欧式黎曼罗氏几何
欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何的区别。
欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何是几何学中的三个重要分支，它们分别由欧几里德、罗伯特·罗斯和伯纳德·黎曼提出，并在不同的数学和物理领域中发挥着重要作用。
这三种几何学在概念、方法和应用上有着明显的区别，让我们一起深入了解它们。
一、欧氏几何欧氏几何是以古希腊数学家欧几里德的名字命名的几何学。
它主要研究平面几何和空间几何中的点、线、面以及它们之间的关系和性质。
在欧氏几何中，有五条公理作为基础，这些公理包括点的唯一性、直线的无限延伸性等，构成了欧氏空间的基本性质和特征。
欧氏几何是最为直观和常见的几何学，在我们日常生活和实际工作中有着广泛的应用，比如建筑设计、地理测量等领域。
二、罗氏几何相较于欧氏几何，罗氏几何是一种非欧几何，由19世纪的数学家罗伯特·罗斯提出。
罗氏几何放弃了平行公设并提出了新的平行公设，即通过一点可以作出无数平行线。
这种新的理念打破了欧氏几何中平行线的概念，引入了一种新的、非直观的几何学体系。
罗氏几何虽然在直观上难以理解，但在相对论和曲率空间的研究中有着重要的应用，尤其是在描述引力场和黑洞的时候，罗氏几何的理论和方法显得尤为重要。
三、黎曼几何黎曼几何是由19世纪德国数学家伯纳德·黎曼创立的一种曲面的微分几何学。
相较于欧氏几何和罗氏几何，黎曼几何的研究范围更广，不再局限于平面和直线，而是研究了曲面和多维空间的性质和变换。
黎曼几何的理论为爱因斯坦的广义相对论奠定了基础，也在现代物理学和工程领域有着极其重要的应用。
结语通过对欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何的深入了解，我们可以看到这三种几何学在概念、方法和应用上的明显区别。
欧氏几何在平面和直线的理论中有着直观的优势，罗氏几何在非直观的空间和曲率中有着重要的应用，而黎曼几何则进一步拓展了几何学的研究领域，为现代数学和物理学的发展提供了重要的理论基础。
在个人看来，欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何的区别体现了数学的多样性和丰富性，也展示了数学在不同领域中的重要作用。
关于欧氏几何的第5公设及非欧几何
关于欧氏几何的第5公设及非欧几何谢裕华秦敏雁施培成摘要：本文综述了由欧氏几何到非欧几何的发展历史；评述了非欧几何的思想及其伟大意义；论述了欧氏几何，罗氏几何，黎曼几何的对立统一关系。
比较了三种几何的主要特征及适用范围。
关键词：第五公设，欧氏几何，罗氏几何，黎曼几何。
一、关于Euclid的《Elements》欧几里得的《几何原本》早已失传，现存的有：1、公元四世纪末（400年左右）泰恩（Thon）的《原本》修订本。
2、18世纪在梵蒂冈图书馆发现的一个第十世纪的《原本》希腊文手抄本，可能比泰恩本更早些。
3、现代版本最早的是1482在威尼斯印刷的，依据泰恩修订本的版本。
4、现在看到的各种版本（一千多种版本）均非欧几里得手稿的传本，而是依据后人的修订本，注释本，翻译本重新整理出来的。
5、1794年法国数学家勒让德（A.M.Legendre,1752-1833）为使《几何原本》更便于教和学，曾对《原本》作了较大的修改，如删去了《原本》中的非几何部分内容，并将几何部分重新整理和编写。
把“命题”中的定理和问题加以明确区分，还把第5公设换为与它等价的平行公理；“过直线外一点，有而且只有一条直线与原直线平行”等等，编成了《新欧几里得几何原本》。
于是自19世纪开始，初等几何课本一般都是以此为兰本的改编本。
6、中国最早的汉译本是1607年（明万历35年丁未）意大利传教士利玛窦（Matteo Ricci,1552-1610）和徐光启（1562－1633）的合译本（前6卷），称之为“明译本”底本系德国人的拉丁文本15卷。
二百五十年之后，1857年，后9卷由英人伟烈亚（A.Wylie,1815-1887）和李善兰（1811－1882）合译，称之为“清译本”底本是英文版第15卷。
由于它们均系文言，并且名词，术语和现代有很大的差异，不易看懂，故现代新译本于1990年由陕西科技出版社出版。
二、关于第5公设古希腊对于数学的最杰出的贡献就是“根据公理体系来建立数学”的观念，即：一个合乎逻辑的学科，应当是由一组原始定义和原始命题（公设，公理）出发，通过演绎推理导出这一学科的其他所有命题。
笛卡尔几何和黎曼几何和罗氏几何的区别
笛卡尔几何和黎曼几何和罗氏几何的区别在数学领域中，笛卡尔几何、黎曼几何和罗氏几何是数学几何学的三个重要分支。
虽然它们都是研究几何形状和空间关系的学科，但在理论基础、研究对象和应用领域上存在一些显著的区别。
首先，笛卡尔几何是由法国数学家笛卡尔于17世纪提出的，它建立了代数和几何之间的联系。
这种几何思想将点的坐标表示为数对(x, y)，使得几何问题可以用代数方程来解决。
