安徽省合肥八中2016届高三上学期调研检测数学理试卷

合肥八中2016届高三年级调研检测试卷高三数学(理科) 2016.01.15一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|(1)(2)0},{|30}A x x x B x x =-+<=-<<,则A B 等于（ ） A.(,2)-∞- B.(2,0)- C.(0,1) D.(1,)+∞2.已知复数32i z i-=(其中i 是虚数单位,满足21)i =-,则z 的共轭复数是（ ） A.12i - B.12i + C.12i -- D.12i -+ 3.下面四个条件中,使a b >成立的充分而不必要条件是（ ）A.||||a b >B.11a b >C.22a b > D.lg lg a b >4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若171,70a S ==,则2a 等于（ ） A.2 B.3 C.4 D.55.已知偶函数()y f x =满足(5)(5)f x f x +=-,且05x ≤≤时,2()4f x x x =-,则(2016)f =（ ）A.1-B.0C.1D.12 6.执行如图所示的程序框图,若输入c 的值为3,则输出的结果为（ ） A.27 B.9 C.8 D.3 7.设函数()sin (0)f x x ωω=>,将()y f x =的图象向左平移6π个 单位长度后,所得图象与cos y x ω=的图象重合,则ω的最小值是（ ）A.13B.3C.6D.98.设,x y 满足约束条件30020x y a x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩,若目标函数z x y =+的最大值为2,则实数a 的值为（ ）A.2B.1C.1-D.2- 9.设单位向量12,e e 对于任意实数λ都有12121||||2e e e e λ+≤-,则 向量12,e e的夹角为（ ） A.6π B.3π C.23π D.56π10.一个三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积为（ ）A.2+B.16+C.8+D.811.过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点F 作直线by x a =-的垂线,垂足为A ,交双曲线的左支于B 点,若2FB FA =,则该双曲线的离心率为（ ）B.212.在菱形ABCD 中,60,A AB == 将ABD ∆沿BD 折起到PBD ∆的位置,若二面角P BD C --的大小为23π,则三棱锥P BCD -的外接球的体积为（ ） A.43π二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,请将答案填在答题卡的相应位置 13.在5(12)x -的展开式中,3x 的系数为14.某同学从语文,数学,英语,物理,化学,生物六科中选择三个学科参加测试,则数学和物理不同时被选中的概率为15.已知0a >且1a ≠,设函数2,3()2log ,3a x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩的最大值为1,则实数a 的取值范围是16.已知P 为椭圆22182x y +=上的一个动点,点(2,1),(2,1)A B --,设直线AP 和BP 分别与直线4x =交于,M N 两点,若ABP ∆与MNP ∆的面积相等,则||OP 的值为 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17(本小题满分10分)在ABC ∆中,60BC A =∠= .(Ⅰ)若cos B =,求AC 的长度; (Ⅱ)若2AB =,求ABC ∆的面积.18(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和1*33()22n n S n N +=-∈ (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)若3log n n n b a a =⋅,求数列{}n b 的前n 项和.19(本小题满分12分)某上市公司为了了解A 市用户对其产品的满意度,从该市随机调查了20个用户,得到用户对其产品的满意度评分,并用茎叶图记录分数如左图所示.(Ⅰ)根据样本数据估计A 市用户对其产品的满意度评分的平均值;(Ⅱ)根据用户满意度评分,若评分在70分以上(含70分),用户对产品满意,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,若从A 市随机抽取3个用户,记X 表示对产品满意的用户个数,求X 的分布列及均值.20(本小题满分12分)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,点1A 在平面ABC 内的射影D 为棱AC 的中点,侧面11A ACC 是边长为2的菱形,, 1.AC CB BC ⊥= (Ⅰ)证明:1AC ⊥平面1A BC ; (Ⅱ)求二面角11B AC B --的大小.21(本小题满分12分)已知抛物线21:2(0)C x py p =>,点(,)2pA p 到抛物线1C 的准线的距离为2. (Ⅰ)求抛物线1C 的方程;(Ⅱ)过点A 作圆222:()1C x y a +-=的两条切线,分别交抛物线于,M N 两点,若直线MN 的斜率为1-,求实数a 的值.22(本小题满分12分) 已知函数()ln f x x mx =-.(Ⅰ)若()f x 的最大值为1-,求实数m 的值;(Ⅱ)若()f x 的两个零点为12,x x 且12ex x ≤,求1212()'()y x x f x x =-+的最小值.(其中e 为自然对数的底数,'()f x 是()f x 的导函数)合肥八中2016届高三年级调研检测试卷高三数学(理科)参考答案一、选择题1-5 BADCB 6-10 CBACD 11-12 CC 二、填空题13 . 80- 14.45 15. 113,⎡⎫⎪⎢⎣⎭16.三、解答题：（每个题只给一种答案和相应的评分细则，其他解答请参照给分） 17.解：（1）在ABC ∆中，60BC A =∠= .因为cos B =，则sin B =，..................................................2分 由正弦定理得：sin sin AC BC B A ==，得3AC =.....................................5分 （2）在ABC ∆中，60BC A =∠= ，2AB =.由余弦定理得：2471cos 222AC A AC +-∠==⨯⨯，则2230AC AC --=， 得3AC =...................................................8分所以ABC ∆的面积为1232S =⨯⨯=分 18.解：（1）因为13322n n S +=-，当2n ≥时，13322n n S -=-，........................................2分 两式相减得：3(2)nn a n =≥， 因为13a =也满足.