【高三总复习】4-4 向量的应用及向量与其他知识的综合问题(人教B版) 含解析

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高三向量专题复习(含知识点)有答案

状元堂测试试卷，则把向量AB 按向量a ＝（－1,3的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB )； 4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5．平行向量（也叫共线向量）、b 叫做平行向量，记作：a ∥b 提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；但两条直线平行不包含两条直线重合；（因为有0)；AB AC 、共线；：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

）若a b =，则a b =。

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

（）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。

（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。

（5,a b b c ==，则a c =。

（6）若//,//a b b c ，则//a c 。

其中正确的是日期： 2012- 时间：．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量(),a xi y j x y =+=，称的坐标表示。

如果向量的起点在原点是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1、2λ，使a =1λe 1＋2λ(1,1),a b ==(1,1),(1,2)c -=-c =______1322a b -）；）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是12(0,0),(1,2)e e ==- B. 12(1,2),(5,7)e e =-= 12(3,5),(6,10)e e == D. 1213(2,3),(,24e e =-=-（答：B ）；四．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作如下：()()1,2a a λλ=当λ>0时，λa 的方向与的方向相反，当λ＝0a λ=，注意：五．平面向量的数量积：两个向量的夹角：对于非零向量，b ，作,OA a OB b ==，AOB ∠称为向量a ，b 的夹角，当0时，a ，b 同向，当θ＝π2．平面向量的数量积，b ，它们的夹角为，我们把数量||||cos a b θ叫做，记作：a •b ，即a cos a b θ。

高三数学平面向量的概念及运算知识精讲人教实验版(B)

高三数学平面向量的概念及运算知识精讲人教实验版（B ）一. 教学内容：平面向量的概念及运算向量的概念、向量的线性运算、向量的分解和向量的坐标运算二. 课标要求：（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；（2）向量的线性运算①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义。

（3）平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义；②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。

三. 命题走向本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较，出题量小。

以选择题、填空题考查本章的基本概念和性质，重点考查向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。

此类题难度不大，分值5~9分。

预测高考：（1）题型可能为1道选择题或1道填空题；（2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。

【教学过程】一. 基本知识要点回顾1. 向量的概念①向量：既有大小又有方向的量。

向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。

向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |，即向量的大小，记作｜a |。

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。

②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ⇔｜a ｜＝0。

由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。

【全程复习方略】2013版高中数学 (主干知识+典例精析)4.4平面向量的应用课件理新人教B版

(
)
②在△ABC中，若 ABBC ＜0，则△ABC为钝角三角形.(

)
③在四边形ABCD中，边AB与CD为对边，若 AB DC, 则此四边形
为平行四边形.
(
)
【解析】①因为 AB、共始点A，且 AB∥ AC, 故①正确； AC ②∵ ABBC＜0⇔ BABC＞0，∴∠B为锐角，不能判断△ABC
利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐
标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题. (2)工具作用：利用 a⊥b ⇔ a·b =0, a∥b ⇔a=λ b (b≠0),可解决垂直、平行问题.
【例3】已知两点M(-1,0),N(1,0)，且点P使
NMNP,PMPN,MPMN 成公差非负的等差数列.
=(5,3b-4y). ∴| PA 3PB|2=25+(3b-4y)2(0≤y≤b), 当y=
3 b时，| PA 3PB|最小，|PA 3PB|min=5. 4
答案：5
【反思·感悟】平面几何问题的向量解法 (1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.
【提醒】向量关系与几何关系并不完全相同，要注意区别，例如：向量 AB∥ CD 并不能说明直线AB∥CD.

【例1】(2011·天津高考)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC,
∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点，则|PA 3PB |的最小
的形状，故②不正确； ③∵ AB DC, ∴AB 答案：①√ ②〓

