2016江西环境工程职业学院数学单招测试题(附答案解析)

考单招——上高职单招网 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若复数12z =-+，则z2= （ ）A ．1322i -+B ．1322i --C ．3122i - D ．3122i + 2．已知集合A=6|1,1x x R x ⎧⎫≥∈⎨⎬+⎩⎭，B={x|x2-2x-3<0}，那么A ∩(CRB)为 （ ） A ．(-1，5)B ．(-1，3)C ．(-∞，-1) ∪[3，+∞)D ．[3，5]3．与函数lg(1)10x y -=的图象相同的函数是 （ ）A. y = x-1B. y = 112+-x xC. y = |x-1|D. y =2)11(--x x4．若曲线在点处的切线方程是，则 （ ） A ． B ． C ．D ．5．某个容量为的样本的频率分布直方图如右，则在区间[4, 5）上的数据的频数为 （ ） A ．70 B ．C ．30D ．0.76．设随机变量ξ等可能取值1，2，3，…，n ， 如果P （ξ<4）=0．3，那么n 的值为 （ ）A ．3B ．42y x ax b =++(0,)b 10x y -+=1,1a b ==1,1a b =-=1,1a b ==-1,1a b =-=-1000.3考单招——上高职单招网 C ．9D ．107．函数y =22 3 (0) 2 3 (02)5 (2)x x x x x x x +≤⎧⎪-++<≤⎨⎪-+>⎩的最大值是（ ）A ．3B ．4C ．8D ．58．设a=log54，b=（log53）2，c=log45，则 （ ） A ．a < c < b B ．b < c < aC ．a < b < cD ．b < a< c9．若2()2f x x ax =-+与1)(+=x ax g 在区间（1，2）上都是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,0)(0,1)-B ．(1,0)(0,1]-C ．（0，1）D ．]1,0(10．已知函数3()2x f x +=，1()f x -是()f x 的反函数，若16mn =（m n R ∈+，），则11()()f m f n --+的值为（ ）A ．2-B ．4C ．1D ．1011．一元二次方程ax2+2x+1=0（a≠0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 （ ） A ．a <0 B ．a >0C ．a <-1D ．a >112．数列{an}中，a1=15，an+an+1=*16,5n n N +∈，则lim n →∞（a1+a2+…+an ） =（ ）A ．25B ．41C ．27D ．425二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）考单招——上高职单招网 13．已知函数f （x ）和g （x ）都是定义在R 上的奇函数，函数F （x ） = a f （x ）+bg （x ） +2在区间（0，+∞）上的最大值是5，则F （x ）在（－∞，0）上的最小值是 ． 14．等差数列{na }中，10821=++a a a ，501514=+a a ，则此数列的前15项之和是 ． 15．已知数列{na }的前n 项和25n n S =+（*n N ∈），那么数列{na }的通项na = ．16．若关于x 的不等式2－2x >|x －a| 至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：（本大题有6小题，共70分；应按题目要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题10分）解关于x 的不等式：22log (2)1log ()a a x x x a -->+- （a ＞0，a≠1）．18．（本题10分）已知函数21()(,,0,*)ax f x a c R a b N bx c +=∈>∈+是奇函数，当x>0时，)(x f 有最小值2，且f （1）25<．（Ⅰ）试求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）函数)(x f 图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．19．（本题12分）已知数列{an}中，a1=0，a2 =4，且an+2-3an+1+2an= 2n+1（*N n ∈），数列{bn}满足bn=an+1-2an ．（Ⅰ）求证:数列{1n b +-nb }是等比数列；考单招——上高职单招网 （Ⅱ）求数列{na }的通项公式；（Ⅲ）求2lim(32)nn n n a n b →∞⋅+⋅． 20．