C3-1中值定理
数学C3-1-5章
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数学（C3）目录第一章函数Functions1.1函数的定义域及值域Domain and range of a function1.2 映射Mappings1.3 模函数Modulus function1.4 复合函数Composite functions1.5 反函数Inverse functions1.6 反三角函数Inverse trigonometric functions复习练习1第二章微分Differentiation2.1 求复合函数的微分Function of a function2.2 求复合函数的积分Inverse function of a function2.3 乘积法则Product rule2.4 除法法则Quotient rule2.5 x关于y 的函数x as a function of y2.6 应用Applications复习练习2第三章三角函数Trigonometric functions3.1函数cosecθ，secθ和cotθThe functions cosecθ，secθand cotθ3.2 三角方程Trigonometric equations3.3 标准三角恒等式Standard trigonometric identities3.4 三角恒等式的证明Proving trigonometric identities3.5 对sinx, cosx, tanx 求微分Differentiation of sinx, cosx, and tanx3.6 乘积法则与商法则Products and quotients3.7 应用Applications复习练习3第四章指数函数与对数函数Exponentials and logarithms4.1 指数函数的微分与积分Differentiating and intergrating exponential functions 4.2 自然对数Natural Logarithms4.3 乘积法则与商法则products and quotients4.4 应用Applications复习练习4第五章积分Integration5.1 换元积分法Integration by substitution5.2.定积分Definite integrals5.3 分部积分法Integration by parts5.4 标准积分Standard integrals5.5 应用applications5.6 综合题Mixed problem复习练习5第六章.数值方法 Numerical methods 6.1 方程的数值解Numerical solution of equations6.2 迭代法Iterative methods6.3 数值积分Numerical integration复习练习6 Revision exercise 7综合练习第一章 函数 Chapter 1 Functions本章内容包括：1.1函数的定义域及值域 Domain and range of a function 1.2 映射 Mappings1.3 模函数 Modulus function1.4 复合函数 Composite functions 1.5 反函数 Inverse functions1.6 反三角函数 Inverse trigonometric functions学完本章后你应该掌握：1. 会判断函数的定义域及值域2. 识别和应用模函数3. 求复合函数和反函数4. 理解并会应用反三角函数1.1 函数的定义域及值域 Domain and range of a function一个曲线方程可以表达成: y=‘x 的表达式’或者使用函数符号(functional notation): y=f(x)例1： 可以把2y x =写成2()f x x =。
3-1 微分中值定理
f ( n1) ( x0 ) 其中 Rn ( x) ( x x0 )n1 拉格朗日余项 (n 1)!
这里的 是 x0 与 x 之间的某个值。
3-1 微分中值定理
在泰勒公式中，如果取 x0 0 时，得到带有拉格朗日余项的麦克劳林 （Maclaurin）公式
f ''(0) 2 f ( n ) (0) n f ( x) f (0) f '(0) x x x 2! n! Rn ( x)
3-1 微分中值定理
考点3：利用罗尔（Roller）中值定理证明方程根的存在性
例 : 不用求出函数 f ( x) ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) 的导数，说明方程
f '( x) 0 有几个实数根，并指出他们所在的区间。
零点定理 例: 证明方程 x 3x 1 0 在区间 (0,1) 内有唯一的实根。
定理3.2 ：罗尔（Rolle）中值定理： 如果函数 f ( x) 满足下列条件： （1）在闭区间 [a, b]上连续 （2）在开区间 (a, b) 内可导 （3）且 f (a) f (b) 则有：至少存在一点 (a, b) 使得 f '( ) 0 注意：罗尔中值定理是拉格朗日中值定理当 f (a) f (b) 时的一种特例。
f (b) f (a) f '( ) g (b) g (a) g '( )
注意：拉格朗日中值定理是柯西中值定理当 g ( x) x 时的一种特例。
3-1 微分中值定理
g ( x) cos x 在区间 [0, ] 上是 例: 验证函数 f ( x) sin x ， 2 否满足柯西中值定理的条件，并求出柯西中值定理结论中 的 。
第1讲中值定理和有关方程的根问题解读
2M
.
