离散数学第一章测试卷
第一章测试题答案
离散数学第一章测验一、下列那些是命题?是命题的指出其真值。
1.√5是无理数。
2.3是素数或4是素数。
3.2x+3<5。
4.你去图书馆吗?5.刘红与魏新是同学。
6.吸烟请到吸烟室去!7.2015年元旦下大雪。
8.只有6是偶数，3才能是2的倍数。
9.8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
10.圆的面积等于半径的平方乘以π。
二、将下列命题符号化。
1.只要你学习了，你考试就能及格。
P : 你学习Q : 你考试及格2.只有天下雨了，我才不去上街。
P : 天下雨Q : 我不去上街3.实函数f(x)可微当且仅当f(x)连续。
P : 实函数f(x)可微Q : f(x)连续4.除非你努力，否则你就会失败。
P : 你努力Q : 你失败5.若不是他生病或出差了，我是不会同意他不参加学习的。
P : 他生病Q : 他出差R : 我同意他不参加学习三、下列那些是重言式，哪些是矛盾是，哪些是偶然式，哪些是可满足式。
1.P∨(¬P∧Q)2.¬(P∨Q)↔(¬P∧¬Q)3.¬P∨Q→Q4.(P∧¬(Q→P))∧(Q∧R)5.(P∧Q↔P)↔(P↔Q)6.(P∧(P→Q))→Q7.¬(P→Q)∧Q8.P∧(Q∨¬R)四、不用真值表证明下列等价式并写出对偶式。
1.(P∧Q)∨¬(¬P∨Q)⇔P2.(P→Q)∧(Q→P)⇔(P∧Q)∨(¬P∧¬Q)3.P→(Q→R)⇔Q→(P→R)五、不用真值表证明下列蕴含式。
1.P→Q⇒P→(P∧Q)2.((P∨¬P)→Q)→((P∨¬P)→R)⇒Q→R3.(Q→(P∧¬P))→(R→(P∧¬P))⇒R→Q六、求下列式子的主析取范式和主合取范式。
1.(P∨Q)∧R2.P→(P∨Q∨R)3.¬(Q→¬P)∧¬P七、某单位要从张、王、马三名同志中选派一部分人外出培训，但是由于部门工作需要，必须满足以下条件：(1) 若张去，马也去。
离散数学1-2章测试题
1. 设R 是非空集合A 上的二元关系，若S=R ⋃R -1，则S 一定具有的性质是 ( )A. 自反性B. 对称性C. 传递性D. 反自反性 2. 设S={1，2，3}，S 上关系R={<1,1>,<1,2>,<2,2>,<2,1>,<2,3>,<3,1>,<3,3>}，则R 具有（）性质。
A ．自反性、对称性、传递性B ．反自反性、反对称性、传递性C ．反自反性、反对称性D ．自反性 3. 设A ={a ,{a }}，下列式子中正确的是（）A ．)(}{A P a ∈B ．)(A P a ∈C ．)(}{A P a ⊆D ．以上都不是4.设A={a ,b ,c ,d }，A 上的等价关系R={<a ,a >,<b ,b >,<c ,c >,<d ,d >,<c ,d >,<d ,c >}则对应于R 的A 的划分是（）A ．{ {a },{b ,c },{d }} B. { {a ,b },{c },{d }} C ．{ {a },{b },{c ,d }} D ．{ {a ,b },{c ,d }}5. 设集合A ＝{ 1，2，3 }，R1、R2和R3是A 上的二元关系，其中R1＝{<1，2>，<2，1>，<3，3>}，R2＝{<1，3>，<2，2>，<3，2>}，R3＝{<1，3>，<2，1>，<3，1>}，则R3＝（）。
A ．R1 R2B ．R2 R1C ．R1 R1D ．R2 R21.设集合}},,{,,{φb a b a A =，}},,{{φb a B =，则B -A=。
2. 设集合X ={1，2，3}，函数X X f →:,X X g →:，}1,3,3,2,2,1{><><><=f ，}3,3,3,2,2,1{><><><=g ，则g f1-=。
离散数学第一章测试卷
离散数学第一章测试卷
离散数学第一章测试卷
一.单选
1.设P：我将去逛街，Q：我有时间。命题“我将去逛街，仅当我有时间”符号
化为（）
A.Q→P
B.Ｐ→Ｑ
C. Ｐ?Ｑ
D. ?Ｐ∨?Ｑ
2.使命题公式?Ｐ→Q∧R 真值为1 的P, Q, R 赋值分别是（）
A. 0,0,0
B. 0,0,1
C. 0,1,0
D. 1,0,0
3.命题公式?（Ｐ→Ｑ）的析取范式是（）
A.P∧?Q
B. Байду номын сангаасP∧Q
C. ?P∨Q D . P∨?Q
4.下列句子中，哪一个是命题（）
A. X+Y>5。
B. 请勿吸烟。
C. 火星上有生物。
D.明天下午开会么？
二. 填空
1.设个体域D={a,b},那么谓词公式?x A(x)∨?y B(y)消去量词后的等值
式为______.