（本题12分）某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是21，构造数列{}n a ，使得1()1()n n a n ⎧=⎨-⎩当第次出现正面时当第次出现反面时，记)(*21N n a a a S n n ∈+⋅⋅⋅++=． （Ⅰ）求24=S 的概率；（Ⅱ）若前两次均出现正面，求426≤≤S 的概率．21．（本题12分）已知函数)(x f 对任意实数p 、q 都满足()()()f p q f p f q +=⋅1(1)3f =且．（Ⅰ）当*N n ∈时，求)(n f 的表达式；（Ⅱ）设*1(1)(),,()nn n k k nf n a n N S a f n =+=∈=∑求11nk kS =∑；（Ⅲ）设*()(),n b nf n n N =∈求证：134nk k b =<∑．22．（本题14分）已知函数f （x ） = ax3 +x2 -ax ，其中a ，x ∈R ． （Ⅰ）若函数f （x ） 在区间（1，2）上不是单调函数，试求a 的取值范围； （Ⅱ）直接写出（不需给出运算过程）函数()()ln g x f x x '=+的单调递减区间； （Ⅲ）如果存在a ∈（-∞，-1]，使得函数()()()h x f x f x '=+， x ∈[-1, b]（b > -1），在x = -1处取得最小值，试求b 的最大值．考单招——上高职单招网参考答案一、选择题：（每小题5分，共60分）考单招——上高职单招网 13．-1； 14．180； 15．1*7(1)2(2,)n n n n N -=⎧⎨≥∈⎩； 16．9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭三、解答题：（共70分） 17．（本题10分）解：原不等式等价于)2(log )2(log 2->--ax x x a a ……① ……………1分 ①当1>a 时，①式可化为⎪⎩⎪⎨⎧->-->->--22,02,0222ax x x ax x x即 ⎪⎩⎪⎨⎧->-->-,22,022ax x x ax 亦即 ⎪⎩⎪⎨⎧+><>10,2a x x a x 或∴ x > a+1 ………………5分②当10<<a 时，①式可化为⎪⎩⎪⎨⎧-<-->->--22,02,0222ax x x ax x x即 ⎪⎩⎪⎨⎧-<-->--22,0222ax x x x x 亦即⎩⎨⎧+<<>-<1021a x x x 或∴∈x ∅………………9分综上所述，当1>a 时，原不等式的解集为}1|{+>a x x ；当10<<a 时，原不等式的解集为∅． ．………………10分18．（本题10分）考单招——上高职单招网 解：（Ⅰ）∵ f （x ）是奇函数 ∴f （―x ） =―f （x ）即2211ax ax bx cbx c ++=-+-+.0bx c bx c c ∴+=-∴= ……………………1分22211)(0,0b abx x b a bx ax x f b a ≥+=+=∴>>当且仅当a x 1=时等号成立．则2222b a ba =∴= ……2分由5(1)2f <得 152a b c +<+，即2152b b +<， 22520b b ∴-+<，解得122b <<；又 b N *∈，11b a ∴==x x x f 1)(+=∴ ……………………………………………5分（Ⅱ）设存在一点（x0，y0）在y=f （x ）图象上， 则关于（1，0）的对称点（2x -，―y0）也在y =f （x ）图象上， …………6分则 200020001(2)12x y x x y x ⎧+=⎪⎪⎨-+⎪=-⎪-⎩ 解得：001x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩或001x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ ∴函数f （x ）图象上存在两点(1和(1-关于点（1，0） 对称． …………………………………10分 19．（本题12分）考单招——上高职单招网 解：（Ⅰ）由 an+2-3an+1+2an= 2n+1 得 （an+2-2an+1）-（ an+1-2an ）= 2n+1；即 bn+1-bn = 2n+1，而 b1=a2-2a1=4， b2 =b1+22=8；∴ { bn+1-bn}是以4为首项，以2为公比的等比数列．…………………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ），bn+1-bn = 2n+1， b1=4，∴ bn = （bn-bn-1）+ （bn-1-bn-2）+···+（b2-b1） + b1=2n + 2n-1 +···+22 +4 = 2n+1． ………………………6分即 an+1-2an=2n+1，∴ 11122n nn n a a ++-=；∴ {2nna }是首项为0，公差为1的等差数列，则 12nn a n =-，∴(1)2n n a n =-⋅． ………………………9分（Ⅲ） ∵2212(1)2(1)(32)(32)264n n n n n a n n n n n b n n +⋅-⋅-==+⋅+⋅+， ∴22(1)1limlim (32)646n n n n n a n n n b n →∞→∞⋅-==+⋅+． ………………………12分 20．