综上，3()nn a n N *=∈..................................................4分（2）3log 3n n n n b a a n =⋅=⨯...................................................6分 设数列{}n b 的前n 项和为n T .则23323333n n T n =+⨯+⨯++⨯23131323(1)33n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯ ..................................................8分两式相减得：231233333n n n T n +-=++++-⨯则：13(13)2313n n n T n +⨯--=-⨯- ..................................................10分化简得：1(21)334n n n T +-⨯+=..................................................12分19. 解：样本平均数为：1(506037068089028679357832456678968)20+⨯+⨯+⨯+⨯++++++++⨯++++++++++………………………2分 =80估计A 市用户对产品的满意度评分的平均值约为80分............................4分(2)样本数据中对产品满意的用户为16个,由题意得，从A 市随机抽取一个用户，该用户对产品满意的概率为0.8,记X 表示对产品满意的用户个数，X 的可能取值为,3,2,1,0.............................6分33(0)(10.8)0.008P X C ==-= 123(1)(10.8)0.80.096P X C ==-⋅= 223(2)(10.8)0.80.384P X C ==-⋅=333(3)0.80.512P X C === .................................................8分X 的均值00.00810.09620.38430.512 2.4EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.(或(3,0.8)X B 所以X 的均值30.8 2.4EX =⨯=.）..............................................12分20.解:（1）由题意得⊥D A 1平面ABC ，∴平面⊥11ACC A 平面ABC ，平面⋂11ACC A 平面AC ABC =，CB CA ⊥ ∴⊥BC 平面11ACC A∴1AC BC ⊥ ------------------2连接1AC ,侧面11ACC A 为菱形∴11AC C A ⊥， -------------------4 ∴⊥1AC 平面BC A 1， -------------------5（2） 直角三角形1A AD 中，12AA =，1AD =，∴31=D A , -------------6过C 作CM//1A D 交11AC 于M 点，分别以C 为坐标原点，以,,CA CB CM 的方向为x 轴,y 轴,z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系xyz C -，则)3,0,1(),0,0,2(),0,0,1(),0,1,0(),0,0,0(1A A D B C , 11CC =,得)3,0,1(1-C , ∴)3,0,3(1-=AC ，11AA BB =得1(1,1B -,∴1(1,1CB =-，1(1CA =--------8 设平面11A B C 的一个法向量为),,(z y x =，由000x y x y z ⎧-++=⎪⎨+⋅+=⎪⎩令1z =，解得(n =-， ----------------------10由题得)3,0,3(1-=AC 为平面1A BC 的一个法向量，-----------111111cos ,2AC n AC n AC n⋅<>===⋅因此二面角1B AC C --的大小为3π． ------------12 解法二（略解）1AC 与1AC 交于O ,易证11B OC ∠为二面角111B AC C --的平面角，--------8 11tan 3B OC ∠= --------------10 116B OC π∠=,263πππ-=，因此二面角1B AC C --的大小为3π．------------12 21.解：(1)由抛物线定义可得： 222p p+=，2p ∴=∴抛物线1C 的方程为：24x y =.………………4分 (2)设直线,AM AN 的斜率分别为12,k k ， 将1:1(2)AM l y k x -=-代入24x y =可得：2114840x k x k -+-=，2116(1)0k ∆=->，1k R ∴∈且11k ≠由韦达定理可得：142M x k =-，同理242N x k =-………………6分121()14M N MN M N M N y y k x x k k x x -∴==+=+--………………8分又因为直线1:1(2)AM l y k x -=-1=，整理可得：221134(1)20k k a a a +-+-=，同理222234(1)20k k a a a +-+-=………………10分所以1k 、2k 是方程2234(1)20k k a a a +-+-=的两个根，……………11分124(1)3a k k -∴+=-代入1211MN k k k =+-=-可得：1a =. …………12分 12分 22.解：11'()mx f x m x x-=-=. 0m ≤时，'()0f x >，()f x 在(0,)+∞单调递增，()ln f x x mx =-在(0,)+∞无最大值. 2分0m >，易知当1(0,)x m ∈时，'()0f x >，()f x 在1(0,)m 单调递增；当1(,)x m ∈+∞时，'()0f x <，()f x 在1(,)m +∞单调递减，故max 11()()ln 11f x f m m==-=-. 即 1m =综上：1m =. 4分 （2）121212121212121()'()()()()x x y x x f x x x x m m x x x x x x -=-+=--=--++.又1122ln 0ln 0x mx x mx -=⎧⎨-=⎩故1212ln ln x x mx mx -=-，即 ()1122ln xm x x x =- . 6分故2121221212212121111()ln ln 1x x x x x x x xy m x x x x x x x x x x ---=--=+=++++. 8分 令211()ln ()1x tg t t t e t x -=+=≥+. 10分而222211'()0(1)(1)t g t t t t t -+=+=>++，故()g t 在[,)e +∞单调递增. 故min 2()()1g t g e e==+. y 的最小值 为21e + 12分。