b) 死亡年龄分布，在反应工程中：
• 寿命分布: 对离开系统的流体微元而言，指的是流体 微元从进入系统起到离开系统止，流体微元在系统内经历 的时间;
—— 脉冲示踪法
解:(1)数据的一致性检验
0 cA(t)dtcAtt cA100
0
0
m 80 100 V 0.8
0
cA(t)dtm V100
第四章 停留时间分布与流动模型
4.1.3 停留时间分布的实验测定
—— 脉冲示踪法
(2)E(t)的计算
由E(t)的计算式：E(t) cA(t) cA(t) m 100
4. 1. 2 停留时间分布的函数表达式
物料在反应器内的停留时间是一个随机过程，对随 机过程通常用概率进行描述，有两种表示形式： 对出口流体而言： F(t)——停留时间分布函数，也称概率函数 E(t)——停留时间分布密度函数，也称概率密度函数 对反应器内的流体而言： y(t) ——年龄分布函数 I(t)——年龄分布密度函数
m
m V0c(t)dt
0
V0＝const, 则： mV0 c(t)d，t 得：
0
第四章 停留时间分布与流动模型
4.1.3 停留时间分布的实验测定
—— 脉冲示踪法
E(t) c(t)
c(t)dt 0
—由脉冲法直接测得的是停留时间分布密度函数E(t)
第四章4停.留1时.间3分布停与流留动模型时间分布的实验测定
0
0t t2E(t)dt
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E(t) v0C(t) C(t)
Q
C0
化学工程系
E(t)
=
N N-
N
1 !tˆ
t tˆ
N
-1
e
-Nt tˆ
E(θ)
=
NN
N - 1!
θ
N
-1
e -Nθ
该模型只有一个模型参数N，根据停留 时间分布，算出N，即可求解x
E(θ) 1.0
化学工程系
N=5 N=1
N=2
N=10
1.0
1.0
θ
F(θ)
(N 2) 1 (N 1)! 1 N 1 1 1
N !N
N !N
N
N
化学工程系
③模型参数N
N
1
2
N 1
2
1
全混流模型
N 2 0 平推流模型
实际反应器：
0
2
1
化学工程系
2.轴向扩散模型(模型参数Pe)
由于分子扩散、涡流扩散以及流速分布 的不均匀等原因，而使流动状况偏离理想 流动时，可用轴向扩散模型来模拟。
化学工程系
轴向扩散模型的应用
若将轴向扩散模型应用于管式反应器，对管内微
元段作反应组分A的物料衡算：
CA t
EZ
2CA l 2
u
CA l
rA，定态反应
CA t
0
对于一级不可逆反应，上式有解析解：
4 exp[ uL ]
CA CA0
(1 xA )
(1 )2
2EZ
exp[uL] (1 )2 exp[ uL]
rA
1 2
(rA1
rA2 )
1 2
k (CAn1
C
n A2
)
化学工程系
假如这两个粒子间是微观混合，则混合后 A的浓度为
1 2
(CA1
CA2
)
其平均反应速率为
rA k[(CA1 CA2 ) / 2]n
微观混合程度不同将会对化学反应的速率 发生影响。
化学工程系
完全微观混合与离集
c1
c2 2
ห้องสมุดไป่ตู้
tˆ2
2
tˆ2
/
tˆ2
1
化学工程系
E(t)
停留时间小于
1
平均停留时间
tˆ
E
t
1 tˆ
et
/tˆ
的粒子所占分
率为63.2%
0.632 0.368
tˆ
t
F(t)
1.0 0.632
F t 1 et/tˆ
t
tˆ
化学工程系
小结
1.全 混 流
2 t
tˆ2
2.平 推 流
2 t
0
3.工业反应器
0
2 t
tˆ2
化学工程系
三、 停留时间分布函数的统计特征值 ❖数学期望:对原点的一次矩
❖方差:对均值的二次矩
化学工程系
数学期望（平均停留时间）
ˆt
tE(t)dt
0
E(t)dt
tE(t)dt
0
0
停留时间分布密度曲线下面积重心 在横轴上的投影。
方差
化学工程系
用来度量随机变量与其均值的偏离程度
方差越大，分布曲线越离散。
化学工程系
Q(g或mol)
检测器
CA 应答曲线
输入曲线 -t 0 t
响应曲线 t
化学工程系
CA 应答曲线
t~t+∆t间示踪剂的量为
vC(t) ∆t 停留时间介于t~t+∆t的示踪剂所占分率： t
vC(t) ∆t/Q 根据停留时间分布密度函数定义
E(t) ∆t= vC(t) ∆t/Q
E(t) vC(t) Q
JA
EZ
dCA dz
设管横截面积为A，在管内轴向位置l 处截取微元长度dl，作
物料衡算。
uAC
C Ez A l
C uA(C dl)
l
C
Ez A l (C + l dl)
