相似基本图形
相似三角形的几种基本图形复习
相似三角形的几种基本图形：（1）称为“平行线型”的相似三角形.（2）其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形.ABCDABCDE（3）如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形.（4）一线三等角型1、矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使D与CB边上的点E重合，若AD=10, AB= 8,则EF=______2、如图，在矩形ABCD中，E在AD上，连结BE、EF、BF。
已知AE=4，ED=2，AB=3，若△ABE和△EDF相似，则DF=__________。
3、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=900，AD=3，BC=6，点P在AB上滑动。
若△DAP与△PBC相似，且AP=4.5 ，求PB的长。
4、如图,在△ABC中，∠C=90°，BC=8,AC=6.点P从点B出发，沿着BC 方向点C以2cm/s的速度移动；点Q从点C出发，沿着CA向点A以1cm/s的速度移动。
如果P、Q分别从B、C同时出发，问：经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰好与△ABC相似？5、如图，菱形ABCD的边长为24厘米，∠A=60°，点P从点A出发沿线路AB→BD作匀速运动，点Q从点D同时出发沿线路DC→CB→BA作匀速运动．（1）求BD的长；（2）已知点P、Q运动的速度分别为4厘米/秒，5厘米/秒，经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，若按角的大小进行分类，请你确定△AMN是哪一类三角形，并说明理由；（3）设（2）中的点P、Q分别从M、N同时沿原路返回，点P的速度不变，点Q的速度改变为a厘米/秒，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与（2）中的△AMN相似，试求a的值．如图, □ABCD中, G是AB延长线上一点, DG交ACABFCDEG于E, 交BC于F, 则图中所有相似三角形有( )对。
（A）4 对（B） 5对（C）6对（D） 7对。
相似三角形知识点大总结
相似三角形知识点大总结知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段的长度分别为，那么就说这两条线段的比是，或写成．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段中，如果的比等于的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说是的第四比例项，那么应得比例式为：．②a、d叫比例外项，b、c叫比例内项, a、c叫比例前项，b、d叫比例后项，d叫第四比例项，如果b=c，即 那么b叫做a、d的比例中项， 此时有。
（3）黄金分割：把线段分成两条线段，且使是的比例中项，即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中≈0.618．即 简记为：注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 基本性质：①；②．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如，除了可化为，还可化为，，，，，，．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：（3）反比性质(把比的前项、后项交换)： ．（4）合、分比性质：．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：等等．（5）等比性质：如果，那么．注：①此性质的证明运用了“设法”（即引入新的参数k）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：；其中．知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE∥BC可得：注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.已知AD∥BE∥CF,可得等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
(完整版)初中相似三角形基本知识点和经典例题
初三相似三角形知识点与经典题型知识点 1 相关相似形的看法(1) 形状同样的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形 .(2) 若是两个边数同样的多边形的对应角相等，对应边成比率，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比( 相似系数 ) ．知识点 2 比率线段的相关看法（ 1）若是采用同一单位量得两条线段a,b 的长度分别为 m, n ，那么就说这两条线段的比是a mbn ，或写成 a : bm : n ．注：在求线段比时，线段单位要一致。
的比，那么这四条线段a,b,c, d 叫做成比率线段，（ ）在四条线段a, b, c, d 中，若是a 和b 的比等于c 和d 2简称比率线段． 注：①比率线段是有次序的， 若是说 a 是 b, c, d 的第四比率项， 那么应得比率式为：bd ．②在比率式ac(a ： bcac ： d)中，a 、d 叫比率外项， b 、c 叫比率内项 , a 、c 叫比率前项， b 、d 叫比率后b d此时有 b 2项， d 叫第四比率项，若是 b=c ，即a ：b b ：d 那么 b 叫做 a 、 d 的比率中项， ad 。
（ 3）黄金切割：把线段AB 分成两条线段 AC , BC ( AC BC ) ，且使 AC 是 AB 和 BC 的比率中项，即AC 2AB BC ，叫做把线段 AB 黄金切割，点 C 叫做线段 AB 的黄金切割点，其中AC5 1 AB ≈20.618 AB ．即ACBC 5 1 简记为：长＝短＝5 1ABAC 2全 长2注：黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点 3比率的性质（ 注意性质立的条件：分母不能够为0）（ 1） 基本性质：① a : b c : d adbc ；② a : b b : c b 2a c ． ad bc ，除注：由一个比率式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比率式，如了可化为 a : b c : d ，还可化为 a : c b : d ， c : d a : b ， b : d a : c ， b : ad : c ， c : a d : b ，d : c b : a ， d : b c : a ．a b，交换内项 )cd（ 2） 更比性质 ( 交换比率的内项或外项) ：ac d()c ，交换外项b db ad b．同时交换内外项)ca（ 3）反比性质 ( 把比的前项、后项交换) ：ac bd ．b dac（ 4）合、分比性质：a c ab cd ．