球面几何与欧式几何的比较
球面几何与立体几何详细解析与应用
球面几何与立体几何详细解析与应用球面几何与立体几何是数学中重要的分支，研究了球面和立体的性质、关系以及应用。
本文将详细解析球面几何与立体几何的知识，并探讨其在实际应用中的具体应用。
一、球面几何球面几何是研究球体表面上的点、直线、角度和距离等性质的一门数学学科。
球面是一个几何图形，具有独特的性质和特点，与平面几何有所不同。
1. 球面的定义与性质球面是由一个半径固定的圆在三维空间中绕着圆心旋转一周所形成的几何体。
球面上的每个点到圆心的距离都相等，这一性质被称为球面的半径。
2. 球面上的直线在球面上，直线是由球面上两点之间的最短路径组成的。
从球面的两个点出发，通过球面上的点绘制出的曲线即为球面上的直线。
3. 球面上的角度球面上的角度与平面几何中的角度有所不同。
球面上的角度是通过将球面上的两条弧用球心处的线段连接而形成的。
球面上的角度可以用弧度或角度来衡量。
二、立体几何立体几何是研究三维空间中立体图形的性质与关系的学科。
立体几何包括了点、线、面、体等元素的研究，对于我们理解和应用三维空间起着重要的作用。
1. 立体图形的分类与性质立体图形包括了诸如正方体、长方体、圆柱体、圆锥体等各种图形。
每种立体图形都具有特定的性质，比如正方体的六个面是相等的正方形，圆柱体的两个底面是圆等等。
2. 立体图形的表面积与体积对于立体图形而言，表面积和体积是两个重要的量。
表面积是指立体图形表面覆盖的总面积，而体积则表示立体图形所包含的三维空间的大小。
三、球面几何与立体几何的应用球面几何和立体几何在实际应用中有着广泛的应用，以下举几个实例：1. 地球上的测量与导航地球可以看作是一个近似球体，因此球面几何在地理测量和导航中具有重要的应用价值。
利用球面几何的原理，我们可以测定两个地点之间的距离、方位角以及最短路径等信息，为导航系统的开发提供了理论基础。
2. 建筑与工程设计在建筑与工程设计中，立体几何的知识被广泛应用。
比如，在房屋设计中，需要考虑各个部分的连接与布局，利用立体几何的原理，可以确保设计的合理性和空间利用率。
数学几何48模型
数学几何48模型数学几何是数学的一个分支，它研究的是空间中的形状、大小、位置等问题。
在数学几何中，有许多重要的模型，其中最为著名的就是数学几何48模型。
一、欧氏几何模型欧氏几何模型是最为基础的数学几何模型之一，它是由古希腊数学家欧几里得所创立的。
欧氏几何模型研究的是平面和空间中的图形和变换，它的基本假设是平行公设。
二、非欧几何模型非欧几何模型是相对于欧氏几何模型而言的，它是在欧氏几何模型的基础上发展起来的。
非欧几何模型研究的是曲面和空间中的图形和变换，它的基本假设是平行公设不成立。
三、球面几何模型球面几何模型是一种特殊的非欧几何模型，它研究的是球面上的图形和变换。
球面几何模型的基本假设是平行公设不成立，且曲率为正。
四、双曲几何模型双曲几何模型是另一种非欧几何模型，它研究的是双曲面上的图形和变换。
双曲几何模型的基本假设是平行公设不成立，且曲率为负。
五、仿射几何模型仿射几何模型是一种介于欧氏几何模型和非欧几何模型之间的模型，它研究的是平面和空间中的图形和变换，但不考虑距离的大小和比例。
六、射影几何模型射影几何模型是一种特殊的仿射几何模型，它研究的是射影空间中的图形和变换。
射影几何模型的基本假设是平行公设不成立，但是不存在无穷远点。
七、向量几何模型向量几何模型是一种基于向量的几何模型，它研究的是向量空间中的图形和变换。
向量几何模型的基本假设是向量的加法和数乘运算满足一定的规律。
总之，数学几何48模型是数学几何中最为重要的模型之一，它们在数学研究和实际应用中都有着广泛的应用。
通过对这些模型的深入研究，我们可以更好地理解空间中的形状、大小、位置等问题，为我们的生活和工作带来更多的便利和启示。
几何形的非欧几何探索非欧几何与几何形的关系
几何形的非欧几何探索非欧几何与几何形的关系在传统的欧几何中，我们熟悉的几何形包括了点、线、面、体等等。
这些几何形的属性和关系都是由欧几里得的公设体系所确定的。
然而，19世纪，数学家们开始思考一种完全不同的几何系统，即非欧几何。
非欧几何在很大程度上挑战了欧几里得的公设体系，提出了一种与我们直觉相违背的几何观念。
本文将探索非欧几何与几何形的关系，并分析非欧几何对传统几何学的冲击。
首先，我们来看非欧几何与点的关系。
在欧几里得几何中，点是最基本的几何元素，是没有大小和形状的。
然而，在非欧几何中，点被赋予了一些特殊的性质。
以双曲几何为例，双曲平面上的点是按照离散的方式排列的，且点之间的距离是有限的。
