月宁德市高中毕业班质量检查试卷(文科)

2011年宁德市普通高中毕业班质量检查数学（文科）试卷第I卷（选择题共60分）一、选择题：1．复数i(1i)z=+在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合{}{}2,3,0,1,2A B==，若x A∈且x B∉，则x的值为A．0 B．1 C．2 D．3 3．“060=α”是“tanα=的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．若各项均不为零的数列{}n a满足*12()n na a n N+=∈，则4321a aa a⋅⋅的值等于A．4 B．8 C．16 D．645．已知a，b均为单位向量，若1-=a b，则a，b的夹角等于A．6πB．3πC．2πD．23π6．函数()2lnf x xx=-的零点一定位于区间A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(4,5)7．已知函数sin()(00||)2y A x Aπωϕωϕ=+>><，，的图象如图所示，则其表达式为A．3sin(4)3y xπ=-B．3sin(4)3y xπ=+C．3sin(2)3y xπ=-D．3sin(2)3y xπ=+，，(nx x++-8．已知向量(,1)x =a ，(,2)x tx =+b . 若函数()f x =⋅a b 在区间[1,1]-上不是．．单调函数， 则实数t 的取值范围是A ．(,2][2,)-∞-+∞B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．(2,2)-D ．[2,2]-9．已知,αβ是两个不同平面，,m n 是两条不同直线. 若,m n ββ⊂⊂，则下列命题为真命题的是A ．若,m m n α⊥⊥，则//n αB ．若//,//m n αα， 则//αβC ．若,//m n αα⊂， 则//m nD ．若,n αβα⊥⊥，则m α⊥ 10．若不等式22240x ax b --+≤恰有一个解，则ab 的最大值为A ．1B ．2C ．4D ．811．已知点F ，A 分别为双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左焦点、右顶点，点(0,)B b 满足FB AB ⊥，则双曲线的离心率为 A1C112．已知函数()41f x x x =-. 给出如下结论：①()f x 是R 上的单调递增函数；②对于任意x ∈R ，()()2f x f x +-=-恒成立；③函数()21y f x x =-+恰有三个零点1x ，2x ，3x ，且1230x x x ++=． 其中正确结论的个数为 A ．0 B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题卡的相应位置． 13．某几何体的三视图如右图所示，其中正视图，侧视图均为矩形，俯视图为等腰直角三角形，则该几何体的 侧面积为．14．某校在科技节活动中开展科普知识竞赛，每个代表队由7个人组成，竞赛采用百分制，成绩均为整数．已 知某代表队各选手成绩组成的数据中，众数为85，中 位数为86，最小数为82，最大数为89，则该代表队 的平均分为．15．已知圆C 的圆心与点(1,2)M 关于直线y x =对称，并且圆C 与直线10x y -+=相切，则圆C 的方程为______．16．对于函数()f x ，若存在区间[,]M a b =，使得{(),}y y f x x M M =∈=，则称区间M 为俯视图函数()f x 的一个“稳定区间”．给出下列3个函数： ①3()f x x =； ②()e x f x =；③()cos2f x x π=．其中存在“稳定区间”的函数有 ＿＿＿＿（填上所有正确的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为2n n S c =+． （Ⅰ）求c 的值并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若21n n b S n =++，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．（本小题满分12分）已知函数2())2cos 14f x x x π=-+-． （Ⅰ）求()f x 的最大值及其取得最大值时x 的集合； （Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C的对边，已知5,()312a Ab f ππ==， 求ABC ∆的面积．19．（本小题满分12分）如图，矩形ABCD 所在的平面与平面AEB 垂直，且AE AB ⊥，4AE AB ==，2AD =，F G H ,,分别为BE AE BC ,,的中点．(Ⅰ) 求三棱锥A FGH -的体积；（Ⅱ）求证：直线DE 与平面FGH 平行．A BC D EFG H20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的右焦点为F，离心率为12，直线l：220x y a+-=与,x y轴分别交于点,,A B O为坐标原点．（Ⅰ）若椭圆E，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线l截椭圆E所得弦的中点为M，证明：AFM∆与AOB∆的面积比为定值．21．（本小题满分12分）某市中学生田径运动会总分获得冠、亚、季军的代表队人数情况如右表．