江苏盐城2012—2013学年高一下学期期末数学

第1页2012/2013学年度第二学期期终调研考试高一 数学试题注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 4．第19、20题，请四星级高中学生选做（A ），三星级高中与普通高中学生选做（B ），否则不给分.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．已知集合{}1,2,3P =，{},4Q a =，若{}1P Q = ，则a = ▲ ． 2．函数13sin()23y x π=-的最小正周期为 ▲ .3．在等比数列{}n a 中，若251,8a a ==，则3a = ▲ ． 460y +-=的倾斜角的大小为 ▲ ．5．在ABC ∆中，若45,60AB B C ∠=︒∠=︒，则AC = ▲ ．6．已知直线1:240l x y +-=与 2:(2)10l mx m y +--=平行，则实数m = ▲ ． 7．已知正四棱锥的底面边长是6，则该正四棱锥的侧面积为 ▲ ．8．如图，在ABC ∆中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，则CA CB ⋅ = ▲ ．9．设2()log f x x =，则10(4)f = ▲ ．10．已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面．①若m β⊥，m α⊂，则αβ⊥； ②若αβ⊥， n αβ= ，m α⊂，则m n ⊥； ③若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n ； ④若//m α，m β⊂，n αβ= ，则//m n ． 上述命题中为真命题的是 ▲ （填写所有真命题的序号）． 11．若方程ln 3x x =-的解在区间(1,)()a a a Z -∈内，则a = ▲ ．AB C第8题第2页12．若函数()||f x x x a =+-的最小值为32a +，则实数a 的值为 ▲ ． 13．已知数列{}n a 为等差数列，若9810a a +<，则数列{}||n a 的最小项是第 ▲ 项． 14．在平面直角坐标系xOy中，若曲线x =y x b =+的距离为1，则b 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 在斜三棱柱111ABC A B C -中，已知侧面11ACC A ⊥底面ABC ，11AC C C =，,E F 分别是11AC 11A B 的中点．（1）求证：//EF 平面11BB C C ； （2）求证：平面ECF ⊥平面ABC .16．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，设m = ，(1cos ,sin )n A A =+.（1）当3A π=时，求||n 的值；（2）若1,a c ==m n ⋅取最大值时，求b .第15题ABCE FA 1B 1C 1第3页在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过(2,2)A -，(1,1)B 两点，且圆心在直线220x y --=上．（1）求圆C 的标准方程；（2）设直线l 与圆C 相交于,P Q 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为15，且P O Q ∆的面积为25，求直线l 的方程.18．（本小题满分16分） 根据国际公法，外国船只不得进入离我国海岸线12海里以内的区域（此为我国领海，含分界线）. 若外国船只进入我国领海，我方将向其发出警告令其退出. 如图，已知直线AB 为海岸线，,A B 是相距12海里的两个观测站，现发现一外国船只航行于点P 处，此时我方测得α=∠BAP ，β=∠ABP （0απ<<，0βπ<<）.（1）试问当120,30==βα时，我方是否应向该外国船只发出警告？ （2）若1tan 2α=，则当β在什么范围内时，我方应向该外国船只发出警告？ABPαβ 第18题·O xyA B ·第17题第4页（A ）（四星级高中学生做） 已知数列{}n a 是首项为1，公差为d 的等差数列；数列{}n b 是公比为2的等比数列，且{}n b 的前4项的和为152.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若3d =，求数列{}n a 中满足*89()i b a b i N ≤≤∈的所有项i a 的和；（3）设数列{}n c 满足n n n c a b =⋅，若5c 是数列{}n c 中的最大项，求公差d 的取值范围.（B ）（三星级高中及普通高中学生做） 已知数列{}n a 是首项为1，公差为d 的等差数列；数列{}n b 是公比为2的等比数列，且{}n b 的前4项的和为152.