最新五四制初二数学第一章三角形经典习题
八年级上册《数学》三角形专项练习题(含答案)
八年级上册《数学》三角形专项练习题11.1.1三角形的边一、能力提升1.如图,在图形中,三角形有()A.4个B.5个C.6个D.7个2.已知三角形三边长分别为2,x,13,若x为正整数,则这样的三角形个数为()A.2B.3C.5D.133.若一个三角形的两条边长分别为3和8,而第三条边长为奇数,则第三条边长为()A.5或7B.7C.9D.7或94.在△ABC中,若三条边长均为整数,周长为11,且有一条边长为4,则这个三角形最长边可能取值的最大值是()A.7B.6C.5D.45.若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”,则图中以BC 为公共边的“共边三角形”有对.6.若等腰三角形的腰长为6,则它的底边长a的取值范围是.7.用7根相同的火柴棒首尾顺次连接摆成一个三角形,能摆成的不同的三角形的个数为.8.已知等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm,求这个三角形的周长.9.已知等腰三角形的周长是16cm.(1)若其中一边的长为4cm,求另外两边的长;(2)若其中一边的长为6cm,求另外两边的长.10.若a,b,c是△ABC的三边长,请化简|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|.11.已知等腰三角形的周长为20cm,设腰长为xcm.(1)用含x的式子表示底边长.(2)腰长x能否为5cm,为什么?(3)求x的取值范围.二、创新应用12.在平面内,分别用3根、5根、6根、…小棒首尾依次相接,能搭成什么形状的三角形?通过尝试,形状如表所示.小棒数目3 5 6 ……示意图……形状等边三角形等腰三角形等边三角形……(1)4根小棒能搭成三角形吗?(2)8根、12根小棒能搭成几种不同形状的三角形?并画出它们的示意图.答案一、能力提升1.B2.B;由题意知2+x>13,且x<13+2,解得11<x<15,因为x为正整数,所以x 可以是12,13,14.故选B.3.D;由题意知第三条边长大于5小于11.因为第三条边长为奇数,所以它的大小为7或9.4.C由题意知三角形的三条边长分别为2,4,5或3,4,4,所以最长边可能取值的最大值为5.5.3;△BDC与△BEC,△BDC与△BAC,△BEC与△BAC,共3对.6.0<a<12.7.2.8.解：若腰长为3cm,则三边长分别为3cm,3cm,7cm,而3+3<7,此时不能构成三角形;若腰长为7cm,则三边长分别为3cm,7cm,7cm.此时能构成三角形,其周长为3+7+7=17(cm).故这个三角形的周长为17cm. 9.解：(1)若腰长为4cm,则底边长为16-4-4=8(cm).三边长分别为4cm,4cm,8cm,不符合三角形的三边关系,所以应该是底边长为4cm.所以腰长为(16-4)÷2=6(cm).三边长分别为4cm,6cm,6cm,符合三角形的三边关系.所以另外两边的长都为6cm.(2)若腰长为6cm,则底边长为16-6-6=4(cm).三边长分别为4cm,6cm,6cm,符合三角形的三边关系.所以另外两边的长分别为6cm 和4cm.若底边长为6cm,则腰长为(16-6)÷2=5(cm).三边长分别为6cm,5cm,5cm,符合三角形的三边关系.所以另外两边的长都为5cm.10.解：因为a,b,c是△ABC的三边长,所以a<b+c,b<c+a,c<a+b,即a-b-c<0,b-c-a<0,c-a-b<0.所以|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|=-(a-b-c)-(b-c-a)-(c-a-b)=a+b+c.11.解：(1)底边长为(20-2x)cm.(2)不能.理由如下:若腰长为5cm,则底边长为20-2×5=10(cm).因为5+5=10,不满足三角形的三边关系.所以腰长不能为5cm.(3)根据题意,得解得0<x<10.由三角形的三边关系,得x+x>20-2x,解得x>5.综上所述,x的取值范围是5<x<10.二、创新应用12.解：(1)4根小棒不能搭成三角形.(2)8根小棒能搭成一种三角形,示意图如图甲;12根小棒能搭成三种不同形状的三角形,示意图如图乙.11.1.2三角形的高、中线与角平分线一、能力提升1.若一个三角形中仅有一条高在三角形的内部,则该三角形是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.直角三角形或钝角三角形2.如图,AE⊥BC于点E,BF⊥AC于点F,CD⊥AB于点D.在△ABC中,边AC上的高是线段()A.AEB.CDC.BFD.AF3.如图,线段AE是△ABC的中线,已知EC=6,DE=2,则线段BD的长为()A.2B.3C.4D.64.如图,在△ABC中,∠C=90°,D,E为AC上的两点,且AE=DE,BD平分∠EBC,则下列说法不正确的是()A.线段BC是△ABE的高B.线段BE是△ABD的中线C.线段BD是△EBC的角平分线D.∠ABE=∠EBD=∠DBC5.如图,在△ABC中,E,F分别是AB,AC的中点,△CEF的面积为2.5,则△ABC的面积为()A.6B.7C.8D.106.如图,BD和CE是△ABC的两条角平分线,且∠DBC=∠ECB=31°,则∠ABC=度,∠ACB=度.7.如图,线段AD,CE分别是△ABC中边BC,AB上的高.若AD=10,CE=9,AB=12,则BC的长是.8.如图,在△ABC中,AB=AC,线段AD是△ABC的中线,△ABC的周长为34cm,△ABD的周长为30cm,求AD的长.9.已知在等腰三角形ABC中,AB=AC,若腰AC上的中线BD将等腰三角形ABC的周长分成15和6两部分,求三角形ABC的腰长及底边长.10.如图,AD是△CAB的角平分线,DE∥AB,DF∥AC,EF交AD于点O.请问:DO是△EDF的角平分线吗?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.二、创新应用11.有一块三角形优良品种试验基地,如图,由于引进四个优良品种进行对比试验,需将这块土地分成面积相等的四块,请你制定出两种以上的划分方案供选择.(画图即可)答案一、能力提升1.D;直角三角形和钝角三角形都只有一条高在三角形的内部.2.C3.C4.D5.D;∵F为AC的中点,∴线段EF为△AEC的中线,∴S△AEC=2S△CEF=5.∵E为AB的中点,∴线段CE为△ABC的中线,∴S△ABC=2S△AEC=10.6.62;62.7.10.8;S△ABC=BC·AD=AB·CE,则BC===10.8.8.解：∵线段AD是△ABC的中线,∴BC=2BD.∵AB=AC,△ABC的周长为34cm,∴2AB+2BD=34cm,即AB+BD=17cm.又△ABD的周长为30cm,即AB+BD+AD=30cm,∴AD=13cm.9.解：设AB=AC=2x,则AD=CD=x.当AB+AD=15,BC+CD=6时,有2x+x=15,所以x=5,AB=AC=2x=10,BC=6-5=1.当BC+CD=15,AB+AD=6时,有2x+x=6,所以x=2,AB=AC=2x=4,BC=13.因为4+4<13,所以不能组成三角形.故三角形ABC的腰长为10,底边长为1.10.解：DO是△EDF的角平分线.证明如下:∵AD是△CAB的角平分线,∴∠EAD=∠FAD.∵DE∥AB,DF∥AC,∴∠EDA=∠FAD,∠FDA=∠EAD.∴∠EDA=∠FDA,即DO是△EDF的角平分线.二、创新应用11.解：如图(答案不唯一).11.1.3三角形的稳定性一、能力提升1.如图,桥梁的斜拉钢索是三角形的结构,主要是为了()A.节省材料,节约成本B.保持对称C.利用三角形的稳定性D.美观漂亮2.下列不是利用三角形稳定性的是()A.伸缩晾衣架B.三角形房架C.自行车的三角形车架D.矩形门框的斜拉条3.如图,一扇窗户打开后,用窗钩AB可将其固定,这里所运用的几何原理是()A.三角形的稳定性B.两点之间线段最短C.两点确定一条直线D.垂线段最短4.王师傅用四根木条钉成一个四边形木架.如图,要使这个木架不变形,他至少还要再钉上()根木条.A.0B.1C.2D.35.如图,要使四边形木条框架ABCD变“活”(具有不稳定性),应将木条拆除.6.伸缩铁门能自由伸缩,主要是应用了四边形的.7.我们所用的课桌和所坐的凳子,时间长了总是摇摇晃晃的,这是什么原因?要使自己用的桌凳不晃动应该怎么办?如图,如果有六边形木框,要使它不变形,应该怎么办?二、创新应用8.如图,我们知道要使四边形木架不变形,至少要钉一根木条.那么要使五边形木架不变形,至少要钉几根木条?要使七边形木架不变形,至少要钉几根木条?要使n边形木架不变形,又至少要钉多少根木条呢?答案一、能力提升1.C.2.A.3.A;打开的那一扇窗户下边的一部分OB、窗户框下边的一部分OA 及AB组成一个三角形,根据三角形的稳定性,知可用AB固定窗户.4.B.5.AC.6.不稳定性.7.解：这是因为课桌和凳子的四个侧面都是四边形木架,当交接处松动后就具有不稳定性.解决这类问题的方法是在每个侧面加上一根木条(或木板),使之成为三角形.要使六边形木框不变形,至少应加3根木条使其划分为三角形.二、创新应用8.解：要使五边形木架不变形,至少要钉2根木条;要使七边形木架不变形,至少要钉4根木条;要使n边形木架不变形,至少要钉(n-3)根木条.11.2.1三角形的内角一、能力提升1.在△ABC中,∠A=55°,∠B比∠C大25°,则∠B的度数为()A.50°B.75°C.100°D.125°2.如图,CD∥AB,∠1=120°,∠2=80°,则∠E等于()A.40°B.60°C.80°D.120°3.(2020·辽宁锦州中考)如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=50°,CD平分∠ACB,则∠ADC的度数是()A.80°B.90°C.100°D.110°4.在△ABC中,若∠A=∠B+∠C,则∠A的度数是.5.如图,点B,C,D在同一条直线上,CE∥AB,∠ACB=90°.如果∠ECD=36°,那么∠A的度数是.6.如图,一个直角三角形纸片,剪去直角后,得到一个四边形,则∠1+∠2的度数是.7.在△ABC中,若最大角∠A等于最小角∠C的两倍,最大角又比另一个角大20°,则△ABC的三个角的度数分别是多少?8.如图,E是△ABC中边AC上的一点,过点E作ED⊥AB,垂足为D.若∠1=∠2,则△ABC是直角三角形吗?为什么?9.如图,在△ABC中,D是BC上一点,F是BA延长线上一点,连接DF交AC于点E,且∠B=42°,∠C=59°,∠DEC=47°,求∠F的度数.二、创新应用10.如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点D.(1)若∠ABC+∠ACB=110°,则∠BDC=;(2)若∠A=100°,则∠BDC=;(3)若∠A=n°,求∠BDC的度数.答案一、能力提升1.B;设∠C的度数为x°,则∠B的度数为x°+25°,则55°+x°+x°+25°=180°,解得x=50,则∠B=75°.2.A;∵CD∥AB,∠1=120°,∴∠CDB=∠1=120°,∴∠EDC=60°.∵∠2=80°,∴∠E=180°-80°-60°=40°.3.C∵∠A=30°,∠B=50°,∴∠ACB=180°-∠A-∠B=100°.又CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠ACB=50°.∴∠ADC=180°-∠A-∠ACD=100°.4.90°.5.54°.6.270°.由三角形三内角之间的关系,得∠3+∠4=90°,所以∠1+∠2=(180°-∠3)+(180°-∠4)=2×180°-(∠3+∠4)=360°-90°=270°.7.解：设∠C=x°,则∠A=2x°,∠B=2x°-20°,根据三角形的内角和定理,有2x+(2x-20)+x=180,解得x=40,即∠C=40°.所以2x=80,∠A=80°,2x-20=60,∠B=60°.故△ABC的三个角的度数分别为∠A=80°,∠B=60°,∠C=40°.8.解：△ABC是直角三角形.理由如下:∵ED⊥AB,∴∠ADE=90°,∴∠1+∠A=90°.又∠1=∠2,∴∠2+∠A=90°.∴△ABC是直角三角形.9.解：在△EDC中,∠EDC=180°-(∠C+∠DEC)=180°-(59°+47°)=74°.∴∠FDB=180°-∠EDC=180°-74°=106°.在△BDF中,∠F=180°-(∠B+∠FDB)=180°-(42°+106°)=32°.二、创新应用10.解：(1)125°.(2)140°.(3)∵∠A=n°,∴∠ABC+∠ACB=180°-n°.∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,∴∠DBC+∠DCB=∠ABC+∠ACB=(∠ABC+∠ACB)=×(180°-n°)=90°-.∴∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°-=90°+.11.2.2三角形的外角一、能力提升1.一副三角尺有两个直角三角形,如图叠放在一起,则∠α的度数是()A.165°B.120°C.150°D.135°2.如图,在△ABC中,AD为边BC上的中线,在△ABD中,AE为边BD上的中线,在△ACD中,AF为边DC上的中线,则下列结论错误的是()A.∠1>∠2>∠3>∠CB.BE=ED=DF=FCC.∠1>∠4>∠5>∠CD.∠1=∠3+∠4+∠53.如图,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于()A.120°B.115°C.110°D.105°4.(2020·湖北中考)将一副三角尺按如图摆放,点E在AC上,点D在BC 的延长线上,EF∥BC,∠B=∠EDF=90°,∠A=45°,∠F=60°,则∠CED的度数是()A.15°B.20°C.25°D.30°5.如图,∠ABC的平分线与∠ACD的平分线相交于点P.若∠A=60°,则∠P等于()A.30°B.40°C.50°D.60°6.(2020·湖北黄冈中考)如图,AB∥EF,∠ABC=75°,∠CDF=135°,则∠BCD=.7.如图,已知在△ABC中,D是AB上一点,E是AC上一点,BE与CD相交于点F,∠A=62°,∠ACD=35°,∠ABE=20°,则∠BDC=,∠BFC=.8.如图,D,E,F分别是△ABC三边延长线上的点,求∠D+∠E+∠F+∠1+∠2+∠3的度数.9.如图,在△ABC中,E是AC延长线上的一点,D是BC上的一点.求证:(1)∠BDE=∠E+∠A+∠B.(2)∠BDE>∠A.10.如图,在△ABC中,D是边BC上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°,求∠DAC的度数.二、创新应用11.如图①,有一个五角形图案ABCDE,你能说明∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E=180°吗?如果点B向下移动到AC上(如图②)或AC的另一侧(如图③),上述结论是否依然成立?请说明理由.答案一、能力提升1.A如图,∵∠2=90°-45°=45°,∴∠1=∠2-30°=15°.∴∠α=180°-∠1=165°.2.C由三角形的一个外角大于与它不相邻的内角,知∠1>∠2>∠3>∠C,故选项A正确;根据三角形中线的定义,知BE=ED=DF=FC,故选项B正确;∠4与∠5的大小不能判定,故选项C错误;根据三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和,知∠1=∠2+∠4,∠2=∠3+∠5,所以∠1=∠3+∠4+∠5,故选项D正确.3.B4.A5.A利用三角形的外角性质,得∠P=∠PCD-∠PBD=(∠ACD-∠ABC)=∠A=30°.6.30°.7.97°;117°.8.解：∵∠D+∠3=∠CAB,∠E+∠1=∠ABC,∠F+∠2=∠ACB,∴∠D+∠E+∠F+∠1+∠2+∠3=∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°.9.证明：(1)∵∠BDE,∠DCE分别是△CDE,△ABC的一个外角,∴∠BDE=∠E+∠DCE,∠DCE=∠A+∠B,∴∠BDE=∠E+∠A+∠B.(2)由(1)得∠BDE=∠E+∠A+∠B,∴∠BDE>∠A.10.解：∵∠3是△ABD的外角,∴∠3=∠1+∠2.∵∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠4=2∠2.在△ABC中,∵∠2+∠4=180°-∠BAC=180°-63°=117°,∴∠1=∠2=117°÷(1+2)=39°.∴∠DAC=∠BAC-∠1=63°-39°=24°.二、创新应用11.解：在题图①中,∠A+∠C=∠DNM, ①∠DBE+∠E=∠DMN, ②①+②,得∠A+∠DBE+∠C+∠E=∠DNM+∠DMN.∵∠D+∠DNM+∠DMN=180°,∴∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E=180°.在题图②、题图③中,上述结论仍然成立,理由与题图①完全相同.11.3.1多边形一、能力提升1.在下列关于正多边形的特征说法中,错误的是()A.每一条边都相等B.