2.在谓词公式?y ( A(y)→?x R(x，y) ) 中的约束变元为_________.
三.求公式P∧Q∨R 的主析取范式和主合取范式，并判断公式的类型。
四.证明?x (P(x)→Q(x))，?x P(x）??x Q(x)
离散数学练习题(含答案)
离散数学试题第一部分选择题一、单项选择题1．下列是两个命题变元p，q的小项是（ C ）A．p∧┐p∧q B．┐p∨qC．┐p∧q D．┐p∨p∨q2．令p：今天下雪了，q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（ D ）A．p→┐q B．p∨┐qC．p∧q D．p∧┐q3．下列语句中是命题的只有（ A ）A．1+1=10 B．x+y=10C．sinx+siny<0 D．x mod 3=24．下列等值式不正确的是（ C ）A．┐(∀x)A⇔(∃x)┐AB．(∀x)(B→A(x))⇔B→(∀x)A(x)C．(∃x)(A(x)∧B(x))⇔(∃x)A(x)∧(∃x)B(x)D．(∀x)(∀y)(A(x)→B(y))⇔(∀x)A(x)→(∀y)B(y)5．谓词公式(∃x)P(x,y)∧(∀x)(Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)中量词∀x的辖域是（ C ）A．(∀x)Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z))B．Q(x,z)→(∀y)R(x,y,z)C．Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)D．Q(x,z)6．设A={a,b,c,d}，A上的等价关系R={<a,b>,<b,a>,<c,d>,<d,c>}∪I A，则对应于R的A的划分是（ D ）A．{{a},{b,c},{d}} B．{{a,b},{c},{d}}C．{{a},{b},{c},{d}} D．{{a,b},{c,d}}7．设A={Ø}，B=P(P(A))，以下正确的式子是（ A ）A．{Ø,{Ø}}∈B B．{{Ø,Ø}}∈BC．{{Ø},{{Ø}}}∈B D．{Ø,{{Ø}}}∈B8．设X，Y，Z是集合，一是集合相对补运算，下列等式不正确的是（ A ）A．(X-Y)-Z=X-(Y∩Z)B．(X-Y)-Z=(X-Z)-YC．(X-Y)-Z=(X-Z)-(Y-Z)D．(X-Y)-Z=X-(Y∪Z)9．在自然数集N上，下列定义的运算中不可结合的只有（ D ）A．a*b=min(a,b)B．a*b=a+bC．a*b=GCD(a,b)(a,b的最大公约数)02324# 离散数学试题第1 页共4页02324# 离散数学试题 第 2 页 共4页D ．a*b=a(mod b)10.设R 和S 是集合A 上的关系,R ∩S 必为反对称关系的是( A ) A ．当R 是偏序关系,S 是等价关系; B ．当R 和S 都是自反关系; C ．当R 和S 都是等价关系; D ．当R 和S 都是传递关系11.设R 是A 上的二元关系,且R ·R ⊆R,可以肯定R 应是( D ) A ．对称关系; B ．全序关系; C ．自反关系; D ．传递关系 12．设R 为实数集，函数f ：R →R ，f(x)=2x ，则f 是（ B ） A ．满射函数 B ．单射函数 C ．双射函数 D ．非单射非满射第二部分 非选择题二、填空题1．设论域是{a,b,c}，则(∀x)S(x)等价于命题公式 S(a)∧S(b)∧S(c) ；(x ∃)S(x)等价于命题公式 S(a)∨S(b) ∨S(c) 。
离散数学第一学期习题及答案
前提：p q, r q,r s 结论： p
参考答案:
1.
（1）p∨(q∧r) 0∨(0∧1) 0
（2）（p↔r）∧(﹁q∨s) （0↔1）∧(1∨1) 0∧1 0
（3）（ p∧ q∧r）↔(p∧q∧﹁r) （1∧1∧1） ↔ (0∧0∧0) 0
6. 判断下列各式的类型:
(1)
(2)
yF(x,y).
7. 给定下列各公式一个成真的解释，一个成假的解释。
(1) (F(x)
(2) x(F(x) G(x) H(x)) 8.给定解释Ｉ如下:
(a)个体域 D={3,4};
(b) f (x) 为 f (3) 4, f (4) 3
(c) F (x, y)为F (3,3) F (4,4) 0, F (3,4) F (4,3) 1.
