数列期末复习卷

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数列专题复习(附答案解析)

数列（1）基础达标1. (2019·南昌一模) 已知{a n }为等差数列，若a 2＝2a 3＋1，a 4＝2a 3＋7，则a 5＝________．2. (2019·厦门一模)在等比数列{a n }中，已知a 2＝1，a 3a 5＝2a 7，则a n ＝________．3. (2019·潍坊二模)在等比数列{a n }中，已知a 1＝1，a 5＝8a 2，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝1 023，则n ＝________.4. (2019·郑州三模)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2n ＝4(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)(n ∈N *)，a 1a 2a 3＝－27，则a 5＝________．5. (2019·泰州期末)已知数列{a n }满足log 2a n ＋1－log 2a n ＝1，那么a 5＋a 3a 3＋a 1＝________．6. (2019·苏锡常镇调研(一))中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里，那么这匹马在最后一天行走的里程数为________．7. (2019·镇江期末)已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，前n 项和为S n ，且数列{S n ＋n }也是公差为d 的等差数列，那么d ＝________．8. (2019·深圳二调)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝3，当n ≥2时，有S n ＋S n －1－2S n S n－1＝2na n ，则使得S 1S 2·…·S m ≥2 019成立的正整数m 的最小值为________．9. (2019·唐山摸底)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝3a n －12. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若b n ＝(n －1)a n ，且数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n .10. (2019·海门中学)已知数列{a n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n n 均为等差数列，且a 1＝2，那么a 1＋⎝⎛⎭⎫a 22 2 ＋⎝⎛⎭⎫a 32 3 ＋…＋⎝⎛⎭⎫a n 2 n________．。

人教版数列多选题期末复习测试题试卷

人教版数列多选题期末复习测试题试卷一、数列多选题1．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（） A ．－4 B ．－2C ．0D ．2【答案】AB 【分析】由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n=-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111n n n a a n n++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++，则11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111122a a -=-，上述式子累加可得：111n a a n n -=-，122n a n n∴=-<，()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故A 正确；对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故B 正确；对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故C 错误；对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故D 错误，故选：AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.2．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n f 称为斐波那契数列. 并将数列{}n f 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{}n g ，则下列结论正确的是( ) A ．20192g = B ．()()()()222123222022210f f f f f f -+-=C ．12320192688g g g g ++++=D ．22221232019201820202f f f f f f ++++=【答案】AB 【分析】由+2+1+n n n f f f =可得()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-，可判断B 、D 选项；先计算数列{}n g 前几项可发现规律,使用归纳法得出结论：数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，可判断A 、C 选项. 【详解】对于A 选项：12345678910111211,2,3,1,0,1,12310g g g g g g g g g g g g ============，，，，，，，所以数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，又20196336+3=⨯，所以20192g =，故A 选项正确；对于C 选项：()()12320193361+1+2+3+1+0+1+1+22692g g g g ++++=⨯=，故C 选项错误；对于B 选项：斐波那契数列总有：+2+1+n n n f f f =，所以()()22222232122232221f f f f f f f f =-=-，()()22121222021222120f f f f f f f f =-=-，所以()()()()222123222022210f f f f f f -+-=，故B 正确；对于D 选项：()212+2+1112+n n n f f f f f f f f ==∴=，，，()222312321f f f f f f f f =-=-， ()233423432f f f f f f f f =-=-，，()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-。

期末基础复习4(+数列(解答))

高一第二学期期末基础复习（四）数列班级姓名学号 1、已知数列{}n a 的通项公式(1)(21)n n a n =--，则数列{}n a 前100项的和为 100 ．2、已知等比数列19,13,1, ，则使得n S 大于100的n 的最小值为 7 ．3、某礼堂有20排座位，第1排有26个座位，以后每一排都比前一排多2个座位.这个礼堂共能坐 900 人．4、若数列{}n a 的前n 项和为231n S n n =++，则该数列的通项公式为 5(1)22(2,)n n a n n n N =⎧=⎨+≥∈⎩且． 5、在2,,8,xy 四个数中，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则yx= 3或5- ． 6、已知数列{}n a 的前n 项和为3n n S a =+，若数列{}n a 为等比数列，则常数a = 1- ． 7、已知等差数列{}n a 中，1023a =，2522a =-，若从第17项起为负值，则公差d 的取值范围是 -236,-237éëêöø÷ ．8、已知直角三角形的斜边长为c ，两条直角边长分别为,()a b a b <，且,,a b c 成等比数列，则:a c 的值为a :c =5-12． 9、数列{}n a 中，设S 1=a 1+a 2+ +a n ，S 2=a n +1+a n +2+ +a 2n ， S 3=a 2n +1+a 2n +2+ +a 3n ，（1）若数列{}n a 是等差数列，公差为d ，则S 1，S 2，S 3构成等差数列，公差为n 2d （2）若数列{}n a 是等比数列，公比为q ，则当满足 S 1¹0时，S 1，S 2，S 3构成等比数列，公比为q n10、已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 5=10，S 10=30，则S 15=7011、某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次，一个细胞分裂成两个细胞，经过3小时，这种细菌由1个细胞可繁殖到512个细胞12、在ABC ∆中，若三条边的长a ,b ,c 成等比数列，则下列数列：（1）A ,B ,C（2）sin A ,sin B ,sin C （3）cos A ,cos B ,cos C ，其中一定成等比数列的是（2） 13、已知a ³0，求1+a 2+a 4+ +a 2n =1,a =0n +1,a =11-a 2n +21-a2,a >0,a ¹1ìíïïïîïïï 14、（1）若数列{}n a 是等差数列，首项为a 1，公差为d ，求2a 1+2a 2+ +2a n =2a11-2nd()1-2d（2）若数列{}n a 是等比数列，首项为a 1a 1>0()，公比为q q >0()，求lg a 1+lg a 2+ +lg a n =n lg a 1+n n -1()2lg q15、如果命题甲为：ABC ∆中有一个角为60︒，命题乙为:ABC ∆三个内角的度数可以构成等差数列，那么甲是命题乙的的（ C ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 16、已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 分别满足下列等式，其中数列{}n b 必为等差数列的是（ D ） A ．b n =a n B ．b n =a n ()2C ．b n =1a n D ．b n =-a n 217、如果数列{}n a 是一个以q 为公比的等比数列，2n n b a =-，那么数列{}n b 是（ A ） A ．以q 为公比的等比数列 B ．以q -为公比的等比数列 C ．以2q 为公比的等比数列 D ．以2q -为公比的等比数列18、数列{}n a 满足1p a =，2q a =，4=-r a （1p q r <<<且,,p q r ∈*N ），则数列{}n a （ C ） A ．是等差数列，但不是等比数列 B ．是等差数列，也可能是等比数列 C ．不是等差数列，也不是等比数列 D ．不是等差数列，但可能是等比数列19、已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n =t ×n 2+t -9()n +t -32（t 为常数），求数列{}n a 的通项公式。