大会组委会为使颁奖仪式有序进行，气氛活跃，在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取16人在前排就坐，其中亚军队有5人． （Ⅰ）求季军队的男运动员人数；（Ⅱ）从前排就坐的亚军队5人（3男2女）中随机抽取2人上台领奖，请列出所有的基本事件，并求亚军队中有女生上台领奖的概率；（Ⅲ）抽奖活动中，运动员通过操作按键，使电脑自动产生[0,4]内的两个随机数x ，y ， 随后电脑自动运行如下所示的程序框图相应程序. 若电脑显示“中奖”，则该运动员获 相应奖品，若电脑显示“谢谢”，则不中奖．求该运动员获得奖品的概率． 22．（本小题满分14分）已知函数32()f x x bx cx d =+++(0)b ≠在0x =处取到极值2．（Ⅰ）求,c d 的值；（Ⅱ）试研究曲线()y f x =的所有切线与直线10x by -+=垂直的条数；（Ⅲ）若对任意[1,2]x ∈，均存在(0,1]t ∈，使得ln 1()et t f x --≤，试求b 的取值范围．2011年宁德市高三质量检查数学（文科）试卷参考答案及评分规范说明:一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试卷的主要考查内容比照评分规范制定相应的评分细则.二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分. 1.B 2.D 3.A 4.C 5.B 6.B 7.D 8.C 9.C 10.B 11.A 12. D 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分.13.4+ 14.86 15.22(2)(1)2x y -+-= 16.①③三、解答题：本大题共6小题，满分74分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识；考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分12分. 解法一：（Ⅰ）当1n =时，112a S c ==+， …………………１分 当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=， …………………3分∴12,12,2n n c n a n -+=⎧=⎨≥⎩…………………4分∵数列{}n a 为等比数列， ∴121a c =+=∴1c =-． …………………5分 ∴数列{}n a 的通项公式12n n a -=. …………………6分 （Ⅱ）∵2122n n n b S n n =++=+， …………………7分 ∴2(222)2(12)n n T n =+++++++…………………9分2(21)(1)n n n =-++1222n n n +=-++． ……………12分解法二：（Ⅰ）112213322,2,4a S c a S S a S S ==+=-==-=，……………3分 ∵数列{}n a 为等比数列， ∴2213a a a =即44(2)c =+，解得1c =-．又 121,2a a == ,所以公比为2， …………………5分 ∴数列{}n a 的通项公式12n n a -=. …………………6分（Ⅱ）同解法一.18.本题主要考查两角和与差的正、余弦公式、三角函数的图象和性质、正余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．满分12分.解法一：（Ⅰ）()22)cos 2f x x x x +， sin2cos2cos2x x x =-+sin2x =， …………………4分∴max ()1f x =，{,}4x x x k k π∈=π+∈Z . …………………6分 （Ⅱ）551()sin 1262b f ππ===， …………………7分 由正弦定理sin sin a bA B=，得sin 1B =，2B π=， ∴14c =. …………………10分∴12ABC S ac ∆==. …………………12分解法二：（Ⅰ）同解法一；（Ⅱ）551()sin 1262b f ππ===， …………………7分 由余弦定理2222cos a bc bc A =+-，得23111642c c =+-， ∴14c =. …………………10分∴1sin 2ABC S bc A ∆== …………………12分19.本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．满分12分. 解（Ⅰ）由已知1HB =，…………………1分122AGF S AG GF ∆=⋅=， …………………3分 V=1233A FGH H FGA AGF V V BH S --∆==⋅=.………6分（Ⅱ）证明：取AD 的中点M ，连结MH ，MG ．∵,G H 分别是,AE BC 的中点， ∴//,//MH AB GF AB ，∴//MH GF∴MG ⊂平面FGH ，………………………9分 又//MG DE ，且DE ⊄平面FGH ，MG ⊂平面FGH ， ∴//DE 平面FGH ．……………………12分20.本题主要考查椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想、化归与转化思想.满分12分.