1 2
M
由介值定理，
至少存在一点 [0,1]，使得
1
f ( ) 20 f (x)dx
例10、设 f (x)在[a,a] 上有连续的二阶导函数，f (0) 0 ，证
存在一点
[a,
a],
有f
(
)
3 a3
a
f (x)dx
a
分析（1）闭区间，优先用介值定理
（2） f , f 可考虑用泰勒公式 f (x) f (0) f (0).x f () x2
1 (n1)!
f
(n1)
(
)(x
x0 )n1
补充：导数零点定理，导数介值定理 定理10、设 f (x)在[a,b] 上可导，当
f(a). f(b) 0时， (a,b),使f ( ) 0
定理11、设 f (x)在[a,b] 上可导，当
f(a) f(b)，介于f(a)与f(b)之间，
则 (a,b),使f ( )
（3）若结论比较简单，如 F(n) ( ) 0 ，则优先考虑 罗尔定理,或利用费尔马定理（都是对n-1阶导数用）
（4）若结论中有两个中值，则优先考虑应该大区间分 为若干小区间，在各个小区间多次使用拉氏定理，
或者直接考虑柯西中值定理 （5）若结论中含有高阶导数，则优先考虑泰勒公式 （6）若结论中含有函数及其各阶导数，则优先考虑
定理，若不满足，则 （3）改令 F(x) F*(x) 两次积分 F(x) ，将大区间分为小区间
令c 0, d 0
各个小区间多次使用中值定理，
二、例题解析
例8、设函数 f (x) 在[0, 3] 上连续, 在(0, 3) 内可导, 且
f (0) f (1) f (2) 3, f (3) 1, 证明存在 (0,3), 使
中值定理知识点总结
中值定理知识点总结中值定理的表述：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则存在一个点c∈(a, b)，满足f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
中值定理的证明比较简单，可以根据函数的连续性和可导性来进行推导。
接下来我们来详细介绍中值定理的知识点。
一、中值定理的条件中值定理的前提是函数在闭区间上连续，在开区间上可导。
这两个条件都是至关重要的，只有同时满足这两个条件，中值定理才成立。
1. 函数在闭区间上连续：闭区间[a, b]是一个包含了a和b的区间，函数在闭区间上连续意味着函数在这个区间内没有间断点，没有跳跃点，图象是一条连续的曲线。
一般来说，函数在有限区间上都是连续的，因此这个条件通常是满足的。
2. 函数在开区间上可导：开区间(a, b)是一个不含a和b的区间，函数在开区间上可导意味着函数在这个区间上具有导数。
可导性是指函数在这个区间内存在切线，即函数在这个区间内是光滑的。
这个条件比较严格，只有在一些特殊的情况下才能满足。
二、中值定理的应用中值定理主要用来描述函数在某个区间内的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。
它可以推导出一些重要的结论和定理，对于理解函数的性质和特点有很大的帮助。
1. 平均变化率和瞬时变化率：中值定理可以用来比较函数在闭区间上的平均变化率和在开区间上的瞬时变化率。
平均变化率指的是函数在某个区间内的整体变化情况，而瞬时变化率指的是函数在某一点的瞬间变化情况。
中值定理表明，这两者之间存在着某种联系，通过中值定理可以求得函数在某个区间内的平均变化率和在某一点的瞬时变化率之间的对应关系。
2. 函数的增减性：中值定理可以用来研究函数的增减性。
通过中值定理可以求得函数在某个区间内的导数值，在这个区间上的函数是增加还是减小。
这对于研究函数的极值和拐点有很大的帮助。
3. 函数的凹凸性：中值定理可以用来研究函数的凹凸性。
通过中值定理可以求得函数在某个区间内的二阶导数值，根据二阶导数的正负性可以判断函数在这个区间上的凹凸性，这对于求解函数的拐点和凹凸区间有很大的帮助。
中值定理证明
中值定理首先我们来看看几大定理：1、 介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A 及f(b)=B ，那么对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ<b).Ps:c 是介于A 、B 之间的，结论中的ξ取开区间。
介值定理的推论：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有最大值M ，最小值m,若m ≤C ≤M,则必存在ξ∈[a,b], 使得f(ξ)=C 。
（闭区间上的连续函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值。
此条推论运用较多）Ps ：当题目中提到某个函数f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。
2、 零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号，即f(a).f(b)<0,那么在开区间内至少存在一点ξ使得f(ξ)=0.Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.3、 罗尔定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b). 那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得f`(x)=0;4、 拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导;那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得 f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).5、 柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、对任一x(a<x<b),g`(x)≠0, 那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得)`()`()()()()(ξξg f a g b g a f b f =--Ps ：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。
高等数学第四版3-1节中值定理课件.ppt
以上两个都可说明问题.
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练习题
一、填空题： 1、函数 f ( x) x 4 在区间[1,2]上满足拉格朗日中值 定理，则ξ=_______. 2、设 f ( x) ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) ， 方 程 f ( x) 0 有____________个根，它们分别在区间 _____________上. 3、罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是 _________________. 4 、微 分中 值定 理精 确地 表 达 函 数 在 一 个区 间上 的 _______与函数在这区间内某点处的_______之间 的关系. 5、如果函数 f ( x)在区间I 上的导数__________，那 么 f ( x)在区间I 上是一个常数.