2022高二期末专项复习——数列 (常考题型已覆盖,题目有一定难度)(后附答案解析)

2022秋高二期末专项复习——数列一．等差数列与等比数列 1．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多(n n 为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯( ) A ．2盏B ．3盏C ．26盏D ．27盏2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a >，4110a a +>，780a a ⋅<，则( ) A ．数列{}n a 是递增数列B ．69S S >C ．当7n =时，n S 最大D ．当0n S >时，n 的最大值为143．已知数列{}n a 为等比数列，则下列结论正确的是( ) A ．数列1{}n n a a +−为等比数列 B ．数列2{}na 为等比数列 C ．数列1{}n n a a ++为等比数列D ．数列1{}n n a a +为等比数列4．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足条件11a >，202220231a a ⋅>，20222023(1)(1)0a a −⋅−<，则下列选项正确的是( )A ．{}n a 为递减数列B ．202220231S S +<C ．2022T 是数列{}n T 中的最大项D ．40451T >5．在数列{43}n −中抽取部分项（按原来的顺序）构成一个新数列，记为{}n a ，再在数列{}n a 插入适当的项，使它们一起能构成一个首项为1，公比为3的等比数列{}n b ．若729k b =，则数列{}n b 中第k 项前（不含)k b 插入的项的和最小为( ) A ．30B ．91C ．273D ．8206．在①132b b a +=，②44a b =，③525S =−这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k 存在，求k 的值，若k 不存在，请说明理由．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，______，15b a =，23b =，581b =−，是否存在k ，使得1k k S S +>且12k k S S ++>？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．二．数列递推式7．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，1332n n n S a +=−，则n a = ；若不等式222n n n a k +对任意n N +∈恒成立，则正数k 的最小值为．8．数列{}n a 满足*11,1,21nn n a a a n N a +==∈+，则2022a = ． 9．已知数列{}n a 满足211232n n n n n n a a a a a a ++++−=，且1231a a ==，则7(a = ) A ．163B ．165C ．1127D ．112910．已知数列{}n a 的各项都是正数，2*11()n n n a a a n N ++−=∈．若数列{}n a 各项单调递增，则首项1a 的取值范围是；当123a =时，记1(1)1n n nb a −−=−，若1220211k b b b k <+++<+，则整数k = ．三．数列的求和11．已知数列{}n a 满足11a =，121()n n a a n N ++=+∈，记数列11(2)(2)n n n a a a +⎧⎫+⎨⎬++⎩⎭的前n 项和为n T ，若对于任意*n N ∈，不等式n k T >恒成立，则实数k 的取值范围为( )A ．1[,)2+∞B ．1(,)2+∞C ．1[,)3+∞D ．1(,)3+∞12．已知数列{}n a 满足21n a n =−，在任意相邻两项k a 与1(1k a k +=，2，)⋯之间插入2k 个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n b ．记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则70S 的值为( ) A ．162B ．163C ．164D ．16513．2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，这个政策就是我们所说的“双减”政策，“双减”政策极大缓解了教育的“内卷”现象，而“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭．数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD 的边长为4，取正方形ABCD 各边的四等分点E ，F ，G ，H 作第二个正方形EFGH ，然后再取正方形EFGH 各边的四等分点M ，N ，P ，Q 作第3个正方形MNPQ ，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，设正方形ABCD 边长为1a ，后续各正方形边长依次为2a ，3a ，⋯，n a ，⋯；如图（二)阴影部分，设直角三角形AEH 面积为1b ，后续各直角三角形面积依次为2b ，3b ，⋯，n b ，⋯下列说法正确的是( )A ．从正方形ABCD 开始，连续3个正方形面积之和为1294．B ．14n n a −=⨯． C ．使得不等式12n b >成立的n 的最大值为4．D ．数列{}n b 的前n 项和4n S <．14．已知等差数列{}n a 中，18a =，42a =．（1）分别求数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S ；（2）设12||||||n n T a a a =+++，求n T ．15．等差数列{}n a 的公差d 不为0，满足513a =，1a ，2a ，6a 成等比数列．数列{}n b 满足2122232123log log log log 2n n nb b b b ++++=．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式：（2）若n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ．四．数列的应用16．设数列*{}()m a m N ∈，若存在公比为q 的等比数列*1{}()m b m N +∈，使得1k k k b a b +<<，其中1k =，2，3，，m ，则称数列1{}m b +为数列{}m a 的“等比分割数列”则下列说法中错误的是( ) A ．数列5{}:2b ，4，8，16，32是数列4{}:3a ，7，12，24的一个“等比分割数列” B ．若数列{}n a 存在“等比分割数列” 1{}n b +，则有11k k n a a a a −<<<<<和111k k n n b b b b b −+<<<<<<成立，其中2k n ，*k N ∈C ．数列3{}:3a −，1−，2存在“等比分割数列”4{}b D ．数列10{}a 的通项公式为2(1n n a n ==，2，，10)，若数列10{}a 的“等比分割数列”11{}b 的首项为1，则公比109(2,2)q ∈17．如图，由正方形可以构成一系列的长方形，在正方形内绘出一个圆的14，就可以近似地得到等角螺线，第一个和第二个正方形的边长为1，第三个正方形边长为2，，其边长依次记为1a ，2a ，3a ，，得到数列{}n a ，每一段等角螺线与正方形围成的扇形面积记为n b ，得到数列{}n b ，则下列说法正确的有( )A ．201918214()b b a a π−=B ．1214161a a a a +++=−C ．222121413152a a a a a +++=D ．22141613151514a a a a a a +=+参考答案与试题解析1．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多(n n 为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯( ) A ．2盏B ．3盏C ．26盏D ．27盏【分析】塔的每层的灯数形成等差数列{}k a ，公差d n =．由题意可得：19812692a n ⨯=+，911813a a n a =+=，联立解得：1a ，n ．解出即可得出．【解答】解：塔的每层的灯数形成等差数列{}k a ，公差d n =．