第二学期高数模拟试题
高等数学下册复习题模拟试卷和答案(简单实用共七套题)
高等数学下册复习题模拟试卷和答案(简单实用共七套题) 高等数学(下)模拟试卷一一、填空题(每空3分，共15分)z,的定义域为y2yy2(1)函数(2)已知函数z arctan20zx，则 x,(x,y)ds(3)交换积分次序，dyf(x,y)dx(4)已知L是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 L(5)已知微分方程y ,2y ,3y 0，则其通解为二、选择题(每空3分，共15分)x,3y,2z,1 0(1)设直线L为 2x,y,10z,3 0，平面为4x,2y,z,2 0，则( )A. L平行于B. L在上C. L垂直于D. L与斜交 (2( )xyz,(1,0,,1)处的dz ,D.dx,2A.dx,dyB.dx,2222(3)已知是由曲面4z 25(x,y)及平面z 5所围成的闭区域，将在柱面坐标系下化成三次积分为( ) A. 0C.2(x,y)dv5d20rdr dz35B.2 0d240rdr dz202532 0d rdr5dz2r235D. ，则其收敛半径)1drdr dz(4)已知幂级数A. 2B. 1C. 2D. (5)微分方程y ,3y ,2y 3x,2e的特解y的形式为y ( ) A. xx,,xxB.(ax,b)xeC.(ax,b),ceD.(ax,b),cxe三、计算题(每题8分，共48分)x,11、求过直线L1:122y,20zz,3,1且平行于直线L2:x,22y,11z1的平面方程z2、已知z f(xy,xy)，求 x， y3、设D {(x,y)x,y 4}22，利用极坐标求Dxdxdy24、求函数f(x,y) e(x,y,2y)的极值x t,sint (2xy,3sinx)dx,(x,e)dy L5、计算曲线积分，其中L为摆线 y 1,cost从点2y2x2O(0,0)到A( ,2)的一段弧xy xy,y xe6、求微分方程满足x 11的特解四.解答题(共22分)1、利用高斯公式计算半球面z2xzdydz,yzdzdx,zdxdy2，其中由圆锥面z 与上(10 )2、(1)判别级数n 1(,1)n,1n3n,1的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛;(6 )n(2)在x (,1,1)求幂级数n 1nx的和函数(6 )高等数学(下)模拟试卷二一(填空题(每空3分，共15分)z(1)函数ln(1,x,y)的定义域为 ;xyelnx0(2)已知函数z e，则在(2,1)处的全微分dz ; (3)交换积分次序， 1 dxf(x,y)dy2, ;(4)已知L是抛物线y x)点B(1,1上点O(0,0与之间的一段弧，则L(5)已知微分方程y ,2y ,y 0，则其通解为 .二(选择题(每空3分，共15分)x,y,3z 0(1)设直线L为 x,y,z 0，平面为x,y,z,1 0，则L与的夹角为( ); zA. 0B. 2C. 3D. 4 (2)设z f(x,y)是由方程z,3xyz a确定，则 xyz2233( );xy2yz2x,xz2A. xy,zB. z,xyC. xy,zD. z,xy (3)微分方程y ,5y ,6y xe 的特解y的形式为y ( );,A.(ax,b)e2xB.(ax,b)xe222xC.(ax,b),ceD.(ax,b),cxe22x2x(4)已知是由球面x,y,z a所围成的闭区域, 将三次积分为( ); A2dv在球面坐标系下化成a2 0d20sin d rdra2B.2 0d220d rdra20C. 02dd rdraD. 0ndsin d rdr(5)已知幂级数n 1 2n,12xn，则其收敛半径( ).12 B.1 C.2 D.三(计算题(每题8分，共48分)5、求过A(0,2,4)且与两平面 1:x,2z 1和 2:y,3z 2平行的直线方程 . zz6、已知z f(sinxcosy,e22x,y)，求 x， y .7、设D {(x,y)x,y 1,0 y x}，利用极坐标计算22arctanDyxdxdy.8、求函数f(x,y) x,5y,6x,10y,6的极值. 9、利用格林公式计算2223L(esiny,2y)dx,(ecosy,2)dyxx，其中L为沿上半圆周(x,a),y a,y 0、从A(2a,0)到O(0,0)的弧段. x,16、求微分方程四(解答题(共22分)y ,y(x,1)2的通解.1、(1)(6 )判别级数n 1敛;(,1)n,12sinn3的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收n(2)(4 )在区间(,1,1) .2、n 3n,3n,2= .3、已知y ln(1,x)，在x 1处的微分dy . 2lim(n,2)224、定积分1,1(x2006sinx,x)dx 2 .dy 5、求由方程y,2y,x,3x 0所确定的隐函数的导数dx二(选择题(每空3分，共15分)2x,3x,2的间断点 1、x 2是函数(A)可去 (B)跳跃(C)无穷 (D)振荡 57 . y x,122、积分= .(A) (B),(C) 0 (D) 1 103、函数y e,x,1在(, ,0] 。
高等数学下册复习题模拟试卷和答案.
∫ (ex sin y − 2 y)dx + (ex cos y − 2)dy
9、 利用格林公式计算 L
，其中
L 为沿上半圆周 (x − a)2 + y2 = a2, y ≥ 0 、从 A(2a, 0) 到 O(0, 0) 的弧段.
y′ −
y
3
= (x +1)2
6、求微分方程
x +1
的通解.