b d bd注：实质上，比率的合比性质可扩展为：比率式中等号左右两个比的前项，后项之间b ad c发生同样和差变化比率仍建立．如：a cac 等等．b da b c da bc d（ 5）等比性质：若是ac e m(bdfn 0) ，那么 acem a ．b d fnb d f nb注：①此性质的证明运用了“设 k 法”（即引入新的参数 k ）这样能够减少未知数的个数，这种方法是相关比率计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母可否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也建立．如：a c e a 2c 3e a 2c 3e a；其中 b 2d 3 f 0．b d f b 2d 3 f b 2d 3 fb知识点 4比率线段的相关定理1. 三角形中平行线分线段成比率定理: 平行于三角形一边的直线截其他两边( 或两边的延长线) 所得的对应线段成比率 .A由 DE ∥ BC 可得：ADAE 或 BD EC 或 ADAE DB ECADEAABACDE注：BC①重要结论：平行于三角形的一边, 而且和其他两边订交的直线, 所截的三角形的三边 与原三角形三边 对应成比．．．．．． ．．．．．．例 .②三角形中平行线分线段成比率定理的逆定理： 若是一条直线截三角形的两边( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比率 . 那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法 , 即：利用比率式证平行线 .③平行线的应用：在证明相关比率线段时，辅助线经常做平行线, 但应依照的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比 .2. 平行线分线段成比率定理: 三条平行线截两条直线, 所截得的对应线段成比率 .A D 已知 AD ∥ BE ∥CF,B E可得AB DE AB DE BC EFBC EFAB BCCFBC EF或DF或或AC 或DE 等.AC AB DE DFEF注：平行线分线段成比率定理的推论：平行线均分线段定理： 两条直线被三条平行线所截， 若是在其中一条上截得的线段相等， 那么在另一条上截得的线段也相等。
最新北师大 相似三角形_基本知识点+经典例题
相似三角形知识点知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b=．②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即12AC BC AB AC ==简记为：12长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 基本性质：①bc ad d c b a =⇔=::；②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d c b db a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项（3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b da c=⇔=．（4）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc d c b a b a ccd a a b d c b a 等等．（5）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ，那么b a n f d b m ec a =++++++++ ． 注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． 知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
相似的基本图形
AE DB FA 时B 时ABD CEFG三、随堂测试1. 如图，在△ABC 中，D 为AC 边的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于点G ，交BC 的延长线于点F ．若BG :GA =3:1，BC =10，则AE =______．2. 如图，在△ABC 中，延长BC 至点D ，使CD =BC ，取AB 的中点F ，连接FD 交AC 于点E ，AEAC＝四、作业巩固1. 如图，梯形ABCD 的中位线EF 分别交对角线BD ，AC 于点M ，N ，AD =1，BC =3，则EF =__________，MN =__________．第1题图 第2题图 第3题图2. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ，若BD :CD =3:2，则AC :AB =（ ）A ．32B ．23C ．2D ．33. 如图，E 是□ABCD 的边CD 上一点，连接AC ，BE 交于点F ．若DE :EC =1:2，则BF :EF =________．第4题图4. 如图，在锐角三角形ABC 中，高CD ，BE 相交于点H ，则图中与△CEH 相似（除△CEH自身外）的三角形有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5. 如图，D 是AB 的中点，AF ∥CE ，若CG :GA =3:1，BC =8，则AF =________．6. 如图，小明在A 时刻测得某树的影长为2m ，B 时刻又测得该树的影长为8m ，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________．BADCGFE DBCA D AB NM F E D A A BD CEFDAE H7. 如图，一同学在某时刻测得1m 长的标杆竖直放置时影子长为1.6m ，同一时刻测量旗杆的影子长时，因旗杆靠近一栋楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影子长为11.2m ，留在墙上的影子高为1m ，则旗杆的高度是_________．第7题图 第8题图8. 如图，小明想测量电线杆AB 的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD =4m ，BC =10m ，CD 与地面成30°角，且此时测得1m 杆的影子长为2m ，则电线杆的高度为_________．9. 如图，在△ABC 中，AF :FB =2:3，延长BC 至点D ，使得BC =2CD ，求AEEC的值．10. 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC ，垂足为D ，E 是AC 上的点，若AF ⊥BE ，垂足为F ．求证：∠BFD =∠C ．EFDBAA BEF。
相似三角形的判定(基本图形)
相似三角形基本图形的变化：
A
D
E
B
C
A
D E
B
△ADE绕点A
旋转
E A
E
A
B
C
点
E
移 到 与
重 合
A
C
点
D
B
∠ACB=Rt∠ CD⊥AB
B
B
D C D C
A D
C
例题精讲
例1 如图,在平行四边形ABCD中,E是AB延长线上一点,连结 DE交AC于G，交BC于F,则图中相似三角形共有____对.