由题意可得：19812692a n ⨯=+， 911813a a n a =+=，联立解得：12a =，3n =． ∴塔的底层共有灯13226⨯=盏．故选：C ．2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a >，4110a a +>，780a a ⋅<，则( ) A ．数列{}n a 是递增数列B ．69S S >C ．当7n =时，n S 最大D ．当0n S >时，n 的最大值为14【分析】由已知可得70a >，80a <，然后结合等差数列的性质及求和公式分析各选项即可判断．【解答】解：因为等差数列{}n a 中，10a >，411780a a a a +=+>，780a a ⋅<，所以70a >，80a <，A 错误； 96789830S S a a a a −=++=<，所以96S S <，B 正确；由于70a >，80a <，故当7n =时，n S 最大，C 正确；由于14114787()7()0S a a a a =+=+>，11515815()1502a a S a +==<，故当0n S >时，n 的最大值为14，D 正确．故选：BCD ．3．已知数列{}n a 为等比数列，则下列结论正确的是( ) A ．数列1{}n n a a +−为等比数列 B ．数列2{}na 为等比数列 C ．数列1{}n n a a ++为等比数列D ．数列1{}n n a a +为等比数列【分析】由已知结合等比数列的定义，通项公式及等比数列的性质分别检验各选项即可判断．【解答】解：由题意可知，1(n n aq q a +=为非零常数），当1q =时，数列{}n a 为常数数列，10n n a a +−=，故A 错误．∴2212n na q a +=，故数列2{}n a 为等比数列，故B 正确；若(1)n n a =−为等比数列，显然数列1{}{0}n n a a ++=，不是等比数列，故C 错误．221221(n n n n n na a a q q a a a ++++==为非零常数），故数列1{}n n a a +为等比数列，故D 正确，故选：BD ．4．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足条件11a >，202220231a a ⋅>，20222023(1)(1)0a a −⋅−<，则下列选项正确的是( )A ．{}n a 为递减数列B ．202220231S S +<C ．2022T 是数列{}n T 中的最大项D ．40451T >【分析】根据已知条件，结合等比数列的性质，推得公比1q <，即可依次求解．【解答】解：20222023(1)(1)0a a −⋅−<，则202220231010a a −>⎧⎨−<⎩或202220231010a a −<⎧⎨−>⎩，11a >，202220231a a ⋅>，2022a ∴和2023a 同号，且一个大于1，一个小于1， 11a >，20221a ∴>，20231a <，即数列{}n a 的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1，对于A ，公比202320221a q a =<， 11a >，∴11n n a a q −=为减函数，故{}n a 为递减数列，故A 正确，对于B ，20231a <，2023202320221a S S ∴=−<，即202220231S S +>，故B 错误，对于C ，等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且数列{}n a 的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1，故2022T 是数列{}n T 中的最大项，故C 正确，对于D ，4045404512340452023T a a a a a =⋅⋅⋅=， 20231a <，∴404520231a <，即40451T <，故D 错误．故选：AC ． 5．在数列{43}n −中抽取部分项（按原来的顺序）构成一个新数列，记为{}n a ，再在数列{}n a 插入适当的项，使它们一起能构成一个首项为1，公比为3的等比数列{}n b ．若729k b =，则数列{}n b 中第k 项前（不含)k b 插入的项的和最小为( )A ．30B ．91C ．273D ．820【分析】先根据等比数列的通项求得k ，再列出数列{}n b 的前k 项，去掉{}n a 中的项即可．【解答】解：等比数列{}n b 首项为1，公比为3，故其通项公式为：13n n b −=，令13729k −=，可得7k =，数列{}n b 的前6项为：1，3，9，27，81，243，其中1，9，81为数列{43}n −中的项，而3，27，243不是数列{43}n −的项，又327243273++=，故数列{}n b 中第7项前（不含729)插入的项的和最小为273．故选：C ．6．在①132b b a +=，②44a b =，③525S =−这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k 存在，求k 的值，若k 不存在，请说明理由．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，______，15b a =，23b =，581b =−，是否存在k ，使得1k k S S +>且12k k S S ++>？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】（1）首先根据条件求出{}n b 的通项公式，再根据所选条件求出数列{}n a ，即可求出n S ；（2）依题意只需找到满足10k a +<且20k a +>的正整数k ，根据（1）中的通项公式得到不等式组，解得即可．【解答】解：（1）因为在等比数列{}n b 中，23b =，581b =−，所以35227b q b ==−，所以3q =−，从而222(3)3(3)n n n b b −−=−=⨯−，从而511a b ==−．若选①：由132b b a +=，得21910a =−−=−，所以521(10)3523d a a d −−−−===−，所以316n a n =−，所以2(13316)32922n n n n nS −+−−==，若选②：由4427a b ==，且51a =−，所以5428d a a =−=−，所以28139n a n =−+，所以2(11128139)125142n n nS n n −+==−，若选③：由15535()255~2a a S a +=−==解得35a =−，又511a b ==−，所以521(5)2523d a a d −−−−===−，从而211n a n =−，所以2(9211)102n n nS n n −+−==−，（2）若存在k ，使得1k k S S +>，即1k k k S S a +>+，从而10k a +<；同理，若使12k k S S +−<，即112k k k S S a +−+<+，从而20k a +>．若选①：316n a n =−，则3(1)1603(2)160k k +−<⎧⎨+−>⎩，解得101333k <<，因为k N ∈，所以当4k =时满足50a <，且60a >成立；即当4k =时满足使得1k k S S +>且12k k S S +−<成立；若选②：28139n a n =−+，所以数列{}n a 为递减数列，故不存在10k a +<，且20k a +>；即不存在k 使得1k k S S +>且12k k S S ++<成立；若选③：211n a n =−，则2(1)1102(2)110k k +−<⎧⎨+−>⎩，解得7922k <<，因为k N ∈，所以当4k =时，能使50a <，60a >成立．即当4k =时满足使得1k k S S +>且12k k S S +−<成立； 7．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，1332n n n S a +=−，则n a =(42)3nn +⨯；若不等式222nn na k +对任意n N +∈恒成立，则正数k 的最小值为．【分析】由n S 与n a 关系，推出3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，即可求出na ，再由原不等式转化为2231nn k ⨯恒成立，23n n b n ⨯=，可证出{}n b 为递增数列，不等式转化为1216b k=，即可得解．