4连续信源及信源熵
信息论与编码 第二章 信源与信息熵
现概率是它自身的先验概率。
无记忆信源
{发出符号序列的无记忆信源
发出单个符号的无记忆信源
{
离散 连续
2.1.1 无记忆信源
发出单个符号的离散无记忆信源
——指信源每次只发出一个符号代表一个消息， 且消息的取值个数是有限的（或可列无限多个）。 例如扔骰子，每次实验结果必然是1～6点中的某一 个面朝上。每次实验的结果不随实验次数变化，也 不与先前的实验结果相关，因而该信源是单符号离
p( X1 , X 2 , X l , X L ) p( X l ) [ p( X )]L
l 1
L
2.1.2 有记忆信源
有记忆信源——在不同时刻发出的符号是相互依赖的。 发出符号序列的有记忆信源 ——每次发出1组含2个以上符号的符号序列来代表一 个消息的信源，且各符号之间是相互依赖的。
I=－log2(1/2m)=m bit
2.2.1 自信息量
自信息量I (xi)的特性：
⑴ I (xi)是非负值
⑵ 当p(xi) = 1时， I (xi) = 0
⑶ 当p (xi) = 0时， I (xi) =∞
⑷ I (xi)是先验概率p (xi)的单调递减函数，即 当p (x1)＞p (x2)时， I (x1) ＜ I (x2) ⑸可加性 ： 两个独立事件的联合信息量等于它们分别的信 息量之和。
发出符号序列的无记忆信源
——每次发出1组含2个以上符号的符号序列来代表一 个消息的信源，且各符号之间没有统计关联性。
需要用随机序列（或随机矢量） X =(X1, X2,…, Xl, …, XL)来描 述信源输出的消息，用联合概率分布p(X1, X2,…, Xl, …, XL)来表 示信源特性。 p (X 1 ) p (X 2 ) … p (X l ) … p (X L ) 若离散信源输出的每个符号是统计独立的，且具有相同的概 率空间，则该信源是离散平稳无记忆信源，亦称为独立同分布 （independently identical distribution，i. i. d.）信源。
连续信源高斯分布微分熵
连续信源高斯分布微分熵连续信源高斯分布微分熵在信息论中，熵是一个非常重要的概念，它用来度量一个随机变量的不确定性。
对于离散信源，我们可以通过计算每个符号出现的概率来计算熵。
但是对于连续信源，情况就变得复杂了。
在本文中，我们将讨论连续信源高斯分布微分熵的计算方法。
首先，我们需要了解高斯分布的概念。
高斯分布又称为正态分布，是一种连续概率分布。
它的概率密度函数可以表示为：$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$其中，$\mu$是均值，$\sigma$是标准差。
高斯分布的图像呈钟形，均值处为最高点。
接下来，我们需要计算高斯分布的微分熵。
微分熵是指在连续信源中，每个微小的时间段内，信源输出的信息量。
对于高斯分布，微分熵的计算公式为：$$H=-\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\ln f(x)dx$$将高斯分布的概率密度函数代入上式，得到：$$H=\frac{1}{2}\ln(2\pi e\sigma^2)$$这个公式告诉我们，高斯分布的微分熵只与标准差有关，与均值无关。
标准差越大，微分熵越大，表示信源输出的信息量越大。
微分熵的计算对于信源编码和信道编码都有重要的意义。
在信源编码中，我们需要将信源输出的符号进行编码，使得编码后的信息量最小。
微分熵可以帮助我们评估不同编码方案的效果。
在信道编码中，我们需要将信源输出的符号通过信道传输到接收端，由于信道的噪声等原因，传输过程中会出现误码。
微分熵可以帮助我们评估信道的容量，即信道可以传输的最大信息量。
总之，连续信源高斯分布微分熵是一个重要的概念，它可以帮助我们评估信源编码和信道编码的效果，同时也可以帮助我们评估信道的容量。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的编码方案和信道方案，以达到最优的传输效果。
连续信源的最大熵与最大熵条件
青岛农业大学本科生课程论文论文题目连续信源的最大熵与最大熵条件学生专业班级信息与计算科学 0902学生姓名（学号）指导教师吴慧完成时间 2012-6-25 2012 年 6 月 25 日课程论文任务书学生姓名指导教师吴慧论文题目连续信源的最大熵与最大熵条件论文内容（需明确列出研究的问题）：1简述连续信源的基本概要。
