欧氏几何的度量模型
欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何的区别。
欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何是几何学中的三个重要分支，它们分别由欧几里德、罗伯特·罗斯和伯纳德·黎曼提出，并在不同的数学和物理领域中发挥着重要作用。
这三种几何学在概念、方法和应用上有着明显的区别，让我们一起深入了解它们。
一、欧氏几何欧氏几何是以古希腊数学家欧几里德的名字命名的几何学。
它主要研究平面几何和空间几何中的点、线、面以及它们之间的关系和性质。
在欧氏几何中，有五条公理作为基础，这些公理包括点的唯一性、直线的无限延伸性等，构成了欧氏空间的基本性质和特征。
欧氏几何是最为直观和常见的几何学，在我们日常生活和实际工作中有着广泛的应用，比如建筑设计、地理测量等领域。
二、罗氏几何相较于欧氏几何，罗氏几何是一种非欧几何，由19世纪的数学家罗伯特·罗斯提出。
罗氏几何放弃了平行公设并提出了新的平行公设，即通过一点可以作出无数平行线。
这种新的理念打破了欧氏几何中平行线的概念，引入了一种新的、非直观的几何学体系。
罗氏几何虽然在直观上难以理解，但在相对论和曲率空间的研究中有着重要的应用，尤其是在描述引力场和黑洞的时候，罗氏几何的理论和方法显得尤为重要。
三、黎曼几何黎曼几何是由19世纪德国数学家伯纳德·黎曼创立的一种曲面的微分几何学。
相较于欧氏几何和罗氏几何，黎曼几何的研究范围更广，不再局限于平面和直线，而是研究了曲面和多维空间的性质和变换。
黎曼几何的理论为爱因斯坦的广义相对论奠定了基础，也在现代物理学和工程领域有着极其重要的应用。
结语通过对欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何的深入了解，我们可以看到这三种几何学在概念、方法和应用上的明显区别。
欧氏几何在平面和直线的理论中有着直观的优势，罗氏几何在非直观的空间和曲率中有着重要的应用，而黎曼几何则进一步拓展了几何学的研究领域，为现代数学和物理学的发展提供了重要的理论基础。
在个人看来，欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何的区别体现了数学的多样性和丰富性，也展示了数学在不同领域中的重要作用。
两维的模型叫做欧氏平面
3. 要素模型 3.1欧氏空间和欧氏空间中的三类地物要素
(一)点对象 点是有特定的位置，维数为零的物体，包括： ．点实体（Point Entity）：用来代表一个实体； ．注记点：用于定位注记； ．内点（Label Point）：用于记录多边形的属性， 存在于多边形内； ．结点（节点）（Node）：表示线的终点和起 点； ．角点（Vertex）：表示线段和弧段的内部点。
3. 要素模型 3.1欧氏空间和欧氏空间中的三类地物要素
3. 要素模型 3.2要素模型的基本概念
基于要素的空间信息模型把信息空间分解为对象 （Object）或实体（Entity）。一个实体必须符合三 个条件： ．可被识别； ．重要（与问题相关）； ．可被描述（有特征）。 而有关实体的特征，可以通过静态属性（如城市名）、 动态的行为特征和结构特征来描述实体。与基于场的 模型不同，基于要素的模型把信息空间看作许多对象 （城市、集镇、村庄、区）的集合，而这些对象又具 有自己的属性（如人口密度、质心和边界等）。
2. 场模型 2.1场的特征
(三)与方向无关的和与方向有关的（各向同性和 各向异性）空间场内部的各种性质是否随方向的变
化而发生变化，是空间场的一个重要特征。如果一 个场中的所有性质都与方向无关，则称之为各向同 性场(Isotropic Field) ，否则为异性场。
2. 场模型 2.1场的特征
(四)空间自相关空间自相关是空间场中的数值聚集
3. 要素模型 3.1欧氏空间和欧氏空间中的三类地物要素
(二)线对象 线对象是GIS中非常常用的维度为1的空间组分， 表示对象和它们边界的空间属性，由一系列坐 标表示，并有如下特征： ．实体长度：从起点到终点的总长； ．弯曲度：用于表示像道路拐弯时弯曲的程度； ．方向性：水流方向是从上游到下游，公路则 有单向与双向之分 线状实体包括线段、边界、链、弧段、网络等