【解答】解：当1n =时，211332S a =−，得118a =，当2n 时，11332n n n S a −−=−，1332n n n S a +=−，两式相减得1332322n n n n a a a −=−−⨯，得1343n n n a a −=+⨯，所以114(2)33n n n n a a n −−−=，又因为1163a =，所以3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以6为首项，4为公差的等差数列，所以423n n a n =+，即(42)3nn a n =+⨯，因为222nn n a k +，所以222(42)3nn nn k ++⨯，即2231n n k ⨯，记1233,11n n n n b nb n b n +⨯==>+，所以{}n b 为递增数列，16n b b =，所以216k ，解得6||6k ，则正数k 的最小值为6．故答案为：(42)3n n a n =+⨯；6． 8．数列{}n a 满足*11,1,21nn n a a a n N a +==∈+，则2022a =14043．【分析】利用数列的递推关系式推出新数列是等差数列，求出通项公式，然后求解即可．【解答】解：数列{}n a 满足*11,1,21nn n a a a n N a +==∈+，可得112n n n n a a a a +++=，可得1112n n a a +−=，所以数列1{}n a 是等差数列，首项为1，公差为2，所以11(1)221nn n a =+−⨯=−，则121n a n =−，2022112202214043a ==⨯−．故答案为：14043．9．已知数列{}n a 满足211232n n n n n n a a a a a a ++++−=，且1231a a ==，则7(a = )A ．163B ．165C ．1127D ．1129【分析】对所给式子化简、变形，构造新数列，通过等比数列的定义求出新数列的通项公式，再用累加法求出11n a +，进而得到数列{}n a 的通项公式，即可得到答案．【解答】解：因为211232n n n n n n a a a a a a ++++−=，所以12132n n n n n a a a a a +++=−，则121132132n n n n n n na a a a a a a ++++−==−，有21111112()n n n n a a a a +++−=−，所以数列111n n a a +⎧⎫−⎨⎬⎩⎭是以21112a a −=为首项，2为公比的等比数列，则1111222n n n na a −+−=⨯=，所以11111121111111111()()()222121n n n n n n n n a a a a a a a a −+++−=−+−++−+=++++=−，则11121n n a ++=−，所以771121127a ==−．故选：C ．10．已知数列{}n a 的各项都是正数，2*11()n n n a a a n N ++−=∈．若数列{}n a 各项单调递增，则首项1a 的取值范围是 (0,2)；当123a =时，记1(1)1n n nb a −−=−，若1220211k b b b k <+++<+，则整数k = ．【分析】本题根据正数数列{}n a 是单调递增数列，可列出211120n n n n a a a a +++−=−<，通过求出1n a +的取值范围，得到2a 的取值范围，逆推出1a 的取值范围；第二空采用裂项相消法求出122021b b b ++⋯+的表达式，然后进行不等式范围计算，即可得到结果【解答】解：因为正数数列{}n a 是单调递增数列，且2*11()n n n a a a n N ++−=∈，所以211120n n n n a a a a +++−=−<，解得1(1,2)n a +∈，所以2(1,2)a ∈．所以21221[4a a a =−∈−，2)，又因为10a >，所以102a <<，由211n n n a a a ++−=，可得：2111111111n n n n n a a a a a ++++==−−−，所以111111n n n a a a ++=+−，因为1(1)1n n n b a −−=−，所以12202112320211111 (1111)b b b a a a a +++=−+−+−−−−112232019202020202021111111111()()...()()1a a a a a a a a a =−+++−−+++−112232019201020202021111111111...1a a a a a a a a a =−−++−−−++−1120211111a a a =−+−20213132a =−−+2021912a =−+．又因为123a =，且数列{}n a 是递增数列，所以20212(3a ∈，2)，即202111(2a ∈，3)2，所以202191432a −<−+<−．所以整数4k =−．故答案为：(0,2)；4−．11．已知数列{}n a 满足11a =，121()n n a a n N ++=+∈，记数列11(2)(2)n n n a a a +⎧⎫+⎨⎬++⎩⎭的前n 项和为n T ，若对于任意*n N ∈，不等式n k T >恒成立，则实数k 的取值范围为( ) A ．1[,)2+∞B ．1(,)2+∞C ．1[,)3+∞D ．1(,)3+∞【分析】利用构造法112(1)n n a a ++=+，求出数列{}n a 的通项公式，即可得到数列11(2)(2)n n n a a a +⎧⎫+⎨⎬++⎩⎭的通项公式，再利用裂项相消法求出n T ，即可得出答案．【解答】解：数列{}n a 满足11a =，121()n n a a n N ++=+∈， 112(1)n n a a +∴+=+，且112a +=，∴数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，12n n a ∴+=，即21n n a =−，∴1111211(2)(2)(21)(21)2121n n n n n n n n a a a ++++==−++++++， 22311111111111 (2121212121213213)n n n n T ++∴=−+−++−=−<+++++++， 13k∴，故实数k 的取值范围为1[3，)+∞，故选：C ．12．已知数列{}n a 满足21n a n =−，在任意相邻两项k a 与1(1k a k +=，2，)⋯之间插入2k 个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n b ．记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则70S 的值为( ) A ．162 B ．163 C ．164 D ．165【分析】确定数列{}n b 的前70项含有{}n a 的前6项和64个2，从而求出前70项的和．【解答】解：数列{}n a 满足21n a n =−，11a ∴=，23a =，35a =，47a =，59a =，611a =，在任意相邻两项k a 与1(1k a k +=，2，)⋯之间插入2k 个2，∴其中1a ，2a 之间插入2个2，2a ，3a 之间插入4个2，3a ，4a 之间插入8个2，4a ，5a 之间插入16个2，5a ，6a 之间插入32个2，6a ，7a 之间插入64个2，又624816326870+++++=<，624816326470++++++>， ∴数列{}n b 的前70项含有{}n a 的前6项和64个2，故701357911264164S =++++++⨯=，故选：C ．13．2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，这个政策就是我们所说的“双减”政策，“双减”政策极大缓解了教育的“内卷”现象，而“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭．数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD 的边长为4，取正方形ABCD 各边的四等分点E ，F ，G ，H 作第二个正方形EFGH ，然后再取正方形EFGH 各边的四等分点M ，N ，P ，Q 作第3个正方形MNPQ ，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，设正方形ABCD 边长为1a ，后续各正方形边长依次为2a ，3a ，⋯，n a ，⋯；如图（二)阴影部分，设直角三角形AEH 面积为1b ，后续各直角三角形面积依次为2b ，3b ，⋯，n b ，⋯下列说法正确的是( )A ．从正方形ABCD 开始，连续3个正方形面积之和为1294． B．