江苏省盐城市2011届高三摸底考试(数学)

高三数学试题第1页（共4页）盐城市2010/2011学年度高三年级摸底考试数 学 试 题(总分160分,考试时间120分钟)参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是底面面积，h 是高. 一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上. 1．已知集合{}1,2,3,4A =--，{}2|,5B x x R x =∈<，则A B = ▲ .2．已知复数34z i =-，则||z = ▲ .3．双曲线1222=-y x 的离心率是 ▲ . 4．在大小相同的4个球中，红球2个，白球2个. 若从中任意 选取2个球，则所选的2个球恰好不同色的概率是 ▲ . 5．在样本容量为120的频率分布直方图中，共有11个小长方形， 若正中间一个小长方形的面积等于其它10个小长方形面积的和的13，则正中间一组的频数为 ▲ . 6．执行如图算法框图,若输入20a =,12b =,则输出的值为 ▲ .7．在ABC ∆中，已知10,||4,||5AB AC AB AC ⋅=-==， 则BAC ∠= ▲ .8．在等比数列{}n a 中，已知1232a a a ++=，3458a a a ++=，则456a a a ++= ▲ .9．函数()sin ,[0,]f x x x x π=-∈的单调减区间为 ▲ . 10．已知命题①：函数22xxy -=-为奇函数；命题②：函数1y x x=-在其定义域上是增函数；命题③：“,a b R ∈, 若0ab =, 则0a =或0b =”的逆命题；命题④：已知,a b R ∈，“a b >”是“22a b >”成立的充分不必要条件. 上述命题中，真命题的序号有 ▲ .（请把你认为正确命题的序号都填上）11．已知一个三棱锥的所有棱长均相等，且表面积为34，则其体积为 ▲ .12．过点A作圆222120x y x ++--=的弦，其中长度为整数的弦共有 ▲ 条.13．在等差数列}n a 中，若0n a >，公差0d >，则有4637a a a a ⋅>⋅. 类比此性质，在等比数列{}n b 中，若0n b >，公比1q >，可得6749,,,b b b b 之间的一个不等关系为 ▲ .14．已知()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的奇函数，当0x >时，()ln f x x ax =-. 若函数()f x 在其定义域上有且仅有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ▲.第6题高三数学试题第2页（共4页）二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分)在ABC △中，已知角,A B 所对的边分别为,a b ，且25a =，39b =，12cos 13A =-． （Ⅰ）求sinB 的值； （Ⅱ）求cos 24B π⎛⎫-⎪⎝⎭的值．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且P A P D ⊥，E 、F 分别为PC 、BD 的中点.（Ⅰ）求证：直线EF ∥平面PAD ；（Ⅱ）求证：直线EF ⊥平面PDC .PA B CD FE 第16题高三数学试题第3页（共4页）经市场调查，某商场的一种商品在过去的一个月内（以30天计）销售价格()f t （元）与时间t （天）的函数关系近似满足()100(1)k f t t=+（k 为正常数），日销售量()g t （件）与时间t （天）的函数关系近似满足()125|25|g t t =--，且第25天的销售金额为13000元. （Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）试写出该商品的日销售金额()w t 关于时间(130,)t t t N ≤≤∈的函数关系式； （Ⅲ）该商品的日销售金额()w t 的最小值是多少？18．(本小题满分16分)如图，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为8且位于x 轴上方的点. A 到抛物线准线的距离等于10，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M （O 为坐标原点）.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过M 作FA MN ⊥，垂足为N ，求点N 的坐标； （Ⅲ）以M 为圆心，4为半径作圆M ，点)0,(m P 是x 轴上的一个动点，试讨论直线AP 与圆M 的位置关系.O AB MNF xy 第18题高三数学试题第4页（共4页）B公差0≠d 的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知221+=a ，23123+=S .（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式n a 及其前n 项和n S ；（Ⅱ）记2-=n n a b ，若自然数,...,...,,21k ηηη满足......121<<<<≤k ηηη，并且,...,...,,21kb b b ηηη成等比数列，其中3,121==ηη，求k η（用k 表示）；（Ⅲ）记nS c n n =，试问：在数列}{n c 中是否存在三项t s r c c c ,,),,,(*N t s r t s r ∈<<恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由.20．