欧氏几何介绍
数学分支之欧氏几何欧氏几何的建立欧氏几何是欧几里德几何学的简称，其创始人是公元前三世纪的古希腊伟大数学家欧几里德。
在他以前，古希腊人已经积累了大量的几何知识，并开始用逻辑推理的方法去证明一些几何命题的结论。
欧几里德这位伟大的几何建筑师在前人准备的“木石砖瓦”材料的基础上，天才般地按照逻辑系统把几何命题整理起来，建成了一座巍峨的几何大厦，完成了数学史上的光辉著作《几何原本》。
这本书的问世，标志着欧氏几何学的建立。
这部科学著作是发行最广而且使用时间最长的书。
后又被译成多种文字，共有二千多种版本。
它的问世是整个数学发展史上意义极其深远的大事，也是整个人类文明史上的里程碑。
两千多年来，这部著作在几何教学中一直占据着统治地位，至今其地位也没有被动摇，包括我国在内的许多国家仍以它为基础作为几何教材。
一座不朽的丰碑欧几里德将早期许多没有联系和未予严谨证明的定理加以整理，写下《几何原本》一书，使几何学变成为一座建立在逻辑推理基础上的不朽丰碑。
这部划时代的著作共分13卷，465个命题。
其中有八卷讲述几何学，包含了现在中学所学的平面几何和立体几何的内容。
但《几何原本》的意义却绝不限于其内容的重要，或者其对定理出色的证明。
真正重要的是欧几里德在书中创造的一种被称为公理化的方法。
在证明几何命题时，每一个命题总是从再前一个命题推导出来的，而前一个命题又是从再前一个命题推导出来的。
我们不能这样无限地推导下去，应有一些命题作为起点。
这些作为论证起点，具有自明性并被公认下来的命题称为公理，如同学们所学的“两点确定一条直线”等即是。
同样对于概念来讲也有些不加定义的原始概念，如点、线等。
在一个数学理论系统中，我们尽可能少地先取原始概念和不加证明的若干公理，以此为出发点，利用纯逻辑推理的方法，把该系统建立成一个演绎系统，这样的方法就是公理化方法。
欧几里德采用的正是这种方法。
他先摆出公理、公设、定义，然后有条不紊地由简单到复杂地证明一系列命题。
第七章欧氏几何的公理体系简介
第七章欧氏几何的公理体系简介§7.1欧氏几何的公理体系简介一、希尔伯特的公理体系简介1、原始概念点、直线、平面是几何研究的基本对象，属于不加定义的基本元素；“在……上”（属于、通过都是它的同义语）、“在……之间”、：“合同”及“连续”等是不加定义的原始概念。
2、欧氏公理公理Ⅰ结合公理（共八条）Ⅰ：至少有一条直线通过已知的两点；1Ⅰ：至多有一条直线通过已知的两点；2这两条公理的二个直接推论是：推论1o：两个不同的点确定唯一直线；推论2o：两条不同的直线至多只有一个交点。
由于这两条推论的表述比较直接，因此通常用作中学教材的公理。
Ⅰ：一条直线上至少有两个点；至少有三点不在同一条直线上；3Ⅰ：至少有一个平面通过已知不共线的三点。
每个平面上至少4有一个点；5Ⅰ：至多有一个平面通过已知不共线的三点。
公理4Ⅰ和公理5Ⅰ也有一条直接推论： 推论：不共线的三点确定唯一平面。
这条推论通常作为中学立体几何教材的第一条公理。
6Ⅰ：如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线上所有点都在这个平面上；7Ⅰ：如果两个平面有一个公共点，那么至少还有另外一个公共点；8Ⅰ：至少存在四个点不在同一个平面上。
在八条结合公理中，如果只是建立平面几何，可以去掉后面的五条。
公理Ⅱ 顺序公理（共四条）1Ⅱ：如果B 介于点A 和点C 之间，则A 、B 、C 是一条直线上的三个不同点，并且B 也介于C 、A 之间。
2Ⅱ：对于任意两点A 、B ，直线AB 上至少有一点C ，使B 介于A 、C 之间；3Ⅱ：一条直线上的任意三点，至多有一点介于其余两点之间；4Ⅱ：（巴士公理）设A 、B 、C 是不共线的三点，直线a 在平面ABC 内，但不过A 、B 、C 中任何一点，如果a 上有一点介于A 、B 之间，那么a 上也必有另一点介于A 、C 或B 、C 之间；顺序公理用来规定直线上点的相互关系。