笛卡尔几何的优势在于其坐标系的可见性和计算的便利性，因此被广泛应用于解析几何、计算机图形学等领域。
其次，黎曼几何是由德国数学家黎曼于19世纪提出的，它是从欧几里德几何发展而来的一种非欧几何。
黎曼几何的研究对象是曲面和多维空间，它引入了度量概念，通过度量张量来描述曲面的性质。
黎曼几何的研究主要集中在曲率的计算和性质的研究上，对于理解宇宙结构、广义相对论等具有重要意义。
最后，罗氏几何是由法国数学家罗氏于19世纪提出的，它是几何形体运动学的基础。
罗氏几何通过研究物体的平移、旋转和变形等运动，揭示了几何形体的性质和变化规律。
罗氏几何广泛应用于机械工程、机器人学等领域，为实际工程问题的解决提供了数学工具。
总的来说，笛卡尔几何、黎曼几何和罗氏几何都是几何学中的重要分支，它们之间存在着显著的区别。
笛卡尔几何注重代数与几何的联系，黎曼几何研究曲面的性质和变化规律，而罗氏几何是运动学的基础。
这三个分支各自在不同领域都有广泛的应用，为数学与工程学科发展做出了巨大贡献。
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同时，我尽量保持句子之间的逻辑联系，使文档内容更加通顺流畅。
希望本文对读者理解笛卡尔几何、黎曼几何和罗氏几何的区别有所帮助。
08 三角形三内角和——欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何的比较
三角形三内角和——欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何的比较1840年，俄国数学家罗巴切夫斯基发表了一种新几何学．尽管高斯、波尔约和罗巴切夫斯基几乎同时各自独立地发现了这种新几何学，但由于罗巴切夫斯基第一个无所畏惧地公开发表了他的结果，所以，今天人们把这种新几何称为“罗氏几何”．罗巴切夫斯基从1815年开始试图证明平行公理，几年的努力都失败了，失败使他逐渐认识到证明平行公理或第五公设是不可能的．1826年，身为大学教授的年轻的罗巴切夫斯基勇敢地抛弃了第五公设，提出了与欧几里得几何（简称欧氏几何）完全相反的公设：“过一点至少可以引两条直线与已知直线平行．”后来人们把这个公设叫做“罗氏公理”．由罗氏公理很容易推出以下结论：“过已知直线外一点可以引无数条直线与已知直线平行．”罗巴切夫斯基保留了除平行公理以外的欧几里得的全部公理．如果不涉及与平行有关的内容，罗巴切夫斯基的新几何与欧几里得几何学没有任何不同．但是只要与平行有关，那么结果就相差甚远．下表对罗巴切夫斯基几何（简称罗氏几何）、欧氏几何不同的定理作了说明．图7－11欧氏几何说：“三角形的三内角和等于180 o．”现实生活中有没有这种几何模型呢？有！平面上的三角形的内角和就等于180 o，如图7－12左图．罗氏几何说“三角形的三内角和小于180o”．难道现实生活中也会有这样的几何模型吗？有！1868年意大利数学家贝特拉米找到了一种曲面，人们给它起名叫“伪球面”．在“伪球面”上可以证明：“三角形内角和小于180 o”，如图7－12中间的图．图7－12现实生活中有没有“三角形的内角和大于180 o”的几何学？有！这是德国著名数学家黎曼于1854年提出来的，如图7－12右图．黎曼生于德国汉诺威，父亲是牧师，他遵照父亲的愿望进入哥廷根大学学习哲学和神学．可是进哥廷根大学后，他很快被数学所吸引．于是就放弃神学专攻数学，并成为大数学家高斯的学生．1851年他获得数学博士学位，博士论文受到高斯极高的评价．1859年他成为哥廷根大学的教授，1866年因患肺结核死于意大利，年仅40岁．黎曼提出了一种与前两种几何完全不同的新几何，叫做“黎曼几何”．黎曼几何的模型是球面，在黎曼几何中“三角形内角之和大于180 o.”后来，人们把罗氏几何和黎曼几何合在一起统称“非欧几何”．非欧几何在现代物理中，特别是相对论提出之后找到了具体用处，使得非欧几何并不像有些人说的是“想象中的几何”，而成了有着重要现实意义的几何学．。
浅谈几何的发展历程
前言：
几何学是一门古老而实用的科学,是自然科学的 重要组成部分。在史学中,几何学的确立和统一经 历了二千多年,数百位数学家做出了不懈的努力。
•
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
几何这个词最早来自于希腊语“γ ε ω μ ε τ ρ ία ”，由“γ έα ”
（土地）和“μ ε τ ρ ε ĭν ”（测量）两个词合成而来，指土地的测量
柏拉图主张:"只有循数学一途,才能了解实体世界 的真面目,而科学之成为科学,在於它含有数学的份." 就是因为希腊时代的一些学者对於自然的这种看法和 确立了依循数学研究自然的做法,给食腊时代本身及后 来世世代代的数学创见提供了莫大的诱因.而在数学的 领域中,几何学是最接近实际的描述.对希腊人而言,几 何学的原则是宇宙结构的具体表现,本身正一门实际空 间的科学.几何学就是数学,研究的中心.