四．解答题（共 22 分）
3 ．已知 z = e xy ，则 ∂x = (1,0)
。 。
∫ 4 ．设 L 为 x 2 + y 2
= 1上点 (1,0)到 (−1,0)的上半弧段，则
2ds =
L
。
e
ln x
∫ ∫dx f (x, y)dy =
5 ．交换积分顺序 1 0
。
∑∞ (−1)n
6 .级数 n=1 n 是绝对收敛还是条件收敛？
⎧x + y + 3z = 0
（1）设直线
L
为
⎨ ⎩
x
−
y
−
z
=
0
，平面 π 为 x − y − z +1 = 0 ，则 L 与 π 的夹角为（
）；
π
π
π
A. 0
B. 2
C. 3
∂z
（2）设 z
=
f
(x,
y) 是由方程 z3
− 3xyz
=
a3 确定，则
∂x
=
（
D. 4
）；
yz
yz
xz
xy
A. xy − z2
间断点
（C）无穷
（D）振荡
高三数学下学期模拟考试试题含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校HY2021届高三数学下学期模拟考试试题〔含解析〕本卷须知：1.考试时间是是120分钟，总分值是150分；2.把每一小题之答案，写在答题卡上. 一、单项选择题1.集合1|02x A x x -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，(|B y y ==，那么A B =〔〕 A.∅ B.(,2]-∞C.[)1,2D.[]0,2【答案】C 【解析】 【分析】解分式不等式确定集合A ，求函数值域确定集合B ，再由交集定义计算．【详解】由102x x -≤-得(1)(2)020x x x --≤⎧⎨-≠⎩，12x ≤<，即[1,2)A =，又2044x ≤-≤，所以02≤≤，即[0,2]B =，所以[1,2)A B ⋂=．应选：C ．【点睛】此题考察集合交集运算，考察解分式不等式，求函数值域，此题属于根底题． 2.复数z 满足342z i ++=，那么z z ⋅的最大值是〔〕A.7B.49C.9D.81【答案】B 【解析】【分析】 设zx yi =+，由342z i ++=可得出()()22344x y +++=，22z z x y ⋅=+，利用数形结合思想求出z z ⋅的最大值.【详解】设zx yi =+，那么()()34342z i x y i ++=+++==，()()22344x y ∴+++=，那么复数z 在复平面内所对应的点的轨迹是以()3,4--为圆心，以2为半径的圆，22z z x y ⋅=+，其几何意义是原点到圆()()22344x y +++=上一点间隔的平方，原点到5=，因此，z z ⋅的最大值为()22549+=，应选B.【点睛】此题考察复数的几何意义，考察复数对应点的轨迹，同时也涉及了点到圆上一点最值的求解，考察分析问题和解决问题的才能，属于中等题.3.加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成局部．某学生做引体向上运动，处于如下列图的平衡状态时，假设两只胳膊的夹角为60︒，每只胳膊的拉力大小均为400N ，那么该学生的体重〔单位：kg 〕约为〔〕〔参考数据：取重力加速度大小为210/ 1.732g m s ≈＝〕A.63B.69C.75D.81【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形法那么得到该学生的体重||||G F '=,利用余弦定理即可求出||F '得解.【详解】如图，设该学生的体重为G ,那么G F '=.由余弦定理得22222||4004002400400cos()3400,||40033F F π''=+-⨯⨯⨯=⨯∴= 所以||400369G =≈kg .应选：B【点睛】此题主要考察向量的平行四边形法那么和余弦定理解三角形，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度.4.α，,22ππβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且sin sin 0ααββ->，那么以下结论正确的选项是〔〕 A.αβ> B.0αβ+>C.αβ<D.22αβ>【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数()sin f x x x =，利用其导函数判断出单调区间，根据奇偶性和对称性可得正确选项.【详解】构造()sin f x x x =形式，那么()sin cos f x x x x +'=，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时导函数()0f x '≥，()f x 单调递增；,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时导函数()0f x '<，()f x 单调递减．又()f x 为偶函数，根据单调性和对称性可知选D.故本小题选D.【点睛】本小题主要考察构造函数法，考察利用导数研究函数的单调性以及求解不等式，属于中档题. 5.方舱的创设，在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用．某方舱医疗小组有七名护士，每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班．假设甲的夜班比丙晚一天，丁的夜班比戊晚两天，乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中间，那么周五值夜班的护士为〔〕 A.甲 B.丙C.戊D.庚【答案】D 【解析】 【分析】对乙丙值班的时间是分三种情况讨论得解.【详解】假设乙丙分别在星期三和星期五值班，那么星期六甲和庚值班，不符合题意；假设乙丙分别在星期二和星期六值班，那么甲在星期日，庚在星期五值班，戊在星期一值班，丁在星期三值班；假设乙丙分别在星期一和星期日值班，显然不符合题意. 应选：D【点睛】此题主要考察分析推理，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析才能. 6.抛物线24y x ＝的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线交于A ，B 两点，过A 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，MAF ∠的角平分线与抛物线的准线交于点P ，线段AB 的中点为Q ．假设8AB =，PQ =〔〕A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】 【分析】 如图，先证明||||PM PF =，||||PM PN =,所以点P 是MN 的中点，根据中位线性质和抛物线的定义即得解.【详解】如图，由题得MAP QAP ∠=∠,||||AF AM =,所以||||AP MF MG GF ⊥=，.所以||||PMPF =,所以MPA PAF ∆≅∆,所以90PFB PNB ∠=∠=,所以||||PFB PNB PF PN ∆≅∆∴=，，所以||||PMPN =,即点P 是MN 的中点，所以111||(||||)(||||)||4222PQ AM BN AF BF AB =+=+== 应选：B【点睛】此题主要考察抛物线的定义和几何性质，考察直线和抛物线的位置关系，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.7.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大奉献之一．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有图1：“以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数〞，这就是最早的三阶幻方，按照上述说法，将1到9这九个数字，填在如图2所示的九宫格里，九宫格的中间填5，四个角填偶数，其余位置填奇数．那么每一横行、每一竖列以及两条对角线上3个数字的和都等于15的概率是〔〕图1图2A.13B.16C.172D.1144【答案】C 【解析】 【分析】先求出满足题意的所有排法的总数，再求出所有排法的总数，再由古典概型的概率公式求解即可.【详解】先排左上角的数字，可以排2,4,6,8，有4种排法，假设固定了左上角的偶数，如图，假设是2，那么有两种排法，当四个角的数字固定之后，其他空位的数字随其固定，所以一共有42=8⨯种排法满足题意. 要求所有的结果，可以先排四个角上的偶数，有44A 种结果，再排其他四个空位，有44A 种结果，一共有44442424576A A =⨯=.由古典概型的概率公式得444488157672P A A ===⋅.应选：C【点睛】此题主要考察古典概型的概率的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度. 8.直线(0)y ax b b =+＞与曲线3y x =有且只有两个公一共点1122(,),(,)A x y B x y ，其中12x x ＜，那么122x x +=〔〕A.1-B.0C.1D.a【答案】B 【解析】 【分析】 先分析出直线(0)y ax b b =+＞与曲线3y x =在点A 处相切，在点B 处相交，求出直线方程为231132y x x x =-，联立曲线方程3y x =，解方程组即得1220x x +=.