2 定义了连续信源的差熵公式，分别介绍了满足均匀分布和高斯分布的两种特殊信源。
3推导了连续信源的最大熵值及最大熵条件。
资料、数据、技术水平等方面的要求：1概率论的均匀分布、高斯分布的相关知识。
2以及在这两种分布下的连续信源和高斯信源。
3在不同的约束条件下，求连续信源差熵的最大值一种是信源的输出值受限，另一种是信源的输出平均功率受限。
4 詹森不等式以及数学分析的定积分和反常积分、不定积分等数学公式。
发出任务书日期 2012-6-6 完成论文日期 2012-6-25 教研室意见（签字）院长意见（签字）连续信源的最大熵与最大熵条件信息与计算科学指导老师吴慧摘要：本文简述了连续信源的基本概要并定义了连续信源的差熵公式，分别介绍了满足均匀分布和高斯分布的两种特殊信源，推导了连续信源的最大熵值及最大熵条件。
关键词：连续信源最大熵均匀分布高斯分布功率受限The maximum entropy and maximum entropy conditionof consecutive letter of the sourceInformation and Computing Sciences Bian jiangTutor WuhuiAbstract：: On the base of continuous source this eassy describes the basic outline and define differential entropy formula, introduced a uniform distribution and Gaussian distribution of the two special source, derivation of a continuous source of maximum entropy and maximum entropy conditions.Keyword: Continuous source Maximum entropy Uniform distributionNormal distribution Power is limited引言：科学技术的发展使人类跨入了高度发展的信息化时代。
信源熵的名词解释
信源熵的名词解释信源熵（Source Entropy）是信息论中一个重要的概念，用于衡量信息源的不确定性和信息的平均编码长度。
在信息论中，信息可以被看作是从一个信源中获取的，而信源熵用来描述这个信源的不确定性大小。
信源熵的计算方法是根据信源可能产生的符号的概率分布来进行的。
具体来说，如果一个信源有n个可能取值（符号）S1，S2，...，Sn，并且每个符号出现的概率分别为P1，P2，...，Pn，那么信源的熵H(S)可以通过下面的公式计算得出：H(S) = -P1log(P1) - P2log(P2) - ... - Pnlog(Pn)其中，log是以2为底的对数，P1，P2，...，Pn是概率分布。
信源熵的含义是，对于一个不确定性较大的信源，需要更长的编码长度来表示每一个符号，所以熵值越大，说明信息的平均编码长度越长。
相反，当一个信源的不确定性较小，即各个符号出现的概率分布较平均时，信息的平均编码长度较短，熵值较小。
以一个简单的例子来说明信源熵的概念。
假设有一个只有两个符号的信源，分别记为S1和S2，它们出现的概率分别为P1和P2。
如果这两个符号的概率分布相等（即P1 = P2 = 0.5），那么信源的熵就是最大的，因为这两个符号的不确定性相同，需要同样长度的编码来表示它们。
而如果其中一个符号的概率接近于1，另一个符号的概率接近于0，那么信源的熵就是最小的，因为其中一个符号的信息是确定的，只需要很短的编码来表示它。
这个例子可以帮助我们理解信源熵与不确定性之间的关系。
除了信源熵，信息论中还有一个重要的概念是条件熵（Conditional Entropy）。
条件熵是在已知一定的背景条件下，信源的不确定性大小，即在给定前提条件下的平均编码长度。
条件熵可以通过信源和条件之间的联合概率分布来计算，其公式为：H(S|T) = -ΣΣP(s, t)log(P(s|t))其中，P(s, t)表示符号s和条件t联合发生的概率。
信息论与编码2-信源及信源熵