2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：平面向量的综合应用

§5.4平面向量的综合应用题型一平面向量在几何中的应用例1(1)如图，在△ABC 中，cos ∠BAC ＝14，点D 在线段BC 上，且BD ＝3DC ，AD ＝152，则△ABC 的面积的最大值为________．答案15解析设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，因为BD ＝3DC ，AD →＝14AB →＋34AC →，又AD ＝152，cos ∠BAC ＝14，所以AD →214AB ＋34AC ＝116c 2＋916b 2＋38bc cos ∠BAC ＝116c 2＋916b 2＋332bc ，又154＝116c 2＋916b 2＋332bc ＝14c 234b ＋332bc ≥2×14c ×34b ＋332bc ＝1532bc ，当且仅当c ＝3b 时，等号成立．所以bc ≤8，又sin ∠BAC ＝154，所以S △ABC ＝12bc sin ∠BAC ≤12×8×154＝15.(2)(2022·天津)在△ABC 中，CA →＝a ，CB →＝b ，D 是AC 的中点，CB →＝2BE →，试用a ，b 表示DE →为________，若AB →⊥DE →，则∠ACB 的最大值为________．答案32b －12a π6解析DE →＝CE →－CD →＝32b －12a ，AB →＝CB →－CA →＝b －a ，由AB →⊥DE →得(3b －a )·(b －a )＝0，即3b 2＋a 2＝4a ·b ，所以cos ∠ACB ＝a ·b |a ||b |＝3b 2＋a 24|a ||b |≥23|a ||b |4|a ||b |＝32，当且仅当|a |＝3|b |时取等号，而0<∠ACB <π，所以∠ACB，π6.思维升华用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题――→设向量向量问题――→计算解决向量问题――→还原解决几何问题．跟踪训练1(1)在△ABCBC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为()A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．三边均不相等的三角形答案A解析AB →|AB →|，AC →|AC →|分别表示AB →，AC →方向上的单位向量，AB →|AB →|＋AC →|AC →|在∠A 的角平分线上，BC →＝0，∴|AB →|＝|AC →|，又AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则AB →与AC →的夹角为60°，即∠BAC ＝60°，可得△ABC 是等边三角形．(2)在△ABC 中，AC ＝9，∠A ＝60°，D 点满足CD →＝2DB →，AD ＝37，则BC 的长为()A ．37B ．36C ．33D ．6答案A解析因为CD →＝2DB →，所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC→＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →，设AB ＝x ，则AD →2＋13AC ，得37＝49x 2＋49×x ×9cos 60°＋19×92，即2x 2＋9x －126＝0，因为x >0，故解得x ＝6，即AB ＝6，所以|BC →|＝|AC →－AB →|＝|AB →|2＋|AC →|2－2|AB →|·|AC →|cos 60°＝62＋92－2×6×9×12＝37.题型二和向量有关的最值(范围)问题命题点1与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题例2如图，在△ABC 中，点P 满足2BP →＝PC →，过点P 的直线与AB ，AC 所在的直线分别交于点M ，N ，若AM →＝xAB →，AN →＝yAC →(x >0，y >0)，则2x ＋y 的最小值为()A ．3B ．32C ．1 D.13答案A解析由题意知，AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋BC →3＝AB →＋AC →－AB →3＝2AB →3＋AC →3，又AM →＝xAB →，AN →＝yAC →(x >0，y >0)，∴AP →＝2AM →3x ＋AN →3y，由M ，P ，N 三点共线，得23x ＋13y ＝1，∴2x ＋y ＝(2x ＋y ＝53＋2x 3y ＋2y 3x ≥53＋22x 3y ·2y3x＝3，当且仅当x ＝y 时等号成立．故2x ＋y 的最小值为3.命题点2与数量积有关的最值(范围)问题例3已知在边长为2的正△ABC 中，M ，N 分别为边BC ，AC 上的动点，且CN ＝BM ，则AM →·MN→的最大值为________．答案－43解析建立如图所示的平面直角坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)，A (0，3)，则BC →＝(2,0)，CA →＝(－1，3)，设BM →＝tBC →(0≤t ≤1)，则CN →＝tCA →(0≤t ≤1)，则M (2t －1,0)，N (1－t ，3t )，∴AM →＝(2t －1，－3)，MN →＝(2－3t ，3t )，∴AM →·MN →＝(2t －1)×(2－3t )＋(－3)×(3t )＝－6t 2＋4t －2＝－－43，当t ＝13时，AM →·MN →取得最大值－43.命题点3与模有关的最值(范围)问题例4已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，且向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是()A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2]C ．[2，2＋1]D ．[2－2，2＋2]答案A解析a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )，|c －a －b |＝|(x －1，y －1)|＝(x －1)2＋(y －1)2＝1，∴(x －1)2＋(y －1)2＝1，|c |表示以(1,1)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，故12＋12－1≤|c |≤12＋12＋1，∴2－1≤|c |≤2＋1.思维升华向量求最值(范围)的常用方法(1)利用三角函数求最值(范围)．