(本小题满分16分)对于函数(),(0,)y f x x =∈+∞，如果,,a b c 是一个三角形的三边长，那么(),(),()f a f b f c 也是一个三角形的三边长，则称函数()f x 为“保三角形函数”．对于函数(),[0,)y g x x =∈+∞，如果,,a b c 是任意的非负实数，都有(),(),()g a g b g c 是一个三角形的三边长，则称函数()gx 为“恒三角形函数”． （Ⅰ）判断三个函数“2123(),()()3f x x f x f x x ===（定义域均为(0,)x ∈+∞）”中，哪些是“保三角形函数”？请说明理由；（Ⅱ）若函数[)221(),0,1x kx g x x x x ++=∈+∞-+是“恒三角形函数”，试求实数k 的取值范围；（Ⅲ）如果函数()h x 是定义在(0,)+∞上的周期函数，且值域也为(0,)+∞，试证明：()h x 既不是“恒三角形函数”，也不是“保三角形函数”.盐城市2010/2011学年度高三年级摸底考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题] 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.A.（选修4—1：几何证明选讲）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、F 为⊙O 上的点，且CA 平分BAF ∠，过点C 作CD AF ⊥ 交AF 的延长线于点D .求证：DC 是⊙O 的切线.·高三数学试题第5页（共4页）．B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=20021M ,矩阵M 对应的变换把曲线x y sin =变为曲线C ，求曲线C 的方程．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知两个圆的极坐标方程分别是θρcos 6=和θρsin 8=，求这两个圆的圆心距.D.（选修4—5：不等式选讲） 设x 是正数，求证：()()()2331118x x x x+++≥.[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22．（本小题满分10分）已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，090DAB ∠=，PA ⊥底面ABCD ，且1,2PA AD DC AB ====，M 是PB 的中点.（Ⅰ）求AC 与PB 所成角的余弦值；（Ⅱ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的余弦值的大小.MPABCD第22题高三数学试题第6页（共4页）23．（本小题满分10分）一位游客欲参观上海世博会中甲、乙、丙这3个展览馆，又该游客参观甲、乙、丙这3个展览馆的概率分别是0.4，0.5，0.6，且是否参观哪个展览馆互不影响. 设ξ表示该游客离开上海世博会时参观的展览馆数与没有参观的展览馆数之差的绝对值. （Ⅰ）求ξ的概率分布及数学期望；（Ⅱ）记“函数2()31f x x x ξ=-+在区间[)2,+∞上单调递增”为事件A ，求事件A 的概率.盐城市2010/2011学年度高三年级摸底数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. {}1,2-2.53.2 4.23 5.30 6.516 7.120° 8.16± 9. 5[,]6ππ （也可以写成5(,)6ππ） 10.①③11.3 12.8 13. 6749b b b b +<+ 14.1(0,)e二、解答题：本大题共6小题，计90分.15．解：（Ⅰ）在ABC △中，5sin 13A ===…………………………3分由正弦定理，得sin sin a b A B =．所以3953sin sin 25135b B A a ==⨯=…………………………7分（Ⅱ）因为cos 0A <,所以角A 为钝角,从而角B 为锐角,于是4cos 5B ==……9分所以27cos 22cos 125B B =-=,24sin 22sin cos 25B B B ==………………………………11分∴cos 2cos cos sin sin 444B B B πππ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭50=……………………………………… 14分16．证明：（Ⅰ）连结AC ,在CPA ∆中,因为E ,F 分别为PC ,AC 的中点,所以EF //PA …3分而PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ,∴直线EF ∥平面PAD ……………………………7分高三数学试题第7页（共4页）（Ⅱ）因为面PAD ⊥面ABCD ,面PAD 面ABCD AD =,CD ⊂面ABCD ,且CD AD ⊥, 所以CD ⊥平面PAD ,CD PA ∴⊥……………………………………………………………10分 又PA PD ⊥，CD PD D = ，且CD 、PD ⊂面PDC ,所以PA ⊥面PDC ……………12分而EF ∥PA ,所以直线EF ⊥平面PDC ……………………………………………………14分 17．