数模作业4(讨论题)

姓名：晏福刚学号：班级：数学一班

一、问题描述

某部门现有资金10万元，五年内有以下投资

项目供选择：

项目A：从第一年到第四年每年初投资，次年末收回本金且获利15%；

项目B：第三年初投资，第五年末收回本金且获利25%，最大投资额为4万元；

项目C：第二年初投资，第五年末收回本金且获利40%，最大投资额为3万元；

项目D：每年初投资，年末收回本金且获利6%；

问如何确定投资策略使第五年末本息总额最大

二、问题分析

本题为投资组合问题，且属于数学规划问题。其中项目A前4年每年初都可以进行投资但只能在第二年末才能收回本利息。B、C在五年中只能进行投资一次，分别在第三年、第四年初进行投资均在第五年末收回且有金额限定。D项目每年初进行投资，每年末就能收回本利息。并且在本题中并没有涉及到风险的问题，所以不考虑有损失。在此题中首先目标是使第五年末的本息最大，约束条件为总的金额及个项目投资金额的限制。

三、模型假设

①假设每项投资不存在风险，不会出现损失。

②在投资中一旦投资，就在上面题中所说的时间收回本利息，不考虑中途撤销资金投资的情况。

四、符号假设

x1i 第i年用于A项目的投资金额

x2 第三年用于B项目的投资金额

x3 第二年用于C项目的投资金额

x4j 第j年用于D项目的投资金额

五、模型建立

1.约束条件和目标函数的建立

首先假设第i年用于投资A项目的资金为x1i(i=1、2、3、4)。第三年投资B项目的资金为x2（由于B项目投资条件的限定在五年内只能进行一次投资）。第2年投资C项目的金额为x3。D项目第i年投资金额为x4j(j=1、2、3、4、5)。那么五年内的投资情况及收益情况将如下表所示：

下面对上述表格进行具体的表述：

总的资金为10万。（以下单位均为：万元）

第一年初：可投资金额：10万可投资项目：A、D项目

A的投资金额：x11（将在第二年末收回） D的投资金额：x41则必有x11+x41=10

第一年错误!未指定书签。末：收回D项目的本利息：x41*(1+6%)

第二年初：可投资金额：x41*(1+6%) 可投资项目：A、C、D项目

A的投资金额：x12 （将在第三年末收回） C的投资金额：x3（将在第五年末收回且x3<3）

D的投资金额：x42

则必有x12+x3+x42=x41(1+6%)

第二年末：收回第一年A项目的本利息：x11(1+15%) 第二年D的本利息：

x42(1+6%)

总的收回：x11(1+15%) +x42(1+6%)

第三年初：可投资金额：x11(1+15%) +x42(1+6%) 可投资项目：A、B、D项目

A的投资金额：x13（将在第四年末收回） B的投资金额：x2（将在第五年末收回且x2<4）

D的投资金额：x43

则必有x13+x2+x43= x11(1+15%) +x42(1+6%)

第三年末：收回第二年A项目的本利息：x12(1+15%) 第三年D项目的本利息：x43(1+6%) 总的收回x12(1+15%) +x43(1+6%)第四年初：可投资金额：x12(1+15%) +x43(1+6%) 可投资项目：A、D项目

A的投资金额：x14（第五年末收回） D的投资金额：x44则必有x14+x44= x12(1+15%) +x43(1+6%)

第四年末：收回第三年A项目的本利息：x13(1+15%) 第四年D项目的本利息：x44(1+6%) 总的收回x13(1+15%) +x44(1+6%)第五年初：可投资金额：x13(1+15%) +x44(1+6%) 可投资项目：D 项目

D的投资金额：x45=x13(1+15%) +x44(1+6%)

第五年末：收回C项目的本利息:x3(1+40%) B项目本利息：x2(1+25%)

第四年A项目的本利息：x14(1+15%) 第五年D项目的本利

息;[ x13(1+15%) +x44(1+6%)]*(1+6%)

则五年的本息总额为：

y= x3(1+40%)+ x2(1+25%)+ x14(1+15%)+[ x13(1+15%) +x44(1+6%)]*(1+6%)

由以上分析整个模型的目标函数为：

Max y= x3(1+40%)+ x2(1+25%)+ x14(1+15%)+[ x13(1+15%)

+x44(1+6%)]*(1+6%)

整理得Max y=++++

约束条件整理为：

x11+x41=10 x12+x3+x42=x41(1+6%)

x13+x2+x43= x11(1+15%) +x42(1+6%)

x14+x44= x12(1+15%) +x43(1+6%)

x3<3

x2<4 (所有变量均大于0)

首先将上述约束条件转化为 x11=10-x41 ① x3=<3 ②

x2=+<4 ③

x14+ ④

将①带入③得x2= ⑤

将②⑤式带入目标函数得

Max y= 由以上转换整个模型变为以下线性规划模型：

Max y=

<0;

x14+ x41>0;

x12>0;

x42>0;

x13>0;

x43>0;

x14>0;

x44>0;

六、模型求解

以上模型为线性规划模型，我们可以用Lingo或者Matlab软件进行求解Lingo程序如下：

model:

max= *****x43+*x14+*x44+;

*x41-x12-x42-3<0;

**x41-x43-x13+<0;

x14+**x43=0;

x41>0;

x12>0;

x42>0;

x13>0;

x43>0;

x14>0;

x44>0;

end

求解结果为：

Global optimal solution found.

Objective value:

Total solver iterations: 2

Variable Value Reduced Cost X41

X12

X42

X13

X43

X14

X44

Row Slack or Surplus Dual Price

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

七、结果分析

由以上结果第五年获得的最大本利息为：其中当

X41= X12= X42= X13= X43= X14= X44= 时，取得最大值。再由

x11=10-x41 x3= x2=+ x14+ 我们可以算出其他变量的值，

进而得到使得五年后本利息最大的投资策略。具体如下表（以上值按四舍五入计

算保留四位，单位：万元）：

即最有投资

策略为：第一年分别投资A项目万元 D项目万元

第二年分别投资A项目万元 C项目3万元

第三年只投资B项目4万元第四年只投资A项目万元