功率谱密度
功率谱密度
功率谱密度谱是一种概率统计方法，是对随机变量均方值的量度。
一般用于随机振动分析，连续瞬态响应只能通过概率分布函数进行描述，即出现某水平响应所对应的概率。
功率谱密度是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度值—频率值的关系曲线，其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。
数学上，功率谱密度值—频率值的关系曲线下的面积就是方差，即响应标准偏差的平方值。
谱是个很不严格的东西，常常指信号的Fourier变换，是一个时间平均（time average）概念功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析)，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。
保留频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。
有两个重要区别：1。
功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数；而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。
（随机的频域序列）2。
功率概念和幅度概念的差别。
此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶局是否存在并且二阶矩的Fourier变换收敛；而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。
热心网友回答提问者对于答案的评价：谢谢解答。
频谱分析（也称频率分析），是对动态信号在频率域内进行分析，分析的结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线，可得到各种幅值以频率为变量的频谱函数F(ω)。
频谱分析中可求得幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密度等等。
频谱分析过程较为复杂，它是以傅里叶级数和傅里叶积分为基础的。
功率谱是个什么概念？它有单位吗?随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能直接进行傅氏变换。
一般用具有统计特性的功率谱来作为谱分析的依据。
功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。
功率谱具有单位频率的平均功率量纲。
功率谱与功率谱密度
SX (−ω) = SX (ω) ≥ 0
记 S X (ω ) , ω ∈ ( −∞, ∞ )为双边功率谱
GX (ω ) , ω ∈ ( 0, ∞ ) 为单边功率谱
10
2.互功率谱密度 联合平稳信号X(t)与Y(t)的互功率谱密度为
S XY (ω ) = ∫
+∞
−∞
RXY (τ )e− jωτ dτ
2 1 S X (ω , ξ ) = lim X T (ω , ξ ) T →∞ 2T
1 ∴ PX (ξ ) = 2π
∫
∞
−∞
S X (ω , ξ ) d ω
6
(2) 随机信号的平均功率及平均功率谱密度
对样本功率取平均，即为平均功率
PX = E PX
(ξ )
对样本功率谱取平均，即为平均功率谱
− jωτ
SYX (ω) = ∫ RYX (τ )e
−∞
+∞
dτ
性质2 性质 互功率谱具有对称性
S (ω ) = SYX (ω )
* XY
* S XY (ω ) = S XY (−ω )
11
总结
1.确定信号的能量谱是能量沿频率轴的密度 函数，而功率谱是功率沿频率轴的密度函 数。 2.确定信号的功率谱是唯一的，而随机信号 只能确定其样本函数的功率谱。
−∞
+∞
称为功率谱密度。反变换
1 R X (τ ) = 2π
∫
+∞ −∞
S X ( ω ) e jωτ d ω
9
令 τ = 0，得到平稳信号的平均功率 1 ∞ 2 PX = E[ X (t )] = RX (0) = ∫−∞ S X (ω)dω 2π 可见， X (ω)沿 ω 的“总和”是信号的平均功率。 S 性质1 性质 平稳信号的功率谱密度总是正的偶函数，即
3.3功率谱密度与自相关函数的关系