后件为存在实数 x 对任意实数 y 都有 x+y=5，后件假，]
此时为假命题
再取解释 I 个体域为自然数 N，
F(x,y)：:x+y=5
所以,前件为任意自然数 x 存在自然数 y 使 x+y=5，前件假。此时为假命题。 此公式为非永真式的可满足式。
7.解:(1)个体域:本班同学
F(x)：x 会吃饭, G(x)：x 会睡觉.成真解释
所以公式类型为永真式
(3) P
q
r
00
0
p∨q 0
p∧r
（p∨q）→(p∧r)
0
1
00
1
0
0
1
01
0
1
0
0
01
1
1
0
0
1
00
离散数学第1章答案
离散数学第1章答案习题1.11、（1）否（2）否（3）是，真值为0（4）否（5）是，真值为12、（1）P：天下⾬ Q：我去教室┐P → Q（2）P：你去教室 Q：我去图书馆 P → Q（3）P，Q同（2） Q → P（4）P：2是质数 Q：2是偶数 P∧Q3、（1）0（2）0（3）14、（1）如果明天是晴天，那么我去教室或图书馆。
（2）如果我去教室，那么明天不是晴天，我也不去图书馆。
（3）明天是晴天，并且我不去教室，当且仅当我去图书馆。
习题1.21、（1）是（2）是（3）否（4）是（5）是（6）否2、（1）(P → Q) →R，P → Q，R，P，Q（2）(┐P∨Q) ∨（R∧P），┐P ∨ Q，R∧P，┐P，Q，R，P（3）((P → Q) ∧ (Q → P)) ∨┐(P → Q))，(P → Q) ∧(Q → P)，┐(P → Q)，P → Q，(Q → P)，P → Q，P，Q，Q，P，P，Q 3、（1）((P → Q) → (Q → P)) → (P → Q)（2）((P → Q) ∨ ((P → Q) → R))→ ((P → Q) ∧ ((P → Q) → R)) （3）(Q → P∧┐P) → (P∧┐P → Q)4、(P → Q) ∨ ((P∧Q) ∨ (┐P∧┐Q)) ∧ (┐P∨Q)习题1.31、（1）I(P∨(Q∧R)) = I(P)∨(I(Q)∧I(R)) = 1∨(1∧0) = 1（2）I((P∧Q∧R)∨(┐(P∨Q)∧┐(R∨S))) = (1∧1∧0)∨(┐(1∨1)∧┐(0∨1)) = 0∨(0∧0) = 0（3）I((P←→R)∧(┐Q→S)) = (1←→0)∧(┐1→1) = 0∧1 = 0（4）I((P∨(Q→R∧┐P))←→(Q∨┐S)) = (1∨(1→(0∧┐1)))←→(1∨┐1) = 1←→1 = 1（5）I(┐(P∧Q)∨┐R∨((Q←→┐P)→R∨┐S)) = ┐(1∧1)∨┐0∨((1←→┐1)→(0∨┐1)) = 0∨1∨1 = 13、（1）原式 <=> F→Q <=> T 原式为永真式（2）原式 <=> ┐T∨(┐(┐P∨Q)∨(┐┐Q∨┐P)) <=> (P∧┐Q)∨(Q∨┐P)<=> (P∧┐Q)∨┐(P∧┐Q) <=> T 原式为永真式（3）原式 <=> ┐(P∧Q) ←→┐(P∧Q) <=> T 原式为永真式（4）原式 <=> P∧(Q∨R) ←→ P∧(Q∨R) <=> T 原式为永真式（5）原式 <=> ┐(P∨┐Q)∨Q <=> (┐P∧Q)∨Q <=> Q 原式为可满⾜式（6）原式 <=> ┐(P∧Q)∨P <=> ┐P∨┐Q∨P <=> T∨┐Q <=> T 原式为永真式（7）原式 <=> (┐P∨P∨Q)∧┐P <=> (T∨Q)∧┐P<=> T∧┐P <=> ┐P 原式为可满⾜式（8）原式 <=> ┐((P∨Q) ∧(┐Q∨R))∨(┐P∨R) <=> (P∧┐Q)∨(Q∧┐R)∨(┐P∨R)<=> ((P∧┐Q)∨┐P)∨((Q∧┐R)∨R)<=>(( P∨┐P)∧(┐Q∨┐P))∨(( Q∨R)∧(┐R∨R))<=> (┐Q∧┐P)∨( Q∨R) <=> T 原式为永真式4、（1）左 <=> ┐P∨┐Q∨P <=> ┐┐P∨(┐P∨┐Q) <=> 右（2）左 <=> ┐(┐P∨Q) <=> 右（3）左 <=> ┐(P∧Q)∨P <=> ┐P∨┐Q∨P <=> T∨┐Q <=> 右（4）左 <=> ┐(P→Q)∨┐(Q→P) <=> (P∧┐Q)∨(Q∧┐P) <=> 中<=> ((P∧┐Q)∨Q)∧((P∧┐Q)∨┐P)<=> (P∨Q)∧(┐Q∨Q)∧(P∨┐P)∧(┐Q∨┐P)<=> (P∨Q)∧┐(P∧Q) <=> 右(5)左?(?P∨Q)∧(?R∨Q)??(P∨Q)∨Q?右5.