每一个内角都相等C.每一个外角都相等D.所有对角线都相等2.过多边形的一个顶点可以引2017条对角线,则这个多边形的边数是()A.2017B.2018C.2019D.20203.如果过多边形的一个顶点的对角线把多边形分成8个三角形,那么这个多边形的边数为()A.8B.9C.10D.114.将一个四边形截去一个角后,它不可能是()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形5.在n边形的一边上任取一点(不包含顶点)与各顶点相连,可得三角形的个数是()A.nB.n-2C.n-1D.n+16.过m边形的一个顶点有7条对角线,n边形没有对角线,则m n=.7.已知一个多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发所作的对角线的条数的2倍,求此多边形的边数.二、创新应用8.观察下面图形,解答下列问题:(1)在上面第四个图中画出六边形的所有对角线;(2)观察规律,把下表填写完整.边数 3 4 5 6 7 …n对角线条0 2 5 …数答案一、能力提升1.D2.D3.C4.D一个多边形截去一个角后,可能出现三种情况:少一个角、角的个数不变或多一个角.5.C6.1000;从m边形的一个顶点出发有(m-3)条对角线,由m-3=7,得m=10. n边形没有对角线,所以n=3.所以m n=103=1000.7.解：设这个多边形的边数为n,则从多边形的一个顶点出发所作的对角线的条数为n-3.依题意,得n=2(n-3),解得n=6.二、创新应用8.解：(1)(2)边数 3 4 5 6 7 …n对角线条数0 2 5 9 14 …n(n-3)11.3.2多边形的内角和一、能力提升1.如果一个正多边形的每一个外角都是锐角,那么这个正多边形的边数一定不小于()A.3B.4C.5D.62.(2020·山东济宁中考)一个多边形的内角和是1080°,则这个多边形的边数是()A.9B.8C.7D.63.若一个多边形的边数由5增加到11,则内角和增加的度数是()A.1080°B.720°C.540°D.360°4.如图,∠1,∠2,∠3,∠4是五边形ABCDE的外角,且∠1=∠2=∠3=∠4=70°,则∠AED的度数是()A.110°B.108°C.105°D.100°5.如果一个多边形的内角和是其外角和的一半,那么这个多边形是()A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形6.若凸n边形的内角和为1260°,则从一个顶点出发引的对角线条数是.7.如图,在四边形ABCD中,∠A+∠B=210°,且∠ADC的平分线与∠DCB的平分线相交于点O,则∠COD的度数是.8.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,求这个多边形的边数和内角和.9.如图,求∠A+∠B+∠OCD+∠ODC+∠E+∠F的度数.二、创新应用10.在一个多边形中,一个内角相邻的外角与其他各内角的和为600°.(1)如果这个多边形是五边形,请求出这个外角的度数;(2)是否存在符合题意的其他多边形?如果存在,请求出边数及这个外角的度数;如果不存在,请说明理由.答案一、能力提升1.C每个外角都是锐角,即小于90°,设边数为n,则这些锐角的和一定小于n×90°.而外角和为360°,所以360°<n×90°,n>4,即n不小于5.2.B设这个多边形的边数是n,则(n-2)×180°=1080°,解得n=8.3.A因为每增加一条边,内角和增加180°,所以增加6条边,内角和增加180°×6=1080°.4.D由题意知∠AED的补角为80°,则∠AED=100°.5.D多边形的外角和是360°,内角和等于外角和的一半,则内角和是180°,可知此多边形为三角形.6.6因为凸n边形的内角和为1260°,所以(n-2)×180°=1260°,得n=9.故从一个顶点出发引的对角线的条数为9-3=6.7.105°∵四边形的内角和为360°,∠A+∠B=210°,∴∠ADC+∠BCD=360°-210°=150°.∵DO,CO分别为∠ADC与∠BCD的平分线,∴∠ODC=∠ADC,∠OCD=∠BCD.∴∠ODC+∠OCD=(∠ADC+∠BCD)=×150°=75°.∴∠COD=180°-75°=105°.8.解：由题意知这个多边形的内角和为3×360°-180°=900°.设这个多边形的边数为n,根据题意,得(n-2)×180°=900°,解得n=7.故这个多边形的边数为7.9.解：如图,连接BE,则在△COD与△BOE中,∠ODC+∠OCD+∠COD=180°,∠OBE+∠OEB+∠BOE=180°.∵∠COD与∠BOE是对顶角,∴∠COD=∠BOE.∵∠ODC+∠OCD=180°-∠COD,∠OBE+∠OEB=180°-∠BOE,∴∠ODC+∠OCD=∠OBE+∠OEB.∴题图中的∠A+∠B+∠OCD+∠ODC+∠E+∠F等于上图中的∠A+∠F+∠ABC+∠DEF+∠OBE+∠OEB=∠A+∠F+∠ABE+∠BEF=360°,即所求六个角的和为360°.二、创新应用10.解：(1)设这个外角的度数是x°,则(5-2)×180-(180-x)+x=600,解得x=120.故这个外角的度数是120°.(2)存在.设边数为n,这个外角的度数是x°,则(n-2)×180-(180-x)+x=600,整理得x=570-90n.因为0<x<180,即0<570-90n<180,并且n为正整数,所以n=5或n=6.故这个多边形的边数是6,这个外角的度数为30°.。
八年级上数学第一章三角形专题练习题
一、经典类型题学习（一）类型一关于“构造全等”例题1、如图，已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，求证：AB＝AC＋CD。
1、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=AC+CD．求证：∠C=2∠B．练习2.如图所示，在△ABC中，AB=AC，在AB上取一点E，在AC延长线上取一点F，使BE=CF，EF交BC于G.求证EG=FG.类型二关于“等腰三角形”例题2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF=∠ADF．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．练习2、如图，P是△ABC中BC边上一点，E是AP上的一点，若EB＝EC，∠1＝∠2，求证：AP⊥BC。
练习3、如图所示，∠BAC＝∠ABD,AC＝BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点.试判断OE和AB的位置关系,并给出证明.类型题三关于“角平分线”例题3、如图，已知∠MON的边OM上有两点A、B，边ON上有两点C、D，且AB＝CD，P为∠MON的平分线上一点。
问：（1）△ABP与△PCD是否全等？请说明理由。
（2）△ABP与△PCD的面积是否相等？请说明理由。
练习4、如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC．交BC于G，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC交AC的延长线于F．（1）说明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝8，AC＝6，求AE、BE的长．练习5、如图，已知∠B=∠C=90，M是BC中点，AM平分∠DAB。
求证：DM平分∠ADC类型四“新型题型”例4、如图所示，在△ABD和△ACE中，有下列四个论断：①AB＝AC ②AD＝AE；③∠B＝∠C；①BD＝CE．请以其中三个论断作为条件．余下一个作为结论，写出一个正确的数学命题并证明．练习6．如图所示，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC．CE⊥BE，CE与AB相交于点F，AD⊥CF于点D，且 AD平分∠FAC．请写出图中的两对全等三角形，并选择其中一对加以证明．类型五“平行线与全等”例题5.如图，AB∥CD，AD∥BC， AC,BD交于O，过O画直线EF交AD于E，交BC于F,，则图中共有几对全等三角形？并选择其中一对进行证明。
(常考题)人教版初中数学八年级数学上册第一单元《三角形》测试题(有答案解析)(5)
一、选择题1．已知两条线段15cm a =，8cm b =，下列线段能和a ，b 首尾相接组成三角形的是（ ）A ．20cmB ．7cmC ．5cmD ．2cm 2．若过六边形的一个顶点可以画n 条对角线，则n 的值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 3．下列长度（单位：cm ）的三条线段能组成三角形的是（ ） A ．13，11，12 B ．3，2，1 C ．5，12，7 D ．5，13，5 4．已知，D 是ABC ∠的边BC 上一点，//DE BA ，CBE ∠和CDE ∠的平分线交于点F ，若F α∠=，则ABE ∠的大小为（ ）A ．αB ．52αC ．2αD ．32α 5．如图，在ABC ∆中，AD 是ABC ∆的角平分线，DE AC ⊥，若40,60B C ︒︒∠=∠=，则ADE ∠的度数为（ ）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒ 6．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A ．3，3，4 B ．7，4，2 C ．3，4，8 D ．2，3，5 7．如图，,AD CE 分别是ABC 的中线与角平分线，若,40B ACB BAC ∠=∠∠=︒，则ACE ∠的度数是（ ）A ．20︒B ．35︒C ．40︒D ．70︒8．做一个三角形的木架，以下四组木棒中，符合条件的是（ ）A ．4cm, 5cm,9cmB ．4cm, 5cm, 6cmC ．5cm,12cm,6cmD ．4cm,2cm,2cm 9．下列长度的四根木棒，能与3cm ，7cm 长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ） A ．3cmB ．10cmC ．4cmD ．6cm 10．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，不能组成三角形的是（ ） A ．4、5、6 B ．3、4、5 C ．2、3、4 D ．1、2、3 11．如图所示，ABC ∆的边AC 上的高是（ ）A ．线段AEB ．线段BAC ．线段BD D ．线段DA 12．如图，105DBA ∠=︒，125ECA ∠=︒，则A ∠的度数是（ ）A ．75°B ．60°C ．55°D ．50°二、填空题13．在一个三角形中，若其中一个内角的度数是另一个内角的2倍，则我们称这个三角形为“倍角三角形”．已知某“倍角三角形”的一个内角的度数为60°，则其它两个内角的度数分别是_______．14．如图是一块正多边形的碎瓷片，经测得30ACB ∠=︒，则这个正多边形的边数是_________．15．在△ABC 中，∠A 是钝角，∠B =30°， 设∠C 的度数是α，则α的取值范围是___________16．如图，在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，25A ∠=︒，D 是AB 上一点，将Rt ABC ∆沿CD 折叠，使点B 落在AC 边上的B '处，则ADB '∠等于_______．17．如图，将纸片ABC 沿DE 折叠，点A 落在点P 处，已知12124+∠=∠︒，A ∠=___________．18．将一副直角三角尺所示放置，已知//AE BC ，则AFD ∠的度数是__________．19．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A′处，折痕为CD ，则A DB '∠=________．20．ABC 中，,AB AC 边上的高,CE BD 相交于点F ，,ABC ACB ∠∠的角平分线交于点G ，若=125CGB ∠︒，则CFB ∠=______．三、解答题21．已知：如图90MON ∠=︒，与点O 不重合的两点A 、B 分别在OM 、ON 上，BE平分ABN ∠，BE 所在的直线与OAB ∠的平分线所在的直线相交于点C ．（1）当点A 、B 分别在射线OM 、ON 上，且45BAO ∠=︒时，求ACB ∠的度数； （2）当点A 、B 分别在射线OM 、ON 上运动时，ACB ∠的大小是否发生变化？若不变，请给出证明；若发生变化，请求出ACB ∠的范围．22．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒．（1）作出AB 边上的高CD ．（2）5AC =，12BC =，13AB =，求高CD 的长．23．已知：180,BDG EFG B DEF ∠+∠=︒∠=∠．（1）如图1，求证：//DE BC ．（2）如图2，当90A EFG ∠=∠=︒时，请直接写出与C ∠互余的角．24．（问题引入）（1）如图1，△ABC ，点O 是∠ABC 和∠ACB 相邻的外角平分线的交点，若∠A=40°，请求出∠BOC 的度数．（深入探究）（2）如图2，在四边形ABDC 中，点O 是∠BAC 和∠ACD 的角平分线的交点，若∠B+∠D=110°，请求出∠AOC 的度数．（类比猜想）（3）如图3，在△ABC 中，∠CBO=13∠DBC ，∠BCO= 13∠ECB ，∠A=α，则∠BOC=___（用α的代数式表示，直接写出结果，不需要写出解答过程）． （4）如果BO ，CO 分别是△ABC 的外角∠DBC ，∠ECB 的n 等分线，它们交于点O ，∠CBO=∠1n DBC ∠BCO=1n∠ECB ，则∠BOC=___（用n 、a 的代数式表示，直接写出结果，不需要写出解答过程）． 25．如图，在ABC 中，AD 是高，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ，60BAC ∠=︒，70C ∠=︒．求EAD ∠和∠BOE 的度数．26．如图，AB ∥CD ，点E 是CD 上一点，连结AE ．EB 平分∠AED ，且DB ⊥BE ，AF ⊥AC ，AF 与BE 交于点M ．（1）若∠AEC ＝100°，求∠1的度数；（2）若∠2＝∠D ，则∠CAE ＝∠C 吗？请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断．【详解】A、15+8=23>20，能组成三角形，符合题意；B、7+8=15，不能组成三角形，不合题意；C、5+8=13<15，不能组成三角形，不合题意；D、2+8=10＜15，不能组成三角形，不合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．但通常不需一一验证，其简便方法是将较短两边之和与较长边比较．2．C解析：C【分析】根据从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n-3进行计算即可．【详解】解：6-3=3（条）．答：从六边形的一个顶点可引出3条对角线．故选：C．【点睛】本题考查了多边形的对角线，解答此类题目可以直接记忆：一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n-3．3．A解析：A【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析．【详解】解：根据三角形的三边关系，A、11+12＞13，能组成三角形，符合题意；B、1+2=3，不能组成三角形，不符合题意；C、5+7=12，不能组成三角形，不符合题意；D 、5+5＜13，不能组成三角形，不符合题意；故选A ．【点睛】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．4．C解析：C【分析】先利用角平分线和三角形外角的性质可得2BED α∠=，再根据平行线的性质定理即可得出ABE ∠的大小．【详解】解：如下图所示，∵CBE ∠和CDE ∠的平分线交于点F ，∴21,22C CBE DE ∠∠==∠∠，∵12F ∠+∠=∠，F α∠=，∴21α∠-∠=，∵EBD BED EDC ∠+∠=∠，∴22212ED D C BE EBD α∠∠-∠=∠-==∠，∵//DE BA ，∴2ABE BED α∠==∠，故选：C ．【点睛】本题考查三角形外角的性质，平行线的性质定理，与角平分线有关的计算．正确理解三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题关键．5．C解析：C【分析】根据三角形内角和180︒求出∠BAC ，再由AD 是ABC ∆的角平分线求得∠DAC ，最后利用直角三角形的两个锐角互余求出∠ADE ，问题得到解决．【详解】解：∵40,60B C ︒︒∠=∠=，∴BAC=180B-C=80∠︒-∠∠︒，∵AD 是ABC ∆的角平分线， ∴1DAC=BAC=402∠∠︒， ∵DE AC ⊥，∴90DAC=50ADE ∠=︒-∠︒，故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线定义，直角三角形的两个锐角互余，正确理解三角形中角之间的关系是解本题的关键．