【详解】问题等价于直线(0)y ax b b =+＞与曲线3y x =有且只有两个公一共点1122(,),(,)A x y B x y ，画出函数的图象只能是这样：直线(0)y ax b b =+＞与曲线3y x =在点A 处相切，在点B 处相交.由题得切线的斜率为213k x =，切线方程为3223111113(),32y x x x x y x x x -=-∴=-.所以23113,2ax b x ==-,所以直线方程为231132y x x x =-.把直线方程和曲线方程3y x =联立得，323323111132,320x x x x x x x x =-∴-+=，所以2111()(2)0,x x x x x x -+=∴=或者12x x =-.所以21122,20x x x x =-∴+=.应选：B【点睛】此题主要考察导数的几何意义，考察直线和曲线的位置关系，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能. 二、多项选择题 9.点F 是抛物线()220y px p =>的焦点，,AB CD 是经过点F 的弦且AB CD ⊥，AB 的斜率为k ，且0k >，,C A 两点在x 轴上方.那么以下结论中一定成立的是〔〕A.1112AB CD p += B.假设243AF BF p ⋅=，那么3k =C.OA OB OC OD ⋅=⋅D.四边形ABCD 面积最小值为216p【答案】AC 【解析】 【分析】先由AB 的斜率为k ，AB CD ⊥，得到1CD k k=-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理得到2122212(2)14p k x x k x x p ⎧++=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩再由抛物线的焦点弦公式求出AB，CD ，最后根据题意，逐项判断，即可得出结果.【详解】因为AB 的斜率为k ，AB CD ⊥，所以1CD k k=-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由222p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩可得，222221(2)04k x p k x k p ，2122212(2)14p k x x k x x p ⎧++=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以221222(2)2(1)++=++=+=p k p k AB x x p p k k， 同理可得22212(1)2(1)1p k CD p k k +==+那么有1112AB CD p+=，所以A 正确； ()22222222212121111(2)34244224+⎡⎤=+-++=+-=-⎢⎥⎣⎦p p k p k x x x x p p k p p 与k 无关，同理234⋅=-OC ODp ，故OA OB OC OD ⋅=⋅，C 正确； 假设243AF BF p ⋅=，由21212121()2224⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭p p p x x x x x x p 得 222222221(2)4223++=+=pk p p p p k k ，解得k =B 错； 因为AB CD ⊥，所以四边形ABCD 面积22222222222112(1)2(1)12(1)22822++⎛⎫==⋅⋅+==++≥ ⎪⎝⎭ABCDp k p k S AB CD p k p k p k k k 当且仅当221k k =，即1k =时，等号成立；故D 错；应选AC【点睛】此题主要考察直线与抛物线位置关系，熟记抛物线的简单性质，以及直线与抛物线的位置关系即可，解决此类题型，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，弦长公式等求解，属于常考题型. 10.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1CC 上的动点〔点P 不与点C ，1C 重合〕，过点P 作平面α分别与棱BC ，CD 交于M ，N 两点，假设CP CM CN ＝＝，那么以下说法正确的选项是〔〕 A.1A C ⊥面αB.存在点P ，使得1AC ∥平面αC.存在点P ，使得点1A 到平面α的间隔为53D.用过P ，M ，1D 三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用空间直线平面的位置关系对A,B 分析判断，利用点到平面的间隔和截面知识对C,D 分析判断得解.【详解】A.如下列图，平面α//平面1BDC ,在正方体中，1A C ⊥平面1BDC ,所以1A C ⊥平面α，所以选项A 正确；B.假设存在点P ，使得1AC ∥平面α，因为1AC ⊂平面1ACC ,平面1ACC 平面α=PE,所以1//AC PE ,所以12CPCP CP ===,显然不等，所以假设不成立，应选项B 错误；C.当CP 越小，那么点1A 到平面α的间隔越大，这个间隔大于零且无限接近153AC =>,所以存在点P ，使得点1A 到平面α的间隔为53，所以选项C 正确； D.用过P ，M ，1D 三点的平面去截正方体，因为PM//1AD ,所以得到的截面就是平面1PMAD ,它是一个梯形，所以该选项正确. 应选：ACD【点睛】此题主要考察空间直线和平面位置关系，考察点到平面的间隔和截面问题，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能. 11.函数()()()sin cos cos sin ,f x x x x R =-∈，那么〔〕A.()f x 为偶函数B.()f x 为周期函数，且最小正周期为2πC.()0f x <恒成立D.()f x的最小值为【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，结合三角函数的性质，对选项逐一分析，得到结果. 【详解】函数()()()sin cos cos sin ,f x x x x R =-∈，满足()sin[cos()]cos[sin()]sin(cos )cos(sin )()f x x x x x f x -=---=-=， 所以()f x 为偶函数，所以A 正确；根据正余弦函数的最小正周期可知()f x 为周期函数，且最小正周期为2π，所以B 正确；当[0,]2x π∈时，sin [0,1]x ∈，且单调增，cos [0,1]x ∈，且单调减， 所以()0f x <，同理，[,]2x ππ∈，3[,]2x ππ∈，3[,2]2x ππ∈时都成立，结合函数的周期性，满足()0f x <恒成立，所以C 正确；因为sin [1,1]x ∈-，cos [1,1]x ∈-，而sin cos )4x xx π-=-，当4πx =-时获得最小值，结合条件，取不到这个最小值，所以D 不正确；应选：ABC.【点睛】该题考察的是有关三角函数的性质，涉及到的知识点有偶函数的性质，函数的周期性的判断，诱导公式的应用，属于简单题目.12.二次方程的韦达定理，推广到实系数三次方程320Ax Bx Cx D +++=也成立，即123122331123B x x x AC x x x x x x AD x x x A ⎧++=-⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪=-⎪⎩.假设实数a 、b 、c 满足a b c <<，69a b c ab bc ca ++=⎧⎨++=⎩，那么〔〕 A.0a < B.13b << C.34c << D.()()55b c --的最小值是154【答案】BCD 【解析】 【分析】 构造函数32()()()()69f x x a x b x c x x x abc =---=-+-，利用导数分析函数()y f x =的单调性，可得出()()()30f x f f ==极小值，()()()14f x f f ==极大值，再由a 、b 、c 为函数()y f x =的三个零点可判断出A 、B 、C 的正误，由题中条件得出6b c a+=-，()()2963bc a a a =--=-，代入()()55b c --可判断D 的正误.【详解】构造函数32()()()()69f x x a x b x c x x x abc=---=-+-，那么2()3129f x x x -'=+由()0f x '>可得3x >或者1x <，由()0f x '<可得13x <<所以()f x 在(),1-∞和()3,+∞上单调递增，在()1,3上单调递减因为a 、b 、c 为函数()y f x =的三个零点所以()()03f x f =<极小值，()()01f x f =>极大值因为()()()()030,140f f f f ==所以由零点存在定理可得01a <<，13b <<，34c <<，故A 错误，B 、C 正确 由条件可得6b c a +=-，()()2963bc a a a =--=-所以()()()()()()2255525356254,0,1b c bc b c a a a a a --=-++=---+=-+∈所以当12a=时()()55b c --获得最小值154，故D 正确应选：BCD 【点睛】构造函数32()()()()69f x x a x b x c x x x abc =---=-+-是解答此题的关键，考察了学生的分析才能与转化才能，属于中档题.