共边共角相似的组合图形全梳理（优选）
相似三角形几种基本模型
相似三角形几种基本模型经典模型平行旋转型图形梳理：特殊情况：B 、E'、F'共线平移一般平移特殊翻折180°旋转180°平行型平行型翻折180°翻折180°斜交型斜交型■■一边平移双垂直特殊一般特殊一般C△AEF 旋转到色AE 'F 'F'一 AEF 旋转到」AE ' F '丄AEF 旋转到兰AE 'F '色AEF 旋转到二AE ' F 'C , E', F'共线相似三角形有以下几种基本类型 ：①平行线型常见的有如下两种 ，DE//BC ,则厶ADE S MBC②相交线型常见的有如下四种情形 ，如图，已知/仁/B ,则由公共角ZA 得，△ ADE s^ABCA B C△ AEF 旋转到厶AE‘ F 'A△ AEF 旋转至U 厶AE‘ F '八BC 一AEF 旋转至U 仝AE ‘ F 'AAEF 旋转到 A AE ‘ F 'E'A如下左图，已知Z1= ZB,则由公共角Z A 得，△ADC s^ACBZ1= Z得，△ ADE s^ABC 已知ZBAD= /CAE,Z B= ZD ,则厶ADE^A ABC,下图为常见的基本图形④母子型已知Z ACB=90 ° ,AB 丄CD ,则厶CBD ^A ABC^A ACD .如下右图，已知ZB= ZD,则由对顶角③旋转型相似三角形常见的图形1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形（1）如图：称为平行线型”的相似三角形（有A 型”与X 型”图）反A 共角共边型”、蝶型”）⑷如图：/仁Z2，/B= ZD ,则厶ADE ^A ABC ,称为 旋转型”的相似三角形2、几种基本图形的具体应用(1)若 DE//BC (A 型和 X 型)则厶 ADE S ^ABC（2）射影定理 若CD 为Rt △ ABC 斜边上的高（双直角图形）(3) 如图：称为 垂直型”有 双垂直共角型 型”）EC双垂直共角共边型 （也称 射影定理型 ”）”三垂直如图：其中/仁Z2 ,则厶ADE S ^ABC 称为 斜交型”的相似三角形（有反A 共角型ED则Rt△ ABC^Rt△ ACD^Rt △ CBD 且AC2=AD AB , CD2=AD BD , BC2=BD AB ;(3) 满足1、AC2=AD AB, 2、/ACD= ZB, 3、/ACB= Z ADC ,都可判定△ ADC ^A ACB ./ ⑴AD AE亠亠(4) 当或AD AB=AC AE 时，△ ADE ^△ACB .AC AB。
共边型相似三角形及其变式
共边型相似三角形及其变式共边共角型相似三角形下图是典型的共边型相似三角形，由斜A型基本图形进行变式。
通过平移线段DE，使得点E和点B重合，此时就形成了“共边共角型相似三角形(子母三角形)”，这组基本图形在几何证明题和压轴题中非常常见，如果能灵活运用其中的等积式，可以较快地解决一些问题。
模型背景其中的等积式一般不能在几何题中直接使用，必须先证明相似，化成比例式后再借助等积式进一步应用。
但是在填空题中如果能够灵活应用，则可以在很大程度上提升解题效率。
如下面这道题发现共边共角型相似三角形后，直接利用等积式，就可以快速地求出AC的长度。
对于解答题，借助结论或已知中的等积式，可以快速地帮助我们锁定相似三角形。
射影定理射影定理是共边共角型相似三角形的变形，其图形特点就是直角三角形及其斜边上的高所组成的三个两两相似的直角三角形，其中也隐含着丰富的线段关系，也可以用等积式来表示。
模型背景我们通常也可以借助射影定理中的等积式，快速求出线段的长度。
善于发现与射影定理相关的基本图形，有助于我们快速建立线段间的比例关系。
四边形背景下的共边三角形四边形背景下，也有比较常见的“共边型”相似三角形，主要分为以下两类：模型背景此类模型的考察题型主要就是利用共边型相似三角形构造线段间的比例关系，此类题目比较灵活，以以下两道题为主。
一线三等角中的共边型三角形模型背景此类模型的特点是“一线三等角模型”的变式，为“异侧”的情况，容易忽略，此类模型常常结合45°角进行综合考察，在平面直角坐标系中考察较多。
解法分析：由题意，已知中∠CPA=45°，同时根据OC=OB=3，可以得到∠CBO=∠OBA=45°，这是另一种一线三等角模型，发现了这三个等角后，则利用▲CPB∽▲ABP，求出BP长度。
同时我们也可以借助这种模型建立线段间的比例关系：解法分析：本题考察了借助“一线三等角模型”以及“X型基本图形”搭建线段间的数量关系。
北师版初三数学上册第四章相似图形知识点讲解.
......九年级（上）第四章图形的相似(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(1)相似多边形：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比．一．成比例线段（1）线段的比如果选用同一单位量得两条线段a,b的长度分别为m,n，那么就说这两条线段的比是a mb n，或写成a:b m:n．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）成比例线段在四条线段a,b,c,d中，如果a和b的比等于c和d的比，那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a,b,c,da c 成比例，那么应得比例式为：=．b d②在比例式a c(a：b c：d)中，a、d叫比例外项，b、c叫比例内项,如果b=c，即b da：b b：d那么b叫做a、d的比例中项，此时有b2ad。
③判断给定的四条线段是否成比例的方法：第一排：现将四条线段的长度统一单位，再按大小顺序排列好；第二算:分别算出前两条线的长度之比与后两条线段的长度之比；第三判：若两个比相等，则这四条线段是成比例线段，否则不是（3）比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）基本性质：①a:b=c:d则有ad=bc（两外项之积等于两内向之积）；②②a:b b:c b2ac．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如a d bc，除了可化为a:b c:d，还可化为a:c b:d，c:d a:b，b:d a:c，b:a d:c，c:a d:b，d:c b:a，d:b c:a．a b，(交换内项)c da c d c（2）更比性质(交换比例的内项或外项)：，(交换外项)b d b ad b．(同时交换内外项)c a（3）合、分比性质：（4）等比性质：如果a c a b c d．b d b da c e m(b d f n 0)b d f n，那么a c e m ab d f n b．注：......①此性质的证明运用了“设k法”（即引入新的参数k）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：a c e a 2c3e a 2c 3e a；其中b 2d 3f 0b d f b 2d3f b 2d 3f b．（4）比例题常用的方法有：比例合分比法，比例等比法，设参法，连等设k法，消元法二，平行线分线段成比例（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD∥BE∥CF,A DB E可得AAAAAAAAAAAAAAAAAAAA或或或或BBBBBBBBBBBBBBBBBBBB等.C F注意：是所截的线段成比例，而跟平行线无关，所以比例线段中不可能有AD,BE,CF的比例关系（2）黄金分割：把线段AB分成两条线段AC,BC(AC BC)，且使AC是AB和B C的比例中项，即AC2AB BC，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC 512AB≈0.618AB．即AC BC5 1AB AC2简记为：长短51＝＝全长2注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
相似图形的知识点总结(16篇)
相似图形的知识点总结（16篇）篇1：相似图形的知识点总结相似图形的知识点总结知识点1.概念把形状相同的图形叫做相似图形。
(即对应角相等、对应边的比也相等的图形)解读：(1)两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到.(2)全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同.(3)判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关.知识点2.比例线段对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即(或a:b=c:d)那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.知识点3.相似多边形的性质相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.解读：(1)正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系.(2)明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性.知识点4.相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形.解读：(1)相似三角形是相似多边形中的一种;(2)应结合相似多边形的性质来理解相似三角形;(3)相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同;(4)相似用“∽”表示，读作“相似于”;(5)相似三角形的对应边之比叫做相似比.知识点5.相似三角的判定方法(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似;(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或其他两边的延长线)所构成的三角形与原三角形相似.(3)如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.(4)如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.(5)如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.(6)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似.知识点6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边的比相等;(2)对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比;(3)相似三角形周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方.(4)射影定理篇2：相似图形相似图形教学交流课教案:第四章相似图形教学目标：1、知道线段比的概念。
最新人教版中考数学考点复习第四章三角形重点拓展(二)常考的四大相似模型与证明方法
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典型题目
5.如图Z2-5，已知在△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB上一点， 且△CDE∽△CAB.求证： （1）△CAD∽△CBE； （2）EB⊥AB.
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证明：（1）∵△CDE∽△CAB，
∴
∠ACB=∠DCE. ∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB， 即∠ACD=∠BCE. ∴△CAD∽△CBE. （2）∵△CAD∽△CBE， ∴∠CAD=∠CBE. ∵∠ACB=90°，∴∠CAD+∠CBA=90°. ∴∠CBE+∠CBA=90°,即∠EBA=90°. ∴EB⊥AB.
X字型 已知：AB∥CD,
结论：
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（2）
反X字型 已知：∠A=∠D, 结论：
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典型题目 3. 如图Z2-3，在□ABCD中，AB=4，AD=9，点E是AD上的一点，
AE=2DE.延长BE交CD的延长线于F，求DF的长.
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解：∵AE=2DE, ∴ ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CF. ∴△ABE∽△DFE. ∴
∴DF= AB= ×4=2.
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4.如图Z2-4，BD，AC相交于点P，连接AB,BC,CD,DA，∠1=∠2. （1）求证：△ADP∽△BCP； （2）若AB=8，CD=4，DP=3， 求AP的长. （1）证明：∵∠1=∠2， ∠DPA=∠CPB, ∴△ADP∽△BCP.