随机信号分析目录CONTENTS CONTENTS 目录CONTENTS功率谱密度与自相关函数之间的关系维纳－辛钦定理计算举例小结功率谱密度的表达式为：2(,)()lim 2X X T E X T S T ωω→∞⎡⎤⎣⎦=(,)() j t X T X T x t e dt ωω∞−−∞=⎰2*(,)(,)(,)X X X X T X T X T ωωω=其中：功率谱密度可表示为：1211221lim ()()2TT j t j t T T T E x t e dt x t e dt T ωω−−−→∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰[]1212121lim ()()2T T j t j t T T T E x t x t e e dt dt T ωω−−−→∞=⎰⎰21()12121lim (,)2T T j t t X T T T R t t e dt dt Tω−−−−→∞=⎰⎰1lim (,)2Tj X T T R t t dt e d T ωτττ∞−−∞−→∞⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭⎰⎰对于任意随机过程，其自相关函数的时间均值与过程的功率谱密度互为傅里叶变换。
⎰=+−∞−∞ωττωτS A R t t e d X X j ()(,)⎰+=−∞∞πτωωωτA R t t S e d X X j 2(,)()1+←⎯→τωA R t t S X X FT(,)()维纳-辛钦定理⚫对于广义平稳随机过程⚫对于平稳（或广义平稳）随机过程，其自相关函数与过程的功率谱密度互为傅里叶变换，称为维纳-辛钦定理。
(,)()()X X X A R t t A R R τττ+==()()1()()2j X X j X X S R e d R S e d ωτωτωτττωωπ∞−−∞∞−∞==⎰⎰维纳-辛钦定理⚫双边带功率谱密度：功率谱密度分布在整个频率轴上。
⚫单边带功率谱密度：功率谱密度只定义在零和正的频率轴上。
⚫二者之间的关系：⎩⎨⎧<≥=0 00 )(2S )(G X X ωωωω)(G X ωX S ()ωω⚫广义平稳随机过程的均方值：X 01G ()d 2ωωπ∞=⎰注：在以后，如不加说明，都指双边带功率谱密度。
功率谱密度
∑x x
n n+m
=
N−m ˆ φ xx (m) N m N
N ˆ′ (m)] = ( N − m ) 2Var[φ ˆ ( m)] < Var[φ ˆ ( m)] Var[φ xx xx xx N
ˆ′ (m)] = φ ( m) − E[φ ˆ′ (m)] = φ xx (m), 有偏估计，偏倚Bias[φ xx xx xx
1 1 2 ∗ X N ( e jω ) X N X (ω ) ( e jω ) = N N
( X N (ω ) = ∑ x(n)e − jωn )
ˆ 1 2 X N (ω )是周期性的，直接将X N (ω )的模的平方除以N求得的功率谱的估计为周期图Pxx (ω ) = I N (ω ) = X (ω ) N ˆ 1 E[φ xx (m)] = N w(m) = 1 N
Dr. JI ZHEN
11
4.1周期图法的改进-窗口处理法
适当设计窗口谱函数W1 (e jω )与周期图卷积， ˆ 1 π Pxx (ω ) = I N (θ )W1 (e j (ω −θ ) )dθ ∫ 2π −π ˆ 1 π E[ Pxx (ω )] = E[ I N (θ )]W1 (e j (ω −θ ) )dθ ∫ 2π −π 1 π 而E[ I N (θ )] = Pxx (φ )W (e j (θ −φ ) )dφ ∫ π − 2π ˆ E[ Pxx (ω )] = Pxx (ω ) *W (e jω ) *W1 (e jω ) 如果W1 (e jω )的主瓣宽度大于W (e jω )的主瓣宽度，可以进一步平滑谱估计，减少方差。
ˆ ˆ Pxx (ω ) = Pxx (−ω ) = =
功率谱密度和频谱
功率谱密度和频谱
电功率谱密度（Power Spectral Density，简称PSD）是一种用于表征信号强度分布的数量指标，可以用来对信号进行分类、检测、测量和识别处理，从而实现信号参数提取。
该技术使用功率谱密度（PSD）分解信号，
使用频谱作为信号描述符。
PSD是通过对周期性时间序列的强度进行功率频谱的计算，可以实现多波段信号的统计分析。
它是以次/赫兹（Hz）为单位向量X与其频谱之间的一种称为自相关函数/自相关函数（ACF）的函数X（f）相乘结果变换而来。
因此，当X（f）和X（t）知道时，可以根据它们
的定义来计算其功率谱密度：
PSD(f)=|X(f)·x(t)|^2/T
PSD的最大优点是可以生成更容易解释的信号类型以及
更多的特定频率信号表示。
它可以区分信号的有效频率，从而更加有效的筛选信号，追踪变化的情况，抑制杂波以及滤波处理。
从信号分析的角度来看，PSD和频谱都是用于可视化信
号特性的重要手段。