推论 如果函数 f ( x) 在区间 I 上的导数恒为零, 那末 f (x) 在区间 I 上是一个常数.
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例2 证明 arcsin x arccos x (1 x 1). 2
证 设 f ( x) arcsin x arccos x, x [1,1]
f ( x) 1 ( 1 ) 0.
由介值定理
x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0. 即为方程的小于1的正实根. 设另有 x1 (0,1), x1 x0 , 使 f ( x1 ) 0.
f ( x) 在 x0, x1 之间满足罗尔定理的条件,
至少存在一个 (在 x0, x1 之间),使得 f () 0.
但 f ( x) 5( x4 1) 0, ( x (0,1)) 矛盾, 为唯一实根.
1 x2
1 x2
f ( x) C, x [1,1]
又 f (0) arcsin 0 arccos0 0 , 22
《高数上31中值定理》课件
罗尔定理的证明
详细描述：证明罗尔定理的步骤 如下
1. 构造辅助函数$F(x) = f(x) lambda x$，其中$lambda$为
待定常数。
2. 利用中值定理证明存在一点 $xi_1$，使得$F(xi_1) = 0$。
罗尔定理的证明
3. 由于$F(a) = f(a) - lambda a = 0 - lambda a = -lambda a$ 和$F(b) = f(b) - lambda b = lambda b - lambda b = 0$，且 $F(x)$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$上可导，所以根据介值定理存 在一点$xi_2$，使得$F(xi_2) = 0$。
1. 求函数的极值
如果函数在某点的导数为零，则该点可能是函数的极值点。因此，利用罗尔定理可以找 到函数的极值点。
2. 判断函数的单调性
如果函数在某区间的导数大于零，则函数在此区间单调递增；如果导数小于零，则函数 在此区间单调递减。因此，利用罗尔定理可以判断函数的单调性。
03
拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理的表述
总结词
简洁明了地描述了拉格朗日中值定理 的内容。
详细描述
如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续， 在开区间(a, b)上可导，那么在开区间 (a, b)内至少存在一点ξ，使得 f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
拉格朗日中值定理的证明
总结词
详细介绍了拉格朗日中值定理的证明过程。
详细描述
4. 由于$F'(xi_2) = f'(xi_2) lambda = 0$，所以$lambda = f'(xi_2)$。
5. 综上，存在唯一一点$xi = xi_2$，使得$f'(xi) = 0$。
3-1中值定理
由罗尔定理， (0,1), 使得F ' ( ) 0 ,
即 f ' ( ) f ( ) 0 .
例5. (2) 设函数f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，
f (a) f (b), 且不恒为常数.试证在(a, b)内至少存在 一点，使得f ' ( ) 0.
( a , b) ( a , b)
f (b) f (a ) f ( ) (b a )
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( ) ( x2 x1 )
f ( x 0 x) f ( x0 ) f ( ) x
( x1 , x 2 )
证: （拉格朗日中值定理应用）
f ( x)不恒为常数 , c (a, b), f (c) f (a) f (b).
不妨设f (c) f (a),
中值定理条件,
f (c ) f ( a ) (a, c), 使得f ' ( ) 0. ca
四、柯西(Cauchy)中值定理 及 满足 :
例2. 设 证明： 证明：
在[1,2]上有二阶导数，且
三、拉格朗日中值定理 满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在区间 ( a , b ) 内可导
y
y f ( x)
B A
o
至少存在一点 证: 问题转化为证 f ( ) 作辅助函数
f (b) f (a ) . 使 f ( ) ba f (b) f (a )
0
由 的任意性知, 在 I 上为常数 .
推论: 若在区间 I 上 即: 导函数相同的两个函数，仅相差一个常数。
例3. 证明等式 arctan x arc cot x
微积分(第三版)课件：中值定理
例 试证 | arctanb arctan a || b a |.
证
设f
(x)=arctan
x
,
(a<b)
.
(arctan
x)
1
1 x2
显然arctan x在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件.
可知必定存在一点 (a,b) , 使得
arctanb arctana
1
1
2
(b a),
a
b.
拉格朗日 Joseph-Loouis Lagrange
(1736-1813)
f (x) x (0 x 1)
f
(x)
x 0
0 x1 x 1
原点处不可导
端点处值不等
端点处不连续
例 验证函数 f (x) x4 50x2 300 在区间 [ 8，8]符合罗尔定理.
显然多项式函数 f (x) 为偶函数，且连续可导.
满足罗尔定理条件 f (x) 4x3 100x
y
f (x) x4 50x2 300
微分中值定理
一、罗尔中值定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理
微分中值定理
导数在实际问题中具有广泛的应用，利用导数可 以求解未定式的极限问题；利用导数可以研究函数的 基本性态、函数图形的特征；利用导数可以解决实际 生活中的优化问题.