(2)利用基本不等式求最值(范围)．(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)．(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值．跟踪训练2(1)已知平行四边形ABCD 的面积为93，∠BAD ＝2π3，E 为线段BC 的中点．若F 为线段DE 上的一点，且AF →＝λAB →＋56AD →，则|AF →|的最小值为()A.11B ．3 C.7D.5答案D解析设|AB →|＝x ，|AD →|＝y ，则S ＝x ·y ·sin 2π3＝32xy ＝93，∴xy ＝18.∵AF →＝λAB →＋56AD →＝λ(AE →＋EB →)＋56AD →＝λAE →，∵E ，F ，D 三点共线，∴λ＋56－λ2＝1⇒λ＝13，∴AF →＝13AB →＋56AD →，∴|AF →|2＝19|AB →|2＋59AB →·AD →＋2536|AD →|2＝19x 2＋59xy ＋2536y 2≥－5＋219·2536·x 2·y 2＝5，当且仅当x ＝52y 时，等号成立．∴|AF →|的最小值为5.(2)(2023·苏州模拟)已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，△ABC 所在平面内的点P 满足|AP →－AB →－AC →|＝1，则|AP →|的最小值为()A.3－1B ．22－1C ．23－1D.7－1答案C解析因为|AB →＋AC →|2＝AB →2＋AC →2＋2AB →·AC→＝|AB →|2＋|AC →|2＋2|AB →|·|AC →|cos π3＝12，所以|AB →＋AC →|＝23，由平面向量模的三角不等式可得|AP →|＝|(AP →－AB →－AC →)＋(AB →＋AC →)|≥||AP →－AB →－AC →|－|AB →＋AC →||＝23－1.当且仅当AP →－AB →－AC →与AB →＋AC →方向相反时，等号成立．因此|AP →|的最小值为23－1.(3)(2022·北京)在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，∠C ＝90°.P 为△ABC 所在平面内的动点，且PC ＝1，则PA →·PB →的取值范围是()A ．[－5,3]B ．[－3,5]C ．[－6,4]D ．[－4,6]答案D解析以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则A (3,0)，B (0,4)．设P (x ，y )，则x 2＋y 2＝1，PA →＝(3－x ，－y )，PB →＝(－x ,4－y )，所以PA →·PB →＝x 2－3x ＋y 2－4y＋(y －2)2－254.又＋(y －2)2表示圆x 2＋y 2＝1圆心(0,0)离为52，所以PA →·PB →－254，－254，即PA →·PB →∈[－4,6]，故选D.课时精练1．四边形ABCD 中，AD →＝BC →，(AB →＋AD →)·(AB →－AD →)＝0，则这个四边形是()A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．等腰梯形答案A解析由题意，AD →＝BC →，即|AD |＝|BC |且AD ∥BC ，故四边形ABCD 为平行四边形，又(AB →＋AD →)·(AB →－AD →)＝AC →·DB →＝0，故AC ⊥BD 即四边形ABCD 为菱形．2．(多选)如图，点A ，B 在圆C 上，则AB →·AC →的值()A ．与圆C 的半径有关B ．与圆C 的半径无关C ．与弦AB 的长度有关D ．与点A ，B 的位置有关答案BC解析如图，连接AB ，过C 作CD ⊥AB 交AB 于D ，则D 是AB 的中点，故AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠CAD ＝|AB →|·|AC →|·12|AB →||AC →|＝12|AB →|2，故AB →·AC →的值与圆C 的半径无关，只与弦AB 的长度有关．3.如图，在△ABC 中，BD →＝23BC →，E 为线段AD 上的动点，且CE →＝xCA →＋yCB →，则1x ＋3y 的最小值为()A ．8B ．9C ．12D ．16答案D解析由已知得CB →＝3CD →，∴CE →＝xCA →＋yCB →＝xCA →＋3yCD →，∵E 为线段AD 上的动点，∴A ，D ，E 三点共线，∴x ＋3y ＝1且x >0，y >0，∴1x ＋3y ＝1x ＋3y (x ＋3y )＝10＋3y x ＋3xy ≥10＋23y x ·3xy＝16，当且仅当x ＝y ＝14时，等号成立．故1x ＋3y的最小值为16.4．在△ABC 中，A ＝π3，G 为△ABC 的重心，若AG →·AB →＝AG →·AC →＝6，则△ABC 外接圆的半径为()A.3 B.433C ．2D ．23答案C解析由AG →·AB →＝AG →·AC →，可得AG →·(AB →－AC →)＝AG →·CB →＝0，则有AG ⊥BC ，又在△ABC 中，A ＝π3，G 为△ABC 的重心，则△ABC 为等边三角形．则AG →·AB →＝23×12(AB →＋AC →)·AB→|2＋|AB →|2cos ＝12|AB →|2＝6，解得|AB →|＝23，则△ABC 外接圆的半径为12×|AB →|sin π3＝12×2332＝2.5．在平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，AB ⊥AD ，点P 为平行四边形ABCD 所在平面内一点，则(PA →＋PC →)·PB →的最小值是()A ．－58B ．－12C ．－38D ．－14答案A解析建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，y )，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，所以PB →＝(1－x ，－y )，PA →＋PC →＝(－x ，－y )＋(1－x ,2－y )＝(1－2x ,2－2y )，故(PA →＋PC →)·PB →＝(1－2x )(1－x )＋(2－2y )(－y )＝＋－58，所以当x ＝34，y ＝12时，(PA →＋PC →)·PB →取得最小值－58.6．设向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，c ·(a ＋b －c )＝0，则|c |的最大值等于()A ．1B ．2C ．