解：（I）根据题意得：1,2c a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩………………1分又222a b c =+，解得2a =. ………………3分 ∴直线l 的方程为240x y +-=. ………………4分 （Ⅱ）由12c a =得2,a c b =， ∴椭圆E 的方程为：2222143x y c c +=， 直线l 的方程为：240x y c +-=. ………………5分 联立2222143240x y c c x y c ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得221964520x cx c -+=， ………………7分解得12262,19x c x c ==， ………………9分 ∴3219M x c =，1219M y c =. ………………10分 ∴1123219138242AFM AOBc c S S c c ∆∆⋅==⋅⋅， ∴AFM ∆与AOB ∆的面积比为定值338． ……………………12分 21.本题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，考查或然与必然思想、化归与转化思想．满分12分. 解：（Ⅰ）设季军队的男运动员人数为n .M ABC D EFGH由题意得516503030302030n =+++++， ………………2分 解得20n =. …………………3分 （Ⅱ）记3个男运动员分别为123,,A A A ，2个女运动员分别为12,B B ， 所有基本事件如下：12(,)A A ，13(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，23(,)A A ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B 共10种， ……………5分 设“亚军队中有女生上台领奖”为事件M ， 其中事件M 的基本事件有7种，∴7()10P M =. ……………7分 （Ⅲ）由已知04,04x y ≤≤≤≤，点(,)x y 在如图所示的正方形OABC 内，由条件480,04,04x y x y --≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩得到的区域为图中的阴影部分.由480x y --=，令0y =得2x =，令4y =得3x =.∴在,[0,4]x y ∈时满足480x y --≤的区域的面积11(23)4102S =⨯+⨯=…10分设“该运动员获得奖品”为事件N ， ∴该运动员获得奖品的概率105()168P N ==. ………………12分 22.本题主要考查函数与导数的基本性质，考查运算求解能力，考查数形结合思想、分类与整合思想和化归与转化思想.满分14分.解法一：（Ⅰ）2()32f x x bx c '=++， ……………1分 根据题意得(0)2,(0)0,f f =⎧⎨'=⎩解得0,2c d ==． ……………2分经检验32()2f x x bx =++(0)b ≠在0x =处取到极值2．∴0,2c d ==. ……………3分（Ⅱ）2()32f x x bx b '=+=-即2320x bx b ++=，2412b b ∆=-，… 5分当0∆>，即3b >或0b <时，满足条件的切线有2条， 当0∆=，即3b =时，满足条件的切线有1条，当0∆<，即03b <<时，满足条件的切线不存在．……………8分（Ⅲ）根据题意可知min min ()()g t f x ≤， ……………9分 令11()0et g t e t t -'=-==，得1t e=，当10t e <<时，()0g t '<；当1t e>时，()0g t '>，所以函数()ln 1g t et t =--的递减区间为1(0,)e ，递增区间为1(,)e+∞，11 / 11 故函数()ln 1g t et t =--在1t e =处取得最小值1()1111g e=+-=．………11分 由（Ⅰ）得32()2f x x bx =++，2()320f x x bx '=+=，解得0x =或23x b =-． 当213b -≤且0b ≠，即32b ≥-时，函数32()2f x x bx =++在[1,2]单调递增，所以min ()(1)31f x f b ==+≥,得2b ≥-；所以32b ≥-且0b ≠， 当2123b <-<即332b -<<-时，函数32()2f x x bx =++在2(1,)3b -单调递减，在2(,2)3b -单调递增，所以3min 24()()21327f x f b b =-=+≥，得b ≥，所以32b ≤<- 当223b -≥即3b ≤-时，函数32()2f x x bx =++在[1,2]单调递减，所以min ()(2)1041f x f b ==+≥，得94b ≥-，故此时不满足题意．综上，b ≥0b ≠． ……………14分 解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一；（Ⅲ）根据题意可知min min ()()g t f x ≤， ……………9分 令11()0et g t e t t -'=-==，得1t e=， 当10t e <<时，()0g t '<；当1t e>时，()0g t '>， 所以函数()ln 1g t et t =--的递减区间为1(0,)e ，递增区间为1(,)e+∞， 故函数()ln 1g t et t =--在1t e =处取得最小值1()1111g e=+-=．………11分 32()21f x x bx =++≥在[1,2]恒成立， 即21b x x ≥--在[1,2]恒成立. 设21()x x x ϕ=--，[1,2]x ∈， 由332()0x x x ϕ-'=>得1x ≤<332()0x x xϕ-'=<2x <≤. ∴函数()x ϕ在单调递增，在2]单调递减，∴函数max ()x ϕϕ==，∴b ≥0b ≠． ……………14分。