江苏省泰州市2023届高三上学期模拟(期末)考试数学试卷+含答案
2021届江苏省泰州市高三上学期期末数学试题(解析版)
2021届江苏省泰州市高三上学期期末数学试题一、单选题1．若集合{}240∣=-<A xx ，{lg 0}B x x =<∣，则A B =（ ）A ．(2,1)-B ．(2,2)-C ．(0,1)D ．(0,2)【答案】C【分析】解不等式，求出集合A 与集合B 所表示区间，直接求交集.【详解】解：{}240(2,2)A xx =-<=-∣， {lg 0}(0,1)B x x =<=∣，故(0,1)AB =，故选：C.2．设x ∈R ，则“||1x <”是“31x <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分性和必要性的定义，结合比较法和特例法进行判断即可. 【详解】当||1x <时，即11x -<<，32331(1)(1)0101x x x x x x -=-++<⇒-<⇒<，因此由||1x <能推出31x <，当31x <时，显然当2x =-时成立，但是||1x <不成立，因此由31x <不一定能推出||1x <，所以“||1x <”是“31x <”的充分不必要条件，故选：A3．若复数2z i =-，其中i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A ．z 的虚部为i - B ．||5z =C ．2z i =--D ．234z i =-【答案】D【分析】根据复数的概念、复数的模、共轭复数的概念及复数的乘法运算逐项判断.【详解】2z i =-的虚部为1-，A 错误；||z ==B 错误；2z i =+，C 错误；()22244134z i i i =-=--=-，D 正确.故选：D4．人的血压在不断地变化，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的度数就是收缩压和舒张压，度数120/80mmHg 为标准值.设甲某的血压满足函数式()()10224sin 160p t t π=+，其中()p t 为血压（单位：mmHg ），t 为时间（单位：min ），对于甲某而言，下列说法正确的是（ ） A ．收缩压和舒张压均高于相应的标准值 B ．收缩压和舒张压均低于相应的标准值 C ．收缩压高于标准值､舒张压低于标准值 D ．收缩压低于标准值､舒张压高于标准值【答案】C【分析】求得函数()p t 的最大值和最小值，结合收缩压和舒张压的标准值可得出结论. 【详解】()()10224sin 160p t t π=+，()min 1022478p t ∴=-=，()max 10224126p t =+=.所以，甲某血压的舒收缩压为126mmHg ，舒张压为78mmHg . 因此，收缩压高于标准值､舒张压低于标准值. 故选：C.5．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径意思是：球的体积V 乘16，除以9，再开立方，即为球的直径d ，由此我们可以推测当时球的表面积S 计算公式为（ ） A ．2278S d =B ．2272S d =C ．292S d =D ．21114S d =【答案】A【分析】根据已知条件结合球的体积公式3432d π⎛⎫ ⎪⎝⎭求解出π的值，然后根据球的表面积公式242d π⎛⎫ ⎪⎝⎭求解出S 的表示，即可得到结果.【详解】d =，所以33941632d d V π⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以278π=，所以2222727442848d d S d π⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，故选：A.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是根据球的体积公式得到π的表示，再将π带入到球的表面积公式即可完成求解.6．已知向量(1,2)AB =，(cos ,sin )AC θθ=，则ABC 面积的最大值为（ ）A ．B ．12C D ．1【答案】C【分析】利用向量公式求出向量AB 与AC 的夹角及模长，利用三角形面积公式求得面积，运用三角函数性质求得最值. 【详解】(1,2)AB =，(cos ,sin )AC θθ=222125,cos 1AB AC ∴=+===,5cos sin()AB AC A AB ACθθθϕ⋅==+=+⋅，其中1tan 2ϕ=， 故sin cos()A θϕ=+，1sin )2ABCSAB AC A θϕ=⋅⋅=+，故当cos()1θϕ+=时，即2,k k Z θϕπ+=∈时，ABCS . 故选：C.7．已知0.1log 5x =，7log y = ）A ．0x y xy +<<B ．0xy x y <+<C ．0x y xy +<<D ．0xy x y <<+【答案】B【分析】先根据计算确定出,xy x y +的正负，然后将x yyx +的值与1比较大小，由此确定出,,0xy x y +之间的大小关系.【详解】因为0.1lg 5log 5lg 50lg 0.1x ===-<，771lg 5log log 5022lg 7y ===>，所以0xy <，又因为()lg 512lg 7lg 5lg 52lg 72lg 7x y -+=-=，因为12lg7lg10lg 490-=-<，所以0x y +<，又因为()5555511log 0.17log 0.12log 7log 0.149log 4.91x y xy x y+=+=+=+=⨯=<， 所以1x yxy+<且0xy <，所以x y xy +>，所以0xy x y <+<， 故选：B.【点睛】方法点睛：常见的比较大小的方法： （1）作差法：作差与0作比较；（2）作商法：作商与1作比较（注意正负）； （3）函数单调性法：根据函数单调性比较大小； （4）中间值法：取中间值进行大小比较.8．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()(6)f x f x =-，且当03x ≤<时，21),01()2(2),13a x x f x x x ++≤≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩，其中a 为常数，则(2019)(2020)(2021)f f f ++的值为（ ） A ．2 B ．2-C ．12D ．12-【答案】B【分析】由()(6)f x f x =-，求得()f x 的周期，根据函数的奇偶性求得(1),(2),(3)f f f --的值，结合()(2019)(2020)(2021)3(2)(1)f f f f f f =+-+-++，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 满足()(6)f x f x =-，所以函数()f x 的周期为6T =，又由当03x ≤<时，21),01()2(2),13a x x f x x x ++≤≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩， 因为函数()f x 奇函数，所以()00f a =+=，所以0a =，则()1(1)1)2f f -=-=-+=-，()22(2)2(22)0f f -=-=-⨯-=，令3x =，可得(3)(36)(3)(3)f f f f =-=-=-，可得(3)0f =， 所以(2019)(2020)(2021)(33663)(33672)(33761)f f f f f f ++=⨯++⨯-+⨯-()3(2)(1)0022f f f =+-+-=+-=-.故选：B二、多选题9．已知抛物线2:4x y Γ=的焦点为F ，过F 与y 轴垂直的直线交抛物线Γ于点M ，N ，则下列说法正确的有（ ） A ．点F 坐标为(1,0) B ．抛物线Γ的准线方程为1y =- C ．线段MN 长为4 D ．直线2y x =-与抛物线Γ相切【答案】BC【分析】根据抛物线的标准方程和几何性质，可判定A 不正确，B 正确；令1y =，可得求得4MN =，可判定C 正确；联立方程组，根据∆<0，可判定D 不正确. 【详解】由抛物线2:4x y Γ=，可得24p =，即2p =，且焦点在y 轴上，所以焦点为(0,1)F ，准线方程为1y =-，所以A 不正确，B 正确；令1y =，可得24x =，解得2x =±，所以4MN =，所以C 正确；联立方程组224y x x y=-⎧⎨=⎩，整理得2480x x -+=，可得2(4)480∆=--⨯<，所以直线2y x =-与抛物线没有公共点，所以D 不正确. 故选：BC.【点睛】求解直线与抛物线的位置关系问题的方法：在解决直线与抛物线的位置关系的问题时，其方法类似于直线与椭圆的位置关系，在解决此类问题时，除考虑代数法外，还应借助平面几何的知识，利用数形结合法的思想来求解.10．已知函数()sin(cos )f x x =，则下列关于该函数性质说法正确的有（ ） A ．()f x 的一个周期是2πB ．()f x 的值域是[1,1]-C ．()f x 的图象关于点(,0)π对称D ．()f x 在区间(0,)π上单调递减【答案】AD【分析】根据正弦型函数的性质，结合余弦函数的性质逐一判断即可. 【详解】A ：因为(2)sin[cos(2)]sin(cos )()f x x x f x ππ+=+==， 所以2π是函数()f x 的周期，故本选项说法正确； B ：因为1cos 1x -≤≤，[1,1][,]22ππ-⊆-， 所以sin(1)sin(cos )sin1()[sin1,sin1]x f x -≤≤⇒∈-， 故本选项说法不正确；C ：因为()sin[cos()]sin(1)sin10f ππ==-=-≠， 所以()f x 的图象不关于点(,0)π对称， 故本选项说法不正确；D ：因为(0,)x π∈，所以函数cos y x =是单调递减函数， 因此有1cos 1x -≤≤，而[1,1][,]22ππ-⊆-，所以()f x 在区间(0,)π上单调递减，故本选项说法正确. 故选：AD11．引入平面向量之间的一种新运算“⊗”如下：对任意的向量()11,m x y =，()22,n x y =，规定1212m n x x y y ⊗=-，则对于任意的向量a ，b ，c ，下列说法正确的有（ ） A ．a b b a ⊗=⊗ B ．()()a b a b λλ⊗=⊗ C ．()()a b c a b c ⋅⊗=⊗⋅ D ．||||||a b a b ⋅≥⊗【答案】ABD【分析】根据坐标运算计算出每个等式等号左右两边的值，由此判断出AB 是否正确；理解C 选项中“”的含义，由此可判断是否正确；将不等号两边同时平方结合坐标形式下向量的模长公式，采用作差法判断是否正确.【详解】A ．因为12122121,a b x x y y b a x x y y ⊗=-⊗=-，所以a b b a ⊗=⊗，故正确；B ．因为()()()()()12121212a b x x y y x x y y a b λλλλλ⊗=-=-=⊗，故正确；C ．()()()()23231212,a b c x x y y a a b c x xy y c ⋅⊗=-⊗⋅=-，此时()()a b c a b c ⋅⊗=⊗⋅不恒成立，故错误；D ．因为()(2222222222112121221||||a b x x x y y x y x y ⋅==+++，2222212121212||=2a b x x y y x x y y ⊗+-，所以()()2222222122112121221||||||20a b a b x y x y x x y y x y x y ⋅-⊗=++=+≥，所以()22||||||0a b a b ⋅-⊗≥，且||||0a b ⋅≥，||0a b ⊗≥，所以||||||a b a b ⋅≥⊗，故正确， 故选：ABD.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解新运算的运算方法，将其与坐标形式下向量的数量积公式区分开来，通过坐标运算达到判断的目的. 12．已知()20122221nn n n n n n x x T T x T x T x ++=+++⋯+，*n ∈N ，其中in T 为()21nx x ++展开式中i x 项系数，0,1,2,,2i n =⋅⋅⋅，则下列说法正确的有（ ）A ．1477i iT T -=，0,1,2,,14i =⋅⋅⋅ B ．233778T T T +=C ．14671023i i i i T===∑∑D ．77T 是07T ，17T ，27T ，…，147T 是最大值 【答案】ACD【分析】由三项式系数塔与杨辉三角构造相似可得A ，D 正确，根据计算可得233778T T T≠+，1467123i i i i T===∑∑，所以C 正确.【详解】由题意知，三项式系数塔与杨辉三角构造相似，其第二行为三个数，且下行对应的数是上一行三个数之和，故1477i i T T -=，77T 是07T ，17T ，27T ，…，147T 的中间项，故77T 最大，所以A ，D 正确；令0x =可知：012201000n n n n n n T T T T T ⋅⋅⋯+⋅+==++；当7n =时，()71212241477711x xT x T x T x ++=+++⋯+，12772772128C C T =+=+=，31137677423577C C C T =+=+=，31138878112T C C C =+=，所以233778T T T ≠+.令1x =可知，141471477777711231i i i i T T T TT T ====+++⋯++=∑∑，即1477131i i T =-=∑；又因为7012713122(333...3)233131bbi i=-=++++=⋅=--∑. 故1467123ii i i T===∑∑，C 正确.故选：ACD【点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n r ≥，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．三、填空题13．函数()e x f x x =+(其中e 为自然对数的底数)的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为________. 【答案】21y x =+【分析】先计算出()f x '，然后计算出()()0,0f f '，再根据直线的点斜式方程求解出切线方程.【详解】因为()e 1xf x '=+，所以()()0012,001f e f e '=+==+=，所以切线方程为：()120y x -=-，即21y x =+， 故答案为：21y x =+.14．党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育为了响应报告精神，某师范大学5名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作.若将这5名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人最多分配2人，则分配方案的总数为________. 【答案】90【分析】首先将5名毕业生分组，然后再全排即可.【详解】将5名毕业生按2,2,1分组，则方法有2215312215C C C A ⋅⋅=， 分配到3所乡村小学，共有333216A =⨯⨯=，所以分配方案的总数为15690⨯=.故答案为：9015．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:17y x Γ-=的两个焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心，12F F 长为半径的圆与双曲线Γ的一条渐近线交于M ，N 两点，若OM ON ≥，则OMON的值为________. 【答案】32【分析】求出双曲线的两个焦点坐标和渐近线方程，再求圆的方程与渐近线方程联立可得M ，N 两点的横坐标，由OMON即为横坐标的绝对值的比可得答案.【详解】由已知得2221,7,8a b c ===，2c =，12(F F -，取双曲线的一条渐近线y =，所以圆的方程为(2232x y +=-，由(2232y x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩整理得2260x -=，解得2N M x x ==，32M NM O x x O N===.取双曲线的另一条渐近线y =，(2232y x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩整理得2260x -=与上同，综上32OMON =.故答案为：32. 【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与双曲线、圆的位置关系，解答本题的关键是求出渐近线与圆的方程然后联立，得到M ，N 两点的横坐标再由绝对值做比值，考查了学生的运算求解能力.四、双空题16．已知随机变量X 有三个不同的取值，分别是0，1，x ，其中(0,1)x ∈，又1(0)2P X ==，1(1)4P X ==，则当x =________时，随机变量X 的方差的最小值为________.【答案】13 16【分析】由分布列的性质，求得1()4P X x ==，根据期望的公式，求得()14xE X +=，结合方差的计算公式，化简得的()232316x x D X -+=，利用二次函数的性质，即可求解.【详解】由1(0)2P X ==，1(1)4P X ==，可得1()4P X x ==，所以随机变量X 的期望为()1111012444xE X x +=⨯+⨯+⨯=，则方差为()2222111111323(0)(1)()42444416x x x x x D X x +++-+=-⨯+-⨯+-⨯=， 所以当13x =时，方差取得最小值，最小值为()16D X =.故答案为：13，16.五、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos a C ，cos b B ，cos c A 成等差数列.（1）求角B 的大小； （2）若4cos 5A =，求sin C 的值.【答案】（1）3π；（2. 【分析】（1）根据三个数成等差数列列出对应等式，然后利用正弦定理进行边化角，再结合隐含条件A B C π++=求解出B 的值；（2）先计算出sin A 的值，然后根据()sin sin C A B =+结合两角和的正弦公式求解出sin C 的值.【详解】（1）cos ,a C ∴，cos b B ，cos c A 成等差数列，2cos cos cos b B a C c A ∴=+，由正弦定理，2sin cos sin cos sin cos sin()B B A C C A A C =+=+，ABC 中，A B C π++=，sin()sin()sin A C B B π∴+=-=，2sin cos sin B B B ∴=，又(0,)B π∈，sin 0B ∴>，1cos 2B ∴=，3B π∴=. （2）(0,)A π∈，sin 0A ∴>，3sin 5A ∴==，sin sin()sin cos sin cos C A B A B B A ∴=+=+314525=⨯+=. 【点睛】易错点睛：利用正、余弦定理解三角形的注意事项： （1）注意隐含条件“A B C π++=”的使用；（2）利用正弦定理进行边角互化时，等式两边同时约去某个三角函数值时，注意说明其不为0.18．已知数列{}n a 的前n 项和为(1)2n n n S -=，各项均为正数的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，________，且34b =.在①23T =；②37T =；③4322b b b -=这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n A ，求证：2n A <.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 【答案】条件选择见解析；（1）1n a n =-，12n n b -=；（2）证明见解析.【分析】（1）根据(1)2n n n S -=，利用数列通项和前n 项和关系11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a ，选①23T =，由112134b b q b q +=⎧⎨=⎩求解；若选②，则2333T T b =-=，由112134b b q b q +=⎧⎨=⎩求解；若选③，由844q q-=求解. （2）根据1111(1)22n n n n a n n b ---⎛⎫==- ⎪⎝⎭，利用错位相减法求和.