PSD是将信号直接投射到功率谱上，它着重于信号传输和功率衰减属性，更多地应用于对温度变化和噪声的频率分析。
而频谱的重点是在信号的时域周期出现，更多地用于信号的时间和特征提取，将信号从时间域转换为频域，从而使信号变得更容易处理。
这两种技术都可以用于滤波、信号增强、波形识别和信号跟踪。
两者都是基于对信号强度分布的分析，有助于提取更强、有用的幅度和频率信号信息，从而实现恢复信号等。
因此，PSD和频谱均可用于信号分析，比较它们多个优点，想要更好的分析信号，可以使用它们的融合技术，以及其他技术确定有用的信号特性。
功率谱密度的单位
功率谱密度的单位
功率谱密度是不同波长的电磁辐射的强度的分布情况，用来衡量辐射的功率的大小。
它的测量单位有多种，主要有功率每平方米（W/m2）、功率每立方米（W/m3）、功率每立方厘米（W/cm3）、功率每立方米波长（W/m3nm）等。
功率每平方米（W/m2）是最常用的单位，它衡量的是电磁辐射的强度在空间上的分布情况，也是衡量光强度的主要单位。
用它可以表示光强度的均匀分布，并能够反映光在空间上蔓延的情况。
功率每立方米（W/m3）是另一种常用单位，它衡量的是电磁辐射强度在体积上的分布情况。
这个单位在做近场电磁辐射测试时非常常用，因为它能够反映出电磁辐射在规定体积内的集中程度。
功率每立方厘米（W/cm3）也是常用单位，它衡量的是电磁辐射强度在小体积上的分布情况。
这是一个细节型的测量单位，在电磁辐射安全防护等方面有着重要的意义。
功率每立方米波长（W/m3nm）可以用来衡量不同波长的电磁辐射能量的分布情况，它能够更加准确地反映出辐射的能量分配情况。
一般来说，彩色的电磁辐射能量将会分布在不同的波长上，而用这种单位可以更加准确地衡量它们在每一个波长上的分布状况。
对于不同波长的电磁辐射，有不同的测量单位，有些是用来衡量空间上光强度的分布，有些是用来衡量体积上电磁辐射强度的分布，有些是用来衡量辐射在不同波长上的能量分配，总之，功率谱密度的单位反映的是电磁辐射的强度及其分布情况，非常重要。
功率谱与功率谱密度
功率谱密度谱是一种概率统计方法，是对随机变量均方值的量度。
一般用于随机振动分析，连续瞬态响应只能通过概率分布函数进行描述，即出现某水平响应所对应的概率。
功率谱密度是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度值—频率值的关系曲线，其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。
数学上，功率谱密度值—频率值的关系曲线下的面积就是方差，即响应标准偏差的平方值。
谱是个很不严格的东西，常常指信号的Fourier变换，是一个时间平均（time average）概念功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析)，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。
保留频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。
有两个重要区别：1。
功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数；而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。
（随机的频域序列）2。
功率概念和幅度概念的差别。
此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶局是否存在并且二阶矩的Fourier变换收敛；而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。
热心网友回答提问者对于答案的评价：谢谢解答。
频谱分析（也称频率分析），是对动态信号在频率域内进行分析，分析的结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线，可得到各种幅值以频率为变量的频谱函数F(ω)。
频谱分析中可求得幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密度等等。
频谱分析过程较为复杂，它是以傅里叶级数和傅里叶积分为基础的。
功率谱是个什么概念？它有单位吗?随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能直接进行傅氏变换。
一般用具有统计特性的功率谱来作为谱分析的依据。
功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。
功率谱具有单位频率的平均功率量纲。
功率谱密度转化