微分中值定理是利用导数研究函数在区间上整体 性质的有力工具和桥梁，微分中值定理主要包括罗尔 定理、拉格朗日定理和柯西定理。
例 f (x) (x 1)2在[0,3]上不满足罗尔定理的条件
( f (0) f (3)), 但是存在 1(0,3)使 f ( ) 0.
(2)罗尔定理的三个条件缺少其中任何一个条件定
C3-1 微分中值定理
思考题
试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可. 思考题解答：
x2 , 0 x 1 f1 ( x ) x 1 3,
不满足在闭区间上连续的条件；
1 f2 ( x) , x
x [a , b ]
且 ab 0
不满足在开区间内可微的条件；
以上两个都可说明问题.
22
练习题
上面两式相比即得结论.
两个 不 一定相同!
错!
注意：(1)在柯西定理中，f ( )、F ( )是在
同一点 处 f ( x )、F x）的导数值； （
(2)若F ( x) x，柯西定理即拉格朗日定理.
19
拉格朗日
拉格朗日(1736-1813)十八世纪最伟大、最谦虚的
数学家。他的身上混合着法国和意大利的血统，法国
一般问题的讨论。 返回
20
费马 (1601 – 1665)
法国数学家,他是一位律师.数学只是他
的业余爱好.他兴趣广泛,博览群书并善
于思考,在数学上有许多重大贡献.他特
别爱好数论,他提出的费马大定理:
"当n 2时, 方程 xn yn z n 无整数解"
至今尚未得到完全的证明.他还是微积分学的先驱 . 费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中 提炼出来的. (返回)
一、 填空题： 1、 函数 f ( x ) x 4 在区间[1,2]上满足拉格朗日中值 定理，则ξ =_______. 2、 设 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) ， 方 程 f ( x ) 0 有____________个根，它们分别在区间 _____________上. 3、 罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是 _________________. 4、 微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的 _______与函数在这区间内某点处的_______之间 的关系. 5、 如果函数 f ( x ) 在区间 I 上的导数__________，那 么 f ( x ) 在区间 I 上是一个常数.
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费马引理
f (b) f (a)
拉格朗日中值定理
F ( x) x
罗尔定理
f (b) f (a) F ( x) x
柯西中值定理
2. 微分中值定理的应用
(1) 证明恒等式
(2) 证明不等式
关键: 利用逆向思维 设辅助函数
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(3) 证明有关中值问题的结论
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二、拉格朗日中值定理
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续
y
y f (x)
o
(2) 在区间 ( a , b ) 内可导
至少存在一点 证: 问题转化为证 作辅助函数
f ( )
a
b x
f (b) f ( a ) ba .
使 f ( )
y
o
y
1
1
x
y
o
1
x
机动
o
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1
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x
返回 结束
2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为
在 ( a , b ) 内可导, 且
lim f ( x) lim f ( x)
x a
x b
在( a , b ) 内至少存在一点
使
证明提示: 设
证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 .0由的任意性知,
在 I 上为常数 .
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例3. 证明不等式
x 1 x
ln(1 x) x ( x 0) .
证: 设 f (t ) ln(1 t ) ,
中值定理条件, 因此应有
即
因为
故
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内容小结
1. 微分中值定理的条件、结论及关系
思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 即定理结论成立 . 证毕
拉氏 目录 上页 下页 返回 结束
拉格朗日中值定理的有限增量形式: 令 则
y f ( x0 x)x (0 1)
推论: 若函数
在区间 I 上满足
则
在 I 上必为常数.
证: 在 I 上任取两点 日中值公式 , 得
f (b) f ( a )
f ((x) f (b) f ( a ) x (x) ) ba
b a
0
显然 ,
(a)
在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且
b f ( a ) a f (b) ba
(b) , 由罗尔定理知至少存在一点
第三章 微分中值定理 与导数的应用
罗尔中值定理 中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 应用
推广
泰勒公式
(第三节)
研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题
第一节 中值定理
一、罗尔( Rolle )定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理
第三章
机动
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一、罗尔( Rolle )定理
在( a , b ) 内至少存在一点
证: M 和最小值 m . 若M=m,则
使 f ( ) 0.
故在[ a , b ]上取得最大值
因此
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若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 使 则至少存在一点 不妨设
则由费马引理得 f ( ) 0 . 注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,
费马(fermat)引理
且
(或 )
存在
y
证: 设 则
0 0
费马 目录 上页 下页
o
x0
x
证毕
返回 结束
罗尔（ Rolle ）定理 满足:
(1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b )
y
y f (x)
o
a
b x