【详解】（1）当1n =时，110a S ==，当2n ≥时，11n n n a S S n --==-，1n =时也成立，1n a n ∴=-，若选①23T =，设{}n b 的公比为q ，0q >，112134b b q b q +=⎧∴⎨=⎩，112b q =⎧∴⎨=⎩，则12n n b -=. 若选②，则2333T T b =-=，112134b b q b q +=⎧∴⎨=⎩, 112b q =⎧∴⎨=⎩，则12n n b -=. 若选③，则844q q-=，则2q ，12n n b -=,1n a n ∴=-，12n n b -=.（2）1111(1)22n n n n a n n b ---⎛⎫==- ⎪⎝⎭.22111111012(2)(1)22222n n n A n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⨯+⋯+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭④，211111101(2)(1)22222n nn A n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋯+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⑤，-④⑤得2111111(1)22222n nn A n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1111221(1)1212n nn -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-- ⎪⎝⎭-，1111(1)22n nn -⎛⎫⎛⎫=--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以21112(1)22n n n A n --⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，112(1)22n n -⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．19．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为3的等边三角形，12A A =，点1A 在下底面上的射影是ABC 的中心O .（1）求证：平面1A AO ⊥平面1BCC B ； （2）求二面角1C AB C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）277.【分析】（1）证明1A O BC ⊥、AO BC ⊥即可推出BC ⊥平面1A AO ，从而证明两平面垂直；（2）建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标及平面1C AB 与平面ABC 的法向量，利用空间向量法求平面夹角的余弦值. 【详解】（1）证明：A 在下底面上的射影是ABC 的中心O ，1A O ∴⊥底面ABC ，1AO BC ∴⊥， O 为ABC 的中心，且ABC 为等边三角形，AO BC ∴⊥，1A O ⊂平面1A AO ，AO ⊂平面1A AO ，1AO AO O ⋂=，BC ∴⊥平面1A AO ，BC ⊂平面11BCC B ，∴平面1A AO ⊥平面11BCC B .（2）取AB 中点E ，连接OE ，O 为ABC 的中心，且ABC 为等边三角形，OE AB ∴⊥，以点O 为原点，OE 所在直线为x 轴，过点O 作平行于AB 的直线为y 轴，1OA 所在直线为z 轴建立如图所示空间直角坐标系，13,22A ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭，132B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(1,0,0)C -，13)A ， 13332C ⎛∴- ⎝，1(2,3,3)C A =--，(0,3,0)AB =，设平面1C AB 的一个法向量为1(,,)n x y z =，111233000030x z n C A n AB ⎧⎧=⋅==⎪⎪∴⇒⎨⎨⋅==⎪⎪⎩⎩，取3x =1C AB 的一个法向量为1(3,0,2)n =且平面ABC 的一个法向量2(0,0,1)n =，设二面角1C AB C --平面角为θ，1n ，2n 所成角为ϕ，显然θ为锐角，1212cos |cos |7n n n n θϕ⋅∴====⋅.【点睛】利用空间向量法求二面角的方法：（1）分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角；（2）分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.以上两种方法各有利弊，要善于结合题目的特点选择适当的方法解题.20．2020年是脱贫攻坚的收官之年，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利，为确保我国如期全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标打下了坚实的基础在产业扶贫政策的大力支持下，西部某县新建了甲､乙两家玩具加工厂，加工同一型号的玩具质监部门随机抽检了两个厂的各100件玩具，在抽取中的200件玩具中，根据检测结果将它们分成“A ”､“B ”､“C ”三个等级，A ､B 等级都是合格品，C 等级是次品，统计结果如下表所示：(表一)(表二)在相关政策扶持下，确保每件合格品都有对口销售渠道，但从安全起见，所有的次品必须由原厂家自行销.（1）请根据所提供的数据，完成上面的2×2列联表(表二)，并判断是否有95%的把握认为产品的合格率与厂家有关？（2）每件玩具的生产成本为30元，A ､B 等级产品的出厂单价分别为60元､40元.另外已知每件次品的销毁费用为4元.若甲厂抽检的玩具中有10件为A 等级，用样本的频率估计概率，试判断甲､乙两厂能否都能盈利，并说明理由.附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）列联表答案见解析，没有95%的把握认为产品的合格率与厂家有关；（2）甲厂能盈利，乙不能盈利，理由见解析.【分析】（1）根据A ，B ，C 等级的统计和表中的数据，完成2×2列联表.再由22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++求值，与临界值表对照下结论.（2）根据甲厂又10件A 等级，65件B 等级，25件次品，单件产品利润X 的可能取值为30，10，34-，列出X 的分布列，再利用期望公式求解判断；根据乙厂有10件A 等级，55件B 等级，35件次品，单位产品利润Y 的可能取值为30，10，34-，列出X 的分布列，再利用期望公式求解判断； 【详解】（1）2×2列联表如下()2220075352565 2.38 3.84110010014060K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，∴没有95%的把握认为产品的合格率与厂家有关.（2）甲厂10件A 等级，65件B 等级，25件次品， 对于甲厂，单件产品利润X 的可能取值为30，10，34-. X 的分布列如下：()3010341010204E X ∴=⨯+⨯-⨯=>， ∴甲厂能盈利，对于乙厂有10件A 等级，55件B 等级，35件次品， 对于乙厂，单位产品利润Y 的可能取值为30，10，34-， Y 分布列如下：()30103401020205E Y ∴=⨯+⨯-⨯=-<，乙不能盈利. 【点睛】方法点睛：(1)求解离散型随机变量X 的分布列的步骤：①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；②求X 取每个值的概率；③写出X 的分布列．(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识． 21．已知函数3211()232f x x ax x =--的两个极值点(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)分别为1x ､2x ，且12x x <. （1）证明：函数()f x 有三个零点；（2）当[,)x m ∈+∞时，对任意的实数a ，()2f x 总是函数()f x 的最小值，求整数m 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为2-.【分析】（1）由(0)0f =以及方程223120x ax --=的判别式大于0可知()f x 有3个零点；（2）利用导数可得()f x 在()1,x -∞，()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减，当2x x ≠时，令2()()f x f x =，求出该方程的另一个根3x 的最大值为2-，根据三次函数的图象可得结果. 【详解】（1）因为函数3211()232f x x ax x =--的两个极值点分别为1x ､2x ，且12x x <.所以2()20f x x ax =--='有两个不等的实根1x ，2x ， 所以1220x x =-<，所以120x x <<， 令()21()231206f x x x ax =--=，得0x =或223120x ax --=， 由223120x ax --=可知29960a ∆=+>， 所以223120x ax --=有两个不等的非零实根，∴函数()f x 有三个零点.（2）根据()f x 的两个极值点分别为1x ､2x ，且12x x <，可得2()20f x x ax =--='的两根为12,x x ，且12x x <，根据二次函数知识可知当1x x <或2x x >时，()0f x '>，当12x x x <<时，()0f x '<， 所以()f x 在()1,x -∞，()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减， 当2x x ≠时，令()323222221111()223232f x f x x ax x x ax x =⇒--=-- ()()22222222323120x x x x a x x ax ⎡⎤⇒-+-+--=⎣⎦，所以()2222222323120x x a x x ax +-+--=有一根为2x 2(0)x >，设另一根为3x ，223234x a x x -∴+=-，23364a x x -∴=，又22220x ax --=，即2222ax x =-， 所以()22222223223263644x x ax x x x x ---==222223633442x x x x ⎛⎫--==-+ ⎪⎝⎭932282≤-=-，依题意根据三次函数的图象可得3m x ≥恒成立，而3x 的最大值为322-，所以32 2m≥-，m Z∈，2m∴≥-，∴整数m的最小值为2-.【点睛】关键点点睛：第二问的解题关键是找到与2x的函数值相等的自变量3x的最大值.22．如图，已知椭圆22:142x yΓ+=，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，C，D在椭圆Γ上，点D在第一象限.CB的延长线交椭圆Γ于点E，直线AE与椭圆Γ､y轴分别交于点F､G，直线CG交椭圆Γ于点H，DA的延长线交FH于点M.（1）设直线AE､CG的斜率分别为1k､2k，求证：12kk为定值；（2）求直线FH的斜率k的最小值；（3）证明：动点M在一个定曲线上运动.【答案】（1）证明见解析；（26（3）M在曲线22214xy+=上运动，证明见解析. 【分析】（1）由对称性，设出,,,A B E C点的坐标，求出直线AE，CG的斜率即可求证；（2）由直线CG的方程与椭圆方程联立利用韦达定理可求出点H坐标，直线AE的方程与椭圆方程联立利用韦达定理可求出点F坐标，即可表示出直线FH的斜率,利用基本不等式即可求最值；（3）求出直线FH的方程，令0x x=，可得点M纵坐标用y表示，利用点()00,x y在椭圆上，相关点法可求动点M的轨迹方程，即可求证.【详解】（1）由对称性，设0(,0)A x，(,0)B x-，()00,E x y--，()00,C x y-则00:()2y AE y x x t =-，得00,2y G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故0102y k x =，02032y k x =-，则1213k k =-， （2）由02:2y CG y k x =-， 联立()202220220221224022240y y k x y k x k y x x y ⎧=-⎪⇒+-+-=⎨⎪+-=⎩， 由根与系数的关系可得200224212H y x k x -=+-⋅ ，所以()202024212H y x x k -=-+，所以()22020242212H y k y y x k ⎛⎫- ⎪⎝⎭=--+，可得()()2200202202024422,21212y y k y H x k x k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪- ⎪-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 又01:2y AE y k x =-，联立()202210110221224022240y y k x y k x k y x x y ⎧=-⎪⇒+-+-=⎨⎪+-=⎩， 由根与系数的关系可得200214212F y x k x -=+-⋅ ，所以()220104212F y x x k -=-+，所以()2021*******F y k y y x k ⎛⎫- ⎪⎝⎭=--+可得：()()2200102201014422,21212y y k y F x k x k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪- ⎪-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()()()122211121212112212231121221112231212H F FHH F k k k k y y k k k k k x x k k k k k k ----++-====-+--++2111116614442k k k k +==+≥=，由图知10k >，所以116144k k +≥=即2FH k ≥, 当且仅当116144k k =即16k =取等.所以直线FH 的斜率k的最小值为2（3）易知()()220012012210101442162:421212y y k y k FH y x k x k x k ⎛⎫⎛⎫- ⎪- ⎪+⎝⎭=++- ⎪+-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 令0x x = 可得()()2200120102210101442162421212y y k y k y x k x k x k ⎛⎫⎛⎫- ⎪- ⎪+⎝⎭=++- ⎪+-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()()2200120102210101442162421212M y y k y k y x k x k x k ⎛⎫⎛⎫- ⎪- ⎪+⎝⎭=++- ⎪+-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 2020101104162424y y k x k k x -+=-+222101010110241644k x k x k x k k x -+=-+ 222220100001004444.22x k x x y y k x y +-+-===-，所以002M M x x y y =⎧⎨=-⎩ ， 因为2200142x y +=， 所以()222142M M y x -+=，即M 在曲线22214x y +=上. 【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为,x y 的等式，就能得到曲线的轨迹方程；（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数参数求出所求轨迹的方程.。
江苏省泰州市兴化市2023-2024学年高三上学期期末适应性考试 数学含解析
2023年秋学期高三期末造应性考试高三数学试卷（答案在最后）2024.1.（考试用时：120分钟总分：150分）第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}|12,N A x x x =-≤∈，{}|ln 0B x x =≤，则A B ⋂的元素的个数是（）A.1B.2C.3D.42.欧拉公式：cos sin i e i θθθ=+将复指数函数与三角函数联系起来，在复变函数中占有非常重要的地位，根据欧拉公式，复数3i e 在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =给出下列结论，其中正确的结论为（）A.OA 与OH 的夹角为π3B.OD OF OE+=C.OA OC -=D.OA 在OD 上的投影向量为2e （其中e 为与OD 同向的单位向量）4.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为（）A.26B.28C.30D.325.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v （单位：m /s ）可以表示为31log 2100O v =，其中O 表示鱼的耗氧量的单位数.某条鲑鱼想把游速提高2m /s ，则它的耗氧量的单位数与原来的耗氧量的单位数之比是（）A.3B.9C.27D.816.己知函数()e ln x f x a x =-在(1,2)上是单调递增函数，则实数a 的取值范围是（）A.1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B.21,2e ∞⎛⎫+⎪⎝⎭C.1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭D.21,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭7.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F作直线交抛物线于(1A x，(2,B x -两点，则p =（）A.1B.2C.3D.48.函数()2ln ,0πsin ,π06xx xf x x x ω⎧>⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若22()3()10f x f x -+=恰有6个不同实数解，正实数ω的范围为（）A.10,43⎛⎤⎥⎝⎦B.10,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.102,3⎛⎤⎥⎝⎦D.102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目更求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.某校1500名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则（）A.频率分布直方图中a 的值为0.005B.估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为75C.估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80D.估计总体中成绩落在[)60,70内的学生人数为22510.已知数列{}n a 中，11a =，()12N nn n a a n *+=+∈，则下列结论正确的是（）A.413a = B.{}n a 是递增数列C.101000a <D.121n n a a +=+11.