，即测地术。后来拉丁语化为“geometria”。中文中的“几何”一词，最
早是在明代利玛窦、徐光启合译《几何原本》时，由徐光启所创。当时并
未给出所依根据，后世多认为一方面几何可能是拉丁化的希腊语GEO的音译
，另一方面由于《几何原本》中也有利用几何方式来阐述数论的内容，也
可能是magnitude（多少）的意译，所以一般认为几何是geometria的音、
解析几何的诞生
解析几何是变量数学最重要的体现。解析几何的基本 思想是在平面上引入“坐标”的概念,并借助这种坐标在 平面上的点和有序实数对(x,y)建立一一对应的关系,于是 几何问题就转化为代数问题。
解析几何的真正创立者应该是法国数学家迪卡儿和费 马。1637年迪卡儿在《更好的指导推理和寻求科学真理的 方法论》的附录《几何学》中清晰的体现了解析几何的思 想。而费马则是在论平面和立体的轨迹引论中阐述了解析 几何的原理,他在书中提出并使用了坐标的概念,同时建立 了斜坐标系和直角坐标系。
这个空间的几何学就叫做黎曼几何学
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Y B
A
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X
11
Y
X
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三、球几何
继 Gauss 和 Lobachevsky 之后，Riemann 也研究了几何的基础问题。1854年在 Götingen 大学，Riemann 做了“关于作为几 何学基础的假设”的学术报告，提出了一种更 为广泛的几何理论的初始概念，给出了另一种 简单的非欧氏几何，即椭圆几何学。
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五、陈省身的贡献
Chern在几何学上做出了巨大贡献， 最为重要的是 Gauss-Bonnet定理高维推广的内蕴证明 纤维丛的陈类（Chern Class)
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两维的Gauss-Bonnet定理
局部公式
2 i kg ds kdA
i
V EF 2
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环面的欧拉示性数
V EF 0
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双环面的欧拉示性数
V E F 2
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三环面的欧拉示性数
V E F 4
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定向紧致曲面：球面，环面，双环面等等，
在拓扑同构的意义下，所有紧致可定 向曲面，都是球面粘上g个环柄得到的。 都可以进行三角剖分。欧拉示性数为
cosa cosbcosc sin bsin c cos A cosc cosbcosa sin bsin a cosC cosb cosa cosc sin asin c cosB
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欧式黎曼罗氏几何
欧式黎曼罗氏几何部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑除欧氏几何，还有罗氏几何、黎曼几何。
它们合称非欧几何。
可以推断你的基础还薄弱，理解不了这些，给你简单讲几句。
以后慢慢学你可能能理解。
欧几里德几何(欧式几何>的传统描述是一个公理系统，通过有限的公理来证明所有的“真命题”。
欧几里德几何的五条公理是：1、任意两个点可以通过一条直线连接。
2、任意线段能无限延伸成一条直线。
3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
4、所有直角都全等。
5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。
第五条公里称为平行公理，可以导出下述命题：通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。
长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。
有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。
也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。
因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。
由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。
他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。
他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。
我们知道，这其实就是数学中的反证法。
但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。
最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：第一，第五公设不能被证明。
数学万花筒(20) 球面几何与罗氏几何简介