6．A解析：A【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．【详解】解：A 、3+3＞4，能构成三角形，故此选项正确；B 、4+2＜7，不能构成三角形，故此选项错误；C 、3+4＜8，不能构成三角形，故此选项错误；D 、2+3=5，不能构成三角形，故此选项错误．故选：A ．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．7．B解析：B【分析】由,40B ACB BAC ∠=∠∠=︒，再利用三角形的内角和定理求解ACB ∠，结合三角形的角平分线的定义，从而可得答案．【详解】解： ,B ACB ∠=∠40BAC ∠=︒，18040702B ACB ︒-︒∴∠=∠==︒， CE 是ABC 角平分线，1352ACE ACB ∴∠=∠=︒， 故选：.B【点睛】本题考查的是三角形的角平分线的定义，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．8．B解析：B【分析】三角形的任意两边的和大于第三边，根据三角形的三边关系就可以求解．【详解】解：根据三角形的三边关系，知：A中，4+5=9，排除；B中，4+5＞6，满足；C中，5+6＜12，排除；D中，2+2=4，排除．故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．9．D解析：D【分析】根据三角形的三边关系解答．【详解】解：∵三角形的两边为3cm，7cm，∴第三边长的取值范围为7-3＜x＜7+3，即4＜x＜10，只有D符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，要知道，三角形的两边之和大于第三边．10．D解析：D【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边进行分析即可．【详解】D、4＋5>6，能组成三角形，故此选项错误；B、3＋4＞5，能组成三角形，故此选项错误；A、2＋3>4，能组成三角形，故此选项错误；D、1＋2＝3，不能组成三角形，故此选项正确；故选：D．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系定理，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．11．C解析：C【分析】根据三角形的高解答即可，三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫做这个三角形的高．【详解】A.线段AE 是△ABC 的边BC 上的高，故不符合题意；B.线段BA 不是任何边上的高，故不符合题意；C.线段BD 是△ABC 的边AC 边上的高，故符合题意；D.线段DA 是△ABD 的边BD 上的高，故不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查了三角形的高线，熟练掌握三角形高线的定义是解答本题的关键．12．D解析：D【分析】根据邻补角的定义可求得ABC ∠和ACB ∠，再根据三角形内角和为180°即可求出A ∠．【详解】解：105DBA ∠=︒，125ECA ∠=︒，18010575ABC ∴∠=︒-︒=︒，18012555ACB ∠=︒-︒=︒．180755550A ∴∠=︒-︒-︒=︒．故选D ．【点睛】 本题考查了邻补角和三角形内角和定理，识记三角形内角和为180°是解题的关键．二、填空题13．30°90°或40°80°【分析】根据倍角三角形的定义结合三角形的内角和定理分三种情况即可得出结论【详解】在△ABC 中不妨设∠A=60①若∠A=2∠C 则∠C=30∴∠B=；②若∠C=2∠A 则∠C=1解析：30°，90°或40°，80°【分析】根据“倍角三角形”的定义结合三角形的内角和定理分三种情况即可得出结论．【详解】在△ABC 中，不妨设∠A=60︒，①若∠A=2∠C ，则∠C=30︒，∴∠B=180603090︒-︒-︒=︒；②若∠C=2∠A ，则∠C=120︒，∴∠B=180601200︒-︒-︒=︒(不合题意，舍去)；③若∠B=2∠C ，则3∠C 18060=︒-︒=120︒，∴∠C 4=0︒，∠B=180604080︒-︒-︒=︒；综上所述，其它两个内角的度数分别是：30︒，90︒或40︒，80︒．【点睛】本题考查了“倍角三角形”的定义以及三角形的内角和等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．14．12【分析】根据瓷片为正多边形及可知正多边形的外角为进而可求得正多边形的边数【详解】如图延长BC 可知∠1为正多边形的外角∵瓷片为正多边形∴AD=DB=BC ∠ADB=∠DBC ∴四边形ACBD 为等腰梯形解析：12【分析】根据瓷片为正多边形及=30ACB ∠︒，可知正多边形的外角为30︒，进而可求得正多边形的边数．【详解】如图，延长BC ，可知∠1为正多边形的外角，∵瓷片为正多边形，∴AD=DB=BC ，∠ADB=∠DBC ，∴四边形ACBD 为等腰梯形，∴BD ∥AC ，∴∠1==30ACB ∠︒，∴正多边形的边数为：360=1230︒︒， 故答案为：12．【点睛】本题考查正多边形的外角和，掌握相关知识点是解题的关键． 15．【分析】依据三角形的内角和定理表示∠A 根据它是钝角列出不等式组求解即可【详解】解：∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=180°-30°-α=150°-α∵∠A 是钝角∴即故答案为：【点睛】本题考查解不解析：3060α︒<<︒【分析】依据三角形的内角和定理表示∠A ，根据它是钝角列出不等式组，求解即可．【详解】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=180°-30°-α=150°-α．∵∠A 是钝角，∴90150180α︒<︒-<︒，即3060α︒<<︒，故答案为：3060α︒<<︒．【点睛】本题考查解不等式组，三角形内角和定理．能正确表示∠A 及利用它的大小关系列出不等式是解题关键．16．【分析】根据翻折变换的性质得出∠ACD=∠BCD ∠CDB=∠CDB′进而利用三角形内角和定理得出∠BDC=∠B′DC 再利用平角的定义即可得出答案【详解】解：∵将Rt △ABC 沿CD 折叠使点B 落在AC 边解析：40︒【分析】根据翻折变换的性质得出∠ACD=∠BCD ，∠CDB=∠CDB′，进而利用三角形内角和定理得出∠BDC=∠B′DC ，再利用平角的定义，即可得出答案．【详解】解：∵将Rt △ABC 沿CD 折叠，使点B 落在AC 边上的B′处，∴∠ACD=∠BCD ，∠CDB=∠CDB′，∵∠ACB=90°，∠A=25°，∴∠ACD=∠BCD=45°，∠B=90°-25°=65°，∴∠BDC=∠B′DC=180°-45°-65°=70°，∴∠ADB′=180°-70°-70°=40°．故答案为：40°．【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及三角形内角和定理，得出∠BDC 和∠B′DC 的度数是解题关键．17．【分析】根据折叠得到由此得到利用计算得出再根据三角形的内角和定理求出结果【详解】解：∵∴∴∵∴∴故答案为：【点睛】此题考查折叠的性质三角形内角和定理正确理解折叠的性质得到对应角相等是解题的关键 解析：62︒．【分析】根据折叠得到ADE EDP ∠=∠，AED DEP ∠=∠，由此得到122()360ADE AED ∠+∠+∠+∠=︒，利用12124+∠=∠︒，计算得出118ADE AED ∠+∠=︒，再根据三角形的内角和定理求出结果．【详解】解：∵ADE EDP ∠=∠，AED DEP ∠=∠，∴1222180180ADE AED ∠+∠+∠+∠+︒=︒，∴122()360ADE AED ∠+∠+∠+∠=︒，∵12124+∠=∠︒，∴118ADE AED ∠+∠=︒，∴180()62A ADE AED ∠=︒-∠+∠=︒．故答案为：62︒．【点睛】此题考查折叠的性质，三角形内角和定理，正确理解折叠的性质得到对应角相等是解题的关键．18．【详解】根据平行线的性质及三角形内角和定理解答【点睛】解：由三角板的性质可知∠EAD=45°∠C=30°∠BAC=∠ADE=90°∵AE ∥BC ∴∠EAC=∠C=30°∴∠DAF=∠EAD-∠EAC=解析：75︒【详解】根据平行线的性质及三角形内角和定理解答．【点睛】解：由三角板的性质可知∠EAD=45°，∠C=30°，∠BAC=∠ADE=90°．∵AE ∥BC ，∴∠EAC=∠C=30°，∴∠DAF=∠EAD-∠EAC=45°-30°=15°．∴∠AFD=180°-∠ADE-∠DAF=180°-90°-15°=75°．故答案为：75°．本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，平行线的性质：两直线平行同位角相等，同旁内角互补．三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°．19．10°【分析】由对折可得：∠A=∠CA′D=50°∠ACD=∠A′CD=45°再利用三角形的内角和求解【详解】解：由对折可得：∠A=∠CA′D=50°∠ACD=∠A′CD=×90°=45°∴∠ADC解析：10°【分析】由对折可得：∠A=∠CA ′D=50°，∠ACD=∠A ′CD=45°，再利用三角形的内角和求解．【详解】解：由对折可得：∠A=∠CA′D=50°，∠ACD=∠A′CD=12×90°=45°，∴∠ADC=∠A′DC=180°−45°−50°=85°，∴∠A′DB=180°−85°×2=10°．故答案为：10°．【点睛】本题利用对折考查轴对称的性质，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键． 20．110°【分析】根据三角形的内角和定理求出∠GBC ＋∠GCB 根据角平分线的定义求出∠ABC ＋∠ACB 从而求出∠A 根据三角形高的定义可得∠AEC=∠FDC=90°然后根据三角形的内角和定理求出∠ACE解析：110°【分析】根据三角形的内角和定理求出∠GBC ＋∠GCB ，根据角平分线的定义求出∠ABC ＋∠ACB ，从而求出∠A ，根据三角形高的定义可得∠AEC=∠FDC=90°，然后根据三角形的内角和定理求出∠ACE ，最后利用三角形外角的性质即可求出结论．【详解】解：∵=125CGB ∠︒∴∠GBC ＋∠GCB=180°－∠CGB=55°∵,ABC ACB ∠∠的角平分线交于点G ，∴∠ABC=2∠GBC ，∠ACB=2∠GCB∴∠ABC ＋∠ACB=2∠GBC ＋2∠GCB=2（∠GBC ＋∠GCB ）=110°∴∠A=180°－（∠ABC ＋∠ACB ）=70°∵,AB AC 边上的高,CE BD 相交于点F ，∴∠AEC=∠FDC=90°，∴∠ACE=180°－∠AEC －∠A=20°∴CFB ∠=∠FDC ＋∠ACE=110°故答案为：110°．【点睛】此题考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的高和角平分线，掌握三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的高的定义和角平分线的定义是解题关键．三、解答题21．（1）45°；（2）不变，45°【分析】（1）由题意，先求出135ABN ∠=︒，由角平分线的定义，求出67.5ABE ∠=︒，22.5∠︒=BAC ，由三角形外角的性质，即可求出答案；（2）由三角形的外角性质，得ACB ABE BAC ∠=∠-∠，再根据角平分线的定义即可求出答案．【详解】解：（1）∵90MON ∠=︒，即90AOB ∠=︒，45BAO ∠=︒，∴135ABN AOB BAO ∠=∠+∠=︒，∵BE 平分ABN ∠，AC 平分BAO ∠， ∴167.52ABE ABN ∠=∠=︒，122.52BAC BAO ∠=∠=︒， ∴67.522.545ACB ABE BAC ∠=∠-∠=︒-︒=︒． （2）ACB ∠的大小不会发生变化，理由如下： ∵BE 平分ABN ∠，AC 平分BAO ∠，∴12ABE ABN ∠=∠，12BAC BAO ∠=∠， ∴ACB ABE BAC ∠=∠-∠1122ABN BAO =∠-∠ ()12ABN BAO =∠-∠12AOB =∠190452=⨯︒=︒． 【点睛】 本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的得到角的关系．22．（1）见解析 （2）1360=CD 【分析】（1）过C 点作CD ⊥AB 即可；（2）根据三角形的面积求解即可．【详解】解：（1）如图：（2）∵在ABC 中，5AC =，12BC =，13AB =，∠ACB =90°，∴S △ABC =12AC ×BC =12AB ×CD ， ∴125601313AC BC CD AB ⋅⨯=== 【点睛】本题考查了做三角形高线和利用三角形的面积求高，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．23．（1）证明见解析；（2）,,B ADE DEF ∠∠∠．【分析】（1）先根据角的和差、等量代换可得EFG ADG ∠=∠，再根据平行线的判定可得//EF AB ，然后根据平行线的性质可得ADE DEF ∠=∠，从而可得B ADE ∠=∠，最后根据平行线的判定即可得证；（2）根据直角三角形的两锐角互余、等量代换即可得．【详解】（1）180,180BDG EFG BDG ADG ∠+∠=︒∠+∠=︒，EFG ADG ∴∠=∠，//EF AB ∴，ADE DEF ∴∠=∠，B DEF ∠=∠，B ADE ∴∠=∠，//DE BC ∴；（2）90A ∠=︒，90B C ∴∠+∠=︒，B DEF ∠=∠，90DEF C ∴∠+∠=︒，由（1）可知，B ADE ∠=∠，90ADE C ∴∠+∠=︒，综上，与C ∠互余的角有,,B ADE DEF ∠∠∠．【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余、平行线的判定与性质等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．24．（1）70°；（2）55°；（3）120°-13α；（4）()11801n n n α-⨯︒- 【分析】（1）由三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB ，再利用邻补角可求得∠DBC+∠ECB ，根据角平分线的定义可求得∠OBC+∠OCB ，在△BOC 中利用三角形内角和定理可求得∠BOC ； （2）根据三角形内角和等于180°，四边形内角和等于360°，结合角平分线的定义即可得到∠AOC 与∠B+∠D 之间的关系；（3）根据三角形的内角和等于180°以及三角形的外角性质列式整理即可得∠BOC=120°-3α；（4）根据三角形的内角和等于180°以及三角形的外角性质列式整理即可得∠BOC=()11801n n nα-⨯︒-．【详解】（1）∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°，∴∠DBC+∠ECB=180°-∠ABC+180°-∠ACB =360°-(∠ABC+∠ACB)=360°-140°=220°，∵BO、CO分别平分∠DBC和∠ECB，∴∠OBC+∠OCB=12(∠DBC+∠ECB) =12×220°=110°，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-110°=70°；（2）∵点O是∠BAC和∠ACD的角平分线的交点，∴∠OAC=12∠CAB，∠OCA=12∠ACD，∴∠AOC=180°-(∠OAC+∠OCA)=180°-12(∠CAB+∠ACD)=180°-12(360°-∠B-∠D)=12(∠B+∠D)，∵∠B+∠D=110°，∴∠AOC=12(∠B+∠D)=55°；（3）在△OBC中，∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-13(∠DBC+∠ECB)=180°-13(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)=180°-13(∠A+180°)=120°-13α；故答案为：120°-13α；（4）在△OBC中，∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-1n(∠DBC+∠ECB)=180°-1n(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)=180°-1n (∠A+180°) =()11801n n nα-⨯︒-． 故答案为：()11801n n nα-⨯︒-． 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．25．10EAD ∠=︒，55BOE ∠=︒【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC=180°-60°-70°=50°，再由AE 是角平分线，求出∠EAC=12∠BAC=30°，由AD 是高，求出∠CAD=90°-∠C=20°，最后即可求出∠EAD=∠EAC-∠CAD=10°；根据角平分线的性质，得∠OAB=12∠BAC ，∠OBA=12∠ABC ，所以∠BOE=∠OAB+∠OBA=12（∠BAC+∠ABC ）=12（180°-∠C ）=12×（180°-70°）=55°． 【详解】解：∠B AC =60°，∠C =70°∴∠ABC =180°−∠ABC −∠C =180°−60°-70°=50°，∵AE 是角平分线，∴∠EAC =12∠BAC =12×60°=30°， ∵AD 是高，∴∠ADC =90°，∴∠CAD =90°−∠C =90°−70°=20°，∴∠DAE =∠EAC −∠CAD =30°−20°=10°；∵AE ，BF 是角平分线，∴∠OAB =12∠BAC ,∠OBA =12∠ABC ， ∴∠BOE =∠OAB +∠OBA =12(∠BAC +∠ABC )=12(180°−∠C )=12×(180°−70°) =55°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．26．（1）40°；（2）∠CAE ＝∠C ，理由见解析．【分析】（1）根据邻补角的定义可求∠AED ，再根据角平分线的定义和平行线的性质可求∠1的度数；（2）根据三角形内角和定理可求∠BED＝∠C，根据平行线的判定可知AC∥BE，根据平行线的性质可得∠CAE＝∠AEB，根据角平分线的定义和等量关系即可求解．【详解】（1）∵∠AEC＝100°，∴∠AED＝80°，∵EB平分∠AED，∴∠BED＝40°，∵AB∥CD，∴∠1＝∠BED＝40°；（2）∵DB⊥BE，AF⊥AC，∴∠EBD＝∠CAF＝90°，∵∠2＝∠D，∴∠BED＝∠C，∴AC∥BE，∴∠CAE＝∠AEB，∵EB平分∠AED，∴∠AEB＝∠BED，∴∠CAE＝∠C．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，邻补角的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理．熟悉相应的性质和定义是解答本题的关键．。