在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2a =，sin B C =，则以下四个命题中正确的是（）A.满足条件的ABC 不可能是直角三角形B.ABCC.当A C =时，ABC的内切圆的半径为3-D.若ABC为锐角三角形，则c ∈12.已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球O ，点M 为球面上的动点，则下列说法正确的是（）A.球O 的表面积为2πB.球O在正方体外部的体积大于π13-C.球O 内接圆柱的侧面积的最大值为2πD.若点M 在正方体外部（含正方体表面）运动，则17,44MA MB ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦三、填空题：本共4小题，每小题5分，共20分.13.写出满足“直线：()210R mx y m m --+=∈与圆：221x y +=相切”的一个m 的值_________.14.袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率为______.15.设奇函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +是偶函数，若()17f =，则()()20232024f f +=__________.16.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，倾斜角为π3的直线2PF 与双曲线C 在第一象限交于点P ，若1221PF F F PF ∠≥∠，则双曲线C 的离心率的取值范围为________.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知)2222sin bc A a c b =+-.（1）求B 的大小；（2）若1cos ,23A b ==，求c .18.已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，且24213a a +=，749=S .（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x 分钟/每天）和他们的数学成绩（y 分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）．表一编号12345学习时间x 3040506070数学成绩y65788599108（1）请根据所给数据求出x ，y 的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩：（参考数据：5122820iii x y==∑，51435i i y ==∑，i x 的方差为200）（2）基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生．按照是否参与周未在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到22⨯列联表（表二）．依据表中数据及小概率值0.001α=的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关．表二没有进步有进步合计参与周末在校自主学习35130165未参与周末不在校自主学习253055合计60160220附：()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==-⋅-=-∑∑，ˆˆay bx =-，()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++．α0.100.050.0100.0050.001αχ 2.706 3.841 6.6357.87910.82820.如图，在三棱锥-P ABC 中，AB 是ABC 外接圆的直径，PC 垂直于圆所在的平面，D 、E 分别是棱PB 、PC 的中点．（1）求证：DE ⊥平面PAC ；（2）若二面角A DE C --为π3，4AB PC ==，求AE 与平面ACD 所成角的正弦值．21.已知()12,0A -是椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的左顶点，且M 经过点733,24⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求M 的方程；（2）若直线():1l y k x =-与M 交于()()1122,,,A x y B x y 两点，且12111x x +=-，求弦AB 的长.22.已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．2023年秋学期高三期末造应性考试高三数学试卷2024.1.（考试用时：120分钟总分：150分）第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}|12,N A x x x =-≤∈，{}|ln 0B x x =≤，则A B ⋂的元素的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】A 【解析】【分析】结合解不等式以及对数函数的单调性，求得集合,A B ，根据集合的交集运算，即可得答案.【详解】由题意得{}{}|12,N |13,N {0,1,2,3}A x x x x x x =-≤∈=-≤≤∈=，{}|ln 0{|01}B x x x x =≤=<≤，故{1}A B ⋂=，即A B ⋂的元素的个数是1个，故选：A2.欧拉公式：cos sin i e i θθθ=+将复指数函数与三角函数联系起来，在复变函数中占有非常重要的地位，根据欧拉公式，复数3i e 在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据复数的几何意义结合象限角的三角函数值的符号分析判断【详解】由题意可得：3i cos33e i sin =+⋅对应的点为()cos3,sin3，∵π3,π2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos30,sin 30<>，故()cos3,sin3位于第二象限.故选：B.3.八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =给出下列结论，其中正确的结论为（）A.OA 与OH 的夹角为π3B.OD OF OE+=C.OA OC -=D.OA 在OD 上的投影向量为2e （其中e 为与OD 同向的单位向量）【答案】C 【解析】【分析】结合正八边形的性质以及向量的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】2ππ84=，所以,OA OH 的夹角为π4，A 选项错误.由于四边形ODEF 不是平行四边形，所以OD OF OE +≠，AOC 是等腰直角三角形，所以CA == ，2DH =，所以OA OC CA -==，C 选项正确.结合图像可知OA在OD 上的投影向量与OD的方向相反，所以D 选项错误.故选：C【点睛】4.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为（）A.26B.28C.30D.32【答案】B 【解析】【分析】割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案.【详解】由于2142=，而截去的正四棱锥的高为3，所以原正四棱锥的高为6，所以正四棱锥的体积为()1446323⨯⨯⨯=，截去的正四棱锥的体积为()122343⨯⨯⨯=，所以棱台的体积为32428-=.故选：B.5.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v （单位：m /s ）可以表示为31log 2100O v =，其中O 表示鱼的耗氧量的单位数.某条鲑鱼想把游速提高2m /s ，则它的耗氧量的单位数与原来的耗氧量的单位数之比是（）A.3B.9C.27D.81【答案】D【解析】【分析】设鲑鱼原来的游速为1v 耗氧量的单位数为1O ，现在的游速为2v 耗氧量的单位数为2O ，由1132231log 21001log 2100O v O v ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩求解.【详解】解：设鲑鱼原来的游速为1v 耗氧量的单位数为1O ，现在的游速为2v 耗氧量的单位数为2O ，由题意得：1132231log 21001log 2100O v O v ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即12212231003100v v O O ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以()2211224221333813v v vv O O -====，故选：D6.己知函数()e ln x f x a x =-在(1,2)上是单调递增函数，则实数a 的取值范围是（）A.1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B.21,2e ∞⎛⎫+⎪⎝⎭C.1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭D.21,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】根据区间单调性得()f x '0≥对任意(1,2)x ∈恒成立，即1e xa x ≥，利用导数研究右侧单调性，进而求参数a 的范围.【详解】因为函数()e ln x f x a x =-在(1,2)上是单调递增函数，所以()f x '=1e 0xa x -≥对任意(1,2)x ∈恒成立，所以1ex a x ≥，令()()1,1,2e x g x x x =∈，则()g x '210exx x +=-<，所以()g x 在()1,2内为减函数，所以1()(1)eg x g <=，则1e a ≥．故选：C7.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F作直线交抛物线于(1A x，(2,B x -两点，则p =（）A.1B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】根据题意，将,A B 坐标分别代入抛物线方程，即可得到12,x x ，再由,,A F B 三点共线，可得AF BF k k =，即可得到结果.【详解】将(1A x，(2,B x -两点分别代入抛物线方程，可得212px =，解得11x =，则(A，(222px -=，解得24x =，则(4,B -，又抛物线22(0)y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题意可得，,,A F B 三点共线，则AFBF k k =，即1422=--，解得4p =.故选：D8.函数()2ln ,0πsin ,π06xx xf x x x ω⎧>⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若22()3()10f x f x -+=恰有6个不同实数解，正实数ω的范围为（）A.10,43⎛⎤⎥⎝⎦B.10,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.102,3⎛⎤⎥⎝⎦D.102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】把问题转化为1()12y f x y y ===与或的交点，画出图形，数形结合，再结合单调性和对称性求出参数范围即可.【详解】由题知，()()22310f x f x -+=的实数解可转化为1()2f x =或()1f x =的实数解，即1()12y f x y y ===与或的交点，当0x >时，()()221ln 2ln ()x xf x f x x x -'=⇒=所以()0,e x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，()e,+x ∈∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，如图所示：所以e x =时()f x 有最大值：max 12()12ef x <=<所以x >时，由图可知()1()1y f x y f x ===与无交点，即方程无解，11()()222y f x y f x ===与有两个不同交点，即方程有解当0x <时，因为0ω>，π0x -≤≤，所以ππππ+666x ωω-≤+≤，令π6t x ω=+，则πππ+,66t ω⎡⎤∈-⎢⎣⎦则有sin y t =且πππ+,66t ω⎡⎤∈-⎢⎣⎦，如图所示：因为0x >时，已有两个交点，所以只需保证sin y t =与12y =及与1y =有四个交点即可，所以只需19ππ11ππ+666ω-<-≤-，解得2103ω≤<．故选：D二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目更求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.某校1500名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则（）A.频率分布直方图中a 的值为0.005B.估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为75C.估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80D.估计总体中成绩落在[)60,70内的学生人数为225【答案】AD 【解析】【分析】先根据频率之和为1可得0.005a =，进而可求每组的频率，再结合统计相关知识逐项分析判断即可.【详解】由10(23762)1a a a a a ⨯++++=，可得0.005a =，故A 正确；前三个矩形的面积和为10(237)0.6a a a ⨯++=，所以这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为80，故B 错误；由成绩的频率分布直方图易知，这40名学生的竞赛成绩的众数为75，故C 错误；总体中成绩落在[)60,70内的学生人数为3101500225a ⨯⨯=，故D 正确.故选：AD10.已知数列{}n a 中，11a =，()12N nn n a a n *+=+∈，则下列结论正确的是（）A.413a =B.{}n a 是递增数列C.101000a <D.121n n a a +=+【答案】BD 【解析】【分析】根据题意，化简得到1111(1)222n n n na a ++-=-，得到12n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭表为等比数列，进而求得数列的通项公式21nn a =-，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】由12nn n a a +=+，可得11112222n n n n a a ++=⋅+，则1111(1)222n nn na a ++-=-，又由11a =，可得11122a -=-，所以数列12n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭表示首项为12-，公比为12的等比数列，所以11111()(2222n nn n a --=-⋅=-，所以21n n a =-，由442115a =-=，所以A 不正确；由11212120n n n n n a a ++-=--+=>，即1n n a a +>，所以{}n a 是递增数列，所以B 正确；由10102110231000a =-=>，所以C 错误；由1121n n a ++=-，121222121n n n a ++=⋅-+=-，所以121n n a a +=+，所以D 正确.故选：BD.11.在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2a =，sin B C =，则以下四个命题中正确的是（）A.满足条件的ABC 不可能是直角三角形B.ABCC.当A C =时，ABC 的内切圆的半径为3-D.若ABC 为锐角三角形，则c ∈【答案】BC 【解析】【分析】确定b =，举反例得到A 错误，设c x =，则b =，根据余弦定理结合面积公式计算S =B 正确，确定2π3B =，根据等面积法计算得到C 正确，计算得到(c ∈，D错误，得到答案.【详解】sin B C =，则b =，对选项A ：取1c =，则b =，2a =，故222a b c =+，ABC 是直角三角形，错误；对选项B ：设c x =，则b =，22431cos 42x x xB x x +-==-，sin 0B >，12sin2S x B=⨯===，当2x=时，S对选项C：A C=时，2a c==，b=，2221cos22a c bBac+-==-，()0,πB∈，故2π3B=，设内切圆的半径为r，则(12π122sin22232r⨯⨯⨯=⨯++，解得3=r，正确；对选项D：ABC为锐角三角形，则222b a c<+，即2234c c<+，解得c<且222a b c<+，即244c<，解得1c>，故(c∈，错误；故选：BC【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握余弦定理，从而得解.12.已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D-的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球O，点M为球面上的动点，则下列说法正确的是（）A.球O的表面积为2πB.球O在正方体外部的体积大于π13-C.球O内接圆柱的侧面积的最大值为2πD.若点M在正方体外部（含正方体表面）运动，则17,44MA MB⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦【答案】ABD【解析】【分析】对A，可求得正方体棱切球半径，运用表面积公式即可得；对B，由球O在正方体外部的体积大于球体体积与正方体的体积之差计算即可得；对C，计算出球内接球O内接圆柱的高及底面积即可得；对D，根据向量的数量积运算即可得.【详解】解析：对于A．如图所示，正方体的棱切球O 的半径22R =，则球O 的表面积为24π2πR =，故A 正确；对于B ．若球体､正方体的体积分别为12,V V ．球O 在正方体外部的体积312422π1π1323V V V ⎛⎫>-=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ，球O 的半径22R =，设圆柱的高为h ，则底面圆半径2221224h h r R ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，所以()2221112π12444h S rh h h ==-=--+侧面积，当21h =时取得最大值，且最大值为π，所以C 项错误；对于D ，取AB 中点E ，可知E 在球面上，可得12EB EA BA =-=-，所以()()2221()()||4MA MB ME EA ME EB ME EA ME ⋅=+⋅+=-=- ，点M 在球O 上且在正方体外部（含正方体表面）运动，所以02ME ≤≤ （当ME 为直径时，2ME =，所以17,44MA MB ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦．故D 正确．故选ABD ．三、填空题：本共4小题，每小题5分，共20分.13.写出满足“直线：()210R mx y m m --+=∈与圆：221x y +=相切”的一个m 的值_________.【答案】0（或43，答案不唯一）【解析】【分析】根据直线与圆的位置关系列方程可得解.【详解】由已知圆：221x y +=的圆心为()0,0，半径1r =，又直线：()210R mx y m m --+=∈与圆：221x y +=相切，所以圆心到直线的距离1d ==，解得0m =或43m =，故答案为：0（或43，答案不唯一）.14.袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率为______.