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若3d =，求数列{}n a 中满足*89()i b a b i N ≤≤∈的所有项i a 的和；（3）设数列{}n c 满足n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若n T 的最大值为5T ，求公差d 的取值范围.20．（本小题满分16分） （A ）（四星级高中学生做）（1）求证：函数()22xxf x -=+在[0,)+∞上是单调递增函数；（2）求函数()22()xxf x x R -=+∈的值域；（3）设函数1421()421x x k x x g x ++++=++，若对任意的实数123,,x x x ，都有123()()()g x g x g x +≥，求实数k 的取值范围.（B ）（三星级高中及普通高中学生做）（1）求证：函数()22xxf x -=+在[0,)+∞上是单调递增函数；（2）求函数()22()xxf x x R -=+∈的值域；（3）设函数()44(22)()xxx x h x a a R --=+++∈，求()h x 的最小值()a ϕ.第5页2012/2013学年度第二学期期终调研考试高一数学参考答案一、填空题：每小题5分，共计70分.1．1 2．4π 3．2 4．120°(23π) 56．237．48 8．16 9．20 10．①④ 11．3 12． －1 13．8 14．(2]二、解答题：本大题共6小题,共计90分.15．证明:（1）在111A B C ∆中，因为,E F 分别是11AC ,11A B 的中点，所以11//EF B C ， ……4分又EF ⊄面11BB C C ，11B C ⊂面11BB C C ，所以//EF 平面11BB C C . …………7分 （2）因为11AC C C =，且E 是11AC 的中点，所以EC ⊥11AC ，故EC ⊥AC ， 又侧面11ACC A ⊥底面ABC ，且EC ⊂侧面11ACC A ，所以EC ⊥底面ABC . …………11分 又EC ⊂面ECF ，所以面ECF ⊥面ABC . …………14分16．解: （1）当A π=时，3(,22n = ， …………3分所以||n == …………6分（2）因为cos )sin 2sin()3m n A A A π⋅=++=++所以当m n ⋅ 取最大值时，6A π=. …………10分又1,a c ==22132cos 336b b b b π=+-=+-，解之得2b =或1b =. …………14分17．解:（1）因为(2,2)A -，(1,1)B ，所以3AB k =-，AB 的中点为31(,)22-，故线段AB 的垂直平分线的方程为113()232y x +=-，即330x y --=，由330220x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得圆心坐标为(0,1)-. …………4分所以半径r 满足2221(11)5r =+--=. …………6分故圆C 的标准方程为22(1)5x y ++=. …………7分（2）因为112255OPQ S PQ ∆=⨯⨯=，所以4PQ =.第6页①当直线l 与x 轴垂直时，由坐标原点O 到直线l 的距离为15知，直线l 的方程为15x = 或15x =-，经验证，此时4PQ ≠，不适合题意； …………9分 ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y kx b =+，由坐标原点到直线l的距离为115d ==，得22125k b += （*）， …………11分 又圆心到直线l的距离为2d =，所以4PQ ===，即22(1)1b k +=+ （**）， …………13分由（*），（**）解得3414k b ⎧=±⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.综上所述，直线l 的方程为3410x y +-=或3410x y -+=. …………14分18．解：（1）如图：过P 作PH 垂直AB 于H ，因为 120,30==βα，所以30=∠APB ，所以AB=PB=12， …………4分 所以PH=AB 123660sin <= ，所以应向该外国船只发出警告. (7)分（2）在ABP ∆中，由正弦定理得：()αβαπsin sin PBAB =--，所以()βαπα--=sin sin 12PB ，所以()()()βαβαβαπβαβπ+=--=-⋅=sin sin sin 12sin sin sin 12sin PB PH ， …………10分令12≤PH ，得()12sin sin sin 12≤+βαβα，即()βαβα+≤sin sin sin ，所以sin sin sin cos cos sin αβαβαβ≤+， …………12分 又因为1tan 2α=，所以α为锐角，且sin 55αα==， 所以cos sin 555βββ≤+，即sin cos ββ≥-， …………14分故sin cos 0ββ+≥)04πβ+≥，解得304πβ<≤，所以当304πβ<≤时，我方应向该外国船只发出警告. …………16分19．