五四制(山东)初二数学上册第一章《三角形》重难点题型总结(1)
五四制（山东）初二数学上册第一章《三角形》重难点题型总结【考点1三角形中“三线”概念辨析】【方法点拨】解决此类问题的关键是掌握三角形的角平分线，中线，线段的定义；根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上进行判断．【例1】下列说法错误的是（）A．三角形的高、中线、角平分线都是线段B．三角形的三条中线都在三角形内部C．锐角三角形的三条高一定交于同一点D．三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都交于同一点【变式1-1】下列说法中错误的是（）A．三角形三条高至少有一条在三角形的内部B．三角形三条中线都在三角形的内部C．三角形三条角平分线都在三角形的内部D．三角形三条高都在三角形的内部【变式1-2】如图，在△ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线，AF 是中线，则下列说法中错误的是（）A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90°C．∠BAF＝∠CAFD．S △ABC ＝2S △ABF【变式1-3】如图，△ABC 中，∠1＝∠2，G 为AD 中点，延长BG 交AC 于E，F 为AB 上一点，且CF⊥AD 于H，下列判断，其中正确的个数是（）①BG 是△ABD 中边AD 上的中线；鲁教版五四制初中数学辅导②AD 既是△ABC 中∠BAC 的角平分线，也是△ABE 中∠BAE 的角平分线；③CH 既是△ACD 中AD 边上的高线，也是△ACH 中AH边上的高线．A．0B．1C．2D．3【考点2三角形中线的应用】【方法点拨】解决此类问题的关键是三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边的比．【例2】如图，△ABC 中，点D 是AB 边上的中点，点E 是BC 边上的中点，若S △ABC ＝12，则图中阴影部分的面积是（）A．6B．4C．3D．2【变式2-1】如图，在△ABC 中，点D、E 分别为BC、AD 的中点，EF＝2FC，若△ABC 的面积为12cm 2，则△BEF 的面积为（）A．2cm 2B．3cm 2C．4cm 2D．5cm 2【变式2-2】如图，在△ABC 中，点D，E，F 分别在三边上，E 是AC 的中点，AD，BE，CF 交于一点G，BD＝2DC，S △BGD ＝16，S △AGE ＝6，则△ABC 的面积是（）鲁教版五四制初中数学辅导A．42B．48C．54D．60【变式2-3】如图，△ABC 的三边的中线AD，BE，CF 的公共点为G，且AG：GD＝2：1，若S △ABC ＝12，则图中阴影部分的面积是（）A．3B．4C．5D．6【考点3三角形的三边关系】【方法点拨】掌握三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边是解题关键.【例3】4根小木棒的长度分别为2cm，3cm，4cm 和5cm．用其中3根搭三角形，可以搭出不同三角形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式3-1】长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（）A．4B．5C．6D．7【变式3-2】已知a，b，c 是一个三角形的三边长，化简|a+c﹣b|﹣|b﹣c+a|﹣|a﹣b﹣c|＝．【变式3-3】△ABC 三边的长a、b、c 均为整数，a＞b＞c，a＝8，则满足条件的三角形共有个．【考点4利用三角形的高和角平分线性质求角】【例4】如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝38°，∠C＝64°．鲁教版五四制初中数学辅导（1）求∠DAE 的度数；（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F 在DA 的延长线上，FE⊥BC”，∠B＝α，∠C＝β（α＜β），请用α、β的代数式表示∠DFE．【变式4-1】如图，在△ABC 中，∠B＜∠ACB，AD 平分∠BAC，P 为线段AD 上的一个动点，PE⊥AD 交直线BC 于点E．（1）若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E 的度数；（2）当点P 在线段AD 上运动时，求证：∠E =12(∠ACB −∠B)．【变式4-2】如图，AD、AE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠B＝50°，∠ACB＝80°．点F 在BC 的延长线上，FG⊥AE，垂足为H，FG 与AB 相交于点G．（1）求∠AGF 的度数；（2）求∠DAE的度数．【变式4-3】△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，AE 是△ABC 的高．（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝62°，请说明∠DAE 的度数；（2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE、∠B、∠C 的数量关系；（3）如图3，延长AC 到点F，∠CAE 和∠BCF 的角平分线交于点G，求∠G 的度数．鲁教版五四制初中数学辅导【考点5直角三角形的性质（一组垂直关系）】【方法点拨】解决此类问题的关键是掌握同角（等角）的余角相等.【例5】如图，CD 是直角△ABC 斜边AB 上的高，CB＞CA，图中相等的角共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对【变式5-1】如图，AD⊥BC，垂足为D，点E 在AC 上，且∠A＝30°，∠B＝40°．求∠BFD 和∠AEF 的度数．【变式5-2】已知：如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是高，AE 是△ABC 内部的一条线段，AE 交CD 于点F，交CB 于点E，且∠CFE＝∠CEF．求证：AE平分∠CAB．【变式5-3】在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，P 是射线BC 上一动点（与B，C 点不重合），连接鲁教版五四制初中数学辅导AP．过点C 作CD⊥AP 于点D，交直线AB 于点E，设∠APC＝α．（1）若点P 在线段BC 上，且α＝60°，如图1，直接写出∠PAB 的大小；（2）若点P 在线段BC 上运动，如图2，求∠AED 的大小（用含α的式子表示）；（3）若点P 在BC 的延长线上运动，且a≠50°，直接写出∠AED 的大小（用含α的式子表示）．【考点6全等形的概念及应用】【方法点拨】解决此类问题根据能够完全重合的两个图形叫做全等形求解即可.【例6】下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（）A．B．C．D．【变式6-1】下列四个图形中，属于全等图形的是（）鲁教版五四制初中数学辅导A．③和④B．②和③C．①和③D．①②【变式6-2】如图所示，请你在图中画两条直线，把这个“+”图案分成四个全等的图形（要求至少要画出两种方法）．【变式6-3】如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4＝．【考点7全等三角形性质的应用】【方法点拨】解决此类问题要抓住全等三角形的对应边相等，对应角相等，利用线段相等或角度之间的关系进行等量代换即可求解.【例7】如图，点B、E、A、D 在同一条直线上，△ABC≌△DEF，AB＝7，AE＝2，则AD 的长是（）A．4B．5C．6D．7【变式7-1】如图所示，已知△ABC≌△ADE，BC 的延长线交DE 于F，∠B＝∠D＝25°，∠ACB＝∠AED＝105°，∠DAC＝10°，则∠DFB 为（）鲁教版五四制初中数学辅导A．40°B．50°C．55°D．60°【变式7-2】如图，△ABC≌△AED，连接BE．若∠ABC＝15°，∠D＝135°，∠EAC＝24°，则∠BEA 的度数为（）A．54°B．63°C．64°D．68°【变式7-3】若△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝4，且△DEF 的周长为奇数，则EF 的值为（）A．3B．4C．1或3D．3或5【考点8判断全等三角形的对数】【方法点拨】认真观察图形，确定已知条件在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法，由易到难，仔细寻找．【例8】如图，AC、BD 相交于点E，AB＝DC，AC＝DB，则图中有全等三角形（）A．1对B．2对C．3对D．4对【变式8-1】如图，在AB、AC 上各取一点E、D，使AE＝AD，连接BD、CE 相交于点O，再连接AO、BC，若∠1＝∠2，则图中全等三角形共有（）鲁教版五四制初中数学辅导A．5对B．6对C．7对D．8对【变式8-2】如图，已知A、B、C、D 四点共线，AE∥DF，BE∥CF，AC＝BD，则图中全等三角形有（）A．4对B．6对C．8对D．10对【变式8-3】如图，AB∥CD，AD∥BC，AC 与BD 相交于点O，AE⊥BD，CF⊥AC，垂足分别是E，F．则图中共有（）对全等三角形．A．5B．6C．7D．8【考点9网格中全等三角形个数问题】【方法点拨】认真观察图形，利用SSS 判断即可．【例9】如图，在4×4方形网格中，与△ABC 有一条公共边且全等（不与△ABC 重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个鲁教版五四制初中数学辅导【变式9-1】如图，△DEF 的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形，选取图中三个格点组成三角形，能与△DEF 全等（重合的除外）的三角形个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式9-2】如图，方格纸中△DEF 的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形，则图中与△DEF 全等的格点三角形有（）个．A．9B．10C．11D．12【变式9-3】如图为正方形网格，顶点在格点上的三角形称为格点三角形，每个小正方形均为边长为1的正方形，图中与△ABC 全等的格点三角形（不含△ABC）共有（）个．A．4B．16C．23D．24【考点10全等三角形的判定（选择条件）】【方法点拨】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【例10】如图，点C、D 分别在BO、AO 上，AC、BD 相交于点E，若CO＝DO，则再添加一个条件，仍不能证明△AOC≌△BOD 的是（）鲁教版五四制初中数学辅导A．∠A＝∠B B．AC＝BD C．∠ADE＝∠BCE D．AD＝BC【变式10-1】如图，在△ABC 和△DEC 中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DC C．∠B＝∠E，∠A＝∠D D．BC＝DC，∠A＝∠D 【变式10-2】如图，AB＝DC，BF＝CE，需要补充一个条件，就能使△ABE≌△DCF，小明给出了四个答案：①AE＝DF；②AE∥DF；③AB∥DC；④∠A＝∠D，其中正确的是（）A．①③B．①②C．①②③D．①②③④【变式10-3】如图，已知：在△AFD 和△CEB，点A、E、F、C 在同一直线上，在给出的下列条件中，①AE ＝CF，②∠D＝∠B，③AD＝CB，④DF∥BE，选出三个条件可以证明△AFD≌△CEB 的有（）组．A．4B．3C．2D．1鲁教版五四制初中数学辅导【考点11全等三角形的判定（判定依据）】【方法点拨】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【例11】如图，在∠AOB 的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M、N 作OA、OB 的垂线，交点为P，画射线OP，则OP 平分∠AOB 的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL 【变式11-1】工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA，OB 上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N 重合，过角尺顶点C 作射线OC．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【变式11-2】如图，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A，B，PA＝PB．则△OAP≌△OBP 的依据不可能是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL 鲁教版五四制初中数学辅导【变式11-3】一块三角形玻璃被小红碰碎成四块，如图，小红只带其中的两块去玻璃店，买了一块和以前一样的玻璃，你认为她带哪两块去玻璃店了（）A．带其中的任意两块B．带1，4或3，4就可以了C．带1，4或2，4就可以了D．带1，4或2，4或3，4均可【考点12全等三角形的判定与性质】【方法点拨】全等三角形的判定：全等三角形的4种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．【例12】如图，已知AB＝AC，BD＝CD，过点D 作DE⊥AB 交AB 的延长线于点E、DF⊥AC 交AC 的延长线于点F，垂足分别为点E、F．（1）求证：∠DBE＝∠DCF．（2）求证：BE＝CF．【变式12-1】如图，三角形ABC 中，AD⊥BC 于D，若BD＝AD，FD＝CD．（1）求证：∠FBD＝∠CAD；（2）延长BF 交AC 于点E，求证：BE⊥AC．鲁教版五四制初中数学辅导【变式12-2】如图1，在△ABC 中，AB＝AC，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上．（1）求证：∠ABE＝∠ACE；（2）如图2，若BE 的延长线交AC 于点F，CE 的延长线交AB 于点G．求证：EF＝EG．【变式12-3】已知：D，A，E 三点都在直线m 上，在直线m 的同一侧作△ABC，使AB＝AC，连接BD，CE．（1）如图①，若∠BAC＝90°，BD⊥m，CE⊥m，求证：△ABD≌△ACE；（2）如图②，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，请判断BD，CE，DE 三条线段之间的数量关系，并说明理由．