(1)左?Q??P∨Q?右(2)(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))(?P∨?Q∨R)∨?(?P∨Q) ∨(?P∨R)(P∧Q∧?R)∨(P∧?Q)∨?P∨R(P∧Q∧?R)∨((P∨?P)∧(?Q∨?P))∨R(P∧Q∧?R)∨(?Q∨?P∨R)(P∧Q∧?R) ∨?(P∧Q∧?R)T故P→(Q→R)?(P→Q)→(P→R)(3).(P→Q)→(P→P∧Q)(?P∨Q)∨?P∨(P∧Q)(?P∨Q)∨(?P∨P)∧(?P∨Q)(?P∨Q)∨(?P∨Q)T故P→Q?P→P∧Q(4).((P→Q) →Q) →P∨Q(?(?P∨Q) ∨Q) ∨P∨Q((P∨Q)∧?Q)∨P∨Q(P∧?Q)∨(Q∧?Q) ∨P∨Q(P∨Q)∨(P∨Q)T故(P→Q) →Q?P∨Q(5).((P∨?P)→Q)∧((P∨?P)→R)→(Q→R)((?T∨Q)∧(?T∨R)) ∨?Q∨R(Q∧R)∨?Q∨RQ∨?R∨?Q∨RQ∨TT故((P∨?P) →Q)∧((P∨?P)→R)?Q→R(6)左?(Q→F)∧(R→F)(Q∨F)∧(?R∨F)Q∧?RRR∨Q?右6.(1)原式?(?P∧?Q∧R)(2)原式??P∨?Q∨P??(P∧Q∧?P)(3)原式?P∨(Q∨?R∨P)?P∨Q∨?R??(?P∧?Q∧R)7.(1)原式??(?P∨?Q∨P)(2)原式?(?P∨Q∨?R) ∧?P∧Q??(?(?P∨Q∨?R)∨P∨?Q)(3)原式??P∧?Q∧ (R∨P) ??(P∨Q∨?(R∨P))8. (1) (P∨Q)∧((?P∧ (?P∧Q))∨R)∧?P(2)(P∨Q∨R)∧(?P∧R)(3)(P∨F)∧(Q∨T)习题1.41.(1)原式??(?P∨?Q)∨((?P∨?Q)∧(Q∨P))(?P∨?Q)∨(Q∨P)(P∧Q) ∨Q∨PQ∨P,既是析取范式⼜是合取范式(2)原式?((?P∨Q)∨(?P∨?Q))∧(?(?P∨Q) ∨?(?P∨?Q)) ?(P∧Q)∨(P∧?Q) 析取范式P∧(Q∨?Q)合取范式(3)原式??P∨Q∨?S∨ (?P∧Q)析取范式(P∨(?P∧Q))∨Q∨?SP∨Q∨?S合取范式(4)原式?P∨P∨Q∨Q∨R既是析取范式⼜是合取范式2.(1)原式?P∨?Q∨R为真的解释是：000，001，011，100，101，110，111故原式的主析取范式为:(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧?Q∧R)∨(?P∧Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧?∧QR)∨(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)(2)原式?(P∧?Q) ∨R(P∧?Q∧(R∨?R))∨((P∨?P)∧R)(P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q)∨( ?P∧R)(P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧(Q∨?Q)∧R)∨(?P∧(Q∨?Q)∧R) ?(P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧?Q∧R)∨(? P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧R)(P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R) ∨(?P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧R)为真的解释是101，100，111，011，001(3)原式?(?P∨(Q∧R))∧(P∨(?Q∧?R))((P∨ (Q∧R)) ∧P)∨(( ?P∨ (Q∧R))∧( ?Q∧?R))(P∧P)∨(Q∧P∧R)∨( ?P∧?Q∧?R)∨(Q∧R∧?Q∧?R)(P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)为真的解释是：000,111(4)原式?P∨P∨Q∨Q∨R?P∨Q∨R为真的解释是：001，010，011，100，101，110，111故原式的主析取范式为：(?P∧?Q∧R)∨(?P∧Q∧?R)∨(?P∧Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧?Q∧R)∨(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)3.(1)原式??P∨Q∨?P∨?Q?T主合取范式，⽆为假的解释。