公理Ⅲ 合同公理（共五条）1Ⅲ：设AB 是给定线段，X A ''是从A '点出发的射线，则在X A ''上有且仅有一点B '，使得AB B A =''，对于每条线段AB ，都有BA AB =。
这个空间的几何学就叫做黎曼几何学
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Y B
A
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X
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Y
X
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三、球几何
继 Gauss 和 Lobachevsky 之后，Riemann 也研究了几何的基础问题。1854年在 Götingen 大学，Riemann 做了“关于作为几 何学基础的假设”的学术报告，提出了一种更 为广泛的几何理论的初始概念，给出了另一种 简单的非欧氏几何，即椭圆几何学。
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五、陈省身的贡献
Chern在几何学上做出了巨大贡献， 最为重要的是 Gauss-Bonnet定理高维推广的内蕴证明 纤维丛的陈类（Chern Class)
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两维的Gauss-Bonnet定理
局部公式
2 i kg ds kdA
i
V EF 2
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环面的欧拉示性数
V EF 0
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双环面的欧拉示性数
V E F 2
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三环面的欧拉示性数
V E F 4
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定向紧致曲面：球面，环面，双环面等等，
在拓扑同构的意义下，所有紧致可定 向曲面，都是球面粘上g个环柄得到的。 都可以进行三角剖分。欧拉示性数为
cosa cosbcosc sin bsin c cos A cosc cosbcosa sin bsin a cosC cosb cosa cosc sin asin c cosB
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《欧几里得几何学》课件
公理一
任意两点A和B可以确定一条且仅有一 条直线。
02
公理二
给定一条直线，可以找到一个且仅有 一个点，使得该点到这条直线的距离 为零。
01
公理五
通过给定直线外的一个点，有且仅有 一条与给定直线平行的直线。
05
03
公理三
通过给定的一点和不在给定直线上的 另一点，可以确定一条且仅有一条与 给定直线不同的直线。
黎曼几何学
以球面几何为基础，挑战欧几里得几何学的平坦空间假设。
弯曲空间理论
挑战欧几里得几何学的直线和圆的概念，提出空间可以弯曲。
欧几里得几何学在现代科技中的应用前景
建筑学
01
利用欧几里得几何学原理设计建筑结构和外观。
工程学
02
在机械、航空、船舶等领域，利用欧几里得几何学进行精确设
计和制造。
计算机图形学
数学教育
欧几里得几何学是数学教育中的重 要组成部分，对于培养学生的逻辑 思维和空间想象力具有重要意义。
欧几里得几何学与其他几何学的关系
非欧几里得几何
与欧几里得几何学相对，非欧几里得 几何学包括球面几何、双曲几何等， 它们在空间定义和公理体系上与欧几 里得几何有所不同。
解析几何
解析几何通过引入坐标系和代数方法 来研究几何问题，它与欧几里得几何 学相互补充，共同构成了现代几何学 的基础。
《欧几里得几何学》ppt课件
目录