【答案】23【解析】【分析】根据条件概率的计算公式即可求解.【详解】记事件A 为第1次摸到白球，事件B 为第2次摸到黑球，则()()11117761011109C C C 77,C 10C C 15P A P AB ====，所以()()()72157310P AB P B A P A ===.故答案为：23.15.设奇函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +是偶函数，若()17f =，则()()20232024f f +=__________.【答案】7-【解析】【分析】根据所给函数性质求出函数周期，利用周期化简即可得解.【详解】因为()f x 是奇函数，且()1f x +是偶函数，所以()()()111f x f x f x +=-+=--，所以()()2f x f x +=-，即()()()42f x f x f x +=-+=，故()f x 是4为周期的周期函数，且有(0)0f =，则()()()()()202320241017f f f f f +=-+=-=-.故答案为：7-16.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，倾斜角为π3的直线2PF 与双曲线C 在第一象限交于点P ，若1221PF F F PF ∠≥∠，则双曲线C 的离心率的取值范围为________.【答案】13,22⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭【解析】【分析】利用双曲线的性质及余弦定理计算即可.【详解】因为倾斜角为π3的直线2PF 与双曲线C 在第一象限交于点P ，可知直线2PF 的倾斜角大于双曲线的一条渐近线的倾斜角，即2222tan 6032ba b c a e a=⇒=-⇒< ，设2PF n =，则12PF a n =+，根据1221PF F F PF ∠≥∠可知2122PF F F c ≥=，在12PF F △中，由余弦定理可知()22222422cos12022b n c a n cn n a c+-+=⨯⇒=-，即222222222202b c b ac c c ac a a c≥⇒≥-⇒--≥-，则2122102e e e +--≥⇒≥，故122e +>≥故答案为：1,22⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知)2222sin bc A a c b =+-.（1）求B 的大小；（2）若1cos ,23A b ==，求c .【答案】（1）π3B =（2）46293+【解析】【分析】（1）由余弦定理和正弦定理化简得tan B =，从而求出角B ；（2）利用同角三角函数关系及两角和公式求解sin C ，然后利用正弦定理求解即可.【小问1详解】因为)2222sin bc A a c b =+-，所以2sin cos bc A B =，即sin cos b A B =，所以sin sin cos B A A B =，因为sin 0A >，所以sin B B =，所以tan B =，又()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】因为1cos 3A =，所以sin 3A ==.因为()π1sin sin sin sin 32236C A B A A A ⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭，所以sin 2sin 93b Cc B ==+.18.已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，且24213a a +=，749=S .（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-（2）212223n n T n +-=+.【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前n 项和公式求解；（2）分组求和方法求解.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，又24213a a +=，749=S ，所以()1112313767492a d a d da ⎧+++=⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得11a =，2d =，所以{}n a 的通项公式()()1112121n a a n d n n =+-=+-=-.【小问2详解】由（1）知212212na n n nb a n -=+=-+，所以()()()()3521123123252212n n n T b b b b n -=+++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅+-+()()()()2135212214121221352122222143n n n n n n n+-⨯-+--=+++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅⋅+=+=+-.19.为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x 分钟/每天）和他们的数学成绩（y 分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）．表一编号12345学习时间x3040506070数学成绩y65788599108（1）请根据所给数据求出x ，y 的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩：（参考数据：5122820iii x y==∑，51435i i y ==∑，i x 的方差为200）（2）基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生．按照是否参与周未在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到22⨯列联表（表二）．依据表中数据及小概率值0.001α=的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关．表二没有进步有进步合计参与周末在校自主学习35130165未参与周末不在校自主学习253055合计60160220附：()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==-⋅-=-∑∑，ˆˆay bx =-，()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++．α0.100.050.0100.0050.001αχ 2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）ˆ 1.0733.5yx =+，140.5分（2）可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关．【解析】【分析】（1）先求出平均数，利用最小二乘法求出回归方程，代入数据即可预测；（2）根据题意计算出2χ，进而由0.001α=的独立性检验得出答案.【小问1详解】3040506070505x ++++==，435875y ==，又(1,2,3,,5)i x i =⋅⋅⋅的方差为()52112005i i x x =-=∑，所以()()()551152152282055087ˆ 1.0752001000i i i i i i i i x x y y x y x yb x x ===-⋅-⋅-⋅-⨯⨯====⨯-∑∑∑，ˆˆ87 1.075033.5ay bx =-=-⨯=，故ˆ 1.0733.5y x =+，当100x =时，140.5y =，故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分．【小问2详解】零假设为0H ：学生周末在校自主学习与成绩进步无关．根据数据，计算得到：()()()()()()22222025130353011012.2216555601609n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯，因为12.2210.828>，所以依据0.001α=的独立性检验，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关．20.如图，在三棱锥-P ABC 中，AB 是ABC 外接圆的直径，PC 垂直于圆所在的平面，D 、E 分别是棱PB 、PC的中点．（1）求证：DE ⊥平面PAC ；（2）若二面角A DE C --为π3，4AB PC ==，求AE 与平面ACD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）510【解析】【分析】（1）BC AC ⊥，BC PC ⊥，由线面垂直的判定定理可得BC ⊥平面PAC ，再由三角形中位线定理可得答案；（2）以C 为坐标原点，CB CA CP 、、的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立的空间直角坐标系C xyz -，求出AE 、平面ACD 的一个法向量，由线面角的向量求法可得答案.【小问1详解】因为AB 是圆的直径，所以BC AC ⊥，因为PC 垂直于圆所在的平面，BC ⊂平面ABC ，所以BC PC ⊥，又因为AC PC C = ，AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC ，因为D E 、分别是棱PB PC 、的中点，所以//BC DE ，从而有DE ⊥平面PAC ；【小问2详解】由（1）可知，DE ⊥平面PAC ，AE EC ⊂、平面PAC ，所以,DE AE DE EC ⊥⊥,AE ⊂平面DAE ，EC ⊂平面DEC ,所以AEC ∠为二面角A DE C --的平面角，从而有π3AEC ∠=，则12,2EC PC AC ===又BC AC ⊥，4AB =得2BC =，以C 为坐标原点，CB CA CP、、的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，()0,0,0C，()0,A ,()0,0,2E ，()2,0,0B ，()0,0,4P ，()1,0,2D ，所以()0,2AE =-，()0,CA = ，()1,0,2CD = ,设(),,n x y z = 是平面ACD 的一个法向量，则00n CA n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，可取()2,0,1n =- ，设AE 与平面ACD 所成角为θ故sin 150n AE n AEθ⋅=== ，所以AE 与平面ACD 所成角的正弦值为510.21.已知()12,0A -是椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的左顶点，且M 经过点733,24⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求M 的方程；（2）若直线():1l y k x =-与M 交于()()1122,,,A x y B x y 两点，且12111x x +=-，求弦AB 的长.【答案】（1）22143x y +=（2）247【解析】【分析】（1）根据条件列式计算得解；（2）联立方程组，由韦达定理将条件式12111x x +=-化简得21k =，再根据弦长公式求解.【小问1详解】依题意可得2227271416a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得22,3a b ==，所以M 的方程为22143x y +=.【小问2详解】联立()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 得()()2222348430k x k x k +-+-=，则2122834k x x k +=+，()21224334k x x k -=+.因为()1y k x =-经过定点()1,0，且点()1,0在M 的内部，所以Δ0>恒成立.由()21221212118143x x k x x x x k ++===--，解得21k =.所以121288,77x x x x +==-，所以247AB ===.22.已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）求得导函数后，可判断出导函数在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，根据零点存在定理可判断出00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，进而得到导函数在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上的单调性，从而可证得结论；（2）由（1）的结论可知0x =为()f x 在(]1,0-上的唯一零点；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，首先可判断出在()00,x 上无零点，再利用零点存在定理得到()f x 在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调性，可知()0f x >，不存在零点；当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，利用零点存在定理和()f x 单调性可判断出存在唯一一个零点；当(),x π∈+∞，可证得()0f x <；综合上述情况可证得结论.【详解】（1）由题意知：()f x 定义域为：()1,-+∞且()1cos 1f x x x '=-+令()1cos 1g x x x =-+，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()()21sin 1g x x x '∴=-++，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()211x + 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，sin x -，在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减()'∴g x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减又()0sin0110g '=-+=>，()()2244sin 102222g ππππ⎛⎫'=-+=-< ⎪⎝⎭++00,2x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=∴当()01,x x ∈-时，()0g x '>；0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<即()g x 在()01,x -上单调递增；在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减则0x x =为()g x 唯一的极大值点即：()f x '在区间1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在唯一的极大值点0x .（2）由（1）知：()1cos 1f x x x '=-+，()1,x ∈-+∞①当(]1,0x ∈-时，由（1）可知()f x '在(]1,0-上单调递增()()00f x f ''∴≤=()f x \在(]1,0-上单调递减又()00f =0x ∴=为()f x 在(]1,0-上的唯一零点②当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x '在()00,x 上单调递增，在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减又()00f '=()00f x '∴>()f x \在()00,x 上单调递增，此时()()00f x f >=，不存在零点又22cos 02222f ππππ⎛⎫'=-=-< ⎪++⎝⎭10,2x x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x '=()f x \在()01,x x 上单调递增，在1,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减又()()000f x f >=，2sin ln 1ln ln102222e f ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=>= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭()0f x ∴>在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，此时不存在零点③当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin x 单调递减，()ln 1x -+单调递减()f x \在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减又02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()()()sin ln 1ln 10f ππππ=-+=-+<即()02f f ππ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，又()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减∴()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在唯一零点④当(),x π∈+∞时，[]sin 1,1x ∈-，()()ln 1ln 1ln 1x e π+>+>=()sin ln 10x x ∴-+<即()f x 在(),π+∞上不存在零点综上所述：()f x 有且仅有2个零点【点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.。
2021届江苏省泰州市高三上学期数学期末调研测试题答案及答案解析(解析版)
元．另外已知每件次品的销毁费用为 4 元．若甲厂抽检的玩具中有 10 件为 A 等
级，用样本的频率估计概率，试判断甲、乙两厂是否都能盈利，并说明理由．
附：
2
=
(a
+
n(ad − bc)2 b)(c + d )(a + c)(b
+
d)
，其中
n=a+b+c+d．
( ) P 2 x0 0.5 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
A
B
C
频数
20
120
60
(表一)
厂家
合格品
次品
合计
甲
75
乙
35
合计
(表二)
在相关政策扶持下，确保每件合格品都有对口销售渠道，但从安全起见，所有
的次品必须由原厂家自行销毁．
(1)请根据所提供的数据，完成上面的 2×2 列联表(表二)，并判断是否有 95%
的把握认为产品的合格率与厂家有关？
(2)每件玩具的生产成本为 30 元，A、B 等级产品的出厂单价分别为 60 元、40
A． f (x)的一个周期是 2
B． f (x)的值域是 −1，1
C． f (x)的图象关于点（ ，0）对称 D． f (x)在区间 (0， )上单调递减
【答案】AD
11．引入平面向量之间的一种新运算“ ”如下：对任意的向量 m= (x1，y1)，n= (x2，y2 )，
规定 m n= x1x2 − y1y2 ，则对于任意的向量 a，b，c，下列说法正确的有( ▲ )
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
2023-2024学年江苏省泰州市高一上册期末数学试题(含解析)
