三角函数的发展历史.doc
三角学及三角函数的发展历史简述
三角学及三角函数的发展历史简述三角学是研究三角形及其内部各个元素之间关系的数学分支。
它在古代就有所涉及，但真正发展起来是在希腊古代。
三角学的发展历史可以追溯到公元前6世纪的古希腊。
在古代，三角学的发展始于对天文现象的观察和测量。
古希腊的天文学家和数学家通过观察太阳和星星的运动，发现了一些三角形的性质和关系。
例如，他们发现太阳的高度和方位角与观察者的纬度和经度之间存在着一定的关系。
这些发现为后来的三角学发展奠定了基础。
在古希腊，三角学主要是由毕达哥拉斯学派推动发展的。
毕达哥拉斯学派是古希腊最重要的数学学派之一，他们研究了三角形的性质和关系，并建立了一些基本的三角函数。
其中最著名的是毕达哥拉斯定理，它描述了直角三角形中两个直角边的平方和等于斜边的平方。
在古希腊时期，三角学的发展受到了一些限制。
由于希腊人对几何学的偏爱，他们更关注三角形的形状和性质，而不是三角函数的具体计算。
因此，他们没有把三角函数作为一种独立的数学对象进行研究。
然而，他们的工作为后来的数学家提供了宝贵的思路和启示。
在中世纪，阿拉伯数学家对三角学的发展做出了重要贡献。
他们将古希腊的三角学知识与印度的数学知识相结合，创造了一些新的三角函数和计算方法。
其中最重要的是正弦函数和余弦函数，它们被广泛应用于天文学和航海导航中。
在16世纪，欧洲的数学家们开始对三角学进行了系统的研究。
他们发现了三角函数的周期性和对称性，并进一步发展了三角函数的计算方法。
这些发现为三角学的应用提供了更强大的工具，使得三角学成为应用数学的重要分支。
在近代，随着计算机的发展，三角学的应用得到了进一步扩展。
三角函数在图形处理、信号处理、工程建模等领域发挥着重要作用。
同时，三角学也成为其他数学分支的基础，如微积分和复变函数等。
总结起来，三角学的发展历史可以追溯到古希腊时期，经过了古希腊、中世纪和近代的发展阶段。
从古希腊的观测和几何学研究开始，到阿拉伯数学家的创新和欧洲数学家的系统研究，再到近代的应用和扩展，三角学逐渐成为一门独立而重要的数学学科。
三角函数的发展史简介
三角函数的发展史简介三角函数是数学中一类非常重要的函数，它们可以在很多领域中被广泛应用，包括物理学、工程学、计算机图形学等等。
那么，这些函数是如何被发现和发展起来的呢？下面，我们就分步骤来简要介绍一下三角函数的发展史。
1. 古代在古代，人们进行测量和建筑时就开始使用三角函数。
古代印度、巴比伦和希腊的学者们早在公元前2000多年就开始使用三角函数，他们恰当地定义了正弦、余弦和正切这三个函数，并被用于三角形形状和大小的测量。
2. 文艺复兴时期在欧洲文艺复兴时期，三角函数变得越来越重要。
图像绘制和天文学都需要使用这些函数。
十六世纪意大利数学家、天文学家乔瓦尼·巴蒂斯塔·拉莫齐是唯一一个在这一时期对三角函数进行了最深刻的研究的数学家，他为其命名并首次公布了三角函数的表格。
3. 18世纪18世纪是三角函数的重要时期。
此时欧洲数学家奠定了今天我们还在使用的三角函数定义的基础。
莱昂哈德·欧拉和约瑟夫·路易斯·拉格朗日都在这个时期做了极具贡献的工作。
4. 19世纪19世纪是数学发展的黄金时期，也包括三角函数的发展。
19世纪初的高斯和威廉·罗兰(Brouncker)引进了一种新的类型的函数，它们是现在所称的双曲函数，它们是正弦、余弦和正切的超越伴随。
随着电学和电报技术的发展，三角函数在逐渐扩展其应用领域，例如三角函数的概念在变化中的量上具有重要的物理应用，这被称为微积分，以及在各种工程中的应用。
5. 20世纪20世纪最重要的数学成就之一便是泛函分析和傅里叶分析。
傅里叶分析是将每一个周期函数，当作无数个简单周期函数的和，从而产生了一个新的技术，使声音和图像等表示得更加准确。
总之，通过几个世纪的研究、推理和实践，三角函数在各个领域中得到了成功的应用。