这与欧几里得几何中点的连续性和无限性相悖。
因此，非欧几何对点的概念进行了重新定义，其性质与欧几里得几何存在着明显的区别。
接下来，我们来看非欧几何与线的关系。
在欧几里得几何中，直线是由无穷多个点组成的集合，它没有宽度和长度。
然而，在非欧几何中，直线的定义发生了一些变化。
以椭圆几何为例，椭圆几何中的直线被定义为连接两个不同点的最短路径，而这条路径不一定是直的。
这种对直线的重新定义打破了欧几里得几何中对直线的固有理解。
此外，非欧几何与面的关系也是非常重要的。
在欧几里得几何中，面是由直线组成的，其属性由几何公设所决定。
然而，在非欧几何中，面的形状和性质与欧几里得几何存在着明显的差异。
以球面几何为例，球面几何中的面是由一些弧线所围成的，这些弧线被称为“大圆”。
与欧几里得几何中平面的性质相比，球面几何中的面的性质更加复杂和特殊。
非欧几何对几何形的重新定义和重新解释，使我们对几何学有了全新的认识。
我们不再局限于欧几里得几何的框架和公设体系，而是能够思考更加广义的几何空间和几何形。
这种非欧几何观念的引入，拓宽了我们对几何学的理解和应用。
总结起来，非欧几何与几何形的关系可以被看作是一种对传统几何学观念的冲击和变革。
非欧几何对点、线和面的概念进行了重新定义，使我们对几何形的性质和关系有了全新的认识。
高中数学中的立体几何与球面几何
高中数学中的立体几何与球面几何立体几何和球面几何是高中数学中的重要内容，对理解和应用空间几何概念具有重要作用。
本文将从理论和实际应用两个方面探讨高中数学中的立体几何与球面几何。
一、理论基础1. 立体几何基本概念立体几何研究的是空间中各种实体的性质和关系。
在立体几何中，我们需要了解各种基本概念，如点、线、面、多面体等。
点是空间中没有大小和形状的对象，线是由一系列连续点组成的，面是由一条或多条相交的线围成的平面图形。
多面体是由若干个平面多边形拼接而成的多面体，如正方体、长方体等。
2. 球面几何基本概念球面几何研究的是球面上的性质和关系。
在球面几何中，我们需要了解球的基本概念，如球心、半径等。
球心是球的中心点，半径是从球心到球面上的任意一点的距离。
通过球心可以画出球的切线、割线等。
3. 立体几何中的体积和表面积在立体几何中，体积和表面积是重要的概念。
体积是表示立体空间内所占有的实体大小的一个量，通常用单位立方米、立方厘米等进行表示。
表面积是表示实体表面所占有的面积大小的一个量，通常用单位平方米、平方厘米等进行表示。
二、实际应用1. 三棱锥的应用三棱锥是立体几何中的一种多面体，其底面为三角形，顶点与底面不在一平面上。
三棱锥的应用广泛，特别是在建筑领域。
例如，很多建筑物的屋顶形状都采用了三棱锥的结构，如塔楼和锥形的穹顶。
2. 球面镜的应用球面镜是由球面切割而成的镜面，其表面具有弧形，镜像形状常用于摄影和光学设备中。
例如，照相机的镜头和显微镜的物镜采用了球面镜，能够通过弧形的球面反射光线，并对光线进行聚焦和放大。
3. 球体容器的应用球体容器在实际生活中也有着广泛的应用。
例如，煤气罐、氧气罐和水箱等都具有球体容器的形状，这种形状能够使得内部的压力能够均匀地分布在球的表面上，提高容器的稳定性和安全性。
4. 卫星的轨道计算在航天领域，计算卫星的轨道是一个重要的问题。
球面几何的概念能够帮助科学家精确计算卫星在球体表面的轨道，进而确定卫星的运行路径和卫星与地球的相对位置。
欧氏几何与球面几何的比较-北师大版选修3-3球面上的几何教案
欧氏几何与球面几何的比较-北师大版选修3-3 球面上的几何教案一、教学目标1.了解欧氏几何与球面几何的不同特征和基本概念；2.掌握球面上几何要素的计算方法和性质；3.熟练运用欧氏几何和球面几何的基本方法，解决相关问题；4.提高学生的逻辑思维能力和几何图形分析能力。
二、教学重点和难点教学重点：1.欧氏几何与球面几何的特征和基本概念；2.球面上的线和角的性质；3.球面上的几何运算。
教学难点：1.欧氏几何和球面几何的比较与联系；2.球面上的非欧氏三角形性质的探讨。
三、教学内容3.1 欧氏几何与球面几何欧氏几何是以笛卡尔坐标系为基础建立的几何学。
它的特点是直线是最短路径，角度是固定度量的。
在欧氏几何中，平行的两条直线不会相交。
球面几何是一种非欧氏几何，用于描述球体的几何性质。
在球面几何中，直线是大圆弧，两点之间的最短路径是大圆弧段。
球面几何存在特殊的三角形——大圆三角形，其中三个角度之和不等于180度。
3.2 球面上的线和角的性质在球面几何中，直线是大圆弧，两点之间的最短路径是大圆弧段。