dl
化学工程系
C
2C C
t = Ez l2 - u l
将方程无因次化：
P其e数表值示C越对=大流CC，0流,θ轴动=向和ttˆ ,返扩Z =混散Ll程传度递越程小度。的相对大小;
2 1.0
2
0
0
2
1.0
化学工程系
三、非理想流动模型 学习了停留时间分布，对于非理想 反应器
怎样利用停留时间分布计算 反应器的转化率？
化学工程系
建立反应器模型 测定停留时间分布
零参数模型
离散模型 最大混合模型
单参数模型
求解模型参数
多釜串联模型 轴向扩散模型
组合模型
化学工程系
1.、多级全混釜串联模型： 用N个体积相等的全混釜(Vi)串联来模拟一个
2EZ
2EZ
[1
4k(
L)( EZ
1
)] 2
u uL
一级反应结果：
化学工程系
二级反应结果：
化学工程系
习题6 一封闭容器，已知流动时测得Ez/ul=0.2，若
用串联的全混流反应器能表达此系统，则串 联釜数为多少？（闭式边界）
3.组和模型:
化学工程系
化学工程系
采用阶跃示踪
vsCA0
vsCAs
n
cn 1
2
cn 2
c1
c2 2
n
cn 1
2
cn 2
c1
c2 2
n
cn 1
2
cn 2
rA n＞1
rA n= 1
rA n＜1
C2
C1
C2
C1
C2
C1
化学工程系
习题8 有一反应器，用阶跃示踪测定其停留时间分 布，数据如下：
θ/s 0 F(θ) 0
0.5 0.7 0.875 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.1 0.22 0.4 0.57 0.84 0.94 0.98 0.99
C θ
=
Ez ul
2C Z 2
- C Z
Pe=uL/Ez ， Peclet数
化学工程系
返混很小时，方程的求解：
ˆ 1
2
2 Pe
E（θ）形状 基本不受边界 条件影响；
方差具有加 和性。
化学工程系
返混较大时，方程的求解：
化学工程系
开开边界的停留时间分布曲线
化学工程系
化学工程系
对于开开边界
实际流动的反应器(V )，V=NVi； 根据停留时间分布确定釜数（参数）N； 利用理想反应器设计方程计算转化率。 采用脉冲示踪：
假设：
①每一釜为全混釜，且 tˆi tˆ / N
②釜间无任何返混，且忽略流体流过连接管 线所需的时间。
化学工程系
流入量 -流出量＝ 累积量
0 v0C1
d
V1C1 dt
化学工程系
无因次停留时间
t tˆ
F ( ) F (t )
E( )d E(t)d(t)
E( ) tˆE(t)
化学工程系
4.2理想反应器的停留时间分布
一、活塞流模型
E(t)
F
t
1 0
t tˆ t tˆ
E
t
0
t tˆ t tˆ
F(t) 1.0
t
t
2
2 t
0
化学工程系
二、全混流模型 阶跃示踪：
Vs
dCAs dt
v0CA vbCA0 vsCAs
CAs CA0
1
exp
1
t
CA CA0
F(t)=1 (1 ) exp 1
t
然后求解E(t)、均值，从而求 得参数。
vb v0 Vs V V
v0
死区 模型：
化学工程系
( v )
e vm
平推和全 混串联组 和模型
化学工程系
4.迟出峰 E(t)
化学工程系
原因：存在死区，或示踪剂被吸附在器壁上
化学工程系
4.3流体的混合态及其对反应的影响 （零参数模型）
反应器中流体的混合 粒子之间不发生任何物质交换，即各个粒子都是 孤立的,粒子之间不产生混合。 宏观流体 离集流模型 粒子之间发生分子尺度混合，则这种混合称为微 观混合。当反应器不存在离集流体粒子时，微观 混合达到最大。 微观流体 完全微观混合或最大微观混合 部分离集或部分微观混合
第四章 非理想流动
化学工程系
用以下3个概念描述非理想反应器 ➢ 停留时间分布 ➢ 混合程度 ➢ 反应器模型
化学工程系
4.1 停留时间分布 一、停留时间分布函数
1.停留时间分布密度函数 在稳定连续流动系统中，同时进入反应器 的N个流体粒子中，其停留时间为t～t+dt 的那部分粒子占总粒子数N的分率记作：
N=1 N=2
N=5
N=∞
1.0
θ
化学工程系
多釜串联模型特征值及模型参数
① 无因次平均停留时间：
ˆ
E( )d
(N )N
eN d (N )
0
0 N 1!N
(N 1) N ! 1 N! N!
② 无因次方差：
2
2 E (
)d
2
(N )N 1
eN d (N ) 1
0
0 N 1!N 2
dN E(t)dt N
停留时间分布密度函数
化学工程系
单位：时间－1
化学工程系
停留时间分布密度
1.0
0 E(t)dt 1
E(t)