【考点13全等三角形中的动点问题】【例13】如图，已知在△ABC 中，AB＝AC，BC＝12厘米，点D 为AB 上一点且BD＝8厘米，点P 在线段BC 上以2厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，设运动时间为t，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．（1）用含t 的式子表示PC 的长为；（2）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t＝2时，三角形BPD 与三角形CQP 是否全等，请说明理由；（3）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，请求出点Q 的运动速度是多少时，能够使三角形BPD 与三角形CQP 全等？鲁教版五四制初中数学辅导【变式13-1】如图，在△ABC 中，∠ACB＝90，AC＝6，BC＝8．点P 从点A 出发，沿折线AC﹣﹣CB 以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动，点Q 从点B 出发沿折线BC﹣CA 以每秒3个单位长度的速度向终点A 运动，P、Q 两点同时出发．分别过P、Q 两点作PE⊥l 于E，QF⊥l 于F．设点P 的运动时间为t（秒）：（1）当P、Q 两点相遇时，求t 的值；（2）在整个运动过程中，求CP 的长（用含t 的代数式表示）；（3）当△PEC 与△QFC 全等时，直接写出所有满足条件的CQ 的长．【变式13-2】如图①，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A 出发，沿着三角形的边AC→CB→BA 运动，回到点A 停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．（1）如图（1），当t＝112或192时，△APC 的面积等于△ABC 面积的一半；（2）如图（2），在△DEF 中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC 的边上，若另外鲁教版五四制初中数学辅导有一个动点Q，与点P 同时从点A 出发，沿着边AB→BC→CA 运动，回到点A 停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q 的运动速度．【变式13-3】如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB 垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P 在线段AB 上以2cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时点Q 在射线BD 上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P 运动结束时，点Q 运动随之结束）．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t＝1时，△ACP 与△BPQ 是否全等，并判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q 的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q 运动到何处时有△ACP 与△BPQ 全等，求出相应的x 的值．【考点14尺规作图】【例14】如图，已知∠1与线段a，用直尺和圆规按下列步骤作图（保留作图痕迹，不写作法）：（1）作∠A＝∠1；（2）在∠A 的两边分别作AM＝AN＝a；（3）连接MN．【变式14-1】已知∠α，线段a，b，求作：△ABC，使∠B＝∠α，AB＝2a，BC＝b．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法及证明）【变式14-2】如图，已知∠1与线段a，用直尺和圆规按下列步骤作图（保留作图痕迹，不写作法）：鲁教版五四制初中数学辅导（1）作∠A＝∠1；（2）在∠A 的两边分别作AM＝AN＝a；（3）连接MN．【变式14-3】已知∠α和线段a，求作△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝2∠α，AB＝2α．（保留作图痕迹，不写作法）鲁教版五四制初中数学辅导参考答案与解析【例1】【分析】根据三角形的角平分线，中线，线段的定义；根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上进行判断．【解答】解：A、三角形的高、中线、角平分线都是线段，故正确；B、三角形的三条中线都在三角形内部，故正确；C、锐角三角形的三条高一定交于同一点，故正确；D、三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误．故选：D．【点评】本题考查对三角形的中线、角平分线、高的正确理解．【变式1-1】【分析】根据三角形的中线，角平分线和高线的定义以及在三角形的位置对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、三角形三条高至少有一条在三角形的内部，故正确；B、三角形三条中线都在三角形的内部，故正确；C、三角形三条角平分线都在三角形的内部，故正确．D、直角三角形有两条高就是直角三角形的边，一条在内部，钝角三角形有两条高在外部，一条在内部，故错误．故选：D．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，是基础题，熟记概念以及在三角形中的位置是解题的关键．【变式1-2】【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．【解答】解：∵AF 是△ABC 的中线，∴BF＝CF，A 说法正确，不符合题意；∵AD 是高，∴∠ADC＝90°，∴∠C+∠CAD＝90°，B 说法正确，不符合题意；∵AE 是角平分线，∴∠BAE＝∠CAE，C 说法错误，符合题意；∵BF＝CF，∴S △ABC ＝2S △ABF ，D 说法正确，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键．【变式1-3】【分析】根据三角形的高，中线，角平分线的定义可知．鲁教版五四制初中数学辅导【解答】解：①G 为AD 中点，所以BG 是△ABD 边AD 上的中线，故正确；②因为∠1＝∠2，所以AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，AG 是△ABE 中∠BAE 的角平分线，故错误；③因为CF⊥AD 于H，所以CH 既是△ACD 中AD 边上的高线，也是△ACH 中AH 边上的高线，故正确．故选：C．【点评】熟记三角形的高，中线，角平分线是解决此类问题的关键．【例2】【分析】根据S △ABC ＝12和点D 是AB 边上的中点，点E 是BC 边上的中点，即可得到△DEC 的面积，从而可以解答本题．【解答】解：∵S △ABC ＝12，点D 是AB 边上的中点，∴S △ACD ＝S △BCD ＝6，又∵点E 是BC 边上的中点，∴S △BDE ＝S △CDE ＝3，即阴影部分的面积是3，故选：C．【点评】本题考查三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式2-1】【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积，可得△ABE、△DBE、△DCE、△AEC 的面积相等，从而计算△BEC 的面积，根据EF＝2FC，可得结论．【解答】解：∵D 是BC 的中点，∴S △ABD ＝S △ADC （等底等高的三角形面积相等），∵E 是AD 的中点，∴S △ABE ＝S △BDE ，S △ACE ＝S △CDE （等底等高的三角形面积相等），∴S △ABE ＝S △DBE ＝S △DCE ＝S △AEC ，∴S △BEC =12S △ABC ＝6cm 2．∵EF＝2FC，∴S △BEF =23S △BCE ，∴S △BEF =23S △BEC ＝4cm 2．故选：C．【点评】此题考查了三角形的面积，根据三角形中线将三角形的面积分成相等的两部分解答．【变式2-2】【分析】根据两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边的比，求出S △CGD ，S △CGE 的大小，进而求出S △BCE 的大小；然后根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，用S △BCE 的面积乘以2，求出△ABC 的面积即可．【解答】解：∵BD＝2DC，∴S △CGD =12S △BGD =12×16＝8；∵E 是AC 的中点，∴S △CGE ＝S △BGE ＝6，∴S △BCE ＝S △BGD +S △CGD +S △CGE 鲁教版五四制初中数学辅导＝16+8+6＝30∴△ABC 的面积是：30×2＝60．故选：D．【点评】此题主要考查了三角形的面积的求法，以及三角形的中线的特征，解答此题的关键是要明确：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边的比．【变式2-3】【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC 的面积即为阴影部分的面积的3倍．【解答】解：∵△ABC 的三条中线AD、BE，CF 交于点G，AG：GD＝2：1，∴AE＝CE，∴S △CGE ＝S △AGE =13S △ACF ，S △BGF ＝S △BGD =13S △BCF ，∵S △ACF ＝S △BCF =12S △ABC =12×12＝6，∴S △CGE =13S △ACF =13×6＝2，S △BGF =13S △BCF =13×6＝2，∴S 阴影＝S △CGE +S △BGF ＝4．故选：B．【点评】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，正确的识别图形是解题的关键．【例3】【分析】先写出不同的分组，再根据三角形的任意两边之和大于第三边对各组数据进行判断即可得解．【解答】解：任取3根可以有一下几组：①2cm，3cm，4cm，能够组成三角形，②2cm，3cm，5cm，∵2+3＝5，∴不能组成三角形；③2cm，4cm，5cm，能组成三角形，③3cm，4cm，5cm，能组成三角形，∴可以搭出不同的三角形3个．故选：C．【点评】本题考查了三角形的三边关系，按照一定的顺序进行分组才能做到不重不漏．【变式3-1】【分析】利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，通过比较得到结论．【解答】解：①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；④长度分别为6、3、3，不能构成三角形；综上所述，得到三角形的最长边长为5．鲁教版五四制初中数学辅导故选：B．【点评】本题考查了三角形的三边关系，利用了三角形中三边的关系求解．注意分类讨论，不重不漏．【变式3-2】【分析】根据三角形三边关系得到a+c﹣b＞0，b﹣c+a＞0，a﹣b﹣c＜0，再去绝对值，合并同类项即可求解．【解答】解：∵a，b，c 是一个三角形的三条边长，∴a+c﹣b＞0，b﹣c+a＞0，a﹣b﹣c＜0，|a+c﹣b|﹣|b﹣c+a|﹣|a﹣b﹣c|＝a+c﹣b﹣b+c﹣a+a﹣b﹣c＝a﹣3b+c，故答案为：a﹣3b+c．【点评】考查了三角形三边关系，绝对值的性质，整式的加减，关键是得到a+c﹣b＞0，b﹣c+a＞0，a﹣b﹣c＜0．【变式3-3】【分析】结合三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”和已知条件，进行分析．【解答】解：根据已知条件和三角形的三边关系，得当a＝8，b＝7时，则c＝6或5或4或3或2；当a＝8，b＝6时，则c＝5或4或3；当a＝8，b＝5时，则c＝4．则满足条件的三角形共有9个．故答案为：9．【点评】考查了三角形三边关系，此题要能够把已知条件和三角形的三边关系结合起来考虑．【例4】【分析】（1）求出∠ADE 的度数，利用∠DAE＝90°﹣∠ADE 即可求出∠DAE 的度数．（2）求出∠ADE 的度数，利用∠DFE＝90°﹣∠ADE 即可求出∠DAE 的度数．【解答】解：（1）∵∠B＝38°，∠C＝64°，∴∠BAC＝78°，∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝39°，∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝77°，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝13°．（2）∵B＝α，∠C＝β，∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝90°−12（α+β），∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝α+90°−12（α+β），∵AE⊥BC，鲁教版五四制初中数学辅导∴∠AEB＝90°，∴∠DFE＝90°﹣∠ADE =12（β﹣α）．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．【变式4-1】【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC 的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAC 的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出∠ADC 的度数，进一步求得∠E 的度数；（2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系．【解答】（1）解：∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，∴∠BAC＝60°．∵AD 平分∠BAC，∴∠DAC＝30°．∴∠ADC＝65°．又∵∠DPE＝90°，∴∠E＝25°（2）证明：∵∠B+∠BAC+∠ACB＝180°，∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠ACB）．∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD =12∠BAC＝90°−12（∠B+∠ACB）．∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝90°−12（∠ACB﹣∠B）．∵PE⊥AD，∴∠DPE＝90°．∴∠ADC+∠E＝90°．∴∠E＝90°﹣∠ADC，即∠E =12（∠ACB﹣∠B）．【点评】此题考查三角形的内角和定理以及角平分线的定义．掌握三角形的内角和为180°，以及角平分线的性质是解决问题的关键．【变式4-2】【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；（2）根据垂直的定义得到∠ADB＝90°，根据三角形的内角定理即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠B＝50°，∠ACB＝80°，∴∠BAC＝180°﹣50°﹣80°＝50°，∵AE 是∠BAC 的角平分线，∴∠BAE =12∠BAC =25°，∵FG⊥AE，∴∠AHG＝90°，∴∠AGF＝180°﹣90°﹣25°＝65°；（2）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵∠AED＝∠B+∠BAE＝50°+25°＝75°，∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝15°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，垂直的定义，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．