电路第3章 电路的过渡过程

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2Ω
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在开关S闭合后瞬间，根据换路定理有：
iL (0 ) iL (0 ) 1.2A uC (0 ) uC (0 ) 7.2V
由此可画出开关S闭合后瞬间即时的等0 ) R3 7 .2 1 .2 A U s 6 iC (0 ) iL (0 ) i1 (0 ) 1 .2 1 . 2 0 A
第3章 动态电路的时域 分析
要点：过渡过程与换路定律 RC电路的充放电过程分析 微分电路与积分电路
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3.1 过渡过程与换路定理
3.1.1 电路过渡过程的概念
过渡过程 定义：一个事件或物理过程，在一定条件下，可以从一个 稳定的状态——稳态，转到另一个稳定状态，而这个转变 需要一个过程，即需要一定的转化时间，这一物理过程就 称为“过渡过程”。 在研究脉冲电路时，或常常遇到带有开关的电子器件、门 电路、电容充放电等，比如最常见的RC电路
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1. 经典分析法
图示电路，t=0时开关S闭合。根据KVL，得回路电压方程为：
uR uC E
du C 而: iC C dt du C u R RiC RC dt
从而得微分方程：
+ E
S
iC R + uR
－
C
－
+ uC
－
duC RC uC E dt
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解微分方程，得：
iC R + uR
duC U S U S iC C e e dt R R 电阻上的电压为：

t
+ US
t RC
－
C
uR RiC USe
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定常数A（利用初始条件） 当t=0时，
uC (t ) E Ae

t RC
uc (0 ) 0
A E
t RC E 1 e t
得到全解为
uc (t ) E Ee
其中， RC 称为电路的时间常数。 当 R 单位取 ，电容 C 单位取 F, 则时间常数
t 0
du C ( t ) dt ︱0 是初始充电速度 t
当t =τ 时，uC= E(1-e-1)=0.632E
当充电时间为 63%。

时，电容只充到
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u C，iC
当t =5τ 时，uC= E(1-e-1)=0.993E
E
E R
O
uC iC t
在工程计算时，通常认为t=(3~5)τ 时充电过程 即结束。
的单位为秒S。
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电路的电流： 由于uC(0+)=0， uC(∞)=E，τ=RC，
R + E S iC C + uC
uC E (1 e
充电电流为：

t RC
－
)
u C，iC
E
－
duC E iC C e dt R
t RC
E R
uC
u R (t )
iC t
uC及iC的波形如右图所示。O
+
US －
R1
+
uC －
iC C
t=0 R2
i2
i1 (0+)
+
US －
R1
+
uC(0+) －
iC(0+) R2
i2 (0+)
iC (0 ) i1 (0 ) i2 (0 ) 0 2 2A
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#例2：图示电路原处于稳态，t=0时开关S闭合，求 初始值uC(0+)、iC(0+)和u(0+)。
回路电压满足基尔霍夫定律：
RiR uC (t ) 0
duc RC uc 0 dt uc (0 ) uc (0) E 初始条件
1 + E 2
S
R iC C + uC
－
－
解其为通解
uc Ae

t RC
由初始条件定A=E
uc (t ) Ee

t RC
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放电电流为：
uR E uC (t ) Ee
t

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2．时间常数
的含义：
t duc E t uc (t ) E 1 e e dt duc (t ) E t 0 当 时， ——初始充电速度 t 0 dt
E duc (t ) dt
uC (0 ) U S 10V
在开关S闭合后瞬间，根据换路定理有： uC (0 ) uC (0 ) 10V 由此可画出开关S闭合后瞬间即时的等 效电路，如图所示。由图得：
U S uC (0 ) 10 10 i1 (0 ) 0A R1 10 u (0 ) 10 i2 ( 0 ) C 2A R2 5
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例1：电路如图所示，开关K合上前， uC (0 ) 0
求：K合上瞬间的初始值。设 E=5V,R1=2 ,R2=3
U C (0 ) ?
1
i(0 ) ?
uc (0 ) uc (0 ) 0
2
解：根据换路定律
由 t (0 ) 时， uC (0 ) 0 uR2 (0) ，R2 被短路，故电路初始电流 E i(0 ) R1 若K合上已达稳态，然后由1点合向2点，求合上2 点瞬间电容上电压初始值 uC (0 ) ? 充到稳态时电容相当于开路，有
+ E
duC RC uC E dt
－
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+ uC
－
R
duC RC uC E dt
+ E
S
iC C
－
+ uC
－
是一阶非齐次常微分方程，根据高等数学 微分方程的解法可知，它的解应由通解和一个特 解组成。
通解 特解
uc (t ) Ae

