课标版数学考前综合试题一A

课标版数学考前综合试题一A————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：一、选择题(本大题共１2小题,每小题5分,满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.）１.（2012·郑州质检)集合A ={0,1,2},Ｂ＝｛21<<-x x ｝，则=B A （ ） A.{0} B ．｛１｝ C ．{０，1} D.{0，1,２} 2．（201２·郑州质检）函数()xx x f 2log 12-=的定义域为（ ）A.()+∞,0B.()+∞,1C.()1,0D.()()+∞,11,03．(2012·山东卷）已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}{}1,2,3,2,4A B ==，则()B A C U ⋃为( ） A.{}1,2,4 B.{}2,3,4 C ．{}0,2,4 D.{}0,2,3,4 4.[2０１2·湖南卷］命题“若α=4π,则ta ｎα=1”的逆否命题是( ） A ．若α≠4π，则ta ｎα≠1 B ． 若α=4π，则ta ｎα≠1Ｃ. 若t ａn α≠1,则α≠4π D. 若t ａｎα≠1，则α＝4π5. （2012·太原模拟）已知集合{}2|30M x y x ==-≥，{}|12N x x =+≤，全集I =R ,则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}|31x x -≤≤B ．{}|31x x -≤≤C.{}|33x x -≤<-D.{}|13x x ≤≤6．(20１2·哈尔滨第六中学三模)命题“2,240x x x ∀∈-+≤R ”的否定为（ ） A.2,240x x x ∀∈-+≥R B.2,240x x x ∃∈-+>R C.2,240x x x ∀∉-+≤R D. 2,240x x x ∃∉-+>R7. ［2012· 山东卷]设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题q :函数cos y x =的图象关于直线2x =π对称，则下列判断正确的是( )A. ｐ为真B. q ⌝为假C.p q ∧为假D.p q ∨为真８.(2012·昆明第一中学一摸)函数()()221x a x af x x+--=是奇函数，且在()0,+∞上单调递增,则a 等于（ )ﻩ A ．０ﻩB.-1C.１D ．1±９.(2012·大连沈阳联考）设,a b 是平面α内两条不同的直线，l 是平面α外的一条直线,则“l a ⊥,l b ⊥”是“l α⊥”的( ）A.充要条件B.充分而不必要的条件Ｃ.必要而不充分的条件 D ．既不充分也不必要的条件 10.(２012·昆明第一中学一摸)函数()()lg 72f x x g x x ==-与图象交点的横坐标所在区间是（ ） A ．（１,2) B ．（２，３） C.（3，4)ﻩD.（1,5） １1.（理)(2012·郑州质检)如图2所示,在一个边长为1的正方形A ＯBC内,曲线2x y =和曲线x y =围成一个叶形图(阴影部分），向正方形AOB Ｃ内随机投1000颗豆子（每颗豆子落在正方形AO ＢＣ内任何一点是等可能的),其中不在叶形图的有６00颗,则叶形图面积是( ) Ａ．31 B ． 43 C. 53 D ． 52（文)(２012·哈尔滨第六中学三模)函数)(x f y =在点),(00y x 处的切线方程为12+=x y ，则xx x f x f x ∆∆--→∆)2()(lim000等于( ）A ．4- Ｂ.2- C.2 Ｄ．412.(理)(201２·昆明第一中学一摸）已知函数()y f x =的周期为2,当[0,2]x ∈时,2()(1)f x x =-，如果()()g x f x =-5log 1x -,则函数()y g x =的所有零点之和为( ）ﻩA.2 B ．4 C.6Ｄ．8(文)（20１2·昆明第一中学一摸）已知[1,1]x ∈-,则方程2cos 2πxx -=所有实数根的个数为（ ）ﻩA ．2Ｂ.3ﻩC ．４ﻩD.5第Ⅱ卷二、填空题:本大题共４小题,每小题5分,共20分.将答案填在答题卷相应位置上. １３． (2012·唐山二模）1４.(2012·郑州质检）定义在R 上的函数()x f 是增函数,则满足()()23f x f x <-的ｘ取值范围是 .15.［２0１2·上海卷]若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A . 16．(２０12·保定二模）设集合{}{0<1},|12,A x x B x x =≤=≤≤函数()()[]002()(),4-2x x A f x x A f f x A x x B ⎧∈⎪=∈∈⎨∈⎪⎩，且，则x 0取值区间是 ．三、解答题(本大题共6小题，满分７0分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）１7.(本小题满分１0分）已知函数1)6sin(cos 4)(-+=πx x x f 。

ﻩ(Ⅰ）求)(x f 的最小正周期:（Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,6ππ上的最大值和最小值。