2023-2024学年江苏省泰州市高一上册期末数学试题一、单选题1．sin150︒的值是（）A ．2B ．12C ．D ．12-【正确答案】B【分析】根据诱导公式化简，然后可得.【详解】()1sin150sin 18030sin 302︒=︒-︒=︒=.故选：B2．已知“0x ∃∈R ，0200x x a --<”为真命题，则实数a 的取值范围为（）A ．14a >-B ．14a ≥-C ．14a -≤D ．14a <-【正确答案】A【分析】由题知()2mina x x>-，再根据二次函数求最值即可求解.【详解】因为命题“0x ∃∈R ，0200x x a --<”为真命题，所以命题“0x ∃∈R ，002a x x >-”为真命题，所以x ∈R 时，()2mina x x>-，因为221124y x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，所以当12x =时，min 14y =-，所以14a >-.故选：A3．函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在30,4π⎡⎤⎢⎣⎦上的最小值为（）A ．－1B ．C ．2-D ．12-【正确答案】B【分析】根据正弦型三角函数在区间上的最值的求解方法得出答案.【详解】当30,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则当30,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，min 4()sin sin 33f x ππ-===故选：B.4．已知sin 36a =︒，2log 1.41b =，12c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b<c<aD ．c b a<<【正确答案】C【分析】根据三角函数、对数函数的知识求得正确答案.【详解】1sin 36sin 302a =︒>︒=，122221log 1.41log log 22b =<=，所以<<b c a .故选：C5．已知函数12,0()(2),0x x f x f x x ⎧⎪≥=⎨⎪+<⎩，则52f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A ．12-B ．12CD．2【正确答案】D【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】因为12,0()(2),0x x f x f x x ⎧⎪≥=⎨⎪+<⎩，所以1251332222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：D6．党的二十大报告指出，“坚持精准治污、科学治污、依法治污，持续深入打好蓝天、碧水、净土保卫战.加强污染物协同控制，基本消除重污染天气.”按照相关规定，某化工厂产生的废气中的某类污染物经过过滤装置的处理，含量降至过滤前的5%以下才能排放.已知过滤过程中，废气中污染物的含量P （单位：mg/L ）与时间t （单位：min ）的关系为0ektP P -=，其中0P ，k 是常数.若4t =时，该类污染物的含量降为过滤前的25%，那么废气至少需要过滤（）min 才能排放（结果保留整数，参考数据：lg 20.3010=）.A ．7B ．8C ．9D ．10【正确答案】C【分析】依题意可得400e25%kP P -=，两边取对数求出k 的值，再令lg22lge 00e 5%t P P -≤，根据指数与对数的关系及对数的运算法则计算可得.【详解】解：依题意可得400e 25%kP P -=，所以41e 4k -=，两边取对数可得41lge lg 4k-=，所以4lg e lg 4k -=-，则lg 22lg ek =，所以lg22lge0et P P -=，令lg22lge0e5%t P P -≤，即lg22lge1e20t -≤，所以lg 21ln 2lg e 20t -≤，即lg 2lg 20ln 202lg e lg et ≥=，所以()()()2lg 2lg102lg 2120.301012lg 208.64lg 2lg 2lg 20.3010t +++≥===≈，所以废气至少需要过滤9min 才能排放.故选：C7．中国的扇文化有着极其深厚的人文底蕴，折扇从明代开始流行，扇面书画、扇骨雕琢，深得文人雅士的喜爱（如图1）.制作折扇的扇面时，先从一个圆面中剪下扇形OBD ，再从扇形OBD 中剪去扇形OAC （如图2）.记圆面面积为1S ，扇形OBD 的面积为2S，把满足21212S S S =-且12OA AB =的扇面称为“完美扇面”，现有用半径为20cm 的圆面制作而成的“完美扇面”，则弧AC 的长为（）cm.A．1)πB．20(3C．2)πD．20(7-【正确答案】D【分析】首先求出OA ，设圆心角BOD α∠=，圆的半径为R ，表示出2S ，1S ，根据212S S S =-α，再根据弧长公式计算可得.【详解】依题意20OB =，12OA AB =，即12OB AB AB --=，即2012AB AB -=，所以)101AB =，则30OA =-，设圆心角BOD α∠=，圆的半径为R ，则2212S R α=，21πS R =，所以21221π2R R S S α-=-，因为212S S S =-2222121π12R R Rαα=-，即2παα-=(3πα=，所以弧AC的长为(((3π2π3007OA α=⋅=⨯--.故选：D8．已知函数()22x x f x -=+，()(2)2()g x m f x f x m =⋅++.若对于[)10,x ∀∈+∞，[]20,1x ∃∈，使得()()127f x g x +>成立，则实数m 的取值范围是（）A ．(),0∞-B ．()0,∞+C ．(),1-∞-D ．()1,+∞【正确答案】B【分析】把[)10,x ∀∈+∞，[]20,1x ∃∈，()()127f x g x +>成立，转化为[]2max 1max ()7()g x f x >-，逐步求解，即可得到本题答案.【详解】因为()22x x f x -=+，所以2222(2)22(22)2()2x x x x f x f x --=+=+-=-，所以22()(2)2)(()2)()f x f x f x m g x m f x f x m m f x m m -+⎡⎤=⋅++=++⎣⎦-=.设120x x ≤<，因为121211221212(22)(21)()()22(22)02x x x x x x x x x x f x f x +--+-⋅--=+-+=<，即()()12f x f x <所以()f x 在[0,)+∞单调递增，最小值为(0)2f =，因为[)10,x ∀∈+∞，[]20,1x ∃∈，()()127f x g x +>，即21()7()g x f x >-，所以[]2max 1max ()7()5g x f x >-=，令2()t f x =，易得52,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()2max 25mt t m +->，即2min 521t m t -⎛⎫> ⎪-⎝⎭，显然252()1t f t t -=-在52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为0，所以0m >，即m 的取值范围为()0,∞+.故选：B二、多选题9．已知函数()2f x x =的值域为[]0,4，则()f x 的定义域可以是（）A ．[]0,2B ．[]2,1-C ．[]1,2D ．{}2,0,2-【正确答案】AB【分析】根据2y x =的图象求得正确答案.【详解】画出2y x =的图象如下图所示，由24x =解得2x =±，()2f x x =的图象是函数2y x =的图象的一部分，依题意，()2f x x =的值域为[]0,4，由图可知，()f x 的定义域可以是[]0,2、[]2,1-故选：AB10．已知函数()y f x =的图象是一条不间断的曲线，它的部分函数值如下表，则（）x123456y202.30152.01310.581- 3.27310.733-156.314-A ．()f x 在区间()2,3上不一定单调B ．()f x 在区间()5,6内可能存在零点C ．()f x 在区间()5,6内一定不存在零点D ．()f x 至少有3个零点【正确答案】ABD【分析】根据零点存在性定理判断即可.【详解】由所给表格可知()20f >，()30f <，()40f >，()50f >，所以()()230f f <，()()340f f <，()()450f f <，又函数()y f x =的图象是一条不间断的曲线，所以函数在区间()2,3、()3,4、()4,5存在零点，即()f x 至少有3个零点，故D 正确；对于A ，由于只知道()2f ，()3f 的函数值，故无法判断()f x 在区间()2,3上的单调性，故A 正确；对于B 、C ，虽然()50f >，()06f >，由于不知道函数在()5,6内的取值情况，所以函数在()5,6内可能存在零点，故B 正确，C 错误；故选：ABD 11．已知函数1()(R)21xf x a x =+∈+为奇函数，则（）A ．12a =-B ．()f x 为R 上的增函数C ．()0f x >的解集为(),0∞-D ．()f x 的值域为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【正确答案】AC【分析】由奇函数的性质()00f =求出a 的值，再代入检验，即可判断A ，再根据指数型复合函数的单调性判断B ，由11212x >+及指数函数的性质求出不等式的解集，即可判断C ，首先求出21x +，即得到121x +的取值范围，即可求出()f x 的值域，从而判断D.【详解】解：因为函数1()(R)21x f x a x =+∈+为奇函数，所以()00f =，即1021a +=+，解得12a =-，此时()11212x f x =-+，则()()112111212212221x x x x f x f x --=-==-=-+++，符合题意，故12a =-，即A 正确；因为21x y =+在定义域上单调递增，且211x +>，又1y x=在()1,+∞上单调递减，所以()11212xf x =-+在定义域R 上单调递减，故B 错误；由()0f x >，即110212x->+，所以11212x >+，即1212x <+<，即021x <<，解得0x <，所以不等式()0f x >的解集为(),0∞-，故C 正确；因为211x +>，所以10121x <<+，所以111122122x -<-<+，即()f x 的值域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，故D 错误；故选：AC12．已知函数()1log xa f x a x x x=++-，其中1a >，若()00f x =，则下列说法正确的是（）A ．()00log 2a x x ->B ．01,1x a⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．()00log 1xa a x ⋅=-D ．001xx a =【正确答案】BCD【分析】由题意把方程变形，利用函数单调性找到001xx a =，然后利用指数、对数运算即可判断【详解】因为()00f x =，所以00001log 0xa a x x x ++-=，即100011log 000011log log log x a x x x a a a a x x ax x =-++=+=，又1a >，所以函数()x g x a x =+单调递增，所以010log x ax =，所以001x a x =，即001xx a =，故D 正确；所以0001x x x a a-==，所以000log log x a a x a x -==-，所以()000000log ()1x x xa a x a x x a ⋅=⋅-=-=-，故C 正确；因为00x >，所以00011x a a x =>=，故001x <<，所以0101x a a a x =<=，解得01x a>，所以011x a<<，故B 正确；因为001x <<，所以0012x x +>=，所以00012xx a x -<=，又1a >，所以()000log 2log xa a x a x -<=，故A 错误.故选：BCD关键点睛：本题的关键在于利用同构的思想对原等式进行合理的变形，从而构造出函数()xg x a x =+，利用其单调性得到010log x ax =，即得到001x x a =，从而判断出D 选项，那么其他选项则变得水到渠成.三、填空题13．已知关于x 的不等式2220a x ax --≤的解集为M ，若1M -∈，则实数a 的取值范围为______.【正确答案】[]2,1-【分析】依题意1-满足等式2220a x ax --≤，代入得到关于a 的不等式，解之即可.【详解】因为关于x 的不等式2220a x ax --≤的解集为M 且1M -∈，所以()()221120a a ⨯--⨯--≤，即220a a +-≤，即()()210a a +-≤，解得21a -≤≤，即实数a 的取值范围为[]2,1-.故答案为.[]2,1-14．函数222xxy -=的单调递增区间为______.【正确答案】[)1,+∞【分析】分别求出内层函数和外层函数的单调增区间即可．【详解】解：令22t x x =-，则2t y =在R 上单调递增，22t x x =-在[1,)+∞上单调递增，根据复合函数函数同增异减的规律，得函数222x xy -=的单调递增区间为[1,)+∞．故答案为[1,)+∞本题考查复合函数的单调性，由于内外层函数均不复杂，故是基础题15．将函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（ω∈R 且0ω≠）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，若所得函数的图象与函数()()cos (0π)g x x ϕϕ=+<<的图象重合，则πtan 3ωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.【正确答案】【分析】先求出变换之后的函数解析式，然后根据两函数为同一函数，结合诱导公式可得,ωϕ，然后可解.【详解】将函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（R ω∈且0ω≠）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，所得图象的函数为πsin()26y x ω=+，所以()()cos (0π)g x x ϕϕ=+<<与πππsin cos 26226y x x ωω⎛⎫⎛⎫=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为同一函数，故ππ1,226ωϕ-==-，即π2,3ωϕ=-=所以2ππtan tan()tan()tan 33333πππωϕ⎛⎫+=-+=-=-=- ⎪⎝⎭故16．已知函数()()x af x x a x a+=≠-，若关于x 的方程()()2f f x =恰有三个实数解，则实数a 的取值集合为______.【正确答案】1,33⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】当0a =时，易知()()2f f x =无解；当a<0时，设()t f x =，采用数形结合的方式可知120t a t <<<，可知()()2f f x =无解；当0a >时，设()m f x =，采用数形结合的方式可知120m a m <<<，通过讨论a 的范围可确定1m 或2m 的取值，由此可构造方程求得a 的值.【详解】()()21x a af x x a x a x a+==+≠--；当0a =时，()()10f x x =≠，此时()()2f f x =无解，不合题意；当a<0时，设()t f x =，则()y f t =与2y =的大致图象如下图所示，则()2f t =对应的两根为120t a t <<<，此时()1f x t =与()2f x t =无解，即方程()()2f f x =无解，不合题意；当0a >时，设()m f x =，则()y f m =与2y =的大致图象如下图所示，则()2f m =对应的两根为120m a m <<<，若()()2f f x =恰有三个实数解，则1y m =和2y m =与()y f x =共有3个不同的交点，①当01a <<时，1y m =与()f x 有两个不同交点，如图所示，2y m ∴=与()f x 有且仅有一个交点，则21m =，121a a +∴=-，解得：13a =；②当1a =时，1y m =与()f x 有两个不同交点，2y m ∴=与()f x 有且仅有一个交点，则21m =，与2m a >矛盾，不合题意；③当1a >时，2y m =与()f x 有两个不同交点，如图所示，1y m ∴=与()f x 有且仅有一个交点，则11m =，121a a+∴=-，解得：3a =；综上所述：实数a 的取值集合为1,33⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故答案为.1,33⎧⎫⎨⎬⎩⎭方法点睛：已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题17．已知集合{}11A x a x a =-<<+，{}03B x x =<<.(1)若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围；(2)若A B ⋂≠∅，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)12a ≤≤(2)14a -<<.【分析】（1）依题意可得A B ⊆，即可得到不等式组，解得即可；（2）依题意可得013a <+<或013a <-<，即可求出参数的取值范围.【详解】（1）解：因为A B B ⋃=，所以A B ⊆，所以1013a a -≥⎧⎨+≤⎩，即12a ≤≤；（2）解：因为A B ⋂≠∅，所以013a <+<或013a <-<，所以14a -<<.18．从下面①②③中选取一个作为条件，完成所给的两个问题.①π1cos 63x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭②5π1cos 63x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭③2π1sin 33x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(1)求2π7πcos cos 36x x ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；(2)若0πx <<，求5πsin 6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.【正确答案】(1)59(2)3-【分析】（1）首先判断选①、②、③结果均相同，则按照选①进行解答，利用诱导公式计算可得；（2）首先判断π6x -的取值范围，利用平方关系求出πsin 6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再由诱导公式计算可得.【详解】（1）解：因为5πππcos cos πcos 666x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2πππππsin sin cos cos 32666x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故不论选①、②、③结果均相同，以下按照选①进行解答，因为2π7πcos cos 36x x ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2πππcos cos π266x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2ππsin cos 66x x ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππ1cos cos 66x x ⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1151939=--=.（2）解：因为0πx <<，所以ππ5π666x -<-<.