14n n a −=⨯． C ．使得不等式12n b >成立的n 的最大值为4．D ．数列{}n b 的前n 项和4n S <．【分析】找到规律，得到1n n a a −=，推导出等比数列，求出通项公式，判断B 选项，进而得到从正方形ABCD 开始，连续3个正方形的面积之和，判断A 选项，得到{}n b 的通项公式，解不等式，判断C 选项，利用等比数列前n 项和公式进行判断D 选项．【解答】解：由题可得1214,4a a a ===，324a ==1n n a −==，则14n n a a −=，所以数列{}n a 是以4为首项，4为公比的等比数列，则14n n a −=⨯，显然B 正确；由题意可得：22124AEHa a S ∆−=，即2222222311212,,,444n n n a a a a a a b b b +−−−===，于是22213544()428n nn n b −−−==，为等比数列，对A ：连续三个正方形面积之和22212325129161044S a a a =++=++=，A 正确；对C ：令1351()282n n b −=>，则151()83n −>，而4151251()85123−=<，C 错误；对51()358:4[1()]452818n n n D S −=⋅=−<−，D 正确．故选：ABD ．14．已知等差数列{}n a 中，18a =，42a =．（1）分别求数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S ；（2）设12||||||n n T a a a =+++，求n T ．【分析】（1）由等差数列的通项公式与前n 项和公式，即可得解；（2）分类讨论，当5n 时，n n T S =；当5n >时，52n n T S S =−．【解答】解：（1）公差4128233a a d −−===−，所以数列{}n a 的通项公式为8(1)(2)102n a n n =+−⨯−=−，1()(8102)(9)22n n a a n n nS n n ++−⨯===−．（2）令1020n a n =−<，则5n >，当5n 时，(9)n n T S n n ==−；当5n >时，2555[()]2254(9)940n n n T S S S S S n n n n =+−−=−=⨯⨯−−=−+，综上所述，2(9),5940,5n n n n T n n n −⎧=⎨−+>⎩．15．等差数列{}n a 的公差d 不为0，满足513a =，1a ，2a ，6a 成等比数列．数列{}n b 满足2122232123log log log log 2n n nb b b b ++++=．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式：（2）若n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ．【分析】（1）直接利用已知条件建立方程组及对数的运算的应用进一步求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和．【解答】解：（1）由已知2216a a a =，又513a =，故2(133)(134)(13)d d d −=−+，解得0d =（舍去）或3d =；3(3)32n a a n d n ∴=+−=−． 2122232123log log log log 2n n nb b b b ++++=①，故当1n =时，可知212111log 2log 2b b =⇒=， 14b ∴=当2n 时，可知2122232112311log log log log 2n n n b b b b −−−++++=②，①−②得221log 2log 2n n n b n b =⇒=， ∴4nn b =，又1b 也满足4n n b =，故当*n N ∈时，都有4n n b =；（2）由（1）知(32)4n n n n c a b n ==−⨯，故1211444(35)4(32)4n n n s n n −=⨯+⨯+⋯+−⨯+−⨯③∴21414(35)4(32)4n n n s n n +=⨯+⋯+−⨯+−⨯④，由③−④得231343(444)(32)4n n n S n +−=+++⋯+−−⨯，解得1(1)44n n S n +=−⨯+．16．设数列*{}()m a m N ∈，若存在公比为q 的等比数列*1{}()m b m N +∈，使得1k k k b a b +<<，其中1k =，2，3，，m ，则称数列1{}m b +为数列{}m a 的“等比分割数列”则下列说法中错误的是( ) A ．数列5{}:2b ，4，8，16，32是数列4{}:3a ，7，12，24的一个“等比分割数列” B ．若数列{}n a 存在“等比分割数列” 1{}n b +，则有11k k n a a a a −<<<<<和111k k n n b b b b b −+<<<<<<成立，其中2k n ，*k N ∈C ．数列3{}:3a −，1−，2存在“等比分割数列” 4{}b D ．数列10{}a 的通项公式为2(1n n a n ==，2，，10)，若数列10{}a 的“等比分割数列”11{}b 的首项为1，则公比109(2,2)q ∈【分析】利用“等比分割数列”的定义，对四个选项逐一分析判断即可．【解答】解：对于选项A ，因为234<<，478<<，81216<<，162432<<，即满足1k k k b a b +<<，则数列5{}:2b ，4，8，16，32是数列4{}:3a ，7，12，24的一个“等比分割数列”，故选项A 正确；对于选项B ，若数列{}n a 存在“等比分割数列” 1{}n b +，则1122344b a b a b a b <<<<<<<，所以11k k n a a a a −<⋯<<<⋯<，111k k n b b b b −+<⋯<<<⋯<成立，故选项B 正确；对于选项C ，若数列3{}:3a −，1−，2，存在“等比分割数列”4{}b ，则1234312b b b b <−<<−<<<，即得到231111312b b q b q b q <−<<−<<<，又因为131b q −<<−，所以23213q b q q −<<−，与312b q >矛盾，所以假设不成立，即不存在“等比分割数列” 4{}b ，故选项C 错误；对于选项D ，可得到2233449910122222q q q q q q <<<<<<<<<<<<，可解得109(2,2)q ∈，故选项D 正确．故选：C ．17．如图，由正方形可以构成一系列的长方形，在正方形内绘出一个圆的14，就可以近似地得到等角螺线，第一个和第二个正方形的边长为1，第三个正方形边长为2，，其边长依次记为1a ，2a ，3a ，，得到数列{}n a ，每一段等角螺线与正方形围成的扇形面积记为n b ，得到数列{}n b ，则下列说法正确的有( )A ．201918214()b b a a π−=B ．1214161a a a a +++=−C ．222121413152a a a a a +++=D ．22141613151514a a a a a a +=+【分析】由图中数据可得121a a ==，12(3)n n n a a a n −−=+，由题意可得24n nb a π=，依据各项条件计算即可判断各项的正确性．【解答】解：由图中数据可得121a a ==，12(3)n n n a a a n −−=+，由题意可得24n nb a π=，对于2222201920192019201920191821:4()4()()()()44A b b a a a a a a a a a a πππππ−=−=−=−+=；故A 正确；对于12:n n n B a a a −−=+，可得21n n n a a a −−=−， 12143243161516216()()()1a a a a a a a a a a a a +++=−+−++−=−=−，故B 正确；对于12:n n n C a a a −−=−，21112n n n n n a a a a a −−−−∴=−，2222212141232134321415141312114151415()()()a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ∴+++=+−+−++−=−+=，故C 错误；对于D ：若22141613151514a a a a a a +=+，221416151315140a a a a a a −+−=， 141614151315()()0a a a a a a ∴−+−=，14151514()0a a a a ∴+−=，显然成立，故D 正确．故选：ABD ．。