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（2）解：∵△ADP∽△BCP，
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模型图例
模型四：K字型（一线三等角） 特征：两个三角形的各自一条边在同一直线上，并且有一个顶点 重合
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（1）
一线三垂直型 已知：∠B=∠ACE=∠D=90°, 结论：①△ABC∽△CDE;
共边共角相似三角形及其应用
共边共角相似三角形及其应用一、基本概念：1.定义：如图，△ABC与△ACD有一条公共边AC和一个公共角∠ A，这样的两个三角形叫做共边共角三角形.这样的两个三角形若又有一个角对应相等，则两个三角形相似，那么这样的两个三角形称为共边共角相似三角形.2.性质定理：共边共角的两个相似三角形的公共边是夹公共角的另一条对应边的比例中项.如图1，在△ABC中，∠ACD=∠B，则△ACD∽△A BC，那么可得：AC2= AD·AB .特别地，当△ABC是直角三角形，且CD⊥AB时(如图2)，AC2 =AD·AB，即为射影定理.二、应用举例：例1.如图3，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B 两点，OP与AB相交于M，C是上一点. 求证：∠OPC=∠OCM .分析：若∠OPC=∠OCM，又∠O=∠O，所以必有△OCM∽△OPC，显然，这一结论只有通过“两边对应成比例，夹角相等”来实现.为此，应当设法证明= ，即OC2= OM·OP.这由OA2= OM·OP, OA= OP 即得.评析：图中△OCM与△OPC 为共边共角相似三角形.例2. 已知⊙C的半径为R，⊙O 过点C，且与⊙C相交于A、B 两点. D为⊙O上一点，弦AB、CD 相交于点E. 求证：CE·CD为定值（云南中考）分析：如图4，由于CE是线段CD的一部分，可构造以C为公共顶点的共边共角三角形.由于⊙C的半径已知为R，所以，只要能与R建立联系，即可得证. 为此，连结AC、AD 由∠ACE是公共角，及∠CAE =∠D，即得△ACE ∽△DCA，从而，CE·CD = R2为定值.评析：图中，△ACE与△D CA 是共边共角相似三角形.例3. 在圆内接四边形ABCD中，BC= CD= 4cm, AC交BD于E，AE=6 cm, 设BE=xcm ,DE = ycm , x、y 均为整数，求x、y 的值（河南省初三数学竞赛试题）解：如图5, 由相交弦定理: x·y = AE·CE = 6CE ,故要求x、y的值，必须先求CE的长. 注意到∠3 =∠1，联想到△CBE与△CAB是共边共角的相似三角形，可得：BC2 = CE·CA∴ 42= CE·（CE + 6），可得CE=2 或CE=－8（舍去），从而，x·y = 6×2 =12 ，∴x=3, y =4 或x=4, y=3 .评析：△CBE与△CAB是共边共角相似三角形例4.已知AC、AB是⊙O 的弦, AB＞AC.⑴如图6, 能否在AB 上确定一点E,使AC2 = AE·AB, 为什么?⑵如图7, 在条件⑴的结论下延长EC到P, 连结PB.如果PB=PE, 试判断PB和⊙O 的位置关系, 并说明理由.⑶在条件⑵的情况下, 如果E 是PD的中点, 那么C是PE的中点吗?为什么?(重庆中考题)分析：⑴观察图6，联想共边共角相似三角形的特征，那么只要AB上的点满足：∠ACE=∠B即可.为此连结并延长CE交⊙O于点C ' （如图6），所以只要=.故，满足题目要求的点E是存在的.作法：在优弧上取=.连CC’ ,交AB于点E,即可. 且AC2 = AE·AB.这里，△ACE与△ACB是共边共角相似三角形⑵由⑴及PB =PE 可得∠3 =∠A，过B⊙O的直径，那么可证PB是⊙O的切线( 如图7);⑶连结BD，即可证明△PBC与△PBD是共边共角的相似三角形，那么PB2 = PC·PD，又PD=2PE, PE=PB, 可得C是PE的中点 .评析：⑴中，△ACE与△ACB是共边共角相似三角形；⑶中，△PBC与△PBD是共边共角相似三角形.参考习题1. 如图8，已知⊙O的内接四边形ABCD，D 是的中点，BC、AD的延长图5线相交于点 E ，DH 切⊙O 于D ，交EB 于点H.⑴ 求证：DH 平分∠CDE ；⑵ 在图中的已知线段中找出两条线段，使它们的积等于DE 2，并加以证明.（平顶山市模拟试题）2.已知如图，在△ABC 中, AB=AC, 过点A的直线与△ABC 的外接圆O 交于D, 与BC 的延长 线交 于 点F , DE 是BD 的延长线,连接CD.求证: ⑴ DF 平分∠EDC; ⑵ AB 2=AD·AF;⑶ AF 2－AB 2=AF·DF .(四川中招)——————备 用 习 题——————1.如图，PA 切⊙O 于A ， 割线PBC 交⊙O 于B 、C 两点，D 为PC 的中点, AD 的延长线交 ⊙O 于E ，又BE 2 =DE·AE ， 求证： ⑴ PA =PD⑵ 2PB 2 = AD ·DE[ 提示: 由切割线定理证PA =2PB , ∴ B 是PD 的中点)2.如图，ΔABC 内接于⊙O ，AB = AC ，直线XY 切⊙O 于点C ，弦BD ∥XY ，AC 、BD 相交于点E ，（1）求证：ΔABE ≌ΔACD ；（2）若AB = 6cm,BC = 4 cm,求AE 的长.（吉林）3. 如图,在⊙O 中, PAB 是经过圆心的割线, PC 切⊙O于C, 若∠PAC = 120°, PA = 2cm,则PC =________cm;解：由PC 是切线，∠PAC = 120°,及AB 是直径 可得： ∠PCA=30°， 从而， AC=PA = 2cm, AB = 4cm , 再由PC 2=PA·PB ， 可得：PC=2 ；评析： 图中△PAC 与△PCB 是共边共角相似三角形 ；4 .如图，PA 为⊙O 的切线，从PA 的中点B 做割线BCD ，交圆于点C 、D ，连结PC 、PD 分别交圆于点E 、F . 求证：∠APD = ∠EFD.(河南省 中考题）（图8）（图9）5.已知如图，A 是⊙O上一点，割线PC交⊙O于B、C两点，PD是PB和PC 的比例中项，PA=PD，连结AD并延长交⊙O于E,求证：BE= CE. (四川）6.如图，已知⊙O1和⊙O2外切于点P，AB是两圆的外公切线，A、B为切点，AP的延长线交⊙O2于D，BP的延长线交⊙O1于C. 求证：⑴ AP·AD= BP·BC；⑵ AB2= AC·BD；⑶ PA·PB = PC·PD.7.如图，已知⊙O1 和⊙O2 外切于点A，直线BC切⊙O1于B，切⊙O2 于C，交O1O2于P.求证：⑴ PA2= PC·PB; ⑵. 若⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2－4x+ 3 = 0的两根，求△ABC的周长及PD的长.。
专题15 共边共角相似模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(解析版)
专题15共边共角相似模型【模型】如图，已知A A ∠=∠,要证ADC ∆∽ABC ∆,只需再知道一组对应角相等（两组对角分别相等的两三角形相似）或AC AB AB AD =（两组对应边成比例且其夹角对应相等的两三角形相似）即可证明ADC ∆∽ABC ∆【例1】如图，在Rt ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则图中的相似三角形共有（）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形．【解析】∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB∴△ABC ∽△ACD ，△ACD ∽△CBD ，△ABC ∽△CBD所以有三对相似三角形，故选：C ．【例2】如图，在ABC 中，点D 在AB 上，请再添一个适当的条件，使ADC ACB △∽△，那么可添加的条件是__________．【答案】ACD ABC ∠=∠（答案不唯一，也可以增加条件：ADC ACB ∠=∠或2AC AD AB = ）．【分析】题目中相似的两个三角形已经有一个公共角，可以再增加一对相等的角，用两组角相等判定两三角形相似，也可以增加两组对应边成比例，利用两组边对应成比例及夹角相等判定两三角形相似．【解析】若增加条件：∠ACD =∠ABC ，∵∠ACD =∠ABC ，且∠A =∠A ，∴ADC ACB V :V ．【例3】定义：如图，若点P 在三角形的一条边上，且满足12∠=∠，则称点P 为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D 是ABC 的边AB 的中点，22AC =，4AB =，试判断点D 是不是ABC 的“理想点”，并说明理由；(2)如图②，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，5AB =，4AC =，若点D 是ABC 的“理想点”，求CD 的长．【答案】(1)D 为ABC 的理想点,理由见解析(2)125或94【分析】（1）由已知可得AC AB AD AC =，从而ACD ABC ∆∆∽，ACD B ∠=∠，可证点D 是ABC ∆的“理想点”；（2）由D 是ABC ∆的“理想点”，分三种情况：当D 在AB 上时，CD 是AB 边上的高，根据面积法可求CD 长度；当D 在AC 上时，BDC ABC ∆∆∽，对应边成比例即可求CD 长度；D 不可能在BC 上．【解析】（1）解：点D 是ABC ∆的“理想点”，理由如下：D Q 是AB 中点，4AB =，2AD BD ∴==，8AD AB ⋅=，AC =，28AC ∴=，2AC AD AB ∴=⋅，∴AC AB AD AC=，A A ∠=∠ ，ACD ABC ∴∆∆∽，ACD B ∴∠=∠，∴点D 是ABC ∆的“理想点”；（2）①D 在AB 上时，如图：D Q 是ABC ∆的“理想点”，ACD B ∴∠=∠或BCD A ∠=∠，当ACD B ∠=∠时，90ACD BCD ∠+∠=︒ ，90BCD B ∴∠+∠=︒，90CDB ∴∠=︒，即CD 是AB 边上的高，当BCD A ∠=∠时，同理可证90CDB ∠=︒，即CD 是AB 边上的高，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =，4AC =，3BC ∴，1122ABC S AB CD AC BC ∆=⋅=⋅ ，125CD ∴=，②4AC = ，3BC =，AC BC ∴>有B A ∠>∠，∴“理想点”D 不可能在BC 边上，③D 在AC 边上时，如图：D Q 是ABC ∆的“理想点”，DBC A ∴∠=∠，又C C ∠=∠，BDC ABC ∴∆∆∽，∴CD BC BC AC =，即334CD =，94CD ∴=，综上所述，点D 是ABC ∆的“理想点”，CD 的长为125或94．