实例3
随机天气状况信源，其中晴天、雨天、雪天出现的概率分别是0.7、0.2、0.1。
实例1
随机二进制信源，其中每个二进制符号（0或1）出现的概率为0.5。
离散无记忆信源的实例
离散有记忆信源
03
离散有记忆信源是输出符号序列中符号与符号之间存在记忆关系的离散随机序列。
应用场景
广泛应用于网络通信、金融交易、军事通信等领域，保障信息安全和隐私。
加密通信
03
应用景
广泛应用于通信系统、数据存储等领域，如CD、DVD、硬盘等存储设备的纠错编码。
01
纠错原理
通过在数据中添加冗余信息，检测和纠正数据传输过程中的错误。
02
常见纠错编码
如奇偶校验码、海明码、循环冗余校验码等，这些编码利用数学原理对数据进行校验，确保数据的正确性。
纠错编码
THANKS
感谢观看
离散有记忆信源的输出符号之间存在统计依赖关系，这种关系会影响信息熵的计算。
定义
性质
离散有记忆信源的定义与性质
计算方法
条件熵
联合熵
离散有记忆信源熵的计算
离散有记忆信源熵是描述信源不确定性的度量，可以通过统计模型来计算。具体计算方法包括条件熵和联合熵等。
条件熵是在给定前一个或多个符号条件下，输出符号的熵。
应用场景
广泛应用于文件存储、网络传输、多媒体处理等领域，如JPEG图片压缩、MP3音频压缩等。
数据压缩原理
通过去除数据中的冗余信息，将数据压缩至更小的存储空间，提高存储和传输效率。
数据压缩
加密原理
通过特定的加密算法将明文转换为密文，确保信息在传输过程中的保密性。
信息论第3章信源及信息熵
举例
数学描述
离散信源 （数字信源）
连续信号
文字、数据、 离散化图象
离散随机变量 序列
跳远比赛的结果、语音 连续随机变量
信号抽样以后
序列
波形信源 （模拟信源）
语音、音乐、热噪声、 图形、图象
不常见
随机过程
表3.1 信源的分类
3.1 信源的分类及其数学模型
我们还可以根据各维随机变量的概率分布是否随时间的推移 而变化将信源分为平稳信源和非平稳信源，根据随机变量间 是否统计独立将信源分为有记忆信源和无记忆信源。
定义3.2 随机变量序列中，对前N个随机变量的联合熵求平
均：
HN
(X)
1 N
H ( X1X 2
XN)
称为平均符号熵。如果当N
时上式极限存在，则
lim
N
H
N
(X)
称为熵率，或称为极限熵，记为
def
H
lim
N
H
N
(
X
)
3.3.1 离散平稳无记忆信源
离散平稳无记忆信源输出的符号序列是平稳随机序列，并且
H(X ) H(X1X2 XN ) H ( X1) H ( X2 | X1) H ( X3 | X1X 2 ) H ( X N | X1X 2 X N1)
定理3.1 对于离散平稳信源，有以下几个结论：
（1）条件熵 H (X N | X1X 2 X N1) 随N的增加是递减的；
（2）N给定时平均符号熵大于等于条件熵，即
s1
si p(s j
| si )
s q
m
状态空间由所有状态及状态间的状态转移概率组成。通过引
入状态转移概率，可以将对马尔可夫信源的研究转化为对马 尔可夫链的研究。
第二章 信源和信息熵
第二章 信源和信息熵
2.1 信源的数学模型及分类
通信系统模型及信息传输模型：
第二章 信源和信息熵
一、离散无记忆信源
例：扔一颗质地均匀的正方体骰子，研究其下落后， 朝上一面的点数。每次试验结果必然是1点、2点、3点、 4点、5点、6点中的某一个面朝上。每次试验只随机出 现其中一种消息，不可能出现这个集合以外的消息， 考察此事件信源的数学模型。
• 平均符号熵就是信源符号序列中平均每个信 源符号所携带的信息量。
• 条件熵≤无条件熵；条件较多的熵≤条件较少 的熵，所以：
第二章 信源和信息熵
离 散 平 稳 信 源 性 质（H1(X)<∞时）：
• 条件熵随N的增加是递减的； • 平均符号熵≥条件熵； • 平均符号熵HN(X)随N增加是递减的； • 极限熵
且：I(X1;X2)＝I(X2;X1)
第二章 信源和信息熵
注意：任何无源处理总是丢失信息的，至多保持原来 的信息，这是信息不可增性的一种表现。
二、离散平稳信源的极限熵 设信源输出一系列符号序列X1,X2, ‥XN 概率分布： 联合熵：
定义序列的平均符号熵＝总和/序列长度，即：
第二章 信源和信息熵
即：收信者所获得的信息量应等于信息传输前 后不确定性的减少的量。