解：（Ⅰ）由题意,得(25)(25)13000f g ⋅=,即100(1)1251300025k+⋅=,解得1k =……3分 （Ⅱ）1()()()100(1)(125|25|)w t f t g t t t=⋅=+--……………………………………………5分=100100(101)(125,)150(2530,)100(149)t t t N t t t N t t ⎧++⎪≤<∈⎪⎨≤≤∈⎪+-⎪⎩……………………………………………………7分（Ⅲ）①当125t ≤<时,因为10020t t+≥,所以当10t =时,()w t 有最小值12100………10分②当2530t ≤≤时,∵150t t-在[25,30]上递减,∴当30t =时,()w t 有最小值12400 …13分∵12100〈12400，∴当10t =时，该商品的日销售金额()w t 取得最小值为12100 …14分18．解：（Ⅰ）抛物线的准线为2p x -=,于是1028=+p ,4=∴p ,∴抛物线方程为x y 82=…4分（Ⅱ） 点A 的坐标为（8,8），由题意得)8,0(B ，)4,0(M ，又 )0,2(F ，34=∴FA k ……6分又FA MN ⊥,43-=∴MN k ,则直线FA 的方程为)2(34-=x y ,直线MN 的方程为443+-=x y ……8分 联立方程组，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==58516y x ，∴点N 的坐标为168(,)55……10分 （Ⅲ）由题意得，圆M 的圆心坐标为)4,0(，半径为4.当8=m 时，直线AP 的方程为8=x ，此时，直线AP 与圆M 相离 ………………………12分当8≠m 时，直线AP 的方程为)(88m x m y --=，即为08)8(8=---m y m x ，所以圆心)4,0(M 到直线AP 的距离2)8(64|432|-++=m m d ，令4>d ，解得2>m ；令4d =，解得2m =；令4d <，解得2m <…………………………………………………………………………… 14分 综上所述，当2>m 时，直线AP 与圆M 相离；当2=m 时，直线AP 与圆M 相切；当2<m 时，直线AP 与圆M 相交………………………………………………………………16分 （说明：“当8=m 时”这种情形没有列出的，扣2分）19．解：（Ⅰ） 221+=a ，23123313+=+=d a S ，2=∴d ………………………… 2分所以22+=n a n ，n n S n )12(2++=………………………………………………………5分高三数学试题第8页（共4页）（Ⅱ）由题意，n b n 2=，首项21=b ，又数列,...,...,,21kb b b ηηη的公比313==b b q ……………7分 132-⋅=∴k k b η，又k k b ηη2=，13-=∴k k η……………………………………………………10分（Ⅲ）易知12++=n c n ，假设存在三项t s r c c c ,,成等比数列，则t r s c c c ⋅=2，即)]12()][12([)]12([2++++=++t r s ,整理得s s t r rt t r s 22)2(2--++=--…12分①当02≠--t r s 时，t r s s s t r rt ----++=2222，*,,N t s r ∈ ，tr s s s t r rt ----++∴222是14分②当02=--t r s 时,则022=--++s s t r rt ,从而220s rt s r t ⎧=⎨--=⎩,解得r t =,这与t r <矛盾.综上所述，不存在满足题意的三项t s r c c c ,, ……………………………………………………16分 20．解：（Ⅰ）对于1()f x x =，它在(0,)+∞上是增函数，不妨设a b c ≤≤，则111()()()f a f b f c ≤≤，因为a b c +>，所以111()()()f a f b a b c f c +=+>=，故1()f x 是“保三角形函数”……2分对于2()f x =，它在(0,)+∞上是增函数，不妨设a b c ≤≤，则222()()()f a f b f c ≤≤，因为a b c +>，所以22()()f a f b +==>>2()f c =，故2()f x 是“保三角形函数”………………………………………………………4分对于23()3f x x =，取3,3,5a b c ===，显然,,a b c 是一个三角形的三边长，但因为222333()()3(33)35()f a f b f c +=⨯+<⨯=，所以(),(),()f a f b f c 不是三角形的三边长，故3()f x 不是“保三角形函数”……………………………………………………………………6分（Ⅱ）法一：∵2(1)()11k x g x x x +=+-+，∴当0x =时,()1g x =；当0x >时，1()111k g x x x+=++-.① 当1k =-时，因为()1g x =，适合题意…………………………………………………8分②当1k >-时，因为1()11211k g x k x x +=+≤+=++-，所以(]()1,2g x k ∈+，从而当1k >-时，()[1,2]g x k ∈+，由11+>0<，所以10k -<<………9分③ 当1k <-时，因为1()11211k g x k x x +=+≥=++-，所以[)()2,1g x k ∈+，从而当1k <-时，()[2,1]g x k ∈+，由20(2)(2)1k k k +>⎧⎨+++>⎩，得32k >-，所以312k -<<-， 综上所述，所求k 的取值范围是302k -<<…………………………………………………11分 法二:∵2222(2)(1)(1)(21)()(1)x k x x x kx x g x x x +-+-++-'=-+=22(1)(1)(1)(1)k x x x x ++---+,高三数学试题第9页（共4页）① 当1k =-时，因为()1g x =，适合题意; ②当1k >-时，可知()g x 在[)0,1上递增,在(1,)+∞上递减,而(0)1g =,(1)2g k =+,且当1x >时, ()1g x >,所以此时()[1,2]g x k ∈+; ③当1k <-时，可知()g x 在[)0,1上递减,在(1,)+∞上递增,而(0)1g =,(1)2g k =+,且当1x >时, ()1g x <,所以此时()[2,1]g x k ∈+.