数列专题复习及答案

数列、数列极限、数学归纳法综合复习一、填空题1、已知)(1562*∈+=N n n na n ，则数列{}n a 的最大项是 2、在等差数列{}n a 中，若46101290a a a a +++=，则101413a a -= 3、已知等比数列{}n a ，若151,4a a ==，则3a 的值为 4、数列{}n a 中，23=a ，15=a ，则数列1{}1n a +是等差数列，则=11a 5、在数列{}n a 和{}n b 中，n b 是n a 与1n a +的等差中项，12a =且对任意n N *∈都有031=-+n n a a ，则数列{}n b 的通项公式为 ___ _______6、设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =，k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =7、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4510,15S S ≥≤,则4a 的最大值为8、正数数列{}n a 中，已知12a =，且对任意的,s t N *∈,都有s t s t a a a ++=成立，则12231111n n a a a a a a ++++9、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且42358,26a a a a -=+=，记2nn S T n =，如果存在正整数M ，使得对一切正整数n ，n T M ≤都成立．则M 的最小值是__________ 10、已知无穷等比数列12{},lim[3()]4,n n n a S a a a S →∞+++-=中，各项的和为且则实数1a 的范围11、设正数数列{}n a 的前n项和为n S ，且存在正数t ，使得对于所有自然数n ，有2n a t+=成立，若n nt →∞<，则实数t 的取值范围为12、数列{n a }的通项公式为12(12)1()(3,)3n n nn a n n N -*⎧≤≤⎪=⎨≥∈⎪⎩，则=∞→n n S lim13、已知数列{}n a 的通项公式为121n n a -=+，则0121231nn n n n n a C a C a C a C ++++=14、数列{}n a 满足112(0)2121(1)2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，若761=a ，则2007a 的值为____15、在数列{}n a 中，如果对任意n N *∈都有211()n n n na a k k a a +++-=-为常数，则称{}n a 为等差比数列，k 称为公差比. 现给出下列命题：⑴等差比数列的公差比一定不为0； ⑵等差数列一定是等差比数列；⑶若32nn a =-+,则数列{}n a 是等差比数列；⑷若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比. 其中正确的命题的序号为二、选择题16、等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项的和为n S ，当首项1a 和d 变化时1182a a a ++是一个定值，则下列各数中也为定值的是（）7.A S 8.B S 13.C S15.D S17、在等差数列}{n a 中，15100,517a a a >=，则数列}{n a 前n 项和n S 取最大值时，n的值为（）.12A .11B .10C .9D18、设}{n a 为等差数列，若11101a a <-，且它的前n 项和n S 有最小值，那么当n S 取得最小正值时，n =（）.11A .17B .19C .20D19、等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且56S S <,678S S S =>,则下列结论中错误的是（） .0A d < 7.0B a =95.C S S > 67.n D S S S 和均为的最大值20、已知数列{}n a 、{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列{}n c 的前10项和等于（）.A 55 .70B .85C .100D21、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若OB ＝1200a OA a OC ＋，且,,A B C 三点共线（该直线不过原点O ），则200S =（）.A 100 .B 101 .C 200 .D 20122、已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则使得n nab 为整数的正整数n 的个数是（） .2A .3B .4C .5D三、解答题23、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1a a =，13n n n a S +=+，*n N ∈．（1）设3nn n b S =-，求{}n b 的通项公式；（2）若1n n a a +≥，*n N ∈，求a 的取值范围．24、数列{}n a 满足a a =1，a a -=2（0>a ），且{}n a 从第二项起是公差为6的等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和．（1）当2≥n 时，用a 与n 表示n a 与n S ；（2）若在6S 与7S 两项中至少有一项是n S 的最小值，试求a 的取值范围；25、数列{}n a 中，112a =，点1(,2)n n n a a +-在直线y x =上，其中n N *∈；（1）设11,n n n b a a +=--{}n b 求证:数列是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项；（3）设分别为数列、n n T S {}n a 、{}n b 的前n 项和，是否存在实数λ，使得数列n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列？若存在，试求出λ；若不存在，则说明理由。

高三数学数列期末考试试卷(含详解)

��
21. 在等比数列 {��} 中，��2 − ��1 = 2，且 2��2 为 3��1 和 ��3 的等差中项，求数列 {��} 的首项、公比及前 �� 项和．
22. 某村投资 128 万元建起了一处生态采摘园，预计在经营过程中，第一年支出 10 万元，以后每年支出都比上一年增加万元，从第一年起的销售收入都是 76 万元．设 �� 表示前 ��(�� ∈ ��∗) 年的利润总和（利润总和 = 总销售收入 − 总经营支出 − 投资）．（1）该生态园从第几年开始盈利? （2）该生态园前几年的平均利润最大，最大利润是多少?
�� 等于
．
14. 《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数
列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 6 节的容积为
．
15. 已知 6，��，��，48 成等差数列，6，��，��，48 成等比数列，则 �� + �� + �� + �� 的值
= 1，��2 = 2，��
=
��−1 ��−2
(��
≥
3,
且��
∈
��∗)，则
��2015
=
( )
A.
1 2
B. 1
C. 2
D. 2−2015
9. {��} 为等比数列，�� 是其前 �� 项和，若 ��2 ⋅ ��3 = 8��1，且 ��4 与 2��5 的等差中项为 20，

