7.1欧式几何的“家丑”解析

教学目标
知识与能力
１.知道什么是欧氏几何及平行公设 ２.了解平行公设为什么是欧氏几何的“家丑” ３.了解什么是非欧几何
过程与方法
通过对平行公设是欧氏几何“家丑”的 学习，了解欧氏几何发展历程。
情感态度与价值观
通过对欧氏几何的发 展历程的分析，能够对欧 氏几何的“家丑”有比较 感性的认识，提高学生对 现实生活中问题的观察与 分析能力。
“过直线外一点有且仅有一条平行 线” 。这是我们在初中就学过的公理。别 小看它，它曾经花费了数学家们2000多年的 时间来研究它，甚至还有个几何学的“家丑” 的名声。
平行公设是欧氏几何原理中的家丑。 ——达朗贝尔
一切还得从欧几里得的 《原本》说起· · · · · · 让我们共同进入今天的学习探讨这个原因！
３.非欧几何
广义：
一切和欧几里得的几何学不同的几何学。
狭义：
指双曲几何。
通常：
指椭圆几何和双曲几何这两种几何。
３.意义
１）萨凯里 萨凯里的贡献在于 开创了富于启发性的反 证法，并因此被称为非 欧几何的先驱。 他的研 究成为几何学史上最伟 大的发现，他本人也成 为新学科——非欧几何 的创立者。
２）兰伯特 兰伯特在萨凯里间接证法 的基础上又跨那样声称证明了第五公设， 而是大胆地对第五公设的可证 性提出了怀疑，认为这些与直 观表象不相符合但在逻辑推理 上没有矛盾的结论可能是一种 新几何。
２.欧几里得几何
《几何原本》书影
欧几里得在巨著 《原本》中把几何总结 成系统的理论，其中主 要内容就是当今中学课 程里的平面几何和立体 几何，因而把这些最基 本的几何知识，叫做欧 几里得几何，简称“欧 氏几何”。
“一个人当他最初接触欧几里得 几何学时，如果不曾为它的明晰性和 可靠性所感动，那么他是不会成为一 个科学家的。” ——爱因斯坦
１.与欧氏平行公设对立的公设
V’过直线外一点没有直线与所给直线平行。 V’’过直线外一点至少有两条直线与给定 直线平行。 由这两个命题能分别证明钝角假设、锐 角假设成立，同样：
V’与钝角假设等价。
V’’与锐角假设等价。
２.椭圆几何、双曲几何
如果我们保留欧几里 得几何中不依赖平行公设 的命题，然后把平行公设 替换为V’或V’’，就能得 到新的几何体系，分别叫 做椭圆几何、双曲几何， 它们都是非欧几何。
课堂小结
１.欧氏几何 １）欧氏几何 ２）第五公设：同一平面内一直线同另 外两条直线相交，若在某一侧的两内角之 和小于两直角，则两直线无限延长后，必 在这一侧相交。 ３）第五公设的证明——萨凯里。 ２.非欧几何 １）与欧氏平行公设对立的公设。 ２）非欧几何。 ３）非欧几何出现的意义。
课堂练习
第五公设是指：同平面 内一条直线和另外两条直线 相交若在某一侧的两内角之 和小于两直角，则 ___________________
新课导入
想一想· · ·
过直线外一点有 多少条直线和这条直 线平行？
过直线外一点有 且仅有一条平行线。
证一证：
请同学们证一证：过直线 外一点有且只有一条直线和这 条直线平行。
证明：
假设通过一点，有2条 （或n条）直线与已知直线平 行。 则根据平行公理，这2 条（或n条）直线也应该相 互平行，但它们交于同一 点 。 所以不可能平行，因此假设不成立。 即：过直线外一点有且仅有一条直线和这 条直线平行。
教学重难点
重点
１.平行公设 ２.欧氏几何 ３.非欧氏几何
难点
平行公设——欧氏几何的 “家丑”
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１.欧几里得
欧几里得： 生于雅典，是柏拉 图的学生。以《原本》 而著称于世，将前人的 数学成果加以系统的整 理和总结，以严密的演 绎逻辑，把建立在一些 公理之上的初等几何学 知识构成为一个严整的 体系。
两直线无限延长后，必在这一 侧相交。
１.下列公设中属于欧氏几 何公设的有（ AB ）
A.任意两个点可以通过一条直线连接 B.任意线段能无限延伸成一条直线 C.过直线外一点至少有两条直线 D.过直线外一点没有直线与所给直线平行
２.下列公设中与欧氏几何 公设对立的公设有（ BD ）
A.给定任意线段，可以以其一个端点作 为圆心，该线段作为半径作一个圆 B.过直线外一点至少有两条直线 C.所有直角都全等 D.过直线外一点没有直线与所给直线平 行
３.《原本》中公设
1）任意两个点可以通过一条直线连接。 2）任意线段能无限延伸成一条直线。 3）给定任意线段，可以以其一个端点作为 圆心，该线段作为半径作一个圆。 4）所有直角都全等。
４.第五公设
同一平面内一直线同另外 两条直线相交，若在某一侧的 两内角之和小于两直角，则两 直线无限延长后，必在这一侧 相交。 ——平行公设或平行线公理
１.什么是欧氏几何？
十几个世纪过去了！人们开 始怀疑：第五公设是否可证？可 否用相反命题代替？
对此，意大利数学家萨凯里和德国 数学家兰伯特的研究最早触及问题的实 质。
５.第五公设的证明——萨凯里
Ｄ Ｃ
其中AD=BC， o 且∠A= ∠B=90 不用平行公设，可以 Ｂ o 证明∠Ｃ= ∠Ｄ=90
Ａ
如果利用平行公设， 就能证明∠Ｃ，∠Ｄ是直 角，即假设成立。相反， 由直角假设也能证明平行 公设。因此平行公设和直 角假设等价。 这个图形有三种可能： １.直角假设： ∠Ｃ，∠Ｄ是直角； ２.钝角假设： ∠Ｃ，∠Ｄ是钝角； ３.锐角假设： ∠Ｃ，∠Ｄ是锐角；
第五公设与另外4条相比，显得叙述 复杂，而且根本没有“自明”的特征。事 实上，它是《几何原本》中命题17的逆命 题。它看起来更像一个定理而不像公设。
数学家们开始 猜测，这条公设是 否真的必要？能不 能从其他的九个公 理和公设中把它推 导出来？
小
故
事
从公元前3世纪到19世纪的两千多年期间， 人们不断尝试着用各种方法证明第五公设， 有案可查的就有2000人之多。许多数学家为 此沤心沥血，耗尽毕生精力，然而春去秋至， 岁月流逝，却劳而无获。甚至像托勒密、普 罗克鲁斯、瓦里斯、达朗贝尔、拉格朗日、 勒让德等大数学家，也只能面对无数次的失 败而“望题兴叹”，以致达朗贝尔称其为 “几何学中的家丑”。