共点力的平衡条件及其应用

共点力的平衡条件及其应用
一、知识点整合 1 物体的受力分析
物体的受力分析是解决力学问题的基础，同时也是关键所在，一般对物体进行受力分析的步骤如下：
1．明确研究对象. 在进行受力分析时，研究对象可以是某一个物体，也可以是保持相对静止的若干个物体.在解决比较复杂的问题时，灵活地选取研究对象可以使问题简化.研究对象确定以后，只分析研究对象以外的物体施予研究对象的力（既研究对象所受的外力），而不分析研究对象施予外界的力.
2．按顺序找力.
重力、弹力、后摩擦力（只有在有弹力的接触面之间才可能有摩擦力）. 3．画出受力示意图，标明各力的符号
4．需要合成或分解时，必须画出相应的平行四边形
【例1】如图所示，物体A 靠在竖直墙面上，在力F 作用下，A 、B 保持静止.物体B 的受力个数为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【解析】以物体B 为研究对象，B 受重力，向上的外力F ，
A 对
B 的压力N ，物体B 有相对A 上移的运动的趋势，故 A 对B 的静摩擦力沿斜边向下.如图所示： 【答案】C
进行受力分析时必须首先确定研究对象，
再分析外界对研究对象的作用，本题还可以分析A 的
受力，同学不妨一试. 2 共点力作用下的物体的平衡 1．共点力：几个力如果作用在物体的 ，或者它们的作用线 ，这几个力叫共点力.
2．平衡状态：物体的平衡状态是指物体 .
3．平衡条件： 共点力平衡的条件为物体受合力为0 推论：（1）共点的三力平衡时，其中任意两个力的合力与第三个力等大反向.
（2）物体受n 个力处于平衡状态时，其中n －1个的合力一定与剩下的
那个力等大反向.
【例2】人站在自动扶梯的水平踏板上,随扶梯斜向上匀速运动,如图所示.以下说法正确
A.人受到重力和支持力的作用
B.人受到重力、支持力和摩擦力的作用
C.人受到的合外力不为零
D.人受到的合外力方向与速度方向相同 答案 A
二、共点力平衡的处理方法 1．三力平衡的基本解题方法
（1）力的合成、分解法： 即分析物体的受力，把某两个力进行合成，将三力转化为二力，构成一对平衡力。

f N G
B
例如： （3） 如图所示，质量为m 的楔形物块，在水平推力F 作用下，静止在倾角为θ的光滑固定斜面上，则楔形物块受到的斜面支持力大小为 （ ）
A ．Fsin θ
B ．sin F
θ C ．mgcos θ D ．cos mg θ
解析：以楔形物体为研究对象，分析其受力如图所示，根据平衡条件
（4）如图1所示，用一个三角支架悬挂重物，已知AB 杆所受的最大压力为2000N ，AC 绳所受最大拉力为1000N ，∠α=30°，为不使支架断裂，求悬挂物的重力应满足的条件？
小试身手：1如图所示，一个
重
10N 的光滑重球被一根细绳挂在竖直墙壁上的A 点，绳子和墙壁的夹角θ为37°，(取cos37°=0.8，sin37°=0.6．)求： （1）绳子对重球的拉力T 的大小． （2）墙壁对重球的支持力N 的大小．
小试身手：2如图所示，两根轻绳AO 与BO 所能承受的最大拉力大小相同，轻绳长度AO ＜BO ，若把所吊电灯的重力逐渐增大，则
A ．AO 绳先被拉断
B ．BO 绳先被拉断
C ．AO 绳和BO 绳同时被拉断
D ．条件不足，无法判断
小试身手： 3 如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O 点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的。

一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m 1和m 2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m 1的小球与O 点的连线与水
平线的夹角为a=60。

则两小球的质量比1
2
m m 为 ( )
A 、
3
3 B 、32 C 、23
D 、22
mg
F N
（2）相似三角形法: 利用矢量三角形与几何三角形相似的关系，建立方程求解力的方法．应用这种方法，往往能收到简捷的效果。

例如：4如图所示，固定在水平面上的光滑半球，球心O 的正上方固定一个小定滑轮，细绳一端拴一小球，小球置于半球面上的A 点，另一端绕过定滑轮，如图所示.今缓慢拉绳使小球从A 点滑向半球顶点（未到顶点），则此过程中，小球对半球的压力大小N 及细绳的拉力T 大小的变化情况是 （ ）
A.N 变大，T 变大
B.N 变小，T 变大
C.N 不变，T 变小
D.N 变大，T 变小
【解析】对A 进行受力分析，如图所示，力三角形AF ′N 与几何三角形OBA 相似，由相似三角形对应边成比例，解得N 不变，T 变小.
小试身手：4两根长度相等的轻绳下端是挂一质量为m 的物体，上端分别固定在水平天花板上的M 、N 点．M 、N 两点间的距离为S ，如图18所示．已知两绳所能承受的最大拉力均为T ，则每根绳的长度不得短于多少？
（3）动态平衡
特别提醒：物体受到三个力的作用而处于平衡状态，.此类问题往往有这样的特点：（1）物体受三个力;(2)有一个力大小方向始终不变（一般是重力）；（3）还有一个力的方向不变。