第四章数列期末复习卷高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

期末复习4 数列姓名：分数：一、选择题(共8题)1．在等比数列{}n a 中，251,9a a ==-，则8a =（） A ．27±B ．81±C ．27D ．812．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若369a a +=，则8S =（） A ．12B ．24C ．36D ．483．已知数列{}n a 满足11(1),1n n n a na a ++==，则15=a （） A ．111B ．113C ．115D ．1174．已知数列{}n a ，如果121321,,,...,,...n n a a a a a a a ----是首项为1，公比为12的等比数列，则n a =( ) A ．1212n ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11212n -⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11122n⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．111122n -⎛⎫- ⎪⎝⎭5．已知等差数列{}n a 满足2584a a a -+=，则数列{}n a 的前9项和9S =（） A ．9B ．18C ．36D ．726．已知等差数列{}n a 的各项均为正数，且225959236a a a a ++=，则其前13项之和为（） A ．21B ．26C ．36D ．397．利用数学归纳法证明不等式11112321nn +++⋅⋅⋅+<-（2n ≥，n *∈N ）的过程中，由n k =到1n k =+时，左边增加了（）A ．1项B ．k 项C ．21k -项D ．2k 项8.已知等差数列{}n a 的公差为d ，则“0d >”是“数列{}n a 为单调递增数列”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件二、多选题（共4题）.9．等差数列{}n a的前n 项和为n S ，10a <，613S S =，则（）A ．100a =B ．1n n a a +<C ．当0n S >时，n 的最小值为20D ．216<S S10．在等差数列{}n a 中，410a a =，公差0d >，则使其前n 项和n S 取得最小值的正整数n 是（） A ．4B ．5C ．6D ．711.对于公差为1的等差数列{}n a ，11a =，公比为2的等比数列{}n b ，12b =，则下列说法正确的是（） A ．n a n =B ．12n n b -=C ．数列{}ln n b 为等差数列D ．数列{}n n a b 的前n 项和为()1122n n +-+12．已知等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项之积为n T ，且满足101a <<，2020202110a a ->，20202021101a a -<-，则（）A ．1q >B ．2019202110a a -<C ． 2021T 的值是n T 中最小的D ．使1n T <成立的最大正整数n 的值为4039三、填空题（共4题）13．等差数列{}n a 中，若34a =，公差2d =-，则5a =________. 14．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1a 、3a 、9a 成等比数列，15921018a a a a a a ++=++_____.15．在正项数列{}n a 中，1238a a a =，且21121log log 2n n a a ++=，令1log log n n n a a b +=则数列{}n b 的前2020项和2020S =___________．16．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第41项为 _________．四、解答题(共4题)17.已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+，数列{}n b 的前n 项的和为2n S n =.(1)证明：数列{}1n a +是等比数列；(2)设c n =b n .(a n +1)，求数列{}n c 的前n 项的和n T .18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2103n S n n =-+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项的和n T .19．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n Sn a 和1a 的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n =2nn a b ，求{}n b 的前n 项和nT ．20.在等差数列{}n a 中，35a =，且221n n a a =+. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知数列{}n b 的前n 项和为n S ，且231n n S b =-.令13nn n n n b c a a +=，求数列{}n c 的前n 项和nT .(21n ++-(21n ++-)(322n ++-6+.18．设数列n 的前项和为n S ，已知n .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项的和n T . 【答案】（1）6,1211,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩（2）22103,51047,6n n n n T n n n ⎧-+-≤=⎨-+≥⎩ 【分析】（1）由11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n a 的通项公式；（2）化简n a 的表达式，分25n ≤≤、6n ≥两种情况求n T 的表达式，综合即可得解. （1）解：当1n =时，116a S ==-，当2n ≥时，()()()22110311013211n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦. 16a =-不满足211n a n =-，因此，6,1211,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩.（2）解：6,1112,25211,6n n a n n n n =⎧⎪=-≤≤⎨⎪-≥⎩.当25n ≤≤时，()()27112161032n n n T n n +--=+=-+-，16T =满足2103n T n n =-+-；当6n ≥时，()()()2251211552210472n n n T T n n n +--=+=-+=-+.综上所述，22103,51047,6n n n n T n n n ⎧-+-≤=⎨-+≥⎩.19．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n Sn a 和1a 的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n=2nn a b ，求{}n b 的前n 项和nT ．【答案】（1）21n a n =-；（2）13(23)2n nT n =-+﹒ 【分析】(1)根据n a 和n S 关系可求{}n a 的通项公式；(2)根据{}n b 通项公式可知，其前n 项和采用错位相减法求解﹒ （1）12n a a +，①当1n =，11a =①2(1)4n n a S +=，211(1)4n n a S --+=(2)n ≥，因此当2n ≥时：2211(1)(1)4n n n n n a a a S S --+-+=-=2211224n n n n a a a a ---+-=，①11()(2)0n n n n a a a a --+--=， ①10n n a a ->+，①2n ≥时120n n a a ---=，即12n n a a --= ①数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，12(1)21n a n n =+-=-；（2）211=(21)222n n n n n a n b n -==-⋅， 1231111=135(21)2222n nT n ⨯+⨯+⨯+-⨯……① 234111111=135(21)22222n n T n +⨯+⨯+⨯+-⨯……① ①－①得：1231111111=222(21)222222n n n T n ++⨯+⨯+⨯--⨯ 1111(1)1122=(21)12212n n n -+-+--⨯-11111=1(21)222n n n -++---⨯①1131(23)222n n T n +=-+ ∴13(23)2n nT n =-+﹒20.在等差数列{}n a 中，35a =，且221n n a a =+. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知数列{}n b 的前n 项和为n S ，且231n n S b =-.令13nn n n n b c a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n T .n c ++1113521n ⎫⎛-++⎪ -⎭⎝。