若ππ066x -<-≤πcos 16x ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，与π1cos 63x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭矛盾，所以π5π066x <-<，所以πsin63x⎛⎫-===⎪⎝⎭，因为5πππsin sinπsin666x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=--=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦19．已知正数x，y满足4xy x y-=+.(1)将y表示为x的函数()y f x=，并证明()f x在其定义域内单调递减；(2)求2x y+的最小值.【正确答案】(1)41xyx+=-，证明见解析(2)3+【分析】（1）先求得()f x的解析式，然后根据函数单调性的定义证得结论成立.（2）利用基本不等式求得2x y+的最小值.【详解】（1）因为4xy x y-=+，所以41xyx+=-，又x，y为正数，故401xxx>⎧⎪+⎨>⎪-⎩，解得1x>，从而()41xf xx+=-，()1,x∈+∞，任取1x，()21,x∈+∞且12x x<，()()()()()21121212125441111x xx xf x f xx x x x-++-=-=----，因为1x，()21,x∈+∞且12x x<，所以21x x->，110x->，210x->，从而()()12f x f x->，即()()12f x f x>，故()f x在其定义域()1,+∞上单调递减.（2）由（1）得41xyx+=-，1x>，所以45222(1)3311xx y x xx x++=+=-++≥+--，（当且仅当52(1)1xx-=-，即1x=所以当12x =+时，2x y +取得最小值3.20．在平面直角坐标系xOy 中，点P 从点)A 出发，在以原点O 为圆心，2为半径的圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，且每秒钟转动3弧度，记t 秒时点P 的纵坐标为()f t .(1)求()f t 的解析式；(2)若点P 的纵坐标第n 次等于23的时刻记为n t ，求123433t t t t +++的值.【正确答案】(1)π()2sin 36f t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)56π9【分析】（1）根据三角函数的定义求得()f t 的解析式.（2）先求得()f t 的对称轴方程，根据对称性求得123433t t t t +++的值.【详解】（1）因为终边过)A 的锐角为π6，t 秒时点P 所转过的角为3t ，所以t 秒时点P 在π36t +的终边上，因为点P 在以原点O 为圆心，2为半径的圆上，由三角函数定义可知π()2sin 36f t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）由ππ3π62t k +=+，得()f t 的对称轴方程为ππ93t k =+，Z k ∈，由题意，1t ，2t ，3t ，4t 依次为方程()23f t =的由小到大排列的4个正根，因为()2013f =>，所以1t 与2t ，2t 与3t 、3t 与4t 分别关于直线4π9t =，7π9t =，10π9t =对称，从而有128π9t t +=，2314π9t t +=，3420π9t t +=，于是()()()12341223348π14π20π56π33229999t t t t t t t t t t +++=+++++=+⨯+=.21．已知函数()log (3)a f x x =-，()log (3)a g x x =+，其中0a >，1a ≠.(1)判断函数()()()h x f x g x =-的奇偶性，并说明理由；(2)若15,24x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，都有()()2f x g ax <成立，求a 的取值范围.【正确答案】(1)奇函数，理由见解析(2)1130,,202⎛⎤⎡⎫+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】（1）首先求出函数解析式，从而求出函数的定义域，再根据奇偶性的定义判断即可；（2）依题意可得2log (3)log (3)a a x ax -<+，则问题转化为15,24x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，都有2log (3)log (3)a a x ax -<+成立，分01a <<和1a >两种情况讨论，结合函数的单调性，转化为二次函数恒成立，即可求出参数的取值范围.【详解】（1）解：()h x 为奇函数，因为()log (3)log (3)a a h x x x =--+，由3030x x ->⎧⎨+>⎩，解得33x -<<，即()h x 的定义域为()3,3-，因为对任意()3,3x ∈-，都有()3,3x -∈-，且()log (3)log (3)()a a h x x x h x -=+--=-，所以()()()h x f x g x =-为奇函数.（2）解：2()()f x g ax <化为2log (3)log (3)a a x ax -<+，因为15,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()()0,11,a ∈+∞ ，所以30x ->且30ax +>，所以问题转化为15,24x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，都有2log (3)log (3)a a x ax -<+成立，①当01a <<时，15,24x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，都有2(3)3x ax ->+成立，即2()(6)60F x x a x =-++>对15,24x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，因为对称轴632a x +=>，故()F x 在15,24⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以0151504164a F a <<⎧⎪⎨⎛⎫=-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1020a <≤.②当1a >时，15,24x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，都有2(3)3x ax <-+成立，即2()(6)60F x x a x =-++<对15,24x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，因为对称轴6722a x +=>，故()F x 在15,24⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以111310242a F a >⎧⎪⎨⎛⎫=-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得132a ≥.综上①②可知：a 的取值范围为1130,,202⎛⎤⎡⎫+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.22．已知函数221()1x f x x -=+.(1)求证：①1()f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；②函数()()ln 2g x x f x =+的零点个数为奇数；(2)记函数()f x 的值域为A ，若至少有两个不同的,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得sin 6x A πω⎛⎫+∉ ⎪⎝⎭，求正数ω的取值范围.【正确答案】(1)①证明见解析；②证明见解析(2)][162022,333⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）①列式计算即可证明；②先确定1是函数()g x 的零点，再利用①的结论得到()1g g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由此即可证明函数()g x 的零点个数为奇数；（2）计算出()f x 的值域，确定sin 6x A πω⎛⎫+∉ ⎪⎝⎭即是sin 16x πω⎛⎫+≠- ⎪⎝⎭，说明,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin 6x πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭存在至少两个最小值，由此列出满足要求的不等式解出即可.【详解】（1）①22221111()111⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭===- ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x f f x x x x ，即1()f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；②因为()()1ln1210g f =+=，所以1是函数()g x 的零点因为()()111ln 2ln 2g f x f x g x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以若0x 是函数()g x 的零点，则01x 也是函数()g x 的零点，若01x ≠，则001x x ≠，综上可知，函数()g x 的零点个数为奇数.（2）因为22212()111x f x x x -==-+++，所以1()1f x -<≤，即(]1,1A =-因为至少有两个不同的,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得sin 6x A πω⎛⎫+∉ ⎪⎝⎭所以至少有两个不同的,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得sin 16x πω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭因为,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以πππππ2666x ωωω+≤+≤+，令()ππ3π2π262Z π7ππ2π62k k k ωω⎧+≤+⋅⎪⎪∈⎨⎪+≥+⋅⎪⎩，解得10824,1,2,3,33k k k ω+≤≤+= 所以][162022,,333ω⎡⎫∈⋃+∞⎪⎢⎣⎭。
江苏省泰州市高三数学上学期期末考试试卷
2018～2019学年度第一学期期末考试数 学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积V ＝Sh ，锥体的体积V ＝13Sh一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1. 函数f(x)＝sin 2x 的最小正周期为________．2. 已知集合A ＝{4，a 2}，B ＝{－1，16}，若A ∩B ≠∅，则实数a ＝________． 3. 复数z 满足z i ＝4＋3i (i 是虚数单位)，则|z|＝________． 4. 函数y ＝1－x 2的定义域是________．5. 从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为________．6. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T 的值是________．7. 已知数列{a n }满足log 2a n ＋1－log 2a n ＝1，则a 5＋a 3a 3＋a 1＝________．8. 若抛物线y 2＝2px(p>0)的准线与双曲线x 2－y 2＝1的一条准线重合，则p ＝________． 9. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，M 为棱AA 1的中点，记三棱锥A 1MBC 的体积为V 1，四棱锥A 1BB 1C 1C 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．10. 已知函数f(x)＝2x 4＋4x 2，若f(a ＋3)>f(a －1)，则实数a 的取值范围为________． 11. 在平面直角坐标系xOy 中，过圆C 1：(x －k)2＋(y ＋k －4)2＝1上任一点P 作圆C 2：x 2＋y 2＝1的一条切线，切点为Q ，则当线段PQ 的长最小时，k ＝________．12. 已知P 为平行四边形ABCD 所在平面上任一点，且满足PA →＋PB →＋2PD →＝0，λPA →＋μPB→＋PC →＝0，则λμ＝________．13. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ＋2a ，x ≥a ，x 3＋3x －4a ，x<a ，若存在x 0＜0，使得f(x 0)＝0，则实数a 的取值范围是________．14. 在△ABC 中，已知sin A sin B sin (C －θ)＝λsin 2C ，其中tan θ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2，若1tan A ＋1tan B ＋2tan C为定值，则实数λ＝________． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分) 已知向量a ＝(sin x ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，cos x ，其中x ∈(0，π)． (1) 若a ∥b ，求x 的值；(2) 若tan x ＝－2，求|a ＋b |的值．16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，O 为对角线BD 的中点，E ，F 分别为棱PC ，PD 的中点，已知PA ⊥AB ，PA ⊥AD.求证：你是我身边最美的云彩你是我身边最美的云彩(1) 直线PB∥平面OEF；(2) 平面OEF⊥平面ABCD.如图，三个小区分别位于扇形OAB 的三个顶点上，Q 是弧AB 的中点，现欲在线段OQ 上找一处开挖工作坑P(不与点O ，Q 重合)，为小区铺设三条地下电缆管线PO ，PA ，PB ，已知OA ＝2千米，∠AOB ＝π3，记∠APQ ＝θ rad ，地下电缆管线的总长度为y 千米．(1) 将y 表示成θ的函数，并写出θ的范围；(2) 请确定工作坑P 的位置，使地下电缆管线的总长度最小．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左顶点为A ，B 是椭圆C上异于左、右顶点的任意一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q ，已知椭圆C 的离心率为12，点A 到右准线的距离为6.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设点Q 的横坐标为x 0，求x 0的取值范围．设A ，B 为函数y ＝f(x)图象上相异两点，且点A ，B 的横坐标互为倒数，过点A ，B 分别作函数y ＝f(x)的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数f(x)的“优点”．(1) 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，0<x<1，ax 2， x>1不存在“优点”，求实数a 的值；(2) 求函数f(x)＝x 2的“优点”的横坐标的取值范围； (3) 求证：函数f(x)＝ln x 的“优点”一定落在第一象限．已知首项不为0的数列{a n}的前n项和为S n，2a1＋a2＝a3，且对任意的n∈N，n≥2都有2nS n＋1－(2n＋5)S n＋S n－1＝ra1.(1) 若a2＝3a1，求r的值；(2) 数列{a n}能否是等比数列？说明理由；(3) 当r＝1时，求证：数列{a n}是等差数列．2018～2019学年度第一学期期末考试数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)B. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12－t ，y ＝12＋t(t 为参数)，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．C. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)设正数a ，b ，c 满足3a ＋2b ＋c ＝1，求1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c 的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝3，AB＝1.(1) 求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2) 求平面A1BC与平面AC1D所成二面角的正弦值．23. (本小题满分10分)已知函数f(x)＝1－|2x－1|，0≤x≤1，设f n(x)＝f n－1(f1(x))，其中f1(x)＝f(x)，方程f n(x)＝0和方程f n(x)＝1根的个数分别为g n(0)，g n(1)．(1) 求g2(1)的值；(2) 证明：g n(0)＝g n(1)＋1.2018～2019学年度第一学期期末考试数学参考答案1. π2. ±43. 54. [－1，1]5. 15 6. 87. 4 8. 2 9. 14 10. (－1，＋∞) 11. 212. －34 13. [－1，0) 14. 51015. (1) 因为a∥b ，所以sin x cos x ＝12，即sin 2x ＝1.因为x ∈(0，π)，所以x ＝π4. (2) 因为tan x ＝sin xcos x ＝－2，所以sin x ＝－2cos x .因为a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋12，1＋cos x ， 所以|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x ＋122＋（1＋cos x ）2＝94＋sin x ＋2cos x ＝32.16. (1) O 为BD 的中点，F 为PD 的中点， 所以PB∥FO.因为PB ⊄平面OEF ，FO ⊂平面OEF ， 所以PB∥平面OEF.(2) 连结AC ，因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以AC 与BD 交于点O ，O 为AC 的中点． 因为E 为PC 的中点， 所以PA∥OE.因为PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A ，AB ，AD ⊂平面ABCD ， 所以PA⊥平面ABCD ，所以OE⊥平面ABCD. 因为OE ⊂平面OEF ， 所以平面OEF⊥平面ABCD.17. (1) 因为Q 为弧AB 的中点，由对称性，知PA ＝PB ，∠AOP＝∠BOP＝π6，又∠APO＝π－θ，∠OAP＝θ－π6，由正弦定理，得PA sinπ6＝OAsin （π－θ）＝OPsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6，又OA ＝2， 所以PA ＝1sin θ，OP ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6sin θ，所以y ＝PA ＋PB ＋OP ＝2PA ＋OP ＝2＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6sin θ＝3sin θ－cos θ＋2sin θ，因为∠APQ＞∠AOP，所以θ>π6，∠OAQ＝∠OQA＝12(π－π6)＝5π12，所以θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π12. (2) 令f(θ)＝3sin θ－cos θ＋2sin θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π12，f′(θ)＝1－2cos θsin 2θ＝0，得θ＝π3， f(θ)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上单调递减，在区间(π3，5π12)上单调递增，所以当θ＝π3，即OP ＝233千米时，f(θ)有唯一的极小值，即是最小值，则f(θ)min＝2 3.