功率谱密度转化
功率谱密度（Power Spectral Density，PSD）是一个频域概念，表示信号的功率在频率上的分布。
功率谱密度通常用数学形式或图表来表示。
对于一维信号，功率谱密度可以通过傅里叶变换的方法从时域信号转换到频域。
假设有一个信号函数f(t)，它是一个在时域上的函数。
其功率谱密度P(f) 可以通过对f(t) 进行傅里叶变换（或者傅里叶积分变换）来计算。
数学上，这可以表示为：
P(f)=lim
T→∞1
T
|∫T(T)T−T2TTT TT T/2
−T/2
|2
其中，j 是虚数单位，f 是频率。
这个公式描述了信号f(t) 在频率f 上的功率。
如果你手头有一个时域信号的采样数据，你可以使用离散傅里叶变换（DFT）来估计功率谱密度。
DFT 是傅里叶变换的离散形式，可以用离散的频率来表示信号的功率谱密度。
在实际情况中，常常使用计算工具（比如MATLAB、Python中的NumPy和SciPy库等）来进行功率谱密度的计算和可视化，因为这些工具提供了方便而高效的函数和方法。
例如，在Python中，你可以使用numpy.fft.fft 函数进行快速傅里叶变换，并通过其结果计算功率谱密度。
第三章随机过程的功率谱密度
3.1.1 确定信号的频谱和能量谱密度
确定信号 是在
的非周期实函数，
的傅立叶变换存在的充要条件是：
(1). 满足狄利赫利条件
(2). 总能量有限，即
则信号 的傅立叶变换为 傅立叶反变换为
根据巴塞伐(Parseval)定理(总能量的谱表达式) 称为信号的能量谱密度。
3.1.2 随机过程的功率谱密度 • 随机过程的样本函数 不满足傅立叶存在的
自相关时间从数量上直 观描述随机过程的在时
间上关联范围。
• 功率谱密度函数描述随机过程的平均功率 沿频率轴的分布。
等效功率带宽从数量上 直观描述随机过程在频
率上分布范围。
3.3.1 自相关时间
相同的数学期望
相同的方差
(a)
图Hale Waihona Puke -12(b)和 的样本函数曲线
(a)
图 3-13
(b)
和 的自相关函数
(a)
(b)
图 3-14 自相关时间
因为
，有
由于 扩展比 要大一些， 因此
k1 能描述相关 程度
自相关时间定义：
通常，当 时，可认为 与 的相关性 已经很弱，实际上已经不相关了。
3.3.2 等效功率谱带宽
相同的数学期望
相同的方差
0
t
0
t
(a)
图3-15
(b)
和 的样本函数曲线
(a)
(b)
图3-15 功率谱
式中A为常数。求其功率谱密度。 解：由维纳－辛钦定理
• 样本函数在时间区间 的平均功率。 • 由于样本函数是随机过程的任何一个样本函数，
取决于随机试验，平均功率具有随机性。 • 可采用集合平均消除样本函数的随机性，即
功率谱密度函数简介
功率谱密度函数简介光电2008级 俞宝清若()f t 是功率有限信号，从()f t 中截取2Tt ≤的一段，得到一个截尾函数()T f t ，如图6.1:该截尾函数可以表示为：()2()02T Tf t t f t T t ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩如果T 是有限值，则()T f t 的能量也是有限的。
令()T f t 的傅里叶变换为：[]()()T T F f t F ω=此时()T f t 的能量T E 可表示为：221()()2T TT E f t dt F d ωωπ∞∞−∞−∞==∫∫因为2222()()T T Tf t dt f t dt ∞−∞−=∫∫,所以()f t 的平均功率为：2222()11lim()lim 2T T T T T F P f t dt d TT ωωπ∞−∞→∞→∞−==∫∫当T 增加时，()T f t 的能量增加，2()T F ω也增加。
当T →∞时，()()T f t f t →，此时2()T F Tω可能趋近于一极限。
假若此极限存在，定义它是()f t 的功率谱密度图6.1 功率信号的截尾函数（a ） 原函数（b ） 截尾函数函数，或简称功率谱，记作()S ω。
这样便得到()f t 的功率谱为：2()()lim T T F S Tωω→∞=可得：()12P S d ωωπ∞−∞=∫由上式可见，功率谱表示单位频带内信号功率随频率的变化情况，也就是说它反映了信号功率在频域的分布状况。
显然，功率谱曲线()S ω所覆盖的面积在数值上等于信号的总功率。
()S ω是频率ω的偶函数，它保留了频谱()T F ω的幅度信息而丢掉了相位信息，因此，凡是具有同样幅度谱而相位谱不同的信号都有相同的功率谱。
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功率谱密度