在球面上，两条经线的交点不一定是直角，在大圆面上的角也不一定等于两条边所夹的平面角。
一个球面三角形的内部角度之和大于180度，这是由于在球面三角形中的所有“直角”都不是标准的直角。
3.3 球面上的几何运算球面上的线和角的运算与欧氏几何有些相似。
例如，球面上两条经线的夹角可以用它们对应点之间的弧度来计算，球面上两点之间的最短弧也可以用这种方法来计算。
对于球面上的大圆三角形，我们可以用球面余弦定理计算三边之间的关系。
这可以用来解决在球面上的距离和方向问题，但由于球面上存在特殊的三角形，所以本定理的应用需要注意。
四、教学方法本课程采用讲授和讨论相结合的教学方法。
首先讲授欧氏几何和球面几何的基本概念和特征，然后通过例题和练习来引导学生熟悉球面上的线和角的性质、球面上的几何运算等。
在教学过程中，鼓励学生思考和发言，积极参与课堂讨论，加深对知识点的理解。
立体几何欧拉定理与球
1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体3．欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数、面数及棱数E有关系式：2V F E+-=．4．欧拉示性数：在欧拉公式中令()f p V F E=+-，()f p叫欧拉示性数（1）简单多面体的欧拉示性数()2f p=．（2）带一个洞的多面体的欧拉示性数()0f p=（3）多面体所有面的内角总和公式：①()360E F-︒或②0(2)360V-5 球的概念：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球定点叫球心，定长叫球的半径与定点距离等于定长的点的集合叫做球面表示它的球心的字母表示，例如球O．6．球的截面：用一平面α去截一个球O，设OO'是平面α的垂线段，O'为垂足，且，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以r截面是一个圆面球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆7．经线：球面上从北极到南极的半个大圆；纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆；经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与0 经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数；纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数8．两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离9．两点的球面距离公式： AB Rθ=（其中R为球半径，θ为A,B所对应的球心角的弧度数）10 半球的底面：已知半径为R的球O，用过球心的平面去截球O，球被截面分成大小相等的两个半球，截面圆O（包含它内部的点），叫做所得半球的底面11．球的体积公式：43V Rπ=12 球的表面积：24S Rπ=1 一个n 面体共有8条棱，5个顶点，求2．一个正n 面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求3．一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V 和面数F 有下面的关系：F ＝2V －4 4．有没有棱数是7的简单多面体？说明理由5．是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边6 ①过球面上任意两点，作球的大圆的个数是 ．②球半径为25cm ，球心到截面距离为24cm ，则截面面积为 ． ③已知球的两个平行截面的面积分别是5π和8π，它们位于球心同一侧，且相距1，则球半径是 ．④球O 直径为4，,A B 为球面上的两点且AB =,A B 两点的球面距离为 ． ⑤北纬60圈上,M N 两地，它们在纬度圈上的弧长是2Rπ（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为 ．7．北纬45圈上有,A B 两地，A 在东径120，B 在西径150，设地球半径为R ，,A B 两地球面距离为 ；8．一个球夹在120二面角内，两切点在球面上最短距离为cm π，则球半径为 ；9.