1＋52D.5答案D解析向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，不妨设a ＝(1,0)，b ＝(0,2)，c ＝(x ，y )，∵c ·(a ＋b －c )＝0，∴(x ，y )·(1－x ,2－y )＝x (1－x )＋y (2－y )＝0，即x 2＋y 2－x －2y ＝0，整理可得＋(y －1)2＝54，则|c |，半径为52的圆上的点到原点的距离，则|c |＋52＝ 5.7．(多选)(2022·珠海模拟)已知点O 在△ABC 所在的平面内，则以下说法正确的有()A ．若OA →＋OB →＋OC →＝0，则点O 为△ABC 的重心B ．若OA →OB →0，则点O 为△ABC 的垂心C ．若(OA →＋OB →)·AB →＝(OB →＋OC →)·BC →＝0，则点O 为△ABC 的外心D ．若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 为△ABC 的内心答案AC解析选项A ，设D 为BC 的中点，由于OA →＝－(OB →＋OC →)＝－2OD →，所以O 为BC 边上中线的三等分点(靠近点D )，同理可证O 为AB ，AC 边上中线的三等分点，所以O 为△ABC 的重心，选项A 正确；选项B ，向量AC →|AC →|，AB →|AB →|分别表示在边AC 和AB 上的单位向量，设为AC ′—→和AB ′—→，则它们的差是向量B ′C ′———→，则当OA →0，即OA →⊥B ′C ′———→时，点O 在∠BAC 的角平分线上，同理由OB →0，知点O 在∠ABC 的角平分线上，故O 为△ABC 的内心，选项B 错误；选项C ，由(OA →＋OB →)·AB →＝0，得(OA →＋OB →)·(OB →－OA →)＝0，即OB →2＝OA →2，故|OA →|＝|OB →|，同理有|OB →|＝|OC →|，于是O 为△ABC 的外心，选项C 正确；选项D ，由OA →·OB →＝OB →·OC →，得OA →·OB →－OB →·OC →＝0，所以OB →·(OA →－OC →)＝0，即OB →·CA →＝0，所以OB →⊥CA →，同理可证OA →⊥CB →，OC →⊥AB →，所以OB ⊥CA ，OA ⊥CB ，OC ⊥AB ，即点O 是△ABC 的垂心，选项D 错误．8．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每逢新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图①是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图②中正六边形ABCDEF 的边长为2，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P 在正六边形的边上运动，MN 为圆的直径，则PM →·PN →的取值范围是()A ．[1,2]B ．[2,3]C.32，4 D.32，3答案B解析如图所示，取AF 的中点Q ，根据题意，△AOF 是边长为2的正三角形，易得|OQ |＝3，又PM →·PN →＝(PO →＋OM →)·(PO →＋ON →)＝|PO →|2＋PO →·ON →＋PO →·OM →＋OM →·ON →＝|PO →|2＋PO →·(ON →＋OM →)－1＝|PO →|2－1，根据图形可知，当点P 位于正六边形各边的中点时，|PO |有最小值为3，此时|PO →|2－1＝2，当点P 位于正六边形的顶点时，|PO |有最大值为2，此时|PO →|2－1＝3，故PM →·PN →的取值范围是[2,3]．9．(2022·晋中模拟)已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|2PA →＋3PB →|的最小值为________．答案7解析以D 为坐标原点，DA →，DC →分别为x ，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示，设C (0，a )，P (0，b )，B (1，a )，A (2,0)，0≤b ≤a ，则2PA →＋3PB →＝2(2，－b )＋3(1，a －b )＝(7,3a －5b )，|2PA →＋3PB →|＝49＋(3a －5b )2≥7，当且仅当b ＝3a 5时取得最小值7.10．已知P 是边长为4的正△ABC 所在平面内一点，且AP →＝λAB →＋(2－2λ)AC →(λ∈R )，则PA →·PC→的最小值为________．答案5解析取BC 的中点O ，∵△ABC 为等边三角形，∴AO ⊥BC ，则以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B (－2,0)，C (2,0)，A (0,23)，设P (x ，y )，∴AP →＝(x ，y －23)，AB →＝(－2，－23)，AC →＝(2，－23)，∴AP →＝λAB →＋(2－2λ)AC →＝(4－6λ，23λ－43)x ＝4－6λ，y ＝23λ－23，∴P (4－6λ，23λ－23)，∴PA →＝(6λ－4,43－23λ)，PC →＝(6λ－2,23－23λ)，∴PA →·PC →＝(6λ－4)(6λ－2)＋(43－23λ)(23－23λ)＝48λ2－72λ＋32，由二次函数性质知，当λ＝34时，PA →·PC →取得最小值5.11．(2022·广州模拟)在△ABC 中，D 为AC 上一点且满足AD →＝13DC →，若P 为BD 上一点，且满足AP →＝λAB →＋μAC →，λ，μ为正实数，则λμ的最大值为________．答案116解析∵λ，μ为正实数，AD →＝13DC →，故AC →＝4AD →，∴AP →＝λAB →＋4μAD →，又P ，B ，D 三点共线，∴λ＋4μ＝1，∴λμ＝14·λ·4μ＝116，当且仅当λ＝12，μ＝18时取等号，故λμ的最大值为116.12．(2022·浙江)设点P 在单位圆的内接正八边形A 1A 2…A 8的边A 1A 2上，则PA →21＋P A →22＋…＋PA →28的取值范围是______________．答案[12＋22，16]解析以圆心为原点，A 7A 3所在直线为x 轴，A 5A 1所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A 1(0,1)，AA 3(1,0)，AA 5(0，－1)，A－22A 7(－1,0)，A －22，设P (x ，y )，于是PA →21＋PA →22＋…＋PA →28＝8(x 2＋y 2)＋8，因为cos 22.5°≤|OP |≤1，所以1＋cos 45°2≤x 2＋y 2≤1，故PA →21＋PA →22＋…＋PA →28的取值范围是[12＋22，16]．。

