高观点下的初等数学

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画不完的线

几何图形抽象，无限思想更抽象。如何让学生感知无限，体验无限，理 解无限？实践证明：让学生动手按要求画一画，学生的思维有了实践操作 的支撑、凭借，能通过想象得以接受。并在画不完的矛盾冲突中进一步感 悟它的无限思想。 如在学习《圆的认识》这课，教师为了让学生体验圆的半径、直径有无 数条，在学生知道了半径、直径的含义后，就组织学生开展画半径、画直 径比赛。同学们边画边思考，……接着在学生交流条数的过程中，通过思 维的碰撞，得出“画不完”的结论。让学生在想象线越来越细时，条数越 来越多，多到数不清，很好地渗透了“极限”思想。
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3.计量单位的进率关系(进率关系)一小数的认识(建立小数的概念)
一比较大小(数数关系)一小数的运算(自然数运算关系的推广)一百
分数的认识(建立百分数的概念)一分数、小数、百分数的互化(数 数关系)

4.文字归纳的运算律(运算律的含义)一字母表示数(代数模型)一运 算律的字母表达式(代数式)一等量关系(等量关系模型)一方程的认
学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重
要的数学知识(包括数学事实、数学生活经验)以及基本数 学思想方法和必要的应用技能……”数学思想方法是新课 标要求的教学目标之一。
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首先,要全面学习掌握各种初等数学思想方法的本体知
识。例如,数学思想方法有哪些?各种思想方法的具体涵义
是什么?各种思想方法是如何形成与发展的? 只有清晰全 面掌握初等数学思想方法的本体知识,才能更好地发现和 理解小学教材中哪些素材蕴藏着数学思想方法,更好选择 “渗透点”。

1.自然数的认识(建立自然数的概念)一自然数的组成(认识数与数 的关系)一加减法运算(数数运算)一比较大小(数的顺序关系)一乘除 法运算(数数运算)一四则运算(数数运算)一运算律(关系式)。

2.自然数的除法(数数运算)一分数的认识(建立分数的概念)一比较 大小(数数关系)一比一与比例(新的概念)一分数的通分(比的性质的 应用)一分数的运算(自然数运算关系的推广)。
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（3）对“关系”的体验
比较典型的是正方形、圆和正方体的相关内容。学生感受到同样是 周长20厘米，正方形是唯一确定的，长方形却是多种多样的，主要原 因是正方形仅由边长一个因素决定，而长方形要由长、宽两个因素决 定。 由两个数确定一个数，可以看成是一个二元函数。从三年级学习长、 正方形的周长公式开始，学生先后又学习了长、正方形面积公式;平行 四边形、三角形、梯形面积公式;长、正方体表面积和体积公式;圆的面 积周长公式;圆柱的表面积体积公式;圆锥的体积公式;另外，还掌握了 其它一些三个量关系:速度、时间、路程;单价、数量、总价等。这些给 了学生很多对多元函数自变量与因变量之间“关系”的感受。
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一、符号化思想

符号思想是指用符号以及符号组成的数学语言来表达数学的概念、 运算和命题的数学思想。包括字母、数字、图形和各种特定的符号来 描述数学内容。符号思想是导致数学脱离其实际内容形成抽象化形式 系统的关键思想。

当远古时代的人类采用小石头,小木棍或打绳结来表示打猎成果的
只数时,就意味着这种抽象的产生;而当他们第一次试图使用记号将猎 获物的只数记录下来时,就意味着符号思想的出现。
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其次, 深入钻研全套教材,系统把握教材中可以进行数学
思想方法渗透的各种因素,一是要明确哪些知识点中可进
行什么数学思想方法的渗透;二是这种思想方法可在哪些 知识点中渗透;三是怎么渗透,渗透到什么程度,应有一个总 体设计,提出不同阶段的具体教学要求。这样才能整理出 比较清晰的数学思想教学的序列,从而形成自身数学思想

1. 函数思想 函数思想是一种考虑对应、考虑运动变化、相依关系， 以一种状态确定地刻画另一种状态的思想方法， 函数思想的本质在于建立和研究变量之间的对应关系。
函数的核心就是“把握并刻画变化中的不变，其中变 化的是‘过程’，不变的是‘规律’(关系)”。
小学不要求形式化的认识函数，强调函数思想的渗透。
方法系统。
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最后,坚持把掌握数学知识和渗透数学思想方法同时纳
入教学目标中。数学思想方法的形成也必须经过循序渐进
的过程,经过反复训练,才能使学生真正领会到。教师要更 新观念,从思想上不断提高对渗透数学思想方法重要性的 认识,坚持把掌握数学知识和渗透数学思想方法同时纳入 教学目的,坚持把数学思想方法教学的要求融入备课环节。
种事物的特征或数量间的相依关系，采用形式化的数学语
言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。