１８.(本小题满分１2分）如图,在四棱锥ABCD P -中,⊥PA 平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，060,2=∠=BAD AB . （Ⅰ)求证:⊥BD 平面PAC(Ⅱ)若AB PA =求PB 与AC 所成角的余弦值; (Ⅲ)当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长.19.(本小题满分1２分)（理)某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地,每大块地分成n 小块地,在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲,另外n 小块地种植品种乙．（I)假设n =4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X 的分布列和数学期望；（II ）试验时每大块地分成8小块,即n ＝8,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量(单位:kg ／hm 2）如下表: 品种甲 4 388 400 412 406 品种乙 419 4 ４2３ 400 4１3分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果，你认为应该种植哪一品种?（文)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数Ｘ依次为1．2.3.4.5．现从一批该日用品中随机抽取２0件,对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：X 1 2 3 ４ 5 ｆa0.20.４5ｂＣ(Ｉ）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有4件,等级系数为5的恰有2件，求a 、ｂ、c 的值;(11）在（1）的条件下,将等级系数为４的3件日用品记为ｘ1,x 2,x 3，等级系数为5的２件日用品记为ｙ1,y 2，现从x 1,ｘ2,x ３，y １，ｙ２,这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同),写出所有可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率。

20.(本小题满分12分）时下,网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生们课外学习的一种趋势,假设某网校的套题每日的销售量y (单位：千套）与销售价格x (单位:元／套）满足的关系式()2462m y x x =+--,其中26x <<,m 为常数．已知销售价格为4元/套时,每日可售出套题2１千套． （1)求m 的值; (2）假设网校的员工工资,办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数),试确定销售价格x 的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数） 21.(本小题满分12分)(理）［2０12·北京卷] 已知函数f （x ）=ax 2＋1(a ＞0)，g （x ）＝x 3＋bx .（１)若曲线y =ｆ(x )与曲线y ＝g (ｘ)在它们的交点（１,c )处具有公共切线,求ａ,b 的值; (2）当a 2＝4ｂ时，求函数f (x )+g (x ）的单调区间，并求其在区间(-∞，－１］上的最大值. （文)［２012·北京卷]已知函数f (ｘ）=ax 2＋1(ａ＞０)，g (x )=ｘ3＋bx .(1)若曲线y ＝f （x )与曲线ｙ=g (ｘ)在它们的交点（1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值; (2）当ａ=3,b ＝-9时,若函数f (x )＋g (x )在区间[k ，2]上的最大值为28，求ｋ的取值范围. 22. （本小题满分12分)如图7,椭圆()01:22221>>=+b a by a x C 的离心率为23，ｘ轴被曲线b x y C -=22:截得的线段长等于1C 的长半轴长。

（Ⅰ）求2C ，1C 的方程；（Ⅱ）设2C 与y 轴的焦点为M ,过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点Ａ,Ｂ,直线ＭA ,MB 分别与1C 相交与D ,E .(i ）证明:M Ｄ⊥ME ;(ii)记△M ＡB ,△MD Ｅ的面积分别是1S ，2S ．问：是否存在直线l ,使得321721=S S ？请说明理由。