我们把这类问题叫共点力的动态平衡。

我们可以采用图解法或者解析法求解.
例如：5如图9所示，用竖直档板将小球夹在档板和光滑斜面之间，若缓慢转动挡板，使其由竖直转至水平的过程中，分析球对挡板的压力和对斜面的压力如何变化．
析：此题用图解法，取小球为研究对象，小球受到重力G，档板给小球的支持力
N 1和斜面给小球的支持力N
2
三个力作用，如图10所示，将N
1
和N
2
合成，得到合
力F，由平衡条件知，F=G为一定值．由于N
2
总垂直接触面（斜面），方向不变，
则N
1
方向改变时，其大小（箭头）只能沿PQ线变动，如图示．显然在档板移动
过程中，N
1先变小后变大，N
2
一直减小．由牛顿第三定律，小球对档板的压力先
变小后变大，小球对斜面的压力逐渐减小．
小试身手：5如图所示，清洗楼房光滑玻璃的工人常用一根绳索将自己悬在空中，工人及其装备的总重量为G，且视为质点。

悬绳与竖直墙壁的夹角为α，悬绳对工人的拉力大小为F1，墙壁对工人的弹力大小为F2，
则()
A．F1＝
G
sinαB．F2＝G tanα
C．若工人缓慢下移，增加悬绳的长度，但F1与F2的合力不
变
D．若工人缓慢下移，增加悬绳的长度，则F1减小，F2增大
（4）正交分解法求解共点力平衡问题
○1概念：将物体受到的所有力沿已选定的两个相互垂直的方向分解的方法。

目的：将力的合成化简为同向、反向或垂直方向的分力，便于运用普通代数运算公式解决矢量的运算。

“分解”的目的是为了更好的“合成”。

适用情况：适用于计算三个或三个以上的力的合成。

○2对物体进行受力分析
○3选择并建立坐标系,以共点力的作用点为坐标原点建立平面直角坐标系
一般要让尽量多的力落在坐标轴上，尽可能不分解未知力。

○4把不在坐标轴上的力沿两个坐标轴分解
○5同时有
○6正交分解法求解共点力平衡问题的解题步骤:
⑴受力图⑵坐标系⑶列方程⑷解方程
例 6. 重100N光滑匀质球静止在倾角为37º的斜面和与斜面垂直的挡板间，
求斜面和挡板对球的支持力F1，F2。

解：选定如图3所示的坐标系，重球受力如图3所示。

由于球静止，所以有：F1 x
F2
G
37°
7如图所示，重力为500N 的人通过跨过定滑轮的轻绳牵引重200N 的物体，当绳与水平面成60°角时，物体静止。

不计滑轮与绳的摩擦，求地面对人的支持力和摩擦力。

分析：人和重物静止，所受合力皆为零，对物分析得到，绳拉力F 等于物重200N ；人受四个力作用，将绳的拉力分解，即可求解。

解：如图所示，将绳的拉力分解得 水平分力F x =________________ 竖直分力________________ 在x 轴上，F ′与F x 二力平衡 所以静摩擦力F ′=________________ 在y 轴上，三力平衡得地面对人支持力 F N =________________
8 倾角为θ的斜面上有质量为m 的木块，它们之间的动摩擦因数为μ.现用
水平力F 推动木块，如图所示，使木块恰好沿斜面向上做匀速运动.若斜面始终保持静止，求水平推力F 的大小. 【解析】分析物体受力情况如图所示： 由于物体处于平衡状态，则有：
沿斜面方向:
垂直与斜面方向：
【规律总结】多力平衡问题宜采用正交分解法，采用正交分解法时，建立坐标系的原则是让尽可能多的力落在坐标轴上.
小试身手：6如图所示，质量为m 的等边三棱柱静止在水平放置的斜面上。

已知三棱柱与斜面之间的动摩擦因数为 ，斜面的倾角为o 30，则斜面对三棱柱的支持力与摩擦力的大小分别为 （ ） A ．
23mg 和21mg B ．2
1
mg 和23mg C ．21mg 和2
1
mg D ．23mg 和23mg
7如图所示，质量为m 的物体靠在粗糙的竖直墙上，物体与墙之间的动摩擦因数为μ.若
要使物体沿着墙匀速运动，则与水平方向成α角的外力F 的大小如何？
θ
F
f
G x N
G y
F y F x。