三、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分. 13.函数sin y x =的图象与直线()()20y m x m =+>恰有四个公一共点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，其中1234x x x x <<<，那么442tan x x +=__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意画出图象，找到只有四个公一共点的情况，明确D 点即为直线与函数sin y x =的图象相切点，然后代入运算，即可得到结果． 【详解】由题意画出图象如下： 根据题意，很明显，在D 点处， 直线与函数sin y x =的图象相切，D 点即为切点．那么有，在点D 处，sin y x =-，cos y x '=-．而4cos x m -=，且()4442sin y m x x =+=-，∴44444sin sin 2tan cos x x x x m x --+===-． ∴44442tan 1tan tan x x x x +==． 故答案为：1．【点睛】此题考察根据函数图象关系求解参数的取值，关键在于结合直线与曲线的几何位置关系利用导数的几何意义建立等式求解.14.假设函数11()ln()2x x f x e e --=+-与()sin2xg x π=像的交点为()11,x y ，()22,x y ，(),m m x y ，那么1mi i x ==∑____________.【答案】2 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性得出()f x 的单调性，再结合两函数的对称性确定交点个数与性质后可得结论． 【详解】由1x t e-=是增函数，1u t t=+在[1,)+∞是单调递增，ln 2y u =-在(0,)u ∈+∞单调递增得11()ln()2x x f x e e --=+-在[1,)+∞上是增函数，又211(2)11(2)ln 2ln()2()x x x x f x e e e e f x ------⎡⎤-=+-=+-=⎣⎦，所以()y f x =的图象关于直线1x =对称，易知1x =也是()sin2xg x π=的对称轴，在[1,3]上()g x 是减函数，而(1)10(1)g f =>>，(3)10(3)g f =-<<，因此()f x 与()g x 的图象在[1,3]上有一个交点，[3,4)x ∈时，()0,()0f x g x ><，4x ≥时，()1f x >，()1g x ≤，()f x 与()g x 的图象在[3,)+∞上无交点，所以在[1,)+∞上它们只有一个交点，根据对称性在(,1]-∞上也只有一个交点，且这两个交点关于直线1x =对称．所以1212mii xx x ==+=∑．故答案为：2．【点睛】此题考察两函数图象交点问题，解题方法是研究函数的性质：单调性，对称性，确定交点个数及性质． 15.函数()()21x f x e x =+，令1()()f x f x '=，1()()n n f x f x +'=，假设()2()x n n n n f x e a x b x c =++，记数列22n n n a c b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和为n S ，求2019S 的近似值.有四位同学做出了4个不同答案：23，1，32，53，其中最接近2019S 的近似值的是____________. 【答案】32【解析】 【分析】 依次求导数，归纳出()n f x ，得,,n n n a b c ，然后用放缩法估值n S ，得出结论．【详解】由221()()(21)(22)(43)x x x f x f x e x x e x e x x '==++++=++，2221()()(43)(24)(67)x x x f x f x e x x e x e x x '==++++=++， 2232()()(67)(26)(813)x x x f x f x e x x e x e x x '==++++=++，… 归纳出：22()2(1)1x n f x e x n x n n ⎡⎤=+++++⎣⎦，又()2()x n n n n f x e a x b x c =++ 1n a =，2(1)n b n =+，21nc n n =++.∴222221222(22)n n n n a c b n n n ==-+-++，令221111(2)2(1)1n nn n a d n c b n n n n n==<=-≥---，那么2019123111111122231n S d d d d n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+<+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭31322n =-<， ∴与2019S 的值最接近的是32. 【点睛】此题考察数列的函数特性，考察根本初等函数的导数运算，考察了用放缩法证明数列不等式，还考察了归纳推理，属于中档题．16.古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A ，B 间隔之比为常数(0λλ＞且1)λ≠的点的轨迹是一个圆心在直线AB 上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1226AB AD AA ＝＝＝，点E 在棱AB 上，2BE AE ＝，动点P 满足BP ．假设点P 在平面ABCD 内运动，那么点P 所形成的阿氏圆的半径为________；假设点P 在长方体1111ABCD A B C D -内部运动，F 为棱11C D 的中点，M 为CP 的中点，那么三棱锥1M B CF -的体积的最小值为___________．【答案】(1).94【解析】 【分析】〔1〕以AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴，建立如下列图的坐标系，设(,)P x y ，求出点P 的轨迹为22+12x y =，即得解；〔2〕先求出点P 的轨迹为222++12x y z =，P到平面1B CF的间隔为h =h 的最小值即得解.【详解】〔1〕以AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴，建立如下列图的坐标系，那么(6,0),(2,0),B E 设(,)P x y ， 由3BP PE ＝得2222(6)3[(2)]x y x y -+=-+，所以22+12xy =，所以假设点P 在平面ABCD 内运动，那么点P 所形成的阿氏圆的半径为3〔2〕设点(,,)P x y z ，由3BP PE ＝得222222(6)3[(2)z ]x y z x y -++=-++，所以222++12xy z =，由题得1(3,3,3,),(6,0,3),(6,3,0),F B C 所以11(3,3,0),(0,3,3),FB BC =-=-设平面1B CF 的法向量为000(,,)n x y z =，所以100100·330,(1,1,1)·330n FB x y n n B C y z ⎧=-=⎪∴=⎨=-=⎪⎩， 由题得(6,3,z)CPx y =--，所以点P 到平面1B CF 的间隔为|||||3CP n x h n ⋅+==因为2222222(++)(111)(),66xy z x y z x y z ++≥++∴-≤++≤， 所以min33h ==，所以点M 到平面1B CF 的最小间隔为32，由题得1B CF ∆223332+=，所以三棱锥1MB CF -的体积的最小值为2133932=3424⨯⨯（）.故答案为：(1).94． 【点睛】此题主要考察空间几何中的轨迹问题，考察空间几何体体积的计算和点到平面间隔的计算，考察最值的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.四、解答题：本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤 17.假设数列{}n a 满足221n n a a p +-=〔n ∈+N ，p 为常数〕，那么称数列{}n a 为等方差数列，p 为公方差.〔1〕数列{}n c ，{}n d ，{}n x ，{}n y 分别满足2020n c =，n d =，21n x n =+，3nn y =，从上述四个数列中找出所有的等方差数列〔不用证明〕； 〔2〕假设数列{}n a 是首项为1，公方差为2的等方差数列，求数列{}2n a 的前n 项和n S .【答案】〔1〕{}n c ，{}n d 为等方差数列；〔2〕2n S n =. 【解析】 【分析】〔1〕根据等方差数列的定义判断；〔2〕利用等方差数列的定义写出2{}n a 的性质，得出其通项公式2n a ，再求其和． 