鲁教版五四制初中数学辅导【变式4-3】【分析】（1）根据三角形的内角和定理，可求得∠BAC 的度数，由AD 是∠BAC 的平分线，可得∠DAC 的度数；在直角△AEC 中，可求出∠EAC 的度数，所以∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC，即可得出；（2）根据三角形的内角和定理，可求得∠BAC 的度数，由AD 是∠BAC 的平分线，可得∠DAC 的度数；在直角△AEC 中，可求出∠EAC 的度数，所以∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC，即可得出；（3）设∠ACB＝α，根据角平分线的定义得到∠CAG =12∠EAC =12（90°﹣α）＝45°−12α，∠BCG =12∠BCF =12（180°﹣α）＝90°−12α，根据三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝62°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣62°＝78°，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAC =12∠BAC＝39°，∵AE 是BC 边上的高，在直角△AEC 中，∵∠EAC＝90°﹣∠C＝90°﹣62°＝28°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝39°﹣28°＝11°；（2）∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAC =12∠BAC＝90°−12（∠B+∠C），∵AE 是BC 边上的高，在直角△AEC 中，∵∠EAC＝90°﹣∠C，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝90°−12（∠B+∠C）﹣（90°﹣∠C）=12（∠C﹣∠B）；（3）设∠ACB＝α，∵AE⊥BC，∴∠EAC＝90°﹣α，∠BCF＝180°﹣α，∵∠CAE 和∠BCF 的角平分线交于点G，∴∠CAG =12∠EAC =12（90°﹣α）＝45°−12α，∠BCG =12∠BCF =12（180°﹣α）＝90°−12α，∴∠G＝180°﹣∠GAC﹣∠ACG＝180°﹣（45°−12α）﹣α﹣（90°−12α）＝45°．【点评】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的高、角平分线的性质，学生应熟练掌握三角形的高、中线和角平分线这些基本知识，能灵活运用解决问题．【例5】【分析】根据直角和高线可得三对相等的角，根据同角的余角相等可得其它两对角相等：∠A＝∠DCB，∠B＝∠ACD．【解答】解：∵CD 是直角△ABC 斜边AB 上的高，∴∠ACB＝∠ADC＝∠CDB＝90°，∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠DCB＝90°，∴∠A＝∠DCB，同理得：∠B＝∠ACD，鲁教版五四制初中数学辅导∴相等的角一共有5对，故选：D．【点评】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握同角的余角相等是解题的关键．【变式5-1】【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠C，根据三角形的外角的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∴∠C＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，∠BFD＝90°﹣∠B＝50°，在△BCE 中，∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠C＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∴∠AEF＝180°﹣∠BEC＝100°．【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．【变式5-2】【分析】在△ADF 中，利用三角形内角和定理结合对顶角相等可得出∠DAF＝90°﹣∠AFD＝90°﹣∠CFE，在△AEC 中，利用三角形内角和定理可得出∠CAE＝90°﹣∠CEF，再结合∠CFE＝∠CEF 可得出∠DAF＝∠CAE，即AE 平分∠CAB．【解答】证明：∵CD⊥AB，∴在△ADF 中，∠DAF＝90°﹣∠AFD＝90°﹣∠CFE．∵∠ACE＝90°，∴在△AEC 中，∠CAE＝90°﹣∠CEF．∵∠CFE＝∠CEF，∴∠DAF＝∠CAE，即AE平分∠CAB．【点评】本题考查了直角三角形的性质、三角形内角和定理以及角平分线的定义，利用三角形内角和定理，找出∠DAF＝90°﹣∠CFE 及∠CAE＝90°﹣∠CEF 是解题的关键．【变式5-3】【分析】（1）根据三角形外角的的性质可得结论；（2）根据三角形外角的性质和直角三角形两锐角互余可得结论；（3）分情况讨论：α＞50°或α＜50°根据三角形内角和可得结论．【解答】解：（1）如图1，当α＝60°时，∠APC＝60°，△APB 中，∠PAB＝∠APC﹣∠B＝60°﹣40°＝20°，（2）如图2，同（1）得：∠PAB＝α﹣40°，鲁教版五四制初中数学辅导∵CE⊥AP，∴∠ADE＝90°，∴∠PAB+∠AED＝90°，∴∠AED＝90°﹣∠PAB＝90°﹣（α﹣40°）＝130°﹣α，（3）如图3，当α＞50°时，△APC 中，∠ACP＝90°，∠APC＝α，∴∠CAP＝90°﹣α，∵CD⊥AP，∴∠ADE＝90°，∴∠AED＝90°﹣∠DAE＝90°﹣（50°+90°﹣α）＝α﹣50°，②如图4，当α＜50°时，∴∠AED＝90°﹣∠PAE＝90°﹣（α+40°）＝50°﹣α，综上，∠AED 为α﹣50°或50°﹣α．【点评】本题考查了三角形外角的性质、直角三角形的两锐角互余、垂线的性质，熟练掌握这些性质是关键．【例6】鲁教版五四制初中数学辅导【分析】直接利用全等图形的性质进而得出答案．【答案】解：如图所示：图形分割成两个全等的图形，．故选：B．【点睛】此题主要考查了全等图形，正确把握全等图形的性质是解题关键．【变式6-1】【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．【答案】解：①、②可以完全重合，因此全等的图形是①、②．故选：D．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．【变式6-2】【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形画线即可．【答案】解：如图所示：．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．【变式6-3】【分析】仔细分析图中角度，可得出，∠1+∠4＝90°，∠2+∠3＝90°，进而得出答案．【答案】解：∵∠1和∠4所在的三角形全等，∴∠1+∠4＝90°，∵∠2和∠3所在的三角形全等，∴∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠2+∠3十∠4＝180°．故答案为：180°．【点睛】此题主要考查了全等图形，解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用．【例7】【分析】根据全等三角形的性质可得AB＝ED，再根据等式的性质可得EB＝AD，进而可得答案．【答案】解：∵△ABC≌△DEF，∴AB＝ED，∴AB﹣AE＝DE﹣AE，∴EB＝AD，鲁教版五四制初中数学辅导。
鲁教版(五四制)八年级数学上册第一章综合测试卷含答案
鲁教版（五四制）八年级数学上册第一章综合测试卷一、选择题(每题3分，共36分)1．【2023·济宁任城区月考】下列从左至右的变形，属于因式分解的是( )A ．4a 2－8a ＝a (4a －8)B ．－x 2＋y 2＝(－x ＋y )(－x －y )C ．x 2－x ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122D ．x 2＋1＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x2．【2023·泰安泰山区月考】多项式8a 3b 2＋12ab 3c 的公因式是( )A ．abcB ．4ab 2C ．ab 2D ．4ab 2c3．【2023·淄博张店区月考】下列式子中，分解因式结果为(3a －y )(3a＋y )的多项式是( ) A ．9a 2＋y 2 B ．－9a 2＋y 2 C ．9a 2－y 2 D ．－9a 2－y 24．【2023·东营期末】下列各式中不能用公式法分解因式的是( )A ．x 2－4B ．－x 2－4C ．x 2＋x ＋14 D ．－x 2＋4x －45．将下列多项式因式分解，结果中不含因式x －1的是( )A ．x (x －3)＋(3－x )B ．x 2－1C ．x 2－2x ＋1D ．x 2＋2x ＋1 6．简便计算：(－2)100＋(－2)101＝( )A．－2100 B．－2101C．2100 D．－27．某同学粗心大意，因式分解时，把等式x4－■＝(x2＋4)(x＋2)(x －▲)中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的数字是()A．8，1 B．16，2C．24，3 D．64，88．已知a＝2b－5，则代数式a2－4ab＋4b2－5的值是() A．20 B．0C．－10 D．－309. 如图，有一张边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为a的正方形．然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为()A．(b－6a)(b－2a)B．(b－3a)(b－2a)C．(b－5a)(b－a)D．(b－2a)210．【母题：教材P17复习题T5】248－1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个整数是()A．61和63 B．63和65C．65和67 D．64和6711．【2023·烟台期中】已知M＝3x2－x＋3，N＝2x2＋3x－1，则M，N的大小关系是()A．M≥N B．M＞NC．M≤N D．M＜N12．若(b－c)2＝4(1－b)(c－1)，则b＋c的值是()A．－1 B．0 C．1 D．2二、填空题(每题3分，共18分)13．【2022·常州】分解因式：x2y＋xy2＝________．14．多项式9a2－4b2和9a2＋12ab＋4b2的公因式是________．15．若4x2－(k－1)x＋9能用完全平方公式因式分解，则k的值为________．16．若关于x的二次三项式x2＋kx＋b因式分解为(x－1)(x－3)，则k＋b的值为________．17．已知a＋b＝2，则a2－b2＋2a＋6b＋2的值为________．18．多项式4a2－9b n(其中n是小于10的自然数，b≠0)可以分解因式，则n能取的值共有______个．三、解答题(19题12分，20题6分，24，25题每题12分，其余每题8分，共66分)19．【2023·东营广饶县月考】因式分解：(1)y (y ＋4)－4(y ＋1)； (2)(x 2＋1)2－4x 2； (3)12x 2＋xy ＋12y 2；(4)x (x －y )(a －b )－y (y －x )(b －a )．20．【母题：教材P 7习题T 4】用简便方法计算：(1)2 0232－2 0242； (2)2.22＋4.4×17.8＋17.82.21．已知x＋y＝5，(x－2)(y－2)＝－3，求下列代数式的值．(1)xy；(2)x2＋4xy＋y2；(3)x2＋xy＋5y.22.阅读：已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4，①∴c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2). ②∴c2＝a2＋b2. ③∴△ABC是直角三角形. ④请根据上述解题过程回答下列问题：(1)上述解题过程，从第几步(该步的序号)开始出现错误，错误的原因是什么？(2)请你将正确的解题过程写下来．23．小刚家门口的商店在装修，他发现工人正在一块半径为R的圆形板材上，割去半径为r的四个小圆，如图所示，小刚测得R＝6.8 dm，r＝1.6 dm，他想知道剩余部分(阴影部分)的面积，你能利用所学的因式分解的知识帮他计算吗？请写出求解过程．(结果保留π)24．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．(1)图B可以解释的代数恒等式是________________．(2)现有足够多的如图C所示的正方形和长方形卡片．①若要拼出一个面积为(a＋2b)(a＋b)的长方形，则需要1号卡片________张，2号卡片________张，3号卡片________张；②试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的长方形(每两张卡片之间既不重叠，也无空隙)，使该长方形的面积为2a2＋5ab＋2b2，并利用图形面积对2a2＋5ab＋2b2进行因式分解．25．【2023·烟台芝罘区期中】整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式(x2＋2x)(x2＋2x＋2)＋1进行因式分解的过程．将“x2＋2x”看成一个整体，令x2＋2x＝y，则原式＝y2＋2y＋1＝(y＋1)2再将“y”还原即可．解：设x2＋2x＝y.原式＝y(y＋2)＋1(第一步)＝y2＋2y＋1(第二步)＝(y＋1)2(第三步)＝(x2＋2x＋1)2(第四步)．问题：(1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果；②请你模仿以上方法尝试对多项式(x2－4x)(x2－4x＋8)＋16进行因式分解；(2)请你模仿以上方法尝试计算：(1－2－3－…－2023)×(2＋3＋…＋2024)－(1－2－3－…－2024)×(2＋3＋…＋2023)．答案一、1.C 2.B3．C 4.B5．D【点拨】A.原式＝(x－3)(x－1)；B．原式＝(x＋1)(x－1)；C．原式＝(x－1)2；D．原式＝(x＋1)2.6．A【点拨】(－2)100＋(－2)101＝2100－2101＝2100(1－2)＝－2100. 7．B【点拨】由(x2＋4)(x＋2)(x－▲)得出▲＝2，则(x2＋4)(x＋2)(x －2)＝(x2＋4)(x2－4)＝x4－16，则■＝16.8．A【点拨】∵a＝2b－5，∴a－2b＝－5，∴a2－4ab＋4b2－5＝(a－2b)2－5＝(－5)2－5＝25－5＝20.9．A【点拨】底面积为(b－2a)2，侧面积为a·(b－2a)·4＝4a(b－2a)，∴M＝(b－2a)2－4a·(b－2a)＝(b－2a)(b－2a－4a)，＝(b－2a)(b－6a)．10．B【点拨】248－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)＝(224＋1)(212＋1)×65×63.11．A【点拨】∵M－N＝(3x2－x＋3)－(2x2＋3x－1)＝3x2－x＋3－2x2－3x＋1＝x2－4x＋4＝(x－2)2≥0，∴M≥N.12．D【点拨】∵(b－c)2＝4(1－b)(c－1)，∴b2－2bc＋c2＝4c－4－4bc＋4b，∴(b2＋2bc＋c2)－4(b＋c)＋4＝0，∴(b＋c)2－4(b＋c)＋4＝0，∴(b＋c－2)2＝0，∴b＋c＝2.二、13.xy(x＋y)14．3a＋2b【点拨】9a2－4b2＝(3a＋2b)(3a－2b)，9a2＋12ab＋4b2＝(3a＋2b)2，∴公因式是3a＋2b.15．13或－1116.－117．10【点拨】∵a＋b＝2，∴a2－b2＋2a＋6b＋2＝(a＋b)(a－b)＋2a＋6b＋2＝2(a－b)＋2a＋6b＋2＝2a－2b＋2a＋6b＋2＝4a＋4b＋2＝4(a＋b)＋2＝4×2＋2＝10.18．5 【点拨】多项式4a 2－9bn (其中n 是小于10的自然数，b ≠0)可以分解因式，则n 能取的值为0，2，4，6，8，共5个．三、19.解：(1)原式＝y 2＋4y －4y －4＝y 2－4＝(y ＋2)(y －2)．(2)原式＝(x 2＋1＋2x )(x 2＋1－2x )＝(x ＋1)2(x －1)2.(3)原式＝12(x 2＋2xy ＋y 2)＝12(x ＋y )2.(4)原式＝x (x －y )(a －b )－y (x －y )(a －b )＝(x －y )(a －b )(x －y )＝(x －y )2(a －b )．20．解：(1)原式＝(2 023＋2 024)×(2 023－2 024)＝4 047×(－1)＝－4 047.(2)原式＝2.22＋2×2.2×17.8＋17.82＝(2.2＋17.8)2＝202＝400.21．解：(1)∵(x －2)(y －2)＝－3，∴xy －2(x ＋y )＋4＝－3.∵x ＋y ＝5，∴xy ＝3.(2)∵x ＋y ＝5，xy ＝3，∴x 2＋4xy ＋y 2＝(x ＋y )2＋2xy ＝25＋6＝31.(3)x 2＋xy ＋5y ＝x (x ＋y )＋5y ，∵x ＋y ＝5，∴x 2＋xy ＋5y ＝5x ＋5y ＝5(x ＋y )＝5×5＝25.22．解：(1)从第③步开始出现错误，错误的原因是忽略了a 2－b 2＝0的可能．(2)正确的解题过程如下：∵a2c2－b2c2＝a4－b4，∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)．∴c2(a2－b2)－(a2＋b2)(a2－b2)＝0.∴(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0.∴c2－a2－b2＝0或a2－b2＝0.∴c2＝a2＋b2或a＝b.∴△ABC是直角三角形或等腰三角形．23．解：剩余部分的面积为πR2－4πr2＝π(R2－4r2)＝π(R＋2r)(R－2r)．将R＝6.8 dm，r＝1.6 dm代入上式，得π×(6.8＋3.2)×(6.8－3.2)＝36π(dm2)．24．解：(1)(2n)2＝4n2(2)①1；2；3②如图．2a2＋5ab＋2b2＝(2a＋b)(a＋2b)．25．解：(1)①没有；最后的结果为(x＋1)4.②设x2－4x＝y.原式＝y(y＋8)＋16＝y2＋8y＋16＝(y＋4)2＝(x2－4x＋4)2＝(x－2)4.(2)设x＝1－2－3－…－2 023，y＝2＋3＋…＋2 024，则1－2－3－…－2 024＝x－2 024，2＋3＋…＋2023＝y－2 024，x＋y＝1＋2 024＝2 025，所以原式＝xy－(x－2 024)(y－2 024)＝xy－xy＋2 024(x＋y)－2 0242＝2 024×2 025－2 0242＝2 024(2 024＋1)－2 0242＝2 024.。