今天，它们已经成为确定各种物理、工程、科学或数学问题的必不可少的工具。
学习初中数学中的三角函数历史演变
学习初中数学中的三角函数历史演变【正文】三角函数是一门重要的数学分支，它在解决几何问题、物理问题等方面起着重要作用。
然而，很少有人了解到三角函数的历史演变过程。
本文将为大家介绍初中数学中的三角函数历史演变。
【起源】三角函数的起源可以追溯到古希腊时期。
在公元前6世纪，古希腊的数学家发现了三角形的性质与角度之间的关系。
其中，毕达哥拉斯定理的提出为三角函数的发展奠定了基础。
毕达哥拉斯定理指出，在一个直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边平方的和。
这一定理在解决三角形问题中起到了重要的作用。
【进一步研究】古希腊数学家亚历山德里亚的托勒密在其著作《天文学大成》中进一步深化了对三角函数的研究。
他引入了正弦函数和余弦函数，并提出了一系列三角函数的性质和公式。
托勒密的工作为三角函数的研究奠定了坚实的基础，对后来的数学家产生了重要影响。
【印度数学】古代印度数学家也对三角函数的发展做出了巨大贡献。
他们在处理天文观测和导航等实际问题时，利用三角函数建立了一套完整的理论体系。
其中，印度数学家对正弦函数的研究尤为重要，他们通过观测太阳、月亮和星星的运动，发现了正弦函数的周期性规律。
【阿拉伯数学】在阿拉伯数学的发展过程中，三角函数得到了更进一步的发展。
9世纪，阿拉伯数学家哈拉里波利斯提出了一种新的三角函数——正切函数。
他发现，正切函数可以用来解决直角三角形中的各种问题。
随后的几个世纪中，阿拉伯数学家对三角函数进行了深入研究，并发展出了许多新的理论和公式。
【欧洲数学】在中世纪欧洲，三角函数的研究进入了一个新的阶段。
16世纪的数学家约翰内斯·开普勒提出了行星轨道运动的三大定律，这些定律能够通过三角函数进行描述和计算。
这一发现极大地推动了三角函数的发展，并为后来的科学家和工程师提供了重要的工具。
【现代数学】到了18世纪，数学家欧拉和拉普拉斯等人对三角函数进行了更加系统和全面的研究，提出了许多重要的定理和公式。
他们将三角函数的定义拓展到复变量领域，并发展了复数域中的三角函数。
三角函数的发展历史
三角函数的发展历史三角函数是数学中非常重要的一部分，它的发展历史可以追溯到古代巴比伦、埃及和印度的数学文化。
三角函数主要用于解决几何和三角学问题，并且在物理学、工程学和计算机科学中也有广泛的应用。
早在公元前2000年左右，古代巴比伦人就开始研究三角形，并利用三角形的比例关系解决实际问题。
巴比伦人根据三角形的性质发展出了一种与我们现在所熟知的正弦函数相似的表格，用来计算角度和长边的比值。
通过这种表格，巴比伦人可以求解更复杂的三角形问题，比如测量不可直接测量的高度或距离。
在公元前6世纪，古代印度的数学家开始研究三角函数，并在其著作《裂解学》（Sulbasutra）中介绍了正弦和余弦函数。
古代印度数学家通过观察等边三角形和一些特殊角度的三角形，推导出了正弦和余弦函数的一些基本性质，并给出了计算表格。
他们还发展出了古代印度数学中用来解决三角形问题的一些定理和公式，比如辅助角定理和辅助角等式。
另一方面，古希腊的数学家在公元前5世纪开始研究三角函数。
毕达哥拉斯学派是最早研究三角函数的希腊学派之一、教派的创始人毕达哥拉斯和他的学生们通过研究黄金比例和等边多边形等几何问题，发展出了正弦、余弦和正切函数的一些基本性质。
然而，毕达哥拉斯学派仅仅局限于整数比值和角度的情况，并没有将三角函数进一步推广和应用于其他问题。
到了公元2世纪，希腊数学家托勒密在其著作《大地测量学》（Almagest）中进一步发展了三角函数。
托勒密在他的著作中介绍了正弦和余弦函数的一些性质，他还发展出了用三角函数解决天文学问题的方法。