【详解】〔1〕22221202020200n nc c +-=-=为常数，22111n n d d n n +-=+-=为常数，22221(23)(21)88n n x x n n n +-=+-+=+不是常数，()()2222113389n n n n nyy ++-=-=⨯不是常数，所以{}n c ，{}n d 为等方差数列；〔2〕因为数列{}n a 是首项为1，公方差为2的等方差数列，所以11a =，2212nn a a +-=，所以212(1)21n a n n =+-=-，所以2(121)2nn n S n +-==.【点睛】此题考察数列的新定义，考察等差数列的通项公式和前n 项和公式，解题关键是理解新定义，把新定义数列转化为数列问题．18.如图，平面四边形ABCD ，点B ，C ，D 均在半径为3的圆上，且3BCD π∠＝．〔1〕求BD 的长度； 〔2〕假设3,2AD ADB ABD ∠∠＝＝，求ABD ∆的面积．【答案】〔1〕5〔2〕【解析】 【分析】〔1〕先求出BCD ∆，再利用正弦定理求出BD 得解；〔2〕设ABD α∠=，α为锐角，那么2ADB α∠=，先求出6cos AB α=，再利用余弦定理求出cos α=，即得ABD ∆的面积．【详解】〔1〕由题意可知，BCD ∆，由正弦定理22sin 3BD R BCD ==∠，解得5BD =；〔2〕在ABD ∆中，设ABD α∠=，α为锐角，那么2ADB α∠=，因为sin 2sin AB ADαα=， 所以32sin cos sin AB ααα=，所以6cos AB α=，因为2222cos AD AB BD AB BD α=+-⋅⋅，即22936cos 2560cos αα=+-，所以cos α=，那么6cos 3AB αα===，所以1sin 2ABDS AB BD α∆=⋅⋅= 【点睛】此题主要考察正弦余弦定理解三角形，考察三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度.19.如图1，平面四边形ABCD 中，,AB AC AB AC AC CD ⊥⊥＝，E 为BC 的中点，将ACD ∆沿对角线AC 折起，使CD BC ⊥，连接BD ，得到如图2所示的三棱锥D ABC -〔1〕证明：平面ADE ⊥平面BCD ；〔2〕直线DE 与平面ABC 所成的角为4π，求二面角A BD C --的余弦值．【答案】〔1〕见解析〔2〕6【解析】【分析】〔1〕证明 AE ⊥平面BCD ，平面 ADE ⊥平面BCD 即得证；〔2〕先由题可知DEC ∠即为直线DE 与平面ABC 所成的角，再证明AHE ∠为二面角A DB C --的平面角，再解三角形求解即可.【详解】〔1〕证明：在三棱锥 D ABC -中，因为 ,CD BC CD AC ⊥⊥， =AC BC C ，所以 C D ⊥平面 ABC ， 又 AE ⊂平面 ABC ， 所以AE CD ⊥，因为 =AB AC ，E 为BC 中点，所以 AEBC ⊥， 又= BCCD C ， 所以 AE⊥平面BCD ， 又AE ⊂平面ADE ，所以平面 ADE ⊥平面BCD ．〔2〕由〔1〕可知DEC ∠即为直线DE 与平面ABC 所成的角， 所以4DECπ∠=， 故1CD CE==； 由〔1〕知AE ⊥平面BCD ，过E 作EH BD ⊥于H ，连接AH ，由三垂线定理可知AH BD ⊥，故AHE ∠为二面角A DB C --的平面角．由BHE BCD ∆∆∽，得BE EH BD CD =，1EH =得EH=，所以AH =，故cos EH AHE AH ∠==所以二面角A DB C --的余弦值为6． 【点睛】此题主要考察空间直线平面位置关系的证明，考察空间线面角和二面角的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度.20.网络购物已经成为人们的一种生活方式．某购物平台为了给顾客提供更好的购物体验，为入驻商家设置了积分制度，每笔购物完成后，买家可以根据物流情况、商品质量等因素对商家做出评价，评价分为好评、中评和差评平台规定商家有50天的试营业时间是，期间只评价不积分，正式营业后，每个好评给商家计1分，中评计0分，差评计1-分，某商家在试营业期间随机抽取100单交易调查了其商品的物流情况以及买家的评价情况，分别制成了图1和图2．〔1〕通常收件时间是不超过四天认为是物流迅速，否那么认为是物流缓慢；⨯列联表，并判断能否有99％的把握认为“获得好评〞与物流速度有请根据题目所给信息完成下面22关？〔2X．该商家将试营业50天期间的成交情况制成了频数分布表〔表1〕，以试营业期间成交单数的频率代替正式营业时成交单数发生的概率．表1〔Ⅰ〕求X的分布列和数学期望；〔Ⅱ〕平台规定，当积分超过10000分时，商家会获得“诚信商家〞称号，请估计该商家从正式营业开场，1年内〔365天〕能否获得“诚信商家〞称号附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 参考数据：【答案】〔1〕见解析，有99%的把握认为“获得好评〞与物流速度有关．〔2〕〔Ⅰ〕见解析，〔Ⅱ〕该商家在1年内不能获得“诚信商家〞称号．【解析】【分析】〔1〕先画出2×2列联表，再利用HY 性检验求解；〔2〕〔Ⅰ〕先求出X 的取值可能是1，0，1-，再求出对应的概率，写出其分布列，求出其期望得解；〔Ⅱ〕设商家每天的成交量为Y ，求出商家每天能获得的平均积分和商家一年能获得的积分，即可判断得解.【详解】〔1〕由题意得22(5015305)100 6.6358020554511K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯， 所以有99%的把握认为“获得好评〞与物流速度有关．〔2〕〔Ⅰ〕由题意可知，X 的取值可能是1，0，1-，每位买家给商家作出好评、中评、差评的概率分别为，，，所以X 的分布列为所以10.800.1(1)0.10.7EX =⨯+⨯+-⨯=；〔Ⅱ〕设商家每天的成交量为Y ，那么Y 的取值可能为27，30，36，所以Y 的分布列为所以270.4300.4360.230EY =⨯+⨯+⨯=，所以商家每天能获得的平均积分为300.721⨯=，商家一年能获得的积分：21365766510000⨯=<，所以该商家在1年内不能获得“诚信商家〞称号．【点睛】此题主要考察HY 性检验，考察随机变量的分布列和期望及其应用，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.21.在平面直角坐标系xOy 中，①点A ，直线l ：x P 满足到点A 的间隔与到直线l ②圆C 的方程为224x y +=，直线l 为圆C 的切线，记点A 到直线l 的间隔分别为12,d d ，动点P 满足12,PA d PB d ＝＝；③点S ，T 分别在x 轴，y 轴上运动，且3ST ＝，动点P 满足21+33OP OS OT =． 〔1〕在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点P 的轨迹方程；〔2〕记〔1〕中的轨迹为E ，经过点(1,0)D 的直线l '交E 于M ，N 两点，假设线段MN 的垂直平分线与y 轴相交于点Q ，求点Q 纵坐标的取值范围．【答案】〔1〕不管选哪种条件，动点P 的轨迹方程2214x y +=〔2〕33[,]44- 【解析】【分析】〔1〕选①,可以用直接法求轨迹方程，选②，可以用待定系数法求轨迹方程，选③，可以用代入法求轨迹方程；〔2〕设0(0,)Q y ，当l '斜率不存在时，00y =，当l '斜率不存在时，求出02331144k y k k k==++，得到0304y -≤<或者0304y <≤，综合即得解. 【详解】〔1〕假设选①，设(,)P x y，根据题意，2=， 整理得2214x y +=， 所以所求的轨迹方程为2214x y +=． 假设选②，设(,)P x y ，直线l 与圆相切于点H ，那么12||||2||4||PA PB d d OH AB +=+==>=，由椭圆定义知，点P 的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆，所以24,2||ac AB ===故2,1a c b ===， 所以所求的轨迹方程为2214x y +=．假设选③，设(,)P x y ，(,0)S x '，(0,)T y '，3(*)=， 因为2133OPOS OT =+， 所以2313x x y y ⎧='⎪⎪⎨⎪='⎪⎩， 整理得323x x y y⎧'=⎪⎨⎪'=⎩，代入(*)得2214x y +=， 所以所求的轨迹方程为2214x y += 〔2〕设0(0,)Q y ，当l '斜率不存在时，00y =，当l '斜率存在时，设直线l '的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ， 由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理， 得2222(14)84(1)0k x k x k +-+-=，>0∆恒成立，2122814k x x k+=+， 设线段MN 的中点为33(,)G x y ， 那么()212333224,121414x x k kx y k x k k +===-=-++，所以线段MN 的垂直平分线方程为：222141414k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭， 令0x =，得02331144k y k k k==++，当k0<时，144k k+≤-， 当且仅当12k =-时，取等号，所以0304y -≤<； 当0k >时，144k k+≥， 当且仅当12k =时，取等号，所以0304y <≤； 综上，点Q 纵坐标的取值范围是33[,]44- 【点睛】此题主要考察轨迹方程的求法，考察椭圆中的范围问题的求解，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理计算才能.22.