具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数 字及其他数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图 像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构 表达式。
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小学阶段，数学模型是数学学习内容中的重要部分。小学生学习数学 的过程，实际上就是对一系列数学模型的建立、理解、运用的过程。从 现实世界中抽象出数(或形)，进而探讨数(或形)之间的关系，归纳概括出 比较稳定和有用的数量关系，用抽象的形式(数、式、形等)表达出来。这 个过程中所建立的数、形、数数关系、形形关系、数形关系等均是数学 模型的具体表现形式，而这些数学模型又是构建出新的数学模型的基础， 使数学知识的深度和广度不断丰富。上述过程可以概括为“问题情境一 一建立模型一一解释、应用与拓展”，人教版小学数学教材自始至终采 用这种叙述模式渗透数学模型思想。
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3.表格语言
函数反映的是变量之间的关系，所以必须借助数字以 外的符号来表示。
表格的方法在小学数学教材中的地位是十分突出的。 首先，表格作为学生发现规律的重要工具出现在运算规律 探索、公式的推导、图形的变化规律的探索等内容中。
பைடு நூலகம்
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三、数学模型思想

徐利治先生认为，所谓数学模型，是指针对或参照某
识(建立方程概念)一解方程(运算方法)一正、反比例(比例与方程建
立新的模型)
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四、数形结合思想
1、数形结合思想的涵义。

数形结合就是根据数量与图形之间的关系,借助“形”的直观来表
达数量关系,运用“数”来刻画、研究形,把抽象的数学语言、数量关 系与直观的几何图形、位置关系结合起来考虑,通过“以形助数”或 “以数解形”使抽象思维与形象思维结合起来,将复杂问题简单化,抽 象问题具体化,达到解决问题的目的。
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小学数学中存在着大量的可以体现符号化思想的数学
内容。如:数学中各种数量关系,量的变化及量与量之间进
行推导和演算,都是用小小的字母表示数,以符号的浓缩形 式表达大量的信息。如定律、公式等。当学生认识到可以 将两个加数的位置交换和相等之后,学生用自己喜欢的方 式将这个发现表达出来,于是学生就会想到用来表示加法
明。
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“数与代数”的主要内容有:数的认识，数的表示，数的
大小，数的运算，数量的估计;计量单位与进率;字母表示
数，运算律，方程等。课标的要求是，通过“数与代数” 的教学，帮助学生建立数感和符号意识，发展运算能力， 树立数学模型思想。
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教材是按以下几条线索编排渗透数学建立思想的(以下括号中
的说明为数学模型):
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五、极限思想
1、极限思想
极限是用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态的概 念。极限思想为建立微积分学提供了严格的理论基础，为数 学的发展提供了有力的思想武器。
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2、教材中的极限思想： 说不完的数 ：在“自然数”“奇数”“偶数”这些概念教学时，教师可让 学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个，一个数的倍数个 数是无限的；在循环小数这一部分内容中，循环节部分的数字不断重复出现， 也是写不完的，是无限的； 学习了小数的性质、分数的基本性质及比的基本性质等内容后，让学生知 道了：和0.5相等的小数有无数个，大于25小于45的分数有无数个等等。一系 列的数概念教学中，我们有必要让学生初步感知无限。 想不尽的长：小学数学的很多知识点具有无限性如直线、射线、角 的边、平行线的长度等等它们都是可以无限延伸的。这些概念在现实生 活中并不是真实存在的，要让学生看到它们可以“无限延长”，让学生 在有限的空间里去感知“无限”的含义，成了教学中的一个难点。
数学家张景中先生在《感受小学数学思想的力量》中
指出:“小学生学的数学很初等,很简单。但尽管简单,里面
却蕴含了一些深刻的数学思想。”简言之,我们需要站在 更高的视角来审视小学教材,才能把其中的内容及其背后 的思想看清,才能进一步完善自身的数学思想方法体系。
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新课标指出总体目标:“通过义务教育阶段的教学、学习,
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2、教材中函数思想的体现 （1）探索规律
第一学段要求:发现给定的事物(事物、图形、简单的数 列)中隐含的简单规律。
第二学段要求:探求给定的事物中隐含的简单规律或变 化趋势，同时还要求探索具体问题中的数量关系和变化规 律”等等。
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（2 ）对运算规律的探索 随着数域的扩大，学习了小数乘法的计算，学生第一 次遇到了“越乘越小”的情况，学生对乘法运算中的规律 有了一个新的认识，即“一个因数不变时，另一个因数大 于1时，积大于这个因数;另一个因数小于1，积小于这个 因数;另一个数越接近1，积就越接近这个因数”。

根据知识的特点和小学生的思维发展水平,我们主要通过线段图、 长方形面积图、树形图等,把一定的数量关系形象直观地表达出来,帮 助学生从图形的直观特征中发现数量之间存在的联系,以形助数来化 隐为显、化难为易。
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2、数形结合思想在小学数学中的体现。 我们常用画线段图的方法来解答应用题,这是用图形来代替数量关系的 一种方法。我们引导学生画线段图帮助理解题意,研究数量之间的关系。 通过正比例图像的教学,让学生体会正比例关系的图像是一条直线,同 时,利用图像根据其中一个量的值估计另一个量的值,既将抽象的数学概念、 数量关系直观化和形象化,又借助形象的图像来理解抽象的正比例关系问 题,努力使学生抽象思维和形象思维的发展结合起来我们又可以通过代数 方法来研究几何图形的周长、面积、体积等,这些都体现了数形结合的思 想。