八年级数学上册 第1章 《三角形》 单元测试卷
八年级数学上册第1章《三角形》单元测试卷一、选择题：1．一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数，则这个三角形的周长为()A．16 B．14 C．12 D．102．如图，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，补充下列一个条件后，不能判断△ABE≌△ACD 的是()A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．∠BDC＝∠CEB D．BE＝CD第2题图第3题图第4题图第5题图3．某实验室有一块三角形玻璃，被摔成如图的四块，胡老师想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，他要带的玻璃编号是() A．①B．②C．③D．④4．如图，点O在AD上，∠A＝∠C，∠AOC＝∠BOD，AB＝CD，AD＝6 cm，OC＝4 cm，则OB的长为() A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm 5．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝6，连结BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若点P是BC边上一动点，则DP长的最小值为() A．4 B．6 C．3 D．12 6．如图，在△MPN中，点H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，则MH长为() A．3 B．4 C．5 D．6第6题图第7题图7．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，点G为AD的中点，延长BG交AC于点E，点F为AB 上一点，CF⊥AD于点H，下面判断正确的有()①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD边AD上的中线；③CH是△ACD边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高．A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点M ，交AC 于点N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点P ，连结AP 并延长，交BC 于点D ，有下列说法：①线段AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC ＝∠BAC ；③点D 到AB 边的距离与DC 的长相等；④△DAC 与△ABC 的面积之比是1∶4，其中结论正确的是( )A ．①②B ．③④C ．①②③D ．①③④第8题图 第9题图 第10题图9．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过点C 作CF ⊥AE ，垂足为点F ，过点B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于点D .若BD ＝3cm ，则△ABC 的面积为( )A ．36cm 2B ．18cm 2C ．6cm 2D ．8cm 210．如图，已知AB ＝AC ，点D ，E 分别在AC ，AB 上且AE ＝AD ，连结EC ，BD ，EC 交BD 于点M ，连结AM ，过点A 分别作AF ⊥CE ，AG ⊥BD 垂足分别为点F ，G ，下列结论：①△EBM ≌△DCM ；②∠EMB ＝∠F AG ；③MA 平分∠EMD ；④若点E 是AB 的中点，则BM ＋AC ＞BD ，其中正确结论的个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题：11．如图，共有_______个三角形．第11题图 第13题图 第15题图12．把命题“三角形的内角和等于180°”改写成如果____________________________，那么______________________________．13．如图，已知AB ＝AD ，那么添加一个条件：_____________________，能判定△ABC ≌△ADC ．14．在△ABC中，∠A＝∠B＝13∠C，则∠A＝_______．15．如图，DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，若∠BAC＝110°，则∠DAE＝_______. 16．如图，AB＝AC，AD＝AE，BE，CD交于点O，则图中的全等三角形共有_______对．第16题图第17题图第18题图17．一副三角板如图放置，若∠1＝90°，则∠2的度数为________．18．如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝100，点E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为2∶3，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为________．19．如图，在△ABC中，BC＝42，直线l经过边AB的中点D，与BC交于点M，分别过点A，C作直线l的垂线，垂足分别为点E，F，则AE＋CF的最大值为________．第19题图第20题图第21题图20．如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上，点E在边BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，则∠DEC的度数为________．三、解答题：21．如图，在△ABC中，点D是AC上一点，AD＝AB，过点D作DE∥AB，且DE＝AC.(1)求证：△ABC≌△DAE；(2)若点D是AC的中点，△ABC的面积是20，求△AEC的面积．22．如图，点E是AC上一点，AB∥CD，∠B＝∠CED，BC＝ED.第22题图(1)求证：AB＝CE；(2)若AB＝5，AE＝2，求CD的长度．23．如图，已知AD＝AB，AC＝AF，∠BAD＝∠CAF.(1)求证：△ADC≌△ABF；(2)若∠CAD＝130°，∠D＝15°，求∠F的度数．第23题图24．如图，已知AD为△ABC的高，BE⊥AC，AD＝BD.(1)求证：BF＝AC；(2)若∠BAC是钝角，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由．第24题图25．(1)发现：如图1，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.填空：DE与DF的数量关系是，理由是．图1 图2 图3第25题图(2)应用：如图2，△ABC的两个外角∠CBD和∠BCE的平分线交于点P，BC＝4cm，AB＋AC＝6.8cm2，求△ABC的面积．＝8cm，S△PBC(3)拓展：如图3，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠BAD＋∠BCD＝180°，求证：CB＝CD.26．“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等角的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．根据材料的理解解决以下问题：(1)如图1，∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝BC，猜想DE，AD，BE之间的关系：．(2)如图2，将(1)中条件改为∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝α(90°＜α＜180°)，AC＝BC，请问(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．(3)如图3，在△ABC中，点D为AB上一点，DE＝DF，∠A＝∠EDF＝∠B，AE＝3，BF＝5，请直接写出AB的长．。
新八年级数学上第一章全等三角形测试题(2套)
人教版八年级数学第一章全等三角形测试题 16. 三角形ABC 中，Z A 是Z B 的2倍，Z C 比Z A + Z B 还大12度，则这个三角形是. 三角形.7. ________________________________________________________ 以三条线段3、4、x — 5为这组成三角形，贝U x 的取值为 __________________________________ .&杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做的数学原理是9. △ ABC 中，Z A + Z B =Z C ,Z A 的平分线交 BC 于点D ，若CD = 8cm ,则点D 到AB 的距离为 cm .10. ________________________ A D 是厶ABC 的边BC 上的中线, 中线AD 的取值范围是 _____________ . 三、解答题：11 . 已知：如图 13— 4, AE=AC , 求证：△ EAD CAB .12 . 如图13— 5, △ ACD 中，已知AB 丄CD ,三角形，王刚同学说有下列全等三角形： ①厶 ABC ◎△ DBE :②厶 ACB ◎△ ABD ;③厶 CBE ◎△ BED :④厶 ACE ◎△ ADE . 这些三角形真的全等吗？简要说明理1. 2. 3.4..选择题：在厶ABC 和厶A'B 'C 冲，AB=A 'B ', Z B= Z B ',补充条件后仍不一定能保证△ ABC ◎△A'B'C ',则补充的这个条件是（ ）A . BC=B 'C ' B . Z A= Z A ' C . AC=A 'C '直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（A . 45°B . 135°C . 45° 或 135° 现有两根木棒，它们的长分别是 40cm 和50cm , 四根木棒中应选取（ ）A . 10cm 的木棒B . 40cm 的木棒C .根据下列已知条件，能惟一画出三角形ABC 的是A .B .D . Z C= / C '）D .都不对若要钉成一个三角形木架，则在下列90cm 的木棒 〔 ）D . 100cm 的木棒5. C . D . 如图 AB = 3, BC = 4, AC = 8; AB = 4, BC = 3, Z A = 30; Z A = 60，/ B = 45, AB = 4;Z C = 90, AB = 63, D , E 分别是△ ABC 的边BC , AC 上的点，若Z B =Z C ,Z ADE =Z AED ，则（A .B .当/ B 为定值时， 当/ 为定值时，/ 当/ 为定值时，/D .二、填空题: 当/ 为定值时,/ CDE 为定值AB = 12, AC = 8,则边 BC 的取值范围是 _________AD=AB , Z EAC= Z DAB ,CDE 为定值 ）/ CDE 为定值CDE 为定值 图 13 —4图 13 — 5图 13 —6F由.13 . 已知，如图13—6, D是厶ABC的边AB 上一点，DF 交AC 于点E, DE=FE, FC // AB,求证：AD=CF . 14.如图5-7,△ ABC 的边BC 的中垂线 DF 交厶BAC 的 外角平分线 AD 于D, F 为垂足,DE 丄AB 于E ,且AB>AC , 求证：BE — AC=AE .15.阅读下题及证明过程： 已知：如图8, D 是厶ABC 中BC 边上一点，E是AD 上一点,EB=EC ，/ ABE= / ACE ，求证：/ BAE= / CAE . 证明：在厶AEB 和厶AEC 中，•/ EB=EC ，/ ABE= / ACE , AE=AE ,•••△ AEB ◎△ AEC ……第一步•••/ BAE= / CAE ……第二步问上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依 据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证 明过程.六、参考答案提示1. C . （提示:边边角不能判定两个三角形全等.）2. C . （提由三角形内角和为 180可求，要注意有两个不冋的角. )3. B . （提示:利用三角形三边的关系，第三根木棒 x 的取值范围是： 10cm V x V 90cm .=4. C . （提示:A 不能构成三角形，B 满足边边角，不能判定三角形全等,D 项可画出无数个三角形.）5. B .（提示：Z CDE = Z B + Z —Z =Z —Z B ，故得到 2 (Z B — Z )+Z = 0.又•••/ —Z B = Z —Z C = Z CDE ，所以可得到/ CDE = ，故当/ 为定值2时，Z CDE 为定值.）6•钝角.（提示：由三角形的内角和可求出Z A 、Z B 和Z C 的度数）7. 6 V x<12 .（提示：由三边关系可知： 4 — 3 V x — 5V 4 + 3.&三角形的稳定性.9. 8.（提示：点D 到AB 的距离与CD 的长相等.）10. 4V BC V 20; 2 V AD V 10.（提示：要注意三角形一边上的中线的取值范围是大于另两边之差的一半，小于两边之和的一半.）11. 提示：先证Z EAD= Z CAB ，再由SAS 即可证明.12. ①厶 ABC ◎△ DBE , BC=BE , Z ABC= Z DBE=90 ° , AB=BD ，符合 SAS :②厶 ACB 与厶ABD 不全等，因为它们的形状不相同，△ ACB 只是直角三角形， △ ABD 是等腰直 角三角形；③厶CBE 与厶BED 不全等，理由同②； ④厶ACE 与厶ADE 不全等，它们只16.如图9所示，△ ABC 是等腰直角三角形，/ 作AD 的垂线，交 AB 于点E ,交AD 于点F ,图8图9图9有一边一角对应相等.13. 提示：由ASA 或AAS，证明△ ADE ◎△ CFE .14. 过D 作DN 丄AC,垂足为N,连结DB、DC 贝U DN=DE , DB=DC，又•: DE 丄AB, DN丄AC, ••• Rt△ DBE 也Rt△ DCN , /• BE=CN .又T AD=AD , DE=DN Rt△ DEA 也Rt △ DNA ,• AN=AE , • BE=AC+AN=AC+AE , • BE —AC=AE .15. 上面证明过程不正确；错在第一步.正确过程如下：在厶BEC中，T BE=CE , EBC=/ ECB , 又I/ ABE= / ACE，•/ ABC= / ACB , • AB=AC.在厶AEB 和厶AEC 中, AE=AE. BE=CE, AB=AC, AEB ◎△ AEC, / BAE= / CAE.16. 如图11所示，过B点作BH丄BC交CE的延长线于H点.•// CAD +/ ACF = 90°,/ BCH +/ ACF = 90°,•••/ CAD =/ BCH .在△ ACD 与厶CBH 中,•••/ CAD = / BCH , AC = CB, / ACD = / CBH = 90°,•△ ACD CBH .•••/ ADC =/ H ① CD = B HA•/ CD = BD , • BD = BH .•/△ ABC是等腰直角三角形，/ CBA =/ HBE = 45°BD BH ,•••在厶BED 和BEH 中，EBD = EBH, ,•△ BED◎△ BEH .BE = BE,•/ BDE =/ H , ②由①②得，/ ADC = / BDE .人教版八年级数学第一章全等三角形测试题2一、选择题1. 如图，给出下列四组条件：① AB DE, BC EF, AC DF :② AB DE, B E, BC EF ;③ B E, BC EF, C F :④ AB DE, AC DF, B E. 其中，能使△ ABC DEF的条件共有（）A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组2. 如图，D, E分别为△ ABC的AC , BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处.若CDE 48°,贝U APD等于（）3. 