一、单选题1．如图，点P 是ABC ∆的边AB 上的一点，若添加一个条件，使ABC ∆与CBP ∆相似，则下列所添加的条件错误的是（）A ．BPC ACB∠=∠B ．A BCP ∠=∠C ．::AB BC BC PB =D ．::AC CP AB BC=【答案】D 【分析】在ABC ∆与CBP ∆中，已知有一对公共角∠B ，只需再添加一组对应角相等，或夹已知等角的两组对应边成比例，即可判断正误．【解析】A ．已知∠B=∠B,若BPC ACB ∠=∠，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意；B ．已知∠B=∠B,若A BCP ∠=∠，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意；C ．已知∠B=∠B,若::AB BC BC PB =，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意；D ．若::AC CP AB BC =，但夹的角不是公共等角∠B ，则不能证明两三角形相似，错误，符合题意，故选：D ．2．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，点D 为垂足，为了证明∠BAC ＝90°，以下添加的等积式中，正确的有（）222•••••AD BD CD AB CD AC AD AC BC CD AB AC BD①＝②＝③＝④＝A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】①由题意得出AD CD BD AD=，证明△ADC ∽△BDA ，可得出∠DAC =∠ABD ，则可证出结论；②不能证明△ABC 与△ADC 相似，得出②不符合题意；证出△ACD ∽△BCA ，由相似三角形的性质得出∠ADC =∠BAC =90°，可得出③符合题意；根据2•AB AC BD =不能证明△ABC 与△ABD 相似，则可得出结论．【解析】解：①∵AD ⊥BC ，∴∠ADC =∠ADB =90°，∵2AD BD CD =∙，∴AD CD BD AD=，∴△ADC ∽△BDA ，∴∠DAC =∠ABD ，∴∠ABD +∠BAD =∠DAC +∠BAD =90°，即∠BAC =90°，故①符合题意；②∵AB •CD =AC •AD ，∴AB AD AC CD=，∴不能证明△ABC 与△ADC 相似；故②不符合题意；③∵2•AC BC CD =，∴AC CD BC AC=，∵∠ACD =∠BCA ，∴△ACD ∽△BCA ，∴∠ADC =∠BAC =90°，故③符合题意；④由2•AB AC BD =不能证明△ABC 与△ABD 相似，故④不符合题意；故选：B ．3．如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，要使△ACD ∽△ABC ，则具备的条件可以是（）A ．AC AD CD BC =B ．CD BC AD AB =C ．2CD AD DB =⋅D ．2AC AD AB=⋅【答案】D【分析】根据相似三角形的判定条件逐一判断即可．【解析】解：由题意得∠DAC =∠BAC ，当AC AD CD BC =时，不能证明△ACD ∽△ABC ，故A 选项不符合题意；当CD BC AD AB=时，不能证明△ACD ∽△ABC ，故B 选项不符合题意；当2=CD AD DB ⋅时，不能证明△ACD ∽△ABC ，故C 选项不符合题意；当2=AC AD AB ⋅，即=AC AD AB AC 时，能证明△ACD ∽△ABC ，故D 选项符合题意；故选D ．4．如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，下列条件：①∠ACD ＝∠B ；②2AC AD AB =⋅；③BC CD ＝AB AC ；④∠B ＝∠ACB ，其中一定使△ABC ∽△ACD 的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】△ABC 和△ACD 有公共角∠A ，然后根据相似三角形的判定方法对各个条件进行判断，从而得到答案．【解析】∵∠DAC =∠CAB ，∴当∠ACD =∠B 或∠ADC =∠ACB ，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ACD ∽△ABC ，故①④正确；当2AC AD AB =⋅时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ACD ∽△ABC ，故②正确；当BC CD ＝AB AC时，虽∠DAC =∠CAB 但不是夹角，所以△ACD 与△ABC 不相似，故③不正确．因此有3个正确．故选：C ．5．如图，已知在等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 为BC 边的中线，过点C 作CE ⊥AD 于点E ，交AB 于点F ．若AC ＝2，则线段EF 的长为（）A ．35B ．15C ．15D ．23【答案】B【分析】过点B 作BH ⊥BC ，交CF 的延长线于H ，由勾股定理可求AD 的长，由面积法可求CE ，由“AAS”可证△ACD ≌△CBH ，可得CD ＝BH ＝1，AD ＝CH △ACF ∽△BHF ，可得BH FH AC FC=＝12，可求CF 的长，即可求解．【解析】解：如图，过点B 作BH ⊥BC ，交CF 的延长线于H ，∵AD 为BC 边的中线，AC ＝BC ＝2，∴CD ＝BD ＝1，∴AD ∵11S 22ACD AC CD AD CE =⨯⨯=⨯⨯ ，∴CE，∵∠ADC +∠BCH ＝90°，∠BCH +∠H ＝90°，∴∠ADC ＝∠H ，在△ACD 和△CBH 中，90ADC H ACD CBH AC BC ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBH （AAS ），∴CD ＝BH ＝1，AD ＝CH ∵AC ⊥BC ，BH ⊥BC ，∴AC ∥BH ，∴△ACF ∽△BHF ，∴BH FH AC FC=＝12，∴CF∴EF ＝CF ﹣CE ＝315，故选：B ．6．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，过点A 作AM ⊥BC 于M ，交DE 于N ，若S △ADE ：S △ABC ＝4：9，则AN ：NM 的值是（）A ．4：9B ．3：2C ．9：4D ．2：1【答案】D 【分析】根据DE BC ∥，可得ADE ABC △△∽，再根据:4:9ADE ABC S S =△△，即可得到相似比23k =，根据相似比即可得到结果．【解析】解：∵DE BC ∥,∴ADE ABC △△∽，∵:4:9ADE ABC S S =△△，∴相似比23k =，∵AM BC ⊥，∴AN DE ⊥，∴相似比23AN k AM ==，∴:2:1AN MN =，故选：D ．7．如图，在ABC 中，点D 在AB 边上，若3AD =，4AB =，6BC =，ADC ACB ∠=∠，则线段CD 的长为（）A ．4B ．5C ．D【答案】C 【分析】根据已知条件可得ADC ACB △∽△，然后根据相似三角形的性质即可解答．【解析】解： ∠ADC ＝∠ACB ，A A ∠=∠，∴ADC ACB △∽△，AD DC AC AC BC AB∴==，∵3AD =，4AB =，6BC =，∴34AC AC =,212AC ∴=，即AC=6DC =，解得DC=故选C ．8．如图，在ABCD 中，60BAD ∠=︒，将ABCD 绕顶点A 逆时针旋转至AEFG Y ，此时点D 在AE 上，连接AC AF CF EB 、、、，线段EB 分别交CD AC 、于点H 、K ，则下列四个结论中：①60CAF ∠=︒；②DEH △是等边三角形；③23AD HK =；④当2AB AD =时，47ACF ABCD S S = △；正确的是（）A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①②③【答案】A【分析】①由ABCD 绕顶点A 逆时针旋转至AEFG Y ，得到△AEF ≌△ABC ，又由∠BAD ＝60°，即可证明；②由AB CD ，得到∠EDH ＝∠DAB ＝60°，又由AD BC ，得到∠AEF ＝120°，进一步得∠DEH ＝60°，∠DHE ＝60°，结论得证；③过点H 作HM AD 交AB 于点M ，连接DM ，证明△BHC 、△DMH 和△BHM 是等边三角形，得到DH ＝HM ＝BH ＝CH ＝BC ＝AD ，点H 为CD 的中点，再证明△CKH ∽△AKB ，进一步得到AD ＝3HK ；④过点C 作CN ⊥AB 的延长线于点N ，分别用AD 表示出△ACF 和ABCD 的面积，即可得到结论．【解析】解：①∵将ABCD 绕顶点A 逆时针旋转至AEFG Y ，∴△AEF ≌△ABC ，∴∠EAF ＝∠BAC ，∵∠BAD ＝60°，∴∠CAF ＝∠EAF ＋∠CAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝∠BAD ＝60°，故①正确；②∵AB CD ，∴∠EDH ＝∠DAB ＝60°，∵AD BC ，∴∠AEF ＝∠ABC ＝180°－∠BAD ＝120°，∴∠DEH ＝180°－∠AEF ＝60°，∴∠DHE ＝180°－∠EDH －∠DEH ＝60°，∴∠DHE ＝∠EDH ＝∠DEH ＝60°，∴△DEH 是等边三角形，故②正确；③过点H 作HM AD 交AB 于点M ，连接DM ，如图1，∵△EDH 是等边三角形，∴∠BHC ＝∠EHD ＝60°，∵AD BC HM ，∴∠BCH ＝∠EDH ＝60°，∠DHM ＝∠BCH ＝60°，∴∠CBH ＝180°－∠BCH －∠BHC ＝60°，∠BHM ＝180°－∠DHM －∠BCH ＝60°，∴△BHC 是等边三角形，∵HM AD BC ，∴∠DHM ＝∠BCH ＝60°，∠DMH ＝∠BHM ＝60°，∴∠BHC ＝∠BHM ＝∠DHM ＝∠DMH ＝60°，∴△DMH 和△BHM 都是等边三角形，∴DH ＝HM ＝BH ＝CH ＝BC ＝AD ，∴点H 为CD 的中点，∵∠CKH ＝∠AKB ，∠CHK ＝∠ABK ，∴△CKH ∽△AKB ，∴12HK CH CH BK AB CD ===，∴111=233HK BK BH AD ==，∴AD ＝3HK ，∴2AD ＝3HK 错误，故③错误；④过点C 作CN ⊥AB 的延长线于点N ，如图2，则∠BNC ＝90°，∵AB CD ，∴∠DCN ＝180°－∠BNC ＝90°，∵∠BCD ＝60°，∴∠BCN ＝30°，∴BN ＝12BC ＝12AD ，CN ，∴AN ＝AB ＋BN ＝2AD ＋12AD ＝52AD ，∴AC AD ，由①可知，∠CAF ＝＝60°，AC ＝AF ，∴△ACF 是等边三角形，∴等边三角形△ACF AD ，∴217224ACF S AD =⨯⨯=△,∵ABCD 的边AB 上的高＝CN ＝2AD ，∴2=2ABCD S AB CN AD ⨯=⨯= ，∴47ACF ABCD S S = △，故④正确，综上，①②④正确，故选：A ．