设地球的半径为R ，在北纬45°圈上有A 、B 两点，它们的经度相差90°，那么这两点间的纬线的长为_________，两点间的球面距离是_________．10 球的大圆面积增大为原来的4倍，则体积增大为原来的 倍；11．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍； 12.若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积比原来增加 倍；13.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ； 14.正方体全面积是24，它的外接球的体积是 ，内切球的体积是 ．15 球O 1、O 2分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O 3的表面上，求三个球的表面积之比．16．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积17． 正四面体ABCD 的棱长为a ，球O 是内切球，球O 1是与正四面体的三个面和球O 都相切的一个小球，求球O 1的体积．练习参考答案：1 一个n 面体共有8条棱，5个顶点，求解：∵2V F E +-=，∴25F E V =+-=，即5n =．2．一个正n 面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求解：∵8V =，83122E ⨯==，∴26F E V =+-=，即6n =． 3．一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V 和面数F 有下面的关系：F ＝2V －4 证明：∵23F E ＝，V ＋F －E ＝2 ∴V ＋F －F 23＝2 ∴F ＝2V －4 4．有没有棱数是7的简单多面体？说明理由解：若E ＝7，∵V ＋F －E ＝2 ， ∴V ＋F ＝7＋2＝9 ，∵多面体的顶点数V ≥4，面数F ≥4∴只有两种情况V ＝4，F ＝5或V ＝5，F ＝4，但是有4个顶点的多面体只有四个面，不可能是5个面，有四个面的多面体是四面体，也只有四个顶点，不可能有5个顶点，∴没有棱数是7的多面体 5．是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边解：设有一个多面体，有F （奇数）个面，并且每个面的边数F n n n 21,也都是奇数，则 E n n n F 221=+++ ，但是上式左端是奇数个“奇数相加”，结果仍为奇数，可右端是偶数，这是不可能的 ∴不存在这样的多面体6 ①过球面上任意两点，作球的大圆的个数是 ．②球半径为25cm ，球心到截面距离为24cm ，则截面面积为 ． ③已知球的两个平行截面的面积分别是5π和8π，它们位于球心同一侧，且相距1，则球半径是 ．④球O 直径为4，,A B 为球面上的两点且AB =,A B 两点的球面距离为 ． ⑤北纬60圈上,M N 两地，它们在纬度圈上的弧长是2Rπ（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为 ．答案：①一个或无数个 ②249m ③3 ④43π ⑤ 3π7．北纬45圈上有,A B 两地，A 在东径120，B 在西径150，设地球半径为R ，,A B 两地球面距离为 ； 答案：3R π8．一个球夹在120二面角内，两切点在球面上最短距离为cm π，则球半径为 ；答案：3cm9.设地球的半径为R ，在北纬45°圈上有A 、B 两点，它们的经度相差90°，那么这两点间的纬线的长为_________，两点间的球面距离是_________．分析：求A 、B 两点间的球面距离，就是求过球心和点A 、B 的大圆的劣弧长，因而应先求出弦AB 的长，所以要先求出A 、B 两点所在纬度圈的半径．解：连结AB ．设地球球心为O ，北纬45°圈中心为O 1，则 O 1O ⊥O 1A ，O 1O ⊥O 1B ．∴4511=∠=∠=∠AOC BO O AO O ．∴ O 1A ＝O 1B ＝O 1O ＝45cos ⋅OA ＝R 22． ∴ 两点间的纬线的长为：R R 42222=⋅π． ∵ A 、B 两点的经度相差90°， ∴ 901=∠B AO ．在B AO Rt 1△中，R AO AB ==12，∴ OB AB OA ==，3π=∠AOB ．∴ 两点间的球面距离是：R 3π．10 球的大圆面积增大为原来的4倍，则体积增大为原来的 倍；答案： 811．