数学万花筒(20)球面几何与罗氏几何简介※球面几何※平面几何最早由古希腊数学家欧几里德(Euclid，公元前300年左右)整理成系统的理论.他的不朽之作《几何原本》不仅包含了平面几何，也包含了立体几何.为了纪念他对人类做出的伟大贡献，后来就把这种几何称为欧氏几何.球面上的几何学是与欧氏几何不同的几何学，称之为球面几何.欧氏几何球面几何直线过两点有唯一一条直线过两个非对径点有唯一一条直线(大圆) 直线可以无限延伸大圆是封闭的、有限的角的含义两直线的交角两个大圆在交点处切线的交角(即两个大圆所在平面的二面角的平面角)两点间距离含义连结它们的直线段长度过两点的大圆中的劣弧弧长三角形内角和180°>180°三角形面积ah a底边长乘高线长的一半R2，其中A、B、C 为单位球面上三角形的三个内角(弧度制)三角形全等条件SSS，SAS，ASA SSS，SAS，ASA，AAA相似性存在不全等的相似三角形同球面或等球面上没有相似三角形，不存在相似概念平行性过直线外一点有且只有一条直线与之平行任意两条直线必相交于两点；没有平行的概念欧氏几何与球面几何的共同特征欧氏几何球面上的几何直线都是两点间距离最短的道路三角形的性质大边对大角，大角对大边；两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.三角形全等的条件SSS，SAS，ASA两种几何的这些相同之处，说明它们之间应该有某种内在的联系. 对于球面三角形的面积公式R2.这个公式可以改写成:=这个等式的左端称为球面三角形的角超，它反映出球面几何与平面几何的差距. 在平面几何中三角形三内角之和等于，角超等于零.球面几何中的角超大于零.不难看出当球面半径R无限增大时，球面逐渐趋向于平面，越来越小，即三角形的角超越来越小，球面三角形逐渐趋向于平面三角形，球面几何的性质逐渐接近于平面几何的性质.所以我们可以说：当球面半径趋向于无穷大时，平面几何可看成球面几何的极限状态.※罗氏几何※通过前面的分析，我们发现三角形的三个内角之和的大小，在很大程度上反映了欧氏几何与球面几何的差别.当三角形的三个内角之和等于时，就是欧氏几何，当三角形的三个内角之和大于时，就反映出球面几何的主要特征.有没有三角形三个内角之和小于的几何呢？有！这就是罗氏几何.罗巴切夫斯基用“在平面上，过直线AB外一点C，可以作无穷多条直线与AB不相交”这条罗氏平行公理代替原来的欧氏几何则的平行公理，同时，保留欧氏几何中其他所有公理，在此基础上，推导出了一套几何理论.虽然这种几何理论中有许多看似荒谬的不符合人类实际经验的结论，但是在逻辑上这套理论却是无矛盾的.人们把这种几何理论称为罗氏几何.(1)经过两个罗氏点，有唯一的罗氏直线；(2)罗氏平行公理成立：在平面上，过直线AB外一点C，可以做无穷多条直线与AB不相交.(3)三角形的三个内角之和小于.欧氏几何罗氏几何直线过两点有唯一一条直线过两点有唯一一条直线（垂直单位圆的圆弧或单位圆的直径）直线可以无限延伸直线夹角的含义两直线的交角两圆弧在交点处切线的交角两点间距离含义连结它们的直线段长度d(A，B)=|ln()|.其中C、D为圆弧AB的延长线与单位圆的交点三角形内角和等于180°小于180°三角形面积底边长乘高线长的一半，其中A、B、C为三角形的三个内角（弧度制）合同性(全等条件) SSS，SAS，ASA SSS，SAS，ASA 相似性存在不全等的相似三角形同圆盘或等圆盘上没有相似三角形平行性平面上，过直线外一点有且只有一条直线与之平行圆盘上，过直线外一点有无穷多直线与之不相交罗氏几何的发现打破了欧氏几何对人类认识的束缚，使人们认识到除了欧氏几何以外，还可以有其它的几何.为了实际问题的需要，完全可以把原本不属于几何范畴的问题，通过一种适当的解释，转化为几何问题.再根据它所遵循的基本规律，建立起一套新的几何理论.正是在这种思想指导下，在现代数学中，才有了多种多样的几何理论.非欧几何的出现还自然而然地引发出一个问题：我们的宇宙到底是一种什么样的空间？它适用什么样的几何理论？人类对宇宙的探索从来没有停止过.长期以来，人们一直把宇宙空间简单地理解为三维欧氏空间.但是从非欧几何产生后，人们开始有了怀疑.直到二十世纪初，一些天文学家、物理学家经过反复观测与研究，证实了“光线在通过大质量星球时会产生弯曲”.在宇宙中只有光线才能代表直线，而光线又是弯曲的.这很像球面几何中只有大圆才能代表直线，而大圆是弯曲的.由此可以断定宇宙中应该适用一种非欧几何.爱因斯坦的广义相对论，也是建立在这样一种几何之上来描述宇宙的.这种几何一般称为黎曼几何.探索大自然的奇妙是全人类共同的神圣任务，而要成为一个探索者，必学掌握丰富的科学知识.意大利数学家贝特拉米于1868年发表《非欧几何解释的尝试》，首先证明非欧几何可以在欧氏空间的曲面上实现.两年后，德国数学家克莱因也对非欧几何给出解释，把欧氏几何叫“抛物几何”，罗巴切夫斯基几何叫“双曲几何”，黎曼几何叫“椭圆几何”，三者之间就其空间概念来说，所不同的仅是“曲率”.至此，非欧几何的思想才得到数学界的普遍认同.。
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除欧氏几何，还有罗氏几何、黎曼几何。
它们合称非欧几何。
可以推断你的基础还薄弱，理解不了这些，给你简单讲几句。
以后慢慢学你可能能理解。
欧几里德几何(欧式几何)的传统描述是一个公理系统，通过有限的公理来证明所有的“真命题”。
欧几里德几何的五条公理是：
1、任意两个点可以通过一条直线连接。
2、任意线段能无限延伸成一条直线。
3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
4、所有直角都全等。
5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。
第五条公里称为平行公理，可以导出下述命题：
通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。
长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。
有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。
也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。
因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。
由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？
到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。
他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。
他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。
我们知道，这其实就是数学中的反证法。
但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。