二、填空题9．如图，在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，若∠ACD =∠B ，AD =2，BD =3，则AC 的长为．10【分析】证明△ACD ∽△ABC ，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解析】解：∵AD =2，BD =3，∴AB =AD +BD =2+3=5，∵∠ACD =∠B ，∠A =∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴AD AC AC AB =，即25AC AC =，解得，AC 10，10．10．如图，ABC A B C '''∽△△，AD 和A D ''分别是ABC 和A B C '''V 的高，若23AD A D ''==，，则ABD △与A B D '''△的周长之比为_____．ABC 与A B C '''V 的面积之比为______．【答案】2∶34∶9【分析】根据相似三角形的性质即可得到答案．【解析】∵AD 和A D ''分别是ABC 和A B C '''V 的高，，ABC A B C '''∽△△，且23AD A D ''==，，∴相似比为2：3，∴ABD △与A B D '''△的周长之比为2：3，∴ABC 与A B C '''V 的面积之比为4：9．故答案为：2∶3；4∶9．11．如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ．点E 在CD 上，且DE ：EC ＝1：3，连接BE 交AC 于点F ，若OF ＝2，则正方形的边长为_______．【答案】7【分析】过点E 作EG ⊥BD 于点G ，根据正方形的性质证明△BOF ∽△BGE ，可得OF BO GE BG =，根据DE ：EC =1：3，设DE =x ，则EC =3x ，可得DC =BC =4x ，列出方程即可求出结果．【解析】解：如图，过点E 作EG ⊥BD 于点G ，∵正方形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，∴AC ⊥BD ，∠BDC =45°，∴∠BOF =∠BGE ，∵∠OBF =∠GBE ，∴△BOF ∽△BGE ，∴OF BO GE BG=∵DE：EC=1：3，设DE=x，则EC=3x，∴DC=BC=4x，,,DGD GEB===∴,BD DGBG x=∴-=,ODOB∴===解得4x=7，∴BC=4x=7，∴正方形的边长为7．故答案为：712．如图，已知ABC DEF∽△△，:1:2AB DE=，点M、N分别是BC、EF的中点，则:=AM DN________．【答案】1：2【分析】由于ABC DEF∽△△，得出AB BCDE EF=，∠B=∠E，结合中线的定义得出AB BMDE EN=，则可证明△ABN∽△DEN，然后根据相似三角形的性质，即可得出结果．【解析】解：∵ABC DEF∽△△，∴AB BCDE EF=，∠B=∠E，∵点M、N分别是BC、EF的中点，即12BM BC=，12EN EF=，AB BMDE EN∴=，∴△ABN ∽△DEN ，12AM AB DN DE ∴==，故答案为：1：2．13．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AF 平分∠BAC ，交DE 于点G ，交BC 于点F ．若∠AED ＝∠B ，且AG ：GF ＝3：2，则DE ：BC ＝_____．【答案】3:5【分析】先证△ADE ∽△ACB ，再根据GA 、FA 分别是△ADE 、△ABC 的角平分线可得DE BC ＝AG AF，然后再由AG ：FG ＝3：2可得AG ：AF ＝3：5即可解答．【解析】解：∵∠DAE ＝∠CAB ，∠AED ＝∠B ，∴△ADE ∽△ACB ，∵GA 、FA 分别是△ADE 、△ABC 的角平分线，∴DE BC ＝AG AF（相似三角形的对应角平分线的比等于相似比），∵AG ：FG ＝3：2，∴AG ：AF ＝3：5，∴DE ：BC ＝3：5．故答案为3：5．14．将一副三角尺（在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°；在Rt △DEF 中，∠EDF ＝90°，∠E ＝45°）如图①摆放，点D 为AB 的中点，DE 交AC 于点P ，DF 经过点C ．将△DEF 绕点D 顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），DE ′交AC 于点M ，DF ′交BC 于点N ，则PM CN＝________．3 3【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝AD＝BD＝12AB，根据等边对等角求出∠ACD＝∠A，再求出∠ADC＝120°，再根据∠ADE＝∠ADC﹣∠EDF计算得30°，根据同角的余角相等求出∠PDM＝∠CDN，再根据然后求出△BCD是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠BCD＝60°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CPD＝60°，从而得到∠CPD＝∠BCD，再根据两组角对应相等，两三角形相似判断出△DPM和△DCN相似，再根据相似三角形对应边成比例可得结论．【解析】解：∵∠ACB＝90°，点D为AB的中点，∴CD＝AD＝BD＝12 AB，∴∠ACD＝∠A＝30°，∴∠ADC＝180°﹣30°×2＝120°，∴∠ADE＝∠ADC﹣∠EDF＝120°﹣90°＝30°；∵∠EDF＝90°，∴∠PDM+∠E′DF＝∠CDN+∠E′DF＝90°，∴∠PDM＝∠CDN，∵∠B＝60°，BD＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD＝60°，∵∠CPD＝∠A+∠ADE＝30°+30°＝60°，∴∠CPD＝∠BCD，∴△DPM∽△DCN，∴PMCN＝PDCD，∵∠ACD＝30°，∠CDP＝90°，∴PDCD＝tan∠ACD＝tan30°33∴PM CN故答案为：3．15．如图，△ABC 中，CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，若∠A ＝60°，EF ＝BC ＝_______．【答案】【分析】先判定△AFB ∽△AEC ，进而证明△AEF ∽△ACB ，得到EF AF CB AB=，再证明AB =2AF ，问题即可解决．【解析】解：∵CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，∴∠AFB =∠AEC =90°，又∵∠A =∠A ，∴△AFB ∽△AEC ，∴AE AC AF AB =，即AE AF AC AB =，又∵∠A =∠A ，∴△AEF ∽△ACB ，∴EF AF CB AB=，∵BF ⊥AC ，且∠A =60°，∴∠ABF =30°，∴AF =12AB ，∴BC =2EF故答案为：16．如图，在△ABC 中，AB =AC =6．D 是AC 中点，E 是BC 上一点，BE =52，∠AED =∠B ，则CE 的长为_____________．【答案】365【分析】求出∠BAE ＝∠DEC ，证明△ABE ∽△ECD ，推出AB BE EC CD =即可解决问题．【解析】解：∵AB ＝AC ＝6，∴∠B ＝∠C ，∵∠AEC ＝∠B ＋∠BAE ＝∠AED ＋∠DEC ，∠AED ＝∠B ，∴∠BAE ＝∠DEC ，∴△ABE ∽△ECD ，∴AB BE EC CD=，∵CD ＝12AC ＝3，∴5623EC =，解得：365CE =，故答案为：365．三、解答题17．如图，在三角形ABC 中，AB ＝8cm ，BC ＝16cm ，点P 从点A 开始沿边AB 运动，速度为2cm/s ，点Q 从点B 开始沿BC 边运动，速度为4cm/s ，如果点P 、Q 两动点同时运动，何时 QBP 与 ABC 相似？【答案】经过4秒或1.6秒时，△QBC 与△ABC 相似【分析】由题意可得，2824AP t BP t BQ t ==-=，，，根据△QBC 与△ABC 相似，分情况列式计算即可．【解析】解：由题意可得，2824AP t BP t BQ t==-=，，∵∠PBQ =∠ABC ，当BP BQ AB BC =时，BPQ BAC ∽ ，即82816t t -=，解得：4t s =；当BP BQ BC BA =时，BPQ BCA ∽ ，即82168t t -=，解得： 1.6t s =；即经过4秒或1.6秒时，△QBC 与△ABC 相似．18．已知，如图，△ABC 中，AB ＝2，BC ＝4，D 为BC 边上一点，BD ＝1，AD +AC =8．（1）找出图中的一对相似三角形并证明；（2）求AC 长．【答案】（1）△BAD ∽△BCA ，理由见详解；（2）163【分析】（1）由题意易得1=2BD AB AB BC =，然后由∠B 是公共角，问题可证；（2）由（1）可得1=2AD AC ，再由AD +AC =8可求解．【解析】解：（1）△BAD ∽△BCA ，理由如下：AB ＝2，BC ＝4，BD ＝1，∴121,=242BD AB AB BC ==，∴1=2BD AB AB BC =，又 ∠B=∠B ，∴△BAD ∽△BCA ；（2）由（1）得：1=2AD AC ，即2AC AD =，AD +AC =8，∴28AD AD +=，解得：83AD =，∴163AC =．