高中必修四向量知识点总结及高考题型总结

1 向量的知识点与高考应用及题型融合一,向量重要结论、及基础知识点公式总结(1)、向量的数量积定义:||||cos a b a b θ?= 规定00a ?=, 22||a a aa ?==(2)、向量夹角公式:a 与b 的夹角为θ,则cos ||||a b a b θ?= (3)、向量共线的充要条件:b 与非零向量a 共线?存在惟一的R λ∈,使b a λ=。

(4)、两向量平行的充要条件:向量11(,)a x y =,22(,)b x y =平行?12210x y x y -=(5)、两向量垂直的充要条件:向量a b ⊥0a b ??=?12120x x y y +=(6)、向量不等式:||||||a b a b +≥+,||||||a b a b ≥?(7)、向量的坐标运算:向量11(,)a x y =,22(,)b x y =,则a b ?=1212x x y y +(8)、向量的投影:︱b ︱cos θ=||a b a ?∈R ,称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 (9)、向量:既有大小又有方向的量。

向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小。

相等向量:长度相等且方向相同的向量。

(10)、零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,0 与任意向量平行零向量a =0 ?|a |=0由于0的方向是任意的,且规定0平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别)(11)、单位向量:模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量?|0a |=1(12)、平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量注:解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: (1) 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,= ,要会求出直线的斜率;(2)给出OB OA +与AB 相交,等于已知+过AB 的中点; (3)给出0 =+,等于已知P 是MN 的中点;(4)给出()BQ BP AQ AP +=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线; (5)给出以下情形之一:①//;②存在实数,AB AC λλ=使;③若存在实数,,1,OC OA OBαβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线.(6) 给出λλ++=1OB OA ,等于已知P 是的定比分点,λ为定比,即λ= (7) 给出0=?MB MA ,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m MB MA ,等于已知AMB∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知AMB ∠是锐角。