不同形式的数字基带信号具有不同的频谱结构，分析数字基带信号的频谱特性，以便合理地设计数字基带信号，使得消息代码变换为适合于给定信道传输特性的结构，是数字基带传输必须考虑的问题。
在通信中，除特殊情况（如测试信号）外，数字基带信号通常都是随机脉冲序列。
因为，如果在数字通信系统中所传输的数字序列是确知的，则消息就不携带任何信息，通信也就失去了意义。
故我们面临的是一个随机序列的谱分析问题。
考察一个二进制随机脉冲序列。
设脉冲、分别表示二进制码“0”和“1”, 为
码元的间隔，在任一码元时间内，和出现的概率分别为p和1-p。
则随机脉冲序列x(t)可表示成:
其中
研究由上面二式所确定的随机脉冲序列的功率谱密度，要用到概率论与随机过程的有关知识。
可以证明，随机脉冲序列x(t)的双边功率谱公式（1）：
其中、分别为、的傅氏变换，。
可以得出如下结论：
（1）随机脉冲序列功率谱包括两部分：连续谱（第一项）和离散谱（第二项）。
对于连续谱而言，由于代表数字信息的及不能完全相同，故，因此，连
续谱总是存在；而对于离散谱而言，则在一些情况下不存在，如及是双极性的脉冲，且出现概率相同时。
（2）当、、p及给定后，随机脉冲序列功率谱就确定了。
上式的结果是非常有意义的，它一方面能使我们了解随机脉冲序列频谱的特点，以及如何去具体地计算它的功率谱密度；另一方面根据它的离散谱是否存在这一特点，将使我们明确能否从脉冲序列中直接提取离散分量，以及采取怎样的方法可以从基带脉冲序列中获得所需的离散分量。
这一点，在研究位同步、载波同步等问题时，将是十分重要的；再一方面，根据它的连续谱可以确定序列的带宽（通常以谱的第一个零点作为序列的带宽）。
下面，以矩形脉冲构成的基带信号为例，通过几个有代表性的特例对功率谱密度公式的应用及意义做进一步的说明，其结果对后续问题的研究具有实用意义。
例单极性NRZ信号的功率谱，假定p=1/2
对于单极性NRZ信号，有，
这里，g(t)为图1所示的高度为1、宽度为的全占空矩形脉冲。
图1全占空矩形脉冲图2单极性NRZ信号的功率谱
则
代入功率谱密度公式并考虑到p=1/2，得单极性NRZ信号的功率谱密度为
单极性NRZ信号的功率谱如图1所示。
可以看出：
（1）单极性NRZ信号的功率谱只有连续谱和直流分量。
（2）由离散谱仅含直流分量可知，单极性NRZ信号的功率谱不含可用于提取同步信息的分量。
（3）由连续分量可方便求出单极性NRZ信号的功率谱的带宽近似为（Sa函数第一零点）。
例双极性NRZ信号的功率谱，假定p=1/2。
对于双极性NRZ信号，有
这里，g(t)也为图1所示的高度为1、宽度为的全占空矩形脉冲。
代入式（1）并考虑到p=1/2，得双极性NRZ信号的谱密度为
（2）
双极性NRZ信号的功率谱如上图所示。
可以看出：
（1）双极性NRZ信号的功率谱只有连续谱，不含任何离散分量。
当然，也不含可用于提取同步信息的分量。
（2）双极性NRZ信号的功率谱的带宽同于单极性NRZ信号，为。
（3）p≠1/2时，双极性NRZ信号的功率谱将含有直流分量，其特点与单极性NRZ信号的功率谱相似（请读者自己考虑）。
例求单极性RZ信号的功率谱，假定p=1/2。
对于单极性RZ信号，有，
这里，g(t)为图3所示的高度为1、宽度为τ的矩形脉冲（占空比）。
图3占空比为的矩形脉冲图4单极性RZ信号的功率谱
则
代入式（1）并考虑到p=1/2，得单极性RZ信号的功率谱密度为
单极性RZ信号的功率谱如图4所示。
可以看出：
（1）单极性RZ信号的功率谱不但有连续谱，而且在等处还存在离散谱。
（2）由离散谱可知，单极性RZ信号的功率谱含可用于提取同步信息的分量。
（3）由连续谱可求出单极性RZ信号的功率谱的带宽近似为。
较之单极性NRZ信号变宽。
（4）p≠1/2时，上述结论依然成立（请读者自己考虑）。
例双极性RZ信号的功率谱，假定p=1/2。
对于双极性RZ信号，有
这里，g(t)也为图3所示的高度为1、宽度为τ的矩形脉冲（占空比）。
则
代入式（1）并考虑到p=1/2，得双极性RZ信号的功率谱密度为
双极性RZ信号的功率谱如上图所示。
可以看出：
（1）双极性RZ信号的功率谱只有连续谱，不含任何离散分量。
当然，不含可用于提取
同步信息的分量。
（2）双极性RZ信号的功率谱的带宽同于单极性RZ信号，为。
（3）p≠1/2时，双极性RZ信号的功率谱将含有离散分量，其特点与单极性RZ信号的功率谱相似。
通过上述讨论可知，分析随机脉冲序列的功率谱之后，就可知道信号功率的分布，根据主要功率集中在哪个频段，便可确定信号带宽，从而考虑信道带宽和传输网络（滤波器、均衡器等）的传输函数等等。
同时利用它的离散谱是否存在这一特点，可以明确能否从脉冲序列中直接提取所需的离散分量和采取怎样的方法可以从序列中获得所需的离散分量，以便在接收端用这些成分做位同步定时等。