（本题12分）解：（Ⅰ）24=S ，需4次中有3次正面1次反面，设其概率为1P则41)21(421)21(43341==⋅=C P ； ………………………6分 （Ⅱ）6次中前两次均出现正面，要使426≤≤S ，则后4次中有2次正面、2次反面或3次正面、1次反面，设其概率为2P ．则2223324411115()()()22228P C C =+⋅=． ………12分考单招——上高职单招网 21．（本题12分）解：（Ⅰ）由已知得211()(1)(1)(1)()(2)33f n f n f f n f n =-⋅=⋅-=⋅-=111()(1)()33n nf -=⋅=． ………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知111(1).(12)336nn n k k n n a n S a n =+=∴==+++=∑；于是16(1)n S n n =+ =116()1n n -+；故11nk k S =∑111116(1)2231n n =-+-++-+=61(1)1n -+=61nn +． ………………………7分（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知 ： 1()3nn b n =⋅，设n T =1nkk b=∑则211112()().333n n T n =⋅+⋅++⋅()231111111()2()1()33333nn n T n n +⎛⎫∴=⋅+⋅++-+⋅ ⎪⎝⎭． 两式相减得232111()()3333n T =+++…+111()()33n n n +-⋅11111()()233n n n +⎡⎤=--⋅⎢⎥⎣⎦∴n T =1131113()()443234nn n k k n a -==--⋅<∑． ……………………12分22．（本题14分）考单招——上高职单招网 解：（Ⅰ）解法一：2()32f x ax x a '=+-依题意知方程()0f x '=在区间（1，2）内有不重复的零点，由2320ax x a +-=得2(31)2a x x -=- ∵x ∈（1，2）， ∴2(31)0x -≠ ∴2231xa x =--；令2231xu x =-- （x ∈（1，2）），则213u x x =--，∴2231x u x =--在区间（1，2）上是单调递增函数，其值域为4(1,)11--，故a 的取值范围是4(1,)11--． ………………………5分解法二：2()32f x ax x a '=+- 依题意知方程()0f x '=即2320ax x a +-=在区间（1，2）内有不重复的零点，当a=0时，得 x=0，但0∉（1，2）；当a≠0时，方程2320ax x a +-=的△=1+12a2>0，120x x <,必有两异号根，欲使f （x ） 在区间（1，2）上不是单调函数，方程2320ax x a +-=在（1，2）内一定有一根，设2()32F x ax x a =+-，则F （1）·F （2）<0， 即 （2a+2）（11a+4）<0，解得4111a -<<-，故 a 的取值范围是4111a -<<-．考单招——上高职单招网 （解法二得分标准类比解法一）（Ⅱ）函数g （x ） 的定义域为（0，+∞），当 a≥0时，g （x ）在（0，+∞）上单调递增，无单调递减区间；当 a<0时，g （x ）的单调递减区间是1()6a --+∞ ………………8分 （Ⅲ）32()(31)(2)h x ax a x a x a =+++--； 依题意 ()(1)h x h ≥-在区间[-1, b]上恒成立，即2(1)[(21)(13)]0x ax a x a ++++-≥ ① 当x ∈[-1, b] 恒成立，当 x=-1时，不等式①成立；当 -1< x ≤b 时，不等式①可化为2(21)(13)0ax a x a +++-≥ ②令2()(21)(13)x ax a x a ϕ=+++-，由a ∈（-∞,-1]知，()x ϕ的图像是 开口向下的抛物线，所以，()x ϕ在闭区间上的最小值必在区间的端点处取得， 而(1)40a ϕ-=->，∴不等式②恒成立的充要条件是()0b ϕ≥，即2(21)(13)0ab a b a +++-≥， 亦即22311b b b a +-≤-+ a ∈（-∞,-1]； 当a ∈（-∞,-1]时，11a -≤，考单招——上高职单招网∴22311b bb+-≤+（b >-1），即 b2+b-4 ≤ 0；解得1122b--+≤≤；但b >-1，∴1b-<≤；故 b的最大值为1172-+，此时 a =-1符合题意．……………14分。