答：当工作坑P 与O 的距离为233千米时，地下电缆管线的总长度最小．18. (1) 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，a ＋a 2c ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y23＝1.(2) 由(1)知，A(－2，0)，设AB ：x ＝my －2，m≠0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，3x 2＋4y 2＝12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6m 2－83m 2＋4，y ＝12m3m 2＋4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝0， 即B(6m 2－83m 2＋4，12m 3m 2＋4)，则P(－83m 2＋4，6m3m 2＋4)，所以k OP ＝－3m 4，OP ：y ＝－3m 4x.因为AB⊥BQ，所以k BQ ＝－m ，所以直线BQ 的方程为BQ ：y ＝－mx ＋6m 3＋4m3m 2＋4，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3m 4x ，y ＝－mx ＋6m 3＋4m3m 2＋4，得x 0＝8（3m 2＋2）3m 2＋4＝8－163m 2＋4∈(4，8)．19. (1) 由题意可知，f′(x)＝f′⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 对x∈(0，1)∪(1，＋∞)恒成立，不妨取x∈(0，1)，则f′(x)＝1x ＝2a x ＝f′⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 恒成立，即a ＝12， 经验证，a ＝12符合题意．(2) 设A(t ，t 2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，1t 2(t≠0且t≠±1)，因为f′(x)＝2x ，所以A ，B 两点处的切线方程分别为y ＝2tx －t 2，y ＝2t x －1t 2，令2tx －t 2＝2t x －1t 2，解得x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，所以“优点”的横坐标取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(3) 设A(t ，ln t)，b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，－ln t ，t∈(0，1)， 因为f′(x)＝1x，所以A ，B 两点处的切线方程分别为y ＝1t x ＋ln t －1，y ＝tx －ln t －1，令1t x ＋ln t －1＝tx －ln t －1， 解得x ＝2ln tt －1t>0，所以y ＝1t ·2ln t t －1t ＋ln t －1＝t 2＋1t 2－1(ln t －t 2－1t 2＋1)，设h(m)＝ln m －m 2－1m 2＋1，m∈(0，1)，则h′(m)＝（m 2－1）2m （m 2＋1）2>0，所以h(m)单调递增， 所以h(m)<h(1)＝0， 即ln t －t 2－1t 2＋1<0.因为t 2＋1t 2－1<0，所以y ＝1t ·2ln tt －1t＋ln t －1>0，所以“优点”的横坐标和纵坐标均为正数，在第一象限．20. (1)令n ＝2，得4S 3－9S 2＋S 1＝ra 1， 即4(a 3＋a 2＋a 1)－9(a 2＋a 1)＋a 1＝ra 1， 化简，得4a 3－5a 2－4a 1＝ra 1. 因为2a 1＋a 2＝a 3，a 2＝3a 1， 所以4×5a 1－5×3a 1－4a 1＝ra 1， 解得r ＝1.(2) 假设数列{a n }是等比数列，公比为q ，则由2a 1＋a 2＝a 3得2a 1＋a 1q ＝a 1q 2，且a 1≠0，解得q ＝2或q ＝－1，由2nS n ＋1－(2n ＋5)S n ＋S n －1＝ra 1， 得4S n ＝2na n ＋1－a n －ra 1(n≥2)，所以4S n －1＝2(n －1)a n －a n －1－ra 1(n≥3)，两式相减，整理得2na n ＋1＋a n －1＝(2n ＋3)a n ， 两边同除以a n －1，可得2n(q 2－q)＝3q －1. 因为q ＝2或－1， 所以q 2－q≠0，所以上式不可能对任意n≥3恒成立， 故数列{a n }不可能是等比数列． (3) r ＝1时，令n ＝2， 整理得－4a 1－5a 2＋4a 3＝a 1，又由2a 1＋a 2＝a 3可知a 2＝3a 1，a 3＝5a 1， 令n ＝3，可得6S 4－11S 3＋S 2＝a 1， 解得a 4＝7a 1，由(2)可知4S n ＝2na n ＋1－a n －a 1(n≥2)， 所以4S n －1＝2(n －1)a n －a n －1－a 1(n≥3)，两式相减，整理得2na n ＋1＋a n －1＝(2n ＋3)a n (n≥3)， 所以2(n －1)a n ＋a n －2＝(2n ＋1)a n －1(n≥4)，两式相减，可得2n[(a n ＋1－a n )－(a n －a n －1)]＝(a n －a n －1)－(a n －1－a n －2)(n≥4)． 因为(a 4－a 3)－(a 3－a 2)＝0，所以(a n －a n －1)－(a n －1－a n －2)＝0(n≥4)， 即a n －a n －1＝a n －1－a n －2(n≥4)， 又因为a 3－a 2＝a 2－a 1＝2a 1，所以数列{a n }是以a 1为首项，2a 1为公差的等差数列．21. A. 将λ＝－2代入⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋1－2－52λ－x＝λ2－(x －1)λ－(x ＋5)＝0，得x ＝3，B. 由题意得曲线C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. 将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12－t ，y ＝12＋t代入(x ＋1)2＋y 2＝4得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－t ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋t 2＝4，即4t 2－4t －3＝0， 解得t 1＝－12，t 2＝32，则AB ＝2|t 1－t 2|＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－32＝2 2.C. 因为3a ＋2b ＋c ＝1， 所以1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c＝(2a ＋a ＋b ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c ≥(2a ×1a＋a ＋b ×1a ＋b ＋b ＋c ×1b ＋c)2＝(2＋1＋1)2＝6＋42，当且仅当1a2a＝1a ＋ba ＋b ＝1b ＋cb ＋c时，等号成立， 所以1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c的最小值为6＋4 2.22. (1) 以AB ，AD ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，则A 1(0，0，3)，B(1，0，0)，C 1(1，1，3)，所以BA 1→＝(－1，0，3)，AC 1→＝(1，1，3)，所以cos 〈BA 1→，AC 1→〉＝－1＋910×11＝411055.(2) 由题意得C(1，1，0)，D(0，1，0)，所以A 1B →＝(1，0，－3)，A 1C →＝(1，1，－3)，AC 1→＝(1，1，3)，AD →＝(0，1，0)， 设平面A 1BC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧A 1B →·n 1＝0，A 1C →·n 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1－3z 1＝0，x 1＋y 1－3z 1＝0， 令z 1＝1，则n 1＝(3，0，1)．设平面AC 1D 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧AC 1→·n 2＝0，AD →·n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋3z 2＝0，y 2＝0， 令z 2＝1，则n 2＝(－3，0，1)， 所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－9＋110×10＝－45，所以平面A 1BC 与平面AC 1D 所成二面角的正弦值为35.23. (1) 当n ＝2时，f 2(x)＝f 1(1－|2x －1|)＝f(1－|2x －1|)＝1－|2(1－|2x －1|)－1|＝1，所以2(1－|2x －1|)＝1， 所以1－|2x －1|＝12，所以2x －1＝±12，所以x ＝14或x ＝34，所以g 2(1)＝2.(2) 因为f(0)＝f(1)＝0， 所以f n (0)＝f n (1)＝0.因为f 1(x)＝1－|2x －1|∈[0，1]，当x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，f 1(x)单调递增，且f 1(x)∈(0，1]， 当x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，f 1(x)单调递减，且f 1(x)∈[0，1)． 下面用数学归纳法证明：方程f n (x)＝0(x ∈(0，1])、方程f n (x)＝1(x∈(0，1])、方程f n (x)＝0(x∈[0，1))、方程f n (x)＝1(x∈[0，1))的根的个数都相等，且为g n (1)．(ⅰ) 当n ＝1时，方程f 1(x)＝0(x∈(0，1])、方程f 1(x)＝1(x∈(0，1])、方程f 1(x)＝0(x∈[0，1))、方程f 1(x)＝1(x∈[0，1))的根的个数都相等，且为1，上述命题成立．(ⅱ) 假设n ＝k 时，方程f k (x)＝0(x∈(0，1])、方程f k (x)＝1(x∈(0，1])、方程f k (x)＝0(x∈[0，1))、方程f k (x)＝1(x∈[0，1))的根的个数都相等，且为g k (1)，则当n ＝k ＋1时，有f k ＋1(x)＝f k (f 1(x))．当x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，f 1(x)∈(0，1]，方程f k ＋1(x)＝0的根的个数为g k (1)．当x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，f 1(x)∈[0，1)，方程f k ＋1(x)＝0的根的个数也为g k (1)． 所以方程f k ＋1(x)＝0(x∈(0，1])的根的个数为g k ＋1(0)＝2g k (1)，同理可证：方程f k ＋1(x)＝1(x∈(0，1])、方程f k ＋1(x)＝0(x∈[0，1))、方程f k ＋1(x)＝1(x∈[0，1))的根的个数都相等，且为2g k (1)，由(ⅰ)(ⅱ)可知，命题成立， 又因为f n (0)＝f n (1)＝0， 所以g n (0)＝g n (1)＋1.。
2022-2023学年江苏省泰州市泰兴一中高三数学第一学期期末质量检测试题含解析
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U =R ，集合{|(1)(3)0}A x x x =--≥，11|24xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭.则集合()U A B 等于（ ）A ．(1,2)B ．(2,3]C ．(1,3)D ．(2,3)2．已知0.212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120.2b -=，13log 2c =，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a c b >>3．集合{}2|4,M y y x x ==-∈Z 的真子集的个数为( )A ．7B ．8C ．31D ．324．如图所示点F 是抛物线28y x =的焦点，点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆224120x y x +--=的实线部分上运动， 且AB 总是平行于x 轴， 则FAB ∆的周长的取值范围是（ ）A ．(6,10)B ．(8,12)C ．[6,8]D ．[8,12]5．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式1()3V S S S S h =+下下上上•）. A ．2寸B ．3寸C ．4寸D ．5寸()2n到直线()10x n n ++=的距离之和的最大值为n a ，若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S m <恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭7．已知椭圆22:13x C y +=内有一条以点11,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为中点的弦AB ，则直线AB 的方程为( )A ．3320x y --=B ．3320x y -+=C ．3340x y +-=D ．3340x y ++=8．2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A ，医生乙只能分配到医院A 或医院B ，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有( ) A ．18种B ．20种C ．22种D ．24种9．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =．则该双曲线的离心率为A ．2B ．3C D 10．已知斜率为2的直线l 过抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则p ＝（ ）A ．1BC ．2D ．411．设3log 0.5a =，0.2log 0.3b =，0.32c =，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<12．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省泰州市2022-2023学年高三上学期期末考试+化学+Word版含答案
2022～2023学年高三年级模拟试卷化学(满分：100分考试时间：75分钟)2023．1H—1C—12O—16Cl—35.5Mn—55Fe—56一、单项选择题：本题包括13小题，每小题3分，共计39分。
每小题只有一个选项符合题意。
1. 化学实验需坚持安全第一、预防为主。
下列实验操作错误的是()A. 先验纯再点燃H2B. 用乙醇制乙烯时加入碎瓷片防暴沸C. 制SO2时在通风橱中进行D. 金属Na着火时立即用冷水扑灭2. 胍()的盐是病毒核酸保存液的重要成分。
下列说法正确的是()A. 胍分子间能够形成氢键B. 胍中σ键与π键的数目之比为3∶1C. 氨基(—NH2)的电子式为D. 中子数为8的N原子可表示为87N3. 铵明矾[NH4Al(SO4)2·12H2O]是常用的食品添加剂。
下列判断正确的是()A. 原子半径：r(Al)<r(S)B. 电负性：χ(O)<χ(S)C. 第一电离能：I1(N)<I1(F)D. 键角：NH＋4<H2O4. 实验室制取少量Cl2并研究其性质，下列实验装置和操作能达到实验目的的是()阅读下列材料，完成5～7题。
含氰废水中氰化物的主要形态是HCN和CN－，CN－具有较强的配位能力，能与Cu＋形成一种无限长链离子，其片段为；CN－结合H＋能力弱于CO2－3。
氰化物浓度较低时，可在碱性条件下用H2O2或Cl2将其转化为N2；浓度较高时，可加入HCN、Fe和K2CO3溶液反应生成K4[Fe(CN)6]溶液。
5. 下列说法正确的是()A. 基态Fe2＋核外电子排布式为[Ar]3d54s1B. Cu＋与CN－形成的离子的化学式为[Cu(CN)3]2－C. K4[Fe(CN)6]中Fe2＋的配位数为6D. 某铁晶体(晶胞如右图所示)中与每个Fe紧邻的Fe数为66. 下列物质性质与用途具有对应关系的是()A. N2的化学性质稳定，可用于金属焊接保护B. H2O2具有还原性，可用于处理含氰废水C. FeCl3溶液显酸性，可用于刻蚀覆铜板D. NaHCO3受热易分解，可用于治疗胃酸过多7. 下列化学反应表示正确的是()A. NaCN溶液通入少量的CO2：CN－＋CO2＋H2O===HCN＋HCO－3B. Fe与HCN溶液反应：Fe＋2HCN===Fe2＋＋H2↑＋2CN－C. K2CO3水解：CO2－3＋2H2O⇌2OH－＋H2CO3D. Cl2处理含氰废水：5Cl2＋2CN－＋4OH－===10Cl－＋N2↑＋4H＋＋2CO2↑8. 实验室以浓缩盐湖水(含Na＋、Li＋、Cl－和少量Mg2＋、Ca2＋)为原料制备高纯Li2CO3的实验流程如下：Li2CO3溶解度曲线如右图所示，下列说法错误的是()A. “步骤Ⅰ”“步骤Ⅱ”中均需使用漏斗B. “沉淀2”的主要成分为CaCO3C. “操作X”依次为蒸发浓缩、降温结晶、过滤、洗涤、干燥D. “滤液3”经除杂后可用作氯碱工业的原料9. 化合物Z是X和Br2反应的主产物，反应机理如下：下列说法错误的是()A. X中所有碳原子共平面B. X→Y过程中，X和Br2断开的都是σ键C. Z存在顺反异构体D. Z与足量H2加成后的产物分子中有2个手性碳原子10. 某MOFs多孔超分子材料的空腔大小适配N2O4可将其“固定”得到R(如下图所示)，实现从烟气中分离出N2O4并可制备HNO3。
2022-2023学年江苏省泰州市数学高一上期末考试模拟试题含解析
的值可以为
A.1
B.2
C.3
D.4
10．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变
化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是 A.新农村建设后，种植收入减少 B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
因为 MP 在直径 AC 上,所以 AC BD , 所以四边形 ABCD 的面积是 1 2 6 6 ,
2
故选:C 【点睛】本题考查过圆内一点弦长的最值问题,考查两点间距离公式的应用,考查数形结合思想 5、A
【解析】由垂直求出 a ，垂足坐标代入已知直线方程求得 c ，然后再把垂僄代入另一直线方程可得 b ，从而得出结论 【详解】由直线互相垂直可得 a 2 1，∴a＝10，所以第一条直线方程为 5x＋2y－1＝0，
三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知全集U
R
，
A
{x
|
1 2
2x
4} ，
B
{x
|
log3
x
2}
（Ⅰ）求 A B ；
（Ⅱ）求 U ( A B)
18．已知全集为实数集 R ，集合 A x y x 1 3 x ， B x y lg x 2 .