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍； 答案： 312.若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积比原来增加 倍； 答案： 713.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ； 答案： 614.正方体全面积是24，它的外接球的体积是 ，内切球的体积是 ．答案： ，43π 15 球O 1、O 2分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O 3的表面上，求三个球的表面积之比．分析：球的表面积之比事实上就是半径之比的平方，故只需找到球半径之间的关系即可． 解：设正方体棱长为a ，则三个球的半径依次为2a 、a 22，a 23 ∴ 三个球的表面积之比是3:2:1::321=S S S ．16．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积解：设球半径为R ，正四棱柱底面边长为a ，则作轴截面如图，14AA '=，AC =，又∵24324R ππ=，∴9R =，∴AC ==8a =，∴6423214576S =⨯+⨯=表．17． 正四面体ABCD 的棱长为a ，球O 是内切球，球O 1是与正四面体的三个面和球O 都相切的一个小球，求球O 1的体积．分析：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等．解：如图，设球O 半径为R ，球O 1的半径为r ，E 为CD 中点，球O 与平面ACD 、BCD 切于点F 、G ，球O 1与平面ACD 切于点H ． 由题设 a GE AE AG 3622=-=． ∵ △AOF ∽△AEG ∴a Ra a R 233663-=，得a R 126=．∵ △AO 1H ∽△AOF ∴ R r R a rR a =---36236，得a r 246=． ∴ 3331728624634341a a r V O =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππ球．另法：以O 为顶点将正四面体分成相等体积的四个三棱锥，用体积相等法，可以得到1144R OG AG h ===，3h a =，111()428r h h ===。
从欧式几何看球面
平面与球面的位置关系
直线与球面的位置关系和球幂定理 球面的对称性
第一节 平面与球面、直线与球面 的位置关系
一、平面与球的位置关系：
类比直线与圆的位置关系，来探究平面与球的位置关系。
相交
相离
相切
第一种：平面与球面相交
如右图所示，平面与球面相交， 截面是圆面，平面与球面的交线 a 是一个圆．当球面与平面相交时， 球心到平面的距离小于球的半径r。 1.如果球面被经过球心的平面
相交弦定理: EM MF CM DM
这些定理统称为圆幂定理．
类比圆幂定理，可以发现下面几个定理：
定理1 从球面外一点p向球面引割线，交球面与Q，R
两点；再从点p引球面的任一切线，切点为S，则 PS =PQ · PR ． 证明：如右图，连结SQ，SR． 由于两条相交直线PS，RP 唯一确定a平面，设平面a与球
当我们把地球看作一个球时，经线就是球面上从北极到南极 的半个大圆，它以北极和南极为端点。 地球球面上一点的经线的经度是过该点的经度所在的半平面 与0°经线所在的半平面所成的二面角的大小． 例如，点A的经度就是二面角A-NS-B的大小，即
BOC
纬线
赤道是一个大圆，与赤道所 在平面平行的平面截地球表面所 得的小圆叫做纬线，过地球球面 上一点的纬线的纬度是该点与球 心的连线与赤道平面所成角的大 小。赤道以北叫北纬，赤道以南 叫南纬。赤道为 0 纬线，除赤 道以外其他的纬线都是小圆。
0
（如图，A所在纬线是60 ）
很明显，地球表面上任意一点由经度和 纬度唯一确定．
第二节 直线与球面的位置关系 及球幂定理
2.1 直线与球面的位置关系 我们可以参考平面与球面的位置关系， 来学习直线与球面的位置关系．因为我们可 以把平面看成是由无数条直线组成．
球面上的几何
第三-七讲 球面上的基本图形、球面三角形性质
• 球面三角形 球面上最常用的基本图形， 构成球面三角形的大圆弧称 为三角形的边，三条边的交 点称为三角形的顶点，过球 面三角形顶点分别作大圆弧 的切线，两条切线所成的角 称为球面三角形的角。
第三-七讲 球面上的基本图形、球面三角形性质