期末复习试卷数列

期末复习试卷数列期末复习试卷数列题型一由a n 与S n 的关系求通项公式1、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1(n ∈N *)，则其通项公式为．2、若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13(n ∈N *)，则{a n }的通项公式a n ＝. 3、已知数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，数列{b n }满足关系a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n b n ＝12n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 5的值为( )A ．－454 B ．－450 C ．－446 D ．－442思维升华已知S n ，求a n 的步骤 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1. (2)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.(3)对n ＝1时的情况进行检验，若适合n ≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式．题型二由数列的递推关系求通项公式根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式．(1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln1＋1n ； (2)a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2.（4）已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝.思维升华已知数列的递推关系求通项公式的典型方法(1)当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列． (2)当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列．(3)当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解． (4)当出现a n a n －1＝f (n )时，用累乘法求解．题型三数列的性质命题点1 数列的单调性1、已知a n ＝n －1n ＋1，那么数列{a n }是( ) A ．递减数列B ．递增数列C ．常数列D ．摆动数列命题点2 数列的周期性 2、数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝。

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必修
5 数列（期末复习）
[思考1]：等差数列中的公式及性质有哪些？
提示：(1)定义式： (2)通项公式：＝ (3)前n 项和公式：＝＝ (4)等差中项公式： (n ∈N *
，n ≥2)．
(5)性质：①＝ (n ，m ∈N *)． ②若m ＋n ＝p ＋q ，则 (m ，n ，p ，q ∈N *)．[来源: ③等差数列中，，，，……
也成等差数列．
[思考2] 等比数列中的公式及性质有哪些？
提示：(1)定义式： (2)通项公式： (3)前n
项和公式：＝⎪⎩
⎪⎨
⎧
或
(4)等比中项公式： (n ∈N *
，n ≥2)．
(5)性质：①＝ (n ，m ∈N *
)．②若m ＋n ＝p ＋q ，则 (p ，
q ，m ，n ∈N *)．
③等比数列中，q ≠－1时，，，，……也成等比数列．
[思考3] 已知数列的前n 项和，如何求通项？需要注意什么问题？
提示：＝⎪⎩
⎪⎨
⎧
说明：根据此关系解决 (1)由)(n f n
s =求的通项公式；（2）由)(a s n f n
=求的通项公式；
（3）由)(a s n f n
=求s n
的通项公式。

典题训练：源:学|科|网]
1．(2013·安徽高考)设为等差数列{}的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( )．
A ．－6
B ．－4
C ．－2
D ．2
2. （2013·新课标Ⅰ）设首项为
1，公比为2
3
的等比数列｛｝的前n 项和为，
则（） A.1
2-=n n
a S B. 2
3-=n n
a S C. n
n
a S 34-= D. n
n
a S 23-=
3. （2013·大纲版全国卷）已知数列{}n a 满足
{}124
30,,103n n n a a a a ++==-则的前项和等于（）
A.()-10
-61-3 B.()-101
1-39 C.()-1031-3 D.
()-1031+3 4.已知在等比数列{}中，a 2a 3a 7＝8，则a 4＝( )
A ．1
B ．4
C ．2
D ．2 5.数列{}的前n 项和＝2n 2
－3n(n∈N *
)，若p －q ＝5，则－＝( ) A ．10 B ．15 C ．－5 D ．20 6．已知等比数列{}的前n 项和＝a ·2n －1
＋，则a 的值为( ) A ．－ C ．－
7．（2013·江西）某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n （n ∈N*）等于
.
8.若2、a 、b 、c 、9成等差数列，则c a -= ．
9.（2013·上海）在等差数列{}n a 中，若a 1+ a 2+ a 3+ a 4=30，则a 2+ a 3= . 10.在等差数列{}中,已知a 38=10,则3a 57=
11.各项均为正数的等比数列{}n a 中，569a a ⋅=，则3132310log log log a a a +++=L。

12．等比数列中，已知,2,16
54321=⋅⋅=⋅⋅a a a a a a 则=⋅⋅⋅⋅⋅121110987a a a a a a ；等差
数列{}n a 中,2005021=+++a a a Λ
1005251a a a +++Λ2700,则=1a
13．（2014·北京卷）若等差数列{}满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝时，
{}的前n 项和最大．
14. (2014·广东卷)设数列{}的前n 项和为，满足＝2＋1－3n 2－4n ，n∈N *
，且
S 3＝15，则a 1，a 2，a 3的值分别是．
15.(2015·山东卷改编)设数列{}的前n 项和为，已知2＝3n
＋3，则{}的通项公式是．
16.(2013·新课标全国Ⅰ)若数列{}的前n 项和为＝＋，则数列{}的通项公式是＝
17.等比数列{}的前n 项和为，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝.
18.（2013·四川理）在等差数列{}n a 中，138a a +=，且4a 为2a 和9a 的等比中项，求数列{}n a 的首项、公差及前n 项和．
19.（2013·四川文）在等比数列{}n a 中，212a a -=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和。

20．（2013·全国卷）等差数列{}n a 的前
n
项和为
232124.=,,,n S S a S S S 已知且成等比数列，求{}
n a 的通项式.
21.已知等比数列{}的前n 项和为，a 1＝2，S 1,2S 2,3S 3成等差数列．[来源:学|科|网]
(1)求数列{}的通项公式；
(2)数列{－}是首项为－6，公差为2的等差数列，求数列{}的前n 项和．
22.(2013·湖南高考改编)设为数列{}的前n 项和，已知a 1≠0,2－a 1＝S 1·，n ∈N *
.
(1)判定数列{}是否为等比数列，并求{}的通项公式； (2)求数列{}的前n 项和．
23.设数列{}的前n 项和为，已知a 1＝1，＋1＝4＋2. (1)设＝＋1－2，证明：数列{}是等比数列；
(2)求数列{}的通项公式．
24．（2013·山东高考文科）设等差数列｛｝的前n 项和为，且S 4=4S 2，a 221 （Ⅰ）求数列｛｝的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}n b 满足
*2211,2
1
1N n a b a b a b n n n ∈-=+⋅⋅⋅++ ，求{}n b 的前n 项和n T .
25.（2013·新课标Ⅰ高考文科）已知等差数列}{n a 的前n 项和n S 满足03=S ，
55=S .
（Ⅰ）求}{n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列⎭
⎬⎫⎩⎨
⎧
+-12121
n n a a 的前n 项和.
26.已知数列{}的前n 项和＝－n 2＋＋1(k∈N *
)，且的最大值为9.
(1)确定常数k 的值，并求数列{}的通项公式； (2)求数列的前n 项和.
27.已知在数列{}中，a 1＝1，当n≥2时，其前n 项和满足－＋2＝0，＝2n －1
. (1)求的通项公式； (2)求数列{}的通项公式； (3)若数列的前n 项和为，求证：<3.。