2
2
时， f (x) __________，函数 f (x) 在区间[0,3] 上的零点个数为 __________
16．定义在 R 上的奇函数 f (x) 满足：对于任意 x R 有 f (x 3) f (x) ，若 tan 2 ，则 f (15sin cos ) 的值为
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2022～2023学年高三年级模拟试卷数 学(满分：150分 考试时间：120分钟)2023．1一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A ＝{0，a }，B ＝{2a ，b }，若A ∩B ＝{1}，则a ＋b ＝( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 42. 若1＋i 是实系数一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，则( )A. p ＝2，q ＝2B. p ＝2，q ＝－2C. p ＝－2，q ＝2D. p ＝－2，q ＝－2 3. 若(x ＋y )6＝a 0y 6＋a 1xy 5＋a 2x 2y 4＋…＋a 6x 6，则(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)2－(a 1＋a 3＋a 5)2的值为( )A. 0B. 32C. 64D. 1284. 在音乐理论中，若音M 的频率为m ，音N 的频率为n ，则它们的音分差1 200log 2mn .当音A 与音B 的频率比为98 时，音分差为r ；当音C 与音D 的频率比为256243 时，音分差为s ，则( )A. 2r ＋3s ＝600B. 3r ＋2s ＝600C. 5r ＋2s ＝1 200D. 2r ＋5s ＝1 2005. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x －2y ＋2＝0与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，则OA → ·OB →的值为( )A. 4B. 8C. 12D. 166. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (6，8)，将OA → 绕点O 顺时针旋转π4 后得OA ′→，则A ′的纵坐标为( )A. 2B. 3C. 2D. 57. 已知函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)，若f (π4 )＝0，f (π)＝－1，f (x )的最小正周期T >2π，则φ的值为( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π68. 若实数a ，b ，c 满足6a ＝12ac ＝3，3b －ab ＝5a －ab ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A. a >b >c B. b >c >a C. c >a >b D. c >b >a二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知一组数据为4，1，2，5，5，3，3，2，3，2，则( )A. 标准差为85B. 众数为2和3C. 第70分位数为72D. 平均数为310. 用一个平面截正方体，则截面的形状不可能是( ) A. 锐角三角形 B. 直角梯形C. 正五边形D. 边长不全相等的六边形11. 已知定义域为R 的函数f (x )＝x 4－x 2＋ax ＋1，则( ) A. 存在唯一的实数a ，使函数f (x )的图象是轴对称图形 B. 存在实数a ，使函数f (x )为单调函数 C. 对任意实数a ，函数f (x )都存在最小值D. 对任意实数a ，函数f (x )都存在两条过原点的切线12. 过圆O ：x 2＋y 2＝8内一点P (1，3 )作两条互相垂直的弦AB ，CD ，得到四边形ADBC ，则( )A. AB 的最小值为4B. 当AB ＝25 时， CD ＝27C. 四边形ADBC 面积的最大值为16D. AC → ·BD →为定值 三、 填空题：本题共4小题，每题5分，共20分．13. 若椭圆C 2的焦点在y 轴上，且与椭圆C 1：x 24 ＋y 22 ＝1的离心率相同，则椭圆C 2的一个标准方程为________．14. 某公司决定从甲、乙两名员工中选一人去完成一项任务，两人被选中的概率都是0.5.根据以往经验，若选员工甲，按时完成任务的概率为0.8；若选员工乙，按时完成任务的概率为09.则选派一名员工，任务被按时完成的概率为________．15. 设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝10S 2，则S 6S 2的值为________．16. 一名学生参加学校社团活动，利用3D 技术打印一个几何模型．该模型由一个几何体M 及其外接球O 组成，几何体M 由一个内角都是120°的六边形ABCDEF 绕边BC 旋转一周得到，且满足AB ＝AF ＝DC ＝DE ，BC ＝EF ，则球O 与几何体M 的体积之比为________．四、 解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17. (本小题满分10分)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin A sin C ＋sin Csin A＝2cos B ＋1. (1) 求证：b 2＝ac ；(2) 若b 2a 2＋c 2 ＝25 ，求cos B 的值．18.(本小题满分12分)已知数列{a n }满足3a n a n ＋1 ＝2a n ＋1a 2 ，2a 1 ＋1a 2 ＝1a 3 ，a ＞0.(1) 求证：数列{1a n}是等差数列；(2) 求数列{a n a n ＋1}的前n 项和S n .19.(本小题满分12分)甲、乙两个学校进行球类运动比赛，比赛共设足球、篮球、排球三个项目，每个项目胜方得100分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲校在三个项目中获胜的概率分别为0.4，0.6，0.5，各项目比赛互不影响．(1) 求乙校获得冠军的概率；(2) 用X 表示甲校的总得分，求X 的分布列与数学期望．20.(本小题满分12分)如图，在三棱台ABCDEF 中，已知平面ABED ⊥平面BCFE ，BA ⊥BC ，BC ＝3，BE ＝DE ＝DA ＝12AB ＝1.(1) 求证：直线AE ⊥平面BCFE ；(2) 求平面CDF 与平面AEF 所成角的正弦值．21. (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，过点P (－2，0)的直线l 与双曲线C ：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1的左支交于A ，B 两点，直线OA 与双曲线C 的右支交于点D .已知双曲线C 的离心率为2 ，当直线l 与x 轴垂直时，BD ＝2 AB .(1) 求双曲线C 的标准方程；(2) 求证：直线BD 与圆O ：x 2＋y 2＝2相切．22.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x －16 ax 3(a ≠0)，记f n ＋1(x )＝f ′n (x )(n ∈N ), f 0(x )＝f (x ).(1) 当x >0时，f (x )≥0恒成立，求实数a 的最大值；(2) 当a ＝1时，设g n (x )＝ i ＝2nf i (x )，对任意的n ≥3，当x ＝t n 时，y ＝g n (x)取得最小值，求证：g n (t n )>0且所有点(t n ，g n (t n ))在一条定直线上；(3) 若函数f 0(x)，f 1(x)，f 2(x)都存在极小值，求实数a 的取值范围．2022～2023学年高三年级模拟试卷(泰州)数学参考答案及评分标准1. B2. C3. A4. C5. C6. A7. D8. D9. BCD 10. BC 11. ACD 12. ABD 13. 形如y 22t ＋x 2t ＝1(t ＞0)都行 14. 0.85 15. 91 16. 5678117. (1) 证明：由正弦定理知sin A sin C ＋sin C sin A ＝a c ＋ca， 由余弦定理知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，(3分)所以a c ＋ca ＝2·a 2＋c 2－b 22ac ＋1，化简得b 2＝ac .(5分)(2) 解：因为b 2a 2＋c2 ＝25 ，b 2＝ac ，所以a 2＋c 2ac ＝52 .(7分)由(1)知a 2＋c 2ac ＝2cos B ＋1，所以2cos B ＋1＝52 ，即cos B ＝34 .(10分)18. (1) 证明：因为数列{a n }满足3a na n ＋1 ＝2a n ＋1a 2 ，a 2＞0，令n ＝1，得3a 1a 2 ＝2a 1＋1a 2 ，所以a 1＝1，(2分)令n ＝2，得3a 2a 3 ＝2a 2＋1a 2.又因为2a 1 ＋1a 2 ＝1a 3 ，a 2＞0，所以a 2＝13 ，(4分)所以a n a n ＋1 ＝2a n ＋1，所以1a n ＋1 ＝2a n ＋1a n ＝2＋1a n ，故1a n ＋1 －1a n ＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公差为2的等差数列．(7分)(2) 解：由(1)知，1a n＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n a n ＋1＝1（2n －1）（2n ＋1） ＝12 (12n －1 －12n ＋1 )，(9分)S n ＝12 (1－13 ＋13 －15 …＋12n －1 －12n ＋1 )＝12 (1－12n ＋1 )＝n 2n ＋1 ，即数列{a n a n ＋1}的前n 项和S n ＝n 2n ＋1.(12分)19. 解：(1) 甲校在三个项目中获胜的概率分别为0.4，0.6，0.5，可以得到两个学校每场比赛获胜的概率如下表：乙学校获胜概率 0.6 0.4 0.5乙校要获得冠军，需要在3场比赛中至少获胜2场， 若乙校3场全胜，概率为P 1＝0.6×0.4×0.5＝0.12，若乙校获胜2场败1场，概率为P 2＝0.6×0.4×0.5＋0.6×0.6×0.5＋0.4×0.4×0.5＝0.38，所以乙校获得冠军的概率为P ＝P 1＋P 2＝0.5.(5分)(2) 甲校的总得分X 的可能取值为0，100，200，300，其概率分别为 P (X ＝0)＝0.6×0.4×0.5＝0.12，P (X ＝100)＝0.4×0.4×0.5＋0.6×0.6×0.5＋0.6×0.4×0.5＝0.38， P (X ＝200)＝0.4×0.6×0.5＋0.4×0.4×0.5＋0.6×0.6×0.5＝0.38， P (X ＝300)＝0.4×0.6×0.5＝0.12， 则X 的分布列为X 0 100 200 300 P0.120.380.380.12X 的数学期望E (X )＝0×0.12＋100×0.38＋200×0.38＋300×0.12＝150.(12分) 20. (1) 证明：在三棱台ABCDEF 中，DE ∥AB . 因为BE ＝AD ，所以四边形ABED 为等腰梯形． 因为BE ＝DE ＝1，AB ＝2，所以可得∠ABE ＝π3.在△ABE 中，由余弦定理可得AE ＝3 ，所以BE 2＋AE 2＝AB 2， 所以AE ⊥BE .(3分)又因为平面ABED ⊥平面BCFE ，平面ABED ∩平面BCFE ＝BE ，AE ⊂平面ABED ， 所以直线AE ⊥平面BCFE .(5分) (2) 由(1)知AE ⊥平面BCFE ，因为BC ⊂平面BCFE ，所以AE ⊥BC .又BC ⊥BA ，AE ，BA ⊂平面ABED ，所以BC ⊥平面ABED . 又BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ABED ， 在平面ABED 内过B 作BH ⊥BA ，则BH ⊥平面ABC .以{BC → ，BA → ，BH →}为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz ， 由题意可得A (0，2，0)，E (0，12 ，32 )，B (0，0，0)，C (3，0，0)，D (0，32 ，32 )，因为EF →＝12 BC → ＝(32 ，0，0)，F (32 ，12 ，32)，所以DF → ＝(32 ，－1，0)，AF →＝(32 ，－32 ，32 )，设平面AEF 的法向量n ＝(x 0，y 0，z 0)，则⎩⎨⎧n ·AF →＝32x 0－32y 0＋32z 0＝0，n ·EF →＝32x 0＝0，则⎩⎨⎧x 0＝0，3x 0－3y 0＋3z 0＝0，取y 0＝1，z 0＝3 ，则n ＝(0，1，3 )，(8分) 同理可求平面CDF 的一个法向量m ＝(2，3，3 )，(10分) 设平面CDF 与平面AEF 所成的角为θ， 由|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n||m|·|n| ＝34 ，则sin θ＝74， 所以平面CDF 与平面AEF 所成的角的正弦值为74.(12分) 21. (1) 解：当直线l 与x 轴垂直时，在x 2a 2 －y 2b 2 ＝1中，令x ＝－2得4a 2 －y 2b 2 ＝1，所以y ＝±b a 4－a 2 .不妨令A (－2，－b a4－a 2 )，B (－2，ba4－a 2 )，则D (2，ba4－a 2 )，所以BD ＝4，AB ＝2ba4－a 2 .因为BD ＝2 AB ，所以4＝2 ×2ba4－a 2，又a 2＋b 2a＝2 ，所以a 2＝b 2＝2，所以双曲线C 的标准方程为x 22 －y 22＝1.(4分)(2) 证明：显然直线BD 的斜率存在，设为y ＝kx ＋m ，设D (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，A (－x 1，－y 1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2－y 2＝2， 得(1－k 2)x 2－2kmx －m 2－2＝0，则x 1＋x 2＝－2kmk 2－1 ，x 1x 2＝m 2＋2k 2－1 ，(6分)所以|x 1－x 2|＝x 1－x 2＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝（2km k 2－1）2－4·m 2＋2k 2－1 ＝2|k 2－1|m 2－2k 2＋2 .(8分)因为直线l 经过点P (－2，0)，所以－y 1－x 1＋2 ＝y 2x 2＋2 ，即kx 1＋m x 1－2 ＝kx 2＋m x 2＋2 ，即m (x 1－x 2)＝2k (x 1＋x 2)＋4m ，则2m|k 2－1|m 2－2k 2＋2 ＝2k ·－2kmk 2－1＋4m ，显然m ≠0，化简得m 2－2k 2＋2|k 2－1| ＝－2k 2－1 ，所以m 2＝2k 2＋2，(10分)所以O 到直线BD 的距离d ＝|m |1＋k 2 ＝2k 2＋21＋k 2＝2 ，所以直线BD 与圆O ：x 2＋y 2＝2相切．(12分) 22. 解：(1) 因为x ＞0，所以f (x )≥0即16 a ≤e xx 3 .令h (x )＝e xx 3 (x ＞0)，则h ′(x )＝x －3x4 e x ，当0＜x ＜3时，h ′(x )＜0，h (x )在(0，3)上单调递减；当x ＞3时，h ′(x )＞0，h (x )在(3，＋∞)上单调递增， 所以h (x )min ＝h (3)＝e 327 ，所以16 a ≤e 327 ，即a ≤2e 39 ，所以实数a 的最大值是2e 39.(3分)(2) 当a ＝1时，f 0(x )＝e x －16 x 3，f 1(x )＝e x －12 x 2，f 2(x )＝e x －x ，f 3(x )＝e x －1，当n ≥4时，f n (x )＝e x ；当n ≥3时，g n (x )＝∑ni ＝2 f i (x)＝(n －1)e x －x －1，所以g′n (x)＝(n －1)e x －1. 令g′n (x)＝0，得x ＝ln 1n －1， 当x ∈(－∞，ln 1n －1)时，g′n (x)＜0，g n (x)单调递减； 当x ∈(ln1n －1，＋∞)时，g′n (x)＞0，g n (x)单调递增， 所以t n ＝ln1n －1 ，且y ＝g n (x)的最小值为g n (t n )＝g n (ln 1n －1)＝ln (n －1). 因为n ≥3，故g n (t n )＞0，此时点(t n ，g n (t n ))对应的坐标为(－ln (n －1)，ln (n －1))，所以所有点(t n ，g n (t n ))都在定直线y ＝－x 上．(6分)(3) 易知f 0(x)＝e x －16 ax 3，f 1(x)＝e x －12 ax 2，f 2(x)＝e x －ax ，f 3(x)＝e x －a ，若a ≤0，f 3(x)＝e x －a ＞0，f 2(x)在R 上单调递增，无极值，所以a ＞0，(7分)(或f 1(x )＝e x －12 ax 2＞0，f 0(x )在R 上单调递增，无极值，所以必有a ＞0)此时，当x ＜ln a 时，f 2(x )单调递减；当x ＞ln a 时，f 2(x )单调递增， 所以f 2(x )存在极小值，且f 2(x )min ＝f 2(ln a )＝a －a ln a . 当0＜a ≤e 时，有a －a ln a ≥0，即f 2(x )≥0，所以f 1(x )＝e x －12ax 2在R 上单调递增，无极值，所以必有a ＞e ，(8分)此时f 2(ln a )＝a (1－ln a )＜0，f 2(a )＝e a －a 2＞0，f 2(0)＝1＞0，其中0＜ln a ＜a ， 所以存在t 1∈(0，ln a )使得f 2(t 1)＝0，存在t 2∈(ln a ，a )使得f 2(t 2)＝0，所以当t 1＜x ＜t 2时，f 2(x )＜0，f 1(x )单调递减；当x ＞t 2时，f 2(x )＞0，f 1(x )单调递增， 因此f 1(x )存在极小值，(10分)下证当a ＞e ，f 0(x )一定存在极小值(事实上，只要a ＞0即可). 当x ＜0时，f 2(x )＝e x －ax ＞0，则f 1(x )在(－∞，0)上单调递增，且f 1(－1)＝e －1－12a ＜0，f 1(0)＝1＞0，所以存在t 3∈(－1，0)使得f 1(t 3)＝0，所以当x ＜t 3时，f 1(x )＜0，f 0(x )单调递减；当t 3＜x ＜0时，f 1(x )＜0，f 0(x )单调递增； 所以f 0(x )存在极小值．综上，实数a 的取值范围是(e ，＋∞).(12分)。