• 欧几里得几何学简介 • 欧几里得几何学的基本假设 • 欧几里得几何学的基本定理 • 欧几里得几何学的推论与证明 • 欧几里得几何学的实际应用 • 欧几里得几何学的未来发展与挑战
01
欧几里得几何学简介
定义与起源
定义
欧几里得几何学，也称为欧式几 何，是基于古希腊数学家欧几里 得的几何体系，它研究的是平面 和三维空间的几何结构。
欧氏几何与非欧几何
欧氏几何欧几里得几何学,简称欧氏几何，主要是以欧几里得平行公理为基础的几何学。
欧几里得他把当代希腊数学家积累的几何知识和逻辑推理的思想方法加以系统化，初步奠定了几何学的逻辑结构的基础。
19世纪末期，德国数学家希尔伯特于1899年发表了著名的著作《几何基础》，书中提出了一个欧几里得几何的完整的公理体系。
从此人们把满足希尔伯特公理系统中的结合公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理等五组公理以及由其导出的一切推论组成的几何学叫做欧几里得几何学。
特别指出的是，平行公理在欧几里得几何中有着很重要的作用。
凡与平行公理有关的命题，都是欧几里得几何学的结论。
如三角形三条高线共点；过不共线的三点恒有一圆；任何三角形三内角之和等于180°；存在相似形；勾股定理成立。
1872年，德国数学家克莱茵在爱尔朗根大学提出著名的“爱尔朗根计划书”，明确了采用几何变换对各种几何进行分类。
指出，如果一种几何变换，它的全体组成一个“群”，就相应有一种几何学。
在每一种几何中主要研究在相应的变换下的不变性和不变量。
根据这种观点，欧几里得几何学就是研究图形在合同变换下(或在运动变换下)不变的科学。
欧几里得著有《几何原本》一书，该书共13卷，除第5、7、8、9、10卷是用几何方法讲述比例和算术理论以外，其他各卷都是论述几何问题的。
《几何原本》共有23个定义，5条公设，5条公理，他力图把几何学建立在这些原始的定义、公理和公设的基础上，然后以这些显然的假设为依据推证出体系里的一切定理。
在第1卷开始他首先提出23个定义，前6个定义是：①点没有大小；②线有长度没有宽度; ③线的界是点；④直线上的点是同样放置的；⑤面只有长度和宽度；⑥面的界是线。
在定义之后，有5个公设：①从任意点到另一点可以引直线；②有限直线可以无限延长；③以任意点为圆心，可用任意半径作圆；④所有直角都相等；⑤如果两条直线与另一条直线相交，所成的同侧内角的和小于两直角，那么这两条直线在这一侧必相交。
欧式距离公式
欧式距离公式欧式距离公式是数学、统计学和计算机科学领域的一种量化距离衡量方法，它是以古典几何中的欧氏距离为基础，用数学描述和表示客观实物间的距离。
欧式距离用于计算两个物体间的空间距离，可以有多种形式，广泛用于各种应用场景。
欧式距离可以统称为欧氏距离，也称作欧几里得距离（Euclidean distance）。
它指两点之间的距离，也用坐标表示。
欧式距离公式定义为：d =((x_2 - x_1)2 + (y_2 - y_1)2)其中，x_1 and x_2 为两个点的横坐标，y_1 and y_2 为两个点的纵坐标，d 为两个点之间的距离，它表示两点之间的某种距离。
欧式距离的几何性质欧氏几何中的距离也是无穷维中的向量空间中一个重要的概念，它可以被视为一条单调递减的实数线。
欧式距离是一条从原点出发指向任意点的有向直线段，其长度由以下公式表示：d =√((x_2-x_1)2 + (y_2-y_1)2)换句话说，欧式距离是把点A和点B用一条直线连接，直线段的长度就是点A到点B的欧式距离。
欧几里得定理告诉我们：在空间中，任意一点A到另一点B的距离X，等于从原点O出发指向A和指向B 的两个位置的向量的夹角之和，也就是指从原点O出发指向点A的有向直线段的长度加上指向B的有向直线段的长度。
欧氏距离还有一个性质，即可以使用欧氏距离来表示多点之间的距离，只要将这些点构成的图形与原点O相投影，那么多点之间的欧氏距离就是图形的总长度。
应用欧式距离可以用于多种场景，如天文学、物理学和工程学中的定位、追踪、分析和识别，还可用于机器学习和数据挖掘领域的聚类、分类等任务。
欧式距离也被广泛应用于自然语言处理，尤其是用于计算词语或句子间的相似性。