２013课标版数学考前综合试题一A 参考答案1. C 【解析】{}0,1AB =．故函数２. D 【解析】由2log 0x ≠,得1x ≠，又0x >,()221log x f x x-=的定义域为()()+∞,11,0 . 3.Ｃ【解析】{0,4}UA =,所以{0,24}U A B =（），,选C.4. Ｃ【解析】因为“若p ,则q ”的逆否命题为“若q ⌝,则p ⌝”,所以 “若α=4π,则ｔa ｎα=1”的逆否命题是“若ｔan α≠1,则α≠4π”. 5. C 【解析】由题意,集合{}{}2|30|33M x x x x =-≥=-≤≤,{}|31N x x =-≤≤,所以阴影部分为(){}{}{}|33|31|33IM N x x x x x x x =<->-≤≤=-≤<-或.6. Ｂ【解析】全称性命题的否定一要否量词,二要否结论,所以原命题的否定为:2,240x x x ∃∈-+>R ． ７. C 【解析】函数x y 2sin =的最小正周期为22π=π，所以命题p 为假；函数x y cos =的对称轴为π,x k k =∈Z ,所以命题q 为假,所以q p ∧为假.8. C 【解析】方法一:由函数()f x 是奇函数,得()()()()()221x a x af x f x x-+----==-=-()221x a x ax+---对一切实数R 恒成立,即()()222211x a x ax a x axx---+--=--对一切实数R 恒成立,所以()()2211a x a x --=-对一切实数R 恒成立,故210a -=,解得1a =±．当1a =-时,()211x f x x x x +==+不满足在()0,+∞上单调递增;当1a =时,()211x f x x x x-==-满足在()0,+∞上单调递增.综上，1a =. 方法二:()()21af x x a x=-+-,若函数()f x 是奇函数,则210a -=,解得1a =±.当1a =-时,()211x f x x x x +==+不满足在()0,+∞上单调递增;当1a =时,()211x f x x x x-==-满足在()0,+∞上单调递增.综上,1a =.9． C 【解析】由线面垂直的定义可知l α⊥,l a l b ⇒⊥⊥，反之只有当ａ与b 是两条相交直线时才成立,故“l a ⊥,l b ⊥”是“l α⊥” 必要而不充分的条件．1０． C 【解析】设()()()lg 27h x f x g x x x =-=+-,因为()()3lg310,4lg410h h =-<=+>，所以()()340h h <.又函数()()()lg 27h x f x g x x x =-=+-的图象是连续不断的,所以由零点存在定理得，()h x 的零点在区间()3,4内，即函数()()lg 72f x x g x x ==-与图象交点的横坐标所在区间是()3,4.11． (理） D 【解析】由几何概型得,所投的点落在叶形图内部的概率是()332120121d 3311113x x x x x P ⎛⎫- ⎪-⎝⎭===⨯⎰. （文)D 【解析】由导数的定义得0000000()(2)()(2)1()lim lim 22x x f x f x x f x f x x f x x x∆→∆→--∆--∆'==⨯∆∆2,=所以000()(2)lim4x f x f x x x∆→--∆=∆．１2.（理)D 【解析】函数()y g x =的零点即为函数()f x 与函数()5log 1h x x =-的交点的横坐标．作出函数()f x 与函数()5log 1h x x =-的图象(如下图），函数()f x 与函数()5log 1h x x =-的图象都关于直线1x =对称，且在对称轴的左右两端各有４个交点，故函数()y g x =的所有零点之和为428⨯=.(文)D 【解析】设()2xf x -=，()cos2g x x π=.易知函数()2xf x -=的图象关于y 轴对称,函数()cos2πg x x =的最小正周期为1，作出函数()2xf x -=与函数()cos2πg x x =的图象（如下图所示).数形结合易知函数()2xf x -=与函数()cos2πg x x =的图象有5个交点,故方程2cos 2πxx -=所有实数根的个数为５.1３. ()lg2,+∞【解析】由1020x->,得lg 2x >．1４. ()3,+∞【解析】由函数()x f 是增函数,得23x x <-，解得3x >.15． 1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】因为集合1{210}|2A x x x x ⎧⎫=+>=>-⎨⎬⎩⎭，}31{}21{<<-=<-=x x x x B ,所以AB =1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,即1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭. 16. 23log ,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】因为001x ≤<,所以0122x ≤<．所以()0f x B ∈．所以()00422x f f x =-⋅⎡⎤⎣⎦.由题知004221x≤-⋅<,可得03222x <≤,解得203log 12x <≤．又001x ≤<，所以203log 12x <<．1７．