例：设一条电线上串联8个灯泡，且损坏的可 能性为等概，若仅有一个坏灯泡，须获知多少 信息量才可确认？
第二章 信源和信息熵
例解：
测量前，P1(x)＝1/8，存在不确定性： I(P1(x))＝log8＝3bit
第一次测量获得信息量： 第二次测量获得信息量： 第三次测量获得信息量： 每次测量获得1bit信息量，需三次测量可确定坏灯泡
例：运用熵函数的递增性，计算熵函数 H（1/3,1/3,1/6,1/6）的数值。
连续信源的最大熵与最大熵条件解析
青岛农业大学本科生课程论文论文题目连续信源的最大熵与最大熵条件学生专业班级信息与计算科学 0902学生姓名（学号）指导教师吴慧完成时间 2012-6-25 2012 年 6 月 25 日课程论文任务书学生姓名指导教师吴慧论文题目连续信源的最大熵与最大熵条件论文内容（需明确列出研究的问题）：1简述连续信源的基本概要。
2 定义了连续信源的差熵公式，分别介绍了满足均匀分布和高斯分布的两种特殊信源。
3推导了连续信源的最大熵值及最大熵条件。
资料、数据、技术水平等方面的要求：1概率论的均匀分布、高斯分布的相关知识。
2以及在这两种分布下的连续信源和高斯信源。
3在不同的约束条件下，求连续信源差熵的最大值一种是信源的输出值受限，另一种是信源的输出平均功率受限。
4 詹森不等式以及数学分析的定积分和反常积分、不定积分等数学公式。
发出任务书日期 2012-6-6 完成论文日期 2012-6-25 教研室意见（签字）院长意见（签字）连续信源的最大熵与最大熵条件信息与计算科学指导老师吴慧摘要：本文简述了连续信源的基本概要并定义了连续信源的差熵公式，分别介绍了满足均匀分布和高斯分布的两种特殊信源，推导了连续信源的最大熵值及最大熵条件。
关键词：连续信源最大熵均匀分布高斯分布功率受限The maximum entropy and maximum entropy conditionof consecutive letter of the sourceInformation and Computing Sciences Bian jiangTutor WuhuiAbstract：: On the base of continuous source this eassy describes the basic outline and define differential entropy formula, introduced a uniform distribution and Gaussian distribution of the two special source, derivation of a continuous source of maximum entropy and maximum entropy conditions.Keyword: Continuous source Maximum entropy Uniform distributionNormal distribution Power is limited引言：科学技术的发展使人类跨入了高度发展的信息化时代。
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3.6.1 一些基本概念 3.6.2 连续信源的熵 3.6.3 几种特殊连续信源的熵 3.6.4 连续熵的性质 3.6.5 最大连续熵定理
3.6.1 一些基本概念 (1) 连续信源定义 (2) 随机过程及其分类 (3) 通信系统中的信号 (4) 平稳遍历的随机过程
)
0
N
x (bi ai ) i 1
N
x (bi ai ) i 1
Hc(X ) Hc(X1X2 L XN )
L bN aN
b1 a1
p(x) log2
p(x)dx1 L
dxN
L bN aN
b1
1
1
log dx L dx a1
lim(log
n
2
)
0
连续信源的熵
Hc (X ) R p(x) log2 p(x)dx
③举 例
若连续信源的统计特性为均匀分布的概率密度
函数
p(
x)
1 ba
0
a xb x b, x a
则
Hc ( X
)
－
b a
1 ba
log2
1 ba
dx
log2 (b
a)
当(b-a)<1时，Hc(X)<0，为负值，即连续熵 不具备非负性。
④连续信源熵的意义
1）连续信源熵并不是实际信源输出的绝对熵，是 相对熵