通常，自然语言处理中所使用的文本距离算法可以看作是欧氏距离的一个特殊情况，文本距离度量的是文本之间的相似性或匹配度，而欧式距离则将文本视为一系列特征值，并计算特征值之间的欧氏距离，从而定量地分析文本之间的相似度。
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用度量空间的定义，证明
我们把度量空间 ( , ) 称为一个 维 欧氏几何空间 ，如果它等距同构于典范模型 )。
注记 在许多正式的几何学专著里，欧氏几何空间也称为欧氏空间形式（Euclidean space form） ，有时也可以简称为欧氏几何。 “欧氏空间”这个名称容易和线性代数中的内积向量空 间混淆，并不推荐使用。 抽象的平面欧氏几何总可以通过等距同构， 用典范模型的典范坐标分量的线性方程定义 直线。这与熟知的平面解析几何处理完全一样。通过适当的翻译，可以验证欧几里得《几何 原本》 的五公理和五公设在典范模型中得到满足， 这样就能够把古典的平面几何学在集合论 基础之上严格地建立起来。 练习 练习 用定义证明在平面欧氏几何中，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 证明在 中由 = 0定义的子集自然构成一个三维欧氏几何空间。
欧氏几何的度量模型
这篇笔记里，我们引入一般的度量空间，然后给出欧氏几何的一个严格定义。 定义 : × 一个抽象的 度量空间 包括两个项目 ( , ) ,其中 是一个集合，其元素称为 点 ， → ℝ是一个关于任意两点的函数， 称为距离， 要求对于任意 , , ∈ 满足如下性质：
（1）非负性： ( , ) ≥ 0 ； （2）非退化性： ( , ) = 0 当且仅当 = ； （3）对称性： ( , ) = ( , )； （4）三角形不等式： ( , ) + ( , ) ≥ ( , )。在指明了度量的场合， 我们通常隐去其度量而简记度量空间以其集合 。 注记 其实非负性可以由另外三条性质推出。
定义 两个度量空间 ( , ) 和 ( ′, ′) 之间的一个 等距同构映射 是一个保持度量的双射 : → ′， 即对于任意 , ∈ ,有 ( , ) = ( ( ), ( ))。 称两个度量空间是等距同构的， 如果它们之间存在着这样的一个等距同构映射。 容易看出， 等距同构映射的复合或者逆映射也是等距同构映射， 所以等距同构是度量空 间之间的等价关系。等距同构的度量空间之间也可能有多个等距同构映射。 例 对于自然数 ，引入这样的( 其距离取为 可以验证，( 练习 定义 ( , , ( , ⋯ , ), ( , ⋯ , ) = ( − )构成一个度量空间。我们称( , 是度量空间。 ) + ⋯+( − ) 。 )为 维欧氏几何的典范模型。 )：这里的 是集合 = ( , ⋯ , ): ∈ ℝ ， ,
思考
在欧氏几何空间的典范模型中， 如何定义有向线段？如何定义两条有向线段可以通
Байду номын сангаас
过平移重合？在抽象的欧氏几何空间中又如何引入这些概念，需要小心什么？ 经过周全的思考，我们最终能够结论说，在度量空间的范畴中， （三维欧氏几何）空间 中的点、 有向线段、 平移等等都是有确切含义的数学概念， 而它们的性质符合我们之所习惯。 这就保证了几何语言的合法性，为由此而建立向量的概念奠定了严格基础。 上述通过度量模型处理欧氏几何的方式体现了现代数学的所谓的结构主义思想， 即我们 把（几何）空间看作是一个承载的集合添加以一种（源于几何经验的）结构。互相同构的空 间被认为具有等效的结构，因而是雷同的。如果认为空间的（几何）性质是由其结构而不是 集合决定的， 我们就可以只考虑一个或几个具体的模型来剖析那些性质。 比如在上面的处理 中，欧氏几何的结构就是其欧氏度量，我们习惯于谈论的图形的长度、角度等概念都是结构 决定的性质。但是，比如原点的位置、坐标系就不是抽象的欧氏几何空间结构的一部分。尽 管在典范模型里我们发现了典范的原点和典范的坐标系， 它们却不能通过等距同构映射以自 然的方式搬到其它空间上去，这是由于可用的等距同构映射通常不是唯一的。