19．如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且AC =，CD ＝4，BD ＝2，求证：△ACD ∽△BCA ．【答案】证明见解析．【分析】根据AC =CD ＝4，BD ＝2，可得AC CD BC AC =，根据∠C =∠C ，即可证明结论．【解析】解：∵AC =CD ＝4，BD ＝2∴AC BC =3CD AC ==∴AC CD BC AC=∵∠C =∠C∴△ACD ∽△BCA ．20．已知：如图，在ABC 中，D 是AC 上一点，联结BD ，且∠ABD =∠ACB ．（1）求证：△ABD ∽△ACB ；（2）若AD=5，AB=7，求AC 的长.【答案】(1)见详解；（2）495【解析】（1）证明：∵∠A=∠A,∠ABD =∠ACB,∴△ABD ∽△ACB.（2）解:∵△ABD ∽△ACB ，∴AB AD AC AB =，∴757AC =，∴495 AC=21．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE ＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．【答案】（1）见解析；（2）AD=16 3．【分析】（1）证明△ADC∽△ACB，即可得出结论；（2）证明△BFE∽△BCF，得出BF2=BE•BC，求出BC，则可求出AD．【解析】（1）证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，∴AD AC AC AB=，∴AC2=AD•AB．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，又∵∠BFE=∠A，∴∠BFE=∠C，又∵∠FBE=∠CBF，∴△BFE∽△BCF，∴BF BE BC BF=，∴BF2=BE•BC，∴BC=2BFBE=243=163，∴AD=16 3．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且ADAC＝ACAB．（1）求证△ACD ∽△ABC ；（2）若AD ＝3，BD ＝2，求CD 的长．【答案】（1）见解析；（2【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出ACD ABC~ （2）由ACD ABC ~ 得90ADC ACB ∠=∠=︒，ACD B ∠=∠，推出ACD CBD ，由相似三角形的性质得=CD BD AD CD，即可求出CD 的长．【解析】（1）∵AD AC AC AB =，A A ∠=∠，∴ACD ABC ~ ；（2）∵ACD ABC ~ ，∴90ADC ACB ∠=∠=︒，ACD B ∠=∠，∴1809090CDB ACD ∠=︒-︒=︒=∠，∴ACD CBD ，∴=CD BD AD CD，即2326CD AD BD =⋅=⨯=，∴CD =23．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，∠COB ＝2∠PCB ．（1）求证：CP 是⊙O 的切线；（2）若M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N ，若AB ＝6，求MC •MN 的值．【答案】（1）见解析；（2）18【分析】（1）已知C 在圆上，故只需证明OC 与PC 垂直即可，根据圆周角定理，易得∠PCB +∠OCB =90°，即OC ⊥CP 即可；（2）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ABM＝∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM2=MN•MC，根据锐角三角函数求出BM，代入数据可得MN•MC=BM2=18．【解析】（1）证明：∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO．又∵∠COB＝2∠CAO，∠COB＝2∠PCB，∴∠CAO＝∠ACO＝∠PCB．又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB＝90°．∴∠PCB+∠OCB＝90°．即OC⊥CP，∵OC是⊙O的半径．∴PC是⊙O的切线；（2）解：连接MA，MB，∵点M是弧AB的中点，∴¼¼AM BM=，∴∠ACM＝∠BCM．∵∠ACM＝∠ABM，∴∠BCM＝∠ABM．∵∠BMN＝∠BMC，∴△MBN∽△MCB．∴BM MN MC BM=，∴BM2＝MN•MC．∵AB是⊙O的直径，¼¼AM BM=，∴∠AMB＝90°，AM＝BM．∴∠ABM=∠BAM=45°，∵AB＝6，∴BM＝AB sin45°=62=∴MN•MC＝BM2＝18．24．如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，E 是AD 上一点，且AB AD AC CE=，∠BAD ＝∠ECA ．（1）求证：AC 2＝BC •CD ；（2）若AD 是△ABC 的中线，求CE AC 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）22【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出BAD ACE ∽，得B EAC ∠=∠，进而求出ABC DAC △∽△，再利用相似三角形的性质得出答案即可；（2）由BAD ACE ∽可证CDE CED ∠=∠，进而得出CD CE =，再由（1）可证2AC CD =，由此即可得出线段之间关系．【解析】（1）证明：AB AD AC CE=，BAD ECA ∠=∠，BAD ACE ∴∆∆∽，B EAC ∴∠=∠，ACB DCA ∠=∠ ，ABC DAC ∴△∽△，∴AC BC CD AC=，2AC BC CD ∴= ．（2）解：BAD ACE ∽，BDA AEC ∴∠=∠，CDE CED ∴∠=∠，CD CE ∴=，AD 是△ABC 的中线，22BC BD CD ∴==，222AC BC CD CD ∴== ，即：AC =，∴2CE AC ==．25．（1）如图1，在ABC 中，D 为AB 上一点，2AC AD AB =⋅．求证：ACD B ∠=∠．（2）如图2，在ABCD 中，E 是AB 上一点，连接AC ，EC ．已知4AE =，6AC =，9CD =．求证：23AD EC =．（3）如图3，四边形ABCD 内接于O ，AC 、BD 相交于点E ．已知O 的半径为2，AE CE =，AB =，BD =ABCD 的面积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）由2AC AD AB =⋅化比例，与A A ∠=∠，可证ACD △∽ABC 即可；（2）由ABCD ，可得AB CD =，AD =BC ，根据线段比值计算23AE AC =，23AC AB =，可得AE AC AC AB=，由∠EAC =∠CAB ，可证ACE ∽ABC 即可；（3）连接OA 交BD 于点F ，连接OB ，根据AE CE =，AB =，可得AC =2AE ，根据线段比值计算可得AB AE AC AB=，由∠BAC =∠EAB ，可证ABE △∽ACB △，可证∠ABD =∠ADB ，可得BF =DF ，根据勾股定理OF=1，可求ABD S ABE CBE S S = ，ADE CDE S S = ，可得S △BCD =ABD S ∆即可．【解析】（1）证明：如图1，∵2AC AD AB =⋅，∴AC AD AB AC=，又∵A A ∠=∠，∴ACD △∽ABC ，∴ACD B ∠=∠．（2）证明：如图2，∵ABCD ，∴AB CD =，AD =BC ，∵4AE =，6AC =，9CD =，∴=9AB CD =，∴4263AE AC ==，6293AC AB ==，∴AE AC AC AB=，∵∠EAC =∠CAB ，∴ACE ∽ABC ，∴AE EC AC BC =，即4263EC BC ==，∴23BC EC =．∴23AD EC =；（3）解：如图3，连接OA 交BD 于点F ，连接OB ，∵AE CE =，2AB =，∴AC =2AE ，∴2222AB AC AE ==，222AE AB AE =，∴AB AE AC AB=，∵∠BAC =∠EAB ，∴ABE △∽ACB △，∴ABD ACB ∠=∠，∵∠ADB =∠ACB ，∴∠ABD =∠ADB ，∴点A 是弧BD 的中点，BD 为弦，OA 为半径，∴OA BD ⊥，BF =DF ，∵2OA OB ==，BD =，∴BF =DF =在Rt △OBF 中，根据勾股定理OF 1==，∴1AF OF ==，∴12ABD S BD AF =⨯⨯=△∵AE CE =，∴ABE CBE S S = ，ADE CDE S S = ，∴S △BCD =S △BCE +S △DCE =+ABE CDE ABD S S S ∆= ，∴ABCD =2ABD BCD ABD S S S S ∆∆+==四边形△．26．如图1，四边形ABCD 内接于,O AC 是O 的直径， AD BD=．延长AD 交BC 的延长线于点E ．（1）证明：ACD ECD ∠=∠．（2）当8,5AB CD ==时，①求AD 的长度．②如图2，作BF 平分ABC ∠交O 于点F ，连结,DF AF ，求ADF 的面积．【答案】（1）见详解；（2）①203AD =；②259【分析】（1）由题意易得∠BAD=∠ACD ，由圆内接四边形的外角等于它的内对角得∠ECD=∠BAD ，然后问题可求解；（2）①由（1）及题意易得△CDE ∽△ABE ，则有58CD CE AB AE ==，进而可得54CE DE =，然后设5,4CE x DE x ==，最后根据勾股定理可求解；②连接CF ，过点F 作FH ⊥AE 于点H ，由题意易得∠ABF=∠ACF=∠ADF=45°，由①可得253CE =，203AD =，则有253=AC ，进而可得6AF =，△FHD 是等腰直角三角形，然后设DH=FH=x ，则203AH x =-，由勾股定理可求解x 的值，最后根据三角形面积计算公式可求解．