• 球面多边形 球面上由大圆弧所构成的封闭图形称为球面 多边形。球面多边形的边,必须是大圆的圆弧。 任意两个不同大圆的两个交点是球面上的一 对对径点，即球的同一条直径的两个端点称 为一对对径点。
球面上的几何
目录
1 第一讲 从欧氏几何看球面
2
第二讲 球面上的距离和角
3
第三讲 球面上的基本图形
4
第四讲 球面三角形
目录
1 第五讲 球面三角形的全等
2
第六讲 球面多边形的欧拉公式
3
第七讲 球面三角形的边角关系
4
第八讲 欧氏几何与非欧式几何
主要内容： 1.通过丰富的实际问题 （如测量、航空、卫星定 位），体会引入球面几何 知识的必要性。 2.通过球面图形与平面图 形的比较，感受球面几何 与欧氏平面几何的异同。 例如，球面上的大圆相当 于平面上的直线，球面上 两点之间的最短距离是大 圆弧的劣弧部分，类圆幂 定理。 3.通过对实例的分析，体 会球面具有类似平面的对 称性质。
第三-七讲 球面上的基本图形、球面三角形性质
球面三角形的性质
球面三角形的内角和
第三-七讲 球面上的基本图形、球面三角形性质
推论2 球面三角形ABC的面积为：
S A BBiblioteka C R球面三角形的周长 定理 球面三角形的周长小于大圆周长
2
第三-七讲 球面上的基本图形、球面三角形性质
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球面几何与欧式几何的比较
要说到几何，大多数人便会想到运用并流传了几千年的欧式几何，这是毋庸置疑的。
欧式几何在我们的生活中运用太广泛了。
从我们开始接触几何问题，和我们生活中所接触到的一些几何问题大部分都是欧式几何。
欧式几何是几何学的一门分科，又称欧几里德几何。
公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。
欧式几何的传统描述是一个公理系统，通过有限的公理来证明所有的“真命题”。
欧式几何共有五条公理，其中前四个都是可以通过各种方法来证明的，并被众人接受。
唯有公理5使许多人不能被理解所接受。
于是由此问题，我们又有了一个巨大的发现，也是人类历史上的重大转变。
那就是非欧几何的出现。
欧式几何所能解决的只限于平面，从而伟大的第五公理就这样在非欧几何中得证。
球面几何
球面几何学是在二维的球面表面上的几何学，也是非欧几何的一个例子。
在平面几何中，基本的观念是点和线。
在球面上，点的观念和定义依旧不变，但线不再是“直线”，而是两点之间最短的距离，称为最短线。
在球面上，最短线是大圆的弧，所以平面几何中的线在球面几何中被大圆所取代。
同样的，在球面几何
中的角被定义在两个大圆之间。
结果是球面三角学和平常的三角学有诸多不同之处。
例如：球面三角形的内角和大于180度。
对比于通过一个点至少有两条平行线，甚至无穷多条平行线的双曲面几何学，通过特定的点没有平行线的球面几何学是椭圆几何学中最简单的模式。
，其中A、B、C为单位球面上三角形的三个内角
（弧度制）
通过上面的比较，我们看到，球面上的几何是与平面几何不同的一种几何理论。
平面几何最早由希腊数学家欧几里德整理成系统的理论。
他的不朽之作《几何原本》不仅包含了平面几何，也包含了立体几何。
为了纪念他对人类做出的伟大贡献，后来就把这种几何称为欧氏几何。
虽然欧氏几何在我们的日常生活、生产实践与科学试验中有着广泛的应用，但是在某些领域或某种场合欧氏几何并不适用。
例如在地球上要测量相距较远的两地之间的距离，或者较大范围的面积时，用欧氏几何的知识会产生很大的误差，而用球面几何的知识才能真实地反映出客观现实。
球面上的几何是与欧氏几何不同的几何，所以叫做非欧几何。
非欧几何往往也有很重要的实际应用价值，也是我们应该学习的重要理论。
球面上的几何与欧氏几何有不相同之处，但他们之间也有一些共同特征。
球面上的几何与欧氏几何的共同特征
两种几何的这些相同之处，说明它们之间应该有某种内在的联系。
首先分析一下球面三角形的面积公式
把这个公式改写成
这个等式的左端称为球面三角形的角超，它反映出球面上的几何与平面几何的差距。
在平面几何中三角形三内角之和等于，角超等于零。
在球面上的几何中角超大于零。
不难看出当球面半径R无限增大时，球面逐渐趋向于平面，越来越小，即三角形的角超越来越小，球面三角形逐渐趋向于平面三角形，球面几何的性质逐渐接近于平面几何的性质。
所以我们可以说：
当球面半径趋向于无穷大时，球面上的几何以平面几何为极限。
因为地球的半径非常大，当我们研究的范围相对于地球半径很小时，三角形的角超就一定很小。
因此，可以用平面几何的知识来代替球面几何知识，所产生的误差很小。