人教版B版高中数学必修4：向量的应用_课件1

题型三平面向量与解析几何整合
例3 (1) 如图， OM∥AB ，点 P 在射线
OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影
区域内(不含边界),且OP =x OA +yOB ,则实数对(x,y)可以是( C )
A.( 1 , 3 ) B.(- 2 , 2 )
44
33
C.(- 1 , 3 ) D.(- 1 , 1 )
殊化的思想，不同的是前者侧重于用排除法，而后者侧重于运算；方法二虽然在本题的处理中显得有点繁锁，但若背景换成填空题，则这种方法就显得很重要了.
(2)方法一抓住了该题选择项的特点而
采用了验证法，是处理本题的巧妙方法；
方法二要求学生能领会一些向量表达式与
三角形某个“心”的关系,如 AB + AC 所在
A. B. C. D.
6
4
Байду номын сангаас
3
2
由PA、PB、PC与底面ABC所成的
角都相等，则射影O为△ABC的外心，即| OA|=| OB|=| OC |,∠C= 12∠AOB(圆周角等于对应圆心角的一半）.
又3 OA+4 OB=-5 OC ，
平方得9 OA2+16 OB2+24OA ·OB =25 OC 2,
+ AC
| AC |
所在直线穿过△ABC
的内心,则由( AB + AC )·BC =0知,|AB |=|AC |
| AB | | AC |
(等腰三角形的三线合一定理)；
又 AB ·AC = 1 ,所以∠A= ,即△ABC为等边
| AB | | AC | 2
3
三角形，故选D.

人教B版高中数学必修四《第二章平面向量 2.4 向量的应用 2.4.1 向量在几何中的应用》_2

2.5.1 平面几何中的向量方法教学目标1．通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”。

2．明了平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示。

3．通过本节学习，让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性，活跃学生的思维，发展学生的创新意识，激发学生的学习积极性，并体会向量在几何和现实生活中的意义。

教学重点用向量方法解决实际问题的基本方法；向量法解决几何问题的“三步曲”．教学难点如何将平面几何中的实际问题化归为向量问题，并将相量运算的结果翻译成几何关系。

课时安排1课时教学过程问题导入向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景，当向量和平面坐标系结合后，向量的运算就完全可以转化为代数运算．这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便．本节专门研究平面几何中的向量方法．思考问题：平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．推进新课新知探究一、相量在平面几何中的应用①平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型，如图1，你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？图1②你能利用所学知识证明你的猜想吗？能利用所学的向量方法证明吗？试一试可用哪些方法？③你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？活动：①教师引导学生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系．利用类比的思想方法，猜想平行四边形有没有相似关系．指导学生猜想出结论：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．②教师引导学生探究证明方法，并点拨学生对各种方法分析比较，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，在平面几何的学习中，学生得到了它的许多性质，有些性质的得出比较麻烦，有些性质的得出比较简单．让学生体会研究几何可以采取不同的方法，这些方法包括综合方法、解析方法、向量方法．证明：方法一：如图2.图2方法二：如图3.图3以AB 所在直线为x 轴，A 为坐标原点建立直角坐标系．设B (a,0)，D (b ，c )，则C (a ＋b ，c )．用两点间的距离公式计算得出结论。

高中数学人教B版必修四课件：第二单元 2 4 1 向量在几何中的应用

12345
解析答案
→→
→→
3.在四边形 ABCD 中，若AD＋CB＝0，AC·BD＝0，则四边形 ABCD 为
A.平行四边形
B.矩形
C.等腰梯形解析 ∵A→D＋C→B＝0，
D.菱√形
∴A→D＝B→C，∴四边形 ABCD 为平行四边形.
→→
→→
又∵AC·BD＝0，∴AC⊥BD，
即平行四边形ABCD的对角线垂直， ∴平行四边形ABCD为菱形.
12345
解析答案
→→ 4.如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，
→→
→→
AP·BP＝2，则AB·AD的值是_2_2__.
12345
解析答案
5.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB， AC于不同的两点M，N，若 A→B＝mA→M，A→C＝nA→N，则m＋n的值为___2__. 解析 ∵O 是 BC 的中点，∴A→O＝12(A→B＋A→C). 又∵A→B＝mA→M，A→C＝nA→N，∴A→O＝m2 A→M＋n2A→N.
跟踪训练 1 如图，在正方形 ABCD 中， P 为对角线 AC 上任一点， PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.
证明
类型二向量在解析几何中的应用
例2 已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4，0)，C(－6，2)，点D，E， F分别为边BC，CA，AB的中点. (1)求直线DE，EF，FD的方程；解由已知得点D(－1，1)，E(－3，－1)，F(2，－2)，设 M(x，y)是直线 DE 上任意一点，则D→M∥D→E. 又∵D→M＝(x＋1，y－1)，D→E＝(－2，－2)，