【解析】（1）证明：∵ AD BD=，∴∠BAD=∠ACD ，∵四边形ABCD 内接于O ，∴∠ECD=∠BAD ，∴ACD ECD ∠=∠；（2）解：①由（1）得：ACD ECD ∠=∠，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC=∠CDE=90°，∵CD=CD ，∴△ADC ≌△EDC （ASA ），∴AD=DE ，AC=CE ，∵∠E=∠E ，∴△CDE ∽△ABE ，∵8,5AB CD ==，∴58CD CE AB AE ==，∴528CD CE AB DE ==，∴54CE DE =，设5,4CE x DE x ==，在Rt △CDE 中，222CE DE CD =+，∴22251625x x =+，解得：53x =，∴203AD DE ==；②连接CF ，过点F 作FH ⊥AE 于点H ，如图所示：由①得：203AD DE ==，253AC CE ==，∵BF 平分ABC ∠，∠ABC=90°，∴∠ABF=45°，∴∠ACF=∠ADF=45°，∵AC 是是⊙O 的直径，∴∠AFC=90°，∴△AFC 和△FHD 是等腰直角三角形，∴AF=FC ，FH=DH ，∴26AF AC ==，设DH=FH=x ，则203AH x =-，∴在Rt △AHF 中，222203x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：12535,66x x ==（不符合题意，舍去）∴56FH =，∴112052522369AFD S AD FH =⋅=⨯⨯= ．27．如图1，在菱形ABCD 中，AC 是对角线，AB ＝AC ＝6，点E 、F 分别是边AB 、BC 上的动点，且满足AE ＝BF ，连接AF 与CE 相交于点G ．（1）求CGF ∠的度数．（2）如图2，作DH CE ⊥交CE 于点H ，若CF ＝4，AF =，求GH 的值．（3）如图3，点O 为线段CE 中点，将线段EO 绕点E 顺时针旋转60°得到线段EM ，当MAC∆构成等腰三角形时，请直接写出AE的长．【答案】（1）60°；（2）7；（3）2或3【分析】（1）根据菱形的性质得到△ABC ，△ACD 是等边三角形，然后根据等边三角形的性质证明△ABF ≌△CAE ，得到∠BAF ＝∠ACE ，从而结合三角形的外角性质求解即可；（2）延长GA 至点K 使得AK ＝CG ，首先结合（1）的结论推出△AFC ∽△CFG ，得到2CF FG AF =⋅，从而求出GF ，AG ，CG ，再证明△ADK ≌△CDG ，推出△DKG 是等边三角形，从而求出DG ，最后根据30°角的直角三角形的性质求解即可；（3）分别根据等腰三角形的定义进行分类讨论，并结合相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质求解即可．【解析】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝AC ，∴AB ＝AC ＝BC ＝AD ＝CD ，∴△ABC ，△ACD 是等边三角形．∴∠ABC ＝∠CAE ，在△ABF 与△CAE 中，AB CA ABF CAE BF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△CAE (SAS )，∴∠BAF ＝∠ACE ，∴∠CGF ＝∠GAC ＋∠ACG ＝∠GAC ＋∠BAF ＝∠BAC ＝60°；（2）如图所示，延长GA 至点K 使得AK ＝CG ．∵∠BAF ＝∠ACE ，∴∠FAC ＝∠GCF ，∵∠GFC ＝∠AFC ，∴△AFC ∽△CFG ，∴FG FC CG FC FA AC==,∵CF ＝4，AF =，AC ＝6，∴GF AG =CG ∵∠FGC ＝60°，∠ADC ＝60°，∴∠AGC ＋∠ADC ＝180°，∴∠GAD ＋∠GCD ＝180°，∵∠KAD ＋∠GAD ＝180°，∴∠KAD ＝∠GCD ，又∵DC =DA ，∴△ADK ≌△CDG （SAS ），∴DK ＝DG ，∠KDA ＝∠GDC ，∴∠KDG ＝∠ADC ＝60°，∴△DKG 是等边三角形，∴∠AGD ＝∠DGH ＝60°，DG ＝KG ＝AK ＋AG ＝AG ＋CG ，∵DH CE ⊥，∠DGH ＝60°，∴12GH DG =；（3）①若AM =MC ，则△MAC 为等腰三角形，此时，取AC 中点为点P ，连接OP ，OM ，BM ，∵∠MEO =60°，EO =EM ，∴△OEM 为等边三角形，∵∠FGC =60°，∴∠MEO =∠FGC ，∴ME ∥AF ，∵O 为CE 的中点，P 为AC 的中点，∴OP 为△AEC 的中位线，OP ∥AB ，∵△ABC为等边三角形，△MAC为等腰三角形，P为AC的中点，∴由“三线合一”知，B、M、P三点共线，且BP⊥AC，AP=PC=12AC=3，∠ABP=12∠ABC=30°，∵△OEM为等边三角形，∴OE=OM，∠OEM=∠OME，∵OE=OC，∴OM=OC，∠OMC=∠OCM，∴∠OEM+∠OCM=∠OME+∠OMC，即：∠OEM+∠OCM=∠EMC，∴∠EMC=90°，CM⊥EM，∴在Rt△CEM中，∠ECM=90°-60°=30°，此时，如图所示，将△AEC绕着C点逆时针旋转60°至△BNC，连接MN，则∠ACE=∠BCN，∠NBC=60°，∵∠ECM=30°，∴∠ACE+∠MCB=30°，∴∠BCN+∠MCB=∠MCN=30°，∴∠MCN=∠MCE=30°，∵CE=CN，∠MCN=∠MCE，CM=CM，∴△MCE≌△MCN，∴∠CMN=∠CME=90°，∴E、M、N三点共线，∴△ECN为等边三角形，∵∠NBC=∠ACB=60°，∴BN∥AC，∵∠BPC=90°，∴∠NBM=90°，∵∠CMN=90°，∴∠BMN+∠CMP=90°，∵∠BMN+∠BNM=90°，∴∠BNM=∠CMP，∴△BMN∽△PCM，∴BM NM PC MC，∵tan tan 30NM MCN MC =∠=︒，∴tan 30BM PC =︒=，∵PC =3，∴BM 在Rt △ABP 中，AP =3，∠ABP =30°，∴BP =∴PM =BP -BM =∵∠MBC =30°，∠OMC =90°-∠OME =30°，∴∠MBC +∠MCB =∠OMC +∠OMP ，∴∠MCB =∠OMP ，∵OP ∥AB ，∴∠OPC =∠BAC =60°，∴∠OPM =90°-60°=30°，∴△OPM ∽△MBC ，∴OP PM MB BC=，6=，∴OP =1，∵OP 为△AEC 的中位线，∴AE =2OP =2；②若AM =AC ，则△AMC 为等腰三角形，如图所示，取AC 中点P ，连接OP ，延长AO 交MC 于Q 点，由①可知，△EMC 始终为直角三角形，∠EMC =90°，∠ECM =30°，且EM 与AF 始终平行，∴∠EMC =∠AQC =90°，AQ ⊥MC 于Q 点，∵OM =OC ，∴O 点在AQ 上，∵∠COQ =60°，∠CGF =60°，∴此时O 点和G 点重合，∵∠CPO =∠CAB =60°，∠COQ =60°，∴∠APO =∠AOC =120°，∴△APO ∽△AOC ，∴AP AO OP AO AC CO==，∵AC =6，AP =3，∴23618AO AP AC ==⨯= ，∴AO=∵Rt △OCQ 中，∠OCQ =30°，∴设OQ =x ，则CQ，在Rt △CAQ 中，222CQ AQ AC +=，即：)()2226x +=，解得：4x -+=或4x --=（不合题意，舍去），∴4OQ -+=，22CO OQ -==，∴由AO OP AC CO =得：6=解得：32OP =，∵OP 是△AEC 的中位线，∴AE =2OP=3；③若AC =MC ，则E 点在AB 的延长线上，此时与E 点在边AB 上运动矛盾，故该种情况舍去；综上，AE ＝2或353．28．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 为AB 上一点．（1）如图1，若CD ⊥AB ，求证：AC 2=AD ·AB ；（2）如图2，若AC =BC ，EF ⊥CD 交CD 于H ，交AC 于F ，且49FH HE =，求AD BD的值；（3）如图3，若AC =BC ，点H 在CD 上，∠AHD =45°，CH =3DH ，则tan ∠ACH 的值为________．【答案】（1）见解析；（2）23；（377【分析】（1）证出B ACD ∠=∠，证明CBD ∽ACD △，得出=CD BD AD CD ，即可得出结论；（2）设4FH a =，则9HE a =（0a >），同（1）得2236CH HE FH a =⋅=，则6CH a =，在Rt CHF V 中，2tan 3FH ACD CH ∠==，过D 作DP AC ⊥于P ，易证AP DP =，求出23AP DP PC PC ==，再由平行线分线段成比例定理即可得出答案；（3）过点D 作DM AH ⊥于M ，设2DH x =，则6CH x =（0x >），8CD DH CH x =+=，证明ADH ∽CDA ，得出DAH ACH ∠=∠，AD DH CD AD =，求出4AD x =，证明HDM △是等腰直角三角形，得出222DM HM DH x ===，由勾股定理得出14AM =，由三角函数定义即可得出答案．【解析】（1）证明：∵CD AB ⊥，∴90ADC CDB ∠=∠=︒，∵90ACB ∠=︒，∴90B BCD ACD BCD ∠+∠=∠+∠=︒，∴B ACD ∠=∠，∴CBD ∽ACD △，∴=CD BD AD CD，∴2CD AD DB =⋅；（2）解：∵49FH HE =，∴设4FH a =，则9HE a =（0a >），∵90ACB ∠=︒，EF CD ⊥，同（1）得：229436CH HE FH a a a =⋅=⨯=，∴6CH a =，在Rt CHF V 中，42tan 63FH a ACD CH a ∠===，过D 作DP AC ⊥于P ，如图2所示：则//DP BC ，在Rt DPC 中，2tan 3DP ACD PC ∠==，∵AC BC =，90ACB ∠=︒，∴45A ∠=︒，∴ADP △是等腰直角三角形，∴AP DP =，∴23AP DP PC PC ==，∵//DP BC ，∴23AD AP BD PC ==；（3）解：过点D 作DM AH ⊥于M ，如图3所示：∵3CH DH =，∴设2DH x =，则6CH x =（0x >），∴8CD DH CH x =+=，∵AC BC =，90ACB ∠=︒，∴45BAC ∠=︒，∴=45BAC AHD ∠=∠︒又∵ADH CDA ∠=∠，∴ADH ∽CDA ，∴DAH ACH ∠=∠，AD DH CD AD=，∴2216AD DH CD x =⋅=，∴4AD x =，∵DM AH ⊥，∴90DMH ∠=︒，∵45AHD ∠=︒，∴45HDM AHD ∠=︒=∠，∴HDM △是等腰直角三角形，∴222DM HM DH ===，∴()()22254214AM AD DM x x x =--，∴27tan tan 714DM ACH DAH AM x ∠=∠==；77．