函数2(1)()x a e x f x x--=，且曲线()y f x ＝在(2,(2))f 处的切线斜率为1． 〔1〕务实数a 的值；〔2〕证明：当0x ＞时，()1f x ＞；〔3〕假设数列{}n x 满足1()n x n ef x +＝，且113x ＝，证明：211n x n e -＜ 【答案】〔1〕2a=〔2〕见解析〔3〕见解析【解析】【分析】 〔1〕由(2)12a f '==即得a 的值；〔2〕只需证21()102x h x e x x =--->，利用导数证明21()12x h x e x x =---在(0,)+∞上单调递增，所以21()1(0)02x h x e x x h =--->=成立，即得证；〔3〕分析得到只需证11()122n x n f x e -<-，再利用导数证明即可. 【详解】〔1〕3[(2)2]()x a x e x f x x -++'=，(2)12a f '==，所以2a =；〔2〕要证()1f x >，只需证21()102x h x e x x =--->， ()1,()1x x h x e x h x e '''=--=-，因为(0,)x ∈+∞，所以()0h x ''>，所以()1x h x ex '=--在(0,)+∞上单调递增， 所以()1(0)0x h x ex h '=-->'=， 所以21()12xh x e x x =---在(0,)+∞上单调递增， 所以21()1(0)02x h x e x x h =--->=成立， 所以当0x >时，()1f x >成立．〔3〕由〔2〕知当0x>时，()1f x >. 因为1()n x n e f x +=，所以1ln ()n x f x +=，设()ln()n n g x f x =， 那么1()n n x g x +=， 所以121()(())((()))0n n n x g x g g x g g x --====>； 要证：2|1|1n x n e -<，只需证：1|1|()2n x n e -<， 因为113x =， 所以113|1|1x e e -=-， 因为3227()03e e x -=-<， 所以1332e <， 所以1131|1|12x e e -=-<，故只需证：11|1||1|2n n x x ee +-<-， 因为(0,)n x ∈+∞，故只需证：111122n n x x e e +-<-， 即证：11()122n x n f x e -<-， 只需证：当(0,)x ∈+∞时，2211()(2)22022x x x e x x ϕ=-+++>， 21()222x x x x e x ϕ⎛⎫'=+-++ ⎪⎝⎭，21()2112x x x x e ϕ⎛⎫''=+-+ ⎪⎝⎭， 21()3102x x x x e ϕ⎛⎫'''=++> ⎪⎝⎭，所以()x ϕ''在区间(0,)+∞上是增函数， 故21()(21)1(0)02x x x x e ϕϕ''''=+-+>=， 所以()x ϕ'在区间(0,)+∞上是增函数， 故21()(22)2(0)02x x x x e x ϕϕ''=+-++>=， 所以()x ϕ在区间(0,)+∞上是增函数， 故2211()(2)22(0)022x x x e x x ϕϕ=-+++>=， 所以原不等式成立．【点睛】此题主要考察导数的几何意义，考察利用导数证明不等式，考察分析法证明不等式，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.。
高三数学下学期第二次模拟考试试题理含解析
卜人入州八九几市潮王学校长郡2021届高三数学下学期第二次模拟考试试题理〔含解析〕一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分.在每一小题给出的四个选项里面.只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.，那么〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合A中的元素，从而求出A的补集即可．或者者将分别代入检验.【详解】解法1：，故，所以选C.解法2：将分别代入检验，可得，故，所以选C.【点睛】此题考察了集合的运算，考察不等式解法，是根底题．为第二象限角．那么复数〔为虚数单位〕对应的点在〔〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根据复数对应复平面的点，然后判断对应三角函数的符号即可得到答案.【详解】解：因为为第二象限角．所以，即复数的实部为负数，虚部为正数，所以对应的点在第二象限．应选：B．【点睛】此题主要考察复数对应的复平面的点的相关概念，难度较小.前9项的和为27，，那么A.100B.99C.98D.97【答案】C【解析】试题分析：由，所以应选C.【考点】等差数列及其运算【名师点睛】等差、等比数列各有五个根本量,两组根本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于根本量的方程〔组〕,因此可以说数列中的绝大局部运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.，条件，那么是的〔〕A.充分非必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件【答案】A【解析】试题分析：条件等价于，条件等价于集合，因为，且，所以是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件．考点：充分必要条件．，那么使成立的的取值范围是〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】通过判断原函数的单调性和奇偶性脱离f，建立不等式关系解出即可.【详解】解：根据题意，函数，那么，即函数为偶函数，当时，易得为增函数，那么，变形可得：，解可得或者，即的取值范围为应选：D．【点睛】此题主要考察函数的单调性，奇偶性以及通过函数性质解不等式问题，难度中等.6.如下列图，半径为1的圆是正方形的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形内，用表示事件“豆子落在圆内〞，表示事件“豆子落在扇形〔阴影局部〕内〞，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用几何概型先求出，，再由条件概率公式求出．【详解】如下列图，半径为1的圆O是正方形MNPQ的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ内，用A表示事件“豆子落在圆O内〞，B表示事件“豆子落在扇形阴影局部内〞，那么，，．应选：B．【点睛】此题考察概率的求法，考察几何概型、条件概率能等根底知识，考察运算求解才能，是根底题．7.某四棱锥的三视图如下列图，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】分析：根据三视图复原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，由勾股定理可知：，那么在四棱锥中，直角三角形有：一共三个，应选C.点睛：此题考察三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或者长方体中进展复原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进展棱长、外表积、体积等相关问题的求解.8.，那么的展开式中的系数为〔〕A. B.15 C. D.5【答案】D【解析】由题意得，故求的展开式中的系数．∵，展开式的通项为．∴展开式中的系数为．选D．的图象向左平移个单位长度，再把所得的图象上每个点的横、纵坐标都变为原来的2倍，得到函数的图象，并且的图象如下列图，那么的表达式可以为〔〕A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件先求出φ和ω，结合函数图象变换关系进展求解即可．【详解】∵g〔0〕＝2sinφ＝1，即sinφ，∴φ或者φ〔舍去〕那么g〔x〕＝2sin〔ωx〕，又当k=1,即g〔x〕＝2sin〔x〕，把函数g〔x〕的图象上所有点的横坐标缩短到到原来的，得到y＝2sin〔4x〕，再把纵坐标缩短到到原来的，得到y＝sin〔4x〕，再把所得曲线向右平移个单位长度得到函数g〔x〕的图象，即g〔x〕＝sin[〔x-〕]＝应选：B．【点睛】此题主要考察三角函数图象的应用，根据条件求出ω和φ的值以及利用三角函数图象平移变换关系是解决此题的关键．10.是双曲线的左、右焦点，假设点关于双曲线渐近线的对称点满足〔为坐标原点〕，那么双曲线的渐近线方程为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用对称求出点的坐标，根据可得，再利用两点间间隔得出关于方程，从而解得渐近线方程.【详解】解：设因为点关于渐近线的对称点为，不妨设渐近线方程为，故有，解得，因为，所以，根据两点间间隔可得，，即，即，即，即，可得，所以，故渐近线方程为，应选B.