变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最
小值
（3）当△ADE是等腰三1 角形时， 求AE的长
A
y
E
B xD
C
如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上
一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=4
△ABD∽△DCE
证明：∵AB=AC，∠BAC=90°
C 2x
当 x 2 时 2
y最小值
1 2
如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一 个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°
PR PB2
5、如图，∠1= ∠2= ∠3,则图中相似三角形的
组数为___4_____.
A
D1 E
2
B3 C
6、如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1, 点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上 取一点E，使∠ADE=45°
（1）求证：△ABD∽△DCE
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自
浅谈相似三角形中的基本图形
浅谈相似三角形中的基本图形浙江省苍南县钱库一中王昌汤一道几何问题，都会以一个图形以及这个图形所具有的各种性质为研究对象。
而出现在几何问题中的每一个几何图形，无论是怎样的简单还是怎样的复杂，经过观察和分析，都一定可以发现它是由一个或者若干个最简单、最基本也是最重要的图形组合而成的。
在对数以万计的几何问题进行图形剖析后，就会发现几何中的基本图形的数量并不很多，但就是这些数量不多的基本图形却演绎出一部能显现无穷变化的平面几何学。
对这数量不多的基本图形再进行分类，就可以分成：平行线、等腰三角形、与圆有关的角、全等三角形、相似三角形、特殊角三角形、与面积方法有关的三角形等七个部分。
现本人以相似三角形为例来说明如何将复杂图形转化为简单图形，培养学生分析问题和解决问题的能力。
通过寻找（或构造）相似三角形，用以计算或论证问题的方法，我称之为相似三角形法，在计算线段的长度，证明角相等，证明线段成比例等方面都有广泛的应用。
常见的基本图形有：例如：（2012•嘉兴）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB 的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①FBFGABAG；②点F是GE的中点；③AF= AB32④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是.本题中的基本图形就有X字型和K字型等，只有从这个复杂图形中分离出基本图形，才能利用相似三角形的判定与性质和面积变换解答此类问题。
A字型反A型母子型双垂图X字型K字型风筝型又如上图：这样复杂的图形其实就包含四个基本图形，只要掌握这些基本图形的性质和应用，解决此类就不难了。
当若干个基本图形组合而成为一个几何问题的时候，许多图形的性质就难以发现了，变为隐蔽了，所以几何问题的分析和思考过程实质上就是要将这一综合过程逆过来进行，也就是要剖析并找到这些基本图形，并应用这些基本图形的性质，使问题得到解决。
相似中的基本图形公边公角、射影型
相似中的基本图形-----公角公边型；射影型（一）公角、公边型 （1） 基本图形（2） 图形特征：一个公共角，一条公共边 （3） 结论：1） 2）3） 4）以上四个个结论，对于任意一个都可以推出其他三个。
例1、 如上图在三角形ABC 中，D 是BC 上的一点，且∠BAD=∠BCA1）求证：AB 2=B D ·BC 2）若AB=6，BD=3，求DC3）若AD ：AC=1：2，求BD ：DC 的值例2、 如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 为等边三角形，∠APB=1200，写出图中所有正确结论。
练习：1、如图，在△ABC 中，D 是AB 上的一点，时，△ACD ∽△ABC ，它们的相似比ACDBCDS S ##= 。
2、如图，等边三角形PQR ，∠APB=1200，RQ 的长为 ，△PRB 的面积为 。
3、如图，PA 切⊙O 于点A ，CB 是⊙O P ，PA=6，PB=4，求⊙O 的半径。
4、如图，在△ABC 中，∠BAC=900，点D 是AC 边的中点，AE ⊥BD 于点E ， 求证：D B ·CE=一、 射影型注：射影型是特殊的公角公边型，即当∠BAC=900，AD ⊥BC 时。
1）基本图形2）图形特征：直角三角形斜边高3）条件：直角三角形ABC 中，∠∠BAC=900，AD ⊥BC 于D 结论：（1） （2） （3） （4） （5） （6）求值练习：如图，直角三角形ABC 中，AC ⊥BC ，CD ⊥AB 于D ，AD ＞BD 1）△ABC ∽△ ∽△2）若AC=8，BC=6，则AD= ，BD= 。
3）若∠A=300，AB=4，则BD= ，CD= ，AD= ，AC= 4）若BD ：AD=1：4，且CD=4，则AD= ，BD= ，AC= 。
5）若AC ：BC=2：1，则AD ：BD= 。
6）若CD=4，BC=5，则BD= ，AB= ，AC= 。
7）若∠A=450，CD=2，则三角形ABC 的面积为 8）若AC=40，BC=9，则CD= 。