在托勒密的系统中，他用表格形式给出了正弦和余弦函数的计算值，这种表格在中世纪欧洲广泛使用。
在中世纪的阿拉伯世界，穆斯林学者通过翻译和注释古希腊和印度的数学著作，传播了三角函数的知识。
他们进一步发展了托勒密的三角函数体系，并引入了正切、余切、正割和余割函数。
阿拉伯学者还研究了三角函数的性质，特别是一些三角恒等式和三角函数之间的关系。
学习初中数学中的三角函数历史
学习初中数学中的三角函数历史三角函数是数学中的一大分支，将角度与三边长度之间的关系具象化。
它们在解决各种实际问题，如三角测量、振动分析和电磁波传播等方面起着重要作用。
然而，三角函数的历史可以追溯到古代，并在不同的文明中以不同的方式发展和应用。
一、古希腊时期的三角函数最早的三角函数可以追溯到古希腊时期。
数学家赫罗多图斯（Hipparchus）被广泛认为是三角学的创始人之一。
他在约公元前150年左右创造了三角表，其中显示了角度和弧度之间的对应关系。
这项创新为后世数学家奠定了基础。
二、印度数学中的三角函数与赫罗多图斯同时代，印度的数学家也在研究和发展三角函数。
他们创建了一种称为“古拉沙三角”的表格，用于计算正弦和余弦值。
这个表格在距离他们的小部分世纪后完善，成为一种广泛应用的数学工具。
三、阿拉伯数学中的三角函数在中世纪期间，阿拉伯国家成为数学和科学知识的中心。
阿拉伯数学家通过继承印度和希腊数学的知识，进一步研究和发展了三角函数。
他们引入了割、穿等概念，并创造了一种称为“阿拉伯三角函数”的方法，用于计算各种角度和边长之间的关系。
这个创新为三角学的发展提供了新的视角。
四、欧洲文艺复兴时期的三角函数随着欧洲文艺复兴时期的到来，数学的发展得到了新的重视。
数学家开始将三角函数与几何学和代数学等领域相结合，为三角函数的理论基础奠定了更牢固的基础。
这一时期的数学家如欧拉（Euler），高斯（Gauss）和拉普拉斯（Laplace）等人对三角函数的研究作出了重要贡献。
总结三角函数作为数学中的重要工具，在数学史中扮演着重要的角色。
从古希腊到印度，再到阿拉伯和欧洲文艺复兴时期，数学家们的创新和研究推动了三角函数的进一步发展。
如今，我们在初中数学课程中学习和应用三角函数的概念和原理，以便解决各种实际问题。
通过了解三角函数的历史，我们能更好地理解其起源和发展，以及它们在现代数学和科学中的重要性。
（字数：474）。
三角函数的发展历史
引言：三角函数是数学中一门重要的分支，它在数学、物理、工程等领域中具有广泛的应用。
在本文中，我们将继续探讨三角函数的发展历史，并深入了解它的发展过程以及对现代数学和科学的影响。
概述：本文将从五个方面展开，以完整地描述三角函数的发展历史。
我们将回顾古希腊时期的三角函数的起源，随后将介绍印度和阿拉伯文化对于三角函数的贡献。
接下来，我们将讨论欧洲文艺复兴时期的数学革命对三角函数的发展产生的影响。
然后，我们将探索中国数学家的贡献以及现代数学在三角函数领域的进一步发展。
我们将总结三角函数的发展历史，并展望未来可能的发展方向。
正文：1.古希腊时期的三角函数的起源古希腊数学家毕达哥拉斯提出了著名的毕达哥拉斯定理，这是三角函数研究的重要基础。
古希腊数学家希波克拉底斯进一步发展了三角函数，并给出了正弦和余弦的定义。
2.印度和阿拉伯文化对于三角函数的贡献印度数学家通过研究三角形的周长比率和角度关系，发展出了三角函数的概念。
阿拉伯数学家将印度的三角函数引入到阿拉伯世界，并进一步推动了三角函数的发展。
3.欧洲文艺复兴时期的数学革命对三角函数的影响文艺复兴时期，欧洲的数学家通过重新研究古希腊和阿拉伯数学著作，对三角函数的定义和性质进行了深入的研究。
伽利略和笛卡尔等数学家的工作为三角函数的应用奠定了基础，并将它们应用到物理学和天文学中。
4.中国数学家的贡献以及现代数学的发展中国古代数学家在三角函数领域的研究中，提出了与欧洲数学不同的方法和理论。