【点睛】此题考察了点关于直线对称点的知识，考察了双曲线渐近线方程、两点间间隔公式等知识，解题时需要有较强的运算才能.11.电子计算机诞生于20世纪中叶，是人类最伟大的技术创造之一．计算机利用二进制存储信息，其中最根本单位是“位〔bit〕〞，1位只能存放2种不同的信息：0或者l，分别通过电路的断或者通实现．“字节〔Byte〕〞是更大的存储单位，，因此1字节可存放从至一共256种不同的信息．将这256个二进制数中，所有恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的所有数相加，那么计算结果用十进制表示为〔〕A.254B.381C.510D.765【答案】B【解析】【分析】将符合题意的二进制数列出，转化为十进制，然后相加得出结果.【详解】恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的二进制数为，，，，，，，一共，应选B.【点睛】本小题主要考察二进制转化为十进制，阅读与理解才能，属于根底题.有唯一零点，那么a=A. B. C. D.1【答案】C【解析】函数的零点满足，设，那么，当时，；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，当时，函数获得最小值，为.设，当时，函数获得最小值，为，假设，函数与函数没有交点；假设，当时，函数和有一个交点，即，解得.应选C.【名师点睛】利用函数零点的情况求参数的值或者取值范围的方法：〔1〕利用零点存在性定理构建不等式求解.〔2〕别离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.〔3〕转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.满足，且，那么在方向上的投影为_____．【答案】1【解析】【分析】通过向量的数量积及投影的相关概念建立方程即可得到答案.【详解】解：向量满足，且，那么在方向上的投影为：．故答案为：1．【点睛】此题主要考察向量的数量积，及投影的相关概念，难度较小.14.设满足约束条，那么目的函数的最大值为_____．【答案】4【解析】【分析】画出不等式表示的平面区域，通过目的函数表示的斜率式观察图像即可得到答案.【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：〔阴影局部〕．目的函数的几何意义为区域内的动点到定点的斜率，由图象知的斜率最大，由得，此时的斜率，即的最大值为4．故答案为：4．【点睛】此题主要考察线性规划问题，在于考察学生的作图才能及转化才能，此题只需将目的函数化为斜率式即可得到答案.与抛物线相交于两点，为的焦点，假设，那么_____．【答案】【解析】【分析】画出几何图像，建立几何关系，通过建立方程即可得到答案.【详解】解：由题意利用定义，结合其他几何性质可得抛物线的焦点，准线．又直线过定点，因为，所以为中点，连接，所以．设，所以，．作，那么垂足为的中点，设，那么，，求得、，所以，故答案为：．【点睛】此题主要考察抛物线的几何性质及学生的计算才能，难度中等.的正四面体毛坯件切割成一个圆柱体零件，那么该圆柱体体积的最大值为_____．【答案】【解析】【分析】找出正四面体中内接圆柱的最大值的临界条件，通过体积公式即可得到答案.【详解】解：圆柱体体积最大时，圆柱的底面圆心为正四面体的底面中心，圆柱的上底面与棱锥侧面的交点在侧面的中线上．∵正四面体棱长为，∴，，，∴，设圆柱的底面半径为，高为，那么．由三角形相似得：，即，圆柱的体积，∵，当且仅当即时取等号．∴圆柱的最大体积为．故答案为：．【点睛】此题主要考察学生的空间想象才能,以及分析问题的才能，根本不等式的运用,难度较大.三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.17.分别是的三个内角的对边，假设，角是最小的内角，且．〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕假设的面积为42，求的值．【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】【分析】(Ⅰ)由正弦定理，三角形内角和定理可得，结合，整理可得，又，利用同角三角函数根本关系式可求的值．(Ⅱ)由(Ⅰ)及三角形的面积公式可求的值，利用同角三角函数根本关系式可求的值，根据余弦定理可求的值．【详解】(Ⅰ)由、，及正弦定理可得：，由于，整理可得：，又，因此得：．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，又的面积为42，且，从而有，解得，又角是最小的内角，所以，且，得，由余弦定理得，即．【点睛】此题主要考察了正弦定理，三角形内角和定理，同角三角函数根本关系式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考察了计算才能和转化思想。
高数二试题模拟及答案解析
高数二试题模拟及答案解析一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，满足f(-x) = -f(x)的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = sin(x)D. y = cos(x)答案：C解析：根据奇函数的定义，f(-x) = -f(x)。
选项A是偶函数，选项B和D不满足奇函数的性质，只有选项C满足。
2. 若函数f(x) = ln(x^2 - 1)的定义域为：A. (-∞, -1] ∪ [1, +∞)B. (-∞, -1) ∪ (1, +∞)C. (-∞, -1) ∪ [-1, 1) ∪ (1, +∞)D. (-∞, -1] ∪ (-1, 1) ∪ [1, +∞)答案：B解析：对数函数的定义域要求真数大于0，即x^2 - 1 > 0，解得x < -1或x > 1。
...（此处省略其他选择题，共10题）二、填空题（每题4分，共20分）1. 若曲线y = x^3在点(1,1)处的切线斜率为3，则该切线的方程为______。
答案：y = 3x - 2解析：首先求出y = x^3的导数y' = 3x^2，然后代入x = 1得到切线斜率k = 3。
利用点斜式方程y - 1 = k(x - 1)，得到切线方程。
2. 设数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，则该数列的前n项和Sn = ______。
答案：n^2解析：数列{an}是等差数列，首项a1 = 1，公差d = 2。
利用等差数列前n项和公式Sn = n(a1 + an)/2，代入得Sn = n(1 + (2n - 1))/2 = n^2。
...（此处省略其他填空题，共5题）三、解答题（共50分）1. （10分）计算定积分∫[0,1] x^2 dx。
答案：1/3解析：根据定积分的计算公式，∫[0,1] x^2 dx = (1/3)x^3|[0,1] = (1/3)(1)^3 - (1/3)(0)^3 = 1/3。
高等数学(下)模拟试题(二)
高等数学(下)模拟试题（二）一、 一、 计算下列各题(每小题6分，共30分)1. 设y z xz xy y x z ∂∂∂∂+=,,322求。
2. 设()xy x z sin 2= 求: d z 。
3. 设y x ux u xz y x u ∂∂∂∂∂+=2222,,求。
4. 设()x x x z z xy y x f z ,,5求+=。
5．x zxyz xyz ∂∂=+求 ,02)cos( 。
二、 二、 解下列各题 (每小题6分，共24分)1．更换积分次序：()⎰⎰xxdyy x f dx 320,。
2. 求x yxy z ++=12在点P （1,2）沿点P 到点M （2,4）的方向上的方向导数。
3. 求曲线325,4,3t z t y t x ===在t = 1处的切线及法平面方程。
4. 求曲面x 2 － 3 y 2 ＋ z 2 = －1在点P （1,1, 1）切平面方程与法线方程。
三、计算下列积分（每小题6分，共12分） 1.y dxd y x D⎰⎰+)2(D ：由y = x , x= 0, y = 2 所围成 。
2. ⎰⎰⎰++V dxdydzz y x )( V ：－2≤x ≤2 , 0≤y ≤1 , 0≤z ≤4 . 四、计算下列积分应用题（每小题6分，共12分）1. 一均匀物体（密度ρ为常量）占有闭区域Ω由曲面 Z=X 2+Y 2和平面Z ＝4所围成，求 该物体的质量M 。
2. 求物体的体积V ，该物体是柱体x 2 + y 2≤ 1被平面z=0,z=3所截得的在第一卦限的部分。
五、（8分）求微分方程0|,02=='=-x yx y e y 满足初始条件 的特解。
六、（8分）求微分方程()()022=-++dy y x dx y x的通解。
七、（6分）求一曲线，使其每点处的切线斜率为2x+y,且过点（0,0）。
高等数学(下)模拟试题（二）答案三、 一、 计算下列各题(每小题6分，共30分)1. 已知xy x y zy xy xzxy y x z 6,32,32222+=∂∂+=∂∂+=。
高三数学下学期第二次模拟考试试题含解析试题
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设丧失的数据为 ，将 分成 ， ， 三种情况，计算出平均数、中位数、总数，根据三者成等差数列列方程，求得 的所有可能取值，相加后求得结果.