（以下同法一. 按此方法求解的，类似给分.）（Ⅲ）①因为()h x 的值域为(0,)+∞，∴存在正实数,,a b c ,使得()1,()1,()2h a h b h c ===，显然这样的(),(),()h a h b h c 不是一个三角形的三边长，故()h x 不是“恒三角形函数”……13分 ②因为()h x 是值域为(0,)+∞的周期函数，所以存在0n m >>，使得()1,()2h m h n ==， 设()h x 的最小正周期为(0)T T >，令,a b m kT c n ==+=，其中*k N ∈，且22n mk T->， 则a b c +>,又显然,b c a c a b +>+>，所以,,a b c 是一个三角形的三边长，但因为()()()1,()()2h a h b h m h c h n =====，所以(),(),()h a h b h c 不是一个三角形的三边长， 故()h x 也不是“保三角形函数”………………………………………………………………16分 （说明：也可以先证()h x 不是“保三角形函数”，然后据此知()h x 也不是“恒三角形函数”）数学附加题部分21．A.解：证明:连结OC ，所以∠OAC =∠OCA . 又因为CA 平分∠BAF ，所以∠OAC =∠FAC ，于是∠FAC =∠OCA ，所以OC //AD ……………………………………………………………6分 又因为CD ⊥AF ，所以CD ⊥OC ，故DC 是⊙O 的切线…………………………………… 10分B. 解：设),(y x P 是所求曲线C 上的任意一点，它是曲线x y sin =上点),(000y x P 在矩阵M变换下的对应点，则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0020021y x y x ，即⎪⎩⎪⎨⎧==00221y y x x ，因此⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x 21200………………5分 又点),(000y x P 在曲线x y sin =上，故00sin x y =，从而x y 2sin 21=，即2sin 2y x =,所以曲线C 的方程为x y 2sin 2=………………………………………………………………10分 C. 解：因为θρcos 6=表示以点（3，0）为圆心，3为半径的圆…………………………3分θρsin 8=表示以点)2,4(π为圆心，4为半径的圆……………………………………………6分所以这个两个圆的圆心距为5 …………………………………………………………………10分D. 证明：∵0x >，∴10x +≥>， 2120x x +≥>，3120x +≥>…………5分三个同向正值不等式相乘得()()2331118x xx x+++≥…………………………………10分22.解：以A 为坐标原点,AD 、AB 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则各点坐标为A （0,0,0），B （0,2,0），C （1,1,0），D （1,0,0），P （0,0,1），M （0,1,12）……2分 （Ⅰ）因AC =（1,1,0），PB =（0,2,－1），故|AC,|PBAC PB ⋅ =2,所以cos ,||||AC PB AC PB AC PB ⋅<>==⋅,即AC 与PB…6分高三数学试题第10页（共4页）（Ⅱ）由AM =（0,1, 12），MC =（1,0, 12-），BC =（1,－1,0）,设平面AMC 与面BMC 的法向量分别为1n =（x,y,z ），2n =（p,q,v ），则1n ·AM =1n ·MC=0,解得1n =（1，－1，2），同理2n =（1，1，2），12122cos 3||||n n n n θ⋅==⋅…………………………………………………8分 由题意可知,二面角的平面角为钝角，所以面AMC 与面BMC 二面角的余弦值为23-……10分 23.解:（I ）分别记“客人参观甲展览馆”，“客人参观乙展览馆”，“客人参观丙展览馆”为事件A 1，A 2，A 3. 由已知A 1，A 2，A 3相互独立，P （A 1）=0.4，P （A 2）=0.5，P （A 3）=0.6.客人参观的展览馆数的可能取值为0，1，2，3. 相应地，客人没有参观的展览馆数的可能取值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3. P （ξ=3）=P （A 1·A 2·A 3）+ P （321A A A ⋅⋅）= P （A 1）P （A 2）P （A 3）+P （)()()321A P A P A ） =2×0.4×0.5×0.6=0.24，P （ξ=1）=1－0.24=0.76，所以ξ的概率分布表为………5分 ∴ E ξ=1×0.76+3×0.24=1.48………6分（Ⅱ）因为,491)23()(22ξξ-+-=x x f 所以函数2()31f x x x ξ=-+在区间3[,)2ξ+∞上单调递增，要使),2[)(+∞在x f 上单调递增，当且仅当.34,223≤≤ξξ即从而4()()(1)0.763P A P P ξξ=≤===………………………………………………………10分。