2）连续信源的绝对熵还有一项正的无限大量，虽 然log2(b-a)小于0，但两项相加还是正值，且一般 还是一个无限大量。因为连续信源的可能取值数 有无限多，若假定等概率，确知其输出值后所得 信息量也将为无限大；
n
n
lim H (X )
n 0
lim n 0
i1
p(xi ) log2
p(
xi
)
lim(log
n
2
0
)
i1
p(xi )
b
b
a
p(x) log2
p(
x)dx
lim(log
n
2
)
a
p(x)dx
0
b
a
p(x) log2
p(
x)dx
(2) 连续信源的熵 ① 单变量连续信源数学模型 ② 连续信源的熵 ③ 举例 ④ 连续信源熵的意义
① 单变量连续信源数学模型 单变量连续信源数学模型
X
:
R p(x)
并满足 R p(x)dx 1
② 连续信源的熵
Pa (i 1) x a i
Hc (XY ) p(xy) log2 p(xy)dxdy R2
两个连续变量的条件熵
Hc (Y / X ) p(xy) log2 p( y / x)dxdy R2
Hc (X / Y ) p(xy) log2 p(x / y)dxdy R2
3.6.3 几种特殊连续信源的熵 (1) 均匀分布的连续信源的熵 (2) 高斯分布的连续信源的熵 (3) 指数分布的连续信源的熵
（1） 连续信源定义
连续信源：输出消息在时间和取值上都连 续的信源。
例子：语音、电视等。 连续信源输出的消息是随机的，与随机过 程{x(t)}相对应。可用有限维概率密度函数 描述。
(2) 随机过程及其分类
① 随机过程 ② 随机过程的分类
① 随机过程
随机过程定义：随机过程{x(t)}可以看成由 一系列时间函数xi(t)所组成，其中 i=1,2,3,…，并称xi(t)为样本函数。
(1) 均匀分布的连续信源的熵
一维连续随机变量X在[a,b]区间内均匀分布 时的熵为 Hc(X)=log2(b-a)
若N维矢量X=(X1X2…XN)中各分量彼此统计独 立，且分别在[a1,b1][a2,b2] …[aN,bN]的区域内 均匀分布，即
1
N
p(x)
(bi i1
ai
p(x) e 1
(
xm )2 2 2
2 2
m是X的均值
m E[X ] xp(x)dx
2是X的方差
2 E[( X m)2 ] (x m)2 p(x)dx
第一种方法：把连续消息经过时间抽样和 幅度量化变成离散消息，再用前面介绍的 计算离散信源的方法进行计算。即把连续 消息变成离散消息求信源熵
第二种方法：通过时间抽样把连续消息变 换成时间离散的函数，它是未经幅度量化 的抽样脉冲序列，可看成是量化单位Δx趋 近于零的情况来定义和计算连续信源熵。
N
(bi ai )
2N
1
(bi ai )
N
i1
i1
N
log2 (bi ai ) i 1
N
log2 (bi ai ) i 1
Hc(X1) Hc(X2) L Hc(XN )
(2) 高斯分布的连续信源的熵
一维随机变量X的取值范围是整个实数轴R，概
率密度函数呈正态分布，即
ai
p(x) dx p
a ( i 1)
xi
n
n
n
H (X ) p(xi ) log2 p(xi ) p(xi ) log2 p(xi ) p(xi ) log2
i1
i1
i1
当n , 0时，若极限存在，即得连续信源的熵为
3）Hc(X)不能代表信源的平均不确定度，也不能代 表连续信源输出的信息量
4）这种定义可以与离散信源在形式上统一起 来；
5）在实际问题中常常讨论的是熵之间的差值 问题，如信息变差、平均互信息等。在讨 论熵差时，两个无限大量互相抵消。所以 熵差具有信息的特征；
(5) 连续信源的联合熵和条件熵
两个连续变量的联合熵
② 随机过程的分类
可以分为两类：根据统计特性，连续随机 过程可分为平稳与非平稳随机过程两大类。
(3) 通信系统中的信号
一般认为，通信系统中的信号都是平稳的 随机过程。
(4) 平稳遍历的随机过程
随机过程{x(t)}中某一样本函数x(t)的时间平均
值定义：
T
x
(t)
lim
T
1 2T
x(t)dt
T
统计平均值：
E(xti )
xp(t)dx
遍历的随机过程：时间平均与统计平均相等，
即
x (t) E(xti )
3.6.2 连续信源的熵
(1) 计算连续信源熵的两种方法 (2) 连续信源的熵 (3) 连续信源的联合熵、条件熵
(1) 计算连续信源熵的两种方法