解:（Ⅰ）因为1)6sin(cos 4)(-+=πx x x f1)cos 21sin 23(cos 4-+=x x x1cos 22sin 32-+=x xx x 2cos 2sin 3+=)62sin(2π+=x ﻩﻩ所以)(x f 的最小正周期为π ﻩ（Ⅱ)因为3262646πππππ≤+≤-≤≤-x x ，所以 ﻩ于是，当6262πππ=≤+x x 即时，)(x f 取得最大值2；ﻩ当6662πππ-=-=+即x ,)(x f 取得最小值—1. 1８.解：证明：（Ⅰ)因为四边形ＡB ＣD 是菱形，所以AC ⊥BD.又因为PA ⊥平面ABC Ｄ. 所以PA ⊥BD.所以BD ⊥平面P ＡC. (Ⅱ）设A Ｃ∩BD=O. 因为∠ＢA Ｄ＝6０°，PA ＝PB ＝2, 所以BO=１,AO=CO=3.如图,以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O —xyz,则 Ｐ(０,—3,2），A （0，—3，0）,B(1,０,0），C(0，3,0）.所以).0,32,0(),2,3,1(=-=AC PB 设P Ｂ与A Ｃ所成角为θ，则4632226||||cos =⨯=⋅⋅AC PB AC PB θ.(Ⅲ)由（Ⅱ）知).0,3,1(-=BC 设P(0，－3,t ）（ｔ＞0）， 则),3,1(t BP --=设平面ＰB Ｃ的法向量),,(z y x m =, 则0,0=⋅=⋅m BP m BC所以⎪⎩⎪⎨⎧-+--=+-03,03tz y x y x 令,3=y 则.6,3t z x == 所以)6,3,3(t m = 同理,平面PDC 的法向量)6,3,3(t n -= 因为平面PCB ⊥平面PDC,所以n m ⋅=0，即03662=+-t解得6=t所以P Ａ=61９． 解：(Ｉ)Ｘ可能的取值为0，１,2,３，４，且4813 44 482244483144484811(0),708(1),3518(2),358(3),3511(4).70P XCC CP XCC CP XCC CP XCP XC===============即Ｘ的分布列为………………4分Ｘ的数学期望为181881()01234 2.7035353570E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=………………6分(IＩ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：222222221(403397390404388400412406)400,81(3(3)(10)4(12)0126)57.25.8xS=+++++++==+-+-++-+++=甲甲………………８分品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:2222222221(419403412418408423400413)412,81(7(9)06(4)11(12)1)56.8xS=+++++++==+-+++-++-+=乙乙 0由以上结果可以看出,品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大,故应该选择种植品种乙.解：（I)由频率分布表得0.20.451,a b c++++=即a+b+c=0.35,因为抽取的２0件日用品中,等级系数为4的恰有3件,所以30.15,20b==等级系数为5的恰有２件，所以20.120c==,从而0.350.1a b c=--=所以0.1,0.15,0.1.a b c===（II)从日用品1212,,,x x y y中任取两件，所有可能的结果为：12131112232122313212{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}x x x x x y x y x x x y x y x y x y y y ，设事件Ａ表示“从日用品12312,,,,x x x y y 中任取两件，其等级系数相等”,则A 包含的基本事件为:12132312{,},{,},{,},{,}x x x x x x y y 共４个,又基本事件的总数为10,故所求的概率4()0.4.10P A == 20． 解：(1）因为4x =时,21y =， 代入关系式()2462m y x x =+--,得16212m +=, 解得10m =．(2）由（1)可知，套题每日的销售量()210462y x x =+--, 所以每日销售套题所获得的利润()()()()()223210()24610462456240278262f x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+-=+--=-+-<<⎢⎥-⎣⎦,从而()()()()2'121122404310626f x x x x x x =-+=--<<.令()'0f x =,得103x =,且在102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上,0)('>x f ，函数)(x f 单调递增;在10,63⎛⎫ ⎪⎝⎭上,0)('<x f ，函数)(x f 单调递减，所以103x =是函数)(x f 在()2,6内的极大值点,也是最大值点, 所以当103.33x =≈时，函数)(x f 取得最大值. 