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4-4向量的应用及向量与其他知识的综合问题基础巩固强化1.(文)如图，在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，CA ＝4，且O 是△ABC 的外心，则OC →·CA →＝( )A ．6B ．－6C ．8D ．－8 [答案] D[解析] ∵AB 2＝AC 2＋BC 2，∴∠ACB 为直角， ∵O 为△ABC 外心，∴OC →·CA →＝－CO →·CA →＝－12(CA →＋CB →)·CA →＝－12|CA →|2－12CB →·CA →＝－8.(理)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∠B ＝45°，AB ＝2CD ＝2，M 为腰BC 的中点，则MA →·MD →＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] B[解析] 由条件知AB ＝2，CD ＝1，BC ＝2， ∴MB ＝MC ＝22，∴MC →·BA →＝|MC →|·|BA →|·cos45°＝22×2×22＝1， MB →·CD →＝|MB →|·|CD →|·cos135°＝22×1×⎝⎛⎭⎪⎫－22＝－12，∴MA →·MD →＝(MB →＋BA →)·(MC →＋CD →) ＝MB →·MC →＋MB →·CD →＋BA →·MC →＋BA →·CD →＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1＋2×1＝2，故选B.2．已知A 、B 、C 是锐角△ABC 的三个内角，向量p ＝(sin A,1)，q ＝(1，－cos B )，则p 与q 的夹角是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定[答案] A[解析] 解法1：p ·q ＝sin A －cos B ，若p 与q 夹角为直角，则p ·q ＝0，∴sin A ＝cos B ，∵A 、B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝B ＝π4，则C ＝π2，与条件矛盾；若p 与q 夹角为钝角，则p ·q <0，∴sin A <cos B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，∵sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数，∴A <π2－B ，∴A ＋B <π2，∴C >π2这与条件矛盾，∴p 与q 的夹角为锐角．解法2：由题意可知A ＋B >π2⇒A >π2－B ⇒sin A >sin(π2－B )＝cos B ⇒p ·q ＝sin A －cos B >0，又显然p 、q 不同向，故p 与q 夹角为锐角．3．(2012·河北郑口中学模拟)已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A.14B.13C.12D.23[答案] C[解析] 如图，PB →＋PC →＝PE →＝2PD →，∵PB →＋PC →＋2P A →＝0，∴P A →＋PD →＝0，∴P 为AD 的中点，∴所求概率为P ＝S △PBC S △ABC ＝12.4．(文)(2011·成都市玉林中学期末)已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点坐标为( )A ．(－3,0)B ．(3,0)C ．(2,0)D ．(4,0)[答案] B[解析] 设P (x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)，AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，∴当x ＝3时AP →·BP →有最小值，∴P (3,0)．(理)(2011·河南质量调研)直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝9相交于两点M 、N ，若c 2＝a 2＋b 2，则OM →·ON →(O 为坐标原点)等于( )A ．－7B ．－14C ．7D ．14[答案] A[解析] 记OM →、ON →的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于|c |a 2＋b 2＝1，∴cos θ＝13，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝2×(13)2－1＝－79，∴OM →·ON →＝3×3cos2θ＝－7，选A.5．(2012·吉林实验中学模拟)如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别是DC 、BC 的中点，那么EF →＝( )A.12AB →＋12AD → B ．－12AB →－12AD → C ．－12AB →＋12AD → D.12AB →－12AD →[答案] D[解析] EF →＝AF →－AE →＝(AB →＋12BC →)－(AD →＋12DC →) ＝AB →＋12AD →－AD →－12AB →＝12AB →－12AD →.6．(2012·浙江宁波市期末)在△ABC 中，D 为BC 边中点，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|AD →|的最小值是( )A.12 B.32 C. 2 D.22[答案] D[解析] ∵∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1， ∴|AB →|·|AC →|·cos120°＝－1， ∴|AB →|·|AC →|＝2，∴|AB →|2＋|AC →|2≥2|AB →|·|AC →|＝4，∵D 为BC 边的中点，∴AD →＝12(AB →＋AC →)，∴|AD →|2＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →)＝14(|AB →|2＋|AC →|2－2)≥14(4－2)＝12，∴|AD →|≥22.7.如图，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为________．[答案] －92[解析] 设PC ＝x ，则0≤x ≤3.(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2x ×(3－x )＝2x 2－6x ＝2(x －32)2－92，所以(P A →＋PB →)·PC →的最小值为－92.8．(2012·会昌月考)已知向量a 与b 的夹角为2π3，且|a |＝1，|b |＝4，若(2a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝________.[答案] 1[解析] ∵〈a ，b 〉＝2π3，|a |＝1，|b |＝4，∴a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉＝1×4×cos 2π3＝－2，∵(2a ＋λb )⊥a ，∴a ·(2a ＋λb )＝2|a |2＋λa ·b ＝2－2λ＝0，∴λ＝1.9.(2012·宁夏三市联考)在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝2，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________.[答案] －32[解析] AE →·BD →＝(AD →＋12AB →)·(AD →－AB →)＝|AD →|2－12|AB →|2－12AD →·AB →＝1－2－12×1×2·cos60°＝－32.10．(文)(2012·豫南九校联考)已知向量OP →＝(2cos x ＋1，cos2x －sin x ＋1)，OQ →＝(cos x ，－1)，f (x )＝OP →·OQ →.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的最大值及取得最大值时的x 值． [解析] (1)∵OP →＝(2cos x ＋1，cos2x －sin x ＋1)，OQ →＝(cos x ，－1)， ∴f (x )＝OP →·OQ →＝(2cos x ＋1)cos x －(cos2x －sin x ＋1) ＝2cos 2x ＋cos x －cos2x ＋sin x －1 ＝cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π4)， ∴函数f (x )最小正周期T ＝2π.(2)∵x∈[0，π2]，∴x＋π4∈[π4，3π4]，∴当x＋π4＝π2，即x＝π4时，f(x)＝2sin(x＋π4)取到最大值 2.(理)(2012·龙岩月考、河北衡水中学调研)△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量m＝(－1,1)，n＝(cos B cos C，sin B sin C－32)，且m⊥n.(1)求A的大小；(2)现在给出下列三个条件：①a＝1；②2c－(3＋1)b＝0；③B＝45°，试从中选择两个条件以确定△ABC，求出所确定的△ABC的面积．(注：只需要选择一种方案答题，如果用多种方案答题，则按第一方案给分)．[解析](1)因为m⊥n，所以－cos B cos C＋sin B sin C－32＝0，即cos B cos C－sin B sin C＝－32，所以cos(B＋C)＝－32，因为A＋B＋C＝π，所以cos(B＋C)＝－cos A，所以cos A＝32，A＝30°.(2)方案一：选择①②，可确定△ABC，因为A＝30°，a＝1,2c－(3＋1)b＝0，由余弦定理得，12＝b2＋(3＋12b)2－2b·3＋12b·32解得b＝2，所以c＝6＋2 2，所以S△ABC＝12bc sin A＝12·2·6＋22·12＝3＋14，方案二：选择①③，可确定△ABC ，因为A ＝30°，a ＝1，B ＝45°，C ＝105°，又sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝6＋24，由正弦定理c ＝a sin C sin A ＝1·sin105°sin30°＝6＋22，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12·1·6＋22·22＝3＋14. (注意：选择②③不能确定三角形)能力拓展提升11.(文)(2012·浙江省样本学校测试)如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝3，AC ＝5，BC ＝7，则AO →·BC →等于( )A ．－8B ．－1C ．1D ．8[答案] D [解析]取BC 的中点M ，连接AM 、OM ， AO →·BC →＝(AM →＋MO →)·BC →＝AM →·BC →＝AC →＋AB →2·(AC →－AB →)＝|AC →|2－|AB →|22＝8，故选D. (理)(2011·福建理，8)已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2.上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2][答案] C[解析] OA →·OM →＝(－1,1)·(x ，y )＝y －x ，画出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2.