最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：
第一，第五公设不能被证明。
第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。
这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。
这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称"罗氏几何"。
这是第一个被提出的非欧几何学。
从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。
几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时，匈牙利数学家鲍耶·雅诺什也发现了第五公设不可证明和非欧几何学的存在。
鲍耶在研究非欧几何学的过程中也遭到了家庭、社会的冷漠对待。
他的父亲——数学家鲍耶·法尔卡什认为研究第五公设是耗费精力劳而无功的蠢事，劝他放弃这种研究。
但鲍耶·雅诺什坚持为发展新的几何学而辛勤工作。
终于在1832年，在他的父亲的一本著作里，以附录的形式发表了研究结果。
那个时代被誉为“数学王子”的高斯也发现第五公设不能证明，并且研究了非欧几何。
但是高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害，不敢公开发表自己的研究成果，只是在书信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他们的新理论。
罗式几何
罗式几何学的公理系统和欧式几何学不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用“从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。
由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。
我们知道，罗式几何除了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理。
因此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是正确的，在罗式几何中也同样是正确的。
在欧式几何中，凡涉及到平行公理的命题，再罗式几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。
下面举几个例子加以说明：
欧式几何
同一直线的垂线和斜线相交。
垂直于同一直线的两条直线或向平行。
存在相似的多边形。
过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆。
罗式几何
同一直线的垂线和斜线不一定相交。
垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。
不存在相似的多边形。
过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。
从上面所列举得罗式几何的一些命题可以看到，这些命题和我们所习惯的直观形象有矛盾。
所以罗式几何中的一些几何事实没有象欧式几何那样容易被接受。
但是，数学家们经过研究，提出可以用我们习惯的欧式几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗式几何是正确的。
1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。
这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。
人们既然承认欧几里是没有矛盾的，所以也就自然承认非欧几何没有矛盾了。
直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。
黎曼几何
欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。
欧式几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。
罗氏几何讲“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”。
那么是否存在这样的几何“过直线外一点，不能做直线和已知直线平行”？黎曼几何就回答了这个问题。
黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。
他在1851年所作的一篇论文《论几何学作为基础的假设》中明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学的一片新的广阔领域。
黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。
在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限演唱，但总的长度是有限的。
黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。
近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。
在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。
在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的。
在物理学中的这种解释，恰恰是和黎曼几何的观念是相似的。
此外，黎曼几何在数学中也是一个重要的工具。
它不仅是微分几何的基础，也应用在微分方程、变分法和复变函数论等方面。
三种几何的关系
欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。
这三中几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。
因此这三种几何都是正确的。
在我们这个不大不小、不远不近的空间里，也就是在我们的日常生活中，欧式几何是适用的；在宇宙空间中或原子核世界，罗氏几何更符合客观实际；在地球表面研究航海、航空等实际问题中，黎曼几何更准确一些。