29．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4cm ，BC=3cm ．动点M ，N 从点C 同时出发，均以每秒1cm 的速度分别沿CA 、CB 向终点A ，B 移动，同时动点P 从点B 出发，以每秒2cm 的速度沿BA 向终点A 移动，连接PM ，PN ，设移动时间为t （单位：秒，0＜t ＜2.5）．（1）当t 为何值时，以A ，P ，M 为顶点的三角形与△ABC 相似？（2）是否存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值？若存在，求S 的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）32；（2）当32t =时，四边形APNC 的面积S 有最小值，其最小值是215．【分析】根据勾股定理求得AB=5cm ．（1）分△AMP ∽△ABC 和△APM ∽△ABC 两种情况讨论：利用相似三角形的对应边成比例来求t 的值．（2）如图，过点P 作PH ⊥BC 于点H ，构造平行线PH ∥AC ，由平行线分线段成比例求得以t 表示的PH 的值；然后根据“S=S △ABC ﹣S △BPH ”列出S 与t 的关系式()24321S=0 2.5525t t ⎛⎫-+<< ⎪⎝⎭，则由二次函数最值的求法即可得到S 的最小值．【解析】解：∵如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4cm ，BC=3cm ．∴根据勾股定理，得22AB AC BC 5cm =+=．（1）以A ，P ，M 为顶点的三角形与△ABC 相似，分两种情况：①当△AMP ∽△ABC 时，AP AM AC AB =，即52445t t --=，解得32t =；②当△APM ∽△ABC 时，AM AP AC AB =，即45245t t --=，解得t=0（不合题意，舍去）．综上所述，当32t =时，以A 、P 、M 为顶点的三角形与△ABC 相似．（2）存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值．理由如下：假设存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值．如图，过点P 作PH ⊥BC 于点H ．则PH ∥AC ，∴PH BP AC BA =，即245PH t =．∴85t PH =．∴ABC BPNS S S =-△△()118343225t t =⨯⨯-⨯-⋅()24321=0 2.5525t t ⎛⎫-+<< ⎪⎝⎭．∵405>，∴S 有最小值．当32t =时，S 最小值=215．答：当32t =时，四边形APNC 的面积S 有最小值，其最小值是215．30．我们定义：对角线垂直的凸四边形叫做“准筝形”．如图1，四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，则四边形ABCD 是“准筝形”．（1）“三条边相等的准筝形是菱形”是命题；（填“真”或“假”）（2）如图1，在准筝形ABCD 中，AD ＝3，AB ＝2，BC ＝4，求CD 的长．（3）如图2，在准筝形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，点P 在线段AD 上，AP ＝2，且AD ＝3，AO =32，在BD 上存在移动的线段EF ，E 在F 的左侧，且EF ＝1，使四边形AEFP 周长最小，求此时OE 的长度．【答案】（1）真；（2（3）34【分析】（1）先根据在准筝形ABCD 中，AC ⊥BD ，BC=CD=AD ，设AC 与BD 交于点O ，得出OA=OC ，OB=OD ，推出四边形ABCD 是平行四边形，再根据AD=CD ，即可证明四边形ABCD 是菱形，即可得出结论；（2）设AC 与BD 交于点O ，根据AC ⊥BD ，得到AB 2=AO 2+BO 2，AD 2=AO 2+DO 2，CD 2=CO 2+DO 2，BC 2=OB 2+OC 2，可得AB 2+CD 2=AD 2+BC 2=OA 2+OB 2+OC 2+OD 2，根据AD=3，АВ=2，BC=4，即可求出CD ；（3）过P 作PG ⊥AO 于G ，过A 作AM//EF 且AM=EF ，作M 点关于OD 的对称点N ，连接MN 交OD 于H ，交PG 于R ，连接PN 交OD 于F ，先证明四边形AEFM 是平行四边形，得到AE=MF ，根据M 、N 关于OD 对称，得出MF=NF ，推出当且仅当N 、F 、P 三点共线时，AE+PF 取得最小值，根据AP=2，EF=1，得出当AE+PE 取得最小值时，四边形AEFP 周长取得最小值，然后证明四边形AOHM 是矩形，得出АМ=ОН=EF=1，OA=MН=HN=32，根据在Rt △AOD 中，OA=32，AD=3，PG ⊥OA ，求出AG=12AP=1，，RN=HN+HR=2，证明△NHF ∽△NRP ，得出HFRP =NH NR =34，求出HF=34PR=)314=34，根据OF=ОН+HF=OE+EF ，ОН=EF=1，即可得出OЕ．【解析】解：（1）三条边相等的准筝形是菱形是真命题，，在准筝形ABCD 中，AC ⊥BD ，BC=CD=AD ，设AC 与BD 交于点O ，∴OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD=CD，∴四边形ABCD是菱形，∴三边相等的准筝形是菱形，故答案为：真；（2）设AC与BD交于点O，∵AC⊥BD，∴AB2=AO2+BO2，AD2=AO2+DO2，CD2=CO2+DO2，BC2=OB2+OC2，∴AB2+CD2=AD2+BC2=OA2+OB2+OC2+OD2，∵AD=3，АВ=2，BC=4，∴22+CD2=32+42，∴∴CD；（3）过P作PG⊥AO于G，过A作AM//EF且AM=EF，作M点关于OD的对称点N，连接MN交OD于H，交PG于R，连接PN交OD于F，∵AM//EF，AM=EF，∴四边形AEFM是平行四边形，∴AE=MF，∵M、N关于OD对称，∴MF=NF，∴AE+PF=MF+PF=NF+PF≥PN，∴当且仅当N、F、P三点共线时，AE+PF取得最小值，∵AP=2，EF=1，∴当AE+PE取得最小值时，四边形AEFP周长取得最小值，∵AM//OD，ОA//MН，∠AOD=90°，∴四边形AOHM是矩形，∴АМ=ОН=EF=1，OA=MН=HN=3 2，在Rt△AOD中，OA=32，AD=3，∴∠ADO=30°，∵PG⊥OA，∴PG∥OD，∴∠APG=∠ADO=30°，∴AG=12AP=1，33∴3，∵HR=32-1=12，∴RN=HN+HR=2，∵PG//OD，∴△NHF∽△NRP，∴HFRP=NHNR=34，∴HF=34PR=)314∵OF=ОН+HF=OE+EF，ОН=EF=1，∴故四边形AEFP周长最小时，OE的长度为3 4．。
第4课时 共边相似三角形
第4课时 共边相似三角形【知识概述】1.对于有公共边的两个相似三角形，如果相似比不为1，则公共边必定是相似三角形某两条对应边的比例中项，所谓“共边相似型，比例中项明”.在共边相似型中最常见的是共边斜A 相似型（如图），这是一种特殊的斜A 相似型，其实不仅共边而且共角，所以这种模型又称作为共边共角相似型”或“母子型相似”，由△ACD ∽△ABC ，易得2AC AD AB =，2ADk AB= （k 为△ACD 与△ABC 的相似比）.2. 共边斜A 相似型特例(1) 射影定理，又叫欧几里德定理：直角三角形中，斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，则有AC 2=AD ·AB ， BC 2=BD ·BA ， DC 2=DA ·DB .由于直角三角形斜边上的高线把这个直角三角形分割成的两个直角三角形与原直角三角形相似，所以由直角三角形和斜边上的高线组成的图形又叫做母子三角形，显然母子三角形有三对共边相似型。
注：射影定理不是现有教材的内容，在证题时请谨慎使用！ (2) 等腰三角形中的共边斜A 相似型图1与图2中各有三对相似三角形，两对共边斜A 相似型，进一步可以研究边与边、角与角之间的关系. 共边斜A 相似型母子三角形∠D=∠CAE ，∠ABC=∠△ACB ，BAD ∽△AED ∽△CEA∠DAE=∠B=∠△C ，BEA ∽△AED ∽△CAD 图2图1等腰三角形中的共边相似模型B【例题精选】例1 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ．求证：2BP PE PF =⋅．思路点拨：连结PC ，由等腰三角形的轴对称性易发现PB ＝PC ，从而只要证明PC 2＝PE ·PF ，再证△EPC ∽△CPF ．例2 如图，∠ACB =∠ADC =90°，AC ，AD =2．问当AB 的长为多少时，图中两个直角三角形相似．例3 如图，点C ，D 在线段AB 上，△PCD 为等边三角形，∠APB =120°.（1）找出图中所有的相似三角形；（2）求证：CD 2=AC ·BD ．(例1)(例2)(例3)A【配套练习】1．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 中点，AE ⊥AD 交CB 延长线于点E ，则△BAE ∽△______．2. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝20°，点P 、Q 分别在线段CB 、BC 的延长线上，且满足 ∠P AQ ＝100°.设BP ＝x ，CQ ＝y ，则y 与x 之间的函数关系式为____________________.3．如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上，∠DEB =∠ABC ． 求证：（1）2•DB DE DA = ；（2）DCE DAC ∠=∠ ．4．如图，ABC △为等边三角形，点,M N 分别在,BC AC 上，且BM CN =，AM 与BN 交于Q 点．求证：（1）2MB MQ MA =⋅；（2）2NA NQ NB =⋅．(第2题)(第1题)(第3题)Q ABCN M(第4题)5. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，AD 的垂直平分线EF 分别交AD 于点E ，交BC 的延长线于点F ． 