（A ）（四星级高中学生做）解:（1）因为{}n b 是公比为2的等比数列，且其前4项的和为152，ABPαβ H第7页所以115(1248)2b +++=，解得112b =， …………2分 所以121222n n n b --=⨯=. …………4分 （2）因为数列{}n a 是首项为1，公差3d =的等差数列，所以32n a n =-，由89i b a b ≤≤，得672322i ≤-≤，解得2243i ≤≤， …………6分 所以满足89i b a b ≤≤的所有项i a 为222343,,,a a a ⋅⋅⋅，这是首项为2264a =，公差为3的等差数列，共43－22+1=22项，故其和为22216422321012⨯⨯+⨯=. …………9分 （3）由题意，得2[1(1)]2n n n n c a b n d -=⋅=+-⨯，因为5c 是{}n c 的最大项，所以首先有54c c ≥且56c c ≥， 即32(14)2(13)2d d +⨯≥+⨯且34(14)2(15)2d d +⨯≥+⨯， 解得1156d -≤≤-. …………12分 ① 当4n ≥时，在1156d -≤≤-的条件下，35[14]20c d =+⨯>，但7n ≥时，2[1(1)]20n n c n d -=+-⨯≤，所以此时5c 是最大的； …………14分②当3n ≤时，由152535,,c c c c c c ≤⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，得18(14),218(14),2(12)8(14)d d d d d ⎧≤+⎪⎪+≤+⎨⎪+≤+⎪⎩，解得1564731314d d d ⎧≥-⎪⎪⎪≥-⎨⎪⎪≥-⎪⎩.综合①②，所求的公差d 的取值范围是1156d -≤≤-. …………16分（B ）（三星级高中及普通高中学生做）解：（1）（2）同（A ）（3）因为120n n b -=>，若0d ≥，则0n a >，所以0n n n c a b =⋅>，此时n T 无最大项，所以0d <， …………12分 此时{}n a 单调递减，欲n T 的最大项为5T ，则必有560,0c c ≥≤，即560,0a a ≥≤，…………14分又1(1)n a n d =+-，所以140,150d d +≥⎧⎨+≤⎩，解得1145d -≤≤-. …………16分20．（A ）（四星级高中学生做）解：（1）证明：设12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，因为112212121211()()(22)(22)(22)()22xx x x x x x x f x f x ---=+-+=-+-第8页21121212121222(22)(21)(22)22x x x x x x x x x x x x +++---=-+=， …………3分 因为12121220,220,210x x x x x x ++>-<->，所以12()()0f x f x -<，所以()22x x f x -=+在[0,)+∞上是单调递增函数. …………5分 （2）由（1）知，当[0,)x ∈+∞时，()[(0),)f x f ∈+∞，即()[2,)f x ∈+∞， …………7分又因为()22()x x f x f x --=+=，所以()f x 是偶函数，所以当x R ∈时，()f x 的值域为[2,)+∞. …………9分 （3）因为对任意的实数123,,x x x ，都有123()()()g x g x g x +≥，所以min max [2()][()]g x g x ≥，…………11分由于1421()421x x k x x g x ++++=++222222x x k x x--++=++，令22x xt -+=， 则222()()1(2)22k k t g x r t t t t +-===+++≥， ①当1k =时，()1r t =，适合题意； …………12分②当1k <时，22()14k r t +<≤，由22214k +⨯≥，得1k <； …………14分 ③当1k >时，221()4k r t +<≤，由22214k +⨯≥，得21log 6k <≤．综上，实数k 的取值范围为2(,log 6]-∞． …………16分（B ）（三星级高中及普通高中学生做） 解：（1）（2）同（A ）；（3）因为2()(22)(22)2x x x x h x a --=+++-，令22xxt -+=，则2()()2,[2,)h x m t t at t ==+-∈+∞， …………11分因为函数()m t 的对称轴方程为2at =-，所以 ①当22a -≥，即4a ≤-时，2()()224a a a m ϕ=-=--， …………13分 ②当22a-<，即4a >-时，()(2)22a m a ϕ==+， …………15分综上所述，22,4()422,4a a a a a ϕ⎧--≤-⎪=⎨⎪+>-⎩. …………16分。