表示的平面区域如图所示．可以看出当z ＝y －x 过点A (1,1)时有最小值0，过点C (0,2)时有最大值2，则OA →·OM →的取值范围是[0,2]，故选C.12．设F 1、F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P 、Q 两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，PF 1→·PF 2→的值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．－2[答案] D[解析] 由题意得c ＝a 2－b 2＝3，又S 四边形PF 1QF 2＝2S △PF 1F 2＝2×12×F 1F 2·h (h 为F 1F 2边上的高)，所以当h ＝b ＝1时，S 四边形PF 1QF 2取最大值，此时∠F 1PF 2＝120°.所以PF 1→·PF 2→＝|PF 1→|·|PF 2→|·cos120° ＝2×2×(－12)＝－2.13．(2011·烟台质检)在平面直角坐标系xOy 中，i 、j 分别是与x轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，AB →＝i ＋j ，AC →＝2i ＋m j ，则实数m ＝________.[答案] 0或－2[解析] ∵△ABC 为直角三角形，∴当A 为直角时，AB →·AC →＝(i ＋j )·(2i ＋m j )＝2＋m ＝0⇒m ＝－2；当B 为直角时，AB →·BC →＝AB →·(AC →－AB →)＝(i ＋j )·[i ＋(m －1)j ]＝1＋m －1＝0⇒m ＝0；当C 为直角时，AC →·BC →＝AC →·(AC →－AB →)＝(2i ＋m j )·[i ＋(m －1)j ]＝2＋m 2－m ＝0，此方程无解．∴实数m ＝0或m ＝－2.14．(2012·苏北四市统考)已知△ABO 三顶点的坐标为A (1,0)，B (0,2)，O (0,0)，P (x ，y )是坐标平面内一点，且满足AP →·OA →≤0，BP →·OB →≥0，则OP →·AB →的最小值为________．[答案] 3[解析] AP →＝(x －1，y )，OA →＝(1,0)， BP →＝(x ，y －2)，OB →＝(0,2)， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AP →·OA →≤0，BP →·OB →≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≤0，2(y －2)≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≥2， ∴OP →·AB →＝(x ，y )·(－1,2)＝－x ＋2y ≥－1＋2×2＝3，∴OP →·AB →的最小值为3.15．(文)已知向量a ＝1sin x ，－1sin x ，b ＝(2，cos2x )，其中x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.(1)试判断向量a 与b 能否平行，并说明理由？ (2)求函数f (x )＝a ·b 的最小值．[解析] (1)若a ∥b ，则有1sin x ·cos2x ＋1sin x ·2＝0. ∵x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，∴cos2x ＝－2，这与|cos2x |≤1矛盾，∴a 与b 不能平行． (2)∵f (x )＝a ·b ＝2sin x －cos2xsin x＝2－cos2x sin x ＝1＋2sin 2x sin x ＝2sin x ＋1sin x ， ∵x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，∴sin x ∈(0,1]，∴f (x )＝2sin x ＋1sin x ≥22sin x ·1sin x ＝2 2.当2sin x ＝1sin x ，即sin x ＝22时取等号，故函数f (x )的最小值为2 2.(理)已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足P A →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．[解析] 设M (x ，y )为所求轨迹上任一点，设A (a,0)，Q (0，b )(b >0)，则P A →＝(a,3)，AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )，由P A →·AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0.①由AM →＝－32MQ →得，(x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝(32x ，32(y －b ))， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝32x ，y ＝32y －32b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－x 2，b ＝y 3.把a ＝－x 2代入①，得－x 2(x ＋x2)＋3y ＝0，整理得y ＝14x 2(x ≠0)．16.如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，D 为BC 的中点，E 是AB 上的一点，且AE ＝2EB .求证：AD ⊥CE .[证明] AD →·CE →＝(AC →＋12CB →)·(CA →＋23AB →)＝－|AC →|2＋12CB →·CA →＋23AB →·AC →＋13AB →·CB →＝－|AC →|2＋12|CB →||CA →|cos90°＋223|AC →|2cos45°＋23|AC →|2cos45°＝－|AC →|2＋|AC →|2＝0，∴AD →⊥CE →，即AD ⊥CE .1．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·b x 在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为( )A ．(0，π6)B ．(π6，π] C ．(π3，π] D ．(π3，2π3][答案] C[解析] 设a 与b 的夹角为θ，f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·b x 在R 上有极值，即f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有两个不同的实数解，故Δ＝|a |2－4a ·b >0⇒cos θ<12，又θ∈[0，π]，所以θ∈(π3，π]，故选C.2．设F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝3，则该抛物线的方程是( )A ．y 2＝2xB ．y 2＝4xC ．y 2＝6xD ．y 2＝8x [答案] A[解析] ∵F (p2，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，由F A →＋FB →＋FC →＝0得， (x 1－p 2)＋(x 2－p 2)＋(x 3－p2)＝0，∴x 1＋x 2＋x 3＝32p . 又由抛物线定义知，|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝(x 1＋p 2)＋(x 2＋p 2)＋(x 3＋p2)＝3p ＝3，∴p ＝1，因此，所求抛物线的方程为y 2＝2x ，故选A.3．不共线向量OA →、OB →，且2OP →＝xOA →＋yOB →，若P A →＝λAB →(λ∈R )，则点(x ，y )的轨迹方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0[答案] A[解析] 由P A →＝λAB →得，OA →－OP →＝λ(OB →－OA →)，即OP →＝(1＋λ)OA →－λOB →. 又2OP →＝xOA →＋yOB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ.消去λ得x ＋y ＝2，故选A. 4．已知O 为原点，点A 、B 的坐标分别为A (a,0)、B (0，a )，其中常数a >0，点P 在线段AB 上，且有AP →＝tAB →(0≤t ≤1)，则OA →·OP →的最大值为( )A ．aB ．2aC ．3aD ．a 2[答案] D[解析] ∵AP →＝tAB →，∴OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋t (OB →－OA →) ＝(1－t )OA →＋tOB →＝(a －at ，at )， ∴OA →·OP →＝a 2(1－t )， ∵0≤t ≤1，∴OA →·OP →≤a 2.5．已知M 是△ABC 内的一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC 、△MCA 和△MAB 的面积分别为12、x 、y ，则1x ＋4y 的最小值是________．[答案] 18[解析] ∵AB →·AC →＝23，∴bc cos A ＝23， ∵∠BAC ＝30°，∴bc ＝4， ∴S △ABC ＝1，∴x ＋y ＝12，1x ＋4y ＝2(x ＋y )x ＋8(x ＋y )y ＝(2y x ＋8xy )＋10≥18. 等号成立时，⎩⎪⎨⎪⎧2y x ＝8x y ，x ＋y ＝12.∴x ＝16，y ＝13，∴在⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝13.时，1x ＋4y 取得最小值18.6．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c,0)(c >0)，作圆x 2＋y 2＝a24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若OE →＝12(OF→＋OP →)，则双曲线的离心率为________．[答案]102[解析] ∵PF 与圆x 2＋y 2＝a 24相切，∴OE ⊥PF ，且OE ＝a2，∵OE→＝12(OF →＋OP →)，∴E 为PF 的中点，又O 为FF 2的中点，∴|PF 2|＝2|OE |＝a ，由双曲线定义知，|PF |＝|PF 2|＋2a ＝3a ，在Rt △PFF 2中，|PF |2＋|PF 2|2＝|FF 2|2，∴a 2＋9a 2＝4c 2，∴e 2＝52，∵e >1，∴e ＝102.7．(2012·广东惠州二调)已知向量a ＝(sin θ，cos θ)与b ＝(3，1)，其中θ∈(0，π2)．(1)若a ∥b ，求sin θ和cos θ的值； (2)若f (θ)＝(a ＋b )2，求f (θ)的值域． [解析] (1)∵a ∥b ，∴sin θ·1－3cos θ＝0，求得tan θ＝ 3.又∵θ∈(0，π2)，∴θ＝π3.∴sin θ＝32，cos θ＝12.(注：本问也可以结合sin 2θ＋cos 2θ＝1或化为2sin(θ－π3)＝0来求解) (2)f (θ)＝(sin θ＋3)2＋(cos θ＋1)2 ＝23sin θ＋2cos θ＋5＝4sin(θ＋π6)＋5，又∵θ∈(0，π2)，θ＋π6∈(π6，2π3)， 12<sin(θ＋π6)≤1，∴7<f (θ)≤9，即函数f (θ)的值域为(7,9]．。