求证：2FD FB FC ＝.6．如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高线. （1）求证：222111DCBC AC =+； （2）若AC =3，BC =4，求CD 和AD 的长； （3）若AD =2，BD =3，求CD 的长.7．如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高线，F 为BC 上一点，CG ⊥AF 于点G ，连结DG . 求证：△ADG ∽△AFB .(第5题)(第6题)(第7题)8. 如图，在△ABC 中，∠ABC =60°，∠APB =∠BPC =120°，P A =3，PB =4. 求PC 的长.9. 如图，在△ABC 中，AB =AC =12，BC =6，点D 在边AB 上，点E 在线段CD 上，且∠BEC =∠ACB ，BE 的延长线与边AC 相交于点F ． （1）求证：BE •CD=BD •BC .（2）设AD =x ，CF =y ，求y 关于x 的函数解析式,并写出自变量x 的取值范围.10.如图，在ABC △中，90BAC ∠=︒，1AB AC ==，E F ，分别是BC 上两点，点E 在BF 上，45EAF ∠=︒，令BF =x ，CE =y ，求y 关于x 的函数关系式,及自变量x 的取值范围．(第8题)(第9题)ABCEF(第10题)例1第4课时 共边相似三角形参考答案例1 连结PC ．∵AB ＝AC ，AD 是中线，∴直线AD 是△ABC 的对称轴．∴PC ＝PB ，∠PCE ＝∠ABP ．∵CF ∥AB ，∴∠PFC ＝∠ABP ． ∴∠PCE ＝∠PFC ．又∵∠CPE ＝∠EPC ，∴△EPC ∽△CPF ． ∴PC PF ＝PEPC．即PC 2＝PE ·PF ．∴BP 2＝PE ·PF ．例2 ∵∠ADC =90°，AC=6，AD =2，∴CD =AC 2－AD 2=2．要使这两个直角三角形相似，有两种情况：(1) 当AC AD ＝AB AC 时，有Rt △ABC ∽Rt △ACD ，即AB ＝AC 2AD ＝3；(2) 当AC CD ＝AB AC 时，有Rt △ACB ∽Rt △CDA ，即AB ＝AC 2CD ＝32．故当AB 的长为3或32时，图中两个直角三角形相似．例3 (1) ∵△PCD 为等边三角形，∴∠PCD =60°，∴∠PCA =120°，∵∠APB =120°，∴∠PCA =∠APB ，又∵∠A =∠A ，∴△ACP ∽△APB ，同理△PDB ∽△APB ，∴△ACP ∽△APB ∽△PDB ．(2) ∵△ACP ∽△PDB ，∴AC CP ＝PDBD ，∴PD CP AC BD ⋅=⋅，∵CD C PD P ==，∴CD 2=AC ·BD ．【练习】1． ACE 2．y =4x3．(1)在△BDE 和△DAB 中，∵∠DEB =∠ABC ，∠BDE =∠ADB ，∴△BDE ∽△ADB ， ∴DE DB ＝DBDA，∴DB 2=DE •DA ．(2)∵AD 是中线，∴DC =DB ，∴DC 2=DE •DA ，∴DE DC ＝DCDA，又∠ADC =∠CDE ，∴△DEC ∽△DCA ，∴∠DCE =∠DAC ．4．(1)∵ABC △为等边三角形，∴AB BC =，60ABC C ∠=∠=︒．∵BM CN =，∴ABM BCN △≌△ (SAS )．∴BAM CBN ∠=∠，又∵BMA BMQ ∠=∠，∴ABM BQM △∽△，∴MB MA ＝MQMB，2MB MQ MA =⋅．(2) ∵ABC △为等边三角形，∴BAC ABC ∠=∠，由(1) 知BAM CBN ∠=∠，∴BAC BAM ABC CBN ∠-∠=∠-∠，即QAN NBA ∠=∠，类同(1) 可以证明2NA=5．连结AF ，∵AD 是角平分线，∴∠BAD =∠CAD ，又EF 为AD 的垂直平分线，∴AF =FD ，∠DAF =∠ADF ，∴∠DAC +∠CAF =∠B +∠BAD ，∴∠CAF =∠B ，∵∠AFC =∠AFC ，∴△ACF ∽△BAF ，∴FC AF ＝AF FB，∴2·AF FB FC ＝，即2·FD FB FC ＝． 6．(1) ∵CD 是RT △ABC 斜边上的高，∴AC BC CD AB ⋅=⋅ ，∴222222222211+1=AC BC AB AC BC AC BC AB DC DC +==⋅⋅； (2) ∵CD 是RT △ABC 斜边上的高，∴AB =AC 2＋BC 2=32＋42=5，2=AC AD AB ⋅ ，∴CD ＝AC ×BC AB ＝3×45＝125， AD =AC 2AB ＝325＝95；(3) ∵CD 是RT △ABC 斜边上的高，∴2=DC DA DB ⋅∴CD ．7．∵CD 是RT △ABC 斜边上的高，CG ⊥AF ，∴2==AC AD AB AG AF ⋅⋅，∴AD AF ＝AGAB ，又∵GAD BAF ∠=∠，∴△ADG ～△AFB ．8．∵∠APB =∠BPC =120°，设∠PBC =α，∠ABC =60°，则∠ABP =60°-α，∴∠BAP =∠PBC =α，∴△ABP ∽△BCP ，∴P A PB ＝PB PC ，PC=PB 2P A ＝423＝163． 9．(1) ∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ，∵∠BEC =∠ACB ，∴∠BEC =∠ABC ．又∵∠BCE =∠DCB ，∴△CBE ∽△CDB ．∴CB CD ＝BEDB，即BE •CD =BD •BC ． (2) ∵△CBE ∽△CDB ，∴∠CBE =∠CDB ．又∵∠FCB =∠CBD ．∴△FCB ∽△CBD ．∴FC CB ＝CBBD，而BD =AB -AD =12-x ，6612y x =-，3612y x =-，∵361212y x=≤-，∴9x ≤，∴自变量的取值范围为09x <≤． 10．∵∠BAC =90°，AB =AC ，∴∠B =∠C =45°，∵∠EAF =45°，∴∠EAF =∠C ，∠EF A =∠F AC +∠C =∠F AC +∠EAF =∠EAC ，∴△BAF ∽△CEA ，∴AB CE =，∴1y=，∴1y x =≤．练5。
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共边共角相似的组合图形全梳理（优选）我们熟记了很多基本相似类型，其中有一类俗称“共边共角型相似”。
基础习题
解析：
分析上图△ACD和△ABC含有公共边AC，及共线边AD、AB。
那么此时，公共边是共线边的比例中项。
可以得知：如果有公共边和共线边的两个三角形相似，那么公共边是共线边的比例中项。
而上图条件与结论互调仍然成立，仍然可证，如沪教版第24章节P25页例2.
此时发现，如果两个三角形的公共边是共线边的比例中项，且公共边与共线边的夹角相等，此时这两个三角形相似。
共边共角组合图形一
分析上图，所有相等的角均用相同的符号进行标记。
将上图进行分解成两个共边共角相似，如下图。
分析上图（1）：△BAE∽△BCA，由共边的平方是共线边的比例中项知：BA²=BE·BC;分析上图（2）：△BAE∽△DAB，由共边的平方是共线边的比例中项知：BA²=AE·AD;利用相似的传递性知：
BE·BC=AE·AD=AC·DB练习一
分析（1）只需要利用一组共边共角相似：△CBE∽△CDB；（2）利用上述结论：BC²=BD·CF知：36=（12-x）·（12-y）化简得：y=
（108-12x）/12-x（0＜x≤9）共边共角组合图形二
分析上图，所有相等的角均用相同的符号进行标记。
将上图进行分解成两个共边共角相似，如下图。
分析上图（1）：△BAE∽△BCA，由共边的平方是共线边的比例中项知：BA²=BE·BC;分析上图（2）：△BAE∽△DAB，由共边的平方是共线边的比例中项知：BA²=AE·AD;利用相似的传递性知：
BE·BC=AE·AD=AC·DB 练习二
练习三
练习四
对于一类相同的题目，每次都花大量的时间去经历“分析—思考—探索—形成结论—应用”的过程，那么我们的学习效率就会大打折扣，在考场上时间的限制性决定了做题的速度！而在平时的训练过程中注重对相关题目进行仔细分析，形成结论后，能结合题目特征（即结论的应用环境），加以归纳记忆，需要时，直接从脑海中提取并按
需采用，学习效率将会大大提高。
共边共角组合图形三
分析上图，所有相等的角均用相同的符号进行标记。
将上图进行分解成两个共边共角相似，如下图。
图（1）（2）这种图形，我们称之为“母子型相似”，分析得知组合图形中所有的直角三角形之间均是相互相似。
△AEC∽△BEA∽△BAC∽△DEB∽△DBA利用相似的传递性可得10组相似。
△AEC∽△BAC⇒CA²=CE·CB，△BEA∽△BAC⇒BA²=BE·BC，△AEC∽△BEA⇒EA²=EB·EC，△BEA∽△DBA⇒AB²=AE·AD，△BEA∽△DEB⇒EB²=EA·ED，△DEB∽△DBA⇒DB²=DE·DA，△BAC∽△DBA⇒AB²=AC·BD。
练习五
分析
对于表示△AFG的面积，首选是面积公式；若不行，则可选割补法本题从面积公式入手，以AF为底，则AF边上的高为GD
只要分别用x将AF与GD表示出来即可，将原图分解出两个“三垂直”结构
一：分类讨论：点F在线段AD上或线段AD延长线
二：分解“三垂直”
①△AFB∽△BAC⇒AB²=AF·BC⇒AF=x²/6
②△ABC∽△BCG⇒BC²=AB·CG⇒CG=36/x再利用线段和差表示GD=GC-CD=(36/x)-x或GD=x-(36/x)
三：面积公式
S[△AFG]=(1/2)·AF·GD=(1/2)·((x^2)/6)·（(36/x)-x）=(36x-(x^3)/12)（0＜x＜6）
或S[△AFG]=(1/2)·AF·GD=(1/2)·((x^2)/6)·（x-(36/x)）=((x^3)-36x/12)（x＞6）
练习六
分析提炼出如下图示基本构图：
△ODC∽△OCB⇒OC²=OD·BC
在Rt△OCB中，OC²=OB²—BC²
（1）本文以锐角“共边共角型”相似的组合，到钝角，再到直角，通过这一题组训练旨在锻炼图形分析能力，归纳总结找出常用且实用的结论，加以理解、消化，反思、再记忆，才可大大提高解题速度。
（2）只有达到有效快速的对基本图形的识别，才能产生解决这一类题目的一个线索，进而再结合题目的条件进行边角要素分析，如果连最基本的线索也没有，何来方向。
（3）当然“记”、“识”只是解决问题的一个基础层面，仅仅是解决压轴题的一个起点，主要还是把握其本质，体会其解题思想，才能做到对压轴题的攻克。