近代中国数学家陈景润提出了著名的陈氏定理，它是三角函数领域的一项重要研究成果。
5.现代三角函数的进一步发展和未来展望现代数学家通过研究三角函数的性质和应用，不断发展和完善了三角函数的理论体系。
未来，随着数学和科学的不断进步，三角函数的应用和发展将会更加广泛，为解决实际问题提供更多的工具和方法。
总结：通过对三角函数的发展历史进行全面的介绍，本文探讨了其起源和发展，以及对现代数学和科学的影响。
三角函数的发展历史剖析
三角函数的发展历史剖析三角函数是数学中的一门重要的内容，在三角函数的发展历史中，包含了许多数学家和文化的贡献。
从古至今，人们对三角函数的研究和发展不断推进，形成了现代三角函数的体系。
本文将对三角函数的发展历史进行剖析。
古代的三角函数最早可追溯到古埃及和古巴比伦的文化。
在古埃及的吉萨金字塔上，有一些三角形的图形，其中就包含了对三角函数的一些了解。
而古巴比伦的《毕达哥拉斯定理》中，也有三角形的一些运算和关系。
然而，当时对于三角函数的具体定义和性质并没有明确的表达，仅仅停留在实际应用上。
真正的三角函数的开始可以追溯到古希腊。
古希腊的三角学出现在公元前6世纪的毕达哥拉斯学派中，毕达哥拉斯提出了著名的毕达哥拉斯定理，即直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
同时，毕达哥拉斯学派还研究了周长为一的圆的问题，从而推导出了一些基本的三角比例关系。
然而，直到公元2世纪，古希腊数学家才开始正式研究三角函数。
其中最著名的是喜帕索斯（Hipparchus），他是古希腊天文学的奠基人之一，他在确定地球的自转轴的问题中，引入了三角函数的概念，并建立了三角表。
他首次使用了角度的概念，并给出了正弦函数和余弦函数的定义。
随后，阿拉伯数学家开始对三角函数进行了更加系统的研究。
在9世纪，阿拉伯数学家阿尔-哈麦丹（Al-Haytham）对喜帕索斯的三角表进行了扩充，并进一步研究了三角函数的性质和应用。
他对三角函数的研究成果在欧洲的中世纪时期得到了广泛传播和应用。
在欧洲的中世纪时期，三角函数的研究一度受到了限制。
由于教条主义的影响，人们将数学定义、研究和应用局限在天文学和神学中。
然而，文艺复兴时期的数学家开始重新研究三角函数。
其中最著名的是德国数学家克尔尼（Regiomontanus），他通过改进和扩充阿拉伯数学家的三角表，进一步完善了三角函数的体系。
到了17世纪，三角函数的研究进入了一个新的时代。
在这一时期，法国数学家弗朗索瓦·维埃特（François Viète）提出了三角函数的符号表示法，即用字母来表示角度和三角函数。
三角数学史
2.2.2三角函数史三角学是以研究三角形的边和角的关系为基础，应用于测量为目的，同时也研究三角函数的性质及其应用的一门学科。
三角学起源于生活实践。
例如古埃及人为了建筑金字塔，整理尼罗河泛滥后的耕地以及通商航海观察天象等测量的需要，产生和积累了有关的三角学知识；又如古印度人也是由天文测量的需要而得到三角学的有关内容。
古代三角学的萌芽可以说是希腊哲学家泰勒的相似理论，而希腊的天文学家喜帕恰（Hipparchus ？～公元前125年），曾著有三角学12卷，大概可以认为是古代三角学的创始人。
三角测量在中国也很早出现，公元前一百多年的《周髀算经》就有较详细的说明，例如它的首章记录”周公曰，大哉言数，请问用矩之道。
商高曰，平矩以正绳、偃矩以望高、复矩以测深、卧矩以知远。
”（商高说的矩就是现今工人用的两边互相垂直的曲尺，商高说的大意是将曲尺置于不同的位置可以测目标物的高度、深度与广度。
）1世纪时的《九章算术》中有专门研究测量问题的篇章，3世纪时齐徽所注的《海岛算经》中更有运用“重差术”，通过多次观察来解决不可达高度与距离问题的测量专著。