设 为平面 的法向量，那么 ，即 ，
令 ，那么 ， ，得 .
那么 .
所以二面角 的余弦值为 .
【点睛】本小题主要考察线线垂直的证明，考察线面垂直的证明，考察利用空间向量法求解二面角的余弦值，考察空间想象才能和逻辑推理才能，属于中档题.
的右顶点为 ，上顶点为 .椭圆的焦距为 ，直线 的斜率为 .
〔1〕求椭圆的HY方程；
， ， ， 是边长为 的等边三角形.
〔1〕证明： .
〔2〕假设平面 平面 ，求二面角 的余弦值.
【答案】〔1〕详见解析；〔2〕 .
【解析】
【分析】
〔1〕设 为 中点，连结 ， .根据等腰得到 以及 ，由此证得 平面 ，从而证得 .〔2〕以 为原点建立空间直角坐标系，利用平面 和平面 的法向量，计算二面角的余弦值.
【详解】运行程序， ， ，判断是； ，判断是， ，……，以此类推， 表达式的最后一项的指数比下一个 要少 ，故 ，退出程序，输出 ，应选A.
【点睛】本小题主要考察程序框图阅读理解，考察分析和推理才能，属于根底题.
是偶函数，那么不等式 的解集为〔〕
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数为偶函数 列方程，由此求得 的值.利用函数的单调性求出不等式的解集.
辽宁省部分学校2022-2023学年高三下学期第二次模拟考试数学试题(2)
一、单选题二、多选题1. 点是棱长为2的正方体外接球球面上的任意一点，则四棱锥的体积的最大值为（ ）A．B．C．D．2. 一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为1，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为（ ）A．B．C．D．3. 设，，，则（ ）A．B．C．D．4. 已知函数f (x)sin (ωx +φ)﹣cos (ωx +φ)(0<φ<π,ω>0)为偶函数，且y =f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为，则f()的值为A ．﹣1B ．1C．.D．5. 如图，已知正四棱锥的底面边长和高分别为2和1，若点E 是棱PD 的中点，则异面直线PA 与CE 所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6. 在三棱锥中，，点为 所在平面内的动点，若与所成角为定值，，则动点的轨迹是A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线7.设集合，则A．B．C．D．8.已知复数（为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9. 已知,随机变量的分布列为:则( )A．B．C．D．10. 已知双曲线：（）的一条渐近线方程为，则下列说法正确的是（ ）．A．的焦点在轴上B．C．的实轴长为6D ．的离心率为辽宁省部分学校2022-2023学年高三下学期第二次模拟考试数学试题(2)辽宁省部分学校2022-2023学年高三下学期第二次模拟考试数学试题(2)三、填空题四、解答题11. 若随机变量，下列说法中正确的是（ ）A．B．期望C．期望D．方差12. 已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切13.已知是双曲线上的点，过点作双曲线两渐近线的平行线，直线分别交轴于两点，则__．14. 在中，若，，，则____．15. 若函数的单调增区间为(0，＋∞)，则实数的取值范围是________．16. 如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，且E ，M 分别为BC ，PD 的中点，点F 为棱PC上一动点．（1）证明：平面AEF ⊥平面PAD ．（2）若AB ＝PA ，在线段PC 上是否存在一点F ，使得二面角F ﹣AE ﹣M的正弦值为？若存在，试确定F 的位置；若不存在，说明理由．17. 已知函数．(1)求的单调区间；(2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．18. 已知的内角，，的对边分别为，，，且.(1)求；(2)若为锐角三角形，求的取值范围.19. 已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数在上单调递减，求实数的取值范围．20. 已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为.(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆交于两点，连接并交椭圆于另一点，若的面积为，求直线的方程.21. 某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段，，，，，进行分组，已知测试分数均为整数，现用每组区间的中点值代替该组中的每个数据，则得到体育成绩的折线图如下，若体育成绩大于或等于70分的学生为“体育良好”(1)已知该校高一年级有1000名学生，试估计该校高一年级学生“体育良好”的人数；(2)为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取3人，求所抽取的3名学生中，至少有1人为非“体育良好”的概率.。
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高等数学 期末模拟题
1、设级数 a n x −1 n ∞n=0在x=2处是条件收敛的，则幂级数 a n y n
∞n=0的收敛半径为 。
2、设a = 2,1,2 ,b = 4,−1,10 ,c =λb +a ,a ⊥c ,则λ= 。
3、lim x →0y →0
1+xy 1
x
= 。
4、设D.x 2+y 2≤4,且 f x,y dxdy =a,D 则 f x,y +2x 2y dxdy D
= 。
5、微分方程y ∕+2xy 2=0的通解为 。
6、幂级数 (−1)
n
n ∞n=1x n 的收敛区间是 。
7、设u =xy 2z ，M (3,2,1)，则gradu|M = ; ∂u ∂x
+
∂u ∂y
+
∂u
∂z |M
= 。
8、z=xcos （xy ），则dz| π4,π
4
= 。
9、求I= （x 2+y 2）dv Ω其中Ω是由曲面z=x 2+y 2，平面z=a （a>0）所围成的闭区域.
10、改变积分次序 dy 3
0 f （x ，y ）dx 3y
y 2= 。
11、微分方程y"—4y ˊ+3y=8e 5x 的特解可设为 。
12、幂级数 nx
n+1
∞n=1的和函数为 。
13、设函数f(u,v)具有二阶连续偏导数，z=f x
y ,xy,求
∂2z
∂x2
.
14、计算二次积分I=x2+y2dxdy
D
,常数a>0，其中D由y=2ax−x2,y=0围成。
15、设C是位于第一象限的半圆弧x−22+y2=4由点A(4,0)到点O（0，0）的弧段，
（1）判断曲线积分I=xe2y dx+x2e2y+1dy
C
与路径无关；（2）求I的值。
16、D是由y2=x,y+x=2所围成的闭区域，计算xydσ
D
.
17、设曲面为下半球面z=− a2−x2−y2(a>0)的下侧，试用高斯公式计算曲面积分
I=xdydz+ydzdx+zdxdy.
Σ
18、在曲面z=x2+y2上求一点M0(x0,y0,z0)，使该点处的法线垂直于平面2x+2y-z=1，并写出该法线
方程.
19、求微分方程的通解 y/+
2y
x
=
sin x
x2
.
20、制造一个容积为V的长方体得无盖箱子，问当长、宽、高各取多少时，才能使所用材料最省？
21、某公司通过电视和报纸两种媒体做广告，已知销量收入R万元与电视广告费用X万元及报纸广
告费用y万元的关系为：R（x,y）=15+14x+32y-2x2-10y2，如果提供的广告费用为2.5万元，求最佳广告策略。
22、证明：曲面xyz=a3（a>0）上任意一点处切平面在三坐标轴上的截距之积为一常数。
2。