离散数学章练习题及答案
离散数学章练习题及答案离散数学练习题第⼀章⼀．填空1. 公式(p q) ( p q )的成真赋值为01 ；102. 设p, r 为真命题，q, s 为假命题，则复合命题(p q) ( r s) 的真值为03. 公式(p q)与(p q) (p q )共同的成真赋值为01；104. 设A为任意的公式，B为重⾔式，则A B 的类型为重⾔式5．设p, q 均为命题，在不能同时为真条件下，p与q的排斥也可以写成p与q的相容或。
⼆．将下列命题符合化1. 7 不是⽆理数是不对的。
解：( p) ，其中p: 7 是⽆理数；或p，其中p: 7 是⽆理数。
2. ⼩刘既不怕吃苦，⼜很爱钻研。
解：p q, 其中 p: ⼩刘怕吃苦，q：⼩刘很爱钻研3. 只有不怕困难，才能战胜困难。
解：q p ，其中p: 怕困难，q: 战胜困难或p q ，其中p: 怕困难，q: 战胜困难4. 只要别⼈有困难，⽼王就帮助别⼈，除⾮困难解决了。
解：r (p q)，其中p: 别⼈有困难，q: ⽼王帮助别⼈，r: 困难解决了或：( r p) q ，其中p: 别⼈有困难，q: ⽼王帮助别⼈，r: 困难解决了5. 整数n是整数当且仅当n 能被2 整除。
解：p q，其中p: 整数n是偶数，q: 整数n能被2整除三、求复合命题的真值P：2能整除5，q ：旧⾦⼭是美国的⾸都，r ：在中国⼀年分四季1. ((p q) r) (r (p q))2. (( q p) (r p)) (( p q) r解：p, q 为假命题，r 为真命题1. ((p q) r) (r (p q)) 的真值为02. (( q p) (r p)) (( p q) r 的真值为1四、判断推理是否正确设y 2x 为实数，推理如下：若y在x=0可导，则y在x=0连续。
y 在x=0连续，所以y在x=0可导。
解：y 2x，x为实数，令p: ｙ在ｘ=0可导，q: y 在x=0连续。
P为假命题，q为真命题，推理符号化为：(p q) q p，由p，q 得真值可知，推理的真值为0，所以推理不正确。
离散数学(一)练习题与答案
1-5 题：× × × ×√6-10 题：× ×√√√11-15题：× ×√ ×√16-17题：√ ×二、单项选择题1 A C2 C3 C 4. B 5 A6 B7 B8 C9 B 10 B11 D 12 A 13 C 14 C三、填空题1 ┐Q→P 或┐P→Q，Q→P2 A B=｛{a,b}, {a},{b},{c}｝，A B=｛｛c｝｝，A B-=｛{a,b}｝，A B⊕=｛{a,b},{a},{b}｝。
3．{}ΦΦ=Φ，{,{}}ΦΦ-Φ={Φ,{ Φ}}，ΦΦ={Φ}。
{,{}}{}ΦΦ-Φ={{Φ}}，{}4．A={1,2,3,……,12}，R是A上的整除关系，子集B={2,4,6}。
则B的最大元是：无，最小元是：2，极大元是：4，6，极小元是：2，上界是：12，下界是：2，上确界是：12，下确界是：2。
5. g g g6 R, T7. 略8．极大元：{a,b}, {b,c}，最大元：无，上界：{a,b,c}，下确界：Φ。
( )1．设A ，B ，C 为任意的命题公式，若A C B C ∨⇔∨,则A B ⇔。
( )2．公式P Q ∧是合取范式，不是析取范式。
( )3．公式()()P Q P Q ⌝∨∧→与公式()P Q R →∧等价。
( )4．()(()())()()()()x A x B x x A x x B x ∀∨⇔∀∨∀。
( )5．谓词公式()()((,)(,))x y P x y Q y z ∀∀∨中，x,y 是约束变元，z 是自由变元。
( )6．对谓词公式()(()(,))(,)x P y Q x y R x y ∀→∧中的自由变元进行代入后得到公式()(()(,))(,)x P z Q x z R x y ∀→∧。
( )7．对谓词公式()(()(,))(,)x P x Q x y R x y ∀→∧中的约束变元进行换名后得到公式()(()(,))(,)y P y Q y y R x y ∀→∧。