如图（四），点P是AB上任意一点，ABC ABD，还应补充一个条件，才能推出△ APC ◎△ APD .从下列条件中补充一个条件，不一定能..推出△ APC ◎△ APD的是( ) 图（四）A. BC BDB. AC ADC. ACB ADBD. CAB DAB A.42°B.48°C52° D . 58°4•如图，在厶ABC与厶DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ ABC DEF , 不能添加的一组条件是（）（A）/ B= / E,BC=EF （B）BC=EF , AC=DF （C）/ A= / D , / B= / E （D） / A= / D, BC=EF5. 如图，A ABC 中，/ C = 90 , AC = BC, AD 是/ BAC 的平分线，DE丄AB 于E, 若AC = 10cm，则A DBE的周长等于（）A . 10cm B. 8cm C. 6cm D . 9cm离相等，则可供选择的地址有A. 1处B. 2处)C. 3处D. 4处7.某同学把一块三角形的玻璃打碎了么最省事的方法是（）A .带①去B .带②去&如图，在Rt△ ABC中，B 于点E .已知BAE 10,则3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那C .带③去D .带①②③去90ED是AC的垂直平分线，交AC于点D ,交BCC的度数为A . 30 B. 40 50 D. 609•如图，△ ACB AC BA. 20 °B. 3010 .如图，AC = AD, BC = BDA . AB垂直平分CDC . AB与CD互相垂直平分11；尺规作=30 ° 则C. 35 °)B. CD垂直平分ABD . CD 平分/ ACBBCB则有AOB的平分线方法如下ACA的度数为以O为圆心，任意长为半径画弧交1OA、OB 于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于2CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP,由作法得△ OCP也A ODP的根据是（）A. SAS B . ASA C. AAS D . SSS12. 如图，/ C=90 ,AD 平分/ BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm, 则点D到AB的距离为（）A. 5cmB. 3cmC. 2cmD. 不能确定13. 如图，OP平分AOB , PA OA, PB OB，垂足分别为A, B .下列结论中不一定成立的是（A. PA PBC . OA OB14.如图，已知ABB. PO 平分APBD. AB垂直平分OPAD，那么添加下列一个条件后，）仍无法判定△ ABC ADC的是（A . CB CD15.观察下列图形，则第B. / BAC / DACD. / Bn个图形中三角形的个数是（C第1个第2个第3个B. 4nC. 4n 4D. 4nA. 2n 2二、填空题1•如图，已知（写出一个即可）.AB AD ,BAE DAC，要使△ ABC △ ADE，可补充的条件是2. 如图，在厶ABC中，/ C=90° ,AC=BC,AD平分/ BAC交BC于D,DE丄AB于E,且AB=5c m则△ DEB的周长为__________3. 如图，BAC ABD，请你添加一个条件：可）.，使OC OD （只添一个即5.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形6.已知：如图，△ OAD^A OBC 且/ O= 70°,/ C = 25°，则/ AEB= ______________ 度.7如图，C 为线段AE 上一动点（不与点 A , E 重合），在AE 同侧分别作正三角形 ABC 和 正三角形 CDE 、AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P, BE 与CD 交于点Q ，连结PQ. 以下五个结论：① AD=BE :② PQ // AE :③AP=BQ ; @ DE=DP ;⑤/ AOB=60 （把你认为正确的序号都填上）8•如图所示，AB = AD , / 1 = / 2,添加一个适当的条件，使 恒成立的结论有△ ABC 也△ ADE ，则需要添三、解答题1•如图，已知AB=AC ， AD=AE ，求证：BD=CE.2.如图，在△ ABC 中，AB AC ， 三角形ABD 和ACE ，使 BAD（1 ）求 DBC 的度数；（2）求证： BAC 40°，分别以CAE 90° • BD CE •3.如图，在△ ABE 中，AB = AE,AD= AC,/ BAD=/ EAC, BC 、DE 交于点 O. 求证：(1) △ ABC ^^ AED (2) OB = OE .加的条件是 _________4•如图，D是等边△ ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△ EDC ,连接AE , 找出图中的一组全等三角形，并说明理由.5•如图，在△ ABC和厶DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点M.(1)求证：△ ABCDCB ; (2)过点 C 作CN// BD，过点 B 作BN // AC, CN 与BN 交于点N，试判断线段C6.(如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于0点，1 2 , 3 4 .求证：(1) △ ABC ◎△ ADC ; (2) BO DO .C 7.如图，在△ ABC和厶ABD中，现给出如下三个论断：① AD BC :② C D ；③1 2 .请选择其中两个论断为条件，另一个论断为结论，构造一个命题.(1)写出所有的真命题(写成________ ”形式，用序号表示)(2 )请选择一个真命题加以证明.你选择的真命题是: 证明:9.如图，△ ABC 中，/ BAC=90度，AB=AC , BD 是/ ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于 过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F .求证：BD=2CE .10.如图，AB AC, AD BC 于点D , AD AE , AB 平分 DAE 交DE 于点F ，请你写11. (7分)已知：如图， DC // AB ,且DC=AE , E 为AB 的中点, (1)求证：△ AEDEBC .8•已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上,求证：OA = OD . AB = DC , BE = CF ，/ B = Z C .出图中三对 全等三角形，并选取其中一对加以证明.(2 )观看图前，在不添辅助线的情况下，除△相等的三角形.(直接写出结果，不要求证明) EBC 夕卜，请再写出两个与△ AED 的面积C12. 如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE丄AC于E,BF丄AC于F,若AB=CD ,AF=CE , BD 交AC 于点M .(1)求证：MB = MD , ME=MF(2)当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由.。
初二数学第一章全等三角形证明经典例题（含答案）
初⼆数学第⼀章全等三⾓形证明经典例题（含答案）初⼆数学全等三⾓形证明经典例题1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD第1题图第2题图第3题图2、已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠23、已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC第4题图第5题图第6题图4、已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C5、已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE6、已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD7、已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C第7题图第8题图第9题图8、如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。
求证：BC=AB+DC 。
9、已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C第10题图第11题图第12题图10、P 是∠BAC 平分线AD 上⼀点，AC>AB ，求证：PC-PB11、已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BEF A E D C B PD A CB C D B AD B C B A C D F 2 1E ABC D E F 21 AD B CA B C D A12、已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC第13题图第14题图第15题图第16题图13、如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ．14、．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂⾜，AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB =∠OBA15、如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．16．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点，（1）求证：△AED ≌△EBC ．（2）在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的⾯积相等的三⾓形．（直接写出结果，不要求证明）：17．如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ．第17题图第18题图第19题图第20题图18、如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。
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C A B
D 三角形 (认识三角形、全等三角形) 提高训练试题
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每小题四个答案中只有一个是正确的，请把正确的答案选出来！
1.一个三角形的两边长分别是2cm 和9cm ，第三边的长是一个奇数，则第三边长为（ ）A 、5cm
B 、7cm
C 、9cm
D 、11cm
2. 1.在下列条件中：①∠A+∠B=∠C ，②∠A ∶∠B ∶∠C=2∶3∶4，③∠A=90°－∠B ，
④∠A=∠B=2
1∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有( ) A 、1个； B 、2个； C 、3个； D 、4个 3.对于三角形的内角,下列判断中不正确的是( )； A.至少有两个锐角 B.最多有一个直角 C.必有一个角大于600 D.至少有一个角不小于600 4. 如图，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，则图中互余的角有( )
A 、2对；
B 、3对；
C 、4对；
D 、5对；
5. 下列说法错误的是（ ） A. 三角形三条中线交于三角形内一点； B. 三角形三条角平分线交于三角形内一点
C. 三角形三条高交于三角形内一点；
D. 三角形的中线、角平分线、高都是线段
6、一个三角形的两个内角分别为55°和65°，这个三角形的外角不可能是( )
A 、115°
B 、120°
C 、125°
D 、130°
7、如图，在锐角△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，且CD 、BE 相交于一点P ，若∠A=50°，
则∠BPC=( )
A 、150°
B 、130°
C 、120°
D 、100°
8、用12根火柴棒(等长)拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和折断，则能摆出不同的三角形
的个数是( )
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
9如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，AE 是高，已知∠BAC=2∠B ，∠B=2∠DAE ，那么∠ACB
为（ ）A. 80° B. 72° C. 48° D. 36°
10．在△ABC 中，∠A=2∠B=4∠C ，则△ABC 为（ ）
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.都有可能
A B C D E P
第7题
第9题
11.直角三角形两锐角的平分线相交所夹的钝角为（ ） A 、125° B 、135° C 、145° D 、150°
12.等腰△ABC 的底边为5cm ，一腰上的中线把周长分为差为3cm 的两部分，则△ABC 的腰长是
（ ）cm 。
A 、8 B 、2 C 、8或2 D 、都不对
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
13．在△ABC 中，有两条边长分别是2 cm ，5 cm ，则第三边的范围是_______．若三边中有两边相
等，则△ABC 的周长为 cm ．
14．已知三角形的三边长分别是3、x 、9，则化简135-+-x x = ；
15．如图，在∆ABC 中，AD 是BC 边上的中线，已知AB =7 cm ，
AC =5cm ，则∆ABD 和∆ACD 的周长差为 cm ．
16、设△ABC 的三边为a 、b 、c ，化简 ______________|b a c ||a c b ||c b a |=--+--+--
17、已知三角形的两边长分别是3cm 和7cm ，第三边长是偶数，则这个三
角形的周长为___________cm ； 18、如图，∠A=50°，∠ABO=28°，∠ACO=32°，则∠BDC= ，∠BOC= 。
19、线段AD 把△ABC 分为面积相等的两部分，则线段AD 是△ABC 的 ．
20、已知等腰三角形的两边长分别为8cm 和3㎝，那么它的周长为 ㎝. 21、已知：如图（1），五角星中，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝ ．
22、在△ABC 中，的平分线交于点O,若∠BOC=100°,则∠A=_____ 23、AB//CD,AE 、CE 分别平分∠BAC 、∠AC D ，则AE 、CE 的位置关系为__________.
24、已知一个三角形的两边长为4和7，第三边上的中线x 的取值范围是__________.
25.若（a-1）2+2-b =0,则以a 、b 为边长的等腰三角形的周长为___________.
26、若AD,AE 分别是△ABC 的高和中线。
已知AD=5，BE=3，则△ABE 和△AEC 的面积为____________.
三、解答题（共8题，共66分）
27、（本题8分）如图，在ΔABC 中，∠C=90°，BE 平分∠ABC ，AF 平分外角∠BAD ，BE 与FA
交与点E 。
求∠E 的度数。
A
B C D 第13题 第16题
E B
D
A C (1)
A
B C E
A1
A2 28、（本题10分）如图，C在直线BE上，∠ABC与∠ACE的角平分线交于点A1，
(1)若∠A=60°，求∠A1的度数；(2)若∠A=m，求∠A1的度数；
(3)在(2)的条件下，若再作∠A1BE、∠A1CE的平分线，交于点A2；再作∠A2BE、∠A2CE的平
分线，交于点A3；……；依次类推，则∠A2，∠A3，……，∠A n分别为多少度？
29、如图,在三角形ABC中,BE,CF分别是AC,AB边上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延长线上
截取CG=AB,连接AD,AG,则AD、AG有何关系？并证明。
30、如图，已知△ABD、△AEC都是等边三角形，AF⊥CD于点F，AH⊥BE于点H,问：（1）BE
与CD有何数量关系？为什么？（2）AF、AH有何数量关系？为什么？
受理行政许可机关专用
四川省道路货物运输经营申请表
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货运1表第1页共4页
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