但古代三角学只是作为天文学的一部分内容而已，直到13世纪中亚数学家纳速拉丁在总结前人成就的基础上，著成《完全四边形》一书，才为把三角学从天文学中独立出来奠定了基础。
直到15世纪，德国的雷格蒙塔努斯（J.Regiomontanus，1436—1476）的《论三角》一书的出版，才标志古代三角学正式成为独立的学科。
这本书中不仅有很精密的正弦表、余弦表等，而且给出了现代三角学的雏形。
16世纪法国数学家韦达（F.Viete，1540—1603）则更进一步将三角学系统化，在他对三角法研究的第一本著作《应用于三角形的数学法则》中，就有解直角三角形、斜三角形等的详述，并且还有正切定理以及差化积定理等。
使人注目的是18世纪瑞士数学家欧拉（L.Euler，1707一1783），他首先研究了三角函数。
三角函数的发展历史
三角学的起源与发展三角学之英文名称 Trigonometry ，约定名于公元1600年，实际导源于希腊文trigono (三角)和metrein (测量)，其原义为三角形测量（解法），以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础，达到测量上的应用为目的的一门学科。
早期的三角学是天文学的一部份，后来研究范围逐渐扩大，变成以三角函数为主要对象的学科。
现在，三角学的研究范围已不仅限于三角形，且为数理分析之基础，研究实用科学所必需之工具。
西方的发展三角学﹝Trigonometry﹞创始于公元前约150年，早在公元前300年，古代埃及人已有了一定的三角学知识，主要用于测量。
例如建筑金字塔、整理尼罗河泛滥后的耕地、通商航海和观测天象等。
公元前600年左右古希腊学者泰勒斯(p13)利用相似三角形的原理测出金字塔的高，成为西方三角测量的肇始。
公元前2世纪后希腊天文学家希帕霍斯（Hipparchus of Nicaea）为了天文观测的需要，作了一个和现在三角函数表相仿的「弦表」，即在固定的圆内，不同圆心角所对弦长的表，他成为西方三角学的最早奠基者，这个成就使他赢得了「三角学之父」的称谓。
公元2世纪，希腊天文学家数学家托勒密(Ptolemy)(85-165)继承希帕霍斯的成就，加以整理发挥，着成《天文学大成》13卷，包括从0°到90°每隔半度的弦表及若干等价于三角函数性质的关系式，被认为是西方第一本系统论述三角学理论的著作。
约同时代的梅内劳斯（Menelaus）写了一本专门论述球三角学的著作《球面学》，内容包球面三角形的基本概念和许多平面三角形定理在球面上的推广，以及球面三角形许多独特性质。
他的工作使希腊三角学达到全盛时期。
(二)中国的发展我国古代没有出现角的函数概念，只用勾股定理解决了一些三角学范围内的实际问题。
据《周髀算经》记载，约与泰勒斯同时代的陈子已利用勾股定理测量太阳的高度，其方法后来称为「重差术」。
三角函数的发展历史
壹、三角学的起源与发展三角学之英文名称Trigonometry ，约定名于公元1600年，实际导源于希腊文trigono (三角)和metrein (测量)，其原义为三角形测量（解法），以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础，达到测量上的应用为目的的一门学科。
早期的三角学是天文学的一部份，后来研究范围逐渐扩大，变成以三角函数为主要对象的学科。
现在，三角学的研究范围已不仅限于三角形，且为数理分析之基础，研究实用科学所必需之工具。
(一)西方的发展三角学﹝Trigonometry﹞创始于公元前约150年，早在公元前300年，古代埃及人已有了一定的三角学知识，主要用于测量。
例如建筑金字塔、整理尼罗河泛滥后的耕地、通商航海和观测天象等。
公元前600年左右古希腊学者泰勒斯(p13)利用相似三角形的原理测出金字塔的高，成为西方三角测量的肇始。