t RC
uc (t ) E t 得到全解为 uC (t ) E Ae RC
i(0 ) iC (0 ) i1 (0 ) 6 mA
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电容在换路时（高频交流）可视为短路(uC=0)， 电感在换路时可视为开路(iL=0)；
在电路稳定后，（加直流电源的情况下），电容 可视为开路(iC=0),电感可视为短路(uL=0)。
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#例1：图示电路原处于稳态，t=0时开关S闭合，US=10V， R1=10Ω， R2=5Ω，求初始值uC(0+) 、i1(0+) 、i2(0+)、iC(0+)。 解：由于在直流稳态电路中，电容C相当于开路，因此t=0-时 i1 电容两端电压分别为： S
du 如果从0↑E，不需时间，那么 dt , i
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3.1.2 换路定理 换路：电路工作条件发生变化，如电源的接通 或切断，电路连接方法或参数值的突然变化等 。这种突然使电路产生状态变化的现象叫做换 路 。 设t = 0为换路瞬间，则以t = 0– 表示换路前一瞬间，t = 0+ 表示换路后一瞬间，换 路的时间间隔为零。从t = 0– 到t = 0+ 瞬间，电容元 件上的电压和电感元件中的 电流不能跃变。
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换路定理（定则）：能量不能突变。电容上的 电压uC及电感中的电流iL，在换路前后瞬间的 值是相等的，表示成数学形式，即：
u C (0 ) u C (0 ) iL ( 0 ) i L ( 0 )
必须注意：换路定则只针对储能元件L、C。只有 uC 、 iL受换路定理的约束而保持不变，电路中其 他（R)电压、电流都可能发生跃变。
时间常数越大，充电越慢。
同理可以认为， t=(3~5)τ时，i已衰减至0。
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4.2.2 RC电路放电过程分析
——零输入响应
图示电路，开关S原来在位置1，电容已充有电 压E(Uo ) . t=0开关S从位置1迅速拨到位置2，使电容C 在初始储能的作用下通过电阻R放电，产生电压、电 流的过渡过程，直到全部能量被消耗完为止。
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在t = 0+ 时刻，应用基尔霍夫定律，有 uR1(0+) = E = 12V uR2(0+) + uC(0+) = E uR2(0+) = 12V
所以
u R1 (0 ) 12 i1 (0 ) A 4 mA 3 R1 3 10
则
u R 2 (0 ) 12 iC ( 0 ) A 2 mA 3 R2 6 10
零状态响应和零输入响应
3.了解时间常数的含义
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4.3 一阶动态电路的分析方法
任何一个复杂的一阶电路，总可以用戴微南定理将 其等效为一个简单的RC电路或RL电路。
R3 R1 R2 + U C iC + uC
R0 + US C iC + uC
－
－
－
－
IS
R0
C
iC + uC
－
因此，对一阶电路的分析， 实际上可归结为对简单的RC 电路和RL电路的求解。一阶 动态电路的分析方法有经典 法和三要素法两种。
R2 uc (0 ) 5V ( E ) 3V R1 R2
初始值 uc (0 ) 3V
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例2: 如图所示的电路中，已知E = 12 V，R1 = 3 k， R2 = 6 k，开关S闭合前，电容两端电压为零，求开 关S闭合后各元件电压和各支路电流的初始值。