故当销售价格为３.3元／套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.21．（理) 解:(1）ｆ′(x ）=2ax ，g ′(ｘ)＝3x ２＋b .因为曲线y ＝f (x ）与曲线ｙ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线， 所以f (１）=g (1），且f ′(1)＝g ′(1）,即a ＋１＝1＋ｂ,且２a =3＋b ， 解得a =３，ｂ=３.(2）记ｈ(x ）=f （x )+g （ｘ）．当b =错误!a 2时,h (x ）＝x３＋ax ２+错误!a 2ｘ＋1,h ′（x )＝３x 2+2ax＋14a 2. 令h ′(x ）＝0，得ｘ１=-ａ2,x ２=－＼f(ａ,6)．a＞０时，ｈ(ｘ)与h′(x)的情况如下:ｘ错误!-a2错误!-错误!错误!h′(x)+0－0＋h(x)↗极大值↘极小值↗所以函数h(x)的单调递增区间为错误!和错误!;单调递减区间为错误!.当－＼f(ａ,2)≥-1，即0<a≤２时,函数h(ｘ)在区间(－∞,-1]上单调递增,h(ｘ）在区间（-∞,－1］上的最大值为h（-1)＝a－错误!a2．当－＼f(a,2）<-1，且-错误!≥-1，即2<a≤６时,函数h(x)在区间错误!内单调递增,在区间错误!上单调递减，h(ｘ)在区间(-∞，-1]上的最大值为h错误!＝1．当－错误!<－1，即ａ＞６时,函数h(x)在区间错误!内单调递增,在区间错误!内单调递减，在区间错误!上单调递增,又因h错误!-h(－１)=１-a＋错误!a2=错误!（a－２)2＞０,所以h(x）在区间(-∞，-1］上的最大值为ｈ错误!=1.（文）解:(1)f′(ｘ)＝2ax,ｇ′(x)=3ｘ2+b．因为曲线y=f(x)与曲线y＝g(ｘ)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，所以f(１)=ｇ（１),且f′(1）=g′（１),即ａ＋１＝1＋ｂ，且2a=3＋b,解得ａ＝3，ｂ＝3.(２）记h(x)=f(x）＋ｇ(x）．当a＝３，ｂ=－9时,ｈ(x)=x3+3x2－9ｘ+１，ｈ′(ｘ)＝3x2+6x-9.令h′(x)＝０,得x1＝－3,x2＝1.h（x)与h′(x)在(-∞,2］上的情况如下：x (-∞，-３)－３(-3,1)1(1,2） 2ｈ′(ｘ)＋0－0+h(x)２8-4 3 由此可知：当k≤－３时，函数ｈ（ｘ）在区间[k,２］上的最大值为ｈ(－３)＝28；当-３<k＜2时,函数h(x)在区间[k,2]上的最大值小于２8.因此，k的取值范围是（－∞,-３]．22.解：（Ⅰ）由题意知.1,2,2,2,23======baabbaace解得又从而故C1，C2的方程分别为.1,14222-==+xyyx(Ⅱ)（i)由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为kx y=.由⎪⎩⎪⎨⎧-==12x y kx y 得12=--kx x ．设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是上述方程的两个实根,于是.1,2121-==+x x k x x又点M 的坐标为（0,—1），所以2121212212122111)()1)(1(11x x x x k x x k x x kx kx x y x y k k MBMA +++=++=+⋅+=⋅.11122-=-++-=k k故ＭＡ⊥ＭB,即MD ⊥ME ．（ii)设直线M Ａ的斜率为k1，则直线MA 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=1,1,1211x y x k y x k y 由解得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==1,1021k y k x y x 或则点A 的坐标为)1,(211-k k . 又直线ＭB 的斜率为11k -,同理可得点B 的坐标为).11,1(211--k k于是221111111111111||||1||1||222||k S MA MB k k k k k +=⋅=+⋅⋅+⋅-=由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=044,1221y x x k y 得.08)41(1221=-+x k x k解得12121218,140,14114k x k x y k y k ⎧=⎪+=⎧⎪⎨⎨=--⎩⎪=⎪+⎩或则点D 的坐标为2112211841(,).1414k k k k -++又直线ＭE 的斜率为k 1-，同理可得点E 的坐标为).44,48(2121211k k k k +-+-于是)4)(1(||)1(32||||2121211212++⋅+=⋅=k k k k ME MD S . 因此21122114(417).64S k S k =++由题意知,2221112114171(417),4,.64324k k k k ++===解得或又由点A 、Ｂ的坐标可知，21211111113,.12k k k k k k k k -==-=±+所以故满足条件的直线l 存在,且有两条，其方程分别为.2323x y x y -==和。