公元前2世纪后希腊天文学家希帕霍斯（Hipparchus of Nicaea）为了天文观测的需要，作了一个和现在三角函数表相仿的「弦表」，即在固定的圆内，不同圆心角所对弦长的表，他成为西方三角学的最早奠基者，这个成就使他赢得了「三角学之父」的称谓。
公元2世纪，希腊天文学家数学家托勒密(Ptolemy)(85-165)继承希帕霍斯的成就，加以整理发挥，着成《天文学大成》13卷，包括从0°到90°每隔半度的弦表及若干等价于三角函数性质的关系式，被认为是西方第一本系统论述三角学理论的著作。
约同时代的梅内劳斯（Menelaus）写了一本专门论述球三角学的著作《球面学》，内容包球面三角形的基本概念和许多平面三角形定理在球面上的推广，以及球面三角形许多独特性质。
他的工作使希腊三角学达到全盛时期。
(二)中国的发展我国古代没有出现角的函数概念，只用勾股定理解决了一些三角学范围内的实际问题。
据《周髀算经》记载，约与泰勒斯同时代的陈子已利用勾股定理测量太阳的高度，其方法后来称为「重差术」。
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-三角学的起源与发展三角学之英文名称 Trigonometry ，约定名于公元 1600 年，实际导源于希腊文trigono ( 三角 ) 和 metrein ( 测量 )，其原义为三角形测量（解法），以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础，达到测量上的应用为目的的一门学科。
早期的三角学是天文学的一部份，后来研究范围逐渐扩大，变成以三角函数为主要对象的学科。
现在，三角学的研究范围已不仅限于三角形，且为数理分析之基础，研究实用科学所必需之工具。
西方的发展三角学﹝ Trigonometry ﹞创始于公元前约 150 年，早在公元前 300 年，古代埃及人已有了一定的三角学知识，主要用于测量。
例如建筑金字塔、整理尼罗河泛滥后的耕地、通商航海和观测天象等。
公元前 600 年左右古希腊学者泰勒斯 (p13) 利用相似三角形的原理测出金字塔的高，成为西方三角测量的肇始。
公元前 2 世纪后希腊天文学家希帕霍斯（ Hipparchus of Nicaea ）为了天文观测的需要，作了一个和现在三角函数表相仿的「弦表」，即在固定的圆内，不同圆心角所对弦长的表，他成为西方三角学的最早奠基者，这个成就使他赢得了「三角学之父」的称谓。
公元 2 世纪，希腊天文学家数学家托勒密(Ptolemy)(85-165)继承希帕霍斯的成就，加以整理发挥，着成《天文学大成》13 卷，包括从0°到 90°每隔半度的弦表及若干等价于三角函数性质的关系式，被认为是西方第一本系统论述三角学理论的著作。
约同时代的梅内劳斯（ Menelaus ）写了一本专门论述球三角学的著作《球面学》，内容包球面三角形的基本概念和许多平面三角形定理在球面上的推广，以及球面三角形许多独特性质。
他的工作使希腊三角学达到全盛时期。
( 二 ) 中国的发展我国古代没有出现角的函数概念，只用勾股定理解决了一些三角学范围内的实际问题。
据《周髀算经》记载，约与泰勒斯同时代的陈子已利用勾股定理测量太阳的高度，其方法后来称为「重差术」。
1631 西方三角学首次输入，以德国传教士邓玉函、汤若望和我国学者徐光启(p20) 合编的《大测》为代表。
同年徐光启等人还编写了《测量全义》，其中有平面三角和球面三角的论述。
1653 年薛风祚与波兰传教士穆尼阁合编《三角算法》，以「三角」取代「大测」，确立了「三角」名称。
1877 年华蘅煦等人对三角级数展开式等问题有过独立的探讨。
现代的三角学主要研究角的特殊函数及其在科学技术中的应用，如几何计算等，多发展于 20 世纪中。
贰、三角函数的演进正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数统称为三角函数（Trigonometric function）。
尽管三角知识起源于远古，但是用线段的比来定义三角函数，是欧拉(p16) （1707-1783 ）在《无穷小分析引论》一书中首次给出的。
在欧拉之前，研究三角函数大都在一个确定半径的圆内进行的。
如古希腊的托勒密定半径为 60；印度人阿耶波多（约 476-550 ）定半径为 3438；德国数学家里基奥蒙特纳斯（ 1436-1476 ）为了精密地计算三角函数值曾定半径 600,000 ；后来为制订更精密的正弦表又定半径为 107。
因此，当时的三角函数实际上是定圆内的一些线段的长。
意大利数学家利提克斯（1514-1574 ）改变了前人的做法，即过去一般称 AB为的正弦，把正弦与圆牢牢地连结在一起（如下页图），而利提克斯却把它称为∠ AOB的正弦，从而使正弦值直接与角挂勾，而使圆 O成为从属地位了。
A到欧拉 (Euler) 0 BDP时，才令圆的半径为1，即置角于单位圆之中，从而使三角函数定义为相应的线段与圆半径之比。
C正弦、余弦在△ ABC中， a、 b、 c 为角 A、 B、 C 的对边， R 为△ ABC的外接圆半径，则有称此定理为正弦定理。
正弦定理是由伊朗著名的天文学家阿布尔. 威发 (940-998) 首先发现与証明的。
中亚细亚人阿尔比鲁尼﹝ 973-1048 ﹞ (p15) 给三角形的正弦定理作出了一个証明。
也有说正弦定理的証明是 13 世纪的那希尔丁在《论完全四边形》中第一次把三角学作为独立的学科进行论述，首次清楚地论証了正弦定理。
他还指出，由球面三角形的三个角，可以求得它的三个边，或由三边去求三个角。
这是区别球面三角与平面三角的重要标志。
至此三角学开始脱离天文学，走上独立发展的道路。
托勒密（ Claudius Ptolemy）的《天文学大成》第一卷除了一些初级的天文学资料之外，还包括了上面讲的弦表：1）° 到 180°每隔半度的所有圆心它给出一个圆从（2角所对的弦的长度。
圆的半径被分为60 等分，弦长以每一等分为单位，以六十进制制表达。
这样，以符号 crd a表示圆心角ａ所对的弦长，例如 crd 36° = 37p4'55" ，意思是：36°圆心角的弦等于半径的37 60（或37 个小部分），加上一个小部分的4 55 60 ，再加上一个小部分的3600 ，从下图看出，弦表等价于正弦函数表，因为sin AB AB crd2MOA 圓O的直徑120 A Bαα Aα3°45'公元 6 世纪初，印度数学家阿耶波多制作了一个第一象限内间隔的正弦表，依照巴比伦人和希腊人的习惯，将圆周分为O度，每度为36060 分，整个圆周为 21600 份，然后据 2 πr=216000 ，得出 r=3438 ﹝近似值﹞，然后用勾股定理先算出 30°、 45°、 90°的正弦之后，再用半角公式算出较小角的正弦值，从而获得每隔3°45' 的正弦长表；其中用同一单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念。
他在计算正弦值的时候，取圆心角所对弧的半弦长，比起希腊人取全弦长更近于现代正弦概念。
印度人还用到正矢和余弦，并给出一些三角函数的近似分数式。
2.正切、余切著名的叙利亚天文学、数学家阿尔一巴坦尼﹝850-929 ﹞于 920 年左右，制成了自0°到 90°相隔 1°的余切 [cotangent]表。
公元 727 年，僧一行受唐玄宗之命撰成《大行历》。
为了求得全国任何一地方一年中各节气的日影长度，一行编出了太阳天顶距和八尺之竿的日影长度对应表，而太阳天顶距和日影长度的关系即为正切﹝tangent ﹞函数。
而巴坦尼编制的是余切函数表，而太阳高度﹝角﹞和太阳天顶距﹝角﹞互为余角，这样两人的发现实际上是一回事，但巴坦尼比一行要晚近 200 年。
14 世纪中叶，中亚细亚的阿鲁伯﹝ 1393-1449 ﹞，原是成吉思汗的后裔，他组织了大规模的天文观测和数学用表的计算。
他的正弦表精确到小数 9 位。
他还制造了 30°到 45°之间相隔为 1' ， 45°到 90°的相隔为 5' 的正切表。
在欧洲，英国数学家、坎特伯雷大主教布拉瓦丁﹝1290？ -1349 ﹞首先把正切、余切引入他的三角计算之中。
3.正割、余割正割﹝ secant ﹞及余割﹝ cosecant ﹞这两个概念由阿布尔─威发首先引入。
sec 这个略号是1626 年荷兰数基拉德﹝1595-1630 ﹞在他的《三角学》中首先使用，后经欧拉采用才得以通行。
正割、余割函数的现代定义亦是由欧拉给出的。
欧洲的「文艺复兴时期」，﹝14 世纪 -16 世纪﹞伟大的天文学家哥白尼﹝1473-1543 ﹞提倡地动学说，他的学生利提克斯见到当时天文观测日益精密，认为推算更精确的三角函数值表刻不容缓。
于是他定圆的半径为 1015，以制作每隔 10" 的正弦、正切及正割值表。
当时还没有对数，更没有计算机。
全靠笔算，任务十分繁重。
利提克斯和他的助手们以坚毅不拔的意志，勤奋工作达 12 年之久，遗憾的是，他生前没能完成这项工作，直到 1596 年，才由他的学生鄂图﹝ 1550-1605 ﹞完成并公布于世， 1613 年海得堡的彼提克斯﹝ 1561-1613 ﹞又修订了利提克斯的三角函数表，重新再版。
后来英国数学家纳皮尔发现了对数，这就大大地简化了三角计算，为进一步造出更精确的三角函数表创造了条件。
4. 三角函数符号毛罗利科早于1558 年已采用三角函数符号，但当时并无函数概念，于是只称作三角线（ trigonometric lines ）。
他以 sinus 1m arcus表示正弦，以sinus 2 m arcus表示余弦。
而首个真正使用简化符号表示三角线的人是T. 芬克。
他于1583 年创立以“ tangent ”（正切）及“ secant ”（正割）表示相应之概念，其后他分别以符号“ sin. ” , “tan. ” , “ sec. ” , “ sin. com ” , “ tan.com” , “ sec. com ”表示正弦，正切，正割，余弦，余切，余割，首三个符号与现代之符号相同。
后来的符号多有变化，下列的表便显示了它们之发展变化。
使用者年代正弦余弦正切余切正割余割备注罗格蒙格斯1622 S.R. T. (Tang) T. c Sec ppl l吉拉尔1626 tan sec.杰克1696 s. cos. t. cot. sec. cosec.欧拉1753 sin. cos. tag(tg). cot. sec. cosec谢格内1767 sin. cos. tan. cot. Ⅰ巴洛1814 sin cos. tan. cot. sec cosec Ⅰ施泰纳1827 tg Ⅱ皮尔斯1861 sin cos. tan. cotal sec cosecl-奥莱沃尔 1881 sin cos tan cot seccsc Ⅰ 申弗利斯 1886tgctgⅡ万特沃斯1897 sincos tan cot sec csc Ⅰ 舍费尔斯 1921 sincostgctgseccscⅡ注：Ⅰ－现代（欧洲）大陆派三角函数符 Ⅱ－现代英美派三角函数符号我国现正采用Ⅰ类三角函数符号。
1729 年，丹尼尔．伯努利是先以符号表示反三角函数，如以正弦。
1736 年欧拉以 At 表示反正切，一年后又以 Asin bc圆上正弦值相等于c的弧。
bAS 表示反表示 于单位1772 年， C ．申费尔以 arc. tang. 表示反正切；同年，拉格朗日采以arc.sin 1年，兰伯特则以 arc. sin 表示同样意表示反正弦函数。
1776 1思。
1794 年，鲍利以 Arc.sin 表示反正弦函